高等数学-无穷级数小结
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质1. 定义：对数列 u 1,u 2,L ,u n L ， u n 称为无穷级数， u n 称为一般项；若部分和 n1数列｛&｝有极限S ，即limS n S ，称级数收敛，否则称为发散.n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 u n 与 cu n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 u n 与 v n ，若 u n s ，v n，则 (u n v n ) s ；n1n1n1n1n1若 u n 收敛，v n 发散，则 (u n v n ) 发散；n1n1n1若 u n ，v n 均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 u n 收敛的必要条件： lim u n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 u n 发散，则 lim u n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 u n 0 ，则 u n 称为正项级数 .n1② 审敛法：i ) 充要条件：正项级数 u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界②若 lim u n0 ，则 u n 未必收敛；n1(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄)，则若②n 1 n 1收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①发散；1B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n—p (n 1,2丄)，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与v n②都是正项级数，若lim l(0 l )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性n 1 n 1注：常用的比较级数：a①几何级数：ar n1 1 r r 1n 1 发散r| 1②p级数：［收敛P 1时.n 1 np发冃攵P 1时，③调和级数：丄1 1 1发散.n 1 n 2 n(iii )比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim也r 1，则a n收敛；②lim也r 1，则a.发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 也1，或lim ：恳1,推不出级数的敛散.例1与2，虽然佃乩1，nan n n 1 n n 1n n a.lim n a n 1，但丄发散，而 $收敛•n' n 1 n n 1 na n是正项级数，lim , a n ，若1，级数收敛,n(iv )根值判别法(柯西判别法)设若 1则级数发散.(v )极限审敛法：设U n 0，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l 0且p 1，则级数u n 发nnn 1散；②如果p 1，而limn%. 1(0 l ),则其收敛.(书上P317-2- n(1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件. 2. 交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则 (1)n 1U n 称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数 (1)n1U n ，若U nn 1收敛.注：比较u n 与u n 1的大小的方法有三种: ① 比值法，即考察是否小于1；u n② 差值法，即考察u n u n 1是否大于0； ③由u n 找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n),(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3. 一般项级数的判别法： ①若u n 绝对收敛，则 u n 收敛.n 1n 1②若用比值法或根值法判定 |u n I 发散，则 u n 必发散.n 1n 1三、幕级数 1. 定义： a n x n称为幕级数•n 02. 收敛性① 阿贝尔定理：设幕级数 a n x n在X 。
第4章 无穷级数内容小结
(x
x0
)n
为 f x 在点 x0 处的泰勒级数.
当泰勒公式
5
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
中的余项 Rn (x) 0(n ) 时，泰勒级数收敛于 f (x) ，即
n1
i 1
为级数 un 的部分和. n1
若
lim
n
sn
s 存在，则称级数 un 收敛， s 称为级数 un 的和，记作 un
n1
n1
n1
s，
此时称 rn s sn 为级数 un 的余项. n1
收敛的充分必要条件：
un
n1
收敛
n
（或为 ），
则当 1时， un 收敛；当 1（或 ）时， un 发散；当 1时， un 的敛
n1
n1
n1
散性不能肯定.
④根值审敛法（柯西判别法）
设
n1
un
是正项级数，若
lim
n
n
un
（或为 ），
则当 1时， un 收敛；当 1（或 ）时， un 发散；当 1时， un 的敛散
原级数有相同的收敛半径 R . 但在收敛区间的端点 x R 处收敛性可能改变.
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
无穷级数的知识点总结
；
时，收敛区间为
。
例 27。求
的收敛半径及区间。
注意：当所给的级数有缺项时，一般不能用定理的方法来求其收敛半径及区间， 而应该用达朗贝尔比值审敛法来求。
解：
（1）如果
时，即
时，则
收敛；
（2）如果 （3）又在端点
时，即
时，则
发散；所以，R=1.
收敛。所以，收敛区间为
。
例 28．求幂级数
的收敛区间
解：令
；（2）
；（3）
也发散）。 的敛、散性。
解：（1）
，而
收敛，所以，
绝对收敛。
（ 2） 因 为 也发散（？）
（3）原级数为交错级数，经判断收敛。但
，所以，
发散，从
发散，故：
为条件收敛。
例 15。研究 解：（一）当
（二）当
的 敛、散性。 时，级数显然收敛，且为绝对收敛； 时，
（1）当 （2）当 （3）当
（1）
（？），如果
，则原级数发散，问题得到解决。
（2）若
，则考察
，若
收敛，则
必也收敛。（此时称
绝对收敛），问题得到解决。
（3）若
，且考察
后，知
发散，这时还要考察
是否收敛。（如果经考察
收敛，则称之为条件收敛），问题得到解决。 （但
若是用达朗贝尔判别出
发散，就可直接得出
例 14。判别下述级数的敛、散性
（1）
（二）将
代入（20）式，得：
之和。 。---（20）
例 41.求级数 解：设幂级数
的和
，其收敛域为
则
又
；
设
则
所以， 从而
小结无穷级数
∑a
n =1
n
收敛 .
数项级数的审敛法
一.正项级数及其审敛法 正项级数及其审敛法 每一项都非负 定理1(基本定理 正项级数 定理 基本定理)正项级数 基本定理 其部分和数列有界 定理2(比较审敛法 定理 比较审敛法) 比较审敛法 设
∞
∑u
件是
∞
∑u
n =1 ∞ n =1
1 1 1 例: p-级数的敛散性 1 + p + p + ⋅ ⋅ ⋅ + p + ⋅ ⋅ ⋅ 级数的敛散性 2 3 n
解
级数显然发散. 级数显然发散 p ≤ 0 时,级数显然发散 ∞ 1 1 1 0 < p ≤ 1 时, 因为 p ≥ , 而 ∑ 发散 则 p-级数发散 发散,则 级数发散 n n n =1 n p > 1 时,
定理3(比较审敛法极限形式 定理 比较审敛法极限形式) 比较审敛法极限形式
un 都是正项级数, 设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数 如果 lim v = l (0 < l < +∞) n→∞ n =1 n =1 n ∞ ∞
则
∞
∞
∑u
n =1 ∞
n
和
∑v
n =1
n
同时收敛或同时发散. 同时收敛或同时发散
性质5.(级数收敛必要条件 性质 级数收敛必要条件) 级数收敛必要条件 收敛,则 n→∞ 若级数 ∑ u n 收敛 则 lim un = 0
n =1 ∞ n =1 ∞
判断级数发散 的第一步骤
注意:(1). 若 lim un ≠ 0 ,则级数 ∑ u n 发散 注意 则级数 n →∞ (2). lim un = 0 时,级数 ∑ u n 不一定收敛 级数 n →∞
小结无穷级数
性质5.(级数收敛必要条件)
若级数 收敛,则
注意:(1). 若 ,则级数 发散
(2). 时,级数 不一定收敛
判断级数发散 的第一步骤
证
单调
有界
则
同理
交错级数
例如
收敛且S<1
如果
则
2. 绝对收敛与条件收敛
对于一般的任意项级数
考虑
正项级数
收敛,则
绝对收敛
收敛,而 发散,则
条件收敛
例如
绝对收敛
条件收敛
定理7. 如果 绝对收敛,则 必收敛
证
设
则
由
收敛知
收敛
为幂级数的系数 .
即是此种情形.
的情形, 即
称
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发 散
发 散
收 敛
收敛
发散
定理 1. ( Abel定理 )
若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
的一切 x , 该幂级数也发散 .
四、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,
再讨论
• 非标准形式幂级数
通过换元转化为标准形式
直接用比值法或根值法
处的敛散性 .
求下列级数的敛散区间:
例13:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解:
当
因此级数在端点发散 ,
时,
时原级数收敛 .
故收敛区间为
例如:调和级数
但级数发散
(2)
不存在
级数发散
例3. 判断级数敛散性:
无穷级数知识点总结
无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。
一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。
无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。
如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。
下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。
即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。
3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。
无穷级数知识点总结简短
无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。
2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。
如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。
3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。
这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。
4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。
这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。
5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。
总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。
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特殊情况
n1
n1
(1)lim un 0, n vn
相当于 un vn
(2)lim n
un vn
, 相当于 un
vn
4 (D'Alembert)（比值判别法）
设正项级数 un ,
n1
且 lim n
un1 l un
则
(1) l 1（含0）时收敛
(2) l 1（含）时发散
注意:
1.比值 审敛法比较适合an及n!
n1 n1
n1
(2) 若 an 收敛 , bn发散， (an bn ) 肯定发散。
n1
n1
n1
性质 3 若级数 un 收敛(发散),则 un 也收
n1
n k 1
敛（发散）(k 1).且其逆命题也成立.
结论：在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. 性质 4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
un(x)u1(x)u2(x)u3(x) un(x) xI
n 1
❖收敛点与发散点
使函数项级数收敛的点x0称为函数项级数的收敛点; 使函数项级数发散的点x0称为函数项级数的发散点
收敛点的全体称为收敛域 发散点的全体称为发散域
提示: 对由于定每义一在个区确间定I上的的值函x0数I列 函{u数n(x项)}级所数构成成为的常表数达项式级数
注意 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
推论 如果加括号后所成的级数发散,则
原来级数也发散.
性质5 级数收敛的必要条件:
un收敛
lim
n
un
0.
n1
结论：当n无限增大时, 它的一般项 un趋于零,
注意
1.（逆否命题）如果级数的一般项不趋于零,
n1
n1
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s an ,s bn ,
n1
n1
则级数 (an ±bn )收敛,其和为s ±s.
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
注意
(1) 若 an 及 bn 都发散 , (an bn ) 未必发散。
则级数发散;
lim
n
un
常用来证明级数发散
0
n1
un发散
例如
(1)n1
n
1 2 3 L (1)n1
n
L
n1
n1 2 3 4
n1
2.必要条件而非充分条件.
1 发散，但 lim 1 0
n1 n
n n
正项级数审敛法
若 un 0, 则称 un是正项 级数
n1
1. un(un 0)收敛 部分和数列有界
2.当l 1时，失效
5 Cauchy 判别法（根值判别法）
设正项级数 un ,
n1
且 lim n
n un ,
则
(1) 1（含0）时收敛 (2) 1（含）时发散
注意： 根值审敛法比较适合an
当 1时，失效
交错级数： 设un 0， (1)n1un 或 (1)nun
n1
n1
交错级数判别法（Leibniz 判别法) 若 (1)n1un 满足
i 1
敛散性：若
lim
n
Sn
S,
则称 un 收敛，且称S为其和
n1
记为 S un u1 u2 u3 un n1
若
lim
n
Sn极限不存在，则为发散
级数的基本性质(四则运算法则)
性质1 若级数 an 收敛 ,常数c 0 ,则级数 can 也收敛,
n1
n1
且 can c an 若 an 发散 , c 0 ,则 can 也发散。
❖函数项级数的部分和 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即 sn(x)u1(x)u2(x)u3(x) un(x) 在收敛域上有sn(x)s(x)(n)
正项级数 ? 是
无法判断
否
否
绝对收敛 ?
否
比较法及极限形式
正项级数判别法
比值法,根值法 部分和数列有界
是
积分判别法
发散
是
lim an1 1 ?（补充定理）
a n n
(liman 0 )
否
交错级数?
是 Leibniz 法
否
否
是
lim Sn S ?
狄利克雷判别法，
收敛
阿贝尔判别法
❖函数项级数 函数项级数的概念
无穷由级其数构(成简的称和级的数表):达设式给定 u数n 列 u1u1
, u2 ,
u2 L
un
,
un
L
n1
常数项级数：若 un 常数
函数项级数：若 un为函数u（n x）
幂级数：若 un an xn ,或un an ( x x0 )n 形式
n
部分和数列： Sn ui u1 u2 un
定理（Dirichelet判别法） n
若
(1)
lim
n
an
0,且{an }单调；
(2)
{ bi }有界；
i 1
则 akbk收敛。
k 1
定理（Abel判别法）
若（1） an 为单调有界数列， (2)
则 akbk收敛。 k 1
bk收敛，
k 1
判断级数 an 的敛散性
n1
lim an 0 ? 是
n1
n1
结论：级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛
注意:
| un | 收 敛 un 收 敛
n1
n1
| un | 发散 un发散
n1
n1
补充定理 如果任意项级数
un u1 u2 L un L
n1
满足条件
lim un1 l u n
n
当l 1时级数绝对收敛，当l 1时级数发散
uu11((xx0)u22(x)0)uu3(3x(x)0) unu(xn()x0)
称 这个为常定数义项在级区数间或I 上者的 收(敛函或数者项发)级散数 记为
un
(x)
n 1
❖函数项级数的和函数 在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x) 它称
为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成sn 0
(2) un un1
(3)
lim
n
un
0
则其收敛, 且和 s u1;
注意：此方法只能判别是否收敛，不能用于判断发散
绝对收敛： 若 un 收敛，则称 un绝对收敛
n1
n1
条件收敛：若
un 发散，
un收敛，则称 un条件收敛
n1
n1
n1
关系：
若 un 收敛, 则 un 收敛
n1
2.
比较判别法： un (un 0)、
vn ( n 0),
un vn ,
n1
n1
则
vn 收敛
un 收敛 un 发散 vn 发散
n1
n1
n1
n1
3.
比较法极限形式： un (un 0)、 vn ( n 0),
n1
n1
lim
n
un vn
l
则 0 l 时， un、 vn 具有相同的敛散性