广东省东莞市数学中考一模试卷
2022年广东省东莞市中考数学一模试题及答案解析
2022年广东省东莞市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −3的相反数是( )A. −3B. −13C. 3D. ±32. 目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为( )A. 0.12×10−3B. 1.2×10−4C. 1.2×10−5D. 12×10−33. 若一个正多边形的一个外角是36°，则这个正多边形的边数是( )A. 7B. 8C. 9D. 104. 下列运算正确的是( )A. a3+a3=a6B. a2⋅a3=a6C. (ab)2=ab2D. (a2)4=a85. 下列哪个图形是正方体的展开图( )A. B.C. D.6. 分别标有数字0，π，13，−1，√2的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到无理数的概率是( )A. 15B. 25C. 35D. 457. 关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是( )A. 8B. 9C. 10D. 118. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为( )A. 45°B. 60°C. 72°D. 36°9. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于( )A. √23B. √105C. √510D. √5510. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②4a+2b+c>0；③b−a>c；④若B(−12,y1)，C(32,y2)为函数图象上的两点，则y1>y2；⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11. 已知点P(−2,1)，则点P关于x轴对称的点的坐标是______．12. 将抛物线y=2x2向右平移1个单位，所得抛物线的解析式为______．13. 如图，AB//CD，CB平分∠ECD，若∠B=26°，则∠1的度数是______ ．14. 若实数m，n满足(m−6)2+√n+2=0，则√m+n的值是______．15. 如图，已知一次函数y=kx+3和y=−x+b的图象交于点P(2,4)，则关于x的方程kx+ 3=−x+b的解是_____________．16. 若x−y−3=0，则代数式x2−y2−6y的值等于______．17. 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF.若AB=10，BC=12，则CF的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）18. 计算：|1−√2|−2sin45°+(3.14−π)0−(−1)−2．2四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。
【3套试卷】东莞市中考一模数学试题及答案
中考模拟考试数学试题含答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1． 下列实数中，是有理数的为（ ） A 【】2 B 【】34 C 【】+42π D 【】0 【答案】D 2.下列关于的方程一定有实数解的是（ ）A 【】 【B 】 【C 】【D 】220x += 【答案】C3， 下列y 关于x 的函数中，y 随X 的增大而增大为（ ） A 【】2y x = 【B 】2-y x = 【C 】2xy =【D 】12x y +=【答案】C 4．能判定四边形ABCD 是等腰梯形的条件是：∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值为 （ ）A 【】1：2：3：4 【B 】．1：4：2：3 【C 】1：2：2：1 【D 】1：2：1：2 【答案】C 5，已知1e u r 、2e u u r 是两个单位向量，向量12a e =r u r ，22b e =-r u u r，那么下列结论中正确 的是（ ）A 【】12e e =u r u u r 【B 】．a b =-r r【C 】a b =r r 【D 】a b =-r r【答案】C 6，如图一，已知ABC ∆中，3=AC ，4=BC ，ο90=∠ACB ，以点C 为圆心画圆，使则⊙C 与线段AB 只有一个交点时半径r 的取值范围是（ ）。
A 【】3<r<4 【B 】3<r 4≤【C 】 ,或3<r<4【D 】512=r 或3<r 4≤ 【答案】D图一二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 分解因式：22ma mb -= . 【答案】()()m a b a b +- 8 方程2x x +=的根是 . 【答案】 2x = 9. 不等式组202+31x x ->⎧⎨>⎩的解集是 .【答案】12x -<< 10. 如果关于的方程2704x x a ++-=有两个相等的实数根，那么的值等于 .【答案】11. 函数14x y x-=的定义域是 . 【答案】0x ≠ 12. 如果某市月份的平均气温统计如图二所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是_____.【答案】图二13. 从1到10中的整数中任意抽取一个数字，抽到合数的概率为 【答案】1214. 正十二边形的中心角为 【答案】30︒15. 如图三，已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，记OD m =u u u r u r ,OF n =u u u r r,那么OB =u u u r．图三【答案】m n --u r r 16. 已知等腰直角三角形的重心到它的直角顶点的距离为4,那么这个重心到此三角形另外两个顶点的距离都是【答案】210 17. 在直角坐标平面内，已知点Q (4,3)，以点Q 为圆心的Q d 与轴相切，以原点O 为圆心的O d 与Q d 相离，那么O d 的半径r 的取值范围是 ．18.如图四，在菱形ABCD 中，4tanA 3=,,M N 分别在边,AD BC 上，将四边形ABMN 沿MN 翻折，使得对应线段经过顶点，当EF AD ⊥时BNCN的值为__________.图四【答案】2719. 先化简，再求值154111x x x x -⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中31x = 【答案】2(1)(1)15411161.14(4)(4)1.144x x x x x x x x x x x x x x x +---=÷----=--+--=--=+原式其中，31x =-，所以431433x +=-+=+20. 解方程：22124312x xx x --=-【答案】解:∵设212x y x-=， ∴原方程化为：43y y-=， 即2340y y --= ∴121,4y y =-=∴21,12x x =--2124,x x-=解得12343,4,2,6x x x x ==-=-= 经检验12343,4,2,6x x x x ==-=-=是方程的解21．、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ， AB ⊥CD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：CD BF P ； （2）若⊙O 的半径为5，45cos BCD ∠=，求线段AD 的长．【答案】（1）证明：∵BF 是圆O 的切线，AB 是圆O的直径∴BF AB ⊥∵CD AB ⊥ ∴CD BF P （2）∵AB 是圆O 的直径∴90ADB ︒∠= ∵圆O 的半径5 ∴10AB = ∵BAD BCD ∠=∠∴4 5ADcos BAD cos BCD AB ∠=∠==∴4.AB 1085AD cos BAD =∠=⨯=∴8AD =22， 华宇公司获得授权生产某种世博纪念品，经市场调查分析，该纪念品的销售量（万件）与纪念品的价格（元／件）之间的函数图象如图所示，该公司纪念品的生产数量（万件）与纪念品的价格（元／件）近似满足函数关系式，若每件纪念品的价格不小于20元，且不大于40元．请解答下列问题：（1）求与的函数关系式，并写出的取值范围；（2）当价格为何值时，使得纪念品产销平衡（生产量与销售量相等）； （3）当生产量低于销售量时，政府常通过向公司补贴纪念品的价格差来提高生产量，促成新的产销平衡.若要使新的产销平衡时销售量达到46万件，政府应对该纪念品每件补贴多少元？【答案】（1）；（2）30元或38元；（3）1元．【解析】（1）解：设与的函数解析式为：，将点（20，60）、（36，28）代入得：，解得：，∴与的函数关系式为：；（2）解：当时，有，解得：，当时，有解得：，∴当价格为30元或38元，可使公司产销平衡；（3）解：当时，则，∴，当时，则，∴，∴，∴政府对每件纪念品应补贴1元23. 如图，Rt ABC∠=︒，点D为边AC上一点DE AB∆中，90ACB⊥于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.（1）求证：CM EM=；（2）若50BAC∠=︒，求EMF∠的大小；（3）如图2，若ABC∆AEM≅∆，点N为CM的中点，求证：AN EM⊥.【答案】(1)90,,11,,22DM ABDEB DCBDM MBCM DB EM DBCM EM⊥∴∠=∠=︒===∴=QQQ(2)90,50,40,140,,,,360214080,180100.AED AADE CDECM DM MEMCD MDC MDE MEDCMEEMF CME∠=︒∠=︒∴∠=︒∠=︒==∴∠=∠∠=∠∴∠=︒-⨯︒=︒∴∠=︒-∠=︒QQ(3)=aFM设,,,9060,30,3a2a,3a,22323,,33,DAE CEM CM EMAE ED EM CM DM AED CMEADE DEMDEM MEFAE CM EM EFCN NMMNFM EFMN AEFM EFMN AEEM AN∆≅∆=∴====∠=∠=︒∴∆∆∴∠=︒∠=︒∴=====∴=∴==∴=∴QQP是等腰直角三角形，是等边三角形，，，24，已知点和点在抛物线（）上．（1）求的值及点的坐标；（2）点在轴上，且是以为直角边的三角形，求点的坐标；（3）将抛物线（）向右并向下平移，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为正方形，求此时抛物线的表达式．【答案】（1），点坐标；（2），或；（3）【解析】（1）解：把点代入，得到，∴抛物线为．∴时，．∴点坐标．∴，点坐标．（2）解：设直线为，则有，解得，∴直线为．∴过点垂直的直线为，与轴交于点．过点垂直的直线为，与轴交于点，∴点在轴上，且△是以为直角边的三角形时，点坐标为，或．（3）解：如图四边形是正方形，过点作轴的垂线，过点、点作轴的垂线得到点、．∵直线解析式为，∴△，△都是等腰直角三角形．∵，∴．∴点坐标为，∴点到点是向右平移个单位，向下平移个单位得到．∴抛物线的顶点，向右平移6个单位，向下平移6个单位得到．∴此时抛物线为．25，如图，已知P 为锐角∠MAN 内部一点，过点P 作PB ⊥AM 于点B ，PC ⊥AN 于点C ，以PB 为直径作⊙O ，交直线CP 于点D ，连接AP ，BD ，AP 交⊙O 于点E ．（1）求证：BPD BAC ∠=∠．（2）连接EB ，ED ，当225tan MAN AB ∠==，时，在点P 的整个运动过程中． ①若45BDE ∠=︒，求PD 的长；②若△BED 为等腰三角形，求所有满足条件的BD 的长；（3）连接OC ，EC ，OC 交AP 于点F ，当1//tan MAN OC BE ∠=，时，记△OFP 的面积为S 1，△CFE 的面积为S 2，请写出的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①PD=2；当BD 为2，3或时，△BDE 为等腰三角形；（3）=（1）解 ：PB AM PC AN ⊥⊥Q ，90ABP ACP ∴∠=∠=︒， 180BAC BPC ∴∠+∠=︒180B P DB P C∠+∠=︒QBPD BAC ∴∠=∠（2）解 ;①如图1，Q，，∠=∠=︒∠=︒APB BDE ABP4590∴==BP AB25Q∠=∠BPD BAC∴∠=∠tan BPD tan BAC∴=2∴BP=PD∴PD=2∴∠BPD=∠BPE=∠BAC∴tan∠BPE=2∵AB=∴BP=∴BD=2Ⅱ如图2，当BE=DE时，∠EBD=∠EDB∵∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC∴∠APB=∠APC∴AC=AB=2过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形∵AB=，tan∠BAC=2∴AG=2∴BD=CG=Ⅲ如图4，当BD=DE时，∠DEB=∠DBE=∠APC∵∠DEB=∠DPB=∠BAC∴∠APC=∠BAC设PD=x，则BD=2x∴=2∴=2∴x=∴BD=2x=3综上所述，当BD为2，3或时，△BDE为等腰三角形（3）,如图5，过点O作OH⊥DC于点H∵tan∠BPD=tan∠MAN=1∴BD=DP令BD=DP=2a，PC=2b得OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b 由OC∥BE得∠OCH=∠PAC ∴∴OH·AC=CH·PC∴a（4a+2b）=2b（a+2b）∴a=b∴CF=，OF=∴.中考第一次模拟考试数学试卷含答案一、选择题 1.3的同类二次根式是（ ） 【A 】8【B 】323【C 】12【D 】212【答案】C【解析】∵3212=，∴12是3的同类二次根式2.列方程中有实数解的是【A 】012=+x【B 】11122-=-x x x【C 】x x -=-1【D 】12=-x x【答案】D【解析】A ：△=-4＜0，即此方程无实数解B ：x =1为分式方程的增根，舍去，所以此方程无实数解C ：x ≥1与x ≤0矛盾，即此方程无实数解D ：△=5＞0，所以此方程有实数解3.学校篮球集训队8名队员进行定点投篮训练，这8名队员在1分钟内投进篮筐的球数如图所示，这组数据的众数与中位数分别为（ ）【A 】8与8.5【B 】8与9【C 】9与8【D 】8.5与9【答案】A ．【解析】解：由统计图可知投中8个的有三名同学最多，∴众数为：8；∵8名同学的中位数为第4名和第5名同学的平均数，∴中位数为8.5．4.已知平行四边形ABCD ，AC 与BD 交于O ，则下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）【A 】∠AOB =∠COD【B 】∠OAB =∠OBA【C 】BO =DO【D 】AO =CO【答案】B【解析】∵∠OAB =∠OBA ，∴OA =OB ，∴AC =BD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为矩形5.桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取一张，则（ ）【A 】能够事先确定抽取的扑克牌的花色【B 】抽到黑桃的可能性更大【C 】抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大【D 】抽到红桃的可能性更大【答案】B【解析】A 、因为袋中扑克牌的花色不同，所以无法确定抽取的扑克牌的花色，故本选项错误；B 、因为黑桃的数量最多，所以抽到黑桃的可能性更大，故本选项正确；C 、因为黑桃和红桃的数量不同，所以抽到黑桃和抽到红桃的可能性不一样大，故本选项错误；D 、因为红桃的数量小于黑桃，所以抽到红桃的可能性小，故本选项错误．6.如图1，已知30POQ ∠=︒，点A 、B 在射线OQ 上（点A 在点O 、B 之间），半径长为1的A e 与直线OP 相切，半径长为2的B e 与A e 相交，那么OB 的取值范围是（ ）【A 】53＜＜OB【B 】52＜＜OB【C 】43＜＜OB【D 】42＜＜OB【答案】B【解析】∵A e 与OP 相切且∠P AQ =30°，∴OA =2，∵点A 在点O 、B 之间，∴OB ＞2，∵B e 与A e 相交，∴AB ＜B A r r +=3，∴OB ＜5，即2＜OB ＜5二、填空题7.全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是 ． 【答案】71.610⨯ 【解析】略 8.已知函数()11-=x x f ，那么()=2f ． 【答案】12+【解析】()=2f ()()()121121212121121+=+=++⋅=-- 9.如果代数式3x -有意义，那么实数x 的取值范围为 ．【答案】x >3【解析】略 10.关于x 的方程()021=--x x 的解是 ．【答案】x =2【解析】解得x =1或x =2，经检验，x =1为原方程的增根，舍去，所以原方程的解为x =211.边心距为4的正六边形的半径为 ，中心角等于 度，面积为 ．【答案】8，60，96．【解析】解：如图所示，∵图中是正六边形，∴∠AOB ＝＝60°．∵OA ＝OB ，∴△OAB 是等边三角形．∵OD ⊥AB ，OD ＝4，∴OA ＝OB ＝AB ＝8．∴S △AOB ＝AB ×OD ＝12×8×4＝16 S 六边形＝6S △AOB ＝6×16＝96．故答案为：8，60，96．12.已知反比例函数xk y -=2（k 是常数，k ≠2）的图像有一支在第二象限，那么k 的取值范围是 .【答案】2＞k【解析】由反比例函数经过第二象限可知2-k ＜0，即得k ＞213.在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是 事件【答案】随机事件【解析】略14.二次函数122-+=x kx y 与x 轴有两个不相同的交点，那么k 的取值范围是 .【答案】k ＞-1且k ≠0【解析】由二次函数与x 轴有两个不相同的交点可知△=4+4k ＞0，且k ≠0，即k ＞-1且k ≠015.在△ABC 中，设CA a =u u u r r ，CB b =u u u r r ，P 是中线AE 与中线CF 的交点，则BP =u u u r （用,a b r r 表示） 【答案】1233a b -r r【解析】略16.如图4，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝8，ABC ∆的面积是24，那么这个正方形的边长是 . 【答案】724【解析】设正方形边长为x ,由面积可知BC 上的高为6，再由△AGF ∽△ABC 的性质可得668x x -=，解得x =72417. 定义一种新计算，2(,)x yT x y x y +=+，其中0x y +≠，比如：2257(2,5)259T ⨯+==+，则(1,2)(2,3)...(100,101)(101,101)(101,100)...(3,2)(2,1)T T T T T T T ++++++++的值为 【答案】6032【解析】(1,2)(2,3)...(100,101)(101,101)(101,100)...(3,2)(2,1)T T T T T T T ++++++++ =4730130330285......3520120220153++++++++4578301302303()()...()3355201201202=+++++++ =303333...3202+++++33002=+6032=18.△ABC 中， AC 、BC 上的中线BE 、AD 垂直相交于点O ，若BC ＝10，BE ＝6，则AB 的长为 ． 【答案】132【解析】点O 为重心，∵BE =6，∴BO =4，∴在Rt △BOD 中，DO =3，∴AO =6，∴在Rt △AOB 中，AB =132三、解答题19.先化简，再求值：259123x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =．【解析】原式=3(3)(3)23x x x x x -+-÷++=332(3)(3)x x x x x -+⨯++-=12x +2x Q ∴原式= 20.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=+124242222y xy x xy y x y x 【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==32310131323132-y -x y x -y -x y x 或或或 【解析】方程①可分解为()()0122=---y x y x ，即01202=-=-y -x y x 或，方程②可分解为()12=+y x ，即11-=+=+y x y x 或，组成四个新的方程组解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==32310131323132-y -x y x -y -x y x 或或或 21.如图，港口B 位于港口A 的南偏东37︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km ，到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45︒方向上.这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin370.60,cos370.80,tan370.75︒≈︒≈︒≈）【答案】35km【解析】解：如图，过点C 作CH AD ⊥，垂足为H .设CH xkm =.在Rt ACH ∆中，37A ∠=︒ ， ∵tan 37CH AH ︒=， ∴tan37tan37CH x AH ==︒︒. 在Rt CEH ∆中，45CEH ∠=︒ ， ∵tan 45CH EH ︒=， ∴tan 45CH EH x ==︒. ∵,CH AD BD AD ⊥⊥，∴90AHC ADB ∠=∠=︒.∴//HC DB . ∴BAH HD AC C =. 又C 为AB 的中点，∴AC CB =.∴AH HD =. ∴tan375x x ︒=+. ∴5tan3750.75151tan3710.75x ⨯︒⨯=≈=-︒-. ∴()151535tan37AE AH HE km =+=+≈︒. 因此，E 处距离港口A 大约为35km .22.为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查，发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系：每千克售价（元） 25 24 23 (15)每天销售量（千克）30 32 34 (50)如果单价从最高25元/千克下调到x 元/千克时，销售量为y 千克，已知y 与x 的函数关系是一次函数．（1）求y 与x 之间的函数解析式（不写定义域）；（2）若该种商品的成本价是15元/千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？【答案】（1）802+-=x y （2）每千克的售价应定为20元【解析】（1）设解析式为()0≠+=k b kx y ，将()()32243025,,和分别代入并解方程组可得⎩⎨⎧=-=802b k ，即解析式为802+-=x y （2）由题意可列出方程()()20080215=+--x x ，解得3520==x x 或，经检验，35=x 不符合题意，舍去，即单价应定为20元.23.如图，在ABC ∆中，D 是BC 的点，E 是AD 上一点，且ABAD AC CE=，BAD ECA ∠=∠. （1）求证：2AC BC CD =⋅（2）若E 是ABC ∆的重心，求22:AC AD 的值。
2023年广东省东莞市海德实验学校中考一模数学试卷(含答案解析)
2023年广东省东莞市海德实验学校中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A ．3B ．4C ．5D ．62．在ABC 中，若sin =2A ，tan C ，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD AB 丄，20CAB ∠=︒，则AOD ∠等于（）.A ．160︒B ．150︒C ．140︒D ．120︒4．在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则tan A 的值为（）A ．13B C D 5．如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ⊥于点H ，则DH 等于（）A ．245B ．125C ．5D ．46．如图∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC ＝10，则PD 等于（）A ．10B ．C ．5D ．2.57．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（）A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABC C ．AP ABAB AC=D ．AB ACBP CB=8．如图，PA PB 、分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（）A ．110°B ．120°C ．125°D ．130°9．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点F ，OE ⊥AC 于点E ，若OE ＝3，OB ＝5，则CD 的长度是（）A ．9.6B ．C ．D ．1010．如图，E 是边长为4的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BR 于点R ，则PQ+PR 的值是（）A ．B ．2C ．D ．83二、填空题11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为点D ，连接BE ，则∠EBC 的度数为________．12．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠ABE 的度数为___________．13．如图，在矩形ABCD 中，AC BD 、相交于点O ，若602AOB AB ∠=︒=，，则矩形ABCD 的面积=_____．14．如图，为了测量河宽AB (假设河的两岸平行)，测得∠ACB ＝30°，∠ADB ＝60°，CD ＝60m ，则河宽AB 为m(结果保留根号)．15．如图，O 是ABC ∆的外接圆，45A ∠= ，4BC =，则O 的直径．．为__________．16．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，3cm AB =，4cm BC =．那么以B 为圆心，_____cm 为半径的B 与AC 相切．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作⊙O ，连接BD 交⊙O 于点E ，则AE 的最小值为________________．三、解答题18．如图，虎门外语学校九（9）班身高1.6m 的班长，站在距路灯杆5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，求路灯的高度AB ．19．已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ∥CD ，AO CO =，求证：四边形ABCD 是平行四边形．20．如图，AB 是O 的弦，C 是 AB 的中点，OC 交AB 于点D ，若8cm AB =，2cm CD =，求O 的半径．21．如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE,点F 落在AD 上.(1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)如果AB =12，BC =15，求tan ∠FBE 的值；22．如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG ，线段EB 和GD 相交于点H ．(1)求证：EAB GAD ≌△△；(2)若AB =3AG =，求EB 的长．23．虎门外语学校教师宿舍AB 后面有一座山城，其坡度为i =E 点处有一休息亭，测得山坡坡脚C 与楼房水平距离20BC =米，与亭子距离16CE =米，数学周老师从楼房顶测得E 点的俯角为45︒．求：(1)山城坡角DCF ∠；(2)教师宿舍AB 的高度．24．如图，AC 是⊙O 的直径，BC ，BD 是⊙O 的弦，M 为BC 的中点，OM 与BD 交于点F ，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，且CD 平分ACE ∠．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求证：CDE DBE ∠=∠；（3）若6DE =，2tan 3CDE ∠=，求BF 的长．25．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PQ AB ⊥于点O ，作PM AD ⊥交直线AB 于点M ，交直线BC 于点F ，设PQM 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动时间为t （秒）．(1)当点M 与点B 重合时，求t 的值；(2)当t 为何值时，APQ △与BMF 全等；(3)求S 与t 的函数关系式；(4)以线段PQ 为边，在PQ 右侧作等边三角形PQE ，当24t ≤≤时，请直接写出点E 运动路径的长．参考答案：1．D【详解】解：根据多边形的内角和公式可得：(n-2)×180°=720°，解得：n=6，即这个多边形的边数为6，故选：D.2．B【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出A ∠、C ∠，根据等边三角形的判定定理判断即可．【详解】解：sin A =tan C =60A ∴∠=︒，60C ∠=︒，ABC ∴ 是等边三角形，故选B ．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30︒、45︒、60︒角的各种三角函数值是解题的关键．3．C【分析】先根据垂径定理得到 BC=BD，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠CAB=40°，然后利用邻补角的定义计算∠AOD 的度数．【详解】∵CD ⊥AB ，∴ BC=BD，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°，∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°.故答案为C.【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是关键.4．A【分析】连接CD ，即可证明ACD 是直角三角形，利用正切函数的定义即可求解．【详解】解：连接CD ，则22CD =，241620AC =+=，29918AD =+=，222AC CD AD ∴=+，AD ==，CD =，90ADC ∴∠=︒，1tan3CD A AD ∴==．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，正确证明ACD 是直角三角形是解决本题的关键．5．A【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出5AB =，再利用菱形的面积公式求解即可．【详解】解：如图所示，设菱形的对角线交于O ，∵四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，∴114322OA AC OB BD AC BD ====，，⊥，∴5AB =，∵12ABCD S AB DH AC BD =⋅=⋅菱形，∴2425AC BD DH AB ⋅==，故选A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．6．C【详解】∵PC ∥OA ，∴∠CPO =∠POA ．∵∠AOP =∠BOP =15°，∴∠AOP =∠BOP =∠CPO =15°，过点P 作∠OPE =∠CPO 交于AO 于点E ，∴△OCP ≌△OEP ，∴PE =PC =10．∵∠PEA =∠OPE +∠POE =30°，∴PD =10×12=5．故选C ．7．D【详解】解：A ．当∠ABP =∠C 时，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；B ．当∠APB =∠ABC 时，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；C ．当AP ABAB AC=时，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；D ．无法得到△ABP ∽△ACB ，故此选项正确．故选：D ．8．C【分析】在O 右侧取点D ，连接AD BD OA OB ，，，，根据切线的性质得出90OAP OBP ∠=∠=︒，然后根据四边形内角和为360︒即可得出O ∠，再由圆周角定理求出D ∠，根据圆内接四边形的性质得出ACB ∠的度数即可．【详解】解：在O 右侧取点D ，连接AD BD OA OB ，，，，∵PA PB 、分别与O 相切于A B 、，∴,OA PA OB PB ⊥⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴360909070110O ∠=---︒=︒︒︒︒，∴1552D O ∠=∠=︒∵四边形ACBD 是O 的内接四边形，∴180ACB D ∠+∠=︒，∴125ACB ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆心角和圆周角的关系，切线的性质等知识点，读懂题意，熟练掌握以上基础知识点是解本题的关键．9．A【分析】根据垂径定理求出AC 的长，易证：△AEO ∽△AFC ，求出CF 长，即可求解．【详解】解：∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC ，∵AB ⊥CD ，∴∠AFC ＝∠AEO ＝90°，∵OE ＝3，OB ＝OA =5，∴AE 4=，∴AC ＝8，∵∠A ＝∠A ，∠AEO ＝∠AFC ，∴△AEO ∽△AFC ，∴=AO EO AC FC ，即：=538FC，∴245FC =，∵CD ⊥AB ，∴CD ＝2CF ＝485＝9.6．故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质定理，勾股定理，熟练掌握应用垂径定理是解题的关键．10．A【详解】解：如图，连接BP ，设点C 到BE 的距离为h ，在正方形ABCD 中，1122h AC ===因为BCE BCP BEP S S S =+ ,即111222BE h BC PQ BE PR ⋅=⋅+⋅，∵4BE BC ==，∴h PQ PR =+，故答案为：11．30°【分析】利用等腰三角形的性质可得出∠ABC ＝∠C ＝70°，再由中垂线的性质可得出∠A ＝∠EBD ＝40°，从而根据∠EBC ＝∠ABC −∠EBD 可得出答案．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝∠C ＝70°，又∵AB 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ，∴∠A ＝∠EBD ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC −∠EBD ＝30°，故答案为：30°．【点睛】此题考查了中垂线及等腰三角形的性质，属于基础性质的应用，解答本题的关键是根据等腰三角形及中垂线的性质分别得出∠ABC 及∠EBD 的度数，难度一般．12．15°##15度【分析】先求出∠BAE 的度数，然后在等腰三角形ABE 中已知顶角可求出底角的度数．【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴AB =AD ，∠BAD =90°∵△ADE 是等边三角形∴AD =AE ，∠DAE =60°∴AB =AE ，∠BAE =∠BAD +∠DAE =90°+60°=150°∴∠ABE =1(180)152BAE ︒-∠=︒故答案为15°【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．13．【详解】先根据矩形的性质得到90ABC OA OC OB ∠=︒==，，再证明AOB 是等边三角形，求出2OA AB ==，则4AC =，根据勾股定理求出BC 的值，再根据矩形的面积公式求出答案即可．【分析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC OA OC OB ∠=︒==，，∵602AOB AB ∠=︒=，，∴AOB 是等边三角形，∴2OA AB ==，∴4AC =，在Rt ABC △中，由勾股定理得BC ==∴2ABCD S AB BC =⋅=⨯矩形，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，掌握等边三角形的判定、勾股定理等知识点的应用是解题的关键．14．【详解】解：∵∠ACB =30°，∠ADB =60°，∴∠CAD =∠AD B-∠ACB =30°，∴AD =CD =60m ，在Rt △ABD 中，AB =AD •sin ∠ADB =60×2=故答案是：.15．【详解】分析：连接OB ，OC ，依据△BOC 是等腰直角三角形，即可得到BO =CO =BCO 的直径为详解：如图，连接OB ，OC ．∵∠A =45°，∴∠BOC =90°，∴△BOC 是等腰直角三角形．又∵BC =4，∴BO =CO =BC O 的直径为．故答案为．点睛：本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．16．125##2.4##225【分析】设点B 到AC 的距离为cm h ，由90ABC ∠=︒，3cm AB =，4cm BC =，根据勾股定理求得5cm AC =，则1153422ABC h S ⨯=⨯⨯= ，所以125h =，则当B 的半径为12cm 5时，B 与AC 相切，于是得到问题的答案．【详解】解：设点B 到AC 的距离为cm h ，90ABC ∠=︒ ，3cm AB =，4cm BC =，5cm AC ∴===，1122ABC AC h AB BC S ⋅=⋅⋅= ，1153422h ∴⨯=⨯⨯，解得125h =，∴当B 的半径为12cm 5时，B 与AC 相切，故答案为：125．【点睛】此题重点考查勾股定理、切线的判定、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求出Rt ABC △斜边AC 上的高是解题的关键．17．2【分析】连接CE ，可得∠CED ＝∠CEB ＝90°，从而知点E 在以BC 为直径的⊙Q 上，继而知点Q 、E 、A 共线时AE 最小，根据勾股定理求得QA 的长，即可得答案．【详解】解：如图，连接CE ，∴∠CED ＝∠CEB ＝90°，∴点E 在以BC 为直径的⊙Q 上，∵BC ＝4，∴QC ＝QE ＝2，当点Q 、E 、A 共线时AE 最小，∵AC ＝10，∴AQ∴AE ＝AQ−QE ＝2，∴AE 的最小值为2-，故答案为2．【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E 点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．18．路灯的高度AB 为4.8m【分析】根据题意得AB BD ⊥，EC BD ⊥，从而根据垂直定义可得90ABD ECD ∠=∠=︒，然后证明EDC ADB ∽ ，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：AB BD ⊥，EC BD ⊥，90ABD ECD ∴∠=∠=︒，EDC ADB ∠=∠ ，EDC ADB ∴∽ ，EC DC AB DB ∴=，1.6 2.52.55AB ∴=+，经检验符合题意，解得： 4.8AB =，∴路灯的高度AB 为4.8m ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．19．见解析【分析】要证四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD ，继而需求证△ABO ≌△CDO ，由已知条件很快确定ASA ，即证．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABO=∠CDO ．∵AO=CO ，∠AOB=∠COD ，∴△ABO ≌△CDO ．∴AB=CD ，又∵AB ∥CD∴四边形ABCD 是平行四边形．【点睛】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．20．O 的半径为5cm【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可．【详解】解：如图，连接OA ，∵C 是 AB 的中点，∴D 是弦AB 的中点，∴OC AB ⊥，4cm AD BD ==，∵2OD OC CD OA =-=-，在Rt OAD 中，222OA DA OD =+，即()22242OA OA =+-，∴5m OA =．即O 的半径为5cm ．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的运用，做此类型题目通常需要结合圆心角、弦和三角形的相关知识来进行解答．21．（1）详见解析；（2）tan ∠FBE =12.【分析】（1）由矩形的性质推知∠A =∠D =∠C =90°．然后根据折叠的性质，等角的余角相等推知∠ABF =∠DFE ，易证得△ABE ∽△DFE ；（2）由勾股定理求得AF =9，得出DF =6，由△ABF ∽△DFE ，求得EF =7.5，由三角函数定义即可得出结果．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形．∴∠A =∠D =∠C =90°，AD =BC ，∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE ．∴∠BFE =∠C =90°，∴∠AFB +∠DFE =180°﹣∠BFE =90°，又∠AFB 十∠ABF =90°，∴∠ABF =∠DFE ，∴△ABF ∽△DFE ．（2）由折叠的性质得：BF =BC =15，在Rt △ABF 中，由勾股定理求得AF 9==，∴DF =AD ﹣AF =6，∵△ABF ∽△DFE ，∴BF AB EF DF =，即15126EF =，解得：EF =7.5，∴tan ∠FBE =12EF BF =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．22．(1)见解析(2)【分析】（1）由四边形EFGA 和四边形ABCD 是正方形，可得AG AE =，AB AD =，90EAG BAD ∠=∠=︒，从而得到GAD EAB ∠=∠，然后利用SAS 即可证明结论；（2）由（1）则可得EB GD =，，再根据正方形的性质求出,OD OG 的长，然后在Rt ODG 中，利用勾股定理可得GD 的长，进而求得EB 的长．【详解】（1）解：如图，连接BD ，BD 与AC 交于点O ，∵四边形EFGA 和四边形ABCD 是正方形，∴AG AE =，AB AD =，90EAG BAD ∠=∠=︒，在GAD 和EAB 中，90GAD EAD ∠=︒+∠，90EAB EAD ∠=︒+∠，∴GAD EAB ∠=∠，在GAD 和EAB 中，AG AE GAD EAB AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS EAB GAD ≌△△；（2）解：由（1）得：EAB GAD≌△△∴EB GD =，∵四边形ABCD是正方形，AB =∴,6BD AC AC BD ⊥===，∴190,32DOG OA OD BD ∠=︒===，∵3AG =，∴6OG OA AG =+=，∴EB GD ==【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．(1)山城坡角30DCF ∠=︒(2)教师宿舍AB的高度(28+米【分析】（1）由坡度即可求出DCF ∠；（2）过点E 作EG AB ⊥于点G ，由题知4530AEG DCF ∠=︒∠=︒，，然后可求出EF CF GE 、、等长度后即可求出答案．【详解】（1）解：过点EF BC ⊥于点F ，由坡度i =3tan 3DCF ∠=，∴30DCF ∠=︒，答：山城坡角30DCF ∠=︒．（2）解：过点E 作EG AB ⊥于点G ，由题意可知：45AEG ∠=︒，16CE =米，20BC =米，∵30DCF ∠=︒，∴8EF BG ==米，由勾股定理可知：CF =，∴(20BF CF BC =+=+，∵45AEG ∠=︒，∴(20AG BF ==+米，∴208(28AB AG BG =+=+=+米，答：教师宿舍AB 的高度(28+米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练运用勾股定理，含30度或45度的直角三角形的性质是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）6【分析】（1）连接OD ，AD ，根据直径所对的圆周角为直角得出∠ADC =90°，再综合角平分线的定义以及圆的基本性质，推出∠CDE=∠ADO，从而推出∠ADC=∠ODE，即可得证；（2）在（1）的基础之上，结合同弧所对的圆周角相等，即可得证；（3）由tan∠CDE=23，求出CE=4，BE=9，即可得BC=5，由M为BC的中点，可得OM⊥BC，BM=52，Rt△BFM中，根据2tan3DBE∠=，求出53FM=，再用勾股定理即得答案，BF=【详解】（1）如图，连接OD，AD，∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ECD，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠CAD=∠CDE，∵∠CAD=∠ADO，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO+∠ODC=∠ODC+∠CDE，即：∠ADC=∠ODE，∴∠ODE=90°，∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）如（1）图，可得∠CDE=∠CAD，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠DBE，∴∠CDE=∠DBE；（3）解：Rt △CDE 中，DE =6，tan ∠CDE =23，∴263CE =，∴CE =4，由（2）知∠CDE =∠DBE ，Rt △BDE 中，DE =6，tan ∠DBE =23，∴623BE =，∴BE =9，∴BC =BE -CE =5，∵M 为BC 的中点，∴OM ⊥BC ，1522BM BC ==，Rt △BFM 中，52,tan 23BM DBE =∠=，∴2532FM =，∴53FM =，∴6BF ==．【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线、圆周角定理、解直角三角形及勾股定理等知识，解题的关键是熟练应用圆的性质，转化相关角及线段．25．(1)2(2)4t =或43t =．(3)22(02)4)8t S t t ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩【分析】（1）根据直角三角形的性质求解即可；（2）分两种情况：①当02t ≤≤时，②当24t <≤时，由全等三角形的性质得出关于t 的方程，解方程可得出答案；（3）分两种情况：①当02t ≤≤时，②当24t <≤时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案；（4）连接AE ，根据等边三角形的性质可得2PE PQ t ==，推出tan PAE ∠是定值，进而得出PAE ∠为定值，E 的运动轨迹为直线，分别求出2t =和4t =时AE 的值，即可写出点E 运动路径的长．【详解】（1）解：如图，当M 与B 重合时，∵PQ AB ⊥，∴90PQA ∠=︒，∵60BAD ∠=︒，∴0PBA ∠=3︒，∴122PA AB ==，∴2t =．（2）解：①当02t ≤≤时，∵2AM t =，∴42BM t =-，∵APQ BMF ≅ ，∴AP BM =，∴42t t =-，∴43t =；②当24t <≤时，∵2AM t =，∴24BM t =-，∵APQ BMF ≅ ，∴AP BM =，∴24t t =-，∴4t =；综上所述，t 的值为43或4．（3）解：①02t ≤≤时，如图，在Rt APQ △中，PQ =，∴32MQ t =，∴211322228S PQ MQ t t t =⋅=⨯⨯=；②当24t <≤时，如图，∵2BF t =-，)2MF t =-，∴212)2BFM S BF MF t ∆=⋅-，∴28PQM BFM S S S t =-=+-△△，∴22(02)84)8t S t ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩．（4）解：如图，连接AE，∵PQE V 为正三角形，∴PE PQ ==，在Rt APE中，2tan PE PAE PA t ∠==∴PAE ∠为定值，∴E的运动轨迹为直线，AE ==，当2t =时，AE =，当4t =时，=AE ∴E的运动路径长为-【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积、动点的运动轨迹等，正确进行分类讨论是解（2）（3）的关键，推出PAE ∠为定值是解（4）的关键．。
2023年广东省东莞市中考数学一模试卷【答案版】
2023年广东省东莞市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在各题列出的四个选项中，只有一个是最正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1．2023的相反数是（）A．2023B．﹣2023C．12023D．±20232．2022年东莞市生产总值11200亿元，将11200亿用科学记数法表示为（）A．1.12×1012B．1.12×1013C．0.112×1013D．11.2×10113．一个几何体如图所示，它的左视图是（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（x3）3＝x6C．x5+x5＝x10D．（﹣ab）5÷（﹣ab）2＝﹣a3b35．如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．130°B．40°C．50°D．25°6．2023年2月，某区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（）A．32，31B．31，32C．31，34D．31，317．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＞2C．m＜2且m≠1D．m＜﹣28．如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A ．2√3B ．4C ．√3D ．59．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（ ）A ．π3B ．π2C ．πD ．2π10．如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝4cm ，动点P 从点O 出发，沿OA →AB̂→BO 的路径以每秒1cm 的速度运动一周．设运动时间为t ，运动的面积为s ，则下列图象能大致刻画s 与t 的关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.11．单项式−abc 3的系数是 ．12．因式分解：3x 2﹣12＝ ．13．不等式组{3x −1＜x +3x−32＜x −1的整数解为 ． 14．如图，某校教学楼AC 与实验楼BD 的水平间距CD =8√3米，在实验楼顶部B 点测得教学楼顶部A 点的仰角是30°，底部C 点的俯角是45°，则AC 的高度是 米（结果保留根号）．15．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是BC 上一动点（不与点B ，C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交正方形外角的平分线CF 于点F ，交CD 于点G ，连接AF ．下列结论：①AE ＝EF ；②CF =√2BE ；③∠DAF ＝∠CEF ；④△CEF 的面积的最大值为18．其中正确的是 ．（填写正确结论的序号）三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）16．计算：(π−2023)0+|−√12|+(12)−1−2sin60°．17．先化简，再求值：(1+4x−2)÷x 2−4x−2，其中x =√3+2． 18．如图，在▱ABCD 中，AD ＞AB ．（1）尺规作图：作DC 边的中垂线MN ，交AD 边于点E （要求：保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接EC ，若∠BAD ＝130°，求∠AEC 的度数．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．（1）表中a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；（2）请补全频数分布直方图；（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．20．（9分）如图，▱ABCD 放置在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），B （﹣6，0），D （0，3），点C 在反比例函数y =kx 的图象上．（1）直接写出点C 坐标，并求反比例函数的表达式；（2）将▱ABCD 向上平移得到▱EFGH ，使点F 在反比例函数y =k x 的图象上，GH 与反比例函数图象交于点M ．连结AE ，求AE 的长及点M 的坐标．21．（9分）某超市销售A 、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元，用1200元购买B 款保温杯的数量与用960元购买A 款保温杯的数量相同．（1）A 、B 两款保温杯销售单价各是多少元？（2）由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的一半，A 款保温杯的进价为每个30元，B 款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？五、解答题（二）（本大题2小题，每小题12分，共24分）22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交⊙O 于点F，过点F作AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E．（1）求证：EM是⊙O的切线；（2）若AC：CD＝5：8，AN=3√10，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，FN的长为．23．（12分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°，点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（0＜x＜6）．（1）点G在四边形ABCD的边上时，x＝；点F与点C重合时，x＝；（2）求出使△DFC成为等腰三角形的x的值；（3）求△EFG与四边形ABCD重叠部分的面积y与x之间的函数关系式，并直接写出y的最大值．2023年广东省东莞市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在各题列出的四个选项中，只有一个是最正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1．2023的相反数是（）A．2023B．﹣2023C．12023D．±2023解：2023的相反数是﹣2023；故选：B．2．2022年东莞市生产总值11200亿元，将11200亿用科学记数法表示为（）A．1.12×1012B．1.12×1013C．0.112×1013D．11.2×1011解：11200亿＝1120000000000＝1.12×1012故选：A．3．一个几何体如图所示，它的左视图是（）A．B．C．D．解：从左边看，是一个矩形．故选：B．4．下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（x3）3＝x6C．x5+x5＝x10D．（﹣ab）5÷（﹣ab）2＝﹣a3b3解：A、a3•a2＝a5，故A错误；B、（x3）3＝x9，故B错误；C、x5+x5＝2x5，故C错误；D、（﹣ab）5÷（﹣ab）2＝﹣a5b5÷a2b2＝﹣a3b3，故D正确．故选：D．5．如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．130°B．40°C．50°D．25°解：如图∵AC⊥b于点C，∴∠ACB＝90°，∵a∥b，∴∠ABC＝∠1＝40°，∴∠2＝90°﹣40°＝50°．故选：C．6．2023年2月，某区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（）A．32，31B．31，32C．31，34D．31，31解：∵数据31出现了3次，最多，∴众数为31，∵排序后为：30，31，31，31，32，34，35，故位于中间位置的数是31，∴中位数是31．故选：D．7．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＞2C．m＜2且m≠1D．m＜﹣2解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（m﹣1）＝8﹣4m＞0，且m﹣1≠0，解得：m＜2，且m≠1．故选：C．8．如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A ．2√3B ．4C ．√3D ．5解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠D ＝60°，∴∠A ＝∠D ＝60°，在Rt △ABC 中，AC ＝2，∴BC ＝AC •tan60°＝2√3，故选：A ．9．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（ ）A ．π3B ．π2C ．πD ．2π解：∵△ABC 为正三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ＝BC ＝1，∴AB ̂=AC ̂=BC ̂=60π×1180=π3， 根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，即凸轮的周长=AB ̂+AC ̂+BC ̂=3×π3=π． 故选：C ．10．如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝4cm ，动点P 从点O 出发，沿OA →AB̂→BO 的路径以每秒1cm 的速度运动一周．设运动时间为t ，运动的面积为s ，则下列图象能大致刻画s 与t 的关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：利用图象可得出：当点P 在半径AO 上运动时，s ＝OP 2＝t 2；在弧AB 上运动时，s ＝OP 2＝4；在OB 上运动时，s ＝OP 2＝（2π+4﹣t ）2．故选：D ．二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.11．单项式−abc 3的系数是 −13． 解：单项式−abc 3的系数是−13． 故答案为：−13．12．因式分解：3x 2﹣12＝ 3（x +2）（x ﹣2） ．解：原式＝3（x 2﹣4）＝3（x +2）（x ﹣2）．故答案为：3（x +2）（x ﹣2）．13．不等式组{3x −1＜x +3x−32＜x −1的整数解为 0，1 ． 解：由3x ﹣1＜x +3得：x ＜2，由x−32＜x ﹣1得：x ＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x ＜2，所以该不等式组的整数解为0，1，故答案为：0，1．14．如图，某校教学楼AC 与实验楼BD 的水平间距CD =8√3米，在实验楼顶部B 点测得教学楼顶部A 点的仰角是30°，底部C 点的俯角是45°，则AC 的高度是 8+8√3 米（结果保留根号）．解：如图，由题意知，BE =CD =8√3米，∴CE =BEtan45°=8√3米，AE ＝BE tan30°＝8米，∴AC =AE +CE =8+8√3米，故答案为：8+8√3．15．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是BC 上一动点（不与点B ，C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交正方形外角的平分线CF 于点F ，交CD 于点G ，连接AF ．下列结论：①AE ＝EF ；②CF =√2BE ；③∠DAF ＝∠CEF ；④△CEF 的面积的最大值为18．其中正确的是 ①②④ ．（填写正确结论的序号）解：在AB 上取点H ，使AH ＝EC ，连接EH ，∵∠HAE +∠AEB ＝90°，∠CEF +∠AEB ＝90°，∴∠HAE ＝∠CEF ，又∵AH ＝CE ，∴BH ＝BE ，∴∠AHE ＝135°，∵CF 是正方形外角的平分线，∴∠ECF ＝135°，∴∠AHE ＝∠ECF ，在△AHE 和△ECF 中，{∠HAE =∠CEFAH =EC ∠AHE =∠ECF，∴△AHE ≌△ECF （ASA ），∴AE ＝EF ，EH ＝CF ，故①正确；∵BE ＝BH ，∴EH =√2BE ，∴CF =√2BE ，故②正确；∵∠AHE ＝135°，∴∠HAE +∠AEH ＝45°，又∵AE ＝EF ，∴∠EAF ＝45°，∴∠HAE +∠DAF ＝45°，∴∠AEH ＝∠DAF ，∵∠AEH ＝∠EFC ，∴∠DAF ＝∠EFC ，而∠FEC 不一定等于∠EFC ，∴∠DAF 不一定等于∠FEC ，故③错误；∵△AHE ≌△ECF ，∴S △AHE ＝S △CEF ，设AH ＝x ，则S △AHE =12x •（1﹣x ）=−12x 2+12x ，当x =12时，S △AHE 取最大值为18， ∴△CEF 面积的最大值为18，故④正确， 故答案为：①②④．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）16．计算：(π−2023)0+|−√12|+(12)−1−2sin60°．解：原式＝1+2√3+2﹣2×√32＝1+2√3+2−√3＝3+√3． 17．先化简，再求值：(1+4x−2)÷x 2−4x−2，其中x =√3+2．解：原式＝（x−2x−2+4x−2）•x−2(x+2)(x−2)=x+2x−2•1x+2 =1x−2， 当x =√3+2时，原式=13+2−2=√33． 18．如图，在▱ABCD 中，AD ＞AB ．（1）尺规作图：作DC 边的中垂线MN ，交AD 边于点E （要求：保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接EC ，若∠BAD ＝130°，求∠AEC 的度数．解：（1）如图，直线MN ，点E 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A +∠D ＝180°，∵∠A ＝130°，∴∠D ＝50°∵MN 垂直平分线段CD ，∴ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ＝50°，∴∠AEC ＝∠D +∠ECD ＝100°．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．（1）表中a＝30，b＝0.3，c＝0.4；（2）请补全频数分布直方图；（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．解：（1）由题意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，b＝45÷150＝0.3，c＝60÷150＝0.4，故答案为：30，0.3，0.4；（2）补全频数分布直方图如下：（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为612=12．20．（9分）如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），点C在反比例函数y=kx的图象上．（1）直接写出点C坐标，并求反比例函数的表达式；（2）将▱ABCD向上平移得到▱EFGH，使点F在反比例函数y=kx的图象上，GH与反比例函数图象交于点M．连结AE，求AE的长及点M的坐标．解：（1）∵点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），∴AB＝4，DO＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4，∴点C坐标为（﹣4，3），∵点C在反比例函数y=kx的图象上．∴反比例函数的表达式为：y=−12 x；（2）∵▱ABCD向上平移得到▱EFGH，∴点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是﹣6，∵点F在反比例函数y=kx的图象上，∴点F的坐标为（﹣6，2），∴BF＝2，∴AE＝2，HD＝2，∴点M的纵坐标HO＝5，点M的横坐标为−12 5，∴点M 的坐标为（−125，5）． 21．（9分）某超市销售A 、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元，用1200元购买B 款保温杯的数量与用960元购买A 款保温杯的数量相同．（1）A 、B 两款保温杯销售单价各是多少元？（2）由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的一半，A 款保温杯的进价为每个30元，B 款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？解：（1）设A 款保温杯销售单价是x 元，则B 款保温杯销售单价是（x +10）元，根据题意得：960x =1200x+10， 解得x ＝40，经检验，x ＝40是原方程的解，∴x +10＝40+10＝50，答：A 款保温杯销售单价是40元，B 款保温杯销售单价是50元；（2）设这批保温杯的销售利润是w 元，购进A 款保温杯m 个，则购进B 款保温杯（120﹣m ）个， ∵A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的一半，∴m ≥12（120﹣m ），解得m ≥40，根据题意得：w ＝（40﹣30）m +（50﹣35）（120﹣m ）＝﹣5m +1800，∵﹣5＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴m ＝40时，w 取最大值，最大值是﹣5×40+1800＝1600（元），此时120﹣m ＝120﹣40＝80，答：购进A 款保温杯40个，购进B 款保温杯80个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1600元．五、解答题（二）（本大题2小题，每小题12分，共24分）22．（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，在CD 上有点N 满足CN ＝CA ，AN 交⊙O 于点F ，过点F 作AC 的平行线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ．（1）求证：EM 是⊙O 的切线；（2）若AC ：CD ＝5：8，AN =3√10，求⊙O 的直径；（3）在（2）的条件下，FN的长为9√102．（1）证明：连接FO，∵CN＝AC，∴∠CAN＝∠CNA，∵AC∥ME，∴∠CAN＝∠MFN，∵∠CAN＝∠FNM，∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，∵CD⊥AB，∴∠HAN+∠HNA＝90°，∵AO＝FO，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠OF A+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EM是圆O的切线；（2）解：连接OC，∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，∵CA＝CN，∴NH＝a，∴AN=√AH2+NH2=√(3a)2+a2=√10a＝3√10，∴a＝3，∴AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，设圆的半径为r ，则OH ＝r ﹣9，在Rt △OCH 中，OC ＝r ，CH ＝12，OH ＝r ﹣9，由OC 2＝CH 2+OH 2得r 2＝122+（r ﹣9）2，解得：r =252， ∴圆O 的直径为25；（3）解：∵CH ＝DH ＝12，∴CD ＝24，∵AC ：CD ＝5：8，∴CN ＝AC ＝15，∴DN ＝24﹣15＝9，∵∠AFD ＝∠ACD ，∠FND ＝∠CNA ，∴△FND ∽△CNA ，∴FN CN =DN AN ，∵AN ＝3√10，∴FN 15=93， ∴FN =9√102．23．（12分）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°，点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动．已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （0＜x ＜6）．（1）点G 在四边形ABCD 的边上时，x ＝ 2 ；点F 与点C 重合时，x ＝ 3 ；（2）求出使△DFC 成为等腰三角形的x 的值；（3）求△EFG 与四边形ABCD 重叠部分的面积y 与x 之间的函数关系式，并直接写出y 的最大值．解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形．∵AD＝BH＝3，BC＝6，∴CH＝BC﹣BH＝3，在Rt△DHC中，CH＝3，∠DCH＝30°，∴DH＝CH•tan30°=√3，当等边三角形△EGF的高=√3时，点G想AD上，此时x＝2，当点F与C重合时，BE=12BC＝3，此时x＝3，所以点G在四边形ABCD的边上时，x＝2，点F与点C重合时，x＝3．故答案为2，3．（2）注意到0＜x＜6，故△DFC为等腰三角形只有三种情形：①当CF＝CD且F在C左侧时，6﹣2x＝2√3，x＝3−√3，②当CF＝CD且F在C右侧时，2x﹣6＝2√3，x＝3+√3，③当FC＝DF时，6﹣2x＝2，x＝2，综上所述，x的值为3−√3或3+√3或2．（3）①当0＜x≤2时，如图1中，△EFG在四边形ABCD内部，所以y=√34x2．y的最大值为√3②当2＜x＜3时，如图2中，点E、F在线段BC上，△EFG与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵∠FNC＝∠FCN＝30°，∴FN ＝FC ＝6﹣2x ，∴GN ＝3x ﹣6，∵∠G ＝60°，∴△GNM 是直角三角形，∴y ＝S △EFG ﹣S △GMN =√34x 2−√38（3x ﹣6）2=−7√38x 2+9√32x −9√32，y 的最大值为9√37③当3≤x ＜6时，如图3中，点E 在线段BC 上，点F 在射线BC 上，重叠部分是△ECP ，y =√38（6﹣x ）2=√38x 2−3√32x +9√32．y 的最大值为9√38， 综上所述，y 的最大值为9√37；。
广东省专版 东莞市中考数学一模试卷(附答案)
广东省东莞市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.-2的绝对值是（）A. B. 2 C. D.2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.3.0.000345用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.在0，2，（-3）0，-5这四个数中，最大的数是（）A. 0B. 2C.D.5.如图所示，a与b的大小关系是（）A. B. C. D.6.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.7.抛物线y=-x2向左平移1 个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. B. C.D.8.一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）A. B. C. D.9.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（）A. B. C. D.10.已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x-1和y=的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.函数y=中，自变量x的取值范围是______．12.因式分解：x3-2x2+x=______．13.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sin A=______．14.关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______．15.二次函数y=x2+2x-3的最小值是______．16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是______（保留π）．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.计算：|-3|-（2016+sin30°）0-（-）-1四、解答题（本大题共8小题，共60.0分）18.先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．19.如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）条件下，若DE=4，求BC的长．20.老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．21.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？22.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=-x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若S△AOC=，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．25.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为______；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：=；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：-2的绝对值是：2．故选：B．直接利用数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、a2•a3=a5，选项错误；C、正确；D、（）2=，选项错误．故选：C．根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：0.000345=3.45×10-4．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于0.000345第一个不是0的数字3前面有4个0，所以可以确定n=-4．此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定n值是关键．4.【答案】B【解析】【分析】先利用a0=1（a≠0）得（-3）0=1，再利用两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小即可得出结果．本题主要考查了有理数的大小比较和零指数幂，掌握有理数大小比较的法则和a0=1（a≠0）是解答本题的关键．【解答】解：在0，2，（-3）0=1，-5这四个数中，最大的数是2，故选B．5.【答案】A【解析】解：根据数轴得到a＜0，b＞0，∴b＞a，故选：A．根据数轴判断出a，b与零的关系，即可．此题是有理数大小的比较，主要考查了识别数轴上的点表示的数，也是解本题的难点．6.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数y=ax2、y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k的关系问题.利用二次函数平移的性质.【解答】解：当y=-x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（-1，0），当向上平移3个单位时，顶点变为（-1，3），则平移后抛物线的解析式为y=-（x+1）2+3.故选D.8.【答案】B【解析】解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．故选：B．直接根据概率公式求解即可．本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．9.【答案】B【解析】解：如图，连接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=35°，∴∠POC=∠OAC+∠OCA=70°，∵PC是⊙O切线，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∴∠P=90°-∠POC=20°，故选：B．连接OC，先求出∠POC，再利用切线性质得到∠PCO=90°，由此可以求出∠P．本题考查切线的性质、等腰三角形的性质等知识，记住切线垂直于过切点的半径，直角三角形两锐角互余，属于基础题，中考常考题型．10.【答案】A【解析】解：∵k1＜0＜k2，b=-1＜0∴直线过二、三、四象限；双曲线位于一、三象限．故选：A．根据反比例函数的图象性质及正比例函数的图象性质可作出判断．本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．11.【答案】x≤2【解析】解：根据题意得：2-x≥0，解得：x≤2．故答案是：x≤2．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.【答案】x（x-1）2【解析】解；x3-2x2+x=x（x2-2x+1）=x（x-1）2，故答案为：x（x-1）2．先提公因式x，再利用完全平方公式，即可解答．本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．13.【答案】【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5（勾股定理）．∴sinA==．故答案是：．首先由勾股定理求得斜边AC=5；然后由锐角三角函数的定义知sinA=，然后将相关线段的长度代入计算即可．本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14.【答案】m＜【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-3，c=m∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×m＞0，解得m＜，故答案为：m．若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．15.【答案】-4【解析】解：∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，∴二次函数y=x2+2x-3的最小值是-4．故答案为：-4．把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．16.【答案】【解析】解：连接AD，∵⊙A与BC相切于点D，AB=AC，∠A=120°，∴∠ABD=∠ACD=30°，AD⊥BC，∴AB=2AD，由勾股定理知BD2+AD2=AB2，即+AD2=（2AD）2解得AD=1，△ABC的面积=2×1÷2=，扇形MAN得面积=π×12×=，所以阴影部分的面积=．我们只要根据勾股定理求出AD的长度，再用三角形的面积减去扇形的面积即可．解此题的关键是求出圆的半径，即三角形的高，再相减即可．17.【答案】解：|-3|-（2016+sin30°）0-（-）-1=3-1-（-2）=3-1+2=4．【解析】根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂可以解答本题．本题考查绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．18.【答案】解：原式=÷，=×，=．∵x=-1，∴原式==．【解析】利用平方差公式、通分将原式化简成，代入x=-1即可求出结论．本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简是解题的关键．19.【答案】解：（1）如图，DE为所作；（2）∵D点为AB的中点，E点为AC的中点，∴△ABC中位线定理，∴BC=2DE=8．【解析】（1）作AC的垂直平分线即可得到AC的中点E，然后连接DE即可；（2）利用三角形中位线性质求解．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．20.【答案】解：（1）补全小明同学所画的树状图：（2）∵共有9种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有4种情况，∴小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为：．【解析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）根据题意可得此题是放回实验，即可补全树状图；（2）由树状图可求得所有等可能的结果与小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．21.【答案】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×（1+x）2=12100，解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100×（1+10%）=13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．【解析】（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数．22.【答案】解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD-∠A=60°-30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．【解析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．23.【答案】解：（1）将点A、B代入抛物线y=-x2+ax+b可得，，解得，a=4，b=-3，∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；（2）∵点C在y轴上，所以C点横坐标x=0，∵点P是线段BC的中点，∴点P横坐标x P==，∵点P在抛物线y=-x2+4x-3上，∴y P=-3=，∴点P的坐标为（，）；（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，∴点C的纵坐标为2×-0=，∴点C的坐标为（0，），∴BC==，∴sin∠OCB===．【解析】（1）将点A、B代入抛物线y=-x2+ax+b，解得a，b可得解析式；（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；（3）由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．24.【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切线，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30°∴∠DAE=∠ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF∴OC=CF，∵S△AOC=，∴S△ACF=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴=，∵△ACF∽△DAE，∴△=（）2=，△∴S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴S△ADE=DE•AH=וDE2=，∴DE=；（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，在△AOF与△BOE中，，∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF，∴∠OFG=（180°-∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，在△AOF与△OGF中，，∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切线．【解析】（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据S△AOC=，得到S△ACF=，通过△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG=（180°-∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，证得△ACF∽△DAE是解题的关键．25.【答案】（2，2）【解析】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：∵OA=2，OC=2，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DCE=∠EDC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC-CD=4-2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①如图1，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为y=-x+2，设D（a，-a+2），∴DN=-a+2，BM=2-a∵∠BDE=90°，∴∠BDM+∠NDE=90°，∠BDM+∠DBM=90°，∴∠DBM=∠EDN，∵∠BMD=∠DNE=90°，∴△BMD∽△DNE，∴==．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2-x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y=[]2=（x2-6x+12），即y=x2-2x+4，∴y=（x-3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．先推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∠DCE=∠EDC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①先表示出DN，BM，再判断出△BMD∽△DNE，即可得出结论；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．。
广东省专版 东莞市中考数学一模试卷(附答案)
广东省东莞市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.的算术平方根是（）A. B. C. D.2.2016年春节黄金周海南旅游大幅增长，据统计，2月7至13日，全省共接待游客约3710000人次，将3710000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.下列图形中，不是中心对称图形有（）A. B. C. D.4.下列各式计算正确的是（）A. B.C. D.5.如图，a∥b，则∠A的度数是（）A.B.C.D.6.则这组数据的中位数与众数分别是（）A. 27，28B. ，28C. 28，27D. ，277.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（）A.B.C.D.8.如图，一个圆锥形漏斗的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥漏斗的侧面积是（）A.B.C.9.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且==，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A. 1：B. 1：3C. 1：8D. 1：910.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.分解因式：2x2-8x+8=______．12.在函数y=中，自变量x的取值范围是______．13.不等式组的解集是______．14.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是______．15.如图，腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°，则图中阴影部分的面积为______．三、计算题（本大题共2小题，共13.0分）16.先化简，再求值：（）÷，其中x=．17.在一个不透明的袋子中，装有除颜色外其余均相同的红、蓝两种球，已知其中红球有3个，且从中任意摸出一个红球的概率为0.75．（1）根据题意，袋中有______个篮球；（2）若第一次随机摸出一球，不放回，再随机摸出第二个球，请用画树状图或列表法求“摸到两球中至少一个球为篮球（记为事件A）”的概率P（A）．四、解答题（本大题共7小题，共53.0分）18.计算：2cos30°-（-2017）0+|-2|+（-）-119.如图，在△ABC中：（1）用直尺和圆规，在AB上找一点D，使点D到B、C两点的距离相等（不写作法．保留作图痕迹）（2）连接CD，已知CD=AC，∠B=25°，求∠ACB的度数．20.近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售．若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元，且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同．（1）求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？（2）若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共30台，且进货花费不超过42000元，问最少进货甲种空气净化器多少台？21.为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下车库的设计示意图（如图），按规定，地下车库入口CD的上方BC处要张贴限高标志，以便告知驾驶员车辆能否安全驶入．（1）图中线段CD______（填“是”或“不是”）表示限高的线段，如果不是，请在图中画出表示限高的线段；（2）某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？（≈1.7，精确到0.1米）．22.如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象有公共点A（1，a）、D（-2，-1）．直线l与x轴垂直于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）求△ABC的面积．23.如图，AB是⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AB于E，交CB于点F．过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G．（1）求证：GD是⊙O的切线；（2）求证：GD2=GC•AG；（3）若CD=6，AD=8，求cos∠ABC的值．24.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵的平方为，∴的算术平方根为．故选：B．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．2.【答案】C【解析】解：3710000=3.71×106，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项正确．根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．4.【答案】C【解析】解：A、原式=a2+b2-2ab，错误；B、原式=a4，错误；C、原式=6a5，正确；D、原式=-a6，错误．故选：C．A、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；B、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．此题考查了完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，以及单项式乘单项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵a∥b，∴∠1=50°，∴∠A=50°-28°=22°．故选：A．先根据平行线的性质求出∠1的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．6.【答案】A【解析】解：处于这组数据中间位置的那个数是27，由中位数的定义可知，这组数据的众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28．故选：A．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7.【答案】D【解析】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选：D．由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8.【答案】C【解析】解：圆锥的母线长==10，所以圆锥的侧面积=•2π•6•10=60π（cm2）．故选：C．先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算这个圆锥漏斗的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于9.【答案】C【解析】解：∵==，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=1：9，∴S△ADE：S=1：8，四边形BCED故选：C．易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而的值．求得S△ADE：S四边形BCED此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向向下，∴a＜0，对称轴在y轴的左边，∴x=-＜0，∴b＜0，∴反比例函数的图象在第二四象限，正比例函数y=bx的图象在第二四象限．故选：B．由已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴可以确定b的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数y=bx 在同一坐标系内的大致图象．此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；对称轴的位置即可确定b 的值．11.【答案】2（x-2）2【解析】解：原式=2（x2-4x+4）=2（x-2）2．故答案为2（x-2）2．先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可．本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是基础知识要熟练掌握．12.【答案】x≥【解析】解：根据题意得：2x-1≥0，解得，x≥．故答案为x≥.根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x-1≥0，解得x的范围．本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．13.【答案】-1＜x＜5【解析】解：，解①得x＞-1，解②得x＜5．则不等式组的解集是-1＜x＜5．故答案是：-1＜x＜5．首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14.【答案】6【解析】解：连接AO，∵半径是5，CD=1，∴OD=5-1=4，根据勾股定理，AD===3，∴AB=3×2=6，因此弦AB的长是6．连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．15.【答案】-【解析】解：如图所示：∵将直角边长为3cm的等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′，∴∠BAC=45°，∠BAB′=15°，AB′=AB=3，∠B′=∠B=90°，∴∠B′AD=45°-15°=30°，∴在Rt△AB′D中，B′D=AB′•tan30°=3×=，∴S △AB′D=AB′•B′D=×3×=，∴阴影部分的面积=×3×3-=-；故答案为：-．由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAC=45°，∠BAB′=15°，AB′=AB=3，∠B′=∠B=90°，得出∠B′AD=30°，由三角函数求出B′D，求出△AB′D的面积，阴影部分的面积=△AB′C′的面积-△AB′D的面积，即可得出结果．此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质、三角函数．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．16.【答案】解：原式=[-]•=•=，当x=时，原式==．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17.【答案】1【解析】解：（1）设袋中有x个篮球，根据题意得=0.75，解得x=1，即袋中有1个篮球．故答案为1；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两球中至少一个球为篮球的结果数为6种，所以P（A）==．（1）设袋中有x个篮球，根据概率公式得到=0.75，然后解方程即可（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两球中至少一个球为篮球的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法或画树状图法：用列表法或画树状图法展示所有等可能的结果数n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率的公式求事件A和B的概率．18.【答案】解：原式=2×-1+2--3=-1+2--3=-2．【解析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.【答案】解：（1）如图所示：故点D为所求（2）由（1）得DC=DB，∴∠BCD=∠B=25°，∴∠ACD=∠B+∠BCD=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-25°=105°．【解析】（1）作BC的垂直平分线交于AB于一点，则交点为所求；（2）由垂直平分线的性质再结合已知条件即可求出∠ACB的度数．此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BCD=∠B=25°是解题关键．20.【答案】（1）解：设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为（x+300）元，由题意得：=，解得：x=1200，经检验得：x=1200是原方程的解，则x+300=1500，答：每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元．（2）设甲种空气净化器为y台，乙种净化器为（30-y）台，根据题意得：1200y+1500（30-y）≤42000，y≥10，答：至少进货甲种空气净化器10台．【解析】（1）解：设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同，列出方程求解即可；（2）设甲种空气净化器为y台，乙种净化器为（30-y）台，根据进货花费不超过42000元，列出不等式求解即可．本题考查分式方程和不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系列出方程和不等式是解决问题的关键．21.【答案】不是【解析】解：（1）图中线段CD不是表示限高的线段，故答案为：不是；图中表示限高的线段是CE，如图所示，（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=9m，∴BD=AB•tan30°=9×=3m，∴CD=BD-BC=（3-0.5）m，在Rt△CDE中，∠CDE=60°，CD=（3-0.5）m，∴CE=CD×sin60°=（3-0.5）×=-≈4.1m，∵4.1m＞3.9m，∴该车能进入该车库停车．（1）根据点到直线距离中垂线段最短，可以判断CD是否为限高的线段，从而可以作出正确的图形；（2）根据题目中的条件可以求得CE的长度，然后与车的高度进行比较，即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．22.【答案】解：（1）∵反比例函数经过点D（-2，-1），∴把点D代入y=（m≠0），∴-1=，∴m=2，∴反比例函数的解析式为：y=，∵点A（1，a）在反比例函数上，∴把A代入y=，得到a==2，∴A（1，2），∵一次函数经过A（1，2）、D（-2，-1），∴把A、D代入y=kx+b（k≠0），得到：，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）如图：当-2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，∵直线l⊥x轴，N（3，0），∴设B（3，p），C（3，q），∵点B在一次函数上，∴p=3+1=4，∵点C在反比例函数上，∴q=，∴S△ABC=BC•EN=×（4-）×（3-1）=．【解析】（1）由反比例函数经过点D（-2，-1），即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）结合图象求解即可求得x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）首先过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，由直线l与x轴垂直于点N（3，0），可求得点E，B，C的坐标，继而求得答案．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．注意掌握待定系数法求函数解析式是解此题的关键．23.【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：∵D是的中点，∴OD⊥BC，OD平分BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即AG⊥BC，∵DM∥BC，∴DM⊥OD，∴GD是⊙O的切线；（2）证明：∵GD是⊙O的切线，AG是⊙O的割线，∴GD2=GC•AG；（3）解：∵D是的中点，∴BD=CD=6，∴BN=BC，AB===10，∵∠DCH=∠BAH，∠CHD=∠AHB，∴△CDH∽△ABH，∴==，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵，∴，∴BH=BD=×6=，∴DH=BH=，∴AH=AD-DH=8-=，∴CH=AH=，∴BC=BH+CH=+=，∴cos∠ABC===．【解析】（1）连接OD，由垂径定理得出OD⊥BC，OD平分BC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，证出DM⊥OD，即可得出GD是⊙O的切线；（2）由切割线定理即可得出结论；（3）由垂径定理得出BD=CD=6，BN=BC，由勾股定理求出AB==10，证明△CDH∽△ABH，得出对应边成比例=，由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，求出BH，得出DH、AH、CH，求出BC的长，再由三角函数的定义即可得出结果．本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、切割线定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要证明三角形相似才能得出结果．24.【答案】方法（1）：解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），∴ ，解得，∴y=x2-x-4．∴C（0，-4）．（2）存在．如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，∵A（3，0），B（-1，0），C（0，-4），O（0，0），∴AB=4，OA=3，OC=4，∴AC==5，∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，∴AQ=4．∵QD∥OC，∴，∴，∴QD=，AD=．①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=AD-AE=|-x|，∴在Rt△EDQ中，（-x）2+（）2=x2，解得x=，∴OA-AE=3-=-，∴E（-，0），说明点E在x轴的负半轴上；②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，∵ED=AD=，∴AE=，∴OA-AE=3-=-，∴E（-，0）．③当AE=AQ=4时，1．当E在A点左边时，∵OA-AE=3-4=-1，∴E（-1，0）．2．当E在A点右边时，∵OA+AE=3+4=7，∴E（7，0）．综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（-，0）或（-，0）或（-1，0）或（7，0）．（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（-，-）．理由如下：如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，∴AP=AQ=QD=DP，∴四边形AQDP为菱形，∵FQ∥OC，∴，∴，∴AF=，FQ=，∴Q（3-，-），∵DQ=AP=t，∴D（3--t，-），∵D在二次函数y=x2-x-4上，∴-=（3-t）2-（3-t）-4，∴t=，或t=0（与A重合，舍去），∴D（-，-）．方法二：（1）略．（2）∵点P、Q同时从A点出发，都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC运动．过点Q作x轴垂线，垂足为H．∵A（3，0），C（0，4），∴l AC：y=x-4，∵点P运动到B点时，点Q停止运动，∴AP=AQ=4，∴QH=，Q y=-，代入L AC：y=x-4得，Q x=，则Q（，-），∵点E在x轴上，∴设E（a，0），∵A（3，0），Q（，-），△AEQ为等腰三角形，∴AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ，∴（a-3）2=（a-）2+（0+）2，∴a=-，（a-3）2=（3-）2+（0+）2，∴a1=7，a2=-1，（a-）2+（0+）2=（3-）2+（0+）2，∴a1=-，a2=3（舍）∴点E的坐标为（-，0）或（-，0）或（-1，0）或（7，0）．（3）∵P，Q运动到t秒，∴设P（3-t，0），Q（3-t，-t），∴K PQ=，K PQ=-2，∵AD⊥PQ，∴K PQ•K AD=-1，∴K AD=，∵A（3，0），∴l AD：y=x-，∵y=，∴x1=3（舍），x2=-，∴D（-，-），∵D Y=Q Y，即-t=-，t=，DQ∥AP，DQ=AQ=AP，此时四边形APDQ的形状为菱形．【解析】（1）将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D 对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．第21页，共21页。
2023年广东省东莞南城中学、湖景中学中考一模数学试卷(解析版)
2023年广东省东莞南城中学、湖景中学中考数学一模试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30．0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 0，1,2−− ） A. 1− B. 12− C. 0D.【答案】A【分析】依据实数大小比较的法则进行比较即可求解． 【详解】根据负数0<<正数可知，最小的数在112−−，中选， ∵112<， ∴112−>−， ∴最小数是-1．故选：A ．【点睛】本题主要考查了实数大小比较，熟练掌握实数大小比较的法则是解题的关键．正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2. 如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（ ）A. 核B. 心C. 数D. 养【答案】B 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此解答即可．【详解】解：解：根据正方体展开图的特征，可知“数”与“养”是相对面，“素”与“核”是相对面， 因此与“学”字相对的是“心”字．故选B ．【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，掌握正方体表面展开图的特点是解题的关键．3. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）A. 7310−×B. 60.310−×C. 6310−×D. 7310× 【答案】A【分析】绝对值较小数的科学记数法的一般形式为：a ×10-n ，在本题中a 应为3，10的指数为-7．【详解】解：0.00000037310-=⨯故选A【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a |＜10，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．4. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 34【答案】A【分享】直接由概率公式求解即可．【详解】解：∵袋子中装有1个红球，3个绿球，每个球被摸到的概率相同， ∴从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是11134=+， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键．5. 下列运算正确的是（ ）A. 22422x x x +=B. 3332x x x ⋅=C. ()257x x =D. 75222x x x ÷=【答案】D【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可． 的【详解】A.22223x x x +=，故本选项不符合题意；B.336x x x ⋅=，故本选项不符合题意；C.()2510x x =，故本选项不符合题意；D.75222x x x ÷=，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式等知识点，能正确求出每个式子的值是解答此题的关键．6. 如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a 、b 上，已知235∠=°，则1∠的度数为（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【答案】C【分析】根据两直线平行同位角相等得出31∠=∠，进而根据平角的定义即可求解．【详解】解：如图所示，∵a b ∥，∴31∠=∠，∵235∠=°，∴1180902903555∠=°−°−∠=°−°=°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7. 如图，在ABC 中，50BAC ∠=°，25C ∠=°，将ABC 绕点A 逆时针旋转α角度（0180α<<°）得到ADE ．若DE AB ∥，则α的值为（ ）的A. 65°B. 75°C. 85°D. 95°【答案】B 【分析】由三角形内角和定理可得105ABC ∠=°，根据旋转的性质得出105ADE ABC ∠=∠=°，利用平行线的性质即可得出75DAB ∠=°，即为旋转角．【详解】解：∵ABC 中，50BAC ∠=°，25C ∠=°，∴1801805025105ABC BAC C ∠=°−∠−∠=°−°−°=°，∵将ABC 绕点A 逆时针旋转α角度（0180α<<°）得到ADE ，∴105ADE ABC ∠=∠=°，∵DE AB ∥，∴180ADE DAB ∠+∠=°，∴75DAB ∠=°，∴旋转角α的度数是75°，故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．8. 点()11,A y ，()23,B y 是双曲线(0)k yk x =<上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ） A. 12y y >B. 12y y =C. 12y y <D. 不能确定【答案】C【分析】根据反比例函数的性质即可得到答案．【详解】解：0k < ， ∴双曲线(0)k y k x=<在第二、四象限， ∴在第四象限，y 随x 的增大而增大， 点()11,A y ，()23,B y 是双曲线(0)k y k x =<上的两点，且13<， 12y y ∴<．在故选：C ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数的性质是解题关键．9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，D 经过A ，B ，O ，C 四点，120ACO ∠=°，4AB =，则圆心点D 的坐标是（ ）A. )B. ()C. (−D. (2− 【答案】B【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO =60°，再根据圆周角定理得到AB 为⊙D 的直径，则D 点为AB 的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB =2，OA =()()02，，，A B −然后利用线段的中点坐标公式得到D 点坐标．【详解】解：∵四边形ABOC 为圆的内接四边形，120ACO ∠=°∴∠ABO +∠ACO =180°，∴∠ABO =180°-120°=60°，∵∠AOB =90°，∴AB 为⊙D 的直径，∴D 点为AB 的中点，在Rt △ABO 中，∵∠ABO =60°，∴OB =12AB =2， ∴OA =，∴()()002，，，A B −∴D 点坐标为()． 故选B ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质，勾股定理的应用．10. 如图，四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，点E ，点F 分别为边AD ，CD 中点，点O 为正方形的中心，连接,OE OF ，点P 从点E 出发沿E O F −−运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 运动，两点运动速度均为1cm/s ，当点P 运动到点F 时，两点同时停止运动，设运动时间为s t ，连接,BP PQ ，BPQ 的面积为2cm S ，下列图像能正确反映出S 与t 的函数关系的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【分析】分0≤t ≤1和1＜t ≤2两种情形，确定解析式，判断即可．【详解】当0≤t ≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O 为正方形的中心，∴直线EO 垂直BC ，∴点P 到直线BC 的距离为2-t ，t ，∴S =211(2)+22t t t t −=− ； 当1＜t ≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F 分别为边AD ，CD 中点，点O 为正方形的中心， ∴直线OF ∥BC ，∴点P 到直线BC 的距离为1，BQ =t ，∴S =12t ； 故选D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共15．0分）11. 函数y ＝23x −的自变量x 的取值范围是_____．【答案】x ≠3的一切实数【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0，可知：x-3≠0，解得x 的范围．【详解】解：根据题意，则x ﹣3≠0解得：x≠3∴自变量x 的取值范围是x≠3的一切实数；故答案为：x≠3的一切实数．【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12. 计算：(1012π− −−=______． 【答案】1【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可．【详解】解：(1012112π− −−=−= ，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了零指数幂和负指数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键，注意非零底数的零指数幂的结果为1．13. 若a ，b 为实数，且满足0a +=，则a b +的值为________． 【答案】3【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可求出20a =−，23b =，代入计算即可得到答案．【详解】解：a ，b 为实数，且满足0a +=，200a +≥0≥， 200a ∴+=，230b −=， 解得：20a =−，23b =，20233a b ∴+=−+=，故答案为：3．【点睛】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，代数式求值，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．14. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度1:2i =，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米．【答案】【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【详解】解：如图，由题意得：斜坡AB 的坡度：=12=10i AE ：，米，AE BD ⊥， 1=2AE i BE = ， 20BE ∴=米，∴在Rt ABE 中， AB =（米）故答案为：【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．15. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，E 是矩形内部的一个动点，且AE BE ⊥，则线段CE 的最小值为______．1−【分析】根据AE BE ⊥，可得到点E 的运动轨迹是以AB 的中点O 为圆心，AB 长为直径的圆，连接OC 交圆O 于点E ′ ，从而得到当点E 位于点E ′ 位置时，线段CE 取最小值，再利用勾股定理即可求解【详解】解：∵AE BE ⊥，∴点E 运动轨迹是以AB 的中点O 为圆心，AB 长为直径的圆，如图所示，连接OC 交圆O 于点E ′ ，∴当点E 位于点E ′ 位置时，线段CE 取最小值，在矩形ABCD 中，∠ABC =90°，∵2AB =，∴OA =OB =OE ′ =1，∵3BC =，∴OC ===，∴1CE OC OE ′′=−=−1−【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据AE BE ⊥，可得到点E 的运动轨迹是以AB 的中点O 为圆心，AB 长为直径的圆是解题的关键三、解答题（本大题共8小题，共64．0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 解不等式组：53125236x x x x ≥− +− −< ． 【答案】132x −≤< 【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求其公共解集即可．【详解】解：解不等式531x x ≥−得：21x ≥−， 解不等式25236x x +−−<得：3x <， 则不等式组的解集为132x −≤<． 【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解题关键．17. 目前我市“校园手机”现象越来越受到社会的关注，针对这种现象，某校初三()3班数学兴趣小组的同的学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度(态度分为：.A无所谓；.B基本赞成；.C赞成；.D 反对).并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2(不完整).请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数为______ 度，并将图1补充完整；（2）根据抽样调查结果，请你估计该校11000名中学生家长中持反对态度的人数．【答案】（1）18°，见解析（2）6600名【分析】（1）先求出选择C的学生人数及所占比例，所占比例乘以360度即为扇形C所对的圆心角的度数；（2）利用样本估计总体思想求解．【小问1详解】解：4020%200(÷=名)，选择A的学生有：20015%30(×=人)，选择C的学生有：200304012010−−−=（人），图2中扇形C所对的圆心角的度数为：1036018200×=°°，补充完整的图1如下图所示；【小问2详解】解：1100060%6600×=（名）即该校11000名中学生家长中有6600名家长持反对态度．【点睛】本题考查折线统计图与扇形统计图的综合、利用样本估计总体等知识点，难度较小，解题的关键是找出折线统计图与扇形统计图的关联信息．18. 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ．（1）尺规作图：作CBA ∠的角平分线，交CD 于点P ，交AC 于点Q （保留作图痕迹，不写做法）； （2）若46BAC ∠=°，求CPQ ∠的度数．【答案】（1）见解析 （2）68°【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；（2）根据三角形内角和求出ABC ∠，根据角平分线的定义求出ABQ ∠，根据垂线的定义求出CDB ∠，最后利用对顶角相等得到68CPQ BPD ∠=∠=°． 【小问1详解】解：如图，点P 和点Q 即为所求；【小问2详解】∵90ACB ∠=°，46BAC ∠=°，∴180904644ABC ∠=°−°−°=°，∵BQ 平分ABC ∠，∴22ABQ CBQ ∠=∠=°， ∵CD AB ⊥，∴90CDB ∠=°，∴18068CPQ BPD ABQ CDB ∠=∠=°−∠−∠=°．【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，垂线的定义，角平分线的定义，三角形内角和，对顶角相等，解题的关键是合理利用定理得出角的关系，通过准确计算得到角的度数．19. 经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元（2）当购买甲种奖品20件、乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元【分析】（1）设甲种奖品单价为x 元，乙种奖品的单价为y 元，根据：购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种奖品m 件，则购买乙种奖品()60m −件，设购买两种奖品的总费用为w 元，由甲种奖品不少于乙种奖品的一半，可得出关于m 的取值范围，列出w 关于m 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．【小问1详解】解：设甲种奖品的单价为x 元，乙种奖品的单价为y 元，依题意得：2402370x y x y += +=， 解得：2010x y = =． 答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；【小问2详解】解：设购买甲种奖品m 件，则购买乙种奖品()60m −件， 依题意得：()1602m m ≥−， 解得：20m ≥，2060m ∴≤≤，设该中学购买60件奖品的总费用为w 元，的则()20106010600w m m m =+×−=+，100> ，w ∴随m 的增大而增大，∴当20m =时，w 取得最小值，最小值1020600800=×+=，此时6040m −=．答：当购买甲种奖品20件、乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一次函数关系式．20. 如图，AC 为平行四边形ABCD 的对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，连接EF ，AC EF ⊥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BD 交AC 于点O ，若E 为AB 中点，4BD =，1tan 2ABD ∠=，求OE 的长．【答案】（1）见解析 （2）OE =【分析】（1）证明ABC 为等腰三角形，得到BA BC =，即可得证；（2）根据菱形的性质，得到1tan 2OA ABD OB ∠==，求出OA 的长，勾股定理求出AB 的长，利用斜边上的中线，即可得出结果．【小问1详解】证明：= AE AF ， AEF AFE ∴∠=∠，AC EF ⊥ ，BAC DAC ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，CAD ACB ∴∠=∠，BAC BCA ∴∠=∠，ABC ∴ 为等腰三角形，BA BC ∴=，∴四边形ABCD 是菱形；【小问2详解】解：如图，连接OE ，四边形ABCD 是菱形，4BD =，OA OC ∴=，122OBOD BD ===，AC BD ⊥， 90AOB ∠=°∴， 1tan 2OA ABD OB ∠== ， 112OA OB ∴==，AB ∴===，若E 为AB 的中点，则12OE AB ==． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解直角是三角形，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关性质，以及锐角三角函数的定义，是解题的关键．21. 如图，在矩形OABC 中，3OA =，4AB =，反比例函数(0)k yk x=>的图象与矩形两边AB 、BC 分别交于点D 、点E ，且2BD AD =．（1）反比例函数的解析式；（2）若点P 是线段OC 上的一个动点，是否存在点P ，使90APE ∠=°？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4y x= （2）存在要求的点P ，坐标为()1,0或()3,0【分析】(1)由矩形$OABC $中，4,2AB BD AD ==，可得34AD =，即可求得$AD $的长，然后求得点D 的坐标，即可求得k 的值；(2)首先假设存在要求的点P 坐标为(),0,,4m OP m CP m ==−，由90APE °∠=，易证得AOP PCE △∽△，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m 的值，继而求得此时点P 的坐标．【小问1详解】4AB = ，2BD AD =，234AB AD BD AD AD AD ∴=+=+==，43AD ∴=， 又3OA = ，433D ∴，， 点D 在双曲线k y x=上， 4343k ∴=×=， 4y x∴=； 【小问2详解】假设存在要求的点P 坐标为()0m ,，OP m =，4CP m =−． 90APE ∠=° ，90APO EPC ∴∠+∠=°，又90APO OAP ∠+∠=° ，EPC OAP ∴∠=∠，又90AOP PCE ∠=∠=° ，AOP ∴△∽PCE ，OA OP PC CE∴=，341m m ∴=−， 解得：1m =或3m =，∴存在要求的点P ，坐标为()1,0或()3,0．【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点D 的坐标与证得AOP PCE △∽△是解此题的关键．22. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连结AC ，过 BD上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连结AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连结CE ．（1）求证：△ECF ∽△GCE ；（2）求证：EG 是⊙O 的切线；（3）延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan ∠G ＝34，AH ＝3，求EM 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）258EM =. 【分析】（1）根据平行线的可得∠G ＝∠ACG ，再根据圆周角定理可得∠CEF ＝∠ACG ，即∠G ＝∠CEF ，然后根据三角形相似的判定即可得证；（2）连接OE ，根据等腰三角形的性质可得∠GFE ＝∠GEF ＝∠AFH ，∠OAE ＝∠OEA ，根据题意可得∠AFH +∠F AH ＝90°，即∠GEF +∠AEO ＝90°，然后切线的判定即可得证；（3）如图3中，连接OC ，设⊙O 的半径为r ，在Rt △AHC 中，利用三角形函数求得HC=4，在Rt △HOC 中，利用勾股定理列出关于r 的方程，求解方程得到r=256，然后根据平行线的性质得到∠CAH ＝∠M ，进而证明△AHC ∽△MEO ，再利用相似三角形的性质求解即可.【详解】（1）证明：如图1中，∵AC∥EG，∴∠G＝∠ACG，∵AB⊥CD，∴ AD＝ AC，∴∠CEF＝∠ACG，∴∠G＝∠CEF，∵∠ECF＝∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE，∵GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵∠AFH+∠F AH＝90°，∴∠GEF+∠AEO＝90°，∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC，设⊙O的半径为r，在Rt △AHC 中，tan ∠ACH ＝tan ∠G ═AH AC， ∵AH ＝3，∴HC ＝4， 在Rt △HOC 中，∵OC ＝r ，OH ＝r ﹣3，HC ＝4，∴（r ﹣3）2+42＝r 2，∴r ＝256∵GM ∥AC ，∴∠CAH ＝∠M ，∵∠OEM ＝∠AHC ，∴△AHC ∽△MEO ， ∴AH HC EM OE=， ∴34256EM=， 解得：258EM =. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质和三角形函数等，综合性强，难度较大，属于中考压轴题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.23. 如图，已知抛物线232y ax x c =−+与x 轴交于点点(4,0)A −，(1,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使QB QC +最小？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为点D ，连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．【答案】（1）213222y x x =−−+ （2）存在，35(,)24Q − （3）点P 的坐标为(3,2)−或325(,)28− 【分析】（1 （2）找到点B 关于对称轴对称的点A ，连接AC 交对称轴于一点即为Q ，求AC 所在直线解析式，即可求解；（3）当PCD 与ACO △相似时，则PCD CAO ∽或PCD ACO △∽△，故分分类讨论即可：①若PCD CAO ∽，则PCD CAO ∠=∠，可推出点P 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，由点P 为AC 上方抛物线上的动点，得关于x 的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若PCD ACO △∽△，则PCD ACO ∠=∠，PD CD AO CO=，过点A 作AC 的垂线，交CP 的延长线于点G ，过点G 作GH x ⊥轴于点H ，判定GAC PDC △∽△，GHA AOC △∽△，由相似三角形的性质得比例式，解得点G 的坐标，从而可得直线CG 的解析式，求得直线CG 与抛物线的交点横坐标，再代入直线CG 的解析式求得其纵坐标，即为此时点P 的坐标．【小问1详解】解： 抛物线232y ax x c =−+与x 轴交于点(4,0)A −，(1,0)B ，∴316(4)0232ac a c −×−+= −+= ， 解得122a c=− = ，∴抛物线的解析式为213222y x x =−−+；【小问2详解】 存在，如图：∵A ，B 关于对称轴对称， ∴QA QB =，∴QB QC QA QC +=+， ∴QB QC +的最小值为AC ， ∴AC 与对称轴的交点即为所求：由（1）可知，对称轴为：3321222()2b x a −=−=−=−×−，(0,2)C ， (4,0)− A ，(0,2)C ， AC ∴所在直线解析式为：122y x =+， 令32x =−，135()2224y ×−+，3(2Q ∴−，5)4；【小问3详解】点(4,0)A −，(1,0)B ，4∴=OA ，1OB =， 在抛物线213222y x x =−−+中，当0x =时，2y =， (0,2)C ∴， 2OC ∴=，AC ∴PD AC ⊥ ，90PDC AOC ∴∠=°=∠，∴当PCD ∆与ACO ∆相似时，则PCD CAO ∽或PCD ACO △∽△，①若PCD CAO ∽，则PCD CAO ∠=∠，CP AO ∴∥，(0,2)C ，∴点P 的纵坐标为2，点P 为AC 上方抛物线上的动点，2132222x x ∴=−−+， 解得：10x =（不合题意，舍去），23x =−， ∴此时点P 的坐标为(3,2)−；②若PCD ACO △∽△，则PCD ACO ∠=∠，PD CD AO CO=， ∴422PD AO CD CO ===，过点A 作AC 的垂线，交CP 的延长线于点G ，过点G 作GH x ⊥轴于点H ，如图：PD AC ⊥ ，GA AC ⊥，GA PD ∴∥，GAC PDC ∴△∽△， ∴GA AC PD CD=， ∴2GA PD AC CD==， GA AC ⊥ ，GH x ⊥轴，90GAC GHA ∴∠=∠=°，90AGH GAH ∴∠+∠=°，90GAH CAO ∠+∠=°，AGH CAO ∴∠=∠，90GHA AOC ∠=∠=° ，GHA AOC ∴△∽△， ∴GH AH GA AO CO AC==， 即242GH AH ==， 8GH ∴=，4AH =，8HO AH OA ∴=+=，(8,8)G ∴−，设直线CG 的解析式为324y x =−+， 令231322422x x x −+=−−+， 解得：10x =（不合题意，舍去），232x =−， 把32x =−代入324y x =−+得：333252()24428y x =−+=−×−+=，∴此时点P 的坐标为3(2−，25)8， 综上所述，符合条件的点P 的坐标为(3,2)−或3(2−，25)8． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．。
精品解析：2023年广东省东莞市中考一模数学试卷(解析版)
2022−2023学年初三第一次模拟考试数 学说明：1．全卷共4页．满分为120分，考试用时为90分钟．2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔认真填写姓名、班级、座位号．使用机读答题卡的科目，要按要求认真填涂有关信息．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内，超出无效；如需改动，先划掉原来的答案，后在旁边写新答案，不准使用涂改液，不轻易更换答题卡．一、选择题（本大题共30小题，每小题3分，共30分．在各题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 2-的相反数是（ ）A 2 B. 2- C. 12- D. 12【答案】A【解析】【分析】根据互为相反数的两数之和为0，即可得出结果．【详解】解：2-的相反数是：()2=2--，故选：A ．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．2. 下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，并结合图形的特点求解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；.D 、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．3. 国家统计局发布2021年国内生产总值达到1140000亿元，比上年增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为（ ）A. 411410⨯ B. 511.410⨯ C. 61.1410⨯ D. 51.1410⨯【答案】C【解析】【分析】1140000用科学记数法表示成10n a ⨯的形式，其中 1.14a =，6n =，代入可得结果．【详解】解：1140000的绝对值大于10表示成10n a ⨯的形式，∵ 1.14a =，716n =-=，∴1140000表示成61.1410⨯，故选C ．【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定a n 、的值．4. 如图是由若干个完全相同的立方体搭成的几何体，该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图的定义，找到左视图对应的图形，即可．【详解】由立体几何得，该几何体的左视图为：，故选：A ．【点睛】本题考查三视图的知识，解题的关键是三视图的定义．5. 下列计算结果正确的是（ ）A. a +a 2＝a 3B. 2a 6÷a 2＝2a 3C. 2a 2•3a 3＝6a 6D. (2a 3)2＝4a 6【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，积的乘方法则逐项分析即可.【详解】解：A. a 与a 2不是同类项，不能合并，故不正确；B. 2a 6÷a 2＝2a 4，故不正确；C. 2a 2•3a 3＝6a 5，故不正确；D. (2a 3)2＝4a 6，正确；故选D.【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.6. 某校5位同学在“国学经典诵读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88．这组数据的中位数是（ ）A. 86B. 88C. 90D. 95【答案】C【解析】【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．【详解】解：将5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97，所以这组数据的中位数为90分，故选：C ．【点睛】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．7. 如图所示，直线,231,28a b A ∠=∠=︒︒∥，则1∠=（ ）A. 61︒B. 60︒C. 59︒D. 58︒【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角的性质求出DBC ∠，再利用两直线平行内错角相等即可求出1∠．【详解】28A ∠=︒ ，231∠=︒，283159DBC ∴∠=︒+︒=︒，直线//a b ，159DBC ∴∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握和运用这些性质是解题关键．8. 在数轴上表示不等式组201x x +⎧⎨≤⎩＞的解，其中正确的是（ ）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而用数轴表示出解集即可．【详解】解：解不等式20x +>，得：2x >-，∴不等式组的解集为21x -<≤，将不等式组的解集表示在数轴上如下：，故选：B．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．9. 如图，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的正切值是（ ）A. B. 12 C. 13 D. 【答案】C【解析】【分析】过点B 作BC AO ⊥于点C ，连接AB 并延长，过点O 作OD AB ⊥交AB 延长线于点D ，根据勾股定理可求出AO =，BO =，设CO x =，再由勾股定理可求出x 的值，从而求出OC BC ，，即可AOB ∠的正切值．【详解】解：如图，过点B 作BC AO ⊥于点C ，连接AB 并延长，过点O 作OD AB ⊥交AB 延长线于点D ，在Rt ADO △中，∵90ADO ∠=︒，4=AD ，2DO =，∴由勾股定理可知：AO ==，同理，在Rt BDO △中，由勾股定理可知：BO =，设CO x =，在Rt BCO △中，由勾股定理可知：(22222BC BO CO x =-=-；同理，在Rt ACB △中，()()222AC AO CO x =-=，2AB =，∴()222222BC AB AC x =-=-，∴(()22222x x -=-，∴()228420x x -=--+，解得：x =CO =∴BC ==∴1tan 3BC AOB OC ∠==，故选：C ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．10. 如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC ，分别交BC 、BD 于E 、F ，下列结论：①△ABF ∽△ACE ；②BD =AD +BE ；③23BE CE =；④若△ABF 的面积为1，则正方形ABCD的面积为3+．其中正确的结论的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据平分线的意义可得CAE BAF ∠=∠，正方形的性质可得45ACE ABF ∠=∠=︒，即可证明△ABF ∽△ACE ，进而判断①；根据三角形的外角和的性质，以及①的结论可得DAF DFA ∠=∠，进而可得DF DA =，同理可得BFE BEF ∠=∠，进而可得BF BE =，即可判断②，设,BE a EC b ==，结)a b a a b +=++，即可求得BE CE =ADF EBF V V ∽，根据③的结论可得EF AF =，根据等底的两个三角形的面积比，可得BEF S V =，进而求得ACE ABE S CE S BE==V V ABCD 的面积为2ABC S V ，即可判断④【详解】解： AE 平分∠BAC ，CAE BAF∴∠=∠ 四边形ABCD 是正方形，,AC BD 是对角线45ACE ABF ∴∠=∠=︒，//AD BC∴△ABF ∽△ACE ；故①正确；45,45DAF DAO OAF OAF DFA FAB ABF FAB ∠=∠+∠=︒+∠∠=∠+∠=︒+∠,CAE BAF∠=∠DAF DFA∴∠=∠DF DA∴=//AD BC,BEF DAF DFA BFE∴∠=∠∠=∠BFE BEF∴∠=∠BF BE∴=BD BF DF BE AD∴=+=+∴BD =AD +BE ；故②正确设,BE a EC b==∴)BD a b =+ BD =AD +BE；)a b a a b+=++a b ∴==BE CE ∴=故③不正确；BE CE =BE BE AD BC ∴== //AD BEADF EBF∴V V∽EF AF ∴=BEF AFB S EF S AF ∴==V V △ABF 的面积为1，∴BEF SV =1ABE S ∴=+=V ACE ABE S CE S BE==V V ∴正方形ABCD 的面积为2ABC SV (21=+=4+．故④不正确故选B 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）11. 分解因式：3312m m -=______．【答案】()()322m m m +-【解析】【分析】首先提公因式3m ，然后利用平方差公式分解即可；【详解】解：3312m m-()234m m =-()()322m m m =+-．故答案为：()()322m m m +-．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．12. 已知圆锥的底面半径是5cm ，母线长10cm ，则侧面积是______2cm ．【答案】50π【解析】【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：()2510cm ππ⨯=，则圆锥的侧面积是：2)1101052(0cm ππ⨯⨯=，故答案是：50π．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．13. 在阳光下，高为6m 的旗杆在地面上的影长为4m ，在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为20m ，则这座建筑物的高度为_________m ．【答案】30【解析】【分析】设建筑物高为m x ，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同列出关于x 的方程，然后求解方程即可.【详解】解：设建筑物高为m x ，根据题意可得：6420x =，解得：30x =故答案为：30【点睛】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记同时同地物高与影长成正比例是解题的关键．14. 如图，将直角三角板ABC 放在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(2，1)，(7，1)，将三角板ABC 沿x 轴正方向平移，点B 的对应点B '刚好落在反比例函数y =10x(x >0)的图象上，则点C 平移的距离CC '=_______．【答案】3【解析】【分析】先根据平移的性质得到点B'的纵坐标为1，BB′=CC′，则利用反比例函数解析式可确定B'（10，1），则BB'=3，从而得到CC'的长度．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（2，1），（7，1）．将三角板ABC沿x轴正方向平移，∴点B'纵坐标为1，BB′=CC′，当y=1时，10x=1，解得x=10，∴B'（10，1），∴BB'=10-7=3，∴CC'=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了平移的性质．15. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第7行从左至右第3个数是____________．【答案】【解析】【分析】图形可知，第n=的【详解】解：由图形可知，第n =∴第6=则第7行从左至右第3==，故答案为：【点睛】本题主要考查数字的变化类，二次根式的性质化简，解题的关键是根据题意得出第n 行最后一个．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分．）16. 计算：()12023112cos3013-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭ ．【答案】1【解析】【分析】先计算乘方，并把特殊角三角函数值代入，化简绝对值，然后计算乘法，最后计算加减即可．【详解】解：()12023112cos3013-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭1213=---+113=-+-+1=．【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂运算法则，熟记特殊角的三角函数关系是解题的关键．17. 先化简，再求值：21(1211a a a a ÷-+++，其中a 1-．【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=-1代入进行计算即可【详解】原式=()21111a a a a a +⨯=++把a 1-代入原式【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．18. 如图，BD 是矩形ABCD 的一条对角线．（1）作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD ，BC 于点E 、F ，垂足为点O （要求用尺规作图，保留作图痕迹．不要求写作法）；（2）若8BC =，4CD =，求BF 的长．【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）分别以B 、D 为圆心，以大于BD 一半的长为半径上下画弧，上下各有一个交点，这两点的连线即为所求；（2）连接FD ，根据垂直平分线的性质得出BF DF =，设BF x =，则8CF x =-，利用勾股定理求解即可．【小问1详解】解：如图所示：直线EF 即为所求；【小问2详解】证明：连接FD ，EF 垂直平分线段BD ，BF DF ∴=，8BC = ，4CD =，90C ∠=︒∴设BF x =，则8CF x =-，222CF CD DF += 即2224)8(x x -+=，解得：5x =，BF ∴的长为5．【点睛】本题综合考查了尺规作线段的垂直平分线、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理解三角形等，熟记作图步骤，灵活运用线段垂直平分线的性质和判定进行线段关系的转化是解题关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．）19. 我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，丰都某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《研学旅行》开展以来引起广泛关注，九年级2班数学兴趣小组对本班同学对《研学旅行》课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）九年级2班共有学生 名；（2）九年级共有学生1200人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D 类的大约有多少人？（3）该校德育处决定从九年级二班调查的A 类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若在调查的A 类4人中，刚好有2名男生2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率．【答案】（1）40（2）180人（3）23【解析】【分析】（1）利用很喜欢的人数除以所占百分比，即可求出总人数；（2）利用九年级总人数乘以D 类学生的占比，进行求解即可；（3）画出树状图，求出概率即可．【小问1详解】解：由图可知，选择A 类的学生有4人，占总人数的10%，因此九年级2班共有学生410%40÷=（名）；故答案为：40；【小问2详解】解：B 类学生人数为4045%18⨯=（人），∴D 类学生人数为40418126---=（人），6120018040⨯=（人）；∴估计九年级学生选择D 类的大约有180人．【小问3详解】解：画树状图如下：所有等可能的结果共有12种，其中抽到的一男一女的结果数为8，∴抽到的一男一女的概率为82123=．【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用树状图法求概率．从统计图中有效的获取信息，熟练掌握树状图法求概率的方法，是解题的关键．20. 某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等．（1）求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？（2）经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠．如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，那么公司最多可购买多少盏台灯？【答案】（1）购买一个台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元（2）公司最多可购买20个该品牌的台灯【解析】【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x 元，则购买一个台灯需要()50x +元，根据用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等，即可列出方程；（2）设公司购买台灯的个数为a ，则还需要购买手电筒的个数是28a +，根据购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠，购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，即可列出不等式．【小问1详解】设购买该品牌一个手电筒需要x 元，则购买一个台灯需要()50x +元，根据题意得2409050x x=+解得30x =经检验，30x =是原方程的解所以50305080x +=+=答：购买一个台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元；小问2详解】设公司购买台灯的个数为a ，则还需要购买手电筒的个数是28a +，由题意得：()8030282440a a a ++-≤解得20a ≤答：公司最多可购买20个该品牌的台灯．【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是能够根据题意，找到等量关系和不等关系．21. 如图在平面直角坐标系xOy 中，直线AB ：2y x =-与反比例函数k y x=的图像交于A 、B 两点与x 轴相交于点C ，已知点A ，B 的坐标分别为()3,n n 和(),3m -．（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式2k x x-＞的解集；【（3）点P 为反比例函数k y x =图像的任意一点，若3POC AOC S S =△△，求点P 的坐标．【答案】（1）3y x =（2）10x -＜＜或3＞x（3）()1,3或()1,3--【解析】【分析】（1）把点A ()3,n n 代入直线2y x =-得：32n n =-，求出点A 的坐标，再代入反比例函数关系即可作答；（2）先求出B 点坐标，再根据A 、B 的坐标，数形结合即可作答；（3）先求出点C 的坐标为：()2,0，即2OC =，可得112AOC A S OC y =⨯⨯=V ，即3POC S =△，再根据12POC P S OC y =⋅△，可得3122P y ⨯⋅=，即有3P y =，问题随之得解．【小问1详解】把点A ()3,n n 代入直线2y x =-得：32n n =-，解得：1n =，∴点A 的坐标为：()3,1，∵反比例函数k y x =的图象过点A ，∴313k =⨯=，即反比例函数的解析式为3y x =，【小问2详解】把点B (),3m -代入直线2y x =-得：32m -=-，解得：1m =-，∴点B 的坐标为：()1,3--，结合点A 的坐标为：()3,1，数形结合，不等式2k x x-＞的解集为：10x -＜＜或3＞x ；【小问3详解】把0y =代入2y x =-得：02x =-，解得：2x =，即点C 的坐标为：()2,0，即2OC =，结合点A 的坐标为：()3,1，∴112AOC A S OC y =⨯⨯=V ，∵3POC AOC S S =△△，即：3POC S =△，∵12POC P S OC y =⋅△，即3122P y ⨯⋅=，∴3P y =，当点P 的纵坐标为3时，则33x=，解得1x =，当点P 的纵坐标为3-时，则33x -=，解得=1x -，∴点P 的坐标为()1,3或()1,3--．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分．）22. 如图，AB 是O e 的直径，点C 、D 在O e 上，且AD 平分CAB ∠，过点D 作AC 的垂线，与AC 的延长线相交于E ，与AB 的延长线相交于点F ，G 为AB 的下半圆弧的中点，DG 交AB 于H ，连接DB 、GB ．（1）证明：EF 是O e 的切线；（2）若圆的半径5R =，3BH =，求GH 的长；（3）求证：2DF AF BF =⋅．【答案】（1）见解析 （2（3）见解析【解析】【分析】（1）连接OD ，证明OD EF ⊥即可由切线的判定定理得出结论；（2）连接OG ，因为G 半圆弧中点，所以90BOG ∠=︒，在Rt OGH V 中，根据勾股定理求解即可；（3）证明FBD FDA △△∽，得FD FB FA FD=，即可得出结论．【小问1详解】解：证明：连接OD ，OA OD = ，OAD ODA ∠=∠∴，又AD 平分BAC ∠，OAD CAD ∴∠∠＝，ODA CAD ∴∠∠＝，OD AE ∴∥，又EF AE ⊥ ，OD EF ⊥∴，∴EF 是O e 切线；【小问2详解】解：连接OG ，∵G 是半圆弧中点，90BOG ∴∠=︒，在Rt OGH V 中，5OG =，532OH OB BH =-=-=．是的∴GH ==．【小问3详解】证明：∵AB 是O e 的直径，90ADB ∴∠=︒，90DAB OBD ∴∠+∠=︒，由（1）得，EF 是O e 的切线，90ODF ∴∠=︒，90BDF ODB ∴∠+∠=︒，OD OB = ，ODB OBD ∴∠=∠，DAB BDF ∴∠=∠，又F F ∠=∠，FBD FDA ∴∽V V ，∴FD FB FA FD=， 2DF AF BF ⋅=∴．【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关性质与判定定理．23. 如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交点C ，连接,AC BC ，顶点为M ．（1）求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）若D 是直线BC 上方抛物线上一动点，连接OD 交BC 于点E ，当DE OE的值最大时，求点D 的坐标；（3）已知点G 是抛物线上的一点，连接CG ，若GCB ABC ∠=∠，求点G 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为213222y x x =-++，M 的坐标为325(,28 （2）(2,3)（3）点G 的坐标为(3,2)或1750(,39-【解析】【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式即可求出顶点M 的坐标；；（2）过D 作FD AB ∥交BC -于F ，求出设直线BC 的解析式，设213(,2)22D t t t -++，则1(,2)2F t t -+，根据DEF OEC ∆V V ∽列出DE OE的函数解析式求解即可；（3）分点G 在BC 上方和点G 在BC 上方两种情况求解即可．【小问1详解】将(1,0)A -、(4,0)B 代入22y ax bx =++得，0201642a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为213222y x x =-++，∵213222y x x =-++21325(x )228=--+， ∴顶点M 的坐标为325(,)28；【小问2详解】如图，过D 作FD AB ∥交BC 于F ，设直线BC 为2,y kx =+，把点(4,0)B 代入得122y x =-+设213(,2)22D t t t -++，则1(,2)2F t t -+，∴2122DF t t =-+∵FD AB∥∴DEF OEC ∆V V ∽， ∴21t 222t DE DF OE OC -+===2211t 4t 2144t -+=--+（）， ∴当2t =时，DE OE 有最大值为1； 此时2132322t t -++=∴点D 的坐标为(2,3)【小问3详解】当点G 在BC 上方时，过C 作CG AB ∥交抛物线于G ，∵GCB ABC∠=∠∴CG AB∥∴2G y =∴2132222x x -++=∴0x =（舍去）或3x =当点G 在BC 下方时，GC 交x 轴于H ∵GCB ABC∠=∠∴GH BH=设(,0)H u 则2222(8)u u +=-∴32u =∴3(,0)2H 设直线GC 为2y kx =+把3(,0)2H 代入得423y x =-+由242313222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得02x y =⎧⎨=⎩（舍去）或173509x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴1750(,)39G '-，综上所述，若GCB ABC ∠=∠，点G 的坐标为(3,2)或1750(,39-．【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数图象上点坐标的特征、勾股定理、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键．。
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广东省东莞市数学中考一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2019·江北模拟) 下列判断中，你认为正确的是（）A . 0的倒数是0B . 是分数C . 大于1D . 的值是±22. （2分） (2018七上·港南期中) 有下列说法：①任何实数都可以用分数表示；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；④ 是分数，它是有理数．其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分） (2018·兰州) 下列计算正确的是（）A .B .C .D .4. （2分）分式方程的解为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）(2014·北海) 甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，每人各射击20次，他们射击成绩的平均数都是9.1环，各自的方差见如下表格：甲乙丙丁方差0.2930.3750.3620.398由上可知射击成绩最稳定的是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁6. （2分） (2019八上·大连月考) 如图，在锐角△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，CD,BE交于点P，∠A=50°，则∠PBC的度数是（）A . 150°B . 130°C . 120°D . 100°7. （2分）如图，在▱ABCD中，过A点作高，垂足刚好为点C，AC=2，∠B=30°，则▱ABCD的周长是（）A . 8+4B . 4+2C . 8D . 48. （2分） (2018七上·鄂城期末) 某商店以每件a元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损20%，那么商店卖出这两件衣服总的情况是（）A . 盈利0.05a元B . 亏损0.05a元C . 盈利0.15a元D . 亏损0.15a元9. （2分）一次函数（,是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020八上·青岛期末) 一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为（）A . 13B .C .D .二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分）(2020·哈尔滨模拟) 因式分解：x2-2x2y+xy2=________。
12. （1分）(2020·铁岭) 伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000科学记数法表示为________.13. （1分） (2017九上·岑溪期中) 函数y= 中，自变量x的取值范围是________．14. （1分）反比例函数的图象经过点（2，－1），则k的值为________.15. （1分） (2019八上·呼兰期中) 如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB=20，CF=12，则BD=________·16. （1分） (2017八下·海淀期末) 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为________17. （1分） (2020八上·新泰期末) 如图，在三角形纸片中， ,折叠纸片，使点落在边上的点处，折痕与交于点，则折痕的长为________；18. （1分） (2020八下·大石桥期末) 如图，平行四边形的对角线AC与BD相较于点O，，垂足为，，，，则的长为________.三、解答题 (共10题；共107分)19. （5分）(2018·灌云模拟) 化简：20. （15分）解下列方程：（1） 2x2﹣4x﹣5=0．（2） x2﹣4x+1=0．（3）（y﹣1）2+2y（1﹣y）=0．21. （5分） (2019八上·新疆期末) 如图，∠1=∠2，∠ C=∠D，求证：AC=AD.22. （5分）(2018·青岛) 小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．23. （15分） (2017八下·临沭期末) 我市某中学今年年初开学后打算招聘一名数学老师，对三名前来应聘的数学老师A、B、C进行了考核，他们的笔试成绩和说课成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1，A B C笔试859590说课8085（1）请将表和图1的空缺部分补充完整；（2）应聘的最后一个程序是由该校的24名数学教师进行投票，三位应聘者的得票情况如图2（没有弃权票，该校的每位教师只能选一位应聘教师），请计算每人的得票数（得票数可是整数哟）（3）若每票计1分，该校将笔试、说课、得票三项测试得分按3：4：3的比例确定个人成绩，请计算三位应聘者的最后成绩，并根据成绩判断谁能应聘成功．24. （10分） (2019九上·景县期中) 如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径。
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值。
25. （10分） (2019·石家庄模拟) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，点P在⊙O上，且PD∥CB ，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．26. （15分） (2017八下·新野期中) 一个容积为400升的水箱，安装两个有A、B进水管向水箱注水，注水过程中A水管始终打开，两水管进水的速度保持不变，当水箱注满时，两水管自动停止注水，注水过程中水箱中水量y（升）与A管注水时间x（分）之间的函数图象如图所示.（1）分别求出A、B两注水管的注水速度.（2）当8≤x≤16时，求y与x之间的函数关系式.（3）当两水管的注水量相同时，直接写出x的值.27. （12分） (2018八上·婺城期末) 定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”（1）判断下列两个命题是真命题还是假命题填“真”或“假”等边三角形必存在“和谐分割线”如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”．命题是________命题，命题是________命题；（2）如图2，，，，，试探索是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由．（3）如图3，中，，若线段CD是的“和谐分割线”，且是等腰三角形，求出所有符合条件的的度数．28. （15分）(2019·河南模拟) 如图，已知一次函数y1＝k1x＋b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C，D两点，且D(2，－3)，OA＝2.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式k1x＋b－≥0的解集；（3）动点P(0，m)在y轴上运动，当|PC－PD|的值最大时，请写出点P的坐标．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共8题；共8分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：三、解答题 (共10题；共107分)答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、答案：23-3、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、考点：解析：答案：26-1、答案：26-2、答案：26-3、考点：解析：答案：27-1、答案：27-2、答案：27-3、考点：解析：答案：28-1、答案：28-2、答案：28-3、考点：解析：。