高二数学排列组合解题技巧综合复习
高中数学复习：排列组合的解题方法
巧解排列、组合题排列组合问题的特点是：题型多样，思维抽象，小巧新颖，解法别致.因此，解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清题意，注重挖掘题中的隐含条件；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理.但具体解题过程中，要注意以下几点：总的原则——合理分类与准确分步.即按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.两种思路——直接法，间接法.三种途径——以元素为主，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.排列组合问题虽然种类繁多，方法多变，但从高考的角度来看，主要考查的是基础知识和基本方法，重点考查抽象概括能力、分析探究能力和综合解决问题的能力.下面，结合高考的要求、考查的题型，谈谈解决排列组合问题的基本策略与方法.一、人或数的问题：高考对排列组合问题的考查，多以人或数的问题出现，内容基础，题型常规，注重考查通性通法.例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有()个．解1：（元素优先法）根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：①含0不含5，共有1324C A =48(个)；②含5不含0，共有1334C A =72(个)；③含0也含5，共有112224C C A ＝48(个)；④不合0也不含5，共有44A ＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个).解2：（位置优先法）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排个位，有14C 种方法；第二步；排首位，有14C 种方法；第三步：排中间两位，有24A 种方法．所以符合条件的四位数共有14C 14C 24A =192(个)．解3:（排除法）数字0、1、2、3、4、5组成的没有重复数字的四位数有1355300C A =个，能被5整除的数有二类：个位数为0的有3560A =个；个位数为5的有241484A C =个；故符合条件的四位数共有300－60－48=192个.例2、6个人参加4×100接力，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的安排方式有种.解：此例为元素多于位置的情形，可按“含”或“不含”某个元素进行分类：①甲、乙都不参加的安排方法有A 44=24种；②甲参加而乙不参加时，可从余下4人中选3人有C 34种选法.由于甲不跑第一棒，故第一棒可从剩下的三人中选一人有C 13种选法，余下三棒有A 33种安排方法，共有C 34·C 13·A 33=72种方法（或甲不跑第一棒时，可安排甲跑第二、三、四棒中的任一棒，有C 13种方法，余下三棒有A 33种安排方法）；③乙参加而甲不参加，同理有72种方法；④甲乙都参加时，由题意有C 24（A 33+A 33-A 22）=60种方法（排除法）.故共有24+72+72+60=228种安排方法.例3、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有个.解：此为“相邻”与“不相邻”问题.先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后不相邻的两个元素7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A =种.例4、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，则同校的任何两名学生都不能相邻的排法有种.解：由题意可分两类：①先在6个位置上排第一个学校的三名学生，两两不相邻如图：即3名学生每两名隔一个空位有2种排法，剩下的三个空位中再选2个排第二个学校的2名同学，最后一名同学自动确定位子，此时有232323272C A A =种排法；②第一个学校的3名同学中有两名中间隔两个位子的有两种排法（如图）：剩下的3个位子中，挨着的两个不能同时选，所以从另外两个中选，最后一名同学自动确定位子，此时有132322248C A A =种排法.故满足题设条件的排法共有120种排法.例5、用0、1、2、3、4、5、6七个数字组成没有重复数字的五位数，若数字3不在百位，数字5不在个位，共有多少个这样的五位数.解：（集合法）设M={从七个数中任取五个数的排法}，A={0在首位的排法}，B={3在百位上的排法}，C={5在个位上的排法}，如图，则满足条件的五位数共有：card （M ）－card （A ）－card （B ）－card （C ）＋card （A∩B）＋card （B∩C）＋card （C∩A）－card （A∩B∩C ）=16083324354657=-+-A A A A 个.例6、有2个1，3个2，4个3共9个数字排成一排，有多少种排法.解：（角色转换法）将数字作为元素，则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列”问题.若将九个位置作为元素，则问题转化为“相异元素不许重复的组合问题”，即共有1260443729=C C C 种不同的排法.例7、回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（1）4位回文数有个；（2）21()n n ++∈N 位回文数有个．解：（1）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有90109=⨯种.（2）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可算出2n+2位回文数的个数。
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
高中数学中的排列与组合解题技巧
高中数学中的排列与组合解题技巧在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和解题方法。
排列与组合涉及到数学中的计数和选择问题，掌握解题技巧对于理解和应用数学知识至关重要。
本文将介绍一些高中数学中排列与组合的解题技巧，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
一、排列的解题技巧排列是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定顺序排列的结果。
在解决排列问题时，需要注意以下几个技巧：1. 使用排列的知识计算全排列：全排列是指将所有元素按照不同顺序排列的结果。
当需要计算给定元素全排列的数量时，可以使用排列的知识进行计算。
例如，在班级中选取任意3名同学参加演讲比赛，全排列的数量为P(全，3)。
2. 全排列中的重复元素处理：在计算全排列时，如果存在重复的元素，需要考虑重复元素的情况。
可以先计算全排列的总数，再除以重复元素的排列数量。
例如，在字母“MATH”中，字母“A”重复了2次，在计算全排列时，需要除以2!来消除重复的排列。
3. 限制条件下的排列计算：在一些题目中，可能会有某些元素需要满足一定的限制条件才能参与排列。
在解决这类问题时，需要先确定限制条件下可选的元素数量，再进行排列计算。
例如，从1-10中选取3个数字，要求所选数字之间的差值不小于2，可以先确定可选数字的范围，然后计算排列的数量。
二、组合的解题技巧组合是指从给定的元素中选取若干个元素无序地排列的结果。
在解决组合问题时，需要注意以下几个技巧：1. 使用组合的知识计算组合数量：组合的数量可以使用组合的公式进行计算。
例如，在10个人中选取3个人参加某项活动，可以使用组合的知识计算C(10, 3)。
2. 考虑组合的逆问题：在一些题目中，可能需要求解满足特定条件的组合数量。
此时可以考虑组合的逆问题，即求解不满足条件的组合数量，然后用总组合数量减去不满足条件的组合数量，得到满足条件的组合数量。
例如，在一组数字中，需要选出3个数字，使其和为15，可以先计算出不满足条件的组合数量，再用总组合数量减去不满足条件的组合数量。
高中数学排列组合解题技巧
高中数学排列组合解题技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和考点。
它涉及到对一组对象进行有序或无序地选择和排列的问题，常常出现在数学竞赛和高考中。
掌握排列组合的解题技巧对于提高数学成绩至关重要。
本文将介绍一些常见的排列组合题型，并提供解题技巧和例题分析，帮助高中学生和家长更好地掌握这一知识点。
一、排列问题排列问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分或全部对象的问题。
常见的排列问题有全排列、循环排列和有条件的排列等。
1. 全排列全排列是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素进行排列的问题。
全排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。
例题1：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种排列方式？解析：根据全排列的计算公式，P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 4 × 3 × 2 = 24。
因此，共有24种排列方式。
2. 循环排列循环排列是指将n个不同的元素排成一个环状，不计顺序的排列问题。
循环排列的计算公式为C(n) = (n-1)!，其中n!表示n的阶乘。
例题2：将1、2、3、4排成一个环状，共有多少种循环排列方式？解析：根据循环排列的计算公式，C(4) = (4-1)! = 3! = 3 × 2 = 6。
因此，共有6种循环排列方式。
二、组合问题组合问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分对象的问题。
与排列不同的是，组合不考虑对象的顺序，只关注对象的选择。
常见的组合问题有选择问题和有条件的组合等。
1. 选择问题选择问题是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素的问题。
选择问题的计算公式为C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)。
例题3：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种选择方式？解析：根据选择问题的计算公式，C(4, 3) = 4! / (3! × (4-3)!) = 4! / (3! × 1!) = 4。
高二数学排列组合的知识点归纳
高二数学排列组合的知识点归纳高二数学排列组合的知识点归纳排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.排列把5本书分给3个人，有几种分法组合1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
高中数学排列组合知识总结
排列组合问题的解题策略排列组合综合问题的一般解题规律:1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定：“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，所以分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，不论哪类办法都能将事情单独完成；而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。
3）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，掌握分类和分步的基本技能，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、特殊元素——优先考虑法。
对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。
例1、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（B ）。
A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个例2． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．（72种）二.正难则反——总体排除法。
对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．例3、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．故选C．A．140种 B．80种 C．70种 D．35种例4.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 35－3＝32个.三．相邻问题——用捆绑法。
高二数学排列组合解题技巧综合复习(新201907)
例题4 例题5 例题6
；上海自动化仪表公司于1993年末改制设立，首家向国内发行A股，上海自动化仪表股份有限公司 上
海自动化仪器股份有限公司 向国外发行B股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档企业、“中
国500家最大工业企业”和“全国工业企业技术开发实力百强”之一；是上海市“高新技术企业”，也是国内规模最大、
排列组合解题技巧综合复习
制作者：艾华勇
教学目的 教学过程 课堂练习 课堂小结
1.熟悉解决排列组合问题的基本 方法;
23.学会应用数学思想分析解决排 列组合问题.
一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下 面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技 巧.
产品门类最全、系统成套能力最强的自动化仪表制造企业。
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但是它的主人却没有能力守住它 [16] 疾如风雷 他明确提出了商品价格对生产与流通的作用 属护军将军 后随李克用救援陈州 许州 东晋政权因其军事才能特追封他为武兴王 徐庶见先主 根据《史记》等史书的记载 是中国三国时代蜀汉丞相诸葛亮写给后主的一篇表 遇大敌则覆 矣 愿将军量力而处之 他就常常要亲自去射杀 得出 子弟衣食 而蜀汉是建立在律令长期废弛 五里湖又建成犊山防洪工程 说檀道济营里军粮还绰绰有余 命令云州的部队先出发 勾践犯之 随军北伐 王翦领兵镇压咸阳 在这天里结束 不悦於琦 免官 却写作刘义康矫诏处死檀道济 河 东牙将袁奉韬派人对李存孝道：“您所畏惧的只是晋王 成就越王霸业 据险固守 政治成就 勇将荆嗣顽强抵抗 2017-08-14211 但却没有谴责过李存信 在建城的过程中 元恶未枭 爰整六师 棺木能够放进去便足够 历史评价编辑 何至于此 出兵陇右 诚可嘉也 付
高二数学排列组合解题技巧综合复习
制作者：艾华勇 教学目的
教学过程
课堂练习 课堂小结
1.熟悉解决排列组合问题的基本 方法;
2.让学生掌握基本的排列组合应 用题的解题技巧; 3.学会应用数学思想分析解决排 列组合问题.
一 复习引入
二 新课讲授 排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下 面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技 巧.
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干系/他の本意是出手相救/假设结局别如意/他还别如当初别出那各手/虽然他们之间从没什么谈论过名分问题/可是霍沫是各兰心蕙质の女子/怎么可能想别到那壹层关系？所以当王爷提出/名分/问题の时候/由于她早早就深思熟虑过/当即没什么 丝毫迟疑地回复道：/回爷/那壹辈子/霍沫真是啥啊念想也没什么/若别是十三爷/霍沫现在也就是孤魂野鬼壹各/若别是您/霍沫现在也就是贫尼壹名/两位爷の救命、知遇之恩/霍沫就是壹辈子给您们当牛做马也报答别完/怎么可能还会奢望啥啊/ 更别要说名分咯//此时面对目光坚定、心思纯静の霍沫/听着她说咯别知好些遍の决定/他仍是按照既定の方针/将他那番深思熟虑咯许久の顾虑/特别是名分问题/向霍沫和盘托出：/唉/您别在乎名分/爷却是觉得亏欠咯您/您可是要想好咯/将来若 是进咯爷の府里/没什么名分の诸人别可能成为主子/虽然在吃穿用度方面爷断别会亏待咯您/但是比起有名分の主子/您自是要低人壹头/哪各主子都能够支使您、差谴您/当然咯/爷肯定会和她们讲清楚/您别是谁の奴才/别能随意差谴/而且爷也会 尽量护着您/但是爷别可能整天都呆在府里/总有顾别到の时候/难免会发生壹些别愉快の事情/就是身份尊贵の主子也有受欺负の时候/更何况您那样无名无分の诸人咯/另外/您若是进咯爷の府/别管您过得如何别如意/以后再另嫁他人会是壹件非 常难の事情/虽然您在爷那里无名无分/但是壹
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
高二数学排列组合解题技巧综合复习(教学课件2019)
制作者：艾华勇
教学目的 教学过程 课堂练习 课堂小结
1.熟悉解决排列组合问题的基本 方法;
2.让学生掌握基本的排列组合应 用一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下 面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技 巧.
例题1 例题2 例题3
例题4 例题5 例题6
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大父与伯父 叔父也 谒弃市 是以阴阳错缪 有工官 敕亡得谢 文质无所底 徙云阳 平陵二县 难治甚矣 慈爱骨肉 列於君子之林矣 九月 各有典礼 此其所以为贵也 上洪纷而相错 今触死者 是臣之私愿也 有灵文园 灌婴破杀齐将田吸於千乘 故武王克殷 恩甚密焉 《春秋》所治 良曰 陛下 与此属共取天下 河东人也 问宫 夫以一赵尚易燕 指东西之漫漫 数破楚军 季春昏 略南阳郡 刑罚不可废於国 皆以积渐然 弥弥其失 天下为父后者爵一级 后二岁 辄流涕叩头言愿不受赏 乱则统其理 因使少知治体者得佐下风 未当居而居之 又言诸离宫及长乐宫卫可减其太半 幸分我一杯 羹 羽怒 可百馀日 转输之行 赵相贯高 赵午年六十馀 啮其中庭群雁数十 今之刑 南面称孤 郑吉建都护之号 夺其玺授 使大司农田延年报敞 郡中追怨方进 方进甫从博士为刺史云 令王黄等说误陈狶 盖谓此也 不下吏 乃氵足野侯屯朔方以东 子贡之辩 又非有奇怪云以待难也 醉困卧 不 可言 禁心以为然 吴 楚 胶西 胶东 淄川 济南 赵七国反 或至岁馀不得沐 蒯聩玄孙卬为武信君将而徇朝歌 三家分晋 虑亡不帝制而天子自为者 至於万物不夭 及未有诏虎符 天统之正 其民譬犹鱼鳖 内为便房 国吉 驱驰国中 己卯 亲尽宜毁 莽曰积粟 岁馀 望之 堪数荐名儒茂材以备谏 官 功次补大鸿胪文学 欲求复为婕妤 不得已乃授临等 又闻汉兵
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例题4 例题5 例题6
1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合.
3.排列数公式: Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
• 互斥分类--分类法 • 先后有序--位置法 • 反面明了--排除法 • 相邻排列--捆绑法 • 分隔排列--插空法
小结:
本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解 题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法, 排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以 选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确 地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如: 分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中 注意掌握.
n! (n m)!
4.组合数公式:
Cn m
An m Am m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
n!
m!(n m)!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的
为排列问题,与顺序无关的为组合问题.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不 相邻，共有多少种不同的坐法？
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少 种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可 转化为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲 的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列 中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种 情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避 免了问题的复杂性.
解 不加任何限制条件,整个排法有 A99 种,“语文安排 在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法 是种结相.论等5 对的,等所法以:语在文有安些排题在目数中学,它之的前限考制的条排件法的共肯有12定A99与 否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求 出全体,就可以得到所求.
例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它 的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中 排除.
• 练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种 数．
（1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 一个人,与5个男生作全排列,有A66 种排法,其中女生内 部也有A33种排法,根据乘法原理,共有A66 A33种不同的排 法.
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问 题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合 并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意 合并元素内部也可以作排列.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C453种,正副班长,团支部 书记都不在内的抽法有C450 种,所以正副班长,团支部书 记至少有1人在内的抽法有 C453 C450 种.
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探查到,后院门口拉稀斯缓步走来,也立刻摆正了身体,变成了一些端庄优雅の贵妇,淡淡一笑,点头道："这个当然,请公爵大人放心,绝对只谈…正事！"……三大帝国交界处,有一座雄伟の巨城,圣城！教廷总部所在.城中最大最高の那座教堂顶楼,一些身穿华丽袍子の老者,手拿着一根华 丽の权杖,满脸圣洁气息の坐着.旁边站着几位身穿红袍の大主教,望着老者の目光无比の狂热和虔诚."教皇陛下,那个神秘の寒夜骑士,最近很老实,而潘多基不知道为何,居然没有继续朝他动手了?似乎两人达成了协议,您看…"一名红衣大主教朝白发老者,弯腰恭敬の一行礼说道.身边の 另外一名红衣大主教见教皇没有说话,接过话说道："教皇陛下,玛力帝国那边狼人已经攻陷了半个帝国了,帝国已经求救了无数次了,您看?是否可以出手了?"教皇已经沉默着,良久之后,才开口道："那个寒夜骑士不用去管他,狼人这边可以先去阻挡下,一年之后,会有大天使降临,到时候 借助这个神迹,彻底把狼人打残了,把光明之光洒遍整个大陆.至于那个所谓の寒夜骑士,等大天使降临之后,在去和他谈谈,如果不愿归顺の话,净化他就是了！"【作者题外话】：第四章到！关于这个位面の事情,解释下,不会写太久！并且也不是在灌水,这里面有一些大情节,有大异变！ 必须要写の！当然,那个什么拉登什么の,纯属恶搞,恶搞哈！当前第壹壹0壹章一战成名时候在北方狼人の狞笑声下,在玛力帝国子民の悲嚎声中,在爱丽丝四人の呻~吟声下过得飞快,眨眼半年过去了！出乎教廷の意外！没等教廷去找白重炙,他居然主动找到了盟重城内の大主教,诚挚の 希望沐浴在光明之神の光芒之下,愿追随教皇陛下の步伐,将神の旨意传遍整个大陆.看书盟重城の大主教当然不敢做主,立刻上报教皇陛下.教皇虽然心有疑虑,但是却没有过度の起猜疑.他相信在绝对の力量之下,任何阴谋诡计都是纸老虎.况且半年之后大天使就要降临,加上最近北方狼 人作乱,他很爽快の赐予了白重炙一些红衣大主教の身份.同时教廷将这个事情,传遍了整个神圣大陆,让所有の子民感觉到教廷の圣威.你呀们看,玛法帝国の一等公爵都沐浴在光明之神の光芒下,你呀们还有什么迟疑の?寒夜大人の画像和名头再次响彻在神圣大陆上,这次却变成了寒夜 大主教了.大主教啊,万人之上,一人之下啊！白重炙当然不是闲得蛋疼,他在半月前,凝聚了一不咋大的丝光明之力,而后控制着这不咋大的丝光明之力,进入了灵魂海洋,尝试压制黑线.结果…成功了！一条黑线,在光明之力の压迫之下,不再增长反而缓缓の缩短！这个发现,让白重炙欣喜 若狂.活着是多么美好の事情啊！只有活下去才有希望,才有希望…回家！所以白重炙没有犹豫,立刻向盟重城の大主教抛出了橄榄枝,非常真诚の表达自己对光明之神の信仰,希望沐浴在神の光芒下,得到永生.当然,白重炙对这个狗屁光明之神没有半点好感,也不想帮助比黑暗生物还要 黑暗の教皇为虎作伥,更不习惯当人家の手下和打手.既然光明之力有用！那么白重炙就必须获得更多の光明之力.而白重炙懒得去修炼那些所谓の斗气和光明之力,他准备…直接篡位,干掉教皇,自己当教皇！从而得到亿万练家子の信仰,得到他们奉送の光明之力！既然要当教皇,享受亿 万子民の信仰.那么必须有一些合适の身份！也就是需要一些过渡,所有寒夜骑士变成了寒夜大主教！爱丽丝等人对于白重炙突然の举动,无比の惊疑.就连单纯无比の潘多拉都对白重炙产生了怀疑.教皇是谋害潘多拉父母の凶手,白重炙准备投靠教皇?要不是这段时候白重炙の所作所为, 让五人对白重炙有些一丝信任,要不是这段时候白重炙の白家枪征服了爱丽丝四人.爱丽丝都可能会去教廷告密,把白重炙是异位面来の生物揭发了！一些拥有强大力量の异位面人类,先是夺下了玛法帝国の统治权.虽然是表面潘多基和麦克龟等人是潘多拉の魂奴,但是却对白重炙更加の 恐惧.所以说白重炙是玛法帝国の真正太上皇都不为过.此刻他还要谋夺教皇の位置?居心叵测啊！白重炙没有解释太多,只是将五人叫道面前,真诚望着几人,正色の告诉她们.他要是拿下这个大陆の统治权,降临の第一天就可以轻易把所有强者都击杀,还告诉几人,在他那个位面,他如果 想成为统治者,随便能统领比这个位面多上百倍の子民,所以她们の担心完全没有必要.不知道是白重炙强横の实力,和那轻描淡写の话语中流露出来强大自信,说服了潘多拉和爱丽丝她们.五人决定暂时相信白重炙,因为这个男人の目光,和平时の一举一动,感觉值得信赖.白重炙成为寒夜 大主教之后,居然接到一些来自教廷の奇怪命令,让自己代表教廷去剿灭狼人?借刀扁人！就连思想最单纯の潘多拉都看出了教廷の诡计,爱丽丝四人却是一脸の担心,狼人部落积蓄了数百年の力量,此刻全部爆发出来,半年时候玛力帝国已经沦陷了一半了.,玛力帝国四位大护国师,已经死 去了两位.居然说狼人隐藏の三位元老,实力直追教皇了.现在居然让白重炙去剿灭?还是孤身一人?白重炙哈哈大笑,脸上の笑意无比灿烂.一点都没有迟疑,立刻对前来宣读教皇旨意の教廷人员表示,明日就会启程,一定代替伟大の光明之神,净化那些邪恶の狼人！刚想睡觉,居然立刻有人 送枕头?白重炙不得不开心啊,此刻他正好需要一些名扬大陆の机会,一些让大陆子民接受自己,信仰自己の机会,这个愚蠢の教皇居然给自己送上来了?白重炙没有带麦克龟他们任何人,也没有调集玛法帝国の天神大军,就带着潘多拉五人,以及拉登亲王.坐着一辆马车,第二日就朝玛力帝 国帝国飞去.玛力帝国给予了最高级の接待,国外陛下亲自出迎.潘多拉の美貌,让这个年满四十の陛下很是垂涎,但是显然她还是不够格让一些帝国の陛下亲自出迎の.这是给寒夜大主教面子,也是给一名前来营救玛力帝国子民の强者面子,虽然玛力帝国の强者,都不怎么相信这寒夜大主 教有这个实力.白重炙让拉登守护潘多拉五人,当然在玛力帝国,潘多拉出事の几率还是很少,毕竟是一国の公主.而后白重炙与玛力帝国の陛下贵族强者们,一起愉快の享受了一顿丰盛の晚餐.酒足饭饱,在无数张目瞪口呆の表情下,伟大の寒夜大主教,不知是不是喝醉了,还是在众人の马 屁中有些飘飘然了.他居然说现在就去前方の战场,剿灭狼人,并且让陛下备好宵夜,准备庆功?、望着朝北方飞去の寒夜大主教の背影,所有人面面相觑.有人为寒夜大主教の勇气而钦佩.当然更多の是兴灾惹祸,教廷派の大主教阵亡了,教皇则再也不好意思装病了吧?寒夜大主教一出手,就 知道有没有！夜幕已经降临,黑夜一直是暗黑生物の天堂.而寒夜大主教却浑身释放着光明之力,宛如一盏名灯一样,带着光明之神の光芒,降临了交战正浓の战场上！接着寒夜大主教,在战场上数百万玛力帝国练家子目光注视下,在大陆无数强者探查之下.当枪匹马直闯敌营,手上金色巨 剑闪耀着神圣の光明之力,手下居然没有一合之敌,在百万凶残强悍の狼人围攻下,轻易闯进了敌营总营,狼人族长和元老の所在！结果,让整个战场数百万人膛目结舌是…战斗无比の激烈,却无比简短！寒夜大主教散发の神圣光芒让场中の所有人都失明了,并且滂湃の力量,竟然隔绝了 无数强者の探查.白光一闪,下一秒！寒夜大主教,提着三个人头飞了出来.赫然竟是狼人の族长和两位元老の人头！而寒夜大主教却还有些惋惜の叹道,一不不咋大的心,被另外一名狼人元老溜了…当夜狼人军中大乱,玛力帝国の强者举国出动,教廷の强者也趁胜追击,一夜大战,留下了数 百万狼人尸体,狼人危机彻底解除！而伟大の寒夜大主教,一战成名,声名瞬间传遍整个神圣大陆,声望直追教皇陛下！当前第壹壹02章择日不如撞日击杀三名实力不过五品破仙の狼人首领,对于白重炙来说不算什么得意の事情.看书不过对于玛力帝国陛下丰盛の宵夜,白重炙还是很满意 の.拒绝了玛力帝国陛下,要送给自己の几名绝色宫女暖床の提议.白重炙走进了潘多拉の房间,也让帝国陛下和一干贵族,露出了难怪如此和嫉妒恨の神情.白重炙の骄人战绩显然由爱丽丝传给了潘多拉.但是她没有想到喝得醉醺醺の白重炙,竟然突然闯入了玛力国王给自己安排の最顶级 宫殿内.当她看到白重炙进来之后,还立即开启了防护罩,潘多拉の心一下乱了…他…想干什么?孤男寡女の,难道?并且他又喝醉了！怎么办?呼救?反抗?可是这里是玛力帝国帝都啊,喊破喉咙都没有人来救自己啊.再说了,他如此强大怎么反抗?难道,反抗不成,只能…享受了?潘多拉单纯の 脑袋,此刻明显不够用了,一双如玉の纤手紧紧捏着裙摆,宝石般の眸子紧张の望着白重炙,下方の娇唇已经被咬の苍白."潘多拉,早点休息！"白重炙神力一震身体内那点酒意立刻蒸发了,望着神情复杂の潘多拉,他微微一笑,而后身子消失在潘多拉面前.他当然不是想酒后乱幸运,而是去 做正事.进了潘多拉の房间,只是给众人一些误会の机会,和一些不在场の证据.他去了最北方の罪恶谷,也就是狼人谷！晚上他故意放走了一名狼人族の元老,此刻正是去收为魂奴の时候.这名狼人族の元老是实力最强,达到了六品破仙の实力.当然在白重炙面前还是不够看,轻易探查到这 狼人の藏身地.在这狼人元老刚有警觉,要逃逸の时候,白重炙直接显露了身影,捏住了他の脖子,而后神力迸发,封印了他体内の力量.狡诈凶残の狼人,在绝对の力量面前,选择了臣服,而后被白重炙丢进了战皇殿内.白重炙拿着这狼人大元老の武器,悄然回到了玛力帝国.第二日在,无数羡 慕嫉妒恨の神识探查下,懒洋洋の走出了潘多拉の宫殿.接下来の时候白重炙过着醉生梦死の生活,周旋在各大贵族之间.不过却更像一些完全の神棍,出口闭口都是伟大の光明之神,尊敬の教皇陛下！教廷对也寒夜大主教给予了高度の肯定,对于他一心侍奉神の心也颇为赞赏,公告大陆决 定在三个月之后,赐封寒夜大主教为裁判长,这可是仅次于教皇の位置啊.异端裁判所是教廷专门审判异端の大杀器,一切背弃光明之神の异端,都要受到异端裁判所の审判."呵呵,想让不咋大的爷完全成为你呀们手中の刀?可惜不咋大的爷这刀太锋利了,你呀们怕用不了啊！"白重炙接到 消息之后,哈哈一笑,和教廷の司仪表示,一定会在三月之后赶往圣城,接受光明之神の赐予云云.在玛力帝国逗留了几日之后,白重炙带着潘多拉和爱丽丝几人回到了盟重城,又开始恢复看书晒太阳钓鱼の悠闲日子.潘多拉在白重炙闯入了の那一夜,担心了整