数学选择性必修一模块综合检测

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高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)，则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11．圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4，所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |，得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2，即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)，所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3．所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ．又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)．设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量，则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1，又因为a 2－b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下：设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2．直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数．所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0，所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0，整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0．从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意．综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。

新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析

人教B 选择性必修第一册综合测验第一章空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin <u ,v >,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。

2024-2025年北师大版数学必修第一册模块质量检测卷(带答案)

模块质量检测卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x∈Z ⎪⎪⎪－3<x <12 ，B ＝{－1，0，1，2}，能正确表示图中阴影部分的集合是( )A ．{－1，0，1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{2}2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A ．14B ．38C ．512D ．583．函数f (x )＝e x＋2x －3的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)4．某地甲、乙、丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为300，400，500，为了调查此次联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法从这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么应从乙学校中抽取的数学成绩的份数为( )A ．30B ．40C ．50D ．805．a ，b ∈R ，记m ax {a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥b ）b （a <b ），则函数f (x )＝m ax {|x ＋1|，x 2}(x ∈R )的最小值是( )A ．3－52B ．3＋52C ．1＋52D ．1－526．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p ，若存m 期，本利和为5.4万元，若存n 期，本利和为5.5万元，若存m ＋n 期，则利息为( )A ．5.94万元B ．1.18万元C ．6.18万元D ．0.94万元7．现有四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x的图象(部分)如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③ B．①④③② C ．④①②③ D．③④②①8．已知a 是方程x ＋lg x ＝3的解，b 是方程2x ＋100x＝3的解，则a ＋2b 为( ) A ．－32 B ．32C ．3D ．－3二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．下列命题是真命题的是( )A ．若幂函数f (x )＝x α过点(12 ，4)，则α＝－12B ．∃x ∈(0，1)，(12 )x>log 12 xC ．∀x ∈(0，＋∞)，log 12x >log 13xD ．命题“∃x ∈R ，sin x ＋cos x <1”的否定是“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≥1” 10．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：PM2.5日均值在35μg/m 3以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在35～75μg/m 3，空气质量为二级：PM2.5日均值超过75μg/m 3为超标．如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值(单位：μg/m 3)变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是( )A ．这10天的日均值的80%分位数为60B ．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C ．这10天的日均值的中位数为41D ．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 11．下列选项正确的是( ) A ．若a ≠0，则a ＋4a的最小值为4B ．若x ∈R ，则x 2＋3x 2＋2的最小值是2C ．若ab <0，则a b ＋b a的最大值为－2D ．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则2x ＋xy的最小值为612．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －x，x ≥12x －a ，x <1 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．a ＝1B ．a ＝－1C ．函数y ＝f (x ＋1)是偶函数D ．关于x 的不等式f (x )>12的解集为(0，2)第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知一组样本数据x 1，x 2，…，x 10，且x 21 ＋x 22 ＋…＋x 210 ＝2 022，平均数x －＝12，则该组数据的方差为________．14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2022年度的消费情况进行了统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________． 15．已知a >0，且a ≠1，log a 2＝x ，则a 2x＋a －2x＝________.16.三个元件a ，b ，c 独立正常工作的概率分别是13 ，12 ，23 ，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒T 1，T 2，T 3中(一盒接一个元件)，各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：8 6 7 8 6 5 9 10 4 7 乙：6 7 7 8 6 7 8 7 9 5 (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出以上两组数据的方差；(3)根据计算结果，评价这两名战士的射击情况．18．(本小题满分10分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在[16，18)和[18，20]内的该产品中抽取6件，再从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品不是取自同一组的概率．20．(本小题满分12分)某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2 500万元，每生产x 百件，需另投入成本c (x )(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c (x )＝10x 2＋100x ；当年产量不小于30百件时，c (x )＝501x ＋10 000x－4 500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．(1)求年利润y (万元)关于年产量x (百件)的函数关系式；(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？21．(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行摔跤比赛，比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，另一人当裁判，没有平局；②每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；③累计负两场者被淘汰；④当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人累计负两场被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为23 ，乙胜丙的概率为12，各局比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲当裁判．(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； (2)求只需四场比赛就决出冠军的概率； (3)求甲最终获胜的概率．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝log 3(3x＋1)＋12 kx (x ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝12 x ＋a 有公共点，求a 的取值范围．模块质量检测卷1.答案：B解析：由题意，集合A ＝{x∈Z ⎪⎪⎪－3<x <12 }＝{－2，－1，0}，根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{1，2}．故选B. 2．答案：A解析：由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中，137，271，436这三组表示三次投篮恰有两次命中，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P ＝312 ＝14 ，故选A. 3．答案：C解析：f (x )＝e x＋2x －3，函数单调递增，计算得到f (0)＝－2<0，f (1)＝e －1>0，故函数在(0，1)有唯一零点．4．答案：B解析：由题意知，应从乙学校抽取120×400300＋400＋500 ＝40(份)数学成绩．5．答案：A解析：当|x ＋1|≥x 2，即x ＋1≥x 2或x ＋1≤－x 2，解得1－52 ≤x ≤1＋52时，f (x )＝max{|x ＋1|，x 2}＝|x ＋1|＝x ＋1，函数单调递增，所以f (x )min ＝1－52 ＋1＝3－52；当x <1－52 时，f (x )＝max{|x ＋1|，x 2}＝x 2，函数单调递减，f (x )>f (1－52 )＝3－52 ；当x >1＋52 时，f (x )＝max{|x ＋1|，x 2}＝x 2，函数单调递增，f (x )>f (1＋52 )＝3＋52 ；综上，f (x )min ＝3－52.故选A. 6．答案：D解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5（1＋p ）m＝5.45（1＋p ）n＝5.5，则5(1＋p )m ·5(1＋p )n＝5.4×5.5，即存m ＋n 期，本利和为5(1＋p )m ＋n＝5.4×1.1＝5.94，则存m ＋n 期，则利息为5.94－5＝0.94万元．故选D. 7．答案：A解析：①y ＝x ·sin x 为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是；②y ＝x ·cosx 为奇函数，它的图象关于原点对称，它在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 上的值为正数，在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π 上的值为负数，故第三个图象满足；③y ＝x ·|cos x |为奇函数，当x >0时，f (x )≥0，故第四个图象满足；④y ＝x ·2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A.8．答案：C解析：因为a 是方程x ＋lg x ＝3的解，所以a ＋lg a ＝3,令t ＝lg a ，则有a ＝10t，所以10t＋t ＝3， ①因为b 是方程2x ＋100x ＝3的解，所以2b ＋100b ＝3，即2b ＋102b＝3， ② 设f (x )＝10x＋x ，易知f (x )在R 上单调递增，由①②得，t ＝2b ，所以lg a ＝2b ，代入a ＋lg a ＝3得，a ＋2b ＝3.故选C. 9．答案：BD解析：f (12 )＝(12 )α＝4，∴α＝－2，A 错误；在同一平面直角坐标系上画出y ＝(12 )x与y ＝log 12x 两函数图象，如图1所示．图1 图2由图可知∃x ∈(0，1)，(12 )x>log 12 x ，故B 正确；在同一平面直角坐标系上画出y ＝log 13x 与y ＝log 12x 两函数图象，如图2所示．由图可知，当x ∈(0，1)时，log 12x >log 13x ，当x ＝1时，log 12x ＝log 13x ，当x ∈(1，＋∞)时，log 12x <log 13x ，故C 错误；根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知，命题“∃x∈R ，sin x ＋cos x <1”的否定是“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≥1”，故D 正确．故选BD.10．答案：BD解析：10个数据为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80， 10×0.8＝8，故80%分位数为60＋782＝69，A 选项错误．5天的日均值的极差为41－30＝11，后5天的日均值的极差为80－45＝35，B 选项正确．中位数是41＋452＝43，C 选项错误．根据折线图可知，前5天数据波动性小于后5天数据波动性，所以D 选项正确．故选BD.11．答案：CD解析：当a <0时，a ＋4a ＝－(－a －4a)≤－2－a ·（－4a）＝－4，当且仅当－a ＝－4a，即a ＝－2时取等号，则a ＋4a 有最大值为－4，当a >0时，a ＋4a≥2a ·4a ＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时取等号，则a ＋4a的最小值为4，故A 错误；因为x 2＋2 ≥2 ，1x 2＋2>0，所以x 2＋2 ＋1x 2＋2≥2x 2＋2·1x 2＋2＝2，等号成立的条件是x 2＋2 ＝1x 2＋2，即x 2＋2＝1，方程无解，即最小值不为2，B 错误；若ab <0，故b a <0，a b <0，则a b ＋b a ＝－[(－a b )＋(－b a)]≤－2－a b ·－ba＝－2，当且仅当－ba ＝－a b即a ＝－b 时取等号，此时取得最大值－2，C 正确；正实数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则2x ＋x y ＝2x ＋4y x ＋x y ＝2＋4y x ＋xy ≥2＋24y x·x y＝6，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y ＝12 时取等号，则2x ＋xy 的最小值为6，D 正确．故选CD.12．答案：ACD解析：由函数图象可知x ＝1为函数f (x )的对称轴，即函数满足f (2－x )＝f (x )，则当x >1时，2－x <1，故22－x －a＝2a －x，∴2－x －a ＝a －x ，则a ＝1，同理当x <1时，2－x >1，故2a －2＋x＝2x －a，∴a －2＋x ＝x －a ，则a ＝1，综合可知a ＝1，A 正确；B 错误．将f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －x，x ≥12x －a ，x <1 的图象向左平移1个单位，即得函数y ＝f (x ＋1)，x ∈R 的图象，则y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，故y ＝f (x ＋1)为偶函数，C 正确；当x ≥1时，f (x )＝21－x，令21－x>12，解得x <2，故1≤x <2；当x <1时，f (x )＝2x －1，令2x －1>12，解得x >0，故0<x <1，综合可得0<x <2，即不等式f (x )>12 的解集为(0，2)，D 正确．故选ACD. 13．答案：58.2解析：因为一组样本数据x 1，x 2，…，x 10，且x 21 ＋x 22 ＋…＋x 210 ＝2 022，平均数x －＝12，所以该组数据的方差为110[(x 1－12)2＋(x 2－12)2＋…＋(x 10－12)2]＝110 [(x 21 ＋x 22 ＋…＋x 210 )－24(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋10×122] ＝110 (2 022－24×10×12＋10×122) ＝58.2.14．答案：(1)3.0 (2)6 000解析：(1)0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1×a ＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3.0.(2)消费金额在区间[0.5，0.9]内的频率为1－0.1×1.5－0.1×2.5＝0.6，则该区间内购物者的人数为10 000×0.6＝6 000. 15．答案：174解析：由指对数的互化，log a 2＝x ⇒a x＝2，∴a 2x＋a －2x＝(a x )2＋1（a x ）2 ＝22＋122 ＝174.16．答案：49解析：若T 1接入a ，T 2，T 3分别接入b ，c ，则该电路正常工作的概率为13 ×(1－12 ×13 )＝518；若T 1接入b ，T 2，T 3分别接入a ，c ，则该电路正常工作的概率为12 ×(1－23 ×13 )＝718 ；若T 1接入c ，T 2，T 3分别接入a ，b ，则该电路正常工作的概率为23 ×(1－23 ×12 )＝49 ；∵49 >718 >518 ，∴此电路正常工作的最大概率为49. 17．解析：(1)x －甲＝110 ×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，x －乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)s 2甲＝110×[(8－7)2＋(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝3，s 2乙＝110×[(6－7)2＋(7－7)2＋…＋(5－7)2]＝1.2.(3)x －甲＝x －乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；s 2甲＞s 2乙，说明甲战士的射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．18．解析：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3. ∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]. 19．解析：(1)因为(0.025＋0.125)×2＝0.3<0.5，0.3＋0.200×2＝0.7>0.5，所以该产品这一质量指数的中位数在[14，16)内，设该产品这一质量指数的中位数为m ，则(m －14)×0.2＋0.3＝0.5，解得m ＝15.(2)由频率分布直方图可得100×0.100×2＝20，100×0.050×2＝10，即在[16，18)和[18，20]的产品分别有20，10件，采用分层抽样的方法抽取的6件产品中这一质量指数在[16，18)内的有4件，记为a ，b ，c ，d ，这一质量指数在[18，20]内的有2件，记为e ，f ，从这6件产品中随机抽取2件的情况有ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15种；其中符合条件的情况有ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，共8种，故所求概率P ＝815.20．解析：(1)当0<x <30时，y ＝500x －10x 2－100x －2 500＝－10x 2＋400x －2 500；当x ≥30时，y ＝500x －501x －10 000x＋4 500－2 500＝2 000－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋400x －2 500，0<x <30，2 000－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥30.(2)当0<x <30时，y ＝－10(x －20)2＋1 500，∴当x ＝20时，y max ＝1 500；当x ≥30时，y ＝2 000－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤2000－2 x ·10 000x＝2 000－200＝1 800，当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时，y max ＝1 800>1 500，∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1 800万元． 21．解析：(1)记事件A 为甲胜乙，则P (A )＝23 ，P (A －)＝13 ，事件B 为甲胜丙，则P (B )＝23 ，P (B －)＝13 ，事件C 为乙胜丙，则P (C )＝12 ，P (C －)＝12 ，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为P 1＝P (C A －C )＋P (CAB )＝12 ×13 ×12 ＋12 ×23 ×23 ＝1136.(2)只需四场比赛就决出冠军的概率为P 2＝P (C A － C A － )＋P (C － B － C － B － )＋P (CABA )＋P (C －BAB )＝12 ×13 ×12 ×13 ＋12 ×13 ×12 ×13 ＋12 ×23 ×23 ×23 ＋12 ×23 ×23 ×23 ＝1954 . (3)由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为23 ，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为12 ，第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件D ，甲当裁判为事件E ，P 3＝P (EDDD )＋P (EDD D － D )＋P (ED D － ED )＋P (E D －EDD )＝23 ×23 ×23 ＋23 ×23 ×13 ×23 ＋23 ×13 ×23 ＋13 ×23 ×23 ＝5681 . 22．解析：(1)∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴log 3(3－x ＋1)－12 kx ＝log 3(3x＋1)＋12kx ，化简得log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x＋13x ＋1 ＝kx ，即log 313x ＝kx ，∴log 33－x ＝kx ，∴－x ＝kx ，即(k ＋1)x ＝0对任意的x ∈R 都成立，∴k ＝－1； (2)由题意知，方程log 3(3x＋1)－12 x ＝12x ＋a 有解，亦即log 3(3x＋1)－x ＝a ，即log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3x＋13x ＝a 有解， ∴log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x ＝a 有解，由13x >0，得1＋13x >1，∴log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x >0，故a >0，即a 的取值范围是(0，＋∞).。

新教材2024年秋高中数学模块综合测评新人教A版必修第一册

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1 或x>3}，则A∩B＝( )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}2．(2024·河北辛集中学月考)若幂函数f(x)]＝xα的图象经过点，则α的值为( )A．2 B．－2C．D．－3．(2024·湖北武汉期末)已知函数f(x)]＝x－e－x的部分函数值如表所示：x 10.50.750.6250.562 5f(x)0.632 1－0.106 50.277 60.089 7－0.007那么函数f(x)]的一个零点的近似值(精确度为0.01)为( )A．0.55 B．0.57C．0.65 D．0.74．(2024·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2024·福建厦门双十中学月考)将y＝图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)] 的图象，再将y＝g(x)]图象向左平移，得到y＝φ(x)]的图象，则y＝φ(x)]的解析式为( )A．y＝sin x B．y＝cos xC．y＝sin 9x D．y＝sin6．(2024·山东青岛期末)在直角坐标系中，已知圆C的圆心在原点，半径等于1 ，点P从初始位置(0，1)起先，在圆C上按逆时针方向，以角速度rad/s均速旋转3 s后到达P′点，则P′的坐标为( )A．B．C．D．7．(2024·浙江杭州四中期末)已知实数x，y，z满意x＝40.5，y＝log53，z＝sin ，则( )A．z<x<y B．y<z<xC．z<y<x D．x<z<y8．(2024·北京高考)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2024·山东新泰一中期末)下列结论中正确的是( )A．若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2B．若a，b，m为正实数，且a<b，则<C.若>，则a>bD．当x>0时，x＋的最小值为210．(2024·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝( )A．sin B．sinC．cos D．cos11．(2024·浙江省杭州七中期末)已知函数f(x)]＝sin ，则fA．是奇函数B．是偶函数C．关于点(π，0)成中心对称D．关于点成中心对称12．(2024·山东泰安期末)已知f(x)]是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则下列结论正确的是( )A．f(x)]在(0，＋∞)上单调递减B．f(x)]最多有两个零点C．f(log0.53)>f(log25)D．若实数a满意f(2a)>f，则a<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2a＝3b＝，则＋的值为________．14．的值为________．15．(2024·山东青岛期末)已知函数f(x)]＝ax2＋bx＋c，满意不等式f(x)]<0的解集为(－∞，－2)∪(t，＋∞)，且f(x－1)为偶函数，则实数t＝________．16．某化工厂产生的废气必需经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0·e t ln k(其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量)．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则k＝________；要能够按规定排放废气，还须要过滤n小时，则正整数n的最小值为________(参考数据：log52≈0.43)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2024·浙江高校附属中学期末)(1)计算：＋log23·log34＋lg 2＋lg 50；(2)已知tan α＝2，求cos ·cos(π－α)的值．18．(本小题满分12分)(2024·山东临沂期末)已知集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)求实数a的取值范围，使________成立．从①A⊆∁R B，②B⊆∁R A，③(∁R A)∩B＝∅中选择一个填入横线处求解．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin2x＋cos x－2.(1)求函数f(x)的零点；(2)当x∈时，函数f(x)的最小值为－1，求α的取值范围．20．(本小题满分12分)(2024·湖北华中师大一附中期末)函数f(x)]＝－sin2x＋sin x cos x.(1)若f＝－＋，α∈(0，π)，求sin α；(2)若函数y＝f(ω)(0<ω<3)的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求ω的取值范围(不须要证明唯一性)．21．(本小题满分12分)(2024·湖北沙市中学期末)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满意5≤t≤20，t∈N.经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满意：p(t)＝其中t∈N.(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；(2)若该路公交车每分钟的净收益y＝－10(元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．(本小题满分12分)(2024·山东烟台期末)已知函数f(x)＝4log2x＋，g(x)＝m·4x ＋2x+1－m，m<0.(1)求函数f(x)在区间(1，＋∞)上的最小值；(2)求函数g(x)在区间[1，2]上的最大值；(3)若对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)＋g(x2)>7成立，求实数m的取值范围．模块综合测评1．A [在数轴上表示出集合A，B，如图所示．由图知A∩B＝{x|－2x－1}．]2．C [由已知可得f (3)＝3α＝，解得α＝．故选C．]3．B [函数f (x)＝x－在R上单调递增，由数表知：f (0.5) f (0.562 5)0 f (0.625) f (0.75) f (1)，由函数零点存在定理知，函数f (x)的零点在区间(0.562 5，0.625)内，所以函数f (x)的一个零点的近似值为0.57．故选B．]4．A [sin x＝1，x＝＋2kπ，k∈Z，cos x＝0，x＝＋kπ，k∈Z；sin x＝1可推出cos x＝0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故为充分不必要条件，故选A．]5．A [将y＝sin 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝sin 的图象，再将y＝g(x)图象向左平移，得到φ(x)＝sin＝sin x的图象，故选A．]6．D [点P(0，1)为角α＝的终边上一点，3 s后点P按逆时针方向旋转到达P′点，点P′落在角β＝＋3×的终边上，cos β＝cos ＝－cos ＝－，sin β＝sin ＝－sin ＝－，故P′的坐标为．故选D．]7．C [x＝40.5＝>1，0＝log51y＝log53log55＝1，z＝sin 0，综上所述，故z y x．故选C．]8．C [f (x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x．选项A中：2x∈，此时f (x)单调递增，A错误；选项B中：2x∈，此时f (x)先递增后递减，B错误；选项C中：2x∈，此时f (x)单调递减，C正确；选项D中：2x∈，此时f (x)先递减后递增，D错误．故选C．]9．AC[对于A，若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3－＝(A＋B)－ab(A＋B)＝(A＋B)(a－b)2>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，且a<b，则－＝>0，所以>，故B错误；对于C，因为>，又c2>0，故a>b，故C正确；对于D，当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，故D错误．故选AC．] 10．BC[由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2．当ω＝2时，y＝sin (2x＋φ)，将点代入得，sin ＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin ．由于y＝sin ＝sin ＝sin ，故选项B正确；y＝sin ＝cos＝cos ，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin ＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos ＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin (－2x＋φ)，将代入，得sin ＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin ，但当x＝0时，y＝sin ＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC．]11．BD[因为f ＝sin ＝sin ＝cos x，故函数f 为偶函数，因为函数f 的对称中心坐标为，所以函数f 的图象关于点成中心对称．故选BD．]12．ACD[因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故A正确；函数零点个数无法确定，故B错误；f ＝f (log23)，因为log23<log25，所以f (log23)>f (log25)，故C正确；若实数a满意f (2a)>f ，即f (2a)>f ，则2a<＝，解得a<，故D正确．故选ACD．]13．2 [因为2a＝3b＝，所以a＝log2，b＝log3，所以＋＝＋＝＋＝＝2．]14．1 [原式＝＝＝＝1．]15．0 [依据解集易知：a<0 ，由f (x－1)为偶函数，可得f (x)关于直线x＝－1对称，即b－2a＝0．易知ax2＋bx＋c＝0的两根为t，－2，则依据根与系数的关系可得t－2＝－＝－2，解得t ＝0．]16． 4 [明显，当t＝0时，P＝P0，当t＝4时，P＝4%P0，则有P0＝P0·e4ln k，于是得k4＝，而k>0，解得k＝，设经过m小时后能够按规定排放废气，则有P0·e m ln k≤0.25%P0⇔k m≤，即≤⇔≥400⇔m≥log5400⇔m≥4＋8log52≈4＋8×0.43＝7.44，于是得还须要过滤时间n＝m－4≥3.44，则正整数n的最小值为4．所以k＝，正整数n的最小值为4．]17．解：(1)＋log23·log34＋lg 2＋lg 50＝＋log23×2log32＋lg 100＝＋2＋2＝．(2)cos ·cos (π－α)＝sin α·(－cos α)＝＝＝－．18．解：(1) A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0<x－1<4}＝{x|1<x<5}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}＝{x|[x－(a－1)][x－(a＋1)]<0}＝{x|a－1<x<a＋1}，当a＝1时，B＝{x|0<x<2}，所以A∪B＝{x|0<x<5}．(2)由(1)知，A＝{x|1<x<5}，B＝{x|a－1<x<a＋1}，所以∁R A＝{x|x≤1或x≥5},∁R B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}．若选①，A⊆∁R B，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选②，B⊆∁R A，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选③，(∁R A)∩B＝∅，则解得2≤a≤4，所以a的取值范围为2≤a≤4．19．解：(1)由sin2x＋cos2x＝1得：f (x)＝－2cos2x＋cos x，令f (x)＝0，解得cos x＝0或cos x＝，当cos x＝0时，x＝＋kπ，k∈Z；当cos x＝时，x＝2kπ±，k∈Z．所以函数f (x)的零点为＋kπ，2kπ±，k∈Z．(2)因为f (x)＝－2cos2x＋cos x，令cos x＝t，则f (x)＝g(t)＝－2t2＋t，因为f (x)的最小值为－1，所以－2t2＋t≥－1(等号可取)，解得－≤t≤1(等号可取)，即－≤cos x≤1(等号可取)，因为x∈，且cos ＝－，由－≤cos x≤1(等号可取)，x∈可得－≤α<．所以α的取值范围为．20．解： f (x)＝－sin2x＋sin x cos x＝－＋＝sin －．(1)由f ＝－＋，∴sin ＝，∵α∈(0，π)，∴<α＋<π．又sin ＝<＝sin ，∴<α＋<π，∴cos ＝－．故sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝．(2) y＝f (ωx)＝sin －，设t＝2ωx＋，由x∈，则t∈，由0<ω<3，则<＋<，<ωπ＋<，由题意y＝sin t－，在t∈时，有且仅有一条经过最高点的对称轴，即y＝sin t－的对称轴x＝或x＝仅有一条在定义域内．所以或解得<ω<或<ω<．又0<ω<3，故ω的取值范围为∪．21．解：(1)p(5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．(2)∵y＝－10，∴当5≤t<10时，y＝－10＝110－，任取5≤t1<t2≤6，则y1－y2＝－＝6(t2－t1)＋－＝6(t2－t1)＋＝，∵5≤t1<t2≤6，∴t2－t1>0，25<t1t2<36，∴y1－y2<0，∴函数y＝110－在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10)上单调递减，∴当t＝6时，y取得最大值38；当10≤t≤20时，y＝－10＝－10，该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t＝10时，y取得最大值28.4．综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．解：(1)当x∈(1，＋∞)时，log2x>0，所以4log2x ＋≥ 2＝4，当且仅当4log2x ＝，即x ＝时，等号成立，所以，函数f (x)在区间(1，＋∞)上的最小值为4．(2)g(x)＝m·4x＋2x+1－m＝m(2x)2＋2·2x－m，x∈[1，2]，令2x＝t，则上述函数化为y(t)＝mt2＋2t－m，t∈[2，4]．因为m<0，所以对称轴t ＝－>0，当－≤2，即m ≤－时，函数y(t)在[2，4]上单调递减，所以当t＝2时，y max＝3m＋4；当2<－<4，即－<m<－时，函数g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以y max＝y＝－m －；当－≥4，即－≤m<0时，函数g(t)在[2，4]上单调递增，所以y max＝y(4)＝15m＋8．综上，当－≤m<0时，g(x)的最大值为15m＋8；当－<m<－时，g(x)的最大值为－m －；当m ≤－时，g(x)的最大值为3m＋4．(3)对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f (x1)＋g(x2)>7成立，等价于g(x2)>7－f (x1)成立，即g(x)max>[7－f (x)]max，由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，[7－f (x)]max＝7－f (x)min，因此，只须要g(x)max>3．所以当－≤m<0时，15m＋8>3，解得m>－，所以－≤m<0；当－<m<－时，－m －>3，解得m <或<m<0，所以，<m<－；当m ≤－时，3m＋4>3，解得m>－，此时解集为空集．综上，实数m 的取值范围为<m<0．。

2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册第一章达标检测(带答案)

第二部分阶段测试第一章达标检测时间：120分钟分数：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A .ab>0，bc<0 B ．ab>0，bc>0 C ．ab<0，bc>0 D ．ab<0，bc<0 2．已知点M(0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则点N 的坐标是( )A .(－2，－3)B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(－2，－1) 3．若直线l 1：x ＋(1＋m)y ＋m －2＝0和直线l 2：mx ＋2y ＋8＝0平行，则m 的值为( )A .1B ．－2C ．1或－2D ．－234．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A .x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝05．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A .第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．经过点(1，0)且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A .(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C .x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 7．直线y ＝kx ＋1与圆(x －2)2＋(y －1)2＝4相交于P ，Q 两点．若|PQ|≥2 2 ，则k 的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－1，1] D ．[－ 3 ， 3 ]8．设有一组圆C k ：(x －1)2＋(y －k)2＝k 4(k∈N ＋)，给出下列四个命题：①存在k ，使圆与x 轴相切；②存在一条直线与所有的圆均相交；③存在一条直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中正确的命题序号是( )A.①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是( )A.距离坐标为(0，0)的点有1个B.距离坐标为(0，1)的点有2个C.距离坐标为(1，2)的点有4个D.距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上10．已知圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )A ．圆M 的圆心在定直线x －y －2＝0上B ．圆M 的面积的最大值为50πC ．圆M 的半径的最小值为1D ．满足条件的所有圆M 的半径之积为1011．已知圆O ：x 2＋y 2＝9和圆M ：x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0交于P ，Q 两点，下列说法正确的是( )A.两圆有两条公切线B.直线PQ 的方程为3x －2y ＋9＝0C.线段PQ 的长为61313D.所有过点P ，Q 的圆的方程可以记为x 2＋y 2－9＋λ(x 2＋y 2＋6x －4y ＋9)＝0(λ∈R ，λ≠－1)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．过圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________________.13．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，则直线l 的方程为________________.14．[双空题]已知圆C ：x 2＋y 2＋2(a －1)x －12y ＋2a 2＝0.当圆C 的面积最大时，实数a 的值为________；若此时圆C 关于直线l ：mx ＋ny －6＝0(m >0，n >0)对称，则mn3m ＋n 的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3，2)，B (4，3)，C (－1，－2).(1)求△ABC 中，BC 边上的高线所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．16.(本小题满分15分)已知圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)判断直线l 与圆C 的位置关系； (2)若直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ，且|AB |＝32 ，求直线l 的方程．17．(本小题满分15分)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5，0)，求圆C 的方程； (2)是否存在正实数r ，使得动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r 的值；若不存在，请说明理由．18．(本小题满分17分)①圆心C在直线l：2x－7y＋8＝0上，且B(1，5)是圆上的点；②圆心C在直线x－2y＝0上，但圆C不经过点(4，2)，并且直线4x－3y＝0与圆C相交所得的弦长为4；③圆C过直线l：2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－16＝0的交点．在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A(6，0)，且________．(1)求圆C的标准方程；(2)求过点A的圆C的切线方程．19．(本小题满分17分)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使得∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第一章达标检测1．解析：由题意，令x ＝0，得y ＝－cb >0；令y ＝0，得x ＝－c a>0.即bc <0，ac <0，从而ab >0.答案：A2．解析：由点N 在直线x －y ＋1＝0上，排除A ，B.由k MN ＝2，排除D.故选C. 答案：C 3．解析：∵直线l 1：x ＋(m ＋1)y ＋m －2＝0与l 2：mx ＋2y ＋8＝0平行，∴m (m ＋1)＝1×2，解得m ＝1或m ＝－2.当m ＝－2时，直线l 1：x －y －4＝0，l 2：x －y －4＝0，l 1与l 2重合，故舍去；当m ＝1时，l 1∥l 2.∴m ＝1.故选A.答案：A4．解析：将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”，在直线x －2y ＋1＝0上取一点P (3，2)，点P 关于直线x ＝1的对称点P ′(－1，2)必在所求直线上，只有选项D 满足．答案：D5．解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，由于圆心位于第三象限，所以a <0，b >0.直线方程x ＋ay ＋b ＝0可化为y ＝－1a x －b a .因为－1a >0，－ba >0，所以直线不经过第四象限．答案：D6．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1，1).由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.答案：B7．解析：若|PQ |≥22 ，则圆心(2，1)到直线y ＝kx ＋1的距离d ≤ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222 ＝2 ，即|2k |1＋k 2≤2 ，解得－1≤k ≤1. 答案：C8．解析：命题①中，当k ＝1时，圆心(1，1)，半径r ＝1，满足与x 轴相切，故①正确；命题②③中，圆心(1，k )恒在直线kx －y ＝0上，该线与圆一定相交，故②正确，只要k 足够大，对任意直线，总有直线与圆相交，故③错误；命题④中，若(0，0)在圆上，则1＋k 2＝k 4，而k ∈N ＋，若k 是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解，若k 是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，故④正确．故选C.答案：C9．解析：对于A ，若距离坐标为(0，0)，即P 到两条直线的距离都为0，P 为两直线的交点，即距离坐标为(0，0)的点只有1个，A 正确；对于B ，若距离坐标为(0，1)，即P 到直线l 1的距离为0，到直线l 2的距离为1，P 在直线l 1上，到直线l 2的距离为1，符合条件的点有2个，B 正确；对于C ，若距离坐标为(1，2)，即P 到直线l 1的距离为1，到直线l 2的距离为2，有4个符合条件的点，即与直线l 1相距为2的两条平行线和与直线l 2相距为1的两条平行线的交点，C 正确；对于D ，若距离坐标为(x ，x )，即P 到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x ，x )的点在2条相互垂直的直线上，D 错误．故选ABC.答案：ABC10．解析：∵圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，∴直线AM 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，∴直线AM 的斜率为1，则点M 在直线y ＝x －2，即x －y －2＝0上，A 正确；设M (a ，a －2)，∴圆M 的半径r ＝|AM |＝a 2＋（a －2＋2）2 ＝2 |a |，∴圆M 被x 轴截得的弦长为2r 2－（a －2）2 ＝2a 2＋4a －4 ＝2，解得a ＝－5或a ＝1，当a ＝－5时，圆M 的面积最大，为πr 2＝50π，B 正确；当a ＝1时，圆M 的半径最小，为2 ，C 错误；满足条件的所有圆M 的半径之积为52 ×2 ＝10，D 正确．故选ABD.答案：ABD11．解析：A ，因为圆O ：x 2＋y 2＝9和圆M ：x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0相交于P ，Q 两点，所以两圆有两条公切线，故正确；B ，圆O ：x 2＋y 2＝9和圆M ：x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0的方程相减得3x －2y ＋9＝0，所以直线PQ 的方程为3x －2y ＋9＝0，故正确；C ，圆心O 到直线PQ 的距离为d ＝99＋4＝91313，所以线段PQ 的长|PQ |＝2r 2－d 2＝2 9－8113 ＝121313，故错误；D ，因为λ∈R ，λ≠－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0，可知该圆恒过P ，Q 两点，方程可化为x 2＋y 2＋6λx 1＋λ －4λy 1＋λ ＋9λ－91＋λ ＝0，而(6λ1＋λ )2＋(4λ1＋λ )2－49λ－91＋λ ＝16λ2＋36（1＋λ）2 >0，所以方程x 2＋y 2－9＋λ(x 2＋y 2＋6x －4y ＋9)＝0(λ∈R ，λ≠－1)表示圆，但不包括圆M ，故错误．故选AB.答案：AB12．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ 代入2x ＋4y －1＝0，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝013．解析：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13 ，d 2＝|m ＋13|13 ，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 答案：3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝014．解析：圆C 的方程可化为[x ＋(a －1)]2＋(y －6)2＝－a 2－2a ＋37，当a ＝－1时，－a 2－2a ＋37取得最大值38，此时圆C 的半径最大，面积也最大；当a ＝－1时，圆心坐标为(2，6)，圆C 关于直线l ：mx ＋ny －6＝0(m >0，n >0)对称，则点(2，6)在直线上，所以2m＋6n －6＝0，即m ＋3n ＝3，由题得mn 3m ＋n ＝11m ＋3n，所以1m ＋3n ＝13 (m ＋3n )(1m ＋3n )＝13(10＋3n m ＋3m n )≥13(10＋2 3n m ×3m n )＝163 ，当且仅当3n m ＝3m n ，即m ＝n ＝34时取等号，所以mn 3m ＋n ＝11m ＋3n≤316.答案：－131615．解析：(1)∵直线BC 的斜率k BC ＝3＋24＋1 ＝1，∴BC 边上的高线所在直线的斜率k ＝－1.∴BC 边上的高线所在直线的方程为y －2＝－(x ＋3)，即x ＋y ＋1＝0.(2)∵B (4，3)，C (－1，－2)，∴|BC |＝（－2－3）2＋（－1－4）2＝52 .由B (4，3)，C (－1，－2)，得直线BC 的方程为x －y －1＝0，∴点A 到直线BC 的距离d ＝|－3－2－1|2 ＝32 ，∴S △ABC ＝12×52 ×32 ＝15.16．解析：(1)圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝5，所以圆C 的圆心为C (0，1)，半径r＝5 ，圆心C (0，1)到直线l ：mx －y ＋1－m ＝0的距离d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1 ＝|m |m 2＋1 <1<5 ，因此直线l 与圆C 相交．(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝22 .又d ＝|m |m 2＋1 ，|m |m 2＋1＝22，解得m ＝±1，∴直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. 17．解析：(1)依题意，可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中圆心(a ，b )满足a －b ＋10＝0. 又因为动圆过点(－5，0)，所以(－5－a )2＋(0－b )2＝25，联立⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，（－5－a ）2＋（0－b ）2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5.故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25.(2)圆O 的圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝52 .当r 满足r ＋5<d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆；当r 满足r ＋5>d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切；当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52 －5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切．故当动圆C 中与圆O 相外切的圆仅有一个时，r ＝52 －5. 18．解析：选①条件．(1)方法一：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（6－a ）2＋（0－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（5－b ）2＝r 2，2a －7b ＋8＝0，解得a ＝3，b ＝2，r 2＝13，∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝13. 方法二：设线段AB 的垂直平分线为m ，则圆心C 在直线m 上且在直线l 上，即C 是m 与l 的交点，直线AB 的斜率是－1，直线m 的斜率是1，AB 中点为(72 ，52 )，∴直线m ：x －y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －7y ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， ∴圆心C (3，2)且|CA |＝13 ，∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝13.(2)∵A 在圆C 上，k AC ＝－23 ，过点A 的切线斜率为32 ，∴过点A 的切线方程是y ＝32 (x －6)，即3x －2y －18＝0.选②条件．(1)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得a ＝2b ，设圆心C 到直线4x －3y ＝0的距离为d ，r 2＝(a －6)2＋b 2，由垂径定理可知r 2＝d 2＋22，即(|4a －3b |5 )2＋4＝(a －6)2＋b 2，将a ＝2b 代入得，b 1＝2，b 2＝4，又∵圆C 不经过点(4，2)，∴a ＝8，b ＝4，r 2＝20，∴所求圆的方程是(x －8)2＋(y －4)2＝20.(2)∵A 在圆C 上，k AC ＝2，过点A 的切线斜率为－12 ，∴过点A 的切线方程是y ＝－12(x －6)，即x ＋2y －6＝0.选③条件．(1)方法一：设所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y －16＋λ(2x ＋y ＋4)＝0，代入点A (6，0)得λ＝－2，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －6y －24＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝34.方法二：设直线l ：2x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －16＝0的交点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －16＝0，即5x 2＋26x ＋16＝0，解得x 1＝－13＋895 ，x 2＝－13－895，∴E (－13＋895 ，6－2895 )，F (－13－895 ，6＋2895)，设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，将A ，E ，F 代入，得所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝34.(2)∵A 在圆C 上，k AC ＝－35 ，过点A 的切线斜率为53 ，∴过点A 的切线方程是y ＝53(x －6)，即5x －3y －30＝0.19．解析：(1)如图，连接PC ，由点P 在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－2－34x .圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C (1，1)，半径为1.所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×12 ×|AP |×|AC |＝|AP |.因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1，所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋34x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋1 2＋9，所以当x ＝－45 时，|PC |2min ＝9，所以|AP |min ＝9－1 ＝22 ，即四边形PACB 面积的最小值为22 .(2)假设直线上存在点P 满足题意．因为∠BPA ＝60°，|AC |＝1，所以|PC |＝2.设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25x 2＋40x ＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P 是不存在的．。

新教材高中数学模块综合测评一含解析新人教B版选择性必修第一册

模块综合测评(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若向量a ＝(1，0，z )与向量b ＝(2，1，2)的夹角的余弦值为23，则z ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 A 〖由题意可知cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝2＋2z 1＋z 2×4＋1＋4＝23，解得z ＝0，故选A ．〗 2．已知四面体ABCD 的所有棱长都是2，点E ，F 分别是AD ，DC 的中点，则EF →·BA →＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 B 〖如图所示，EF →＝12AC →，所以EF →·BA →＝12AC →·(－AB →)＝－12×2×2×cos 60°＝－1，故选B ．〗3．若A (－2，3)，B (3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点共线，则m 的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．－2 D ．2A 〖由－2－33－(－2)＝m ＋212－3，解得m ＝12．〗4．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0D 〖圆心C (1，0)，k PC ＝0－(－1)1－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0，故选D ．〗5．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．316B ．38C ．163D ．83A 〖抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，故双曲线的一个焦点是(1，0)，所以m ＋n ＝1，且1m＝2，解得m ＝14，n ＝34，故mn ＝316．〗6．阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积为8π，直线l 过椭圆C 的两个顶点，且椭圆的中心到直线l 的距离为43417，则椭圆C 的方程为( )A ．x 216＋y 24＝1B ．x 220＋y 214＝1C ．x 264＋y 2＝1D ．x 232＋y 22＝1D 〖依题意，8π＝ab ·π，故ab ＝8． ① 不妨设直线l ：x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，则椭圆的中心到直线l 的距离为ab a 2＋b2＝43417，解得a 2＋b 2＝34， ②联立①②，解得a ＝42，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 232＋y 22＝1．故选D ．〗7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A ．64 B ．63 C ．26D ．23A 〖∵B 1B ⊥平面ABCD ，∴∠BCB 1是B 1C 与底面所成角， ∴∠BCB 1＝60°． ∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴∠CDC 1是C 1D 与底面所成的角， ∴∠CDC 1＝45°．连接A 1D ，A 1C 1(图略)，则A 1D ∥B 1C ．∴∠A 1DC 1或其补角为异面直线B 1C 与C 1D 所成的角．不妨设BC ＝1，则CB 1＝DA 1＝2， BB 1＝CC 1＝3＝CD ， ∴C 1D ＝6，A 1C 1＝2．在等腰△A 1C 1D 中，cos ∠A 1DC 1＝12C 1D A 1D ＝64．〗8．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是 ( )A ．6a 6 B ．3a 6 C ．3a 4 D ．6a3A 〖建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，M ⎝⎛⎭⎫a ，0，a2， B (a ，a ，0)，A 1(a ，0，a )，∴DM →＝⎝⎛⎭⎫a ，0，a2， DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )．设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋a 2z ＝0，ax ＋ay ＝0，令x ＝1，则可得n ＝(1，－1，－2)． ∴d ＝|DA 1→·n ||n |＝|a －2a |6＝66a ．〗二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是( ) A ．若l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3 B ．若l 1∥l 2，则m ＝3 C ．若l 1⊥l 2，则m ＝－12D ．若l 1⊥l 2，则m ＝12BD 〖直线l 1∥l 2，则3－m (m －2)＝0，解得m ＝3或m ＝－1，但m ＝－1时，两直线方程分别为x －y －1＝0，－3x ＋3y ＋3＝0即x －y －1＝0，两直线重合，只有m ＝3时两直线平行，A 错，B 正确；l 1⊥l 2，则m －2＋3m ＝0，m ＝12，C 错，D 正确．故选BD ．〗10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0．若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过P 点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4AB 〖圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，则圆心为C (2，0)，半径r ＝2．设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形P ACB 为正方形，故有PC ＝2r ＝22， ∴圆心到直线y ＝k (x ＋1)的距离小于或等于PC ，即|2k －0＋k |k 2＋1≤22，解得k 2≤8，可得－22≤k ≤22，∴结合选项，实数k 的取值可以是1，2．〗11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ，则下列结论正确的是( ) A ．AC ⊥BDB ．△ACD 是等边三角形C ．AB 与平面BCD 所成的角为90° D ．AB 与CD 所成的角为60°ABD 〖如图，取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，AC ，则AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，又AO ∩CO ＝O ，∴BD ⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，∴AC ⊥BD ，A 正确；∵AC ＝2AO ＝AD ＝CD ，∴△ACD 是等边三角形，B 正确；易知AO ⊥平面BCD ，∴∠ABD 是AB 与平面BCD 所成的角，为45°，C 错误；∵AC →＝AB →＋BD →＋DC →，不妨设AB ＝1，则AC 2→＝(AB →＋BD →＋DC →)2＝AB 2→＋BD 2→＋DC 2→＋2AB →·BD →＋2BD →·DC →＋2AB →·DC →，∴1＝1＋2＋1＋22×⎝⎛⎭⎫－22＋22×⎝⎛⎭⎫－22＋2cos 〈AB →，DC →〉，∴cos 〈AB →，DC →〉＝12，∴AB 与CD 所成的角为60°，D 正确．故选ABD ．〗12．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则( )A ．|BF |＝3B ．△ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6xBCD 〖因为|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以F A ＝FB ，若∠ABD ＝90°，可得F A ＝AB ，所以可得△ABF 为等边三角形，所以B 正确；过F 作FC ⊥AB 交AB 于C ，则C 为AB 的中点，C 的横坐标为p 2，B 的横坐标为－p 2，所以A 的横坐标为3p2，代入抛物线可得y 2＝3p 2，|y A |＝3p ，△ABF 的面积为93，即12(x A －x B )·|y A |＝12×⎝⎛⎭⎫3p 2＋p 2×3p ＝93，解得p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x ，所以D 正确；焦点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，所以焦点到准线的距离为32×2＝3，所以C 正确；此时A 点的横坐标为92，所以BF ＝AF ＝AB ＝92＋32＝6，所以A 不正确．〗三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．2x ＋3y －2＝0 〖由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2，2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0．〗14．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．2π 〖(数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0，6)，半径为3．在Rt △OBC 中可得∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π．〗15．已知三棱锥A -BCD 的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 的中点，则直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为________，若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为________________________________________________________________________________． (本题第一空2分，第二空3分)63 223 〖连接BE ，AE ，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连接OD ，则∠ADO 是直线PE 与平面BCD 所成角(图略)，因三棱锥A -BCD 的所有棱长均相等，设棱长为2，则DO ＝BO ＝23BE ＝234－1＝233，AO ＝4－⎝⎛⎭⎫2332＝263，∴sin ∠ADO ＝AO AD ＝2632＝63．∴直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为63．当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线QE 与平面BCD 所成角为∠AEO ，AE ＝4－1＝3，∴直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为sin ∠AEO ＝AO AE ＝2633＝223．〗16．已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝4，点Q (2，2)在椭圆C 上，P 是椭圆C 上的动点，则PQ →·PF 1→的最大值为________．92 〖由题意可得c ＝2，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1，可得F 1(－2，0)，设P (x ，y )，由x 28＋y 24＝1，可得x 2＝8－2y 2，则PQ →·PF 1→＝(2－x ，2－y )(－2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2－2y ＝－y 2－2y ＋4＝－⎝⎛⎭⎫y ＋222＋12＋4，当且仅当y ＝－22∈〖－2，2〗时， PQ →·PF 1→取得最大值为92．〗四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)如图，已知点A (2，3)，B (4，1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．〖解〗 (1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3，2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4，3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2．18．(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2，3)，C (2，1)．(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长．〖解〗 (1)AC 的中点E (0，2)即为圆心，半径r ＝12|AC |＝1242＋(－2)2＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5．(2)直线BC 的斜率k ＝1－(－2)2－(－2)＝34，其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0．点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2．19．(本小题满分12分)在①(DE →＋CF →)⊥(DE →－CF →)，②|DE →|＝172，③0<cos 〈EF →，DB →〉<1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz ．已知点D 1的坐标为(0，0，2)，E 为棱D 1C 1上的动点，F 为棱B 1C 1上的动点，________，试问是否存在点E ，F 满足EF →·A 1C →＝0？若存在，求AE →·BF →的值；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．〖解〗由题意，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2．则A (2，0，0)，B (2，2，0)，A 1(2，0，2)，D (0，0，0)，C (0，2，0)，设E (0，a ，2)(0≤a ≤2)，F (b ，2，2)(0≤b ≤2)，则EF →＝(b ，2－a ，0)，A 1C →＝(－2，2，－2)，AE →＝(－2，a ，2)，BF →＝(b －2，0，2)，所以EF →·A 1C →＝4－2(a ＋b )，AE →·BF →＝8－2b ．选择①，因为(DE →＋CF →)⊥(DE →－CF →)，所以(DE →＋CF →)·(DE →－CF →)＝DE →2－CF →2＝0，即DE →2＝CF →2，即0＋(a －0)2＋(2－0)2＝(b －0)2＋(2－2)2＋(2－0)2，所以a ＝b ．因为EF →·A 1C →＝4－2×(a ＋b )＝0，所以a ＝b ＝1，故存在点E (0，1，2)，F (1，2，2)，满足EF →·A 1C →＝0，且AE →·BF →＝8－2b ＝6．选择②，|DE →|＝172，即a 2＋22＝172，a ＝12，因为EF →·A 1C →＝4－2(a ＋b )＝0，所以b ＝32，故存在点E ⎝⎛⎭⎫0，12，2，F ⎝⎛⎭⎫32，2，2，满足EF →·A 1C →＝0，且AE →·BF →＝8－2b ＝5．选择③，EF →＝(b ，2－a ，0)，DB →＝(2，2，0)，因为0＜cos 〈EF →，DB →〉<1，所以EF →与DB →不共线，所以b ≠2－a ，即a ＋b ≠2，则EF →·A 1C →＝4－2(a ＋b )≠0，故不存在点E ，F 满足EF →·A 1C →＝0．20．(本小题满分12分)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P ． (1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标．〖解〗 (1)因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．(2)由题意知P (0，t )(－1＜t ＜1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ，x 23＋y 2＝1得x ＝±3(1－t 2)，所以圆P 的半径为3(1－t 2)．当圆P 与x 轴相切时， |t |＝3(1－t 2)，解得t ＝±32．所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，±32．21．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 为PC 的中点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3．(1)求证：PQ ⊥AB ；(2)求二面角P -QB -M 的余弦值．〖解〗 (1)证明：在△P AD 中，P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD ．因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以PQ ⊥底面ABCD ．又AB ⊂平面ABCD ，所以PQ ⊥AB ．(2)在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，所以四边形BCDQ 为平行四边形．因为AD ⊥DC ，所以AD ⊥QB ．由(1)，可知PQ ⊥平面ABCD ，故以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz 如图所示，则Q (0，0，0)，A (1，0，0)，P (0，0，3)，C (－1，3，0)，B (0，3，0)，QB →＝(0，3，0)．因为AQ ⊥PQ ，AQ ⊥BQ ，所以AQ ⊥平面PQB ，即QA →为平面PQB 的一个法向量，且QA →＝(1，0，0)．因为M 是棱PC 的中点，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，32，所以QM →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，32．设平面MQB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ m ·QB →＝0，m ·QM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3y ＝0，－12x ＋32y ＋32z ＝0，令z ＝1，得x ＝3，y ＝0，所以m ＝(3，0，1)，所以cos 〈QA →，m 〉＝QA →·m |QA →||m |＝32．由题意知，二面角P -QB -M 为锐角，所以二面角P -QB -M 的余弦值为32． 22．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0和抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17．(1)求抛物线E 的方程；(2)不过原点的动直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ．①求证：直线l 过定点；②设点M 为圆C 上任意一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时直线l 的方程．〖解〗 (1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，可得圆心C (－1，1)，半径r ＝1，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17，即有⎝⎛⎭⎫－1－p 22＋12＝17，解得p ＝6，即抛物线方程为y 2＝12x ．(2)①证明：设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝12x ，x ＝my ＋t ，整理得：y 2－12my －12t ＝0，所以y 1＋y 2＝12m ，y 1y 2＝－12t ．由于OA ⊥OB ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0．即(m 2＋1)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝0．整理得t2－12t＝0，由于t≠0，解得t＝12．故直线的方程为x＝my＋12，直线经过定点P(12，0)．②当CP⊥l且动点M经过PC的延长线时，动点M到动直线l的距离取得最大值．k MP＝k CP＝－113，则m＝113．此时直线l的方程为x＝113y＋12，即13x－y－156＝0．。

2024新教材高中数学本册综合测评新人教B版选择性必修第一册

本册综合测评
时间：120 分钟
满分：150 分
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若向量 a＝(1，x,2)，b＝(2，－1,2)，a，b 夹角的余弦值为89，则实
数 x 的值为( )
A．2
B．－2
C．－2 或525
32 B. 2 D．3 2
答案
解析双曲线x42－y22＝1 的右焦点坐标为( 6，0)，一条渐近线的方程为 y＝ 22x，不妨设点 P 在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点 P 的横坐标为 26，纵坐标为 22× 26＝ 23，即△PFO 的底边长为 6，高为 23，所以它的面积为12× 6× 23＝342.故选 A.
解析
11．已知圆 M 与直线 x＋y＋2＝0 相切于点 A(0，－2)，圆 M 被 x 轴所截得的弦长为 2，则下列结论正确的是( )
A．圆 M 的圆心在定直线 x－y－2＝0 上 B．圆 M 的面积的最大值为 50π C．圆 M 的半径的最小值为 1 D．满足条件的所有圆 M 的半径之积为 10
∴∠F1BF2＝90°.
∴OF2＝OB，
∴∠OBF2＝∠OF2B.
又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
解析
∴△OBF2 为等边三角形．如图 1 所示，不妨设 B 的坐标为2c，－ 23c. ∵点 B 在直线 y＝－bax 上，∴ba＝ 3， ∴渐近线方程为 y＝± 3x，离心率 e＝ac＝ 1＋ba2＝2.
D．2 或－525
解析 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3×6－5＋x x2＝89，解得 x＝－2 或 x＝525.故选

高一数学必修1综合能力测评卷及答案详解

必修一模块综合能力测评卷说明：本试题分第 I 卷和第II 卷两部分，满分 150分，时间120 分钟一、选择题：本大题共12小题，每题 5 分合计 60 分。

1.以下五个写法：①{ 0}{1,2,3} ；②{0} ；③{0，1，2}{1,2,0} ；④0；⑤ 0，此中错误写法的个数为（）．．A.1B.2 C .3 D. 42 已知 M ＝｛ x|y=x 2-1｝ , N={y|y=x2-1}, M N 等于（）A. NB. MC.RD.3.设a22.5, b 2.50 , c( 1) 2.5，则a,b,c大小关系（）2A. a>c>bB. c>a>bC. a>b>cD.b>a>c4.以下图像表示的函数能用二分法求零点的是（）y y y y 1o x o x o x o xA B C D5.已知f ( x6)log 2 x ，则f (8)（）4B. 8C. 181A . D .326.已知f (x)是定义在（0,) 上的单一增函数，若 f ( x) f (2x) ，则x的范围是（）A x>1 B. x<1 C.0<x<2 D. 1<x<27.若函数f ( x)x 2bx c 对随意实数都有 f (2x) f (2x) ，则（）A f ( 2) f (1) f (4) B. f (1) f (2) f (4) C. f (2) f (4) f (1) D. f (4) f (2) f (1)8.给出函数 f (x), g( x) 以下表，则f〔 g（ x）〕的值域为（）x1234x1234g(x)1133f(x)4321A.{4,2}B.{1,3}C.{1,2,3,4}D. 以上状况都有可能9.设函数f ( x)log a| x |, (a 0且 a 1)在（上单一递加，则 f (a1)与 f (2)的大小关系为（），0）A f (a 1) f (2)B f (a 1) f (2) C. f (a 1) f (2) D.不确立10.函数f(x)=x 2-4x+5 在区间 [0,m]上的最大值为 5，最小值为1，则 m 的取值范围是（）A. [2,) B .[2,4] C .(,2] D 。

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模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果AB ＜0，BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，由AB ＜0，BC ＜0，得－AB ＞0，－CB ＞0，故直线Ax ＋By ＋C ＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．2．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为( )A ．4和3B ．－4和3C ．－4和－3D ．4和－3解析：选C.由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，所以n ＝－3，m ＝－4.3.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 在AC 上，且AM ＝12MC ，点N 在A 1D 上，且A 1N ＝2ND .设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝( ) A ．－13a ＋13b ＋13c B ．a ＋13b －13c C.13a －13b －23c D ．－13a ＋b ＋13c解析：选A.因为M 在AC 上，且AM ＝12MC ，N 在A 1D 上，且A 1N ＝2ND ，所以AM →＝13AC →，A 1N →＝23A 1D →.又ABCD -A 1B 1C 1D 1为平行六面体，且AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，所以AC →＝a ＋b ，A 1D →＝b －c ，所以MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N →＝－13AC →＋AA 1→＋23A 1D →＝－13(a ＋b )＋c ＋23(b －c )＝－13a ＋13b ＋13c . 4．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3，2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.因为直线l 的斜率为tan 135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝2－（－1）3－a＝1，解得a ＝0.又l 1∥l 2，所以－2b ＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.5．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°解析：选B.由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD→＝CD →2＝1，由cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB→，CD →〉＝60°，故直线a ，b 所成的角为60°.6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＝0截得的弦长为25，则双曲线的离心率为( )A. 3B.62C.355D. 5解析：选 C.依题意可得渐近线方程为bx ±ay ＝0，而圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9.由弦长为25，可得圆心(3，0)到渐近线的距离为2，故3b a 2＋b2＝2，即b 2a 2＝45，所以离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝355.故选C.7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B.由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0.又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x .8．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，右焦点为F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35B.⎝⎛⎭⎪⎫－355，355 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 D.⎝⎛⎭⎪⎫－574，574 解析：选D.依题意，得m ＝3，所以x 225＋y 29＝1.以原点为圆心，c ＝4为半径作圆，则F 1F 2是圆的直径．若P 在圆外，则∠F 1PF 2为锐角；若P 在圆上，则∠F 1PF 2为直角；若P 在圆内，则∠F 1PF 2为钝角．联立⎩⎨⎧x 225＋y 29＝1，x 2＋y 2＝16，消去y ，得x ＝±574.故结合图形(图略)可知－574<x <574.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．在同一平面直角坐标系中，直线y ＝ax ＋a 2与圆(x ＋a )2＋y 2＝a 2的位置不可能是( )解析：选ABD.圆(x ＋a )2＋y 2＝a 2的可知a ≠0，圆的圆心(－a ，0)，半径为|a |，直线y ＝ax ＋a 2的斜率为a ，在y 轴上的焦距为a 2＞0，所以在同一直角坐标系中，直线y ＝ax ＋a 2与圆(x ＋a )2＋y 2＝a 2的位置不可能是ABD.故选ABD.10．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A ．C 的方程为x 23－y 2＝1 B ．C 的离心率为 3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点解析：选AC.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，根据条件可知b a ＝33，所以方程可化为x 23b 2－y 2b 2＝1，将点(3，2)代入得b 2＝1，所以a 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1，故A 对；离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝3＋13＝233，故B 错；双曲线C 的焦点为(2，0)，(－2，0)，将x ＝2代入得y ＝e 0－1＝0，所以C对；联立⎩⎨⎧x 23－y 2＝1x －2y －1＝0，整理得y 2－22y ＋2＝0，则Δ＝8－8＝0，故只有一个公共点，故D 错，故选AC.11．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1 B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1 C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q 的周长为4 3解析：选ACD.由已知得，2b ＝2，b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 2＋y 23＝1.如图：所以|PQ |＝2b 2a ＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.故选ACD.12．已知点F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k ＞0，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中成立的是( )A.OC→·OD →＝－34p 2 B ．四边形ACBD 面积最小值为16p 2 C.1|AB |＋1|CD |＝12pD ．若|AF |·|BF |＝4p 2，则直线CD 的斜率为－ 3 解析：选ACD.如图所示：F (p2，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，设直线AB 的倾斜角为θ(θ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线AB 与抛物线的方程整理得： y 2－2pmy －p 2＝0.所以y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，y 1＋y 2＝2pm . |AB |＝1＋m 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2p (1＋m 2)＝2p ·(1＋cos 2θsin 2θ)＝2psin 2θ.设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，同理可得y 3y 4＝－p 2，x 3x 4＝p 24，|CD |＝2pcos 2θ，对于A ，OC →·OD →＝x 3x 4＋y 3y 4＝p 24－p 2＝－3p 24，故正确；对于B ，四边形ACBD 面积S ＝12CD ·AB ＝4p 22sin 2θ·cos 2θ＝8p 2sin 22θ，故其最小值为8p 2，故错；对于C ，1|AB |＋1|CD |＝sin 2θ2p ＋cos 2 θ2p ＝12p ，故正确；对于D ，|AF |·|BF |＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝4p 2，则p 2(x 1＋x 2)＝7p 2⇒x 1＋x 2＝7p .⇒2pm 2＝6p ⇒m ＝3(m ＞0)，θ＝π6.则直线CD 的倾斜角为2π3，其斜率为－ 3. 故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则此双曲线的离心率为________．解析：由题知PF 1⊥PF 2，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，|PF 1|＝3|PF 2|，得ca ＝3＋1. 答案：3＋114．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为________，公共弦长为________．解析：设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0.因为A ，B 两点坐标都满足此方程，所以3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为 d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95.所以|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245. 答案：3x －4y ＋6＝0 24515.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，D 为AA 1上一点．若二面角B 1DC C 1的大小为60°，则AD 的长为________．解析：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Cxyz ，则C (0，0，0)，B 1(0，2，2)．设AD ＝a (0≤a ≤2)，则点D 的坐标为(1，0，a )，CD →＝(1，0，a )，CB 1→＝(0，2，2)．设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·CB 1→＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a ，1，－1)．又平面C 1DC 的一个法向量为(0，1，0)，记为n ，则由cos 60°＝|m ·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2. 答案： 216．已知直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ，椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，则椭圆C 的方程为________．解析：根据题意，直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ，所以F (1，0)，所以c ＝1.又因为椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，所以b ＝3，b 2＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0.又因为直线l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)因为直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在．所以ab ＝1－a .①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .② 联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.18．(本小题满分12分)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝4，求平面PBC 与平面PDC 所成角的余弦值．解：(1)证明：因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥P A .又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .(2)以BD 与AC 的交点O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，过点O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知可得，AO ＝OC ＝3，OD ＝OB ＝1，所以P (0，－3，4)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，D (－1，0，0)，PC→＝(0，23，－4)，BC →＝(－1，3，0)，CD→＝(－1，－3，0)．设平面PBC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PDC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎨⎧n 1·PC →＝0，n 1·BC →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧23y 1－4z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0，令x 1＝3，可得n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3，1，32. 同理，由⎩⎨⎧n 2·PC →＝0，n 2·CD →＝0，可得n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1，32，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－519，又平面PBC 与平面PDC 所成的角为锐角，所以平面PBC 与平面PDC 所成角的余弦值为519.20．(本小题满分12分)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA→·TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解：(1)由题意得F (1，0)，T (－1，0)，当直线l 与x 轴垂直时，A (1，2)，B (1，－2)，此时TA →·TB →＝(2，2)·(2，－2)＝0，这与TA→·TB →＝1矛盾．故直线l 与x 轴不垂直．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．①将①代入y 2＝4x 整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1. 所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4，所以TA →·TB →＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝1＋2k 2＋4k 2＋1－4＝4k 2＝1.解得k ＝±2.故直线l 的斜率为±2.(2)因为y 1>0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝4y 1＋4y 1≤1. 当且仅当y 1＝4y 1，即y 1＝2时取等号．故∠ATF 的最大值为π4.21.(本小题满分12分)如图，在三棱锥P -ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC .(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线P A 与平面ABC 所成的角为π4，求平面P AC 与平面PDE 的夹角．解：(1)证明：由题意知AC ＝26，BC ＝23，AB ＝6，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以∠ACB ＝π2，所以cos ∠ABC ＝236＝33.又易知BD ＝2，所以CD 2＝22＋(23)2－2×2×23cos ∠ABC ＝8，所以CD ＝22，又AD ＝4，所以CD 2＋AD 2＝AC 2，所以CD ⊥AB .因为平面P AB ⊥平面ABC ，交线为AB ，所以CD ⊥平面P AB ，所以CD ⊥PD ，因为PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，所以PD ⊥平面ABC .(2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直，所以可建立如图所示的直角坐标系D -xyz ，因为直线P A 与平面ABC 所成的角为π4，即∠P AD ＝π4，所以PD ＝AD ＝4，则A (0，－4，0)，C (22，0，0)，B (0，2，0)，P (0，0，4)，所以CB →＝(－22，2，0)，AC →＝(22，4，0)，P A →＝(0，－4，－4)．因为AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，所以DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC ，所以DE ⊥BC ，又PD ⊥平面ABC ，所以PD ⊥BC ，因为PD ∩DE ＝D ，所以CB ⊥平面PDE ，所以CB→＝(－22，2，0)为平面PDE 的一个法向量．设平面P AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ⊥AC →，n ⊥P A →，所以⎩⎪⎨⎪⎧22x ＋4y ＝0，－4y －4z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，所以n ＝(2，－1，1)为平面P AC 的一个法向量．所以cos 〈n ，CB →〉＝－4－24×12＝－32，所以平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为32，故平面P AC 与平面PDE 的夹角为30°.22．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，1)，且离心率为32.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝12x ＋m 与椭圆E 交于A ，C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，求证|BN |为定值．解：(1)由题意，可知椭圆的焦点在x 轴上，且b ＝1，由椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32，得a ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，线段AC 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，由Δ＝(2m )2－4(2m 2－2)＝8－4m 2>0，解得－2<m <2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2m ＝m ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，12m .|AC |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·4m 2－4×（2m 2－2）＝10－5m 2. 由l 与x 轴的交点N (－2m ，0)，得|MN |＝（－m ＋2m ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝54m 2.所以|BN |2＝|BM |2＋|MN |2＝14|AC |2＋|MN |2＝5 2，所以|BN |为定值．。