最小公倍数例1例
五年级奥数—最小公倍数
最小公倍数与最大公因数几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数.几个自然数的公倍数有无限多个，所以不存在最大公倍数，除零外，其中最小的只有一个，这个数就叫做这几个数的最小公倍数.自然数a和b的最小公倍数记作［ａ，b］.例如，4和6的最小公倍数是12，记作［4，6］＝12.18、24、36的最小公倍数是72，记作［18，24，36］＝72.性质：两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的一个重要性质是：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
若a，b表示两个自然数，则：为什么呢？例如自然数132和140，它们分别分解质因数为：即：132×140＝22×22×3×11×5×7而（132，140）＝22［132，140］＝22×3×11×5×7 （132，140）×［132，140］＝22×22× 3×11×5×7，它们的质因数与132×140的质因数完全相同。
所以说：132×140＝（132，140）×［132，140］例1、求18与30的最小公倍数.训练排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方形，问最少需要多少人参加团体操的排练？例2、某工厂加工配套的机器零件，要经过三道工序.第一道工序平均每人每小时做20件，第二道工序平均每人每小时做16件，第三道工序平均每人每小时做24件.现有1332名工人，问每道工序各安排多少人才算是合理的安排.训练有甲、乙、丙、丁四个齿轮互相啮合，齿数分别为84、36、60和48.问在传动过程中同时啮合的各齿到下次再同时啮合，各齿轮分别转过多少圈？例3、两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？训练已知两数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。
最小公倍数的应用
用3、4、5除，恰好都能整除 的三位数，最小是多少？ 最大是多少？
求出下面每组数的最小公倍数。
14、28和35
63、27和36 24、36和48
20、45和15
38、57和76 33、22和121
这种墙砖长3dm， 宽2dm。
如果要这种墙砖铺一个正方形（用 的墙砖都是整块）。正方形的边长可以 是多少分米？最小是多少分米？ 你们认为解决这个问题需要注意什么？ 1.铺满、2.使用墙砖是整块数、3.铺的是 正方形，4.墙砖边长必须是整分米数。
相同点：都要把所有的除数和商 相乘起来
一、根据下列各题的分解质因数，求出各题 的最小公倍数。 1、15=3×5，20=2×2×5，30=2×3×5
15、20、30的最小公倍数是 （ 5×2×3 ×2=60 ）。
2、A=2×3×5，B=2×3×7，C=3×5×5， A、B和C的最小公倍数是 （ 3×2×5 ×7×5=1050 ）。
想一想
阿凡提的故事
从前有个长工，在巴依老爷家辛辛苦苦干了一 年，却一个铜板也没拿到，就请阿凡提帮他向去巴
依老爷讨工资。巴依老爷含着烟斗冷笑着说：“工
资我可以给你，不过我的钱都在我的账房先生那里。
从9月1日起，我要连续出去收账3天才休息一天，
我的账房先生要连续收账5天才可以休息一天，等 我们两人同时休息的时候，你来拿吧。”阿凡提动 了动脑筋，便带长工们离开了。到了那天，阿凡提 真的从巴依老爷家帮长工拿到了工钱。
3、5和6的最小公倍数是：30
30+1=31（个）
答：这些鸡蛋至少有31个。
1路车和路车早上6时同时从起始站发车,1路 车每10分钟发一辆车,2路车每隔8分钟发一辆 车。这两路车第二次同时发车的时间是多少？
求几个数的最小公倍数的方法 - 答案
求几个数的最小公倍数的方法答案典题探究例1．某中学学生排队，如果每10人一排，多1人，每9人一排，仍多1人，每7人一排，少4人，问这学生至少有451人．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：压轴题．分析：先根据公倍数的求法得到比10和9的公倍数多1的数，再找到其中比7的倍数少4的数中最小的一个．解答：解：因为比10和9的公倍数多1的数有：91，181，271，361，451，…，比7的倍数少4的数有：3，10，17，24，31，…，451，…，所以学生至少有451人．故答案为：451．点评：考查了求几个数的最小公倍数的方法，本题关键是求出比10和9的公倍数多1的数，比7的倍数少4的数．例2．张集小学学前班买来一筐橙子，分给5个人最后余2个，分给7人最后余2个，分给9人也余2个，学前班最少买来多少个橙子？考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：根据分给5个人余2个，分给7人余2个，分给9人也余2个，可知这筐橙子的总个数减去2就是5、7和9的公倍数，要求至少也就是用5、7和9的最小公倍数加上2即可．解答：解：因为5、7和9三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是它们的乘积，即5×7×9=315，所以这筐橙子至少有：315+2=317（个）；答：学前班最少买来317个橙子．点评：解答本题关键是理解：这筐橙子的总个数减去2就是5、7和9的公倍数，求至少有的个数，就用它们的最小公倍数加上2即可．例3．一次数学竞赛，结果学生中获得一等奖，获得二等奖，获得三等奖，其余获纪念奖．已知参加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：即求在50以内的7、3和2的公倍数，先求出这三个数的最小公倍数，因为这三个数两两互质，这三个数的最小公倍数即这三个数的乘积，然后根据题意，进行选择，判断出参加这次竞赛的学生的人数；然后把参加这次竞赛的学生的人数看作单位“1”，获纪念奖的人数占参加竞赛人数的（1﹣﹣﹣），继而根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即可．解答：解：2、3和7的最小公倍数是2×3×7=42，因为在50以内的7、3和2的公倍数只有1个42，所以参加这次竞赛的学生有42个，纪念奖有：42×（1﹣﹣﹣），=42×，=1（人）；答：获纪念奖的有1人．点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的方法，当三个数两两互质时，其最小公倍数就是这三个数的乘积．例4．写出每组数的最小公倍数．15和10 6和7 7和1．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：求两个数的最小公倍数，如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是这两个数的乘积；如果两个是倍数关系，较答的数是它们的最小公倍数；两个数是一般关系，可以利用分解质因数的方法，把这两个分解质因数，公有质因数和各自质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；由此解答．解答：解：15和10，首先把6和10分解质因数：15=3×5；10=2×5；15和10的最小公倍数是：2×5×3=30；6和7，因为6和7是互质数，所以它们的最小公倍数是：6×7=42；7和1，因为7和1是倍数关系，所以它们的最小公倍数是7．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共10小题）1．（•中山市）18和60的最大公因数和最小公倍数分别是（）A．6，180 B．180，6 C．6，90 D．90，6考点：求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．解答：解：18=2×3×3，60=2×2×3×5，所以18和60的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×3×2×5=180；故选：A．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．2．（•东山县）a+1=b（a和b是不为0的自然数），a和b的最小公倍数是（）A．a B．b C．a b考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：压轴题．分析：a+1=b（a和b是不为0的自然数），说明a和b是互质数，互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积．解答：解：a和b是互质的两个自然数，最小公倍数是ab，故选：C．点评：此题主要考查互质的两个自然数的最小公倍数的求法．3．（•东城区）非零自然数n与n+1的最小公倍数是（）A．n B．n+1 C．n2+n考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：由n与n+1是相邻的两个非零自然数，可知n和n+1是互质数，根据互质数的最小公倍数是它们的乘积，据此解答．解答：解：n与n+1是相邻的两个非零自然数，它们的最小公倍数是：n（n+1）=n2+n；故选：C．点评：解答本题关键是理解：相邻的两个非零自然数是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积．4．（•富源县）既有因数3，又是5的倍数的最小三位数是（）A．102 B．105 C．120考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：根据3的倍数的特征，各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数．5的倍数特征是：个位上是0或5的数是5的倍数．所以既有因数3又是5的倍数最小三位数是105．解答：解：既有因数3，又是5的倍数的最小三位数是105，故选：B．点评：此题主要根据3、5的倍数的特征和因数与倍数的意义解答．5．（•兴化市模拟）自然数a除以自然数b，商是5，这两个自然数的最小公倍数是（）A．a B．b C．5考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．解答：解：由a÷b=5可知，数a是数b的5倍，属于倍数关系，a＞b，所以a和b最小公倍数是a；故选A．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．6．（•广州模拟）a÷b=1…1，则它们的最小公倍数是（）A．a B．b C．a b D．a+1考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：因为a÷b=1…1，说明a与b是互质数，所以它们的最小公倍数是ab．解答：解：a÷b=1…1，则它们的最小公倍数是ab；故选：C．点评：判定出a和b是互质数是解答此题的关键，注意互质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积．7．（•舒城县）能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（）A．29 B．31 C．61考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：可先求出能同时被2、3、5整除的最小的数也就是它们的最小公倍数为30，由此解决问题．解答：解：能被2、3、5整除的最小的数是30，30+1=31．故选：B．点评：此题是根据求最小公倍数的方法结合整除的意义解决问题．8．（•河池）下面三句话中，正确的一句是（）A．两个数是互质数，它们的积就是它们的最小公倍数B．任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形C．如果a和b的比是5：3，那么a就是b的D．无选项考点：求几个数的最小公倍数的方法；比与分数、除法的关系；图形的拼组．专题：综合题．分析：逐个分析即可得解，A、两个数互质，它们的最小公倍数是它们的积；B、如下图所示，虽然两个梯形等底等高，但是如果没有在同一条腰上的两个底角对应互补，无法拼成一个平行四边形；C、=，两个同时乘b，则得a=b，a是b的倍；因此得解．解答：解：由以上分析，得A两个数是互质数，它们的积就是它们的最小公倍数是正确的；其它都是错误的；故选：A．点评：熟悉掌握概念的意义，全面分析，是解决此题的关键．9．（•綦江县）如果自然数a和b的最大公因数是1，那么a和b的最小公倍数是（）A．a b B．a C．b D．无法确定考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：计算题．分析：因为自然数a和b的最大公因数是1，所以a和b两个数是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积．解答：解：如果自然数a和b的最大公因数是1，那么a和b的最小公倍数是它们的乘积ab．故选：A．点评：此题考查了两个数是互质数时最小公倍数是它们的乘积．10．（•资中县模拟）某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人．这个学校五年级至少有（）名学生．A．90 B．107 C．105 D．210考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：压轴题．分析：由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人就是3、5、7的公倍数，求至少就是、5、7的最小公倍数加2，据此解答．解答：解；：3、5、7两两互质，它们最小公倍数等于它们的乘积；3、5、7的最小公倍数：3×5×7=105；105+2=107（名）；答：所以这个学校五年级至少有107名学生．故选：B．点评：解答本题关键是由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人就是3、5、7的公倍数．二．填空题（共10小题）11．已知b=6a（a，b均是不为0的自然数），则a和b的最小公倍数是ab．×（判断对错）考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：根据条件知道，b是a的6倍，说明b是a的倍数．根据：如果两个数是倍数关系，较大的就是它们的最小公倍数，进而得出结论．解答：解：因为b=6a，（a，b是不为0的自然数），所以b是a的6倍，b和a是倍数关系，如果两个数是倍数关系，较大的是它们的最小公倍数，所以：b是a和b的最小公倍数．故答案为：×．点评：本题考查最小公倍数问题，如果它们是倍数关系，较大的数就是它们的最小公倍数，所以，首先搞清楚a和b的关系．12．如果a÷b=c（a、b、c都是自然数），那么数a与数b的最小公倍数是a，最大公约数是b．考点：求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．分析：这道题属于求两个数为倍数关系时的最小公倍数与最大公约数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数，最大公约数为较小的数；由此解答问题即可．解答：解：由如果a÷b=c（a、b、c都是自然数），可知数a是数b的c倍，所以数a与数b的最小公倍数是a，最大公约数是b；故答案为a，b．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时的最小公倍数与最大公约数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数，最大公约数为较小的数．13．有两包数量相同的糖果，分别分给幼儿园两个班的小朋友，甲班的小朋友每人分的糖一样多，分完后剩下一块，乙班的小朋友每人分的糖也一样多，分完后也剩下一块，已知甲班有8人，乙班有6人，那么这两包糖每包最少有25块．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：根据题意，这包糖应该是6和8的最小公倍数再加1，由此得到此题解．解答：解：6和8的最小公倍数是24，24+1=25答：这两包糖每包最少有25块．故答案为：25．点评：理解题意，掌握6和8的最小公倍数再多1即是解决此题关键．14．互质的两个数，它们的最小公倍数是702，这两个数是2和351或者26和27．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：将702进行质因素分解，有相同的放一起，单个的随便放，然后剔除不符合题意的组合．解答：解：因为702=2×3×3×3×13，所以：702的因数有：2和351，6和117，9和78，18和39，26和27，因为互质的两个数是只有公因数1，6和117，9和78不是互质数，故答案为：2和351或者26和27．点评：本题考查互质数的有关知识，互质数时指只有公因数1的一组数．15．一个数被3除余数为1，被4除余数为1，被6除余数为1，这个数是13．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：如果该数能被3，4，6正好整除，则该数是3，4，6的最小公倍数，而现在该数被3除余数为1，被4除余数为1，被6除余数为1，所以该数是3，4，6的最小公倍数加上1即可．解答：解：因为：3和6的最小公倍数是6，而6和4的最小公倍数是12，所以满足条件的是：12+1=13；故答案为：13．点评：本题考查求几个数的最小公倍数的方法：几个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．16．在自然数中，既有约数2，又有约数3的最小数是6；既有约数2，又有约数5的最小数是10；既有约数3，又有约数5的最小的数是15．考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．解答：解：2×3=6，2×5=10，3×5=15．故答案为：6，10，15．点评：此题主要考查求两个数互质时两个数的最小公倍数：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积．17．若一个整数a被2，3，…，9这8个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值是2521．考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：先求出2，3，…，9这8个自然数的最小公倍数，再加上1，即可求解．解答：解：6=2×3，8=2×2×2，9=3×3，所以2，3，…，9的最小公倍数是2×2×2×3×3×5×7=2520；a的最小值是2520+1=2521．故答案为：2521．点评：考查了求几个数的最小公倍数的方法，本题2，3，…，9这8个自然数的最小公倍数只需要求出5、6、7、8、9这5个数的最小公倍数即可．18．当a和b只有公因数1时，a和b的最小公倍数是ab．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：因为a和b的公因数只有1，所以a和b两个数是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积．解答：解：如果a和b的公因数只有1，a和b两个数是互质数，那么a和b的最小公倍数是它们的乘积ab．故答案为：ab．点评：此题考查了两个数是互质数时最小公倍数是它们的乘积．19．36是6和9的最小公倍数．×（判断对错）考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：先求出6和9的最小公倍数，把6和9进行分解质因数，进而根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．解答：解：6=2×3，9=3×3，6和9的最小公倍数是：2×3×3=18，所以本题说法错误；故答案为：×．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．20．5和6的最小公倍数是30；4和8的最小公倍数是8；6和14的最小公倍数是42；16和17的最大公因数是1；6和18的最大公因数是6；12和20的最大公因数是4．考点：求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；由此选择情况解决问题．解答：解：①5和6互质，所以最小公倍数是5×6=30②4和8是倍数关系，最小公倍数是8③6=2×314=2×7最小公倍数是：2×3×7=42④16和17互质，所以最大公因数是1⑤6和18成倍数关系，所以最大公因数是6⑥12=2×2×320=2×2×5最大公因数是：2×2=4故答案为：30，8，42，1，6，4．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．三．解答题（共2小题）21．三个连续的自然数，它们的最小公倍数是660，问这三个数是多少？考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：每相邻的两个自然数数互质，三个相邻的自然数若是2奇数1偶数，最小公倍数就是这三个数的乘积；若是1奇数2偶数，最小公倍数是这三个数的乘积的一半．因此首先把660分解质因数，然后把它的质因数适当调整计算即可．由此解答．解答：解：把660分解质因数：660=2×2×3×5×11；因为2×5=10，2×2×3=12，所以这三个连续的自然数是：10、11、12；答：这三个数是10，11，12．点评：此题解答关键是明确相邻的两个自然数是互质数，三个相邻的自然数有2奇数1偶数或1奇数2偶数两种情况，根据分解质因数的方法解决此问题．22．一个两位数被3和5除都余1，这个数最大是多少？考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：能同时被3和5整除的数，个位上必须是0和5且各位上的数字之和是3的倍数，那么能同时被3和5整除最大的两位数是90，然后用90再加1即可．解答：解：被3和5整除的数，即这个数应该是3和5的公倍数因为3和5互质，所以应该是3×5=15的倍数，最大的两位数是9090+1=91答：一个两位数被3和5除都余1，这个数最大是91．点评：本题考查了能被3和5整除的数的特征．B档（提升精练）一．选择题（共10小题）1．（•彭州市模拟）a、b是两个不是0的自然数，a÷b=6，a和b最小公倍数是（）A．a B．b C．6考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．解答：解：由a÷b=6可知，数a是数b的6倍，属于倍数关系，a＞b，所以a和b最小公倍数是a；故选A．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．2．（•勐海县）α与b是互质数，那么它们的最小公倍数是（）A．αB．b C．αb D．1考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是这两个数的乘积．据此解答．解答：解：a与b是互质数，它们的最小公倍数是ab．故选：C．点评：本题考查了求几个数的最小公倍数的方法．此题解答关键是明确：如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是这两个数的乘积．3．（•龙海市模拟）学校举行春季运动会，六1班人数的参加田赛，参加径赛，六1班人数是（）人．A．64 B．49 C．56 D．60考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：由“六1班人数的参加田赛，参加径赛”，求出要求六1班人数，也就是求7和8的最小公倍数．解答：解：7和8的最小公倍数是7×8=56，所以六1班人数是56人；故选：C．点评：关键是根据题意，人数必须是整数，所以求7和8的最小公倍数，而互质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积．4．（•舒城县）能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（）A．29 B．31 C．61考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：可先求出能同时被2、3、5整除的最小的数也就是它们的最小公倍数为30，由此解决问题．解答：解：能被2、3、5整除的最小的数是30，30+1=31．故选：B．点评：此题是根据求最小公倍数的方法结合整除的意义解决问题．5．（•麻章区）a，b是不等于0的自然数，a÷b=6．a，b的最小公倍数是（）A．a B．b C．6D．6a考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．解答：解：由a÷b=6可知，数a是数b的6倍，属于倍数关系，a＞b，所以a和b最小公倍数是a；故选：A．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．6．（•溧水县模拟）两个最简分数的分母分别是48和72，它们通分后的公分母最小是（）A．8B．24 C．144 D．288考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：两个最简分数的分母分别是48和72，要求它们通分后的公分母最小是多少，只要求出48和72的最小公倍数，即可得解．解答：解：48=2×2×2×2×3，72=2×2×2×3×3，所以48和72的最小公倍数是2×2×2×3×2×3=144；答：两个最简分数的分母分别是48和72，它们通分后的公分母最小是144；故选：C．点评：求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．7．（•永昌县模拟）甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×3，这两个数的最小公倍数是（）A．180 B．360 C．1080考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．解答：解：甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×3，这两个数的最小公倍数为：2×2×3×3×5=180；故选：A．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．8．（•武鸣县模拟）甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2，这两个数的最小公倍数是（）A．60 B．180 C．90考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．解答：解：因为甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2，所以这两个数的最小公倍数是2×3×5×2×3=180．故选：B．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．9．（•北京模拟）甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，当A=（）时，甲、乙两数的最小公倍数是630．A．2B．3C．5D．7考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：求最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．解答：解：甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，甲、乙两数的最小公倍数是：2×3×5×7×A=210A，210A=630，A=3；故选：B．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．10．（•东兰县模拟）a、b是非零自然数，且a=5b．那么a和b的最小公倍数是（）A．a B．b C．a b考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：因为a=5b，所以a÷b=5，即a和b成倍数关系，根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；进行解答即可．解答：解：因为a=5b，所以a÷b=5，即a和b成倍数关系，所以a和b两数的最小公倍数是a．故选：A．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时的最小公倍数：两个数为倍数关系，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数．二．填空题（共10小题）11．（•泗县模拟）4、6和8的最小公倍数是24，把这个最小公倍数分解质因数是24=2×2×2×3．考点：求几个数的最小公倍数的方法；合数分解质因数．分析：求两个数的最小公倍数的方法：这两个数所有共有的因数和它们独有的质因数的连乘积，由此可以解决问题．解答：解：6=2×3，8=2×2×2，所以6和8的最小公倍数是2×2×2×3=24，24=2×2×2×3故答案为：24，24=2×2×2×3．点评：此题考查了求两个数的最小公倍数的方法．12．（•江苏模拟）早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分钟发一辆车，2路车每隔12分钟发一辆车，这两路车6时04分第二次同时发车？考点：求几个数的最小公倍数的方法；时、分、秒及其关系、单位换算与计算．专题：压轴题．分析：先求出8、12的最小公倍数，然后用第一次同时发车的时间加这个时间就是第二次同时发车时间．解答：解：8=2×2×2，12=2×2×3，8、12的最小公倍数是：2×2×2×3=24，所以24分钟后第二次同时发车，5时40分+24分=6时04分；答：这两路车在6时04分第二次同时发车．故答案为：6时04．点评：此题主要考查几个数最小公倍数的求法及用此知识解决实际问题，理解第一次同时发车后到再次同时发车的时间是8、12的公倍数是本题的解答关键．13．（•阿克陶县）15和20的最小公倍数是60，最大公因数是5．考点：求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有。
最小公倍数例1、例
03
最小公倍数的应用
在日常生活中的应用
计划时间
在日常生活和工作中，最小公倍数可以帮助我们安排时间， 确保所有人都能参与某个活动或会议。例如，当有多个家庭 成员或团队成员需要参加一个聚会时，我们可以通过计算最 小公倍数来确定最佳的聚会时间。
周期性事件
最小公倍数在处理周期性事件时也非常有用，例如计算两个 节日之间的时间间隔。通过找到两个日期的最小公倍数，我 们可以确定它们之间的完整周期数。
在数学问题中的应用
组合数学
在组合数学中，最小公倍数可以用于解决 一些与组合和排列相关的问题。例如，在 计算不同元素的全排列或组合时，最小公 倍数可以确定元素的重复次数。
分数运算
在处理分数运算时，最小公倍数可以 帮助我们找到两个或多个分数的公共 分母，以便进行加、减、乘、除等运 算。
在计算机编程中的应用
时间计算
在计算机编程中，最小公倍数常用于处理时间计算。例如，在开发日历或时间管理系统时，最小公倍数可以帮助 我们找到两个日期之间的完整天数或小时数。
算法优化
在一些算法中，最小公倍数可以用于优化计算过程。例如，在寻找两个数组的交集时，通过计算两个数组长度的 最小公倍数，我们可以更高效地遍历数组并找到公共元素。
分解质因数法
例题
求12和15的最小公倍数。
解答
将12和15分别分解质因数，然后取两个数质因数的最高次幂的乘积，即为最小 公倍数。12=2x2x3，15=3x5，所以最小公倍数是2x2x3x5=60。
公式法
例题
求任意两个数的最小公倍数。源自解答利用公式lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)，其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。例如，求15和20的最小公倍数， 先求出15和20的最大公约数是5，然后代入公式得最小公倍数为15*20/5=60。
最小公倍数应用题
最小公倍数应用题最小公倍数应用题例1.典型例题有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯。
问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？举一反三：4、有三堆棋子，甲堆有90颗，丙堆有120颗，现在要将他们都分成同样颗数的小堆，而不能有剩余。
最少可以分成几堆？5、一对互相咬合的齿轮，一个有140个齿，另一个有42个齿，其中咬合的任意一对齿从第一次咬合到再次咬合，两个齿轮各要转动多少圈？6、老师让小明在400米的环形跑道上按照如下的规律插上一些旗子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，那么，小明要准备多少面旗子？例2：在周长是400米的环形跑道周围每10米放一盆花，放完后又从同一处开始每8米方一盆花，原来放花的地方不再放花，一共放了多少盆花？举一反三：1.在周长是300米的环形跑道周围每5米放一盆花，放完后又每6米放一盆花，原来放花的地方不再放花，那么，一共放了多少盆花？2.从运动场一端到另一端全长120米，每6米插一面红旗，现在要改成每8米插一面红旗，那么有多少面红旗不必拔出来？（温馨提示：要考虑头和尾哦）3.用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的小长方体木块叠成一个长方体，至少要多少块这样的小长方体？例3：两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，其中一个数是12，求另外一个数举一反三：4.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。
5.已知A、B两个数的最大公因数是8，A=32，B=72，那么，他们的最小公倍数是多少？6两个整数的最大公因数是12，最小公倍数是240.这两个数的差最大是多少？例4：比较、、的大小。
举一反三：1．把分数、、从大到小排列。
2．把分数、、、从小到大排列2．比较分数、、中哪一个最大例5：五（1）班同学去野炊，每人用一个饭碗，每3人用一个菜碗，每4人用一个汤碗，最后统计下来他们一共用了76个碗。
数字的最小公倍数计算
数字的最小公倍数计算最小公倍数是指能同时被两个或多个数整除的最小的数。
计算最小公倍数可以通过求两个数的最大公约数，并且利用公式最小公倍数 = (数1 ×数2) ÷最大公约数来得到。
在本文中，我们将介绍如何计算数字的最小公倍数，并提供一些例子以便更好地理解。
1. 整数的最小公倍数计算对于给定的两个整数数a和b，我们可以通过以下步骤计算它们的最小公倍数：步骤1：计算最大公约数（GCD）使用欧几里得算法，求出a和b的最大公约数GCD(a, b)。
步骤2：计算最小公倍数（LCM）根据公式 LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)，计算出a和b的最小公倍数。
2. 小数的最小公倍数计算对于给定的两个小数数a和b，我们可以将它们转换为分数的形式，然后按照整数的最小公倍数计算方法进行计算。
具体步骤如下：步骤1：将小数转换为分数假设a和b是小数，我们可以将它们的小数部分作为分子，小数位数的10的倍数作为分母，将其转换为分数的形式。
步骤2：计算最小公倍数（LCM）根据整数的最小公倍数计算方法，计算转换后的分数的最小公倍数。
3. 示例为了更好地理解最小公倍数的计算，我们来看几个示例：示例1：计算整数的最小公倍数例子：计算12和16的最小公倍数步骤1：计算最大公约数（GCD）使用欧几里得算法，我们得到GCD(12, 16) = 4。
步骤2：计算最小公倍数（LCM）根据公式 LCM(12, 16) = (12 × 16) ÷ 4 = 48。
因此，12和16的最小公倍数是48。
示例2：计算小数的最小公倍数例子：计算0.2和0.3的最小公倍数步骤1：将小数转换为分数将0.2转换为2/10，将0.3转换为3/10。
步骤2：计算最小公倍数（LCM）根据整数的最小公倍数计算方法，计算2/10和3/10的最小公倍数。
将2/10和3/10转换为分数后，我们得到最小公倍数为6/10。
求最小公倍数的几种方法
求最小公倍数的几种方法1、列举法。
把两个数的公倍数分别列举出来，然后找出它们的最小公倍数。
如：求6和9的最小公倍数，6的倍数：6、12、18、24、30……，9的倍数：9、18、27、36它们的最小公倍数是18。
列举法是最基本的方法。
2、互质法。
如果两个数只有公因数1时，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。
如：求3和7的最小公倍数，它们只有公因数1，它们的最小公倍数就是3×7＝21。
3、倍数法。
如果较大数是较小数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大数。
如：求12和24的最小公倍数，24是12的倍数，因此它们的最小公倍数就是较大数24。
4、翻倍法。
从前面的列举法可以看出，两个数的最小公倍数分别是较大数和较小数的倍数，把较大数进行翻倍（如：扩大到原来的1倍、2倍、3倍……），翻倍后的数如果是较小数的倍数，这个数就是它们的最小公倍数。
如：求6和9的最小公倍数，9×1＝9，9不是6的倍数，9×2＝18，18是6的倍数。
因此，6和9的最小公倍数是18。
同样把较小数进行翻倍也可以，6×1＝6，6不是9的倍数，6×2＝12，12不是9的倍数，6×3＝18，18是9的倍数，因此6和9的最小公倍数是18，但较小数翻倍显得有点繁。
5、短除法。
除到最后两个商只有公因数1时，再把除数和商连乘起来，就是它们的最小公倍数。
3×2×3＝18，因此6和9的最小公倍数是18。
6、除以最大公因数法。
从前面的短除法中可以看出，最大公因数×最小公倍数＝两个数的乘积，即最小公倍数＝A×B÷最大公因数＝A÷最大公因数×B=B÷最大公因数×A，如：求18和24的最小公倍数，它们的最大公因数是6，18÷6×24＝72或24÷6×18=72，因此，它们的最小公倍数是72。
最小公倍数法解决问题
最小公倍数法通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。
例1 用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？（适于六年级程度）解：因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。
2×2×3×3×2=7236、24的最小公倍数是72，即正方形的边长是72厘米。
72÷36=272÷24=32×3=6（块）答：最少需要6块瓷砖。
*例2 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。
这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？（适于六年级程度）解：此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。
2×3×2=126、4和3的最小公倍数是12，即正方体模型的棱长是12厘米。
正方体模型的体积为：12×12×12=1728（立方厘米）长方体木块的块数是：1728÷（6×4×3）=1728÷72=24（块）答略。
例3 有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。
这个班级有多少人？（适于六年级程度）解：这个班的学生每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人，这说明这个班的人数比12与16的公倍数（50以内）多1人。
所以先求12与16的最小公倍数。
2×2×3×4=4812与16的最小公倍数是48。
48+1=49（人）49<50，正好符合题中全班不足50人的要求。
答：这个班有49人。
例4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。
第一条线路每隔8分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。
三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度）解：求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即8、10、12的最小公倍数。
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对。
2021/3/7
CHENLI
23
3. 下面每组数的公倍数中有没有 36? 有没
有48? 有没有 84?
6 和 18
21 和 14
12 和 8
2021/3/7
CHENLI
24
4. 求下列每组数的最小公倍数。
2和8 3和8
6 和 15
6和9 4
和5
1 和8 7
2021/3/7
CHENLI
16
2 60 42 3 30 21
10 7
2×3×10×7=420
2021/3/7
CHENLI
17
观察一下，两个数的公倍数和它们的 最小公倍数之间有什么关系?
2021/3/7
CHENLI
18
我发现:两个数的公倍数都是 它们最小公倍数的倍数。
2021/3/7
CHENLI
最小公倍数
2021/3/7
CHENLI
1
请学号是4和6的倍数的同学起立并说出自己的学号。
2021/3/7
CHENLI
2
你发现了什么？ 为么学号是12，24的同学会起立两次 呢？
你能给他们起名字吗？
2021/3/7
CHENLI
3
最小公倍数
2021/3/7
CHENLI
4
4的倍数：4，8，12，16, 20, 24, 28，32，36 6的倍数： 6，12，18，24，30, 36，42，48
2021/3/7
CHENLI
5
4的倍数：4, 8，12，16，20，24，28,32,36 … 6的倍数：6，12，18，24，30，36，42, 48 …
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CHENLI
6
你还能说出既是4又是6的倍数的数吗？（48， 60 ……)
找得完吗？找不完我们用什么表示呢？（用省 略号表示。）
26
五、布置作业
作业：第71页练习十七，第1题、第2题、 第3题、第5题。
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CHENLI
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19
找出下列每组数的最小公倍数。你发现了什么?
3和6
2和8
3 和 6 的最小公倍数是 6； 2 和 8 的最小公倍数是 8 ； 5 和 6 的最小公倍数是 30 ； 4 和 9 的最小公倍数是 36。
5和6
4和9
我们发现: 当两个数是倍数关系时，这两个数的最小公倍数就 是较大的数；当两个数是互质数时，这两个数的最小公倍 数就是这两个数的积。
CHENLI
10
2 怎样求 6 和 8 的最小公倍数? 6 和 8 的公倍数有很多呢。
2021/3/7
CHENLI
11
用图表示也很清楚。
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CHENLI
12
6 的倍数中有哪些 是 8 的倍数呢?
2021/3/7
CHENLI
13
你还有其他的方法求这两个数 的最小公倍数吗？
ห้องสมุดไป่ตู้
2021/3/7
2021/3/7
CHENLI
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咱们可以分成 6 人一组，也可以分 成 9人一组，都正好分完。
如果这些学生的总人数在 40 人以内，可能是多少人?
6和 9的最小公倍数是18，因为学生的人数在 40 人以内， 18×2 = 36 (人) 所以，可能是 18人、36 人。
2021/3/7
CHENLI
21
CHENLI
14
我们也可以利用分解质因数的方法，比较简便地求出两个数的最小公倍数。 例如:
60 = 2×2×3×5 42 = 2×3×7
60 和 42 的最小公倍数 = 2×3×2×5×7 = 420。
2021/3/7
CHENLI
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自学找最小公倍数的方法 （短除法）
自学提示： ①每次用什么做除数去除。 ②除到什么时候为止。 ③怎样求出两个数的最小公倍数。
4 和 1024 8 和 10 30
18
20
7
20
40
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CHENLI
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3 路: 每隔 6 分钟发一次车 5 路: 每隔 8 分钟发一次车
3 路和 5 路的起 点站都在这儿。
它们刚才同 时发的车。
这两路公共汽车同时发车以后，至少过多少分钟两路车才第二次同时出发 ?
2021/3/7
CHENLI
练习
1. 按照从小到大的顺序，从 100 以内的数中找出 6 的倍数和 10 的倍数，再找出它们的公倍数和最 小公倍数。
2021/3/7
CHENLI
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2. 下面的说法对吗? 说一说你的理由。 (1)两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。
错。两个数的最小公倍数不一定比这两个数 都大。比如: 2 和 8 的最小公倍数是 8。
12，24， 36，···
6, 18, 30, 42,48, ···
12，24，36，···是 4和 6公有的倍数，叫做它们的公倍数。其 中, 12是最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。
2021/3/7
CHENLI
9
几个数公有的倍数叫这几个数 的公倍数，其中最小的倍数， 叫这几个数的最小公倍数。
2021/3/7
2021/3/7
CHENLI
7
明确：12，24，36，48，60 ……这些数就叫做4和6的公 倍数。
你能找到4和6的最大公倍数吗？ 如果找不到最大的，我们可以找到它们最小的公倍数吗？
2021/3/7
CHENLI
8
4 的倍数
还可以这样表示。 6 的倍数
4, 8, 16, 20, 28,32,···