独立事件积的概率
从条件概率入手 理解事件独立性——“互相独立事件积的概率”教学案例
从条件概率入手理解事件独立性——“互相独立事件积的概率”教学案例胡小群【期刊名称】《上海中学数学》【年(卷),期】2014(000)012【总页数】3页(P30-32)【作者】胡小群【作者单位】200433 复旦大学附属中学【正文语种】中文在学习了古典概型后，许多学生虽然尚未学习互相独立事件积的概率，却往往会从生活经验出发，利用事件概率的积来计算一些“看似没有关联”的事件积的概率.比如，用计算连续掷一颗骰子两次都得到6的概率.即使在学习了互相独立事件的概念后，由于上海现行高中教材缺少条件概率的内容，学生也往往无法真正理解事件独立性的内涵，而将互相独立事件积的概率运算公式错误地推广到许多其他问题. 从教以来，这个教学难点的处理一直困惑着笔者.经过仔细的思考和研究，笔者认为，离开条件概率不可能深入理解事件的互相独立性.为此，笔者从条件概率入手，对互相独立事件积的概率做教学设计的再尝试，以巧妙的问题链启发学生层层深入，诱导学生自己揭示并深刻理解事件积的概率及互相独立事件的本质属性.教学片断1例1 设X={1,2,…,n}，记事件A,B为分别为从X中随机抽取一个数是2,3的倍数. 若n=300，求P(A), P(B), P(AB).生师(问题1)：P(AB)有其他做法吗？生2：有更快的方法，师(问题2)：生2用两个事件概率的乘积来计算两个事件积的概率，并得到了正确的结果.这个做法有没有一般性呢？生3：没有.比如考虑两红一白三球的不放回摸球模型，记事件A表示第一次摸到红球，事件B是第二次摸到白球，则师(问题3)：非常好，生3找到了一个反例.这说明一般情况下，两个事件概率的乘积不等于两个事件积的概率.那么，例1和不放回摸球的本质区别是什么呢？生3：不放回摸球模型中，第一次摸到的球对第二次摸到的球是有影响的.而在例1中，一个正整数被2整除和被3整除没有关系，互不影响，就好比掷一个骰子两次.在两个事件没有关系时，才可以用事件概率的乘积来计算事件积的概率.师(问题4)：生3说，因为被2整除和被3整除没有关系，所以例1可以用乘法计算.同学们同意这个看法吗？生4：如果例1中的n改为100，则师：非常好的反例！原来只需要改动一个数字，例1也不能用事件概率乘积来计算事件积的概率了.可见这个问题不像表面上那样简单，用之前同学的说法，在这个问题中，恐怕被2整除和被3整除并不是没有“关系”的.我们不禁要问，“有关系”和“没有关系”究竟是什么意思？改变n的值，“没关系”就能变成“有关系”了吗？教学片断1设计注释与教学反思授课前，笔者在一个班级调查发现，尽管从未学过互相独立事件，50%以上的学生会采取乘法计算例1中的P(AB).这种思路的延续使得许多学生对互相独立事件概念理解在所谓的“没有关系”上.这些学生在后续学习中，往往不从事件独立性的概念出发，却以已获得的知识和所积累的经验为依据，错误地对两个事件独立性作判断.教师以例1引入，其第一层设计意图是引导学生思考例1中概率积的乘法计算的可推广性.从以往教学经验来看，大部分学生都能回答出类似生3所给出的反例.然而，例1引入的深层意图是让学生意识到生3关于例1可用乘法计算的解释的错误，这才是学生中普遍存在且必须解决的隐藏问题.只有认识到这个问题，学生才可能在后续学习中不重复犯下类似错误.从教学效果来看，例1的设计是较为成功的.通过教师在提出事件独立性的相关概念前强化“事件之间没有影响”并不是“事件互相独立”的本质特征，学生在后续的概率学习中运用互相独立事件积的概率公式时变得更为谨慎.教学片断2师(问题5)：为了回答上面这个问题，我们先思考另一个问题.在不放回摸球和改变了例1的n后，虽然P(AB)≠P(A)P(B)，但是毫无疑问，P(AB)应该和P(A)及P(B)有关.我们计算发现，在不放回摸球模型中，有在改动后的例1中，有这两个例子中，和分别是什么？生是第一次摸到红球前提下，第二次摸到白球的概率.师：很好，这一点很明显.那么呢？生5：和一样，是在被2整除的数中，被3整除的概率.也就是说，似乎应该有这样的猜测：两个事件同时发生的概率等于一个事件发生的概率与在这个事件发生的前提下另一个事件发生的概率.师(问题6)：很好.目前为止，我们已经用反例推翻了最初的猜测：即两个事件概率的乘积等于两个事件积的概率.现在，同学们又提出了新的猜测，这个猜测是否正确呢？大家能举出反例，或者利用古典概型的定义证明吗？生6：可以证明.在古典概型假设下，我们记基本事件总数为N，用n(X)表示事件X中包含的基本事件数，则有而恰是事件AB与事件A包含的基本事件个数之比，也就是在事件A包含的基本事件中，任取一个恰在事件AB中的概率.也就是说，两个事件同时发生的概率的确等于一个事件发生的概率与在这个事件发生的前提下另一个事件发生的概率.图1师：太棒了！我们直观地结合图形再看一下这个证明.如图1，P(AB)相当于阴影部分与矩形部分含有的基本事件个数之比.其实，我们得到的公式相当于把这个比例写为阴影部分和圆A含有的基本事件个数之比与圆A和矩形含有的基本事件个数之比的乘积.教学片断2设计注释与教学反思考虑到教学时间及公式推导难度，教师通过提示学生考虑P(AB)与P(A)的关系诱导出条件概率公式并证明.因为教材中并无条件概率公式的内容(仅仅在小字部分有用条件概率公式对一个习题的补充解答)，教师刻意跳过了条件概率的符号，也不强调该公式本身.毫无疑问，条件概率公式与中学生的认知水平是有距离的.但是如果没有条件概率而提事件互相独立，学生很难理解互相独立事件的内涵.甚至教师会连如下基本问题都很难解释：“被2整除与被3整除到底是互相独立的吗？”中学生理解结论依赖于样本空间，“总数不同结论就不同”理解起来是相当困难的.这节课的主要难点也是如何尽量用更低起点落实更高观点的内容.因此，权衡再三后，教师通过实例以及条件概率公式的引入(但不强化)来作出妥协.课后，听课专家都表示，是否能引导学生自己发现、推导、理解条件概率公式是本节课是否成功的重要判断标志之一.在实践中，通过合适的问题链引导，学生表现出了强大的发现和推理能力，每个授课班级都能由学生猜测并证明该公式.但不可否认的是，即使是在上海一流学校的高三理科班，也依然有学生对此一片迷茫.笔者课后仔细反思，认为这一段的处理还是可以更慢一些，如果可以留出更多时间让学生自己构建一些相关例子，教学效果应该会更为理想.教学片断3师(问题6)：既然有了一般的P(AB)和P(A)、P(B)的关系，我们再回到特殊情况.在什么条件下，有P(AB)=P(A)P(B)呢？生7：当事件B发生的概率等于事件A发生的前提下事件B发生的概率.师：很好，这样我们就彻底回答了之前的问题：什么叫两个事件“没有关系”，“没有影响”.科学地讲，就是事件B发生的概率与事件A发生的前提下事件B发生的概率相等.这表示事件A的发生对于B是否发生没有提供任何消息. 比如例1、连续掷骰子问题、不放回摸球问题等.结合前面的图形来说，就是B在A中所占比例与B在样本空间Ω中所占比例相等，对B而言，A相当于Ω的缩影；反之亦然.这才是“没有关系”和“没有影响”的本质特征.师：在P(A)>0,P(B)>0的前提下，“事件A发生的前提下事件B发生的概率与事件B发生的概率相等”与“事件B发生的前提下事件A发生的概率与事件A发生的概率相等”是等价的.也就是说，一个事件发生的前提下另一个事件发生的概率是否受到影响是相互的，且都等价于P(AB)=P(A)P(B).为方便推导性质，也为了以后推广到多个事件的情形，我们索性利用P(AB)=P(A)P(B)来严格定义事件A,B的这种关系.即定义：对事件A,B，若P(AB)=P(A)P(B)，则称它们是互相独立的.师(问题7)：在这个定义下，互相独立事件应该有哪些性质呢？生8：必然事件与不可能事件与任何事件互相独立.生9：如果事件A与事件B互相独立，则事件A的对立事件与事件B也互相独立. ……教学片断3设计注释与教学反思一方面，教师在学生提出互相独立事件的定义后，进一步深化了互相独立事件的内涵，并结合图形强调互相独立事件本质属性.另一方面，考虑到后续性质严格证明的需要，教师最终在解释了等价性后，绕过教材中没有的条件概率知识，利用P(AB)=P(A)P(B)来定义两个事件的互相独立性.这使学生理解和体会概念的发生、发展和形成过程后，又得到适当的具有延展性的定义，为学生未来的求学做好了准备.这样先借助条件概率理解，再抛开条件概率来定义，既能加深学生对互相独立事件内涵的理解，又避免了定义中超纲的知识内容.一般而言，对客观事物的认识经由两个过程：先通过感觉、知觉形成观念(表象)，再通过分析、比较、抽象、概括等一系列思维活动，把事物的共同特点(即本质属性)抽象出来，形成概念.停留在观念层面上只是“知其然”，准确、深刻地理解概念才是“知其所以然”，从知其然到知其所以然应通过辩证分析，揭示概念的本质. 长期根植于应试的教学方式忽视概念教学，蜻蜓点水，一带而过，只是将精力放在概念的“知道”和延伸结论的低层次应用上，直接后果是学生在概念面前不得要领、不求甚解，学习效果低下.以上案例表明，要改变这种现状，师生均任重道远.。
高中数学人教B版2019必修第二册随机事件的独立性课件
发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率是 4 ； 7
若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 5 .可见，前一事件是否发
7
生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件. （3）记事件A：出现偶数点，事件B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝
{3，6}，AB＝{6}，所以P（A）＝ 3 ＝ 1 ，P（B）＝ 2 ＝ 1 ，P（AB）＝ 1 .
62
63
6
所以P（AB）＝P（A）·P（B），所以事件A与B相互独立.
【归纳总结】 判断两个事件相互独立的步骤
（1）写出样本空间Ω以及A，B；
（2）利用古典概型计算P（A），P（B）；
（3）写出AB，并计算P（AB）；
（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立，否则A与B不相互独立.
训练题1. ［2019·湖北武汉华中师大第一附中高二期中］分别抛掷2枚质地均 匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚 结果相同”为事件C，有下列三个命题： ①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立； ③事件C与事件A相互独立. 以上命题中，正确的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】设甲中靶为事件A，则P（A）＝ 8 ＝ 4 ，设乙中靶为事件B，则P（B）＝ 7 .
10 5
10
甲、 乙两人同时射击，他们相互没有影响，所以事件A，B为相互独立事件，则他们
同时中靶为事件AB.则P（A答案】 A
【归纳总结】在运用概率乘法公式解决概率问题时，注意对事件的正确分析，弄清 楚哪些相互独立事件同时发生.若事件本身比较复杂，还要进行合理拆分，将其分解 为几个互斥事件的和事件；
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (20)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知 a ∈{−2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数 f (x )=(a 2−2)e x +b 为减函数的概率是 ( ) A ．310B ． 35C ． 25D ． 152. 从 4 名男生 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为 ( ) A ． 15B ． 12C ． 35D ． 453. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 ( ) A ． 2144B ． 1522C ． 2150D ． 9254. 如果 A ，B 是互斥事件，那么以下等式中一定成立的是 ( ) A ． P (A ∪B )=P (A )⋅P (B ) B ． P (A ∪B )=P (A )+P (B ) C ． P (AB )=P (A )⋅P (B ) D ． P (A )+P (B )=15. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，其中 a,b ∈{1,2,3,4,5,6}，若 |a −b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) A ． 316B ． 29C ． 718D ． 496. 若 P (AB )=19，P(A)=23，P (B )=13，则事件 A 与 B 的关系是 ( ) A ．事件 A 与 B 互斥 B ．事件 A 与 B 对立C ．事件 A 与 B 相互独立D ．事件 A 与 B 既互斥又相互独立7. 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 12=5+7，在不超过 18 的素数 2，3，5，7，11，13，17 中，随机选取两个不同的数，其和等于 18 的概率是 ( )A．142B．121C．221D．178.下列事件A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”D．有一个灯泡，A表示“灯泡能用1000小时”，B表示“灯泡能用2000小时”9.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥但不对立的事件的有( )A．0对B．1对C．2对D．3对10.已知0≤a<2，0≤b<4，为估计在a>1的条件下，函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点的概率P．用计算机产生了[{0,1})内的两组随机数a1，b1各2400个，并组成了2400个有序数对(a1,b1)，统计这2400个有序数对后得到2×2列联表的部分数据如表：满足b1<a12的数对个数满足b1≥a12的数对个数合计满足a1≤12的数对个数1101200满足a1>12的数对人数550合计2400则数据表中数据计算出的概率P的估计值为( )A．1348B．1124C．1960D．712二、填空题（共6题）11.设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是．12.思考辨析，判断正误A，B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)．( )13.甲、乙两人做出拳（锤子、剪刀、布）游戏，则平局的概率为；甲赢的概率为．14. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为 45，乙及格的概率为 25，丙及格的概率为 23，则三人中至少有一人及格的概率为 ．15. 在一个袋中装有大小、质地均相同的 9 只球，其中红色、黑色、白色各 3 只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）．16. 古典概型．（1）定义：如果一个概率模型满足：① 试验中所有可能出现的基本事件只有 个； ② 每个基本事件出现的可能性 ．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． （2）计算公式：对于古典概型，任何事件 A 的概率为 P (A )=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．三、解答题（共6题）17. 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是 60%，若该篮球爱好者连续投篮 4 次，求至少投中 3 次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率．18. 某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取 n 名学生的数学成绩，制成表所示的频率分布表．(1) 求 a ，b ，n 的值；(2) 若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取 6 名学生，并在这 6 名学生中随机抽取 2 名与张老师面谈，求第三组中至少有 1 名学生与张老师面谈的概率．19. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的 7 名同学分别用 A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅰ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．20.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“✓”表示购买，“×”表示未购买．(1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？21.运动会前夕，某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们获得冠军的概率分别为37和16，所以她们的粉丝认为该省获得乒乓球女子单打冠军的概率是16+37．该种想法正确吗？为什么？22.垃圾分类，人人有责．2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15．现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．(1) 应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的4名同学分别用A，B，C，D表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．（i）写出这个试验的样本空间；（ii）设事件M=“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件M发生的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】若函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数，则a2−2<0，又a∈{−2,0,1,2,3}，故只有a=0，a=1满足题意，所以函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数的概率P=25．【知识点】古典概型2. 【答案】C【解析】列举出所有结果易得P=35．【知识点】古典概型3. 【答案】A【解析】根据题意，记“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则P(C)=1−P(A)P(B)=1−(1−0.6)×(1−0.7)=0.88．则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P(A∩B∣C)=P(A∩B∩C)P(C)=0.6×0.70.88=2144．【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算5. 【答案】D【解析】由题意知本题是一个古典概型．样本空间共包含36个样本点记“甲、乙心有灵犀”为事件A,A= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)(5,6),(6,5),(6,6)}，共16个样本点．所以他们“心有灵犀”的概率为P=1636=49．【知识点】古典概型6. 【答案】C【解析】因为P(A)=1−P(A)=1−23=13，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．又因为P(AB)≠P(A)+P(B)，所以事件A与B并不互斥．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，基本事件总数n=C72=21，其和等于18包含的基本事件有：(5,13)，(7,11)，共2个，所以其和等于18的概率是P=221．【知识点】古典概型8. 【答案】A【解析】B选项由于是不放回摸球，故事件A与B不相互独立，C选项中A与B为对立事件，D选项中事件B受事件A影响，故选A．【知识点】独立事件积的概率9. 【答案】C【解析】①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”等，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件．①④是符合要求的．【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【解析】要使得函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点，4a2−4b>0，所以a2>b，条件中所给的共有2400对有序数对，在这些有序数对中，使得函数有两个相异的零点，共有110+(1200−550)=760，所以数据表中数据计算出的概率P的估计值是7602400=1960．【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】0.8【知识点】事件的相互独立性12. 【答案】×【知识点】事件和与事件积，事件和与事件积的概率计算13. 【答案】13；13【解析】设平局（用 △ 表示）为事件 A ，甲赢（用 ⊙ 表示）为事件 B ，乙赢（用 ⋇ 表示）为事件 C ．容易得到如图．平局含 3 个基本事件（图中的 △），P (A )=39=13．甲赢含 3 个基本事件（图中的 ⊙），P (B )=39=13．【知识点】古典概型14. 【答案】 2425【解析】设甲及格为事件 A ，乙及格为事件 B ，丙及格为事件 C ，则 P (A )=45，P (B )=25，P (C )=23，所以 P(A)=15，P(B)=35，P(C)=13，则 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15×35×13=125，所以所求概率 P =1−P(ABC)=2425． 【知识点】独立事件积的概率15. 【答案】712【解析】随机取出 2 个球的基本事件有 C 92=36 种，“至少有一个红球”的事件有 C 31C 61+C 32=21 种，所以至少有一个红球的概率为 2136=712． 【知识点】古典概型16. 【答案】有限；相等【知识点】古典概型三、解答题（共6题）17. 【答案】利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727，7895，0123，⋯，4560，4581，4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为n100．【知识点】频率与概率18. 【答案】(1) 依题意得5n =0.05，an=0.35，20n=b，解得n=100，a=35，b=0.2．(2) 因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取3060×6=3名，2060×6=2名，1060×6=1名．第三组的3名学生记为a1，a2，a3，第四组的2名学生记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1,a2}，{a1,a3}，{a1,b1}，{a1,b2}，{a1,c1}，{a2,a3}，{a2,b1}，{a2,b2}，{a2,c1}，{a3,b1}，{a3,b2}，{a3,c1}，{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为1−315=0.8．【知识点】频率分布直方图、古典概型、频率与频数19. 【答案】(1) 由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2) （ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}，{B,C}，{B,D}，{B,E}，{B,F}，{B,G}，{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}，{D,E}，{D,F}，{D,G}，{E,F}，{E,G}，{F,G}，共21种．（ⅰ）由（ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{B,C}，{D,E}，{F,G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P(M)=521．【知识点】古典概型、分层抽样20. 【答案】(1) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2．(2) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3．(3) 与（1）同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2，同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=0.6，同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1．所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．【知识点】古典概型21. 【答案】正确．因为两个人分别获得冠军是互斥事件，所以两个人只要有一人获得冠军，则该省就获得冠军，故该省获得冠军的概率为16+37=2542．【知识点】事件的关系与运算22. 【答案】(1) 设抽取高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为x，y，z，由分层抽样，得x30=y15=z15=430+15+15=115，解得x=2，y=1，z=1，所以应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；(2) （i）样本空间为：Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的；（ii）由（1），不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是A，B，来自高二年级的是C，来自高三年级的是D，因为M={(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，所以n(M)=10，所以事件M发生的概率P(M)=n(M)n(Ω)=1012=56．【知识点】分层抽样、古典概型。
15事件和与事件积的概率【教师版】
事件和与事件积这节课我们学什么1.掌握事件和与事件积的概率的求法；2.理解事件独立的概念，并掌握独立事件积的概率的求法.知识框图知识梳理1.和事件（1）和事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B至少有一个出现”叫做事件A与事件B的和．（2）事件和的概率（概率加法公式）：()()()()P A B P A P B P AB=+-．（3）互斥事件：在同一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫做互不相容事件．（4）互斥事件和的概率：如果事件A、B互斥，那么()()()P A B P A P B=+．2.积事件（1）积事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B同时出现”叫做事件A与事件B的积．（2）独立事件：如果事件A出现和事件B出现，互相之间没有影响，即其中一个事件的发生对另一事件发生的概率没有影响，那么就称事件A和事件B互相独立．如果A与B是独立的，则A与B、A与B、A与B也是互相独立的．（3）独立事件积的概率：如果事件A、B互相独立，那么()()()P AB P A P B=⋅．（4）推广：如果事件nAAA、、、21相互独立，则)()()(2121nnAPAPAPAAAP=）（（5）“事件nAAA、、、21至少出现一个”这一事件的对立事件是“nAAA、、、21都不出现”，即12121'''n nP A A A P A A A+++=-（）（）)'()'()'(121nAPAPAP-=)](1[)](1)][(1[121nAPAPAP----=3.总结：典型例题分析1.事件和概率例1、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率)(B A P U 为多少？.【答案：)(B A P ＝11()+()=+=524P A P B 726】 例2、某校高二(1)班45名同学都订阅了不同的报刊，其中订阅中学生报有30名同学，订阅中学生外语报有25名同学，10名同学即订了中学生报又订阅了中学生外语报。
互斥事件和独立事件的概率及条件概率
互斥事件和独立事件的概率及条件概率【知识要点】1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝=条件概率具有以下性质：(1) ；(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件．5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为.6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝．【基础检测】1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.3753．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为.4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为.5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为13，则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为.典例分析：例1.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子，其中6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率；(3)求笼内至多剩下5只果蝇的概率．例2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲队总分不低于2分的概率；(2)用A 表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．离散型随机变量的分布列、期望与方差【知识要点】1．离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，X取每一个值x i(i＝1,2，…)的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的①；②；(3)两点分布：(4)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M，N∈N*，此时称分布列：(5)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．3．离散型随机变量的期望与方差则称Eξ＝为随机变量型随机变量取值的．把Dξ=叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．4．基本性质若η＝aξ＋b(a，b为常数)，Eη＝E(aξ＋b)＝；Dη＝D(aξ＋b)＝；若ξ服从两点分布，则Eξ＝，Dξ＝，若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ＝．【基础检测】1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为( )A．25个B．10个C．7个D．6个2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck＋1，k＝0,1,2,3，则c＝.3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为45，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种子发芽颗数的平均值为颗，方差为.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝5．随机变量ξ的分布列为则Eξ＝，＝，＝.6.有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．综合练习卷1.在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选得正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( )A ．60分B ．70分C ．80分D ．90分4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是 .5．用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率为 ；(2)3个矩形颜色都不同的概率为 .6．某单位订阅《人民日报》的概率为0.6，订阅《参考消息》的概率为0.3，则它恰好订阅其中一份报纸的概率为 .7.(2011湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)设X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．8.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。
概率的加法与乘法原理
概率的加法与乘法原理概率是数学中的一个重要概念，用于描述某个事件发生的可能性。
概率的加法与乘法原理是概率论中的两个基本原理，它们在解决复杂事件的概率计算中起着重要的作用。
一、概率的加法原理概率的加法原理是指对于两个事件A和B，其概率的和等于这两个事件分别发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率。
用数学符号表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
以一个简单的例子来说明概率的加法原理。
假设有一个箱子，里面有红球和蓝球两种颜色的球，红球的数量为3个，蓝球的数量为2个。
现在从箱子中随机抽取一个球，求抽到红球或者蓝球的概率。
根据概率的加法原理，我们可以计算出抽到红球或者蓝球的概率为：P(红球∪蓝球) = P(红球) + P(蓝球) - P(红球∩蓝球) = 3/5 + 2/5 - 0 = 5/5 = 1。
这个例子中，红球和蓝球是两个互斥事件，即不可能同时发生，所以它们的交集为空集，概率为0。
因此，抽到红球或者蓝球的概率等于红球的概率加上蓝球的概率。
二、概率的乘法原理概率的乘法原理是指对于两个独立事件A和B，其同时发生的概率等于这两个事件分别发生的概率之积。
用数学符号表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
以一个生日概率的例子来说明概率的乘法原理。
假设有一个班级，有30个学生，每个学生的生日是独立的且均匀分布在一年中的365天。
现在要求至少有两个学生生日相同的概率。
根据概率的乘法原理，我们可以计算出至少有两个学生生日相同的概率为：1 - P(所有学生生日都不相同)。
第一个学生的生日可以是任意一天，概率为1。
第二个学生的生日不能与第一个学生的生日相同，概率为364/365。
以此类推，第30个学生的生日不能与前面29个学生的生日相同，概率为336/365。
因此，至少有两个学生生日相同的概率为：1 - (364/365 × 363/365 × ... ×336/365) ≈ 0.706。
相互独立事件的概率计算公式
相互独立事件的概率计算公式首先，我们需要了解概率的基本定义。
在概率论中，概率是一个事件发生的可能性的度量。
它是一个介于0和1之间的值，表示事件发生的相对频率。
在计算概率时，我们通常使用频率的性质（即事件发生的次数除以总次数）来估算概率的大小。
但是，对于相互独立事件，我们可以使用一些特殊的公式来计算概率。
假设我们有两个相互独立的事件A和B。
事件A的概率表示为P(A)，事件B的概率表示为P(B)。
我们需要计算的是同时发生事件A和B的概率，即P(A∩B)，其中∩表示“交集”。
在相互独立事件的情况下，同时发生事件A和B的概率可以用事件A 和B分别发生的概率的乘积来计算。
具体而言，我们可以使用以下公式来计算P(A∩B)：P(A∩B)=P(A)×P(B)这个公式是基于相互独立事件的假设，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然。
因此，我们可以将两个事件的概率相乘来计算它们同时发生的概率。
接下来，让我们通过一个简单的例子来说明如何使用这个公式。
假设我们有一副标准的扑克牌，其中包含52张牌。
我们从中抽取一张牌，并定义两个事件：A：抽到红心B：抽到A或K现在我们想要计算同时抽到红心和A或K的概率。
首先，我们需要计算事件A和B分别发生的概率。
事件A的概率可以通过红心牌的数量除以总牌数来计算：P(A)=13/52=1/4事件B的概率可以通过求出牌堆中有多少A或K来计算：P(B)=8/52=2/13现在我们可以使用概率计算公式来计算P(A∩B)：P(A∩B)=P(A)×P(B)=(1/4)×(2/13)=1/26因此，同时抽到红心和A或K的概率为1/26在一些情况下，我们可能需要计算多个相互独立事件的概率。
在这种情况下，我们可以将它们的概率逐个相乘来计算整个事件链的概率。
例如，假设我们有三个相互独立的事件A、B和C。
我们可以使用以下公式来计算它们同时发生的概率：P(A∩B∩C)=P(A)×P(B)×P(C)这个公式是根据相互独立事件的性质推导出来的。
相互独立事件同时发生的概率
相互独立事件同时发生的概率知识要点:1．对于事件A、B，如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则称这样的两个事件为相互独立事件.2．相互独立事件的概率乘法公式:设事件A、B相互独立，把A、B同时发生的事件记为（A·B），则有P（A·B）=P（A）·P（B）.上述公式可以推广如下:如果事件A1，A2，……，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即P(A1·A2·……·A n)=P(A1)·P(A2)·……·P(A n).3．如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率:P n(k)=P k(1-P)n-k.实际上，它就是二项展开式[(1-P)+P]n的第(k+1)项.要求：1．掌握相互独立事件的概率乘法公式，会用它计算一些事件的概率.2．掌握计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.典型题目例1.加工某种零件先后需经历三道工序，已知第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假定各道工序互不影响，问加工出来的零件的次品率为多少？解:设A1、A2、A3分别表示三道工序得到次品的事件，由题设知，它们是相互独立的事件，而加工得到次品是指以上三个工序中至少有一个工序是次品，即次品事件A=.∴P(A)=0.02×0.97×0.95+0.98×0.03×0.95+0.98×0.97×0.05+0.02×0.03×0.95+0.02×0.97×0.05+0.98×0.03×0.05+0.02×0.03×0.05=0.09693.例2．某商人购进光盘甲、乙、丙三件，每件100盒，其中每件里面都有1盒盗版光盘.这个商人从这3件光盘里面各取出1盒光盘卖给了李四，求:（1）李四恰好买到1盒盗版光盘的概率；（2）李四至少买到1盒盗版光盘的概率.解:（1）记从甲、乙、丙三件光盘里面各取出1盒光盘，得到非盗版光盘的事件分别为A、B、C，则事件·B·C、A··C、A·B·是互斥的；事件、B、C，A 、、C，A、B、彼此之间又是相互独立的.所以P(·B·C+A··C+A·B·)=P(·B·C)+P(A··C)+P( A·B·)=P()·P(B)·P(C)+P(A)·P()·P(C)+P(A)·P(B)·P()=0.01×0.99×0.99+0.99×0.01×0.99+0.99×0.99×0.01≈0.03.（2）事件A、B、C的设法同第（1）小题.因为P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.99×0.99×0.99=0.993,所以1-P(A·B·C)=1-0.993≈0.03.例3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8. 计算:(1)两人都击中目标的概率；（2）其中恰有1人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.分析:此题有三问，要依层次来解.解:（1）记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件:A·B，又由于事件A与B相互独立，∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.8=0.64.（2）“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中（即A·），另一种是甲未击中乙击中（即·B），根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A·与·B是互斥的，所以所求概率为:P=P( A·)+P(·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法1:“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为:P=P(A·B)+[P(A·)+P(·B)]=0.64+0.32=0.96.解法2:“两人都未击中目标”的概率是:P(·)=P()·P()=(1-0.8)×(1-0.8)=0.2×0.2=0.04.∴至少有一人击中目标的概率为:P=1-P(·)=1-0.04=0.96.点评:由（3）可见，充分利用（1）、（2）两问的结果解题很简单.但是（3）的解法2也告诉我们，即使是不会求（1）、（2），也可独立来解（3）.在考试中要特别注意这一点.例4．某种大炮击中目标的概率是0.3，最少以多少门这样的大炮同时射击一次，就可以使击中目标的概率超过95%？解:设需要n门大炮同时射击一次，才能使击中目标的概率超过95%，n门大炮都击不中目标的概率为×0.30×0.7n=0.7n.至少有一门大炮击中目标的概率为1-0.7n.根据题意，得1-0.7n>0.95，即0.7n<0.05, nlg0.7<lg0.05，n>≈8.4.答:最少以9门这样的大炮同时射击一次，就可使击中目标的概率超过95%.例5．要制造一种机器零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求:（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中恰有一件废品的概率；（3）其中至多有一件废品的概率；（4）其中没有废品的概率；（5）其中都是废品的概率.分析:应先确定所应用的每一事件的概率，以便求解.解:依题意可知:显然，这两个机床的生产应当看作是相互独立的.设A=“从甲机床抽得的一件是废品”，B=“从乙机床抽得的一件是废品”.则P(A)=0.04, P()=0.96, P(B)=0.05, P()=0.95.由题意可知，A与B，与B，A与，与都是相互独立的.（1）“至少有一件废品”=A·B +·B+A·P(A·B +·B+A·)=1-P(·）=1-P()·P()=1-0.96×0.95=0.088.（2）“恰有一件废品”=·B+A·.P(·B+A·)=P(·B)+P(A·）=P()·P(B)+P(A)·P()=0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086.（3）“至多有一件废品”=A·+·B+·P(A·+·B+·)=P(A·)+P(·B)+P(·)=P(A)·P()+P()·P(B)+P()·P()=0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998.另外的解法是:“至多有一件废品不发生”=“两件都是废品”=A·BP(A·+·B+·)=1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-0.04×0.05=0.998.（4）“其中无废品”=“两件都是成品”=·P(·)=P()·P()=0.96×0.95=0.912.（5）“其中全是废品”=A·BP(A·B)=P(A)·P(B)=0.04×0.05=0.002.点评:本例有很强的综合性，学习中要注意认真体会加以理解掌握之.例6．已知射手甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.问三人同时射击目标，目标被击中的概率是多少？解:设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生.但应注意，A、B、C这三个事件并不是互斥的，因为目标可能同时被两人或三人击中，因此，可视目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，它可以表示为，而三人射击结果相互独立.所以P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=(1-)(1-)(1-)=.所以，目标被击中的概率是1-P()=1-.。
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4.2 独立事件积的概率
五、教学过程设计
(一)、复习回顾1.事件和
2.事件积------设A 、B 为两个随机事件,把“事件A 与事件B 同时出现”叫做事件A 与事件B 的积.记作A ∩B 或AB.
(二)、讲授新课
1、有关概念、公式
概念引入
请同学们观察下面这样两个随机事件:将一枚均匀的硬币接连旋转两次,设A 表示第一次旋转停下后出现图朝上,B 表示第二次旋转停下后出现图朝上.不论第一次旋转停下后出现图朝上还是字朝上对第二次旋转停下后出现图朝上的概率没有影响.
上述现象说明事件A 是否出现对事件B 出现的概率没有影响.同样事件B 是否出现对事件A 出现的概率也没有影响.
概念---互相独立事件
如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 注1. 对立事件指事件Ａ和A 满足⑴A ∪A =Ω⑵A ∩A =φ;
注２.互不相容事件或互斥事件是指不可能同时出现的两个事件;
注3.如果事件A 和事件Ｂ互相独立. A 与Ｂ、Ａ与B 、A 与B 也是互相独立.
概率乘法公式
一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么
P(AB)=P(A)·P(B)
也就是说, 互相独立的随机事件的积的概率等于各个事件概率的乘积.这个公式叫做互相独立随机事件的概率乘法公式.
更一般地,如果n 21A ,,A ,A ⋯中每个事件与余下的任意几个事件的积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ⋯互相独立.如果n 21A ,,A ,A ⋯互相独立, 那么
P(n 21A A A ⋯)=)A (P )A (P )A (P n 21⋯
2、例题精析
(1)产品检验事件的概率问题(p.67)
例1 如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？
解:设事件Ｅ表示“第一次抽取是次品”,事件F 表示“第二次抽取是次品”, “事件Ｅ出现”与“事件F 出现”互相没有影响,即事件Ｅ与事件F 是互相独立事件.
据题意,.1005)F (P ,1005)E (P ==
依据互相独立随机事件的概率乘法公式,可得:
P(EF)=P(E)·P(F)=400
110051005 ·. 因此, 抽取２件产品都是次品的概率是
4001. [说明]1.返回抽取２件产品指抽取一件产品并记下是合格品还是次品,然后将产品放回这堆产品中,继续抽取.
2.不返回抽取指抽取一件产品并记下是合格品还是次品,然后将产品不放回这堆产品中,继续抽取.
3.如果本问“不返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？”，那么P(E)=100
5,但是“事件F 出现”受“事件F 出现”影响,即事件Ｅ与事件F 不是互相独立事件,如果事件F 出现,那么第二抽取被检产品总数为99件, P(F)=994,P(EF)= 1005·994=495
1,此处相乘是依据乘法原理. ⒋“不返回抽取２件产品”等价于“一次抽取２件产品”,所以P(EF)=210025C C =495
1 （2）扑克牌抽取事件的概率问题(p.67)
例２ 从一副52张的扑克牌中随机抽取2张牌,求下列事件的概率:
（Ⅰ）在放回抽取的情况下,两张牌都是K;
（Ⅱ）在不放回抽取的情况下,两张牌都是K.
解(见教材)
随堂练习p.67
①从一副52张的扑克牌中第一张抽取到Q,重新放回第二张抽取到有人头的牌,求这两事件都发生的概率.
②从一副52张的扑克牌中随机抽取4张牌,求下列事件的概率:
（Ⅰ）在放回抽取的情况下,4张牌都是A;
（Ⅱ）在不放回抽取的情况下,4张牌都是A.
（3）帕斯卡和费马的友人的一个猜测(p.68)
例３ 试证明：将一颗骰子接连抛掷４次至少出现一次６点的可能性大于将两颗骰子接连抛掷2４次至少出现一次双６点的可能性.
解(见教材)
⑷机床维护事件的概率
例４ 一名工人维护甲乙丙３
台独立的机床,在一小时内,甲乙和
丙需要维护的概率分别为0.9、0.8、
0,85,求一小时内下列事件的概率
(Ⅰ)没有一台机床需要维护;
(Ⅱ)至少有一台机床不需要维
护.
解(见教材)
(5)电路故障事件的概率问题
例５ 如图所示的电路中,己知Ａ、Ｂ、Ｃ三个开关(图中从上往下三个开关分别ABC)断开的概率分别是0.3、0.2、0.2,求电路不通的概率.
解:设A 、B 、C 分别表示Ａ、B 、C 三个开关断开的事件,它们是互相独立事件,它们的对立事件C ,B ,A 也是独立事件,
P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.2,,06.02.03.0)AB (P =⨯= )B A (P =1－0.06=0.94
(或()0.80.70.80.70.94P A B =+-⨯=)
该电路接通的概率为0.8×0.94=0.752,
电路不通的概率为1－0.752=0.248
[说明] 并联不通的概率用概率乘法公式,串联接通的概率用概率乘法公式.
(6)频率问题
概率度量了随机事件Ｅ出现的可能性大小.一般来说,在n 次重复试验中,若概率P(E)较大,则E 出现的频率也较大;反之, 若概率P(E)较小,则E 出现的频率也较小.
概率与概率具有下列性质:
① 非负性,即n
m ≥0; ② 对必然出现的事件,ｎ次试验中应出现ｎ次,若以Ω表示必然事件,则应有P(Ω)=
n n =1 ③如果Ａ与Ｂ是两不同时出现事件, 那么事件和的频率有如下公式
P(A ∪B)=P(A)＋P(B)
例6 在射击训练中,小强射中9环及以上频率为0.20, 射中7环及8环 频率0.40, 射中3环至6环频率0.10,计算小强射击成绩7环及以上频率和射击成绩3环及以下频率.
解(见教材)
例７ 己知甲射手射中目标的频率为80%,乙射手射中目标的频率为70%,如果甲乙两人的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率是多少？
解(见教材)。