2018版高中数学北师大版必修五学案：第三章 4.1 二元一次不等式(组)与平面区域(二)

4.1 二元一次不等式(组)与平面区域(二)
学习目标 1.巩固对二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域的理解.2.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件．
知识点一 二元一次不等式组所表示的平面区域
1．因为同侧同号，异侧异号，所以可以用特殊点检验，判断Ax ＋By ＋C >0的解集到底对应哪个区域？当C ≠0时，一般取原点(0,0)，当C ＝0时，常取点(0,1)或(1,0)． 2．二元一次不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的____集． 知识点二 约束条件
思考 一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元．那么x 和y 应满足哪些不等关系？
梳理 很多生产生活方案的设计要受到各种条件限制，这些限制就是所谓的约束条件． 像思考中的“用于企业投资的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元”称为决策变量．要表达约束条件，先要找到决策变量，然后用这些决策变量表示约束条件．同时还有像思考中的“x ≥0，y ≥0”在题目中并没有明确指出，但是在生产生活中默认的条件，也要加上．
类型一 含参数的约束条件 例1 已知约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y －4≤0，
kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．－2
反思与感悟 平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．
(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解． 跟踪训练1 已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，
3x －y －3≤0
表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域
D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________．
类型二 不等式组表示平面区域在生活 中的应用
命题角度1 决策变量为整数
例2 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A 、B 、C 反思与感悟 求解不等式组在生活中的应用问题．首先要认真分析题意，设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组．注意隐含的条件如钢板块数为自然数．
跟踪训练2 某人准备投资1200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：
限制条件．
命题角度2 决策变量是实数
例3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
跟踪训练3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.列出满足上述营养要求
所需午餐和晚餐单位个数的数学关系式．
1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，
x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，
那么实数a 的值为( ) A ．32＋2 B ．－32＋2 C ．－5
D ．1
2．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________________． 3．画出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤1，x ≥0，
y ≥0表示的平面区域，则这个平面区域的面积为
________．
1．平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性．对于A >0的直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，Ax ＋By ＋C >0对应直线l 右侧的平面；Ax ＋By ＋C <0对应直线l 左侧的平面． 2．由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等． 3．找约束条件的关键是先找到决策变量，然后准确地用决策变量表示约束条件，并注意实际含义对变量取值的影响．
答案精析
问题导学 知识点一 2．交 知识点二
思考 分析题意，我们可得到以下式子 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤25000000，12x ＋10y ≥3000000，x ≥0，y ≥0.
题型探究
例1 A [条件⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≥1，x ＋y －4≤0表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
要使约束条件表示直角三角形区域， 直线kx －y ＝0要么垂直于直线x ＝1， 要么垂直于直线x ＋y －4＝0， ∴k ＝0或k ＝1.
当k ＝0时，直线kx －y ＝0即y ＝0，交直线x ＝1，x ＋y －4＝0于B (1,0)，C (4,0)． 此时约束条件表示△ABC 及其内部， 其面积S △ABC ＝12·BC ·AB ＝12×3×3＝9
2≠1.
同理可验证当k ＝1时符合题意．] 跟踪训练1 1
3
解析 由题意可得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)．
则不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，
3x －y －3≤0表示的平面区域为△ABC 及其内部．
直线y ＝kx ＋1过点A .
要把△ABC 分成面积相等的两部分，需过BC 中点M (32，3
2)．此时k ＝32－132－0＝1
232＝13
.
例2 解 设需要截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．
则⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ≥15，
x ＋2y ≥18，
x ＋3y ≥27，
x ∈N ，y ∈N .
用图形表示以上限制条件，得到如图所示的平面区域(阴影部分)内的整
点(横坐标、纵坐标均为整数)．
跟踪训练2 解 设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1200，即x ＋2y ≤40.
另外，开设的班数应为自然数x ∈N ，y ∈N .
把上面的四个不等式合在一起，得到⎩⎪⎨⎪⎧
20≤x ＋y ≤30，
x ＋2y ≤40，
x ∈N ，
y ∈N .
用图形表示这个限制条件，得到如图中阴影部分(含边界)的平面区域(阴影部分)的整点．
例3 解 设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数， 则满足以下条件⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，
x ≥0，
y ≥0.
(*)
在直角坐标系中画出不等式组(*)所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．
跟踪训练3 解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，则依题意x ，y 满足
⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.
当堂训练
1．D 2.⎩⎪⎨⎪
⎧
50x ＋40y ≤2 000，x ∈N ＋，
y ∈N ＋
3.1
2。