二次函数典型例题——最短路径
专题09 二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题(原卷版)
专题09二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题·最短路径思路点拨：1.两点之间，线段最短；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置.如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值.作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求.O 2.垂线段最短；3.若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）；利用三角形面积计算方法（铅垂高水平宽法或底乘高法或割补法等）列出方程求解.·平行四边形存在性问题题型一、单动点周长最短及面积存在性问题（2019·四川凉山州中考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得S △P AM ＝S △P AC ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2019·四川达州中考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长其中正确判断的序号是．3.（2019·山东潍坊中考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△P AB＝．题型二、利用特殊角将线段转化求解最短路径4.（2019·天津中考）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点.（1）当b =2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D （b ，y D ）在抛物线上，当AM =AD ，m =5时，求b 的值；（3）点Q （1,2Q b y +2QM +的最小值为3324时，求b 的值.题型三、最短路径与平行四边形存在性问题5.（2019·湖北荆州中考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），(4，3)，经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为(1，0).(1)求该抛物线的解析式；(2)若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE＋PF的值最小时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由.题型四、面积最值问题及周长最值问题6.（2019·山东东营中考）已知抛物线y=ax2+bx－4经过点A(2,0)，B(－4,0)与y轴交于点C，（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂直为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.图1图2。
二次函数最短路径问题
例题：（2013滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．
跟踪练习：
1．（2015•甘肃武威）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
二次函数综合题
例题：（2013滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．
跟踪练习：
1．（2015•甘肃武威）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（2015湖南）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
例题：已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.(1) 求抛物线的解析式;(2) 抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值;
二次函数之距离最小(思维)
二次函数之最短路径问题例1.(广东)已知二次函数y=x 2-2mx+m 2-1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．例2.（甘肃兰州）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点B ，且顶点在直线x ＝52上． (1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE ，点A 、B 、O 的对应点分别是D 、C 、E ，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD ，已知对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；例3.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．例4.（湖南郴州）已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0）、B （2，0）、C （0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时点P 的坐标；（3）如图二，设线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为D ，M 为抛物线的顶点，那么在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．例5.（辽宁）如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)y ax c a =+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．xx例6.(山西)综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．例7.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标．例8.（德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．练习:(烟台)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．例10.已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）。
次函数之距离最小
二次函数之最短路径问题例1.(广东)已知二次函数y=x 2-2mx+m 2-1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．例2.（甘肃兰州）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点B ，且顶点在直线x ＝52上．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE ，点A 、B 、O 的对应点分别是D 、C 、E ，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD ，已知对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；例3.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．例4.（湖南郴州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．例5.（辽宁）如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线223(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．例6.(山西)综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B 、D 两点的坐标；（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．A O xyBFCA O xyBFC例7.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P 是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小求出此时点P的坐标和△PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°若存在，请直接写出点P的坐标．例8.（德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．练习:(烟台)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．例10.已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）。
最短路径问题——和最小
最短路径问题——和最小【典型例题】1、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由．2、如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．3、已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y＝33x＋3对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．5、如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．6、已知：直线l：y＝﹣2，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO＝PQ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y＝ax2＋bx＋c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD＋FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．2、在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝﹣12x 2＋bx ＋c （b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限． （1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．（i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；（ii ）取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQNP ＋BQ 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．3、如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2＝d1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△P AC的周长有最小值，并求出△P AC 的周长的最小值．最短路径问题——和最小【典型例题】1、已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O （0，0），∴代入二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1，得出：m 2－1＝0，解得：m ＝±1，∴二次函数的解析式为：y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x ；（2）∵m ＝2， ∴二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1得：y ＝x 2－4x ＋3＝（x －2）2－1，∴抛物线的顶点为：D （2，－1）， 当x ＝0时，y ＝3，∴C 点坐标为：（0，3），∴C （0，3）、D （2，－1）； （3）当P 、C 、D 共线时PC ＋PD 最短， 【方法一】∵C （0，3）、D （2，－1），设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋3，代入得：2k ＋3＝－1，∴k ＝－2，∴y ＝－2x ＋3， 当y ＝0时，－2x ＋3＝0，解得x ＝32，∴PC ＋PD 最短时，P 点的坐标为：P （32，0）．【方法二】过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，∵PO ∥DE ，∴PO DE ＝CO CE ，∴PO 2＝34，解得：PO ＝32，∴PC ＋PD 最短时，P 点的坐标为：P （32，0）．2、如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．解：（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×（－1 ）2＋b ×（－1）－2＝0，解得b ＝－32， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2＝12（x －32）2－258，∴顶点D 的坐标为 （32，－258）．（2）当x ＝0时y ＝－2，∴C （0，－2），OC ＝2．当y ＝0时，12x 2－32x －2＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′＝2，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小．【方法一】设直线C ′D 的解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝232k ＋n ＝－258，解得：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2k ＝－4112．∴y ＝－4112x ＋2． ∴当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，x ＝2441．∴m ＝2441．【方法二】设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．∵ED ∥y 轴，∴∠OC ′M ＝∠EDM ，∠C ′OM ＝∠DEM ，∴△C ′OM ∽△DEM ．∴OM EM ＝OC ′ED ，∴m 32－m ＝2258，∴m ＝2441．3、已知，如图，二次函数y ＝ax 2＋2ax ﹣3a （a ≠0）图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l ：y ＝33x ＋3对称． （1）求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上； （2）求二次函数解析式； （3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN ＋NM ＋MK 和的最小值．解：（1）依题意，得ax 2＋2ax ﹣3a ＝0（a ≠0），解得x 1＝﹣3，x 2＝1，∵B 点在A 点右侧，∴A 点坐标为（﹣3，0），B 点坐标为（1，0），∵直线l ：y ＝33x ＋3，当x ＝﹣3时，y ＝33×(－3)＋3＝0，∴点A 在直线l 上．（2）∵点H 、B 关于过A 点的直线l ：y ＝33x ＋3对称，∴AH ＝AB ＝4，过顶点H 作HC ⊥AB 交AB 于C 点，则AC ＝12AB ＝2，HC ＝23，∴顶点H （－1，23），代入二次函数解析式，解得a ＝－32，∴二次函数解析式为y ＝－32x 2－3x ＋332，（3）直线AH 的解析式为y ＝3x ＋33，直线BK 的解析式为y ＝3x ＋33，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3y ＝3x －3，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝23，即K （3，23），则BK ＝4，∵点H 、B 关于直线AK 对称，∴HN ＋MN 的最小值是MB ，KD ＝KE ＝23，过点K 作直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，则QM ＝MK ，QE ＝EK＝23，AE ⊥QK ，∴BM ＋MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN ＋NM ＋MK 的最小值， ∵BK ∥AH ，∴∠BKQ ＝∠HEQ ＝90°，由勾股定理得QB ＝8， ∴HN ＋NM ＋MK 的最小值为8．4、如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已知M （0，1），E （a ，0），F （a ＋1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点． （1）求此抛物线的解析式；（2）当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由． 解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5， ∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN •MN －12OM •OE＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1 ＝－x 2＋92x ＋92 ＝－（x －94）2＋15316∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）．（3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）． 四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值． 如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）； 作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得：⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图22、如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标． 解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）．∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ．∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3．由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小． 设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12 (x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)2-1＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)．此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．6、已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ． （ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意，得⎩⎨⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎨⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1；（2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP＝14a 2＋1． 在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ；（3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°． ∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°， ∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°，∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ； （ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH ＝∠GHF ′＝∠F ′EG ＝90°，FO ＝FG ，F ′H ＝F ′O ， ∴四边形GHF ′E 是矩形，FO ＋FD ＝FG ＋FD ＝DG ，F ′O ＋F ′D ＝F ′H ＋F ′D ，∴EG ＝F ′H ，∴DE ＜DF ′，∴DE ＋GE ＜HF ′＋DF ′，∴DG ＜F ′O ＋DF ′，∴FO ＋FD ＜F ′O ＋DF ′，∴F 是所求作的点．∵D （1，1），∴F 的横坐标为1，∴F （1，54）．【举一反三】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值． ．解：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝－44a ＋2b ＋c ＝0c ＝0，解得a ＝﹣12，b ＝1，c ＝0，∴解析式为y ＝﹣12x 2＋x ．（2）由y ＝﹣12x 2＋x ＝﹣12（x ﹣1）2＋12，可得抛物线的对称轴为x ＝1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∴OM ＝BM ，∴OM ＋AM ＝BM ＋AM ，连接AB 交直线x ＝1于M 点，则此时OM ＋AM 最小，l过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42， ∴OM ＋AM 最小值为42．2、在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝﹣12x 2＋bx ＋c （b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限． （1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．（i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；（ii ）取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQNP ＋BQ 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． ．解：（1）∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，－1），C 的坐标为（4，3），∴点B 的坐标为（4，－1）．∵抛物线过A （0，－1），B （4，－1）两点，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1－12×16＋4b ＋c ＝－1，解得：b ＝2，c ＝－1，∴抛物线的函数表达式为：y ＝－12x 2＋2x －1．（2）（i ）∵A （0，－1），C （4，3），∴直线AC 的解析式为：y ＝x －1． 设平移前抛物线的顶点为P 0，则由（1）可得P 0的坐标为（2，1），且P 0在直线AC 上．∵点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为（m ，m －1），则平移后抛物线的函数表达式为：y ＝－12（x －m ）2＋m －1．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝－12(x －m )2＋(m －1)，解得⎩⎨⎧x 1＝m y 1＝m －1， ⎩⎨⎧x 2＝m －2y 2＝m －3， ∴P （m ，m －1），Q （m －2，m －3）．过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QF ∥y 轴，则PE ＝m －（m －2）＝2，QF ＝（m －1）－（m －3）＝2．∴PQ ＝22＝AP 0． 若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ 的距离为22（即为PQ 的长）． 由A （0，－1），B （4，－1），P 0（2，1）可知， △ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0＝22．如答图1，过点B 作直线l 1∥AC ，交抛物线y ＝－12x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 1的解析式为：y ＝x ＋b 1，∵B （4，－1），∴－1＝4＋b 1，解得b ＝＝－5，∴直线l 1的解析式为：y ＝x －5．解方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －5y ＝－12x 2＋2x －1，得：⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝－1，⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝－7，∴M 1（4，－1），M 2（－2，－7）．②当PQ 为斜边时：MP ＝MQ ＝2，可求得点M 到PQ 的距离为 2 ． 如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为（2，－1）． 由A （0，－1），F （2，－1），P 0（2，1）可知：△AFP 0为等腰直角三角形，且点F 到直线AC 的距离为 2 ．过点F 作直线l 2∥AC ，交抛物线y ＝－12x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 2的解析式为：y ＝x ＋b 2， ∵F （2，－1），∴－1＝2＋b 2，解得b 2＝－3，∴直线l 2的解析式为：y ＝x －3．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3y ＝－12x 2＋2x －1，得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋5y 1＝－2＋5，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1－5y 1＝－2－5 ，∴M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）．综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：M 1（4，－1），M 2（－2，－7），M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）．（ii ）PQNP ＋BQ 存在最大值．理由如下：由i ）知PQ ＝22为定值，则当NP ＋BQ 取最小值时，PQNP ＋BQ有最大值．如答图2，取点B 关于AC 的对称点B ′，易得点B ′的坐标为（0，3），BQ ＝B ′Q ． 连接QF ，FN ，QB ′，易得FN ∥PQ ，且FN ＝PQ ，∴四边形PQFN 为平行四边形．∴NP ＝FQ ．∴NP ＋BQ ＝FQ ＋B ′Q ≥FB ′＝22＋42 ＝25．∴当B ′、Q 、F 三点共线时，NP ＋BQ 最小，最小值为25．∴PQ NP ＋BQ 的最大值为2225＝105．F3、如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （﹣4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ． （1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2＝d 1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△P AC 的周长有最小值，并求出△P AC 的周长的最小值．解：（1）设抛物线的解析式：y ＝ax 2，∵拋物线经过点B （﹣4，4），∴4＝a •42，解得a ＝14，所以抛物线的解析式为：y ＝14x 2；过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，如图， ∵点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ，∴Rt △BAE ≌Rt △ACD ，∴AD ＝BE ＝4，CD ＝AE ＝OE ﹣OA ＝4﹣1＝3，∴OD ＝AD ＋OA ＝5，∴C 点坐标为（3，5）；（2）设P 点坐标为（a ，b ），过P 作PF ⊥y 轴于F ，PH ⊥x 轴于H ，如图，∵点P 在抛物线y ＝14x 2上，∴b ＝14a 2，∴d 1＝14a 2，∵AF ＝OF ﹣OA ＝PH ﹣OA ＝d 1﹣1＝14a 2﹣1，PF ＝a ，在Rt △P AF 中，P A ＝d 2＝AF 2＋PF 2＝(14a 2－1)2＋a 2＝14a 2＋1，∴d 2＝d 1＋1；（3）由（1）得AC ＝5，∴△P AC 的周长＝PC ＋P A ＋5＝PC ＋PH ＋6，要使PC ＋PH 最小，则C 、P 、H 三点共线，∴此时P 点的横坐标为3，把x ＝3代入y ＝14x 2，得到y ＝94，即P 点坐标为（3，94），此时PC ＋PH ＝5，∴△P AC 的周长的最小值＝5＋6＝11．。
常考二次函数综合题整理(全)
常考二次函数综合题整理 题型一最短路径问题1、如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【变式】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；题型二最大面积（线段最长）问题2、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求出这个最大值．3、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH△x轴于点H，与BC交于点M，连接PC，求线段PM的最大值.【变式】如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，过点P作PE△y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；题型三 存在点构成等腰三角形问题4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.5、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【变式】已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,2C -，点A 的坐标是()2,0，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线1x =-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且14PE OD =，求PBE ∆的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的下方，是否存在点M ，使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四 存在点构成直角三角形问题6、如图，抛物线2y ax bx 4=+-经过()A 3,0-，()B 5,4-两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．()1求抛物线的表达式；()2求证：AB 平分CAO ∠；()3抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM V 是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．●题型四存在点构成等腰直角三角形问题7、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE△x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．●题型四存在点构成平行四边形问题8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．()B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.0,5（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．9、如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．10、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．11、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使△BQC=△BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．12、如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于△ACB 的2倍时，请直接写出点M的坐标【变式】如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE△BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型七 存在点使三角形相似问题13、如图，以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式】抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求△ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE△AC，当△DCE 与△AOC相似时，求点D的坐标．【变式】如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ△PA交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型七二次函数与圆结合问题15、如图，△E的圆心E（3，0），半径为5，△E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与△E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．16、如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m的解析式；（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP△x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.。
二次函数压轴题专题一最短路径问题
二次函数压轴题专题一最短路径问题——和最小知识梳理最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及以下两个方面：1、两点之间，线段最短；2、垂线段最短。
常用思考的方式：1 、把立体转化为平面；2、通过轴对称寻找对称点。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折〞转“直〞，近两年出现“三折线〞转“直〞等变式问题考查。
例题导航例1：如图 A 是锐角∠ MON内部任意一点，在∠ MON的两边 OM， ON上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小 .例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从的路径 AMNB最短？〔假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直〕解： 1. 将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2. 连接 AE 交河对岸与点M,那么点 M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得BN∥ EM 且 BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,假设桥的位置建在 CD处，连接 AC.CD.DB.CE,那么 AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ ACE中，∵ AC+CE＞ AE, ∴AC+CE+MN＞ AE+MN,即 AC+CD+DB＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在 CD处， AB两地的路程最短。
例：如图， A、 B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作物， ?A ·要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B 两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点 B 关于直线 a 的对称点点 C, 连接 AC交直线 a 于点 D，那么点 D 为建抽水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接 AE.CE.BE.BD,A 到 BB·aDEC∵点 B.C 关于直线 a 对称 , 点在直线 a 上，∴ DB=DC,EB=EC,∴AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在△ ACE中， AE+EC＞ AC,即 AE+EC＞AD+DB所以抽水站应建在河边的点 D 处，常见问题归纳“和最小〞问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小〔将军饮马问题〕．如下图，在直线l上找一点P使得＋最小．当点P为直线PA PBAB′与直线 l 的交点时， PA＋PB最小．A AB BlPlB'【方法归纳】①如下图，在直线 l 上找一点 B 使得线段 AB最小．过点 A 作 AB⊥ l ，垂足为 B，那么线段AB即为所求．A Al lB②如下图，在直线l 上找一点P使得＋最小．过点B作关于直线l的对称点′，PA PB BBB′与直线 l 交于点 P，此时 PA＋ PB最小，那么点P 即为所求．A AB BlPlB'③如下图，在∠的边，上分别找一点，D 使得＋＋最小．过点P分别AOB AO BO C PC CD PD作关于 AO，BO的对称点 E， F，连接 EF，并与 AO， BO分别交于点C， D，此时 PC＋ CD＋ PD 最小，那么点 C， D即为所求．A E AP CPO B O D BF④如下图，在∠AOB的边 AO，BO上分别找一点E， F 使得 DE＋ EF＋ CF最小．分别过点C，D作关于 AO， BO的对称点 D′， C′，连接 D′C′，并与 AO， BO分别交于点E，F，此时 DE＋＋最小，那么点，即为所求．EF CF E FA D'AD E DC CO B O F BC'⑤如下图，长度不变的线段CD在直线 l 上运动，在直线l 上找到使得AC＋ BD最小的CD的位置．分别过点A，D作 AA′∥ CD， DA′∥ AC， AA′与 DA′交于点 A′，再作点 B关于直线 l 的对称点 B′，连接 A′B′与直线 l 交于点 D′，此时点 D′即为所求．B BA AA'ClC D D'l DB'12⑥如下图，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线〔 y＝4x〕上的一点，点A〔0，1〕在 y 轴正半轴．点 P在什么位置时PA＋ PB最小？过点 B作直线 l ：y＝－1的垂线段 BH′， BH′与抛物线交于点P′，此时 PA＋ PB最小，那么点 P 即为所求．yy BBPPAAxP'x OOlH H'二次函数中最短路径例题22例 1．〔 13 广东〕二次函数y＝x － 2mx＋m－1．（1〕当二次函数的图象经过坐标原点 O〔0，0〕时，求二次函数的解析式；（2〕如图，当 m＝2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 D，求 C、D 两点的坐标；（3〕在〔2〕的条件下， x 轴上是否存在一点 P，使得 PC＋PD最短？假设 P 点存在，求出 P 点的坐标；假设 P 点不存在，请说明理由．【解题过程】 O 〔 ， 〕，解：〔 1〕∵二次函数的图象经过坐标原点0 02－ mx ＋22∴代入二次函数 y ＝xm － ，得出：m2 1－ 1＝ 0，解得：1 y ＝x 2－ x 或 y ＝ x 2∴二次函数的解析式为： ＋ 2x ； 222－得：〔 〕∵ m ＝ ， ∴二次函数 y ＝xmx ＋m －12 22y ＝x 2－ 4x ＋3＝〔 x － 2〕 2－1，∴抛物线的顶点为： D 〔2，－ 1〕，当 x ＝0 时，y ＝ 3，∴C 点坐标为：〔0，3〕，∴ C 〔0，3〕、D 〔2，－ 1〕；（ 3〕当 P 、C 、D 共线时 PC ＋y PD 最短，【方法一】∵C 〔0，3〕、 D 〔 2，－ 1〕，设直线 CD 的解析式为 y ＝ kx ＋3，代入得： 2k C＋ 3＝－ 1，∴ k ＝－ 2，∴ y ＝－ 2x ＋ 3，yCxOD3当 y ＝0 时，－ 2x ＋3＝0，解得 x ＝ 2，PxO3 ∴ PC ＋PD 最短时， P 点的坐标E为： P 〔D ，0〕．2【方法二】过点 D 作 DE ⊥y 轴于点 E ，PO DEPO CO ，∴ PO 3PO 3∵ ∥ ，∴＝CE 2 ＝ ，解得：＝ ，DE 423∴ PC ＋PD 最短时， P 点的坐标为： P 〔2，0〕．练习 1．〔 11 菏泽〕如图，抛物线y ＝ 1 2＋﹣ 2 与 x 轴交于 ， B 两点，与 y 轴交于 C 点，2xbx A且 A 〔﹣ 1， 0〕．（ 1〕求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（ 2〕判断△ ABC 的形状，证明你的结论；〔3〕点 M 〔 m ， 0〕是 x 轴上的一个动点，当 MC ＋ MD 的值最小时，求m 的值．练习 2．〔 12 滨州〕如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A〔﹣ 2，﹣ 4〕，O〔0，0〕，B〔2，0〕三点．（1〕求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2〕假设点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋ OM的最小值．yO B xA例 2．〔14 海南〕如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A〔－1，0〕，C〔0，5〕两点，与x轴另一交点为 B． M〔0，1〕， E〔 a，0〕， F〔 a＋1，0〕，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕当a＝ 1 时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；〔3〕假设△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．y yPC CPMx MxA O E FB A O E F B【思路点拨】〔1〕由对称轴为直线x＝ 2，可以得出顶点横坐标为 2，设二次函数的解析式为y＝a〔x－ 2〕2＋ k，再把点 A， B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2〕求四边形MEFP的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点 P作 PN⊥ y 轴于点 N，由 S 四边形MEFP＝ S梯形OFPN－ S△PMN－ S△OME即可得出；（3〕四边形PMEF的四条边中，线段PM，EF长度固定，当ME＋PF取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点 M向右平移1个单位长度〔 EF的长度〕，得到点 M1〔1，1〕，作点 M1关于 x 轴的对称点 M2〔1，－1〕，连接 PM2，与 x 轴交于 F 点，此时 ME＋ PF＝ PM2最小．【解题过程】解：〔 1〕∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝a〔 x－2〕2＋ k．将 A〔－1，0〕， C〔0，5〕代入得：9a＋k＝ 0a＝－1 4a＋k＝ 5，解得k＝9，∴y＝－〔 x－2〕2＋9＝－ x2＋4x＋5．〔 2〕当a＝ 1 时，E〔 1，0〕，F〔 2， 0〕，OE＝ 1，OF＝2．设P〔x，－x2＋ 4x＋ 5〕，如答图 2，过点P 作⊥y轴于点，那么＝，＝－x2＋4 ＋ 5，PN N PN x ON x∴MN＝ ON－OM＝－ x211＋4x＋ 4．S四边形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME＝〔PN＋OF〕?ON－PN22 112121299?MN－2OM?OE＝2〔x＋ 2〕〔－x＋ 4x＋ 5〕－2x?〔－x＋ 4x＋4〕－2×1× 1＝－x＋2x＋2＝9215391539－〔 x－4〕＋16∴当 x＝4时，四边形 MEFP的面积有最大值为16，此时点 P 坐标为〔4，153〕．16〔 3〕∵M〔 0，1〕，C〔 0，5〕，△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点 P的纵坐标为3．令 y＝－ x2＋4x＋5＝3，解得 x＝2±6．∵点P在第一象限，∴P〔2＋6， 3〕．四边形 PMEF的四条边中， PM、EF长度固定，因此只要＋最小，那么的周长将取得最小值．ME PF PMEF如答图3，将点M向右平移 1 个单位长度〔EF的长度〕，得M〔 1， 1〕；1作点 1关于 x 轴的对称点2，那么2〔1，－ 1〕；MM M连接 PM 2，与 x 轴交于 F 点，此时 ME ＋ PF ＝ PM 2最小．设直线 PM 2的解析式为 y ＝ mx ＋ n ，将 P 〔 2＋ 6， 3〕， M 2〔 1，－ 1〕代入得： (2 ＋ 6) ＋ ＝ 3 4 6－ 4 4 6＋ 4 4 6－4 4 6＋ 4m n，解得： m ＝ 5 ， n ＝ 5 ，∴ y ＝ 5 x － 5．m ＋ n ＝－ 16＋ 5 6＋ 56＋ 56＋ 1 当 y ＝ 0 时，解得 x ＝ ．∴ F 〔，0〕．∵ a ＋1＝，∴ a ＝4 ．444∴a ＝6＋ 1PMEF 周长最小．4 时，四边形y yN PCCPMM M 1xxAOEFBAOEF M 2图 1图 2练习 3．〔 11 眉山〕如图，在直角坐标系中，点 A 〔 0， 1〕，B 〔﹣ 4，4〕，将点 B 绕点 A 顺时针方向 90°得到点 ；顶点在坐标原点的拋物线经过点 ．CC 的坐标；B〔1〕求抛物线的解析式和点〔2〕抛物线上一动点 ，设点 P 到 x 轴的距离为d 1，点 P 到点A 的距离为 2，试说明2＝d 1＋1；Pdd〔3〕在〔 2〕的条件下，请探究当点P 位于何处时，△ PAC 的周长有最小值，并求出△ PAC的周长的最小值．yCBPAxO例 4．〔 14 福州〕如图，抛物线12A 在点B 的左侧〕，y＝( x 3) 1 与x轴交于A，B两点〔点2与y 轴交于点 C，顶点为 D了．〔1〕求点A，B，D的坐标；〔2〕连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接 AE，AD．求证：∠ AEO＝∠ ADC；〔3〕以〔 2〕中的点E为圆心， 1 为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P 作⊙E的切线，切点为，当的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．Q PQyyCCEHxxOABOABDD【思路点拨】〔1〕由顶点式直接得出点D 的坐标， 再令1y ＝0，得 2( x23)1＝ 0 解出方程， 即可得出点A ，B 的坐标；（ 2〕设 HD 与 AE 相交于点 F ，可以发现△ HEF 与△ ADF 组成一个“ 8 字型〞．对顶角∠ HFE ＝∠AFD ，只要∠ FHE ＝∠ FAD 即可．因为∠ EHF ＝ 90°，只需证明∠ EAD ＝ 90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ ADE 为直角三角形，得∠ FHE ＝∠ FAD ＝ 90°即可得出结论；（ 3〕先画出图形．因为 PQ 为⊙ E 的切线，所以△ PEQ 为直角三角形，半径 EQ 长度不变，当斜边 PE 最小时， PQ 的长度最小．设出点 P 的坐标，然后表示出 PE ，求出 PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点 Q 的坐标即可．【解题过程】解：〔 1〕顶点 D 的坐标为〔 3， 1〕．令 y ＝ 0，得1( x 3) 2 1＝ 0，解得 x 1＝ 3＋ 2，x 2＝ 32．2∵点 A 在点 B 的左侧，∴ A 点坐标 (3 2， 0) ， B 点坐标〔 3 2， 0〕．〔 2〕过 D 作 ⊥ 轴，垂足为 ．那么 〔0， 1〕， ＝ 3．令 x ＝ 0，那么 y ＝ 7，∴ C 点坐DG y G G GD27 标为〔 0，2〕．∴GC ＝ 79x 轴于点 M ．∵ OE ⊥ CD ，∴∠ GCD ＋∠ COH ＝ 90 ． 2 ( 1) ＝ 2．设对称轴交 ∵∠ MOE ＋∠ COH ＝ 90 ，∴∠ MOE ＝∠ GCD ．又∵∠ CGD ＝∠ OMN ＝90 ，∴△ DCG ∽△ EOM ．9 CG DG23∴＝，即 ＝ ．∴ EM ＝ 2，即点 E 坐标为 (3 ， 2) ， ED ＝ 3．OM EM3 EM由勾股定理，得 2＝ 6， 2＝ 3，∴ 2＋ 2＝ 6＋ 3＝ 9＝ 2．AE ADAE AD ED∴△ AED 是直角三角形，即∠ DAE ＝ 90 ．设 AE 交 CD 于点 F ．∴∠ ADC ＋∠ AFD ＝ 90 ．又∵∠ AEO ＋∠ HFE ＝ 90 ， ∴∠ AFD ＝∠ HFE ，∴∠ AEO ＝∠ ADC ．〔 3〕由⊙ E 的半径为 1，根据勾股定理，得 2 2PQ ＝ EP － 1．要使切线长 最小，只需 长最小，即 2 最小．PQ EPEP设 P 坐标为〔 x ， y 〕，由勾股定理，得 22 2．EP ＝ ( x － 3) ＋( y － 2)∵ y ＝ 1( x －3) 2－ 1，∴ ( x － 3) 2＝ 2 ＋ 2．∴ 2＝ 2 ＋ 2＋ y 2 － 4 ＋ 4＝ ( y － 1) 2 ＋5．2 y EP y y当 ＝ 1 时， 2 最小值为 5．把 ＝ 1 代入 1 2 1 － 3) 2y EP y y ＝ ( x －3) － 1，得 (x 1＝1，解得2 2 x 1＝1， x 2＝ 5．又∵点 P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1 舍去．∴点 P 坐标为 (5 ， 1) ．19 13此时 Q 点坐标为〔 3，1〕或 ( 5 ， 5 ) ．yyCCQ 2EEHPQ 1F xxABO AOBGDD例 5．〔 14 遂宁〕：直线l： ＝﹣ 2，抛物线y ＝ax 2＋＋ c 的对称轴是y 轴，且经过点ybx（ 0，﹣ 1〕，〔 2， 0〕． （ 1〕求该抛物线的解析式；（ 2〕如图①，点 P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q ，求证： PO ＝PQ ．（ 3〕请你参考〔 2〕中结论解决以下问题：（ i 〕如图②，过原点作任意直线 AB ，交抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 于点 A 、 B ，分别过 A 、 B 两点作直线 l 的垂线，垂足分别是点 M 、 N ，连结 ON 、 OM ，求证： ON ⊥OM ．〔ii 〕：如图③，点D 〔1， 1〕，试探究在该抛物线上是否存在点 F ，使得 FD ＋ FO 取得最小值？假设存在，求出点F 的坐标；假设不存在，请说明理由．yyyPADOEx OxOFxBlQlN Ml【解题过程】二次函数压轴题专题一最短路径问题b1解：〔 1〕由题意，得－2a＝ 0a＝4 1 2－ 1；－ 1＝，解得：＝ 0，∴抛物线的解析式为： y＝4xc b0＝ 4a＋ 2b＋c c＝－112121〔 2〕如图①，设P〔a，4a﹣ 1〕，就有OE＝a，PE＝4a﹣ 1，∵PQ⊥l，∴EQ＝ 2，∴QP＝4 a2＋1．212212在 Rt △POE中，由勾股定理，得PO＝ a ＋(4a －1)＝4a ＋1，∴ PO＝ PQ；〔 3〕〔i〕如图②，∵BN⊥l，AM⊥l，∴BN＝BO，AM＝AO，BN∥AM，∴∠ BNO＝∠ BON，∠ AOM＝∠ AMO，∠ ABN＋∠ BAM＝180°．∵∠ BNO＋∠ BON＋∠ NBO＝180°，∠ AOM＋∠ AMO＋∠ OAM＝180°，∴∠ BNO＋∠ BON＋∠ NBO＋∠ AOM＋∠ AMO＋∠ OAM＝360°，∴2∠ BON＋2∠ AOM＝180°，∴∠ BON＋∠ AOM＝90°，∴∠ MON＝90°，∴ ON⊥ OM；〔 ii 〕如图③，作F′ H⊥ l 于 H， DF⊥ l 于 G，交抛物线与F，作 F′ E⊥ DG于 E，yDO EF'x FlG H∴∠ EGH＝∠ GHF′＝∠ F′ EG＝90°， FO＝FG， F′ H＝ F′ O，∴四边形 GHF′E 是矩形， FO＋ FD＝ FG＋ FD＝ DG，F′O＋ F′ D＝F′ H＋ F′ D，∴ EG＝ F′H，∴ DE＜ DF′，∴DE＋ GE＜ HF′＋ DF′，∴ DG＜ F′O＋ DF′，∴ FO＋ FD＜ F′ O＋DF′，∴ F 是所求作的点．5∵ D〔1，1〕，∴ F 的横坐标为1，∴F〔 1，4〕．。
二次函数压轴题专题一 最短路径问题
二次函数压轴题专题一最短路径问题——和最小知识梳理最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及以下 两个方面：1、两点之间，线段最短；2、垂线段最短。
常用思考的方式：1、把立体转化为平面；2、通过轴对称寻找对称点。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
例题导航例1：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD,··CDA BEa∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB所以抽水站应建在河边的点D 处，常见问题归纳“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DElBAllllBAOBOB＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2）上的一点，点A （0，1）在y轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．二次函数中最短路径例题例1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．BOB Oll练习1．（11菏泽）如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．练习2．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．例2．（14海南）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已知M （0，1），E （a ，0），F （a ＋1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．【思路点拨】 （1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出； （3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN•MN －12OM •OE ＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1＝－x 2＋92x ＋92 ＝－（x －94）2＋15316 ∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）． （3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值． 如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）；作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得：⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图2练习3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （﹣4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ． （1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2＝d 1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．例4．（14福州）如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了． （1）求点A ，B ，D 的坐标； （2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠FAD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠FAD ＝90°即可得出结论；（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点Q 的坐标即可．【解题过程】解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12 (x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）．∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ． ∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3． 由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小．设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12 (x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)21＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)．此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．例5．（14遂宁）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ． （ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解题过程】解：（1）由题意，得⎩⎨⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎨⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1； （2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝14a 2＋1．在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ； （3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°．∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°， ∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH ＝∠GHF ′＝∠F ′EG ＝90°，FO ＝FG ，F ′H ＝F ′O ，∴四边形GHF ′E 是矩形，FO ＋FD ＝FG ＋FD ＝DG ，F ′O ＋F ′D ＝F ′H ＋F ′D ，∴EG ＝F ′H ，∴DE ＜DF ′，∴DE ＋GE ＜HF ′＋DF ′，∴DG ＜F ′O ＋DF ′，∴FO ＋FD ＜F ′O ＋DF ′，∴F 是所求作的点．∵D （1，1），∴F 的横坐标为1，∴F （1，54）．l。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数典型例题——最短路径
1、已知抛物线2:(1)1C y x m x =-++的顶点在坐标轴．．．
上． （1）求m 的值；
（2）0>m 时，抛物线C 向下平移n （n > 0）个单位后与抛物线C 1：c bx ax y ++=2关于y 轴对称，且1C 过点（n ，3），求C 1的函数关系式； （3）03<<-m 时，抛物线C 的顶点为M ，且过点P （1，y 0）问在直线1-=x 上是否存在一点Q 使得△QPM 的周长最小，如果存在，求出点Q 的坐标， 如果不存在，请说明理由．
（1）m 的值=1，-1，-3；
（2）C 1的函数关系式：22y x x =+;
（3）Q 的坐标4
(1,)3-.
2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线211
24
y x =+
的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，
为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线211
24
y x =+和直线2y x =于点
A ，点
B .
⑴直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；
⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；
(3)已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤21
24
x +
，求a ，b ，c 的值. 解：(1)21
(2)4
A n n +，，()
B n n ，
. (2) d =AB =A B y y -=21
24
n n -+.
∴ d =2112()48n -+=211
2()48
n -+
∴ 当14n =时，d 取得最小值1
8
.
当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB =PM . (如图10)
(3) ∵ 对一切实数x 恒有 x ≤y ≤21
24
x +
， ∴ 对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤21
24
x +
都成立. (0a ≠) ① 图10
x
y
111
A
P
B
M
O
3、已知关于x 的一元二次方程()0312
=-+--m x m x ．
（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2
的图象1C 的一个交点的横坐标为2，
求关于x 的一元二次方程()0312
=-+--m x m x 的解．
（3）在（2）的条件下，将抛物线()312
-+--=m x m x y 绕原点旋转︒180，得到图
象2C ，点P 为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于
N M 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标．
解：（1）证明：()[]()3412
----=∆m m
124122+-+-=m m m 1362
+-=m m
()432
+-=m
∵不论m 取何值时，()032
≥-m ∴()0432
>+-m ，即0>∆
∴不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）将2=x 代入方程()0312
=-+--m x m x ，
得3=m
再将3=m 代入，原方程化为022
=-x x ， 解得2,021==x x ． （3）将
3=m 代入得抛物线：x x y 22-=，将抛物线
x x y 22-=绕原点旋转︒180得到的图象2C 的解析式为：x x y 22--=．
设()0,x P
则(
)
3,2
+x x M ，(
)
x x x N 2,2
--
()()
25212322232
222+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=---+=x x x x x x MN
∴当2
1
-=x 时，MN 的长度最小，
此时点P 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,21
（昌平）27．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；
（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．
y
x
图1
B
A
C
D O y
x
图2
C
D O
解：（1）∵ 抛物线经过()0,0，()4,0- ，()6,3-三点，
∴ 0
1640,366 3.c a b a b =⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩ ………………………………………… 1分
解得 1410a b c ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，，． …………………………… 2分
∴ 抛物线的解析式为21
4
y x x =+．
∵()()2
2211144421444
y x x x x x =+=++-=+-
∴抛物线的顶点坐标为()2,1-- ……………3分 （2）设直线CD 的解析式为2y x m =+，
根据题意，得
2
124
x x x m +=+， …………… 4分 化简整理，得2440x x m --=，
由16160m ∆=+=，解得1m =-， ……………… 5分
∴直线CD 的解析式为21y x =- ．
（3）点的坐标为()2,7， …………………………… 6分
． ……………………… 7分。