江苏省新马高级中学2016-2017学年高二数学苏教版选修1-1：2.2 椭圆的几何性质(学案)
2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1学业分层测评2.2.1 椭圆的标准方程 含解析
学业分层测评（六) 椭圆的标准方程(建议用时:45分钟)［学业达标］一、填空题1。
圆错误!＋错误!＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为________.【解析】设椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令MF1＝4，由MF1＋MF2＝2a＝10，得MF2＝10－MF1＝10－4＝6.【答案】62.若a＝6，b＝错误!，则椭圆的标准方程是________。
【解析】椭圆的焦点在x轴上时,方程为错误!＋错误!＝1，在y轴上时,方程为y236＋错误!＝1。
【答案】错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝13.（2016·汉中高二检测)已知椭圆的两焦点为F1（－2，0）,F2（2，0),P为椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项。
该椭圆的方程是________。
【解析】∵PF1＋PF2＝2F1F2＝2×4＝8，∴2a＝8,∴a＝4,∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，∴椭圆方程是错误!＋错误!＝1。
【答案】错误!＋错误!＝14。
过（－3,2）点且与错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆方程为________。
【解析】与错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆可设为错误!＋错误!＝1且k＜4,将（－3，2)代入得:k＝－6.【答案】错误!＋错误!＝15。
把椭圆错误!＋错误!＝1的每个点的横坐标缩短到原来的错误!，纵坐标缩短到原来的错误!，则所得曲线方程为________.【导学号:24830028】【解析】原方程化为错误!2＋错误!2＝1,所得曲线为x2＋y2＝1。
【答案】x2＋y2＝16。
椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是________。
【解析】椭圆化为标准形式为错误!＋错误!＝1，∴a2＝错误!，b2＝错误!,∴c2＝a2－b2＝错误!－错误!＝错误!，且焦点在x轴上，故为错误!。
【答案】错误!7.方程错误!－错误!＝1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是________。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-1学业分层测评2.2.2 椭圆的几何性质 含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟）［学业达标]一、填空题1．若椭圆错误!＋错误!＝1(0＜a＜36）的焦距为4,则a＝________.【解析】∵0＜a＜36,∴36－a＝22，∴a＝32。
【答案】322．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是________．【解析】方程可化为错误!＋错误!＝1,易知a＝5，b＝3,c＝4，∴长轴长为10，短轴长为6,离心率为错误!.【答案】10,6,错误!3．已知椭圆错误!＋错误!＝1与椭圆错误!＋错误!＝1有相同的长轴，椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长与椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长相等，则a2＝________，b2＝________。
【解析】因为椭圆错误!＋错误!＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长为6,所以a2＝25，b2＝9。
【答案】25 94．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为错误!,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为________．【解析】由题意得2a＝12，错误!＝错误!，所以a＝6，c＝3错误!，b＝3。
故椭圆方程为错误!＋错误!＝1。
【答案】错误!＋错误!＝15．椭圆错误!＋错误!＝1的离心率为错误!,则实数m的值为________。
【导学号：09390028】【解析】当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，且m＞4，则e2＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，∴m＝错误!；当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m,且0＜m＜4，则e2＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，∴m＝3.【答案】3或错误!6．椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0）的左焦点F到过顶点A（－a，0),B（0,b)的直线的距离等于错误!,则椭圆的离心率为________．【解析】由题意知直线AB的方程为错误!＋错误!＝1，即bx－ay ＋ab＝0.左焦点为F（－c,0），则错误!＝错误!。
2017-2018学年高二数学(苏教版)选修1-1讲学案：第二章 2.2 椭圆
2．2椭__圆2．2.1 椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足PA ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得＋＝6，(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2化简得＋＝1.x 29y 25问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？提示：由两点间距离公式得＋＝6，x 2＋(y －2)2x 2＋(y ＋2)2化简得＋＝1.y 29x 25椭圆的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2＋＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2x 2b 2焦点坐标(±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－)，；2(－1，142)(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．35y 225x 29[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(，－)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．35[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 28y 24若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2由已知条件得Error!解得Error!即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 28y 24法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－)，2代入，(－1，142)得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 28y 24(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，y 225x 29所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.①又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，35(－5)2a 2(3)2b 2即＋＝1.②5a 23b 2由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过两点P ，Q.(13，13)(0，－12)解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆方程为＋＝1.x 225y 29(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B )由已知得，Error!解得：Error!故所求椭圆方程为＋＝1.y 214x 2152．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴Error!∴Error!故所求椭圆的标准方程为＋y 2＝1.x 24(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.y 2100x 236椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．(1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围．(2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程＋＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，x 2m y 2n 列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cosα＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为＋＝1(0≤α≤2π)．x 21sin αy 21－cos α(1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则>－>0，即Error!1sin α1cos α所以π<α<π.即α的取值范围是.34(3π4，2π)(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则－>>0，即Error!1cos α1sin α所以<α<.即α的取值范围是.π23π4(π2，3π4)[一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．x 2a 2y 2a ＋6解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以Error!即Error!解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)4．已知方程＋＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．x 2k －5y 23－k 解：方程＋＝－1可化为＋＝1，由椭圆的标准方程可得Error!x 2k －5y 23－k x 25－k y 2k －3得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P 在第x 24y 23二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝，3所以c ＝＝＝1，a 2－b 24－3F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF ＝PF ＋F 1F －2PF 1·F 1F 2cos 120°，2212即PF ＝PF ＋4＋2PF 1.①221由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4，即PF 2＝4－PF 1.②②代入①解得PF 1＝.65∴S △PF 1F 2＝PF 1·F 1F 2·sin 120°12＝××2×＝，126532335即△PF 1F 2的面积是.3 35[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2.∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2，即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上，∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的方程是＋＝1.x 24y 23答案：＋＝1x 24y 236．设F 1，F 2是椭圆＋＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则x 29y 24△F 1PF 2的面积等于________．解析：由＋＝1，得a ＝3，b ＝2，x 29y 24∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝.∴F 1F 2＝2 .55由Error!得Error!∴PF ＋PF ＝F 1F .2122∴△F 1PF 2为直角三角形．∴S △F 1PF 2＝PF 1·PF 2＝4.12答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆＋＝1的两个焦点．x 2100y 236(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？(2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长．解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)．由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)] 1．若椭圆＋＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为x 225y 29________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝，b 2＝，所以x 2125y 2116116125c 2＝a 2－b 2＝－＝，故c ＝.所以该椭圆的焦点坐标为.1161259400320(0，±320)答案：(0，±320)3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为＋＝1.x 21k 2－1y 213由椭圆焦点在y 轴上，得Error!解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若x 225y 29|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆＋＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2x 2254y 275的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F ＝PF ＋PF －2PF 1·PF 2cos 60°，2212即25＝PF ＋PF －PF 1·PF 2.①212由椭圆的定义，得10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝PF 1·PF 2sin 60°＝.1225 34答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，)．6解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5.∴b 2＝a 2－c 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 2169x 2144(2)法一：由9x 2＋5y 2＝45，得＋＝1，c 2＝9－5＝4，y 29x 25所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)．y 2a 2x 2b 2由点M (2，)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，6即2a ＝＋＝4，(2－0)2＋(6－2)2(2－0)2＋(6＋2)23所以a ＝2，3又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 212x 28法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，y 2λ＋4x 2λ将M (2，)代入，得＋＝1(λ＞0)，66λ＋44λ解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 212x 287．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．45解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得Error!∵P 在圆上，∴x 2＋(y )2＝25.54即轨迹C 的方程为＋＝1.x 225y 2168．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是＋＝1.x 216y 272．2.2 椭圆的几何性质建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．以方程＋＝1(a ＞b ＞0)为例，试着完成下列问题：x 2a 2y 2b 2问题1：方程中对x ，y 有限制的范围吗？提示：由＝1－≥0，得－a ≤x ≤a .y 2b 2x 2a 2同理－b ≤y ≤b .问题2：在方程中，用－x 代x ，－y 代y ，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x ＝0，得y ＝±b ；令y ＝0，得x ＝±a ；与x 轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y 轴的交点为(0，b )，(0，－b )．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2＋＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2x 2b 2范围－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b顶点(±a,0)，(0，±b )(0，±a )，(±b,0)轴长短轴长＝2b ，长轴长＝2a 焦点(±c,0)(0，±c )焦距F 1F 2＝2c对称性对称轴x 轴，y 轴，对称中心(0,0)离心率e ＝∈(0,1)c a1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x 轴成轴对称，关于y 轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e <1，e 越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e →0，c →0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e ＝0时的特例．(3)当e →1，c →a ，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F 1F 2，此时也可认为F 1F 2为椭圆在e ＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1] 求椭圆81x 2＋y 2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路点拨] 本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a ，b ，c ，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析] 椭圆的方程可化为x 2＋＝1，∴a ＝9，b ＝1，y 281∴c ＝＝＝4 ，81－1805∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y 轴上，故其焦点坐标为F 1(0，－4 )，F 2(0,4 )，55顶点坐标为A 1(0，－9)，A 2(0,9)，B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝＝.c a 4 59[一点通] 求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a ，b 的值，进而求出c ，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆＋＝1的离心率为，则m 的值为________．x 2m y 2413解析：当m >4时，由c 2＝a 2－b 2＝m －4，得＝.解得m ＝.m －4m 1392当m <4时，由c 2＝a 2－b 2＝4－m ，得＝，解得m ＝.4－m 213329答案：或923292．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆方程变形为＋＝1，x 29y 24∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝＝＝.a 2－b 29－45∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝2，5焦点坐标为F 1(－，0)，F 2(，0)，55顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝＝.c a 53由椭圆的几何性质求标准方程[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长为20，离心率等于；45(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a 、b 、c ，得到椭圆的标准方程．[精解详析] (1)∵2a ＝20，e ＝＝，c a 45∴a ＝10，c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝36.由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 2100y 236y 2100x 236(2)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2y 2a 2x 2b 2由已知a ＝2b ，①且椭圆过点(2，－6)，从而有＋＝1或＋＝1.②22a 2(－6)2b 2(－6)2a 222b 2由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 2148y 237y 252x 213[一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上一点到G 的两32个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，＝，所以a ＝6，c ＝3，b ＝3.ca 323故椭圆方程为＋＝1.x 236y 29答案：＋＝1x 236y 294．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.513解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝＋＝8，32＋(2＋2)232＋(2－2)2所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.y 216x 212(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又e ＝＝，所以c ＝5，ca 513所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 2169y 2144y 2169x 2144与椭圆离心率有关的问题[例3] 已知椭圆M ：＋＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的任x 2a 2y 2b 2一点，且PF 1·PF 2的最大值的取值范围为，其中c 2＝a 2－b 2，求椭圆的离心率的取[12c 2，3c 2]值范围．[思路点拨] 由P 是椭圆上一点，知PF 1＋PF 2＝2a ，进而设法求出PF 1·PF 2的最大值，再由已知的范围求出离心率e 的范围．[精解详析] ∵P 是椭圆上一点，∴PF 1＋PF 2＝2a ，∴2a ＝PF 1＋PF 2≥2 ，PF 1·PF 2即PF 1·PF 2≤a 2，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号．∴c 2≤a 2≤3c 2，∴≤≤2，1213c 2a 2∴≤e 2≤2，∴≤e ≤.13332∵0<e <1，∴≤e <1，33∴椭圆的离心率的取值范围是.[33，1)[一点通] (1)椭圆的离心率的求法：①直接求a ，c 后求e ，或利用e ＝，求出后求e .1－b 2a 2ba ②将条件转化为关于a ，b ，c 的关系式，利用b 2＝a 2－c 2消去b .等式两边同除以a 2或a 4构造关于(e )的方程求e .ca (2)求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则由已知得2a ＋2c ＝4b .即a ＋c ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝b ，c ＝b ，e ＝.543435答案：356．椭圆M ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且x 2a 2y 2b 2·的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝，则椭圆M 的离心率e 的取值范1PF 2PFa 2－b 2围是________．解析：设P (x ，y )、F 1(－c,0)、F 2(c,0)，则＝(－c －x ，－y )，＝(c －x ，－y )，1PF 2PF·＝x 2＋y 2－c 2，1PF 2PF又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max＝a 2，(·)max ＝b 2，1PF 2PF所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即≤e 2≤，1412所以≤e ≤.1222答案：[12，22]与椭圆相关的应用问题[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是R 、R ，求此宇宙飞船运行的轨道方程．11513[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x 轴建立坐标系，且令地心F 2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，不妨设为＋＝1(a >b >0)，则地心F 2x 2a 2y 2b 2的坐标为(c,0)，其中a 2＝b 2＋c 2，则Error!解得Error!∴b 2＝a 2－c 2＝2－2＝R 2.(65R)(215R)6445∴此宇宙飞船运行的轨道方程为＋＝1.x 23625R 2y 26445R 2[一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a ，b ，c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：①椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；②最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750.又a ＋2c ＝1 700＋1 800，∴c ＝375.∴e ＝＝＝.ca 3752 750322答案：3228．已知某荒漠上F 1、F 2两点相距2 km ，现准备在荒漠上开垦出一片以F 1、F 2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F 1F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P (x ，y )，Q (x ′，y ′)，则由已知得PF 1＋PF 2＝4.由椭圆定义知点P 在以F 1、F 2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a ＝2，c ＝1，则b ＝.3∴P 点的轨迹方程为＋＝1(y ≠0)，x 24y 23同理Q 点轨迹方程同上．(2)S ▱PF 1QF 2＝F 1F 2·|y P |≤2c ·b ＝2(km 2)，3所以当P 为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 km 2.31．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)] 1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P x 2a 2y 2b 2是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝m ，故离心率3e ＝＝＝＝＝.c a 2c2a |F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|3m2m ＋m 33法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±，所以b 2a |PF 2|＝.又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝|PF 2|，故2c ＝·，变形可得(a 2－c 2)＝2ac ，等b 2a 33b 2a 3式两边同除以a 2，得(1－e 2)＝2e ，解得e ＝或e ＝－(舍去)．3333答案：332．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于，则C 的12方程是__________________．解析：依题意，设椭圆方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，所以Error!解得a 2＝4，b 2＝3.x 2a 2y 2b 2答案：＋＝1x 24y 233．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短x 225y 29x 225－k y 29－k 轴长”或“离心率”或“焦距”)解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4.故两条曲线有相同的焦距．答案：焦距4．已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交x 2a 2y 2b 263椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－，y ＝b 2－.b 2x 2a 221b 2x 21a 2所以k 1·k 2＝·＝＝－＝－1y －y 1x －x 1y ＋y 1x ＋x 1y 2－y 21x 2－x 21b 2a 2c 2a 2＝e 2－1＝－，13即k 1·k 2的值为－.13答案：－135．设F 1，F 2是椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝上一点，△x 2a 2y 2b 23a2F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．解析：设直线x ＝与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.3a 2由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝－c .3a 2在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝PF 2，即－c ＝c .123a 2∴e ＝＝.c a 34答案：346．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝，经过点A (，－2)，求椭圆的标准方程．35 5 32解：设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)，则＋＝1.①x 2a 2y 2b 2754a 24b 2由已知e ＝，∴＝，∴c ＝a .35c a 3535∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(a )2，即b 2＝a 2.②351625把②代入①，得＋＝1，754a 24×2516a 2解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为＋＝1.x 225y 2167．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、32焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为＋＝1，x 2m y 2mm ＋3由m >0，易知m >，mm ＋3∴a 2＝m ，b 2＝.mm ＋3∴c ＝＝.a 2－b 2m (m ＋2)m ＋3由e ＝，得 ＝，解得m ＝1，32m ＋2m ＋332∴椭圆的标准方程为x 2＋＝1.y 214∴a ＝1，b ＝，c ＝.1232∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1，F 2，(－32，0)(32，0)顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1，B 2.(0，－12)(0，12)8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于－，试求椭圆的离心率及其方程．105解：令x ＝－c ，代入＋＝1(a ＞b ＞0)，x 2a 2y 2b 2得y 2＝b 2(1－)＝，∴y ＝±.c 2a 2b 4a 2b 2a 设P (－c ，)，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．b 2a ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－＝－，b 2ac ba ∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝c ，∴e ＝＝.2c a 22又∵a －c ＝－，解得a ＝，c ＝，∴b ＝，1051055∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 210y 25。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.2.1 椭圆的标准方程》
椭圆的标准方程江苏省靖江市第一高级中学袁静一、教学目标知识目标：①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，②能根据条件求椭圆的标准方程，③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程根本方法，体会数形结合的数学思想。
能力目标：①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力，②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力，③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
情感目标①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶，②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
二、教学重点难点①重点：感受建立曲线方程的根本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法，②难点：椭圆的标准方程的推导。
三、教法设计在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。
以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。
探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。
让学生根据教学目标的要求和题目中的条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。
四、学情分析①学生已初步熟悉求曲线方程的根本步骤，②学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解，③学生已经初步掌握研究直线和圆的根本方法。
五、教学程序六、板书设计我选择这样的板书设计，其目的是让学生清楚的认识到本节课的重要内容。
七、评价设计在创设情境、推导椭圆的标准方程的过程中，培养学生的实验、归纳能力，在辨析几种建系方法所得到方程的繁简，比拟两个标准方程的特点过程中培养学生的分析、判别能力，在运用标准方程中，培养学生解决实际问题的能力；另外，通过学法指导，引导学生思维向更深更广开展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习双曲线和抛物线作好辅垫。
江苏省新马高级中学2016-2017学年高二数学苏教版选修1-1：2.3 双曲线的几何性质(学案)
双曲线的几何性质主备人：李勇军 做题人：吕在朋 审核人：李勇军一、学习目标：1．掌握双曲线的简单的几何性质。
2．能运用双曲线的几何性质求双曲线方程及处理一些简单的实际问题。
二、活动过程活动一：(目标：掌握双曲线的几何性质)建立了双曲线的标准方程后，我们就可以通过方程研究双曲线的几何性质．以方程2222by a x ＝1(a ＞0，b ＞0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x ，y 有限制的范围吗？,问题2：在方程中，用－x 代x ，－y 代y ，方程的形式是否发生了变化？ 问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？双曲线的几何性质活动二：(目标：已知双曲线方程研究双曲线的几何性质)例1.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．训练1：求双曲线16x 2－9y 2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．活动三：(目标：根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程)例2.求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．活动四：(目标：与双曲线离心率有关的问题)例3.(1)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．活动五：课堂检测1．双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54.则m ＝________.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．3．焦点为(0,6)，且与双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．5．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)求△F 1MF 2的面积．。
江苏省新马高级中学2016-2017学年高二数学苏教版选修1-1：2.2 椭圆的标准方程说明性学案
2.小组讨论后归纳出待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤。
3.整理记录。
1.学生投影展示例2及题组训练，学生大声讲解方法思路，其他学生纠错。（8分钟）
2.小组讨论后归纳出待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤。（3分钟）
3.整理记录（2分钟）
1.通过设问的方式进行点拨：1.三角形的面积如何计算？2.本题是有关椭圆焦点三角形问题，解答的关键是 ,那么 的大小如何确定？通过几个问题的设计学生能够设计余弦定理，结合椭圆的定义即可得结果。通过题组训练让学生彻底弄清焦点三角形的边角关系。
2.还可设问：三角形的面积怎么计算？ ，底是 ,那高呢？把目标转化为求 的纵坐标.即求 的坐标？怎么求坐标呢？联立 与椭圆的方程组即可。
高二年级数学学科教案
课题：椭圆的标准方程主备人：吕在朋时
规范性
规律性
策略点拨
学习活动方式及
要求
活动时间
反馈及评价方式
备注
1
用待定系数法求椭圆的标准方程
规范性：椭圆的标准方程：
或
或
规律性：求椭圆标准方程的一般步骤：
1：定位置；2：设方程；3,：找关系；
4：得方程。
投影学生学案上的例2及题组训练后，让学生自主总结用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤，并通过题组训练中学生使用两种不同方法优劣的对比得出：要先判断交点所在的位置，然后选择最合适的椭圆方程。
1.在教师的引导下积极思考。
2.展示学生完成的例3学案。
3.独立完成变式训练并展示。
4.整理记录。
1.在教师的引导下积极思考。（4分钟）
2.展示学生完成的例3学案。（4分钟）
2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2
得 e＝ 3－1.
【答案】
3－1
[探究共研型]
直线与椭圆的综合应用
x 2 y2 探究 1 已知直线 y＝kx＋m 和椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)， 如何判断直线与椭圆的 位置关系？
【提示】 kx＋m y＝ 由 x2 y 2 得(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0，设该二次 ＋ ＝1 a2 b2
【答案】 (1) 2－1
5 (2) 3
求椭圆离心率及范围的两种方法 c (1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e＝a求解.若已知 a，b 或 b，c 可借助于 c a ＝b ＋c 求出 c 或 a，再代入公式 e＝a求解.
2 2 2
(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助 于 a2＝b2＋c2，转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同 除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围.
由椭圆的几何性质求方程
(1)(2016· 徐州高二检测)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴 3 上，离心率为 2 ，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方 程为________. (2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的 距离为 3，则椭圆的标准方程为________.
பைடு நூலகம்
方程的判别式为 Δ，若 Δ＞0，则直线与椭圆有两个交点；若 Δ＝0，则直线与椭圆 有一个交点；若 Δ＜0，则直线与椭圆没有交点.
探究 2 如果直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐标与探究 1 中得到的关于 x 的二次方程有什么关系？ 【提示】 探究 1 中得到的关于 x 的二次方程(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2) ＝0 的两个根分别是直线与椭圆交点的横坐标.
江苏省新马高级中学20162017学年高二数学上学期第一次月考试题
E D C BA 江苏省新马高级中学2016-2017学年高二数学上学期第一次月考试题考试时间：120 分钟 满分：160分 使用时间2016.10.15一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．)1.对于任意实数a ，直线(2)3y a x =++都过定点 ▲ .2.过点)3,2(，且斜率为2的直线l 的一般式方程为 ▲ .3.执行如右图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ .4.已知2()(22)x f x a a =--是增函数，则实数a 取值范围_▲ .5.已知数据n x x x ,,,21 的方差为4，则数据53,,53,5321+-+-+-n x x x 的标准差为 ▲ .6.已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则它们之间的距离是___ ▲ .7.袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 ▲ .8. 在△ABC 中，23A π∠= ，a =3c ，则b c = ▲ . 9.点)1,2(-P 关于直线03=-+y x 对称点的坐标是 ▲ .10.在圆C ：222(2)8x y 内，过点(1,0)P 的最长的弦为AB ，最短的弦为DE ，则四边形ADBE 的面积为 ▲ .11.如右图，在正方形ABCD 中, 4,AD =E 为DC 上一点，且3DE EC =，则AB AE ⋅= ▲ .12. 已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y m -+=的距离为1，则实数m 的取值范围是 ▲ .13. 设动点坐标),(y x 满足3,0)4)(1(≥≥-++-x y x y x ，则122-+y x 的最小值 为 ▲ .14.对任意的),,0(+∞∈x 不等式0)102)(ln(2≤++-+-ax x ax a x 恒成立， 则实数a 取值范围为 ▲ .二、解答题（共90分）15．（本小题14分）已知函数2()(13tan )cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的定义域和最小正周期； （2）当π(0,)2x ∈时，求函数()f x 的值域.16.（本小题满分14分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数. (1)求实数m 的值;(2)若函数)(x f 在区间[]2,1--a 上单调递增,求实数a 的取值范围.17．（本小题满分14分） 已知直线1:23l y x ，2:2l y x =+相交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求以点C 为圆心，且与直线3440x y ++=相切的圆的方程；（3）若直线0x y t 与（2）中的圆C 交于A 、B 两点，若||2AB =求ABC ∆面积及实数t 的值．18．（本小题满分16分）已知美国苹果手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内生产该款手机万部并全部销售完,每万部的销售收入为)(x R 万美元,且⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=40,400007400400,6400)(2x x xx x x R .(1)写出年利润(万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.19. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．x yA l O20．(本小题满分16分)若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”．（1）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n－1．①求{a n}的通项公式；②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z()∈N．n*求证：{a n}为“等比源数列”．高二年级10月份月考数学试卷参考答案 2016.10.16 一、填空题 1.(2,3)- 2.210x y --= 3.4 4.(,1)(3,)-∞-+∞ 5.6 6.2 7.128.1 9.(2,5) 10.46 11.12 12. (13,13)- 13.9 14. {10}二、解答题15.解：（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为{|x x ∈R ，且ππ,}2x k k ≠+∈Z . ……………… 2分 又因为2()(13tan )cos f x x x =+2sin (13)cos cos x x x =+……………… 3分 2cos 3sin cos x x x =+1cos 23sin 22x x +=+……………… 7分 π1sin(2)62x =++， ……………… 9分 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（验证知其定义域与之相符）………… 10分 （Ⅱ）解：由π(0,)2x ∈，得ππ7π2666x <+<， …………… 11分 所以1πsin(2)126x -<+≤， 所以当π(0,)2x ∈时，3()(0,]2f x ∈， 即函数()f x 在区间π(0,)2的值域为3(0,]2. ……………… 14分 16.解：(1)设0x <,则, 所以, 又为奇函数,所以, 于是时,, 所以. ………………………… 7分 (2)要使在上单调递增,则121a -<-≤所以,故实数的取值范围是. ………………………………………………………… 14分17.解：（1）由232y x y x =+⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴C （﹣1，1）；------------------------------------4分（2）圆心C （﹣1，1），半径|3(1)414|15r ⨯-+⨯+==， 所以圆C 的方程为22(1)(1)1x y ++-=． -------------------------------------------------------9分（3）||2AB =， ∴△ABC 为直角三角形，12ABC S ∴= -------------------11分此时，直角△ABC 的斜边AB 上的高为又圆心C 到直线0x y t ++=的距离为2222==， 解得11t t ==-或．-------------------------------------------------------------------------------------15分综上12ABC S =，11t t ==-或----------------------------------------------------------------------16分18. (1)当时,,当时,,所以.---------------------------------------------------------------7分 (2)①当时,, 所以,-----------------------------------------------9分 ②当时,, 由于,-----------------------------------13分 当且仅当,即时取等号, 所以取最大值为5 760, --------------------------------------------15分 综合①②知,当时,取得最大值6 104万美元. --------------------------------16分19. 解：（1）联立：⎩⎨⎧-=-=421x y x y ，得圆心为：C (3，2)．--------------3分 设切线方程为：3+=kx y ， d ＝11|233|2==+-+r k k ，得：430-==k or k ．--------------------------------------------6分 故所求切线为：3430+-==x y or y ．-------------------------7分 （2）设点M (x ，y )，由MO MA 2=，知：22222)3(y x y x +=-+，化简得：4)1(22=++y x ，--------------------------------------10分即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ．又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切．-------------13分 故：1≤|CD |≤3，其中22)32(-+=a a CD ．解之得：0≤a ≤125．-------------------------------------------16分20. 【解】（1）①由a n +1＝2a n －1，得a n +1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1，所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．……………………2分 所以a n －1=2n-1．所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n-1+1．……………………………………4分②数列{a n }不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m ＜n ＜k )按一定次序排列 构成等比数列．因为a n ＝2n -1+1，所以a m ＜a n ＜a k ． ………………………………………………7分所以a n 2＝a m ·a k ，得 (2n -1+1)2＝(2m -1+1)(2k -1+1)，即22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m ＝1． 又m ＜n ＜k ，m ，n ，k ∈N *，所以2n －m －1≥1，n －m +1≥1，k －1≥1，k －m ≥1．所以22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m 为偶数，与22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m＝1矛盾． 所以，数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列． 综上可得，数列{a n }不是“等比源数列”． ……………………………10分（2）不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0．当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，数列{a n }为“等比源数列”． 当d ＞0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m ＞0．为了使得{a n }为“等比源数列”，只需要{a n }中存在第n 项，第k 项(m ＜n ＜k )，使得a n 2＝a m a k 成立，即[a m +(n －m )d ]2＝a m [a m +(k －m )d ]，即(n－m)［2a m+(n－m)d］＝a m(k－m)成立．…13分当n＝a m+m，k＝2a m+a m d+m时，上式成立．所以{a n}中存在a m，a n，a k成等比数列．故数列{a n}为“等比源数列”．……………………………………16分。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.2.2 椭圆的几何性质》
椭圆中的焦点三角形一、建构数学1定义：椭圆上任意一点异于长轴端点与椭圆的两个焦点所组成的三角形叫椭圆的焦点三角形2焦点三角形构成要素之间的关系以椭圆方程为为例，两焦点分别为椭圆上任意一点为P，设焦点三角形①焦点三角形的构成：三边：两条焦半径，焦距，三角：设②构成要素的关系：其中一边为焦距，另两边的和二、性质探究性质1：焦点三角形的周长为性质2：椭圆的离心率与边的关系椭圆的离心率与角的关系证明：由正弦定理得，由等比定理得：而，∴例1．设椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上任一点，求证：的面积证明：性质3：焦点三角形的面积为稳固练习：假设P为椭圆上的一点，为椭圆的左右焦点，假设，求点P到轴的距离解：设点P到轴的距离为h，，又，所以例2椭圆的左、右焦点,在椭圆上找一点P,使最大,并求出这个最大角的余弦值证明：在中，由余弦定理得：当且仅当,即点P位于短轴端点处等号成立所以当P在短轴端点处时最大，此刻或师：结合性质3中的面积公式，你还能得出什么结论吗？生：当最大时，由面积公式可知，焦点三角形的面积也到达最大所以焦点三角形的面积最大时，P在短轴的端点处师：很好！我们也可以用另外一个面积公式：×底×高这里底是，高是点P的纵坐标的绝对值，当P点在椭圆上运动时，纵坐标的绝对值在短轴的端点处取得最大值，所以在短轴端点处焦点三角形取得面积的最大值性质4：焦点三角形中，或性质5：焦点三角形中，假设最大，那么点P为椭圆短轴的端点，此时焦点三角形的面积最大稳固练习：假设是椭圆的两焦点, 椭圆上存在一点，使得,求椭圆离心率的范围解：，即，所以三、提炼升华例3椭圆的焦点为,P为其上的动点,当为钝角时,求点P的横坐标的取值范围解法1〔余弦定理〕：，由余弦定理得：，为钝角，解得：解法2〔余弦定理〕：因为钝角,那么在中有＊易知,那么设点P的横坐标为,那么由焦半径公式,得又,将上面三个式子代入＊式,解得解法3〔向量〕：由题意，设，那么因为为钝角，所以，即那么有，又点P在椭圆上，那么，两式联立消去得到变式训练1：假设为直角呢？为锐角呢？师：这题的解法还是很多的如果我们把问题变成为直角或者锐角呢？也可以类似上述解法进行处理这类问题我们还可以从几何角度来看，如果是直角的话，点P就在以原点为圆心，为直径的圆上，在椭圆上，联立得①是直角，那么点P在圆和椭圆的四个交点位置，所以点P的横坐标②为锐角，那么点P就在圆外，那么点P在圆外的椭圆局部，所以点P的横坐标范围为或③为钝角，那么点P就在圆内，那么点P在圆内的椭圆局部，所以点P的横坐标范围为变式训练2：是椭圆的焦点，点P在椭圆上，满足的点P的个数有多少？解：由上面的研究知点P有4个变式训练3:是椭圆方程为的焦点，点P在椭圆上，满足的点P的个数有多少？解：点P在以原点为圆心，为直径的圆上，在椭圆上，联立得，那么点P在短轴的端点，有2个总结：是椭圆方程为的焦点，点P在椭圆上，探究满足的点P的个数？研究方法1：由上面的研究可知，点P满足，那么P在以原点为圆心，为直径的圆上，的个数是由圆方程与椭圆方程的交点个数决定的而，圆与椭圆的交点个数就取决与的大小关系①时，点P个数为0个②时，点P个数为2个③时，点P个数为4个研究方法2：由性质4、5知，焦点三角形中，当点P在短轴端点时，最大，此时可以计算的值，从而找到的最大值，假设最大值大于90度，那么由对称性知，有4个点；假设最大值等于90度，那么有2个点；假设最大值小于90度，那么有0个点①时，点P个数为0个②时，点P个数为2个③时，点P个数为4个两种研究方法的结论是一致的，只是研究的角度不同而已四、回忆总结。
2016-2017学年高二数学苏教版选修1-1学业分层测评：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 Word版含解析
学业分层测评(九) 双曲线的几何性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是 ________.【解析】 令x 2－y23＝0，则y ＝±3x .【答案】 y ＝±3x2.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于________. 【解析】 双曲线方程化为标准形式：y 2－x 2－1m＝1，则有：a 2＝1，b 2＝－1m ，由题设条件知，2＝－1m ，∴m ＝－14.【答案】 －143.对于方程x 24－y 2＝1和x 24－y 2＝λ(λ＞0且λ≠1)所表示的双曲线有如下结论：(1)有相同的顶点； (2)有相同的焦点； (3)有相同的离心率； (4)有相同的渐近线.其中正确的是________.【解析】 对于方程x 24－y 2＝1，a ＝2，b ＝1，c ＝5；对于方程x 24－y 2＝λ，a ′＝2λ，b ′＝λ，c ′＝5λ，显然a ′、b ′、c ′分别是a 、b 、c 的λ倍，因此有相同的离心率和渐近线.【答案】 (3)(4)4.已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为________.【解析】 ∵e ＝ca ＝2，c ＝4，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝12，且焦点在x 轴上， 故标准方程为x 24－y 212＝1.【答案】 x 24－y 212＝15.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________.【解析】 由e ＝52，得c a ＝52，∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，∴所求渐近线方程为y ＝±12x .【答案】 y ＝±12x6.与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为________.【解析】 椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2，∴4a ＝2，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为y 24－x212＝1. 【答案】 y 24－x 212＝17.已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________.【导学号：24830042】【解析】 由已知得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1.∴渐近线方程为x 29－y 216＝0，即x 3±y 4＝0. 【答案】 4x ±3y ＝08.(2016·徐州高二检测)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是________.【解析】 如图，设MF 1的中点为P ，由题意知MF 1⊥PF 2.在Rt △PF 1F 2中，PF 2＝F 1F 2·sin 60°＝2c ·32＝3c .PF 1＝F 1F 2·cos 60°＝2c ·12＝c ，∵PF 2－PF 1＝2a ，∴a ＝3－12c . ∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 【答案】3＋1二、解答题9.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解】 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程：y ＝±ba x ＝±23x .10.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3).【解】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).由题知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8， ∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)方法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜y P ＝3.∴双曲线的焦点在y 轴上.从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1， 由于点P (4,3)在此双曲线上，∴9a 2－164a 2＝1，解得a 2＝5.∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.方法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，即x2－y ＝0， ∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0.设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)， ∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5. ∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.能力提升]1.双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________.【解析】 由双曲线x 24－y 212＝1，知a ＝2，b ＝23，c ＝4，∴焦点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，渐近线方程y ＝±3x .由双曲线对称性知，任一焦点到任一渐近线的距离都相等.∴d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.【答案】 2 32.(2016·临沂高二检测)已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________.【解析】 如图所示.由于∠F 1AB ＝∠F 1BA ，△ABF 1为锐角三角形，故∠AF 1B为锐角.故只需要∠AF 1F 2<45°即可，即|AF 2||F 1F 2|<1，∴b2a 2c＝c 2－a 22ac <1即c 2－a 2<2ac .即e 2－2e －1<0，解得1－2<e <1＋2，又因为e >1，故1<e <1＋ 2. 【答案】 (1,1＋2)3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 ________.【解析】 因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以0＝2c ＋10，即c ＝－5又因为渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，故有ba ＝2，结合c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.【答案】 x 25－y 220＝14.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围.【解】 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝ba －b a 2＋b2，点(－1,0)到直线l 的距离d2＝ba＋ba2＋b2.∴s＝d1＋d2＝2aba2＋b2＝2abc.由s≥45c，得2abc≥45c，即5a c2－a2≥2c2.∵e＝ca，∴5e2－1≥2e2，∴25(e2－1)≥4e4，即4e4－25e2＋25≤0，∴54≤e2≤5(e>1).∴52≤e≤5，即e的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.。
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椭圆的几何性质
主备人：吕在朋做题人：朱志勇审核人：李勇军一、学习目标：
1．掌握椭圆的简单的几何性质。
2．能运用椭圆的几何性质求椭圆方程及处理一些简单的实际问题。
二、活动过程
活动一：(目标：掌握椭圆的几何性质)
建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．
以方程x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：
问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？
问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？
问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？
椭圆的简单几何性质
例1.求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．
变式：1．若椭圆14
2
2=+y m x 的离心率为13，则m 的值为________． 2.求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
活动三：(目标：由椭圆的几何性质求标准方程)
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为20，离心率等于45
； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．
变式训练：已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到
G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．
活动四：(目标：与椭圆离心率有关的问题)
例3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
变式训练：设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．
活动五：课堂检测
1.椭圆22
194
x y +=的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是
__________________．
3.曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 2
9－k
＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)
4.设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1
是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．
5.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的任一点，且
PF 1·PF 2的最大值的取值范围为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡223,21
c c ，其中c 2＝a 2－b 2，求椭圆的离心率的取值范围．。