最大公因数与最小公倍数(一)
最大公因数和最小公倍数的定义
最大公因数和最小公倍数的定义在数学中，最大公因数和最小公倍数是两个常见的概念，它们在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍最大公因数和最小公倍数的定义、性质和相关应用。
一、最大公因数的定义最大公因数，简称最大公约数，是指两个或多个整数公有的约数中最大的一个。
例如，12和30的公约数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和30的最大公约数是6。
最大公因数的求法有多种方法，其中最常用的是辗转相除法。
该方法的基本思想是，用较大的数去除以较小的数，再用余数去除以刚才的除数，如此反复，直到余数为0为止。
最后一次除数即为最大公约数。
例如，求出120和84的最大公约数：120÷84=1 (36)84÷36=2 (12)36÷12=3 0因此，最大公约数是12。
二、最小公倍数的定义最小公倍数，简称最小公倍数，是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
例如，6和8的公倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、60等，其中最小的是24，所以6和8的最小公倍数是24。
最小公倍数的求法也有多种方法，其中最常用的是分解质因数法。
该方法的基本思想是，将每个数分解成质因数的乘积，然后将这些质因数的最高次幂相乘即可。
例如，求出12和18的最小公倍数：12=2×318=2×3将它们的质因数分解乘起来，得到2×3=36，因此最小公倍数是36。
三、最大公因数和最小公倍数的性质最大公因数和最小公倍数有许多重要的性质，下面列举其中的几个：1. 最大公因数和最小公倍数的乘积等于这些数的乘积。
即，设a、b为两个整数，则有gcd(a,b)×lcm(a,b)=ab。
证明：设a=p^α×p^α×…×p^α，b=p^β×p^β×…×p^β，其中p、p、…、p是不同的质数，α、α、…、α、β、β、…、β是非负整数。
最大公因数和最小公倍数讲解
最大公因数和最小公倍数讲解最大公因数和最小公倍数是数学中常用的概念，它们在我们的日常生活中也有很多应用。
本文将以最大公因数和最小公倍数为主题，分别对它们的定义、性质和应用进行讲解。
一、最大公因数最大公因数也被称为最大公约数，简称为GCD（Greatest Common Divisor）。
它表示两个或多个整数共有的约数中最大的一个数。
例如，对于整数12和16来说，它们的约数分别是1、2、3、4、6和12，其中最大的一个约数为4，因此12和16的最大公因数就是4。
最大公因数的计算方法有很多种，常用的有质因数分解法和辗转相除法。
质因数分解法是将两个或多个数分别进行质因数分解，然后取出它们的公共质因数，并将这些质因数相乘得到最大公因数。
辗转相除法是通过不断用较小数去除较大数，然后用余数代替较大数，再继续进行除法运算，直到余数为0为止，此时较小数就是最大公因数。
最大公因数有很多重要的性质。
首先，最大公因数大于等于1，因为任意一个数都可以被1整除。
其次，最大公因数可以整除两个或多个数的所有公倍数。
最后，最大公因数与最小公倍数的乘积等于这些数的乘积。
这些性质在数论、代数和几何等领域都有广泛的应用。
最大公因数在日常生活中也有很多实际应用。
例如，在化简分数时，可以将分子和分母的最大公因数约掉，从而得到最简分数。
此外，在求解线性方程时，最大公因数可以帮助我们找到方程的整数解。
另外，最大公因数还可以用于求解模运算、密码学等领域的问题。
二、最小公倍数最小公倍数也被称为最小公约数，简称为LCM（Least Common Multiple）。
它表示两个或多个整数公有的倍数中最小的一个数。
例如，对于整数4和6来说，它们的倍数分别是4、8、12、16、20和6、12、18、24，其中最小的一个公倍数为12，因此4和6的最小公倍数就是12。
最小公倍数的计算方法有很多种，常用的有质因数分解法和列表法。
质因数分解法是将两个或多个数分别进行质因数分解，然后取出它们的所有质因数，并将这些质因数相乘得到最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数总结
最大公因数和最小公倍数总结一、最大公因数最大公因数的计算方法有很多种，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法等。
其中最常用且简便的方法是辗转相除法，也叫欧几里德算法。
这种方法的基本思想是，假设两个整数a和b，其中a>b，如果b能够整除a，那么b就是最大公因数；如果b不能整除a，那么将b与a除以b的余数进行运算，直到余数为0为止，此时的b就是最大公因数。
二、最小公倍数最小公倍数的计算方法有很多种，常见的有质因数分解法、倍数法、短除法等。
其中最常用且简便的方法是质因数分解法，即将每个数进行质因数分解，然后保留所有质因数的最高次幂，再将这些质因数相乘，即可得到最小公倍数。
最小公倍数在解决实际问题和进行数值计算时经常用到，例如求解两个物体周期性运动的最小公周期、求解延迟时间等。
它的计算方法简单且直观，能够有效地帮助我们解决实际问题和进行数值计算。
三、最大公因数和最小公倍数的关系最大公因数和最小公倍数之间存在着一定的关系，即最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
即对于两个整数a和b，它们的最大公因数记为gcd(a,b)，最小公倍数记为lcm(a,b)，那么有lcm(a,b) = a*b / gcd(a,b)。
这个关系可以通过质因数分解法进行证明。
假设a和b分别的质因数分解为：a = p1^x1 * p2^x2 * ... * pn^xnb = q1^y1 * q2^y2 * ... * qm^ym其中p1,p2,...,pn和q1,q2,...,qm分别为质数，x1,x2,...,xn和y1,y2,...,ym为正整数。
根据最小公倍数的定义，它包含了a和b的所有质因数，而且每个质因数的次数等于这两个数对应质因数的最大次数。
因此，lcm(a,b) =p1^max(x1,y1) * p2^max(x2,y2) * ... * pn^max(xn,yn) *q1^max(x1,y1) * q2^max(x2,y2) * ... * qm^max(xm,ym)。
最大公因数和最小公倍数的计算
最大公因数和最小公倍数的计算最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）是数论中常见的概念。
它们在各种数学问题和实际应用中都起着重要的作用。
本文将介绍如何计算最大公因数和最小公倍数的方法，并探讨它们的一些性质和应用。
一、最大公因数的计算方法最大公因数是指能够同时整除两个或多个数的最大正整数。
常用的计算最大公因数的方法有以下几种：1.1 辗转相除法辗转相除法（欧几里得算法）是求最大公因数的一种经典方法。
它的基本原理是通过连续的除法操作，将两个数的大小逐渐缩小，直到得到一个能够整除两个数的数为止。
具体步骤如下：步骤一：设两个数为a和b，其中a > b；步骤二：用b去除a，得到余数r；步骤三：将b赋值为a，将r赋值给b；步骤四：重复步骤二和步骤三，直到得到的余数r为0为止；步骤五：此时，b即为最大公因数。
1.2 更相减损术更相减损术是另一种求最大公因数的方法。
它的基本思想是通过不断相减，将两个数的差值逐渐缩小，直到得到一个公共因子为止。
具体步骤如下：步骤一：设两个数为a和b，其中a > b；步骤二：计算两个数的差值d = a - b；步骤三：用d替换a中的较大数，并将d赋值给b；步骤四：重复步骤二和步骤三，直到a和b相等为止；步骤五：此时，a（或b）即为最大公因数。
1.3 素因数分解法素因数分解法是另一种求最大公因数的有效方法。
它的基本思想是将两个数分别进行素因数分解，然后将它们的公共素因子相乘即可得到最大公因数。
具体步骤如下：步骤一：将两个数a和b分别进行素因数分解，得到各自的素因数表达式；步骤二：将两个表达式中相同的素因子相乘；步骤三：所得乘积即为最大公因数。
二、最小公倍数的计算方法最小公倍数是指能够同时整除两个或多个数的最小正整数。
常用的计算最小公倍数的方法有以下几种：2.1 直接相乘法直接相乘法是求最小公倍数的一种简单直观的方法。
基本原理是将两个数相乘，然后除以它们的最大公因数，即可得到最小公倍数。
最大公因数与最小公倍数(1)
11.六年级学生在操场上列队，只知道人数在99----110之间，排3列无余，排5列不足2人，排7列不足4人，问共有学生______人？2. 剪一些长6cm ，宽4cm 的长方形纸片，至少需要______张这样的纸片才能拼成一个正方形；3. 在1----2000这些整数中，是3的倍数但不是5的倍数的数有_______个。
4. 在一块长120米，宽40米的长方形地面上，要在它的四周和四角种树，每相邻两棵树之间的距离相等，最少要种树______棵；5. 商店梨有六箱苹果，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中五箱，已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重_______千克？6. a,b 两个不为0的自然数，如果2.0=÷b a ，那么a,b 的最大公因数是_______；如果a+1=b ，那么a,b 的最大公因数是________，最小公倍数是________;7. 两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公因数的差是203，则这两个数的和是_________8. 某中学组织七年级学生参加植树活动，学生人数在210---220之间，到现场分组时，发现每3人一组，或5人一组，或每7人一组三种情况均多2人，参加这次植树活动的学生有______人。
9. 长180厘米的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每5厘米也作一记号，然后将有记号，每5厘米也做一记号，然后将有记号的地方剪断，绳子共剪成______段。
10. 你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。
韩信马上说出战后人数是_____人。
11. 有四个数相乘⨯⨯⨯972935975（ ），要使它们的乘积最后5个数字是“0”，那么（ ）里最小应填______;12.两个自然数的差是54，两个自然数最小公倍数是180，两个自然数最大公因数是18，则这两个数的和是____13.两个自然数M,N最大公因数是14，最小公倍数是280.那么，M+N=_____14.A,B两个数互质，它们的最大公因数是_______,最小公倍数是_________；15.如图所示的四个圆形跑道，每个跑道的长都是1千米，A,B,C,D四位运动员同时从交点O出发，分别沿四个跑道跑步，它们的速度分别是每小时4千米、每小时8千米、每小时6千米和每小时12千米。
最大公因数和最小公倍数总结
最大公因数和最小公倍数总结一、最大公因数（GCD）1.定义：最大公因数，也被称为最大公约数，是指一组数中能够同时整除所有这些数的最大的正整数。
2.求解方法：-因数分解法：将各个数进行因数分解后，最大公因数是所有数的因数中的最小公因数。
-辗转相除法：将两个数进行相除，余数为0时，被除数即为最大公因数；余数不为0时，将除数作为被除数，余数作为除数进行下一次相除，直到余数为0为止。
二、最小公倍数（LCM）1.定义：最小公倍数是指能够同时整除一组数的最小的正整数。
2.求解方法：-因数分解法：将各个数进行因数分解后，最小公倍数是所有数的因数的最大公倍数。
-辗转相乘法：将两个数进行相乘，再除以它们的最大公因数，得到的商即为最小公倍数。
三、最大公因数和最小公倍数的性质1.互质关系：如果两个数的最大公因数是1，则它们被称为互质数或互质的。
互质数的最小公倍数等于它们的乘积。
2.二者关系：两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。
3.分数化简：当分数的分子和分母有相同的因数时，可以将分子和分母都除以最大公因数，使分数化简为最简形式。
4.方程求解：在求解含有多个未知数的方程时，可以通过求解各个未知数的最大公因数来减少未知数的个数，进而简化方程。
四、应用举例1.分数化简：将分数4/8化简为最简形式。
首先可以找到4和8的最大公因数为4，然后将分子和分母都除以4，得到1/2，即为最简形式。
2.方程求解：解方程2x+3y=10。
首先可以观察到2和3的最大公因数为1，因此可以将方程同时除以最大公因数1，得到2x+3y=10。
这样一来，只剩下两个未知数x和y，方程的求解就更加简化了。
通过对最大公因数和最小公倍数的学习和理解，我们可以更加灵活地运用它们解决实际问题。
在数学中，最大公因数和最小公倍数是数论的基础，更是数学计算的重要工具。
掌握了最大公因数和最小公倍数的求解方法和应用技巧，对数学学科的理解和运用都将得到很大的提升。
最大公因数和最小公倍数练习题(1)
最大公因数和最小公倍数练习题(1)最大公因数和最小公倍数是数学中常见的概念。
下面分别介绍几个例子。
例1：有三根铁丝，长度分别为18米、24米和30米。
现在要把它们截成同样长的小段，每段最长可以有多少米？一共可以截成多少段？解：首先求出它们的最大公因数，即6米。
然后分别将每根铁丝截成6米长的小段，可以得到每根铁丝可以截成3、4、5段。
因此，一共可以截成12段。
例2：一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？解：首先求出它的最大公因数，即12厘米。
然后将长方形纸分别截成12厘米长和12厘米宽的小长方形，可以得到每个小长方形的面积是432平方厘米。
因此，正方形的边长为12厘米，能截成15个正方形。
例3：用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？解：首先求出它们的最大公因数，即24朵花。
然后将红玫瑰花和白玫瑰花分别每24朵一束，可以得到最多可以做4个花束。
每个花束里至少要有4朵红玫瑰花和3朵白玫瑰花。
例4：公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。
三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？解：首先求出它们的最小公倍数，即300分钟。
然后分别计算每路车需要等待的时间，第一路车需要等待295分钟，第二路车需要等待290分钟，第三路车需要等待294分钟。
因此，三路汽车最少需要过290分钟再同时发车。
例5：某厂加工一种零件要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。
要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？解：首先分别求出每个工序的最小公倍数，分别为60、12和15.然后分别计算每个工序需要多少个工人，第一道工序需要至少20个工人，第二道工序需要至少5个工人，第三道工序需要至少4个工人。
最大公因数与最小公倍数
两数为： 12×3=36
12×5=60
5、已知A、B两个数的最大公约数是12，最小公倍数为 72，A=36，求B=？
12×72 ÷ 36=24
6、两个自然数的和是52，它们的最大公因数是4，最 小公倍数是144,这两数各是多少？ 两数积：4×144=4×4×36=（4×4）×（4×9） 两数和：52=4×13=4×（4+9）= 4×4+ 4×9
1、两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72,已 知其中一个自然数是18，求另一个自然数. 6×72 ÷ 18=24
2、甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍 数是288，求乙数。 288×4 ÷ 36=32
3、 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210, 这两个自然数的和是77，求这两个数.
最大公因数和最小公倍数 （一）
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其 中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公 倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作［a、 b］，当（a、b）＝1时，［a、b］＝a×b。两 个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系： 最大公约数×最小公倍数＝两数的乘积 即（a、b）×［a、b］＝a×b
两数积：7×210=7×7×30=（7×5）×（7×6） 两数和：77=7×11=7×（5+6）= 7×5+ 7×6
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 144 180 240 2 72 90 120 3 36 45 60 12 15 20
所以（144,180,240）=2×2×3=12，即每 60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是 60÷12=5（元）。
例2、用自然数a去除498，450，414，得到相同 的余数，a最大是多少？
分析与解：因为498，450，414除ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa所得的余 数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整 除。
（1） 两个数的最大公约数的约数都是这 两个数的公约数。
（2）两个数分别除以它们的最大公因数，所 得的商一定互质，即：
如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1
（3）甲数=最大公因数×甲独有因数 乙数=最大公因数×乙独有因数
5、最小公倍数的性质： （1）两个自然数的最大公因数与最小公倍 数的乘积等于这两个数的乘积，即：
最大公约数
18
14 11 4 7 9
最小公倍数
36
168 66 936 105 648
例1.用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶
180克，知或识买呈三现级茶叶240克。现将这三种茶叶分别
按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋 的价格最低是多少元钱？
分析：总价相同，要求分装 后每袋价格相等，则分装的 袋数应相同，是144、180、 240的公约数。 要求每袋价格最低，则袋数 最多，为144、180、240的 最大公约数。
所以，对角线共经过格点 （30，24）-1=5（个）。
例4、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分 别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点 出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
分析与解：甲、乙、丙走一圈 分别需60秒、75秒和90秒，因 为要在起点相会，即三人都要 走整圈数，所以需要的时间应 是60，75，90的公倍数。所求 时间为[60，75，90]=900（秒） =15（分）。
498-450=48，450-414=36，498-414=84。 所求数是（48，36，84）=12。
当堂演练
1.有三根钢管，分别长200 厘米、240厘米、360厘米。 现要把这三根钢管截成尽可 能长而且相等的小段，一共 能截成多少段？
答案：200厘米：5段40厘米长的小段 240厘米：6段40厘米长的小段 360厘米：9段40厘米长的小段
解：[54,72]=216 216÷54=4（个）
216÷72=3（个）
4+3-1=6（个）
60÷6=10
216×10=2160cm=21.6m
答：这个花圃的周长是21.6米。
重点知识点击 1、什么是最大公因数
2、什么是最小公倍数
最大公因数的组成：取出全部公共的质因数，每 个公共的质因数取出现的最低次数，把这些公共质因 数的乘方相乘即得最大公因数。 最小公倍数的组成：最大公因数乘以各自独有因数的积。
最小公倍数=最大公因数×甲、乙各自独有的因数
3、平方数的约数的个数为奇数个。 4、最大公约数的性质：
2.两个小于150的数的积是2028，它们的最大 公约数是13，求这两个数。
答案：39、52
例3、 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下图），这 条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交 叉点）？
分析与解：（30，24）=6，说明如果将 方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6 个相同的矩形，那么每个矩形是由 （30÷6）×（24÷6）=5×4（个）小 方格组成。在6×6的简化图中，对角线 也是它所经过的每一个矩形的对角线， 所以经过5个格点（见下左图）。在对 角线所经过的每一个矩形的5×4个小方 格中，对角线不经过任何格点（见下 图）。
最大公约数和最小公倍数（一）
1.把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相 乘，使两组数的乘积相等. 7、28、30和14、20、21
2.杨老师带领同学去植树，学生恰好平分成四组， 如果老师和学生每人植树一样多，一共种了247棵。 去植树的同学有多少人？平均每人植树多少棵？
同学：12人 每人植树：19棵
例5、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几 年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、 2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化， 但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明 的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年 龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年 龄差是6，5，4，3，2的公倍数。
若（a，b）=d，[a，b]=m，则dm=ab， d∣m。 （2）如果一个数C能同时被2个自然数a、b 整除，那么C一定能被这2个数的最小公倍 数整除，或者说，一些数的公倍数一定是 这些数的最小公倍数的倍数。
6、最小公倍数与最大公因数之间的关系： ab=(a，b)×[a，b]或[a，b]=ab÷ (a，b)
热身运动
24的约数有（ 1、2、3、4、6、8、12、24）
3的倍数有（ 3,、6、9、12、15……
）
24和32的公约数有（ 2、4、8、
）
24和32的最大公约数是（ 8
）
24和32的最小公倍数是（ 96
）
求下面每组数的最大公约数和最小公倍数
36和18 56和42 33和22 52和72 21和35 27、54和36
[6，5，4，3，2]=60， 爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际 情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。
所以现在小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁） 爷爷的年龄=10×7=70（岁）
当堂检测
大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一 个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由 于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个 花圃的周长是多少米？