江西师大附中高三上学期期末考试数学(理)试卷

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）江西师大附中高三上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）1.若纯虚数z 满足()11i z ai -=+，则实数a 等于（ ）A ．0B ．1-或1C ．1-D ．1 2.已知函数sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移3π个单位后，所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．3 3.若()241cos 2x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．44.如右图，当输入5x =-，15y =时，图中程序运行后输出的结果为（ ） A ．3； 33 B ．33；3 C.-17；7 D ．7；-175.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++=（ ） A ．817 B ．919 C ．1021 D ．11236.若关于,x y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为（ ）INPUT x INPUT y IF x <0 THEN x = y +3ELSE y = y -3 END IFPRINT x - y , y + x ENDA.12或14B.12或18C.1或12D.1或147．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．208.已知等差数列{}n a 的第8项是二项式41x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则91113a a -=（ ）A ．23B ．2C ．4D ．6 9.不等式2220x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤22B ．a ≥22C ．a ≤311 D ．a ≤2910.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(1,10)C ．(2,10)D ．(5,10) 11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ） A ．14-B ．12-C ．34- D ．1- 12.已知函数()22x x af x =-，其在区间[]0,1上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．[]1,1- D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知函数()y f x =的图象在点()()2,2M f处的切线方程是4y x =+，则()()22f f '+= ．14.已知11sin(),sin()23αβαβ+=-=,那么5tan log tan αβ的值是 ．15.将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设任意投掷两次使直线1:3l x ay +=，2:63l bx y +=平行的概率为1P ，不平行的概率为2P ，若点()12,P P 在圆()226572x m y -+=的内部，则实数m 的取值范围是 ． 16.已知ABC ∆中，7,8,9AB AC BC ===，P 点在平面ABC 内，且70PA PC ⋅+=，则||PB 的最大值为 ．三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a 的等差中项是93. （Ⅰ）求1a 的值； （Ⅱ）若函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，φπ<，的一部分图像如图所示，()11,M a -，()13,N a -为图像上的两点，设MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，πβ<<0，求()tan φβ-的值.18.（本小题满分12分）2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目。

纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如下表所示：参加纪念活动的环节数123概率13131616（Ⅰ）若从抗战老兵中随机抽取2人进行座谈，求这2人参加纪念活动的环节数不同的概率； （Ⅱ）某医疗部门决定从这些抗战老兵中随机抽取3名进行体检（其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵数大于等于3），设随机抽取的这3名抗战老兵中参加三个环节的有ξ名，求ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图,四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,且1=AB ,2=BC ,060=∠ABC ,E 为BC 的中点, ⊥1AA 平面ABCD ．（Ⅰ）证明:平面⊥AE A 1平面DE A 1；（Ⅱ）若E A DE 1=,试求二面角1E A C D --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点()1,0F ，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB ⋅=，求BDK ∆内切圆M 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数()ln xx kf x e +=（其中R k ∈，e 是自然对数的底数），()f x '为()f x 导函数．（Ⅰ）若(]0,1x ∈时，()0f x '=都有解，求k 的取值范围；（Ⅱ）若()10f '=，试证明：对任意0x >，()221e f x x x-+'<+恒成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于点D ，DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F 。

（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线； （Ⅱ）若25AC AB =，求AFDF的值. 23.（本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为t t y t x (232,21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=为参数）． （Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,2得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，求y x 32+的最小值．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()3 2.f x x x =--+（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最小值M ； （Ⅱ）在（1）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=-，证明：313b a+≥. ABOCDFE2015~2016学年度高三上学期期末考试数学（理）试卷答案1—6 DDBACA 7—12CCACBC 13.7 14.1 15.711,3636⎛⎫-⎪⎝⎭ 16.10 17.试题解析：（Ⅰ） 解：由题可知25183a a +=，又528a a =， ---------3分 故223a = ∴13a = ----------5分 （Ⅱ）∵点()11,M a -在函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上， ∴sin 14πφ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又∵φπ<，∴34φπ= -------------7分如图，连接MN ，在MPN ∆中，由余弦定理得222412283cos 2283PM PN MNPM PNβ+-+-===-又∵πβ<<0 ∴ 56βπ= -------------9分∴ 12πφβ-=-∴ ()tan tantan 231246πππφβ⎛⎫-=-=--=-+ ⎪⎝⎭-------------12分 18.试题解析：（Ⅰ）设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件M ，则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件M ，根据题意可知()222211115336618P M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， -------------3分由对立事件的概率计算公式可得()()13118P M P M =-=，故这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率为1318. -------------6分（Ⅱ）根据题意可知随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3且()31125016216P ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()2131125116672P C ξ⎛⎫==-⋅=⎪⎝⎭()223115216672P C ξ⎛⎫⎛⎫==-⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31146216P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ -------------10分 则随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P125216 2572 572 1216 则数学期望()12525511012321672722162E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= -------------12分19.试题解析：（Ⅰ）依题意1BE EC BC AB CD 2====，∴ABE ∆是正三角形，AEB 60∠=︒，()1CED CDE 180ECD 30,2∠=∠=︒-∠=︒ -------------3分AED 180CED AEB 90DE AE ∴∠=︒-∠-∠=︒∴⊥∵1AA ⊥平面ABCD ，DE ⊆平面ABCD ，1DE AA ∴⊥，1AA AE A DE =∴⊥，平面1A AE ，-------------5分DE ⊆平面1A DE ，∴平面1A AE ⊥平面1A DE ． -------------6分（Ⅱ）连接AC ，由题可知AC CD ⊥，又1DE A E =，故12AA = -------------7分 故以C 为原点，1,,CD CA CC 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,0,0D ，13,,022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,2A ，故()113,,0,0,3,222CE CA →→⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭设面1EA C 的一个法向量()1111,,n x y z →=，则111113022320x y y z ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩，令13x =，则11y =，162z =-，∴163,1,2n →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭-------------9分 同理可求出面1DA C 的一个法向量()20,2,3n →=- -------------10分 故121212555cos ,1155n n n n n n →→→→→→⋅===⋅，而由图可知二面角1E A C D --为钝角，所以二面角1E A C D --的余弦值为5511-. ------------12分 20.试题解析：（Ⅰ）由题可知()1,0K -，抛物线的方程为24y x = -------------1分则可设直线l 的方程为1x my =-，()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -， 故214x my y x=-⎧⎨=⎩整理得2440y my -+=，故121244y y m y y +=⎧⎨=⎩ -------------3分 则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y y x ==，所以()1,0F 在直线BD 上. -------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，所以()()212121142x x my my m +=-+-=-，()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-，()221,FB x y →=-故()()()21212121211584FA FB x x y y x x x x m →→⋅=--+=-++=-，则28484,93m m -=∴=±，故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+= ()2221211247416163y y y y y y m -=±+-=±-=±， -------------8分 故直线BD 的方程3730x y +-=或3730x y --=，又KF 为BKD ∠的平分线， 故可设圆心()(),011M t t -<<，(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131,54t t +--------------10分 由313154t t +-=得19t =或9t =（舍去）.故圆M 的半径为31253t r +== 所以圆M 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.-------------12分21.试题解析：（Ⅰ）由()0f x '=得1ln x x k x-=，令()1ln F x xx x -=， -------------3分01x <≤，∴()21F 0x x x +'=-<，所以()F x 在(]0,1上单调递减，又当x 趋向于0时，()F x 趋向于正无穷大，故()F 1x ≥，即1k ≥． -------------5分（Ⅱ）由()10f '=，得1k =，令()()()2g x x x f x '=+， 所以()()11ln xx g x x x x e +=--，()0,x ∈+∞， -------------7分 因此，对任意0x >，()21g x e -<+等价于()21ln 11xe x x x e x ---<++， 由()1ln h x x x x =--，()0,x ∈∞，得()ln 2h x x '=--，()0,x ∈+∞，因此，当()20,x e -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；()2,x e -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()h x 的最大值为()221h e e --=+，故21ln 1x x x e ---≤+，---------9分 设()()1xx e x ϕ=-+，()1x x e ϕ'=-，所以()0,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ>=， ---------10分故()0,x ∈+∞时，()()10xx e x ϕ=-+>，即11xe x >+， 所以()221ln 111xe x x x e e x ----≤+<++． 因此，对任意0x >，()221e f x x x-+'<+恒成立．---------12分22.试题解析：（Ⅰ）连接OD ，可得∠=∠=∠ODA OAD DAC ，∴OD AE ----------3分 又⊥AE DE ，∴⊥OD DE ，又OD 为半径，∴DE 是圆O 的切线----------5分 （Ⅱ）过D 作⊥AB DH 于点H ，连接BC ，则有∠=∠HOD CAB ，2cos cos 5∠==∠==OH AC HOD CAB OD AB----------7分 设5OD x =，则10,2AB x OH x ==，∴7AH x =----------8分由∆≅∆AED AHD 可得7AE AH x ==，又由∆∆AEF DOF ， 可得75==AF AE DF DO----------10分 23.试题解析：（Ⅰ）0323:=-+-y x l ----------2分1:22=+y x C ----------5分（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧'='=∴⎩⎨⎧='='y y x x y y x x 22 代入C 得 14:22=+'∴y x C 设椭圆的参数方程θθθ(sin cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数） ----------7分则)6sin(4sin 32cos 232πθθθ+=+=+y x 则y x 32+的最小值为-4 ----------10分24.试题解析：（Ⅰ）因为()()32325x x x x --+≤--+=所以15m -≤，解得46m -≤≤，故4M =- ----------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得34a b +=所以()311311933344ab a b b a b a ba ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 192634a bb a ⎛⎫≥⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当9a b b a =即32a b ==时等号成立 ----------10分。