课时作业4-1

11．(2013· 石家庄市高三模拟)如图，过圆O外一点P作该 圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆O于点A、B、C、D， 弦AD和BC交于Q点，割线PEF经过Q点交圆O于点E、F， 点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.求证： (1)PA· PB＝PM· PQ；(2)∠BMD＝∠BOD.
证明：(1)∵∠BAD＝∠BMF， 所以A，Q，M，B四点共圆， 所以PA· PB＝PM· PQ. (2)∵PA· PB＝PC· PD， ∴PC· PD＝PM· PQ， 又∠CPQ＝∠MPD，所以△CPQ∽△MPD， ∴∠PCQ＝∠PMD，则∠DCB＝∠FMD， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD， ∠BOD＝2∠BAD， 所以∠BMD＝∠BOD.
解析：由切割线定理得PA2＝PB· PC，又 PA＝10，PB＝5得PC＝20，则BC＝15， ∠PAB＝∠PCA，∠P＝∠P，故 △PBA∽△PAC，得＝＝，AC＝2AB， △ABC中，AC2＋AB2＝BC2即5AB2＝ BC2＝225，AB2＝45，即AB＝3. 答案：3
三、解答题 9．(2013· 东北三校第二次联考)如图，AB 为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC 交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D. (1)求证：CE2＝CD· CB； (2)若AB＝BC＝2，求CE和CD的长．
1．(2013· 重庆模拟)如图，已知圆O的半径为3，AB与圆D相切于A， BO与圆O相交于C，BC＝2，则△ABC的面积为________．
课时作业 一、填空题
解析：连接OA，易知∠OAB＝90°，OA＝ 3，BO＝5，AB＝4，△ABC中BC边上的高 为，故S△ABC＝×2×＝. 答案：
2．(2013· 茂名市第一次模拟)如图，⊙O的直径 AB＝6 cm，P是AB延长线上的一点，过P点作 ⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°， PC＝________.
15．(2013· 吉林长春第一次调研)如图，已知 ⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径， 直线BD交⊙O于点C，点G为中点，连接AG分别 交⊙O、BD于点E、F，连接CE. (1)求证：AG· EF＝CE· GD；(2)求证：
证明：(1)已知AD为⊙M的直径，连接AB， 则∠BCE＝∠BAE，∠CEF＝∠ABC＝90°， 由点G为的中点可知∠GAD＝∠BAE＝ ∠FCE，故△CEF∽△AGD，所以有＝，即 AG· EF＝CE· GD. (2)由(1)知∠DFG＝∠CFE＝∠ADG，故 △AGD∽△DGF，所以＝＝，即＝.
解析：根据切割线定理PA2＝PD· PB＝9 ∴PA＝3，∵∠ABC＝∠CAP＝60°，PA＝PE＝ 3， ∴△PAE为等边三角形，∴AE＝3 DE＝2，BE＝PB－PE＝6 根据相交弦定理，AE· EC＝DE· BE ∴EC＝4 答案：4
5．(2013· 黄冈模拟)如图，△ABC内接于圆O，AB＝AC， 直线MN切圆O于点C，BE∥MN交于点E.若AB＝6，BC＝ 4，则AE的长为________．
解：(1)证明：连接BE. ∵BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°， ∠CBE＝∠A. ∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO. ∵∠AEO＝∠CED，∴∠CED＝∠CBE， ∵∠C＝＝1，BC＝2，∴OC＝， ∴CE＝OC－OE＝－1. 由(1)CE2＝CD· CB，得(－1)2＝2CD， ∴CD＝3－.
解析：由BE∥MN⇒∠EBC＝∠MCB；而 ∠MCB＝∠CAB，故可得∠CBE＝∠CAB， 故△BEC∽△ABC可得＝⇒EC＝，故AE＝6 －＝. 答案：
6．(2013· 北京西城区高三二模)如图，AB 是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与 半圆O相切于点C，AD⊥PD.若PC＝4，PB ＝2，则CD＝________.
10．(2013· 辽宁卷)如图，AB为⊙O的直径，直 线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直 CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明： (1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD· BC.
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而 ∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝ ∠CEB，BE是公共边， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝ AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝ AF· BF，所以 EF2＝AD· BC.
解析：∵AB＝6，∴OA＝OB＝OC＝3 Rt△OCP中，∠CPO＝30°， ∴OP＝6，∴BP＝3 根据切割线定理PC2＝PB· PA＝3×9＝27， ∴PC＝3. 答案：3
．(2013· 增城调研测试)已知圆O割线PAB 交圆O于A，B(PA<PB)两点，割线PCD经 过圆心O(PC<PD)，已知PA＝6，AB＝7， PO＝10，则圆O的半径是________．
如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°. 以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC 边的中点．连接OD交圆O于点M. (1)求证：O、B、D、E四点共圆； (2)求证：2DE2＝DM· AC＋DM· AB
四点共圆． (2)延长DO交圆O于点H.由(1)知DE为圆O 的切线， ∴DE2＝DM· DH＝DM· (DO＋OH)＝ DM· DO＋DM· OH， ∴DE2＝DM· ＋DM· ，∴2DE2＝DM· AC ＋DM· AB. [热点预测]
13．(2013· 河南开封第二次模拟) 如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E、H是边AB上的点， 点K、M分别是边AC和BC上的点，且AH＝AC，EB＝BC， AE＝AK，BH＝BM. (1)求证：E、H、M、K四点共圆； (2)若KE＝EH，CE＝3，求线段KM的长．
解：(1)证明：连接CH，∵AC＝AH，AK＝AE， ∴四边形CHEK为等腰梯形，注意到等腰梯形的对 角互补，故C，H，E，K四点共圆，同理C，E，H， M四点共圆，即E，H，M，K均在点C，E，H所确 定的圆上．∴E、H、M、K四点共圆． (2)连接EM，由(1)得E，H，M，C，K五点共圆， ∵四边形CEHM为等腰梯形，∴EM＝HC，故 ∠MKE＝∠CEH，由KE＝EH可得∠KME＝ ∠ECH， 故△MKE≌△CEH，即KM＝EC＝3为所求．
如图，设半径为r，PO＝PC＋r＝10， ∴PC＝10－r，PD＝10＋r 根据割线定理PA· PB＝PC· PD ∴6×＝(10－r)(10＋r)，∴r2＝20，∴r ＝2. 答案：2
4．(2013· 陕西宝鸡质检(一))如图，△ABC是⊙O的内接 三角形， PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PA＝ PE，∠ABC＝60°，PD＝1，PB＝9，则EC＝ ________.
解析：连接AC，OC，由圆的切割线定理可 得△BPC∽△OPA⇒＝⇒AP＝8，得圆的半径 r＝3，又因为PC切圆于点C，则＝⇒PD＝， 故CD＝PD－PC＝. 答案：
7．(2013· 武汉模拟)如图所示，圆O的半 径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足 ∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的 延长线交于点P，则PA＝________.
12．(2013· 辽宁六校高三联考) 如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中 点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点， 若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.
的中点， ∴DE∥BC，即DF∥BC， 又CF∥AB，∴CF綊BD，CF綊AD， ∴四边形ADCF为平行四边形， ∴CD＝AF. ∵CF∥AB，∴∠ACF＝∠CAB，∴AF＝ BC， ∴CD＝BC. (2)∵BC∥GF，∴BG＝CF， 又CF＝BD，∴BG＝BD，∴∠BGD＝ ∠BDG， ∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB， 又∠GDB＝∠DBC，∴∠BGD＝∠BDG＝ ∠DBC＝∠BDC，
解析：延长PC与圆交于点D，连接AC，AO， 由平面圆的性质，易得∠ADP＝30°， ∠AOP＝60°，故∠APD＝30°，得PC＝1， PD＝3，由切割线定理可求得PA＝. 答案：
8．(2013· 天津十二区县重点学校联考(一)) 如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线， AP与CB的延长线交于点P，A为切点．若 PA＝10，PB＝5，则AB的长为 ________．