【步步高 通用(理)】2014届高三二轮专题突破 专题四 第1讲
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题四 第1讲
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(2)(2012· 山东)如图，正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的棱长为 1， E， F 分别为线段 AA1， B1C 上的点，则三棱锥 D1－EDF 的体积为 ________．
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专题四 第1讲
解析 (1)设三棱锥 F－ADE 的高为 h，
1 1 AD· AE · sin ∠ DAE h 3 2 V1 1 则V ＝ ＝24. 1 2 2h22AD2AEsin∠DAE
平面的量是不变的，然后根据翻折前后图形及数量关系的变 化，借助立体与平面几何知识，即可求解．
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专题四 第1讲
如图， 把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起，使 AC＝ 6.
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斜高、 侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形； 侧棱在 底面内的射影、 斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成 一个直角三角形． (3)正棱台的性质 侧面是全等的等腰梯形；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面 的边心距组成一个直角梯形； 棱台的高、 侧棱和两底面外接圆 的半径组成一个直角梯形； 棱台的斜高、 侧棱和两底面边长的 一半也组成一个直角梯形．
(2)利用三棱锥的体积公式直接求解． 1 1 1 1 VD1 EDF VF DD1F S D1DE AB ＝ × ×1×1×1＝ . 3 2 6 3 1 (2)6 答案 (1)1∶24
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专题四 第1讲
考点三
多面体与球
例 3 直三棱柱 ABC—A1B1C1 的各顶点都在同一球棱柱的侧面积为 2×a×bsin 45° ＋ab＝( 2＋1)ab.
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3 2 3 2 又∵斜三棱柱的底面积为 2× a ＝ a ， 4 2 3 2 ∴斜三棱柱的表面积为( 2＋1)ab＋ 2 a .
【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题一 第一讲
专题一数学思想方法第一讲函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]答案 C解析 如图，△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则S △ADES △ABC＝⎝⎛⎭⎫40－y 402＝⎝⎛⎭⎫x 402，所以y ＝40－x ，由题意知xy ≥300，即x (40－ x )≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解不等式得10≤x ≤30.2． (2012·课标全国)设点P 在曲线y ＝12e x 上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．1－ln 2B ．2(1－ln 2)C ．1＋ln 2D ．2(1＋ln 2)答案 B解析 由题意知函数y ＝12e x 与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离的2倍，设y ＝12e x 上点(x 0，y 0)处的切线与y ＝x 平行，有12e x0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离是22(1－ln 2)，∴所求距离为22(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2)．3． (2012·浙江)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b 答案 A解析 当0<a ≤b 时，显然e a ≤e b ，且2a ≤2b <3b ， ∴e a ＋2a <e b ＋3b ，即e a ＋2a ≠e b ＋3b 成立， 所以它的逆否命题：若e a ＋2a ＝e b ＋3b ， 则a >b 成立，故A 正确，B 错误； 当0<a ≤b ，由e a ≤e b ，2a <3b ， 知e a －2a 与e b －3b 的大小关系不确定， 故C 错误；同理，D 错误．4． (2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n ＋1－2.5． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题例1 (1)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B.12C.52D.22(2)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．审题破题 (1)由题意可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，因此该问题可转化为：求x 为何值时，函数F (x )＝x 2－ln x 取得最小值．(2)由ab ＝a ＋b ＋3变形可得b ＝a ＋3a －1，从而求ab ＝a (a ＋3)a －1的取值范围问题可转化为求函数f (a )＝a (a ＋3)a －1的值域问题；若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，从而a ，b 可看成方程x 2－(t－3)x ＋t ＝0的两根，利用方程的思想解决． 答案 (1)D (2)[9，＋∞)解析 (1)可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x .令F (x )＝x 2－ln x ，则F ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以当0<x <22时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >22时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，故当x ＝22时，F (x )有最小值，即|MN |达到最小．(2)方法一 (看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1.而b >0，∴a ＋3a －1>0.即a >1或a <－3，又a >0，∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法二 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(t －3)2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3>0，ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t >3，t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.所以ab 的取值范围是[9，＋∞)．反思归纳 (1)求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．变式训练1 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为 ( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1 (x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1 (x 0≥3)，因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP→取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．审题破题 可分离变量为a ＝－cos 2x ＋sin x ，转化为确定的相关函数的值域．解 方法一 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x (x ∈(0，π2])．显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解．∵f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝(sin x ＋12)2－54，且由x ∈(0，π2]知sin x ∈(0,1]．易求得f (x )的值域为(－1,1]． 故a 的取值范围是(－1,1]．方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，π2]，可得t ∈(0,1]．将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f (t )＝t 2＋t －1－a .其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示．因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <01－a ≥0，∴－1<a ≤1.故a 的取值范围是(－1,1]． 反思归纳 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．变式训练2 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围．解 令3x ＝t ，则方程化为t 2－2t ＋(3k －1)＝0；(*) 要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0，t 1·t 2＝3k －1>0，t 1＋t 2＝2>0，解得13<k ≤23.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤13，23. 题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．审题破题 本题可先求出m 的范围，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立可转化为函数g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2的值恒大于0.解 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.原题转化为当m ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立．令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3， 问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0. 解得x >2或x <－1.反思归纳 在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．变式训练3 设不等式2x －1>m (x －1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞D ．(－∞，2)答案 C解析 原不等式即(x －1)m －(2x －1)<0，设f (m )＝(x －1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数f (m )的值在区间[－2,2]内恒为负时应满足的条件， 得⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)<0，f (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)－(2x －1)<0，－2(x －1)－(2x －1)<0，解得x >34.题型四 利用函数与方程思想解决数列问题例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－4n ＋4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：14≤T n <1.审题破题 可将T n 看作关于自然数n 的函数，通过函数的单调性来证明不等式． (1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋4－[(n －1)2－4(n －1)＋4]＝2n －5. ∵a 1＝1不适合上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝12n －5， n ≥2.(2)证明 由题意知b n ＝a n2n ＝⎩⎨⎧12， n ＝12n －52n， n ≥2.当n ＝1时，T 1＝12，当n ≥2时，T n ＝12＋－122＋123＋…＋2n －52n ，① 12T n ＝122＋－123＋124＋…＋2n －72n ＋2n －52n ＋1，②①－②得：12T n ＝12－222＋2⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n －2n －52n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －2－2n －52n ＋1， ∴T n ＝1－2n －12n (n ≥2)，当n ＝1时也适合上式．故T n ＝1－2n －12n (n ∈N *)．∵2n －12n >0 (n ∈N *)，∴T n <1.当n ≥2时，T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n ＋12n ＋1－⎝⎛⎭⎫1－2n －12n ＝2n －32n ＋1>0，∴T n <T n ＋1 (n ≥2)． ∵T 1＝12，T 2＝1－34＝14，∴T 2<T 1.故T n ≥T 2，即T n ≥14(n ∈N *)．综上，14≤T n <1 (n ∈N *)．反思归纳 (1)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．(2)数列不等式问题，可以通过变形、整理，转化为数列所对应的函数的单调性问题解决． 变式训练4 (2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案 C解析 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．典例 (14分)(2012·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 规范解答解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.[4分](2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.[5分]设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.[8分]所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.[10分]又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.[12分] 由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1.∴k 的值为1或－1.[14分] 评分细则 (1)不列方程没有a 2＝b 2＋c 2，扣1分；(2)求|MN |时直接使用弦长公式没有中间变形，扣1分；(3)最后结论不写不扣分．阅卷老师提醒 (1)本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求b 、c ；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；(2)阅卷中发现考生的快捷解法：直线y ＝k (x －1)过定点T (1,0)，则S △AMN ＝12·|AT |·|y 1－y 2|，大大简化运算过程．1． 在正实数集上定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足3*x =27的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1或 2D ．3或3 3答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤3x 3＝27或⎩⎪⎨⎪⎧x >3x 2＝27，解得x ＝3或3 3.2． (2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 C解析 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2x ＝60°.∴|PF 2|＝2×⎝⎛⎭⎫32a －c ＝3a －2c . ∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|，∴3a －2c ＝2c ，∴e ＝c a ＝34.3． 方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤52答案 D解析 m ＝x 2－32x ＝⎝⎛⎭⎫x －342－916，x ∈[－1,1]． 当x ＝－1时，m 取最大值为52，当x ＝34时，m 取最小值为－916，∴－916≤m ≤52.4． 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为( )A ．－1B ．1C.23D ．－23答案 D解析 由题设，得a 1＝f (1)－c ＝13－c ；a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29；a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227，又数列{a n }是等比数列，∴⎝⎛⎭⎫－292＝⎝⎛⎭⎫13－c ×⎝⎛⎭⎫－227，∴c ＝1. 又∵公比q ＝a 3a 2＝13，所以a n ＝－23⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫13n ，n ∈N *. 因此，数列{a n }是递增数列， ∴n ＝1时，a n 有最小值a 1＝－23.5． 对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是__________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 x 2＋px >4x ＋p －3对于0≤p ≤4恒成立可以变形为x 2－4x ＋3＋p (x －1)>0对于0≤p ≤4恒成立，所以一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3在区间[0,4]上的最小值大于0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0x 2－1>0， 所以x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．6． 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________． 答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数． 又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x >0时，F (x )也是增函数． 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(草图如图所示)．专题限时规范训练一、选择题1． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设φ(x )＝f (x )－(2x ＋4)，则φ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴φ(x )在R 上为增函数， 又φ(－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0， ∴由φ(x )>0可得x >－1.故f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．2． 若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有 ( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)答案 D解析 由题意得f (x )－g (x )＝e x ，f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，由此解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2，g (0)＝－1，函数f (x )＝e x －e －x 2在R 上是增函数，且f (3)>f (2)＝e 2－e －22>0，因此g (0)<f (2)<f (3)，选D.3． 设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数答案 C解析 利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得． 由已知条件可知，D (x )的值域是{0,1}，选项A 正确； 当x 是有理数时，－x 也是有理数， 且D (－x )＝1，D (x )＝1，故D (－x )＝D (x )， 当x 是无理数时，－x 也是无理数， 且D (－x )＝0，D (x )＝0，即D (－x )＝D (x )， 故D (x )是偶函数，选项B 正确；当x 是有理数时，对于任一非零有理数a ，x ＋a 是有理数，且D (x ＋a )＝1＝D (x )， 当x 是无理数时，对于任一非零有理数b ，x ＋b 是无理数，所以D (x ＋b )＝D (x )＝0，故D (x )是周期函数，但不存在最小正周期，选项C 不正确； 由实数的连续性易知，不存在区间I ，使D (x )在区间I 上是增函数或减函数，故D (x )不是单调函数，选项D 正确．4． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 2＝4a 1＋a 3. ∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0.∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15.5． (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2.∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.6． 若a >1，则双曲线x 2a 2－y2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)答案 B解析 e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2，因为当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.7． 设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 C解析 易知f (x )为奇函数且为增函数， f (m cos θ)＋f (1－m )>0，即f (m cos θ)>f (m －1)，∴m cos θ>m －1，而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >m －1，0>m －1得m <1.8． 若不等式ax －1x ＋b >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式bx ＋1ax ＋1<0的解集是( )A ．{x |12<x <1}B ．{x |x <12或x >2}C ．{x |－12<x <1}D ．{x |x <－1或x >2}答案 A解析 ax －1x ＋b>0⇔(ax －1)(x ＋b )>0，转化为x 1＝－1，x 2＝2是方程(ax －1)(x ＋b )＝0的两个根(且a <0)， 即⎩⎪⎨⎪⎧(－a －1)(－1＋b )＝0(2a －1)(2＋b )＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2，∴bx ＋1ax ＋1＝－2x ＋1－x ＋1<0⇒12<x <1.故选A.二、填空题9． 若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,2) 解析 令f (x )＝(2－2－|x －2|)2.要使f (x )＝2＋a 有实根， 只需2＋a 是f (x )的值域内的值． ∵f (x )的值域为[1,4)， ∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.10．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是____________．答案 (－∞，14]解析 圆心坐标为(－1,2)，因为圆关于直线对称， 所以－2a －2b ＋2＝0即a ＋b －1＝0，∴ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－(a －12)2＋14≤14.11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 答案 15 3解析 由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4. 由一个内角为120°知其必是最长边x ＋4所对的角． 由余弦定理得(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10.∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.12．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 答案 λ＞－3解析 由{a n }是递增数列，得a n ＜a n ＋1对n ∈N *恒成立，即n 2＋λn ＜(n ＋1)2＋λ(n ＋1)，整理得λ＞－(2n ＋1)．而－(2n ＋1)≤－3，所以λ＞－3. 三、解答题13．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值． 解 依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ， 整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0，①∵a ≠0，函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ， ∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1＝(3a －1)·(－a －1)>0，∴－1<a <13且a ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1a.设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |2，∴S ＝121＋12|x 1－x 2|·|－a |2＝12－3a 2－2a ＋1 ＝12－3⎝⎛⎭⎫a ＋132＋43. ∵－1<a <13且a ≠0，∴当a ＝－13时，S 取得最大值33.14．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x212＝1，即y 2＋2x 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22. 所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0. 解得－1<m <－12或12<m <1.即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1.。
步步高 2014届高三数学(理)二轮专题突破课件 专题七 第4讲《转化与化归思想》
(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且
本 讲 栏
对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f 52＝________.
目 开
解析
(1)根据题意，所求数值是一个定值，
关 故可利用满足条件的直角三角形进行计算．
令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形， 且cos A＝45，cos C＝0，
来解决．
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑
问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．
本 2．常见的转化与化归的方法
讲 栏
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受
目 开
阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就
关
是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问
思想方法概述
专题七 第4讲
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题 的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新 知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同 数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化
本
等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思
讲 栏
想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．
目 开
1．转化与化归的原则
关
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利
于我们运用熟悉的知识、经验来解决．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简
单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解
题的启示和依据．
思想方法概述
专题七 第4讲
(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题
【步步高·广东专用】2014高考物理二轮【配套课件】专题突破专题四 第2课时
专题四 第2课时
第 2 课时
动力学、动量和能量观点的综合 应用
本 课 时 栏 目 开 关
1． 动量定理的公式 Ft＝p′－p 除表明两边大小、 方向的关系外， 还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是 动量变化 的 原因． 动量定理说明的是合外力的冲量与 动量变化 的关系，反映 了力对时间的累积效果， 与物体的初、 末动量无必然联系． 动 量变化的方向与
本 课 时 栏 目 开 关
专题四 第2课时
荷量为 q 的正电荷， B 球不带电，两球相 距为 L.从 t＝0 时刻开始，在两小球所在
图3
的水平空间内加一范围足够大的匀强电场，电场强度为 E，方 向与 A、B 两球的连线平行向右，如图 3 所示．A 球在电场力作 用下由静止开始沿直线运动，并与 B 球发生完全弹性碰撞．设 两球间碰撞力远大于电场力且作用时间极短，每次碰撞过程中 A、B 之间都没有电荷量转移，且不考虑空气阻力及两球间的万 有引力．问：
图2
已知 BC 轨道距水平地面 ED 的高度为 0.5h，悬挂 b 球的细绳
热点题型例析
专题四 第2课时
解析 (1)设 a 球经 C 点时速度为 vC，由机械能守恒定律，mgh 1 ＝ mv C 2， 2 解得： vC＝ 2gh
本 课 时 栏 目 开 关
即 a 球与 b 球碰前瞬间的速度为 2gh
热点题型例析
专题四 第2课时
题型 1 例1
本 课 时 栏 目 开 关
动量和能量的观点在力学中的应用
(2013· 广东 · 35)如图 1， 两块相同平板 P1、 P2 置于光滑水
平面上，质量均为 m，P2 的右端固定一轻质弹簧，左端 A 与弹簧的自由端 B 相距 L，物体 P 置于 P1 的最右端，质量 为 2m 且可看作质点．P1 与 P 以共同速度 v0 向右运动，与 静止的 P2 发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后 P1 与 P2 粘连 在一起，P 压缩弹簧后被弹回并停在 A 点(弹簧始终在弹性 限度内 )． P 与 P2 之间的动摩擦因数为 μ，求：
【步步高】2014年高考物理自由复习系列 01(解析版)
【步步高】2014年高考物理自由复习系列 01（解析版）【课本内容再回顾——查缺补漏】 回顾一：直线运动与物体的平衡 一、直线运动要点回顾 1、运动的描述： （1）、质点：用来代替物体有质量的点，是一个理想化模型；物体可以看成质点的条件是：物体的大小和形状对研究结果的影响可以忽略。
（2）参考系：假定不动，用来做参考的物体；参考系可以任意选取，参考系选取不同，同一运动的观察结果不相同；通常以大地作为参考系。
（3）坐标系：为了定量描述物体的位置及位置变化而在参考系中建立的坐标系，有直线坐标系、平面坐标系和三维坐标系。
（4）时间和时刻：时刻在时间轴上用点表示，时间在时间轴上用线段表示。
两个时刻之差为时间间隔。
（5）位移和路程：位移是由初位置指向末位置的有向线段，是矢量；路程是物体实际运动轨迹的长度，是标量。
（6）速度：描述物体运动快慢的物理量，是矢量，公式为：xv t∆=∆，单位：m/s ；平均速度是粗略描述物体运动快慢的物理量，是发生某段位移与相应时间的比值；瞬时速度是物体经过某一位置或某一时刻的速度；速率是速度的大小，是标量；平均速率是发生某段路程与相应时间的比值。
（7）加速度：描述速度变化快慢的物理量，是速度变化量与所用时间的比值；公式为：va t∆=∆，单位是米每二次方秒，其方向与速度变化方向一致；当加速度方向与速度方向一致，速度增加，当加速度方向与速度 相反，速度减少。
2、匀变速直线运动规律：（1）匀变速直线运动定义：沿着一条直线且加速度不变的运动；当加速度与速度方向一致时做匀加速直线运动，当加速度与速度方向相反时，做匀减速直线运动。
（2）匀变速直线运动规律： 速度与时间关系：0v v at =+ 位移与时间关系：2012x v t at =+位移与速度关系：2202v v ax -=位移与平均速度关系：02v vx t +=3、自由落体运动和竖直上抛运动：（1）自由落体运动是：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。
【步步高·广东专用】2014高考物理二轮【配套课件】专题突破专题三 第1课时
本 课 时 栏 目 开 关
热点题型例析
(单选 )(2013· 北京· 19)在实验操 作前应该对实验进行适当的分析．研究平抛 运动的实验装置示意图如图 4 所示．小球每 次都从斜槽的同一位置无初速度释放，并从
专题三 第1课时
本 课 斜槽末端水平飞出．改变水平板的高度，就 图4 时 从而可描绘出小球的运动轨迹． 某 栏 改变了小球在板上落点的位置， 目 开 同学设想小球先后三次做平抛运动，将水平板依次放在如图 1、2、 关
3 的位置，且 1 与 2 的间距等于 2 与 3 的间距．若三次实验中，小 球从抛出点到落点的水平位移依次为 x1、x2、x3，机械能的变化量 依次为 ΔE1、 ΔE2、 ΔE3，忽略空气阻力的影响，下面分析正确的 是 ( )
热点题型例析
专题三 第1课时
A．x2－x1＝x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3 B．x2－x1＞x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3 C．x2－x1＞x3－x2，ΔE1＜ΔE2＜ΔE3
知识方法聚焦
专题三 第1课时
第 1 课时
本 课 时 栏 目 开 关
平抛、圆周和天体运动
1．物体做曲线运动的条件 当物体所受合外力的方向跟它的速度方向 不共线 时， 物 体做曲线运动．合运动与分运动具有 等时性 、 独立性 和 等效性 ．
知识方法聚焦
专题三 第1课时
2．平抛运动 (1)规律：vx＝v0 ，vy＝ gt ，x＝ v0t ，y＝ (2)推论：做平抛(或类平抛)运动的物体
热点题型例析
专题三 第1课时
审题突破
本 课 时 栏 目 开 关
当小物块受到的摩擦力恰好为零时， 受到什么力的
作用？向心力是多少？当转速稍增大(或稍减小)时所需的向心 力如何变化？
步步高2014版通用高考英语大二轮复习考前冲刺卷(四)(含答案解析)
考前冲刺卷(四)第Ⅰ卷第一部分听力(略)第二部分英语知识运用(共两节，满分45分)第一节单项填空(共15小题；每小题1分，满分15分)从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
21．The driver was at ________ loss when ________ word came that he was forbidden to drive because of speeding.A．a；the B．/；/C．the；the D．a；/答案 D解析第一空为固定搭配at a loss，意为“不知所措”；第二空word此处意为“消息”，不可数名词，因此前面不加任何冠词。
句意为：当这位驾驶员得知他由于超速而被禁驾的消息时，不知所措。
22．There is not much time left，but________we must get there on time.A．somehow B．somewhatC．however D．anyhow答案 D解析句意为：剩下的时间不多了，但无论如何，我们也必须按时到达那里。
anyhow 无论如何，不管怎样；somehow以某种方式，通过某种途径；somewhat稍微，有点。
根据题意选D项。
23．Look！The ground is wet.It must have rained last night，________？A．hasn’t it B．didn’t itC．mustn’t it D．hadn’t it答案 B解析由last night及must have rained可知此处是对过去情况的猜测，下雨是过去的事实，所以反意疑问句的助动词用did，并且根据前肯后否的原则，反意疑问句应该用否定形式，C项正确。
句意为：看！地面湿了，昨天晚上肯定下雨了，不是吗？24．—________ one and a half months enough for the project to be finished?—I am afraid not.The professor is ill and only after he recovers ________ go on with it.A．Is；he can B．Are；he canC．Is；can he D．Are；can he答案 C解析由主语one and a half months可知，谓语动词应该用单数，将其看成一个整体，所以第一空用is；第二空and连接的并列句的第二句是only位于句首，应该用部分倒装，所以用can he，故C项正确。
高考物理二轮总复习第1部分专题突破方略专题4电路与电磁感应第1讲直流电路与交流电路
第一部分专题四第1讲基础题——知识基础打牢1. (2022·四川自贡三诊)如图甲所示为一种自耦变压器(可视为理想变压器)的结构示意图．线圈均匀绕在圆环型铁芯上，滑动触头P在某一位置，在BC间接一个交流电压表和一个电阻R.若AB间输入图乙所示的交变电压，则( C )A．t＝2×10－2 s时，电压表的示数为零B．电阻R中电流方向每秒钟改变50次C．滑动触头P逆时针转动时，R两端的电压增大D．滑动触头P顺时针转动时，AB间输入功率增大【解析】电压表的示数是交流电的有效值，则t＝2×10－2 s时，电压表的示数不为零，选项A错误；交流电的周期为0.02 s，一个周期内电流方向改变2次，则电阻R中电流方向每秒钟改变100次，选项B错误；滑动触头P逆时针转动时，次级匝数变大，则次级电压变大，即R两端的电压增大，选项C正确；滑动触头P顺时针转动时，次级匝数减小，次级电压减小，次级消耗的功率减小，则AB间输入功率减小，选项D错误．2. (2022·四川成都三诊)发电站通过升压变压器和降压变压器给某用户端供电，发电机组输出交变电压的有效值恒定，输电线总电阻r保持不变．当用户端用电器增加后( A )A．若滑片P位置不变，则输电线上损失的功率变大B．若滑片P位置不变，则用户端电压升高C．若将滑片P上移，则用户端电压可能不变D．若将滑片P上移，则输电线上损失的功率可能减小【解析】若滑片P位置不变，当用户端用电器增加后，用户端总功率变大，发电机的输出功率增大，输电线的电流变大，ΔU＝Ir，输电线两端承担的电压变大，损耗的功率增大；发电机的输入电压不变，升压变压器、降压变压器的匝数不变，故用户端电压降低，A正确，B 错误；若将滑片P 上移，升压变压器的副线圈与原线圈的匝数比变小，发电机组输出交变电压的有效值恒定，则副线圈两端电压变小．用户端用电器使用相同功率，则输电线上的电流会更大，输电线两端承担的电压更大，损耗的功率更大，则用户端的电压更小，故C 、D 错误．3. (多选)(2022·河南押题卷)图甲是一种振动式发电机的截面图，半径r ＝0.1 m 、匝数n ＝30的线圈位于辐射状分布的磁场中，磁场的磁感线沿半径方向均匀分布，线圈所在位置的磁感应强度大小均为B ＝12πT .如图乙，施加外力使线圈沿轴线做往复运动，线圈运动的速度随时间变化的规律如图丙中正弦曲线所示．发电机通过灯泡L 后接入理想变压器，对图乙中电路供电，三个完全相同的小灯泡均正常发光，灯泡的阻值R L ＝1 Ω，电压表为理想电压表，线圈及导线电阻均不计．下列说法正确的是( AC )A ．发电机产生电动势的瞬时值为e ＝6sin 5πt (V)B ．变压器原、副线圈的匝数之比为1∶3C ．每个小灯泡正常发光时的功率为2 WD ．t ＝0.1 s 时电压表的示数为6 V【解析】 由图丙可知，线圈运动的速度最大值v m ＝2 m/s ，速度变化周期为T ＝0.4 s ，则线圈运动的速度瞬时值v ＝v m sin 2πTt ＝2sin 5πt (m/s)，发电机产生电动势的瞬时值为e ＝nB ·2πr ·v ＝6sin 5πt (V)，A 正确；设灯泡正常发光时通过灯泡的电流为I ，则通过原线圈的电流I 1＝I ，通过副线圈的电流I 2＝2I ，变压器原、副线圈的匝数之比为n 1n 2＝I 2I 1＝21，B 错误；根据能量关系可知，U 出I 1＝3I 2R L ，其中U 出＝E m 2＝62 V ＝3 2 V ，I 1＝I ，解得I ＝ 2 A ，每个小灯泡正常发光时的功率为P L ＝I 2R L ＝2 W ，C 正确；电压表示数为发电机两端电压的有效值，即电压表示数为U ＝E 2＝62V ＝3 2 V ，D 错误．故选AC. 4. (多选)(2022·四川巴中一诊)在如图所示的电路中，定值电阻R 1＝R 4＝3 kΩ，R 2＝2 kΩ，R 3＝R 5＝12 kΩ，电容器的电容C ＝6 μF，电源的电动势E ＝10 V ，内阻不计，当开关S 1闭合电流达到稳定时，处在电容器中间带电量q ＝2×10－3C 的油滴恰好保持静止，当开关S 2闭合后，则以下判断正确的是( BD )A ．电容器上极板是高电势点B ．带电油滴加速向下运动C ．a 、b 两点的电势差U ab ＝8 VD ．通过R 3的电量Q ＝4.8×10－5C【解析】 当开关S 2闭合后，由电路图可知，电容器上极板是低电势点，A 错误；当开关S 1闭合电流达到稳定时，处在电容器中油滴保持静止，而开关S 2闭合后，电容器上极板是低电势点，油滴受到的电场力方向发生变化，故可得带电油滴加速向下运动，B 正确；由电路图可知，a 、b 两点的电势差为U R 5－U R 2＝8 V －4 V ＝4 V ，C 错误；由开关S 1闭合电流达到稳定时，再到当开关S 2闭合后的过程中，通过R 3的电量为Q ＝Q 1＋Q 2＝4×6×10－6 C ＋(8－4)×6×10－6 C ＝4.8×10－5 C ，D 正确．5. (多选)(2022·天津南开二模)如图甲所示电路中，L 1为标有“4 V,2 W”字样的小灯泡，L 2、L 3为两只标有“8 V，6 W”字样的相同灯泡，变压器为理想变压器，各电表为理想电表，当ab 端接如图乙所示的交变电压时，三只灯泡均正常发光．下列说法正确的是( ACD )A ．电流表的示数为1.5 AB ．交变电压的最大值U m ＝28 VC ．变压器原、副线圈的匝数之比为3∶1D ．电压表的示数为24 V【解析】 L 2、L 3的额定电流为I 23＝P 23U 23＝34A ，所以电流表的示数为I 2＝2I 23＝1.5 A ，故A 正确；通过原线圈的电流等于L 1的额定电流，为I 1＝P 1U 1′＝0.5 A ，所以变压器原、副线圈的匝数之比为n 1n 2＝I 2I 1＝31，故C 正确；副线圈两端电压等于L 2和L 3的额定电压，为U 2＝8 V ，所以电压表的示数，即原线圈两端电压为U 1＝n 1n 2U 2＝24 V ，故D 正确；根据闭合电路的欧姆定律可得U m2－U 1′＝U 1，解得U m ＝28 2 V ，故B 错误．故选ACD.6. (多选)(2022·广西桂林模拟)在一小型交流发电机中，矩形金属线圈abcd 的面积为S ，匝数为n ，线圈总电阻为r ，在磁感应强度为B 的匀强磁场中，绕轴OO ′(从上往下看逆时针转动)以角速度ω匀速转动，从如图甲所示的位置作为计时的起点，产生的感应电动势随时间的变化关系如图乙所示，矩形线圈与阻值为R 的电阻构成闭合电路，下列说法中正确的是( AD )A ．在t 1～t 3时间内，穿过线圈的磁通量的变化量大小为2BSB ．在t 1～t 3时间内，通过电阻R 电流方向先向上然后向下C ．t 4时刻穿过线圈的磁通量的变化率大小为E 0D ．在t 1～t 3时间内，通过电阻R 的电荷量为2E 0R ＋r ω【解析】 由图乙可知t 1和t 3时刻，线圈的感应电动势都为0，可知这两个时刻穿过线圈的磁通量一正一负，大小均为BS ，故此过程穿过线圈的磁通量的变化量大小为ΔΦ＝BS －(－BS )＝2BS ，A 正确；由图乙可知，在t 1～t 3时间内，线圈中的电流方向不变，根据右手定则可知通过电阻R 电流方向始终向上，B 错误；由图乙可知，t 4时刻的感应电动势为E 0，根据法拉第电磁感应定律可得E 0＝n ΔΦΔt 可得穿过线圈的磁通量的变化率大小为ΔΦΔt ＝E 0n，C 错误；在t 1～t 3时间内，通过电阻R 的电荷量为q ＝n ΔΦR ＋r ＝2nBS R ＋r，又E 0＝nBSω，联立可得q ＝2E 0R ＋r ω，D 正确．故选AD. 7. (多选)(2022·河北秦皇岛三模)如图所示，变压器为理想变压器，原、副线圈的匝数比为2∶1，原线圈的输入端接有正弦交变电流，开关S 闭合．已知L 1、L 2、L 3是相同的电灯且灯丝的电阻不随温度变化，灯丝不会被烧断．下列说法正确的是( BD )A ．L 1、L 2中的电流之比为1∶2B ．L 1两端的电压与原线圈两端的电压之比为1∶2C ．开关S 断开后，L 1、L 2中的电流之比为1∶1D ．开关S 断开后，L 1两端的电压与原线圈两端的电压之比为1∶4【解析】 原、副线圈中的电流之比为1∶2，由于开关S 闭合时L 2与L 3并联，因此L 1、L 2中的电流之比I 1∶I 2＝1∶1，A 错误；设电灯的电阻为R ，由于原、副线圈两端的电压之比为2∶1，因此原线圈两端的电压U ＝2I 2R ，L 1两端的电压U 1＝I 1R ，结合I 1∶I 2＝1∶1，解得U 1U＝12，B 正确；开关S 断开后，L 1、L 2中的电流与线圈匝数成反比I 1′∶I 2′＝1∶2，C 错误；开关S 断开后，原线圈两端的电压U ′＝2I 2′R ，L 1两端的电压U 1′＝I 1′R ，结合I 1′∶I 2′＝1∶2解得U 1′U ′＝14，D 正确．故选BD. 8. (多选)(2022·辽宁鞍山预测)如图甲所示，理想变压器的原副线圈匝数之比n 1∶n 2＝2∶1，定值电阻R 1和R 2的阻值分别为5 Ω和3 Ω，电表均为理想交流电表，电源输出的电流如图乙所示，图中的前半周期是正弦交流的一部分，后半周期是稳恒直流的一部分，则( BD )A ．电流表示数为2 AB ．电压表示数为6 VC ．R 1的功率为10 WD ．R 2的功率为12 W【解析】 设电源输出电流的有效值即电流表示数为I 1，根据等效热值法可得I 21RT ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i m 22RT 2＋i 2m ·RT 2，解得I 1＝ 3 A ，故A 错误；由于变压器不能对稳恒直流电进行变压，所以每个周期内有半个周期副线圈无电流，设副线圈中电流的有效值为I 2，根据等效热值法有⎝⎛⎭⎪⎫n 1n 2·i m 22RT 2＝I 22RT ，解得I 2＝2 A ，电压表示数为U 2＝I 2R 2＝6 V ，故B 正确；R 1的功率为P 1＝I 21R 1＝15 W ，故C 错误；R 2的功率为P 2＝I 22R 2＝12 W ，故D 正确．故选BD.9. (多选)(2022·湖南押题卷)如图所示在竖直平面的电路，闭合开关S 1和S 2后，带电油滴在电容器内部处于静止状态，R 1为滑动变阻器，R 2为定值电阻，二极管为理想二极管，电容器的下极板接地，则下列说法正确的是( AC )A ．滑动变阻器的滑动头P 向右滑动，油滴向上运动B ．滑动变阻器的滑动头P 向左滑动，油滴向下运动C ．极板M 向上运动，M 板的电势升高D ．断开S 2，油滴不动【解析】 滑动变阻器的滑动头P 向右滑动，则R 1阻值减小，回路电流变大，则R 2两端电压变大，则电容器要充电，此时电容器两板电压变大，场强变大，则油滴向上运动，选项A 正确；滑动变阻器的滑动头P 向左滑动，则R 1阻值变大，回路电流变小，则R 2两端电压变小，则电容器要放电，但是由于二极管的单向导电性使得电容器不能放电，则使得电容器两板电压不变，则油滴仍静止，选项B 错误；极板M 向上运动，根据C ＝εr S 4πkd可知电容器电容减小，则带电量应该减小，但是由于二极管的单向导电性使得电容器不能放电，则两板间电量不变，结合E ＝U d ＝Q Cd ＝Q εr S 4πkdd ＝4πkQ εr S 可知两板间场强不变，则根据U ＝Ed 可知，两板电势差变大，则M 板的电势升高，选项C 正确；断开S 2，则电容器两板间的电压等于电源的电动势，即电压变大，电容器充电，两板间场强变大，则油滴向上运动，选项D 错误．故选AC.10. (多选)(2022·山东威海二模)如图所示为远距离输电的原理图，升压变压器T 1、降压变压器T 2均为理想变压器，T 1、T 2的原、副线圈匝数比分别为k 1、k 2.输电线间的总电阻为R 0，可变电阻R 为用户端负载．U 1、I 1分别表示电压表V 1、电流表A 1的示数，输入电压U 保持不变，当负载电阻R 减小时，理想电压表V 2的示数变化的绝对值为ΔU ，理想电流表A 2的示数变化的绝对值为ΔI ，下列说法正确的是( BD )A ．R 0＝U 1I 1B ．R 0＝ΔU ΔI k 22C ．电压表V 1示数增大D ．电流表A 1的示数增加了ΔI k 2【解析】 设降压变压器T 2原线圈电压为U 3，副线圈电压为U 2，根据题意可知，电阻R 0两端的电压等于U R 0＝U 1－U 3，则R 0＝U 1－U 3I 1，故A 错误；设降压变压器T 2原线圈电压变化为ΔU 3，则ΔU 3ΔU ＝k 2，设降压变压器T 2原线圈电流变化为ΔI 3，则ΔI 3ΔI ＝1k 2，可得ΔI 3＝ΔI k 2，根据欧姆定律得ΔU 3＝ΔI 3R 0，即k 2ΔU ＝ΔI k 2R 0，解得R 0＝ΔU ΔIk 22，故B 、D 正确；输入电压不变，升压变压器T 1原副线圈匝数比不变，则升压变压器T 1副线圈的电压不变，电压表V 1示数不变，故C 错误．故选BD.应用题——强化学以致用11. (多选)(2022·安徽合肥预测)如图所示，理想变压器的原、副线圈分别接有R 1＝250 Ω与R 2＝10 Ω的电阻．当原线圈一侧接入u ＝311sin 100πt (V)的交流电时，两电阻消耗的功率相等，则有( AC )A ．原、副线圈的匝数比为5∶1B ．电阻R 1两端电压有效值是电阻R 2两端电压有效值的2倍C ．电阻R 2消耗的功率为48.4 WD ．1 s 内流过电阻R 2的电流方向改变200次【解析】 设原线圈电流为I 1，副线圈电流为I 2，由题意可知I 21R 1＝I 22R 2，故n 1n 2＝I 2I 1＝R 1R 2＝5，A 正确；电阻R 1两端电压有效值和电阻R 2两端电压有效值之比为U R 1U R 2＝I 1R 1I 2R 2＝5，B 错误；设原线圈输入电压为U 1，副线圈输出电压为U 2，故U 1U 2＝n 1n 2＝5，解得U 1＝5U 2，又U R 1＝I 1R 1，U 2＝I 2R 2，又因为U ＝U R 1＋U 1，外接交流电压有效值为220 V ，联立代入数据解得U 2＝110U ＝22 V ，电阻R 2消耗的功率为P ＝U 22R 2＝48.4 W ，C 正确；由题意可知，交流电的频率为f ＝ω2π＝50 Hz ，变压器不改变交流电的频率，一个周期内电流方向改变2次，故1 s 内流过电阻R 2的电流方向改变100次，D 错误．故选AC.12. (多选)(2022·湖北恩施预测)为了适应特高压输电以实现地区间电力资源的有效配置，需要对原来线路中的变压器进行调换．某输电线路可简化为如图所示，变压器均为理想变压器，调换前后发电机输出电压、输电线电阻、用户得到的电压均不变，改造后输送电压提升为原来的5倍，假设特高压输电前后输送的功率不变，下列说法正确的是( AB )A ．线路改造后升压变压器原、副线圈的匝数比改变B ．线路上电阻的功率变为原来的125C ．特高压输电后，电压损失变为原来的125D ．线路改造后用户端降压变压器匝数比不变【解析】 发电机输出电压不变，应改变升压变压器原、副线圈的匝数比，故A 项正确；根据线路上功率的损失ΔP ＝I 22r ，输送功率不变，电压提升为原来的5倍，输送的电流变为原来的15，线路电阻不变，损失的功率变为原来的125，故B 项正确；输电线上的电压损失为ΔU ＝I 2r ，输送功率为P 2＝U 2I 2则输送功率不变，电压增为原来的5倍，电流变为原来的15，损失的电压变为原来的15，故C 项错误；用户端的降压变压器改造前后输出端电压U 4不变，输入端电压U 3变大，根据U 3U 4＝n 3n 4，可得原、副线圈的匝数比一定变化，故D 项错误．故选AB.13. (多选)(2022·湖北襄阳模拟)如图所示，矩形线圈abcd 在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴OO ′匀速转动，线圈的电阻为R ，线圈共N 匝，理想变压器原、副线圈的匝数比为1∶2，定值电阻R 1＝R ，当线圈转动的转速为n 时，电压表的示数为U ，则( ACD )A ．电流表的示数为2U RB ．从线圈转动到图示位置开始计时，线圈中产生的电动势的瞬时表达式为e ＝52U cos2πntC ．线圈在转动过程中通过线圈磁通量的最大值为52U 4Nn πD ．当线圈转动的转速为2n 时，电压表的示数为2U 【解析】 依题意有I 2＝U R 1＝U R ，I 1∶I 2＝2∶1则有I 1＝2I 2＝2U R，故A 正确；根据欧姆定律，发电机产生的感应电动势的最大值为E m ，有E m 2＝R ×I 1＋U 1，U 1U ＝12，ω＝2n π rad/s，从线圈转动到图示位置开始计时，线圈中产生的电动势的瞬时表达式为e ＝E m cos ωt ＝52U 2cos 2n πt (V)，故B 错误；依题意有，线圈在转动过程中通过线圈磁通量的最大值为Φm ，则有52U 2＝NΦm 2n π，解得Φm ＝52U 4Nn π，故C 正确；当线圈转动的转速为2n 时，线圈中产生的电动势的最大值为E m ′＝NΦm 4n π，因52U 2＝NΦm 2n π＝E m ，所以E m ′＝52U ，其有效值为5U ，假定电压表示数为U 2′，则有5U ＝I 1′R ＋U 1′＝2U 2′R 1×R ＋U 1′＝12U 2′＋2U 2′＝52U 2′，解得U 2′＝2U ，当线圈转动的转速为2n 时，电压表的示数为2U ，故D 正确．故选ACD.。
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专题四 第1讲
AB· AC 12 AH＝ BC ＝ . 5
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作 A1M⊥BB1 于 M，A1N⊥CC1 于 N.连接 MN. 1 12 1 V＝ ×(5×3)× ＋(3×4)× ×2＝24. 3 5 2
答案 (1)C
(2)24
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专题四 第1讲
SA⊥平面 ABC，△ABC 中∠ABC＝90° ，SA＝ AB＝4，BC＝3，
因此图中四个面的三角形均为直角三角形，
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SB＝4 2，AC＝5，S△SAC＝10，S△SAB＝8，S△SBC＝6 2，S△ABC ＝6， 所以最大面积是 10. (2)由三视图可知，其直观图为： AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90° ， ∴BC＝5. 作 AH⊥BC 于 H，
侧视图可能为
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专题四 第1讲
(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该 几何体的侧视图为
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(
)
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解析 (1)底面为正三角形，一侧棱垂直于底
专题四 第1讲
面．由虚线知可能有一侧棱看不见．
由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长 是 3，
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专题四 第1讲
第1讲
【高考考情解读】
空间几何体
高考对本节知识的考查主要有以下两个考向：
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1．三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的 形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或 由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、 体积的计算等，均属低中档题. 2．对于空间几何体的表面积与体积，由原来的简单公式套用 渐渐变为三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，特别是 已知空间几何体的三视图求表面积、体积是近两年高考考 查的热点，题型一般为选择题或填空题．
故其侧视图只可能是选项 B 中的图形． (2)如图所示，点 D1 的投影为 C1，点 D 的投影为 C，点 A 的 投影为 B，故选 D.
答案 (1)B
(2)D
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专题四 第1讲
空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、 左面、 上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图， 因此在分析空
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中最大的是
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A．8
B． 6 2
C．10
D．8 2
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专题四 第1讲
(2)(2013· 浙江)若某几何体的三视图(单位： cm)如图所示， 则此 几何体的体积等于________ cm3.
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解析
专题四 第1讲
(1)由三视图可想象出如图所示的三棱锥，
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y′轴的夹角为 45° (或 135° )，z′轴与 x′轴和 y′轴所在 平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于 坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变， 平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
主干知识梳理
4．空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：
面图形． (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正 视图一样； 侧视图放在正视图的右面， 高度和正视图一样， 宽度与俯视图一样． (3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧 一样高．看不到的线画虚线．
主干知识梳理
专题四 第1讲
3．直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、
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(
)
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专题四 第1讲
(2)(2012· 湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该 几何体的俯视图不可能是 ( )
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解析
专题四 第1讲
(1)根据已知条件作出图形：四面体 C1－A1DB，标出各
个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图 (2) 所示．故选 A.
主干知识梳理
专题四 第1讲
1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直 平行六面体、长方体之间的关系．
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主干知识梳理
专题四 第1讲
2．空间几何体的三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前 方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平
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主干知识梳理
专题四 第1讲
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1 ②V锥体＝ Sh(S为底面面积，h为高)； 3 1 ③V台＝ (S＋ SS′＋S′)h(不要求记忆)； 3 4 3 ④V球＝ πR . 3
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专题四 第1讲
考点一 例1
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三视图与直观图的转化 ( )
(1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图， 那么该三棱锥的
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专题四 第1讲
(2)根据几何体的三视图知识求解．
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由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形， 矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是 D.
答案 (1)A(2Fra bibliotekD热点分类突破
考点二 例2 几何体的表面积及体积
专题四 第1讲
(1)某四面体的三视图如图所示， 该四面体四个面的面积 ( )
间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面， 然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征， 调 整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状， 即可得到结果．
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专题四 第1讲
(1)(2013· 课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直 角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)， (0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影 面，则得到的正视图可以为
专题四 第1讲
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①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)； 1 ②S锥侧＝ ch′(c为底面周长，h′为斜高)； 2 1 ③S台侧＝ (c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′ 2 为斜高)； ④S球表＝4πR2(R为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；