(人教B版)高中数学必修五：2.3《等比数列(1)》ppt课件
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2014-2015学年高一数学(人教B版必修5)课件2-3-1《等比数列的概念及通项公式》
A．90
B．100
C．145
D．190
[解析] 设公差为d，由题意得a22＝a1·a5， ∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d， ∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2， ∴S10＝10×1＋10×2 9×2＝100，故选B.
[答案] B
等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项， 则aa21＋＋aa43＋＋aa190＝________.
此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.
易错疑难辨析
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝ 42，求a5、a7的等比中项．
[错解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1， ∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得
a1＋a1q＋a1q2＝168 a1q－a1q4＝42
，
∴aa11q1＋1－q＋q3q＝2＝42168② ①
[解析] ∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)， ∴Sn＝2Sn－1＋n＋4(n≥2)， 两式相减，得an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝2(n≥2)．
∵S2＝2S1＋6＝2a1＋6＝16， ∴a1＋a2＝16，∴a2＝16－a1＝11. ∴a2＋1＝12＝2(a1＋1)． ∴aan＋n＋1＋11＝2(n∈N*)． 又a1＋1＝6， 即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.
4．等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则a6＝________.
[答案] 32
[解析] 设公比为q，则a4＝a1q3， ∴q3＝aa14＝81＝8，∴q＝2. ∴a6＝a1q5＝25＝32.
课堂典例讲练
8，求an.
等比数列的通项公式 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝
2017-2018学年高中数学人教B版必修5课件：2-3-1等比数
3 1 3 3
2
1
等比数列来解决问题. 当然,求数列的通项还有很多其他的方法,在求通项时,我们应尽 可能将已知数列转化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比) 数列的通项公式求其通项.
一
二
三
四
三、教材中的“?” 1.为什么q≠0?等比数列中的项有可能等于0吗? 剖析:因为等比数列的公比是后项与前项的商,其商不能为0,除数 也不可能为0,故q≠0,在等比数列中,各项都不会为0. 2.等差数列的通项公式是怎样推导出来的?怎样用类似的方法推 导等的通项公式的推导类似于等差数列,先采用归纳的方法猜想出通项 公式,然后利用迭乘的方法证明得an=a1qn-1.
用此公式时我们应当注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分 段式;另一种是“合二为一”,即a1和an(n≥2)合为一个表达式. 3.对于an+1=an+f(n)型或an+1=f(n)an型的数列,其中f(n)是等差数列 或等比数列,可以根据递推公式,写出n取1到n时的所有的递推关系 式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式.
一
二
三
四
4.有些数列本身并不是等差数列或等比数列,但可以经过适当变 形,构造出一个等差数列或等比数列,从而利用这个数列求其通项
公式,这叫做构造法.例如:在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2= an+1+ an, 我们在上式的两边减去 an+1,得 an+2-an+1=- (an+1-an),即可构造一个
2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则通项公式为an=a1qn-1.其 中,a1,q均不为0. 名师点拨等比数列的通项公式an=a1qn-1的另外一种形式为 an=am· qn-m. 【做一做2】已知在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比q为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:由等比数列的通项公式,得a4=a1q3,即64=8×q3,所以q=2. 答案:A
2
1
等比数列来解决问题. 当然,求数列的通项还有很多其他的方法,在求通项时,我们应尽 可能将已知数列转化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比) 数列的通项公式求其通项.
一
二
三
四
三、教材中的“?” 1.为什么q≠0?等比数列中的项有可能等于0吗? 剖析:因为等比数列的公比是后项与前项的商,其商不能为0,除数 也不可能为0,故q≠0,在等比数列中,各项都不会为0. 2.等差数列的通项公式是怎样推导出来的?怎样用类似的方法推 导等的通项公式的推导类似于等差数列,先采用归纳的方法猜想出通项 公式,然后利用迭乘的方法证明得an=a1qn-1.
用此公式时我们应当注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分 段式;另一种是“合二为一”,即a1和an(n≥2)合为一个表达式. 3.对于an+1=an+f(n)型或an+1=f(n)an型的数列,其中f(n)是等差数列 或等比数列,可以根据递推公式,写出n取1到n时的所有的递推关系 式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式.
一
二
三
四
4.有些数列本身并不是等差数列或等比数列,但可以经过适当变 形,构造出一个等差数列或等比数列,从而利用这个数列求其通项
公式,这叫做构造法.例如:在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2= an+1+ an, 我们在上式的两边减去 an+1,得 an+2-an+1=- (an+1-an),即可构造一个
2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则通项公式为an=a1qn-1.其 中,a1,q均不为0. 名师点拨等比数列的通项公式an=a1qn-1的另外一种形式为 an=am· qn-m. 【做一做2】已知在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比q为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:由等比数列的通项公式,得a4=a1q3,即64=8×q3,所以q=2. 答案:A
数学：2.3.1《等比数列》课件(1)(新人教B版必修5)
(n
n
1),
求证：
,
2
.......
3
n
成等比数列。
能力训练
已知数列 an 是正数等比数列，q=2,
a a a a a a a a 满足， 1
2
....
3
230 , 求
30
3g 6g 9...g
30
的值。
能力训练
1.已知数列 an 满足，a1 1,
a a a 2 1,求 的通项公式。
等比数列
学习目标
1.判断一个数列是否为等比数列. 2.等比数列的通项公式的推导及应用. 3.体会等比数列与指数函数的关系.
等比数列的定义
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比 数列的公比，公比通常用字母q（ q ≠０）表示。
an1 q或 an q n 2
an
an1
等比数列的通项公式
an q
an1
n2
an a1qn1
等比数列的性质 设an为公比为q的等比数列
1。从an中取出下标成等差的若干项
amk，am2k，am3k，L 仍成等比数列
2。m，n，p, q N且m n p q则aman apaq
例3。等比数列an中，a5 4，a7 6，求a9？
基础训练
Hale Waihona Puke 1.an 是等比数列,a a a 2 g (n k 0)
n
nk nk
是否成立.
2.已知 an ,bn ,是项数相同的等
比数列,求证: an •bn 是等比数列
已 3.知数列 an 满足，a1 1,
人教版高中数学必修五2-3-1《等比数列》课件
等比数列的通项公式
an a1 qn1
方程
应用：已知等比数列{an}中，a5=20，a15=5，求a20.
等比数列的通项公式
an a1 qn1
方程
函数
等比数列的通项公式还可以写成
an=a1qn－1
a1 qn q
cqn
当q是不为1的正数时，它是一个非零常 数与一个指数函数的乘积.
20 18
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
打开神秘之信
一个定义： an q(n N *且n 2)
a n 1
一个公式： an a1qn1 (n N *且q 0)
两种思想方法： 函数与方程的思想、类比法
推导通项的 三种方法：
不完全归纳法、迭代法、累乘法
方案①：今年植树1万棵，从第二年起每年 都比上一年都多 植1万棵；
1 , 2 , 3 , 4 , ……
方案②：从今年起以后每年都植树4万棵；
4 , 4 , 4 , 4 , ……
方案③：今年植树0.2万棵，从第二年起 每年都植上一年的2倍.
0.2 ， 0.4 ， 0.8 ，1.6 ，……
0.2 ， 0.4 ， 0.8 ，1.6 ，…… 3，9，27，81，…… 1 , 1 , 1, 1 ,
q (n 1)
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比。
公比通常用字母 q (q≠0)表示。
方案①：今年植树1万棵，从第二年起每年 都比上一年都多 植1万棵；
1 , 2 , 3 , 4 , ……
2.3.1等比数列课件人教新课标B版
例3： 一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18，求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是 a1 ，公比是 q ，那么
a1q2 12 ①
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
把③代入① ，得
a1
16 3
q3 2
a2
a1q
16 3
3 2
8
课堂互动
1．在等比数列{an}中， (1)若 a2＝4，a5＝－12，求 an； (2)若 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
②
1, 20, 202, 203, … ;
③
1.0198, 1.01982, 1.01983, … . ④
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比 都等于同一个常数．
等比数列概念
• 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的 比 等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等比数列 ，这 个常数叫做等比数列的公比（q,q≠0）。
解：设这种物质最初的质量是1，
经过n年，剩留量是an ， 由条件可得数列｛ an ｝是 一个等比数列。
a1=0.84，q=0.84， an=0.84n=0.5. 解得n=4.
答：这种物质的半衰期大约为4年.
例2：根据图中的框图， 写出所打印数列的前5项， 并建立数列的递推公式， 这个数列是等比数列吗？
视察这几个数列，看有何共同特点?
1.细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1, 2, 4, 8 , ….
2. 一尺之棰,日取其半,万世不竭. 如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那 么得到的数列是 1, ____,____,____, ….
3. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址薄，通过邮件进行传播.如果把病毒制造 者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送 病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每 一台计算机都感染20台计算机，那么在不 重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计 算机数构成的数列是：
高中数学必修5《等比数列的性质》PPT (1)
创设情境
等差数列定义：如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等差数列.
等比数列定义：如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等比数列.
探究新知
等差数列
当n 2时，
递推
关系
an an1 d
通项 公式
S3n
S2n成等比数列，公比为qn .（Sn，S2n
S
，
n
S3n S2n均不为0）
性质2 若m n r s，则am an ar as. 特别的,m n 2k,则am an ak2.
为什么推论2不能由等差数 列的推论2类比得出？
例1（2009.浙江文科16）设等差数列
an的前n项和为Sn，则S4，S8 S4，S12 S8，
课堂小结
内容 等比数列的性质. 数学思想 转化与化归. 课后作业 作业本2.4等比数列（二）.
巩固应用
思考 若数列an是等差数列，则
当bn
a1
a2
n
an 时，数列bn也是
等差数列；类比上述性质，若数列cn
是正项等比数列，当dn _________ 时，
数列d n 也是等比数列.
（1）若 a3 4 ， a9 1，则 a6 _____； 若 a3 4 ， a11 1，则 a7 _____
（2）若 a2a4 2a3a5 a4a6 36 ，则 a3 a5 _____； （3）若 an 0 ，a1a2a3 5 ，a7a8a9 10 ，则 a4a5a6 _____.
性质 3：设 an ，bn 是两个等比数列，
则
an
bn
，
an bn
是等比数列.
等差数列定义：如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等差数列.
等比数列定义：如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等比数列.
探究新知
等差数列
当n 2时，
递推
关系
an an1 d
通项 公式
S3n
S2n成等比数列，公比为qn .（Sn，S2n
S
，
n
S3n S2n均不为0）
性质2 若m n r s，则am an ar as. 特别的,m n 2k,则am an ak2.
为什么推论2不能由等差数 列的推论2类比得出？
例1（2009.浙江文科16）设等差数列
an的前n项和为Sn，则S4，S8 S4，S12 S8，
课堂小结
内容 等比数列的性质. 数学思想 转化与化归. 课后作业 作业本2.4等比数列（二）.
巩固应用
思考 若数列an是等差数列，则
当bn
a1
a2
n
an 时，数列bn也是
等差数列；类比上述性质，若数列cn
是正项等比数列，当dn _________ 时，
数列d n 也是等比数列.
（1）若 a3 4 ， a9 1，则 a6 _____； 若 a3 4 ， a11 1，则 a7 _____
（2）若 a2a4 2a3a5 a4a6 36 ，则 a3 a5 _____； （3）若 an 0 ，a1a2a3 5 ，a7a8a9 10 ，则 a4a5a6 _____.
性质 3：设 an ，bn 是两个等比数列，
则
an
bn
，
an bn
是等比数列.
人教B版必修5高二数学2.3.1等比数列教学课件
（2）这个数列中的任意一 项是它后面第 5 项的 1 10
（3）这个数列中任意两项的积仍然在这个数列中.
分析：这是等比数列定义与性质的应用.
n
证明：（1）因为
an1 an
10 5
n1
10 5
1
105 (常数) .
所以，这个数列是等比数列 .
n1
(2)
an an5
10 5
n4
10 5
10
n51
n4 5
•
an1
•
an2
0, n
N*)
{an }是等比数列
知识要点 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使 a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b 的等比中项.
如果G是a与b的等比中项，那么
G a
b G
，即
G2
ab
因此，G
ab
反过来，如果 a,b同号，G等于 ab
或 ab 那么G是 a,b的等比中项.
3. 结论：a，b同号，G2=ab是G是a，b的 等比中项的充要条件.
4.对称设法:三数为 a/q,a, aq
5.下标和公式: 等比数列{an}中,如果 m+n=r+s,(m,n,r,s ∈N*) 那么am.an=ar as .
6.. 当三个数成等比数列，并知其积时，可设
它们分别为
a q
,
a,
aq,
2(n 1) 2n1 2 2n 2 2n1 2n
4.已知数列 an 的前n项和为
Sn ,Sn
1 3 (an
1)(n N ).
（1）求 a1 , a2
（2）求证数列 an 是等比数列.
解：
高中数学第二章数列231等比数列课件新人教B版必修5
3．等比数列的性质 已知等比数列{an}，首项为 a1，公比为 q，则 an＝a1qn－1. (1)an＝am·qn－m(n，m∈N＋)． (2)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则有 am·an＝ap·aq. (3)a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…＝am·an－(m－1)． (4)在等比数列{an}中，每隔 k 项取一项，按原来的顺序排列， 所得新数列仍为等比数列，公比为 qk＋1.
所以aan＋n 1＝12， 所以{an}是等比数列，且首项为 1，公比为12.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
等比数列的通项公式
已知等比数列{an}，若 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求 an. 【解】 法一：因为 a1a3＝a22， 所以 a1a2a3＝a32＝8，所以 a2＝2. 从而aa11＋a3＝a3＝4，5，解得aa13＝ ＝14， ，或aa13＝ ＝41， . 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n.
法二：因为 an>0， 所以 an＋3>0. 又因为 an＋1＝2an＋3，所以 an＋2＝4an＋9. 所以(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3) ＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2. 即 an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3 成等比数列， 所以数列{an＋3}是等比数列．
法二：由等比数列通项公式知 a2＝a1q，a3＝a1q2. 代入已知得aa11＋·aa11qq＋·aa11qq22＝＝78，， ⇒aa131（q3＝1＋8，q＋q2）＝7， ⇒aa11（q＝1＋2.②q＋q2）＝7，① 将 a1＝2q代入①得 2q2－5q＋2＝0.所以 q＝2 或 q＝12. 由②得aq1＝＝21，，或qa＝1＝124. ，以下同法一．
高中数学 等比数列课件(完整版).ppt
演示课件
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
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●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
2018学年高中数学人教B版必修5课件：2-3-1-1 等比数列 精品
探究 2 由等比数列的定义式aan＋n1＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项 a1，公比 q 表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项 am 及公比 q 表示 an 吗？
【提示】 由aan＋n 1＝q，知aa21＝q，aa32＝q， aa43＝q，…，aan－n 1＝q，将以上各式两边分别相乘可得aan1＝qn－1，则 an＝a1qn－1； 由aanm＝＝aa11qqnm－－11， 两式相比得aamn＝qn－m， 则 an＝am·qn－m，事实上该式为等比数列通项公式的推广．
[小组合作型] 等比数列的判断与证明
(1)下列数列是等比数列的是( ) A．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，… B．－1,1，－1,1，－1，… C．0,2,4,6,8,10，… D．a1，a2，a3，a4，… (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
[再练一题] 1．已知数列{an}是首项为 2，公差为－1 的等差数列，令 bn＝12an， 求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
【证明】 由已知得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 故bbn＋n 1＝12123－3－n＋n 1＝123－(n＋1)－3＋n ＝12－1＝2， ∴数列{bn}是等比数列． ∵b1＝123－1＝14， ∴bn＝14×2n－1＝2n－3.
__a_q1_·_q_x __的图象上的 孤立 点．
1．在等比数列{an}中，a1＝4，公比 q＝3，则通项公式 an＝________. 【解析】 an＝a1qn－1＝4·3n－1. 【答案】 4·3n－1
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比 q＝________. 【解析】 ∵a2＝a1q＝2，① a5＝a1q4＝14，②
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2.3
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[解析] 开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a1＝1 1 － .设操作n次后溶液的浓度是an，则操作n＋1次后溶液的浓度 a 1 1 1 是an＋1＝an(1－ )．所以{an}构成以a1＝1－ 为首项，q＝1－ a a a 为公比的等比数列．所以an＝a1q
第二章
2.3
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∵S2＝2S1＋6＝2a1＋6＝16， ∴a1＋a2＝16，∴a2＝16－a1＝11. an＋1＋1 ∴a2＋1＝12＝2(a1＋1)．∴ ＝2(n∈N*)． an＋1 又a1＋1＝6， 即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.
第二章
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等比数列的实际应用 培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子， 并且从第一代起，由各代的每一粒种子都可以得到下一代的
120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒(保
留两个有效数字)? [解析] 由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍， 逐代的种子数组成等比数列，记为{an}，其中a1＝120，q＝ 120，因此，a5＝120×1204≈2.5×1010. 答：到第五代大约可以得到种子2.5×1010粒．
数
列
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1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
第二章
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课前自主预习
第二章
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第二章 2.3 第1课时
① ②
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等比中项
等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是 a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是( A．90 C．145 B．100 D．190 )
[解析] 设公差为d，由题意得a2 a5，∵a1＝1， 2＝a1· ∴(1＋d)2＝1＋4d，∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2， 10×9 ∴S10＝10×1＋ ×2＝100，故选B. 2 [答案] B
a1＝1 由(2)得 q＝2
a1＝4 或 1 ，以下同解法一． q＝ 2
第二章 2.3 第1课时
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三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64， 求这三个数．
a [解析] 设这三个数为 ，a，aq q a q＋a＋aq＝14 根据已知条件得 a· a· aq＝64 q 1 由②得a＝4，代入①得q＝2或q＝ ， 2 ∴这三个数为2,4,8或8,4,2.
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等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项， a1＋a3＋a9 则 ＝________. a2＋a4＋a10
13 [答案] 16
[解析] 由题意知，a3是a1和a9的等比中项，
2 ∴a2 ＝ a a ，∴ ( a ＋ 2 d ) ＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d， 3 1 9 1
5
∵a5、a7的等比中项为a6， ∴a5、a7的等比中项为3.
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[辨析]
错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略
了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．
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1 1.在等比数列{an}中，已知a1＝ ，a5＝9，则a3＝( 9 A．1 C．± 1
[答案] A
)
B．3 D．± 3
[解析] 设公比为q，则a5＝a1q4， ∴q4＝81，∴q2＝9. 1 ∴a3＝a1q ＝ ×9＝1. 9
[解析] 设公比为q，则a4＝a1q3， a4 8 ∴q ＝ ＝ ＝8，∴q＝2. a1 1
3
∴a6＝a1q5＝25＝32.
第二章
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6．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，求公比q的值．
[解析] 由anan＋1＝16n，得a1a2＝16，a2a3＝162， a2a3 2 ∴ ＝q ＝16， a1a2 ∴q＝± 4.又∵a1a2＝a2 1q＝16>0， ∴q>0，∴q＝4.
a1＋a3＋a9 13d 13 ∴ ＝ ＝ . a2＋a4＋a10 16d 16
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等比数列的判定
已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1(n∈N*)．求 证：数列{an}是等比数列．
[解析] ∵Sn＝2an＋1(n∈N*)， ∴Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)， 两式相减，得an＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1， an 即 ＝2(n≥2)．故数列{an}是等比数列． an－1
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫 “出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝， 枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各
有几何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列？
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1．等比数列的定义 如果一个数列从________ 第2项 起，每一项与它的前一项的比都 同一个常数 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫 等于___________ q 表示． 做等比数列的______ 公比 ，公比通常用字母____
第二章
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n －1
1 n ＝(1－ ) ，即第n次操作后 a
1 n 1 n 1 溶液的浓度是(1－ ) .当a＝2时，由an＝( ) < ，得n≥4.因 a 2 10 此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.
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即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)， 解得a1＝－8. ∴a2＝a1＋d＝－8＋2＝－6.
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4．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(一个分裂 为两个)，经过4小时，这种细菌由1个可繁殖成__________个？ [答案] 256 [解析] 设逐次分裂后的个数为an，则{an}构成以a1＝2为
2．等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为 q(q≠0)， 填表：
递推公式 an q n≥2) ＝____( an－1
通项公式
a1qn－1 an＝________
3.等比中项 (1)如果三个数x，G，y组成________ 等比数列，则G叫做x和y的等比 中项．
2＝xy G＝± xy ． (2)如果G是x和y的等比中项，那么G ______ ，即_________
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3．(2013～2014学年度吉林省白城市高二期末测试)已知等
差数列{an}的公差为2，若a3是a1与a4的等比中项，则a2＝( A．－4 C．－8 [答案] B B．－6 D．－10 )
[解析] 由题意，得a＝a1·a4，
第二章
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容积为a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1 L，然后加满水， 混合溶液后再倒出1 L，又用水加满，如此继续下去，问第n次 操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，至少应倒出几次后才可以
使酒精浓度低于10%.
第二章
第二章 2.3 第1课时
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已知数列{an}的首项 a1＝5，前n项和为Sn, 且Sn＋1＝2Sn＋n
＋5(n∈N*)．求证：数列{an＋1}是等比数列．
[解析] ∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)， ∴Sn＝2Sn－1＋n＋4(n≥2)， 两式相减，得an＋1＝2an＋1， an＋1＋1 ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴ ＝2(n≥2)． an＋1
， ① ②
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
第二章 2.3 第1课时
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1 ∴由②除以①，得q(1－q)＝ . 4 1 ∴q＝ ， 2 42 ∴a1＝ ＝96. 1 14 － 2 2 15 ∴a6＝a1q ＝96×( ) ＝3. 2
∴a2＝2.
a1＋a3＝5 从而 a1a3＝4
，解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.
1 当 a1＝1时，q＝2；当 a1＝4时，q＝ ， 2 故an＝2n－1或an＝23－n.