有限元基础
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
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第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
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第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
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第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
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第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
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有限元基础编程百科全书
有限元基础编程百科全书
有限元基础编程是指使用有限元方法（FEM）进行工程分析和设计的计算机编程技术。
有限元方法是一种数值分析技术，用于解决复杂的工程和物理问题，例如结构分析、热传导、流体力学等。
下面我将从多个角度全面介绍有限元基础编程的百科全书。
首先，有限元基础编程百科全书应该包括对有限元方法的基本原理和数学基础的详细讲解。
这包括有限元离散化过程、单元和节点的概念、刚度矩阵和质量矩阵的推导，以及有限元解的数值求解技术等内容。
此外，对于常见的工程问题，如静力学、动力学、热传导和流体力学等，百科全书还应该包括有限元方法在这些领域的应用原理和算法。
其次，有限元基础编程百科全书还应该涵盖有限元程序的编写和实现。
这包括使用常见的有限元软件（如Abaqus、Ansys、Nastran等）进行编程的基本步骤和技巧，以及各种编程语言（如Fortran、C++、Python等）在有限元分析中的应用。
此外，还应该包括有限元程序的优化和并行计算技术，以提高计算效率和精度。
此外，有限元基础编程百科全书还应该介绍有限元分析在工程
实践中的应用。
这包括结构分析、材料力学、振动和声学分析、热传导和传热分析、流体力学和多物理场耦合分析等方面的工程案例和实际应用。
这些案例不仅可以帮助读者理解有限元方法的具体应用，还可以帮助他们将理论知识转化为实际工程问题的解决方案。
综上所述，有限元基础编程百科全书应该全面介绍有限元方法的理论基础、编程实现和工程应用，从而帮助读者全面深入地理解和掌握有限元分析技术。
希望这些信息对你有所帮助。
有限元分析基础
第一讲第一章有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1引言(introduction)有限元(FEM或FEA)是一种获取近似边值问题的计算方法。
边值问题(boundary value problems, 场问题field problem )是一种数学问题(mathematical problems)(在所研究的区域，一些相关变量满足微分方程如物理方程、位移协调方程等且满足特定的区域边界)。
边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表一种物理模型。
场变量是满足微分方程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。
根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。
1.2有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。
等截面直杆在自重作用下的材料力学解答图1.1 受自重作用的等截面直杆图1.2 离散后的直杆受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L ，截面积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内力为N 。
试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。
)()(x L q x N -=EAdx x L q EA dx x N x dL )()()(-== ⎰-==xx Lx EA q EA dx x N x u 02)2()()( (1))(x L EAq dx du x -==ε )(x L A q E x x -==εσ 等截面直杆在自重作用下的有限元法解答(1)离散化如图1.2所示，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。
称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。
有限元的理论基础
有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。
对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。
已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。
若计算问题具有对称性，应充分利用它。
显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。
按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
其中伽辽金法的精度最高。
2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。
有限元基础
x* * y * z * * xy *yz * zx
虚功原理----用于弹性体的情况
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是： 式中 *T 是 * 的转置矩阵。
U iui* Vi vi* Wi wi* U j u*j V j v*j W j w*j
对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它 是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想， 故称为虚位移 )，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总 功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图 1-8a中的PA 和 PB 所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移 上， (因为它本身是平衡的，不存在位移 )，而是在状态 (b)的 位移上作的功。可见，这个位移对于状态 (a)来说就是虚位移， 亦即是状态(a)假象的位移。
虚功原理及虚功方程
PA
A C B
PB
图 1-8a 示一平衡的杠杆，对 C点 写力矩平衡方程：
(a)
Rc
a b
图 1-8b表示杠杆绕支点 C转动时 的刚体位移图：
PA b PB a
DB b DA a
综合可得：
A'
DA
C A B
DB
¼ 1-8 Í
(b)
即：
PA b D B PB a D A PAD A PB D B 0 (1- 15)
2-2 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤： 1、离散化 2、单元分析 3、单元综合
¼ Í
2-7
2-2 有限单元法的计算步骤
1、离散化
有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体 来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由 有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单， 因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在结点 处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。 在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点 上安置一个铰支座或相应的连杆支座。
有限元理论基础及应用
有限元理论基础及应用有限元理论是应用于工程计算领域的一种数值分析方法，它是通过将连续的结构或物体分割成有限数量的离散单元，然后在每个单元上进行近似计算，最终得到整个结构或物体的近似解。
有限元理论广泛应用于结构分析、流体力学、电磁场分析等领域，是工程计算的重要工具。
有限元理论的基础是有限元方法，它将连续的结构或物体以网格的形式划分成一系列有限的单元，通过在每个单元内进行节点位移或其他物理量的近似表示，建立起离散的数学模型。
在有限元方法中，常用的单元形状包括线元、三角形单元、四边形单元等。
每个单元的节点之间通过连接的方式形成整个结构的网格。
有限元理论的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的代数问题，通过求解代数方程组得到数值结果。
其基本步骤包括：1.离散化：将连续的结构或物体划分为离散的单元，并在每个单元上建立近似解。
2.建立单元方程：根据结构或物体的本构关系、边界条件等，建立每个单元的方程。
3.组装：根据单元之间的连接方式，将每个单元的方程组装成整个结构或物体的方程。
4.边界条件处理：考虑边界条件对结构或物体的约束作用，修改方程。
5.求解代数方程组：将边界条件处理后的方程组进行求解，得到数值解。
有限元理论的应用非常广泛，主要包括：1.结构分析：有限元方法在结构力学领域的应用非常广泛，可以用于预测结构的应力、变形、疲劳寿命等。
例如，在建筑工程中，可以使用有限元方法对建筑结构进行静力分析，以确保结构的稳定性和安全性。
2.流体力学：有限元方法在流体力学领域的应用包括流体流动、传热、空气动力学等方面。
通过将流体分割成离散的单元，并建立流体的动量方程、能量方程等，可以模拟和预测流体的各种特性。
3.电磁场分析：有限元方法可以用于模拟和分析电磁场的分布、辐射、散射等现象。
在电子器件设计中，有限元方法可以用于预测电磁场的影响和优化设计。
此外，有限元方法还应用于声学、热力学、生物力学等领域。
它的优势包括模拟结果的准确性、适用于复杂几何形状和边界条件、计算速度较快等。
《有限元基础》课件
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
有限元基础(泛函、变分与变分法)
在伽辽金提法中，对应于此类边界条件的任意函 数 w 按以下对应关系取：
在此情况下，对原问题的 Galerkin 提法进行 m 次分部积分后，将得到如下形式的变分原理：
（u）＝ 0
其中
例1：二维热传导问题
问题的伽辽金提法在事先满足强制边界条件的情 况下为
（1.3.27）
分部积分得
1.3.3 里兹（Ritz）方法
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关，所以
另外在微分学中， 自变量的微分 dx = x，所以 dkx = 0，（k2） 同理有：
k y(m) = 0，（k 2，m = 0，1，，n）
4. 泛函的变分
定义泛函
（7）
则泛函 J 的各阶变分：
（8）
显然，变分和定积分的顺序是可交换的
由变分 y 引起的泛函 J 的增量为：
内积也表示为
(1.3.18)
伴随算子
算子L(u)与任意函数v的内积如果可以表示为
则称算子L*为算子L的伴随算子 其中 b.t.(u,v) 为分部积分得到的边界项 若L*=L则称算子是自伴随的
例 证明算子L( ) =
构造内积，并行分部积分
是自伴随的
2. 泛函的构造
设原问题的微分方程和边界条件为 (1.3.20)
5. 变分法
= 0
充分条件：J = 0 且：2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理：
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数，y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分，如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立
B(a, b)
目标：寻找能使T取极小值的滑轨形状 y (x) 其中 y (x) 必须经过A、B两点。
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有限元方法基础吉林大学汽车工程学院
引论
一、结构分析的目的
1、克服传统设计方法的不足。
2、为改进设计、优化设计提供指导。
以往的设计大都是基于经验的，尽管基于经验的设计方法在以往的设计中取得了巨大的成功，并且今后的设计仍然将以经验设计为主。
但也必须承认基于经验的设计也存在许多不足。
首先经验的积累需要时间，有时也不一定都可靠。
此外，通常基于经验的设计能解决行不行的问题，很难解决优不优的问题，尽管为了解决结构优化的问题，也有人提出了一些新的设计理念，如加法设计原则。
解决上述问题的根本手段就是采用合理的、科学的方法对上述性能进行分析。
二、数值分析与实验分析的比较
分析方法可分为理论计算和实验测试两大类。
1、基于实验的分析方法
指通过的实验测试获取需要的性能参数的方法。
这种方法获取不同的性能参数需要采用不同的测试方法、仪器设备和辅助实验装置。
如：强度实验，可以采用电阻应变片及应变仪、光弹涂膜或云纹栅、应变涂料等；
扭转与弯曲刚度实验则需要专门的实验台等等。
实验方法的最大优点是工程上普遍认为，实验结果真实可靠，通常被当作产品最终定型的权威性依据。
实验方法的优点：
是工程上普遍认为，实验结果真实可靠，
通常被当作产品最终定型的权威性依据。
实验方法的缺点：
1）实验一定要在样品或样机试制之后才能进行，无法与设计并行。
2）成本高、周期长，通常只适合批量生产的产品。
3）可以获得的数据量有限，无法对设计提供更多的指导，更无法进行结构优化。
4）受实验手段的限制，有些参数无法测准。
2、基于理论计算的分析方法
指通过理论分析或数值计算获取所需的性能参数的分析方法
优点：
1）经济、快捷，成本低、周期短。
（与实验相比）2）一次分析可以获得大量的数据。
3）可以与设计同步进行。
4）可以配合优化算法，对设计进行优化。
缺点：分析结果受模型质量、算法理论及边界条件等诸多因素影响。
三、有限元分析的原理1，
变形体
单一变量的常微分方程给定边界条件下的偏微分方程简化计算方法（载荷简化、物性关系简化以及结构形状简化等）半解析法：解析法与数值法的结合
中华和钟
万年永保
第一章弹性力学基础
图1.1 变形体的描述及所需要的变量
图1.2 平面问题中的应力表达
1.2
1.2
（1-13）
（1-14）
（1-15）
（1-16）（1-17）
（1-20）
（1-20）
（1-21）
（1-22）
yx
τxy
τyx
τyx τyx τyx
τ
（1-24）
（1-25）（1-26）
（分量形式）
（1-27）
（1-28）
（1-29）
（1-30）
（1-31）
（1-32）
（1-33）
（1-34）
（1-35）
（1-36）
（1-37）
1＝
图1.7 平面应力
条件
1）只在板边上承受平行于板面，而不沿板厚度变化的面力，两板面上无外力作用。
2）很薄的等厚度薄板。
3）体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
1.7
图1.8 平面应变问题
条件：
1）几何条件：沿厚度方向的截面形状大小相同且厚度尺寸远远大于截面尺寸，即结构呈等截面的细长形。
2）载荷条件：载荷垂直于厚度方向且沿厚度均匀分布，两个端面不受力。
设有一无限长等截面柱形体，所承受外载不随z变化，见图1.8，任一截面都为对称面，则有。