柔性机械臂动力学建模
空间智能软体机械臂动力学建模与控制
空间智能软体机械臂动力学建模与控制-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式编写：在当今科技快速发展的背景下，机器人技术已经成为热门的研究领域之一。
机器人的灵活性和多功能性使其在各个领域中都有着广泛的应用，特别是在工业自动化和生物医学领域。
而软体机器人是机器人技术发展的一个重要方向，它能够在具有柔软和变形特性的情况下完成复杂的任务。
传统的机械臂由刚性材料组成，在执行任务时常常会遇到刚性结构不足以适应复杂环境的问题。
而软体机械臂通过使用柔性材料和智能感知技术，能够更好地应对多样化的工作环境和任务需求。
因此，软体机械臂的研究和开发对于提高机器人的适应性和灵活性具有重要意义。
本文旨在研究软体机械臂的动力学建模与控制方法。
首先对软体机械臂的概念和特点进行了简要介绍，包括其柔性材料的选择和结构设计。
然后，针对软体机械臂的特殊性质，探讨了一种有效的动力学建模方法，以确定其运动学和动力学特性。
在建立动力学模型的基础上，本文还提出了一种有效的控制策略，以实现软体机械臂的高精度和稳定性。
此外，为了验证所提出的方法和策略的有效性，进行了一系列的实验，并对实验结果进行了详细的分析。
通过实验数据和分析，证明了所提出的动力学建模和控制方法在提高软体机械臂性能方面的有效性和可行性。
最后，在结论部分，对研究成果进行了总结，并对存在的问题进行了分析和展望。
同时，给出了未来研究的建议，希望能够为进一步完善和应用软体机械臂技术提供参考。
综上所述，本文对空间智能软体机械臂的动力学建模与控制进行了全面的研究与探讨，为相关领域的研究和应用提供了有益的参考。
1.2 文章结构1.3 目的本文旨在对空间智能软体机械臂的动力学建模和控制进行研究和探讨。
具体目的包括以下几个方面：1.3.1 研究软体机械臂的概述本文将对软体机械臂的概念、特点和应用进行详细阐述，以帮助读者全面了解软体机械臂的基本信息。
1.3.2 进行动力学建模方法的研究软体机械臂在运动过程中存在较大的柔度和变形，因此动力学建模是必不可少的。
柔性机械臂动力学建模研究进展
第２１卷第１２期２０２３年１２月动力学与控制学报J O U R N A L O FD Y N AM I C SA N DC O N T R O LV o l ．２１N o ．１２D e c ．２０２３文章编号:１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２３Ｇ２１(１２)Ｇ００５Ｇ０１７D O I :１０．６０５２/１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２３Ｇ１３１㊀２０２２Ｇ１２Ｇ１５收到第１稿,２０２３Ｇ０１Ｇ２７收到修改稿．∗国家自然科学基金资助项目(１１９３２０１５,１２２７２０９６)和上海市基础研究特区计划项目(２１T Q １４００１００Ｇ２２T Q ００９),N a t i o n a lN a t u r a l S c i e n c eF o u n d a t i o no f C h i n a (１１９３２０１５,１２２７２０９６)a n d t h e S h a n g h a i P i l o t P r o g r a mf o r B a s i cR e s e a r c h ＧF u d a nU n i v e r s i t y (２１T Q １４００１００Ｇ２２T Q ００９)．†通信作者E Ｇm a i l :j i a n _x u ＠f u d a n ．e d u ．c n柔性机械臂动力学建模研究进展∗方虹斌１,２㊀郑立１,２㊀张琦炜１,２㊀郭丁旭３㊀张舒３㊀徐鉴１†(１．复旦大学智能机器人研究院,上海㊀２００４３３)(２．复旦大学义乌研究院,义乌㊀３２２０００)(３．同济大学航空航天与力学学院,上海㊀２０００９２)摘要㊀刚性机械臂由于其较高的工作精度和重复性㊁较强的承载能力,已广泛应用于危险或相对单一㊁重复性高工作场景．但刚性机械臂的结构及运作方式不够灵活,无法适用于不定型㊁非标准㊁狭窄空间等生产场景．最近几年,柔性机械臂因其结构柔性㊁作业空间大㊁人机交互安全等优点而受到广泛关注,有希望应用于医疗㊁服务和智能制造等领域．但柔性机械臂结构柔软,运动比较自由,在作业过程中柔性效应不可忽略,这对其高精度控制提出了重大挑战．柔性机械臂控制的核心科学问题之一是建立包含结构柔性特征和动态特性的高精度动力学模型．为此,本文对柔性机械臂运动学建模和动力学建模研究进行了综述．作为动力学建模的基础,本文首先综述了柔性机械臂的运动学建模方法,主要介绍了曲率法㊁伪刚体运动学(P R B )方法㊁基于C o s s e r a t 杆的运动学建模方法㊁结构几何分析方法㊁D e n a v i t ＧH a r t e n b e r g (D ＧH )法及坐标法㊁数据驱动和机器学习方法等．随后,本文详细综述了柔性机械臂的动力学建模方法,主要包括集中参数系统法㊁假设模态法㊁有限元法．最后,本文简述了目前柔性机械臂动力学研究的主要内容,并对未来研究做出展望．关键词㊀柔性机械臂,㊀机器人运动学,㊀机器人动力学,㊀动力学模型,㊀多体动力学中图分类号:O ３１３．７文献标志码:AR e s e a r c hP r o g r e s s o nD y n a m i c sM o d e l i n g of F l e x i b l eR o b o t i cA r m s :AR e v i e w ∗F a ng H o n g b i n １,２㊀Z h e n g L i １,２㊀Z h a n g Q i w e i １,２㊀G u oD i n g x u ３㊀Z h a n g Sh u ３㊀X u J i a n １†(１．I n s t i t u t e o f I n t e l l i g e n tR o b o t i c s ,F u d a nU n i v e r s i t y ,S h a n g h a i ㊀２００４３３,C h i n a )(２．Y i w uR e s e a r c h I n s t i t u t e ,F u d a nU n i v e r s i t y ,Y i w u ,Z h e j i a n g㊀３２２０００,C h i n a )(３．S c h o o l o fA e r o s p a c eE n g i n e e r i n g a n dA p p l i e d M e c h a n i c s ,T o n g j iU n i v e r s i t y ,S h a n gh a i ㊀２０００９２,C h i n a )A b s t r a c t ㊀R i g i d r o b o t i c a r m s h a v eb e e nw i d e l y u s e d i n r i s k y o r s i n g l e ,r e pe t i t i v ew o r ks i t u a t i o n sd u e t o t h e i r h i g hw o r k a c c u r a c y a n d r e p e a t a b i l i t y ,a n d s t r o n g l o a d b e a r i n g c a p a c i t y．H o w e v e r ,t h e s t r u c t u r e a n d o p e r a t i o no f r i g i d r o b o t i c a r m s a r e n o t f l e x i b l e e n o u g h t o b e a p pl i e d t o s o m e p r o d u c t i o n s c e n a r i o s s u c h a s u n s t r u c t u r e d ,n o n Ｇs t a n d a r d ,a n dc o n f i n e ds pa c e s ．I nr e c e n t y e a r s ,f l e x ib l er o b o t i ca r m sh a v ea t t r ac t ed w i de s p r e a da t t e n t i o nd u e t o t h e i r s t r u c t u r a l p l i a b i l i t y ,e x t e n s i v e o p e r a t i o n a l s p a c e ,a n d s af e t y o f h u m a n Ｇm a c h i n e i n t e r a c t i o n ,w i t h p r o m i s i ng a p p l i c a t i o n s i n th e fi e l d s o fm e d i c a l ,s e r v i c e ,a n d i n t e l l i ge n tm a n u Ｇf a c t u r i ng ．H o w e v e r ,th e s o f t s t r u c t u r e a n d f r e em o v e m e n t o f f l e xi b l e r o b o t i c a r m sm e a n t h a t t h e i r f l e x Ｇu r a l e f f e c t s c a n n o t b e i g n o r e dd u r i n g o p e r a t i o n s ,p o s i n g s i g n i f i c a n t c h a l l e n g e s f o r h i g h Ｇpr e c i s i o n c o n t r o l ．O n e o f t h e c o r e s c i e n t i f i c p r o b l e m s i nt h ec o n t r o l o f f l e x i b l e r o b o t i ca r m s i s t h ee s t a b l i s h m e n to fh i gh Ｇp r e c i s i o nd y n a m i cm o d e l s t h a t i n c o r p o r a t e s t r u c t u r a l f l e x i b i l i t y f e a t u r e s a n dd yn a m i c c h a r a c t e r i s t i c s ．T o t h i s e n d ,t h i s p a p e r r e v i e w s t h e r e s e a r c ho n t h e k i n e m a t i cm o d e l i n g a n d d y n a m i cm o d e l i n g of f l e x i b l e r o Ｇb o t i c a r m s ．A s a f o u n d a t i o n f o r d y n a m i cm o d e l i ng ,thi s p a p e r f i r s t l y s u mm a r i z e s t h e k i n e m a t i cm o d e l i n g动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷m e t h o d s o f f l e x i b l e r o b o t i c a r m s,m a i n l y i n t r o d u c i n g t h e c u r v a t u r em e t h o d,P s e u d oＧR i g i dB o d y(P R B) k i n e m a t i c s,k i n e m a t i cm o d e l i n g b a s e do nC o s s e r a t r o d s,s t r u c t u r a l g e o m e t r y a n a l y s i s,D e n a v i tＧH a r t e nＧb e r g(DＧH)m e t h o da n dc o o r d i n a t e m e t h o d,a n dd a t aＧd r i v e na n d m a c h i n e l e a r n i n g a p p r o a c h e s．S u b s eＧq u e n t l y,t h e p a p e r p r o v i d e s ad e t a i l e do v e r v i e wo f d y n a m i cm o d e l i n g m e t h o d s f o r f l e x i b l e r o b o t i c a r m s, p r i m a r i l y i n c l u d i n g t h e l u m p e d p a r a m e t e r s y s t e m m e t h o d,a s s u m e d m o d e sm e t h o d,a n df i n i t ee l e m e n t m e t h o d．F i n a l l y,t h i s p a p e r o u t l i n e s t h em a i nc o n t e n t o f f l e x i b l e r o b o t i c a r md y n a m i c s r e s e a r c ha n do fＧf e r s p r o s p e c t s f o r f u t u r e s t u d i e s．K e y w o r d s㊀f l e x i b l e r o b o t i c a r m,㊀r o b o tk i n e m a t i c s,㊀r o b o td y n a m i c s,㊀d y n a m i cm o d e l,㊀m u l t i b o d yd y n a m i c s引言工业机械臂主要用于工业生产线等生产场景,完成指定的重复性㊁高精度和高质量的生产任务．为了保证机械臂作业的精度㊁稳定性和可靠性,机械臂需要以高刚度来抵抗外部载荷,而刚度的增加是以超出结构强度要求的质量来实现的．在功耗和灵活度等方面,高刚度机械臂被证明有着较大的不足．与刚性机械臂相比,柔性机械臂的结构柔韧性好㊁变形能力强㊁作业空间大㊁人机交互安全,适用于狭窄空间和非定型工作场景,最近受到了学术界和工程界的广泛关注．表１㊀E F R IＧC３S o R o资助的项目T a b l e１㊀P r o j e c t s f u n d e db y E F R IＧC３S o R oN o．P r o j e c t t i t l e A w a r d e d a m o u n t E x e c u t i o n p e r i o d １M i c r o nＧs c a l eM o r p h i n g S o f tＧR o b o t s f o r I n t e r f a c i n g W i t hB i o l o g i c a l S y s t e m sƔ２,０００,０００．００２０１９．１１~２０２３．１０２F u n c t i o n a lＧD o m a i nS o f tR o b o t sP r e c i s e l y C o n t r o l l e db y Q u a n t i t a t i v eD y n a m i cM o d e l s a n dD a t aƔ２,０００,０００．００２０１９．１０~２０２４．９３O v e r c o m i n g C h a l l e n g e s i nC o n t r o l o fC o n t i n u u mS o f tR o b o t s t h r o u g hD a t aＧd r i v e nD y n a m i cD e c o m p o s i t i o na n dL i g h tＧm o d u l a t e d M a t e r i a l sƔ２,０００,０００．００２０１９．１０~２０２４．９４M o d e lＧB a s e dD e s i g na n dC o n t r o l o f P o w e rＧD e n s eS o f tH y d r a u l i cR o b o t sf o rD e m a n d i ng a n dU n c e r t a i nE n v i r o n m e n t sƔ１,９９９,８７２．００２０２０．１~２０２３．１２５B e t w e e naS o f tR o b o t a n d aH a r dP l a c e:E s t i m a t i o na n dC o n t r o lA l g o r i t h m st h a tE x p l o i t S o f tR o b o t s＇U n i q u eA b i l i t i e sƔ１,９９９,９８４．００２０２０．１~２０２３．１２６３ＧDs u r f a c e c o n t r o l f o r o b j e c tm a n i p u l a t i o nw i t hs t r e t c h a b l em a t e r i a l sƔ２,０００,０００．００２０１９．９~２０２０．２７S a f eM e d i c a l C o n t i n u u m R o b o t s:S e n s i n g,C o n t r o l a n dF a b r i c a t i o nƔ１,９９９,９７５．００２０１９．９~２０２３．８８I n t e g r a t i o no fA v i a nF l i g h tC o n t r o l S t r a t e g i e sw i t hS e l fA d a p t i v eS t r u c t u r e s f o r S t a b l eF l i g h t i nU n k n o w nF l o w sƔ２,０００,０００．００２０２０．１~２０２４．１２９C o n t r o l o fL o c a l C u r v a t u r e a n dB u c k l i n g f o rM u l t i f u n c t i o n a lT e x t i l eＧB a s e dR o b o t sƔ２,０００,０００．００２０１９．１０~２０２３．９T o t a l f u n d i n gƔ１７,９９９,８３１．００㊀㊀２０１８年和２０１９年,美国国家科学基金会(N S F)和美国空军科学研究办公室(A F O S R)连续两年在前沿研究计划(E m e r g i n g F r o n t i e r si n R e s e a r c ha n d I n n o v a t i o n,E F R I)框架下发布了以 连续㊁顺应和可重构的软体机器人工程(C o n t i n uＧu m,C o m p l i a n t,a n d C o n f i g u r a b l eS o f tR o b o t i c s E n g i n e e r i n g,C３S o R o) 为主题的研究方向．E F R IＧC３S o R o共资助项目９项,总计资助经费约１８００万美元,平均每项经费约为２００万美元,项目周期３~５年,项目研究涵盖新型软体机器人设计与制备,软体机器人力学建模㊁软体机器人传感与控制等(表１)．我国也高度重视柔性机器人这一前沿研究领域,在多个国家重大研究计划中立项支持．２０１６年, 共融机器人基础理论与关键技术 重大６第１２期方虹斌等:柔性机械臂动力学建模研究进展研究计划在国家自然科学基金委获批,其重点研究的关键科学问题之一即是 刚－柔－软体机器人的运动特性与可控性 ,并尤其关注刚－柔－软机器人构型设计及力学行为解析． 十四五 国家重点研发计划 智能机器人 重点专项也高度关注柔性机器人技术,设立了柔性集成制造系统㊁柔性外科手术机器人㊁柔性焊接机器人㊁柔性精密传动等研究方向,并重点考核与柔性相关的运动自由度㊁定位精度㊁力感知精度等技术指标．在上述重大研究计划的资助下,柔性机械臂的设计㊁建模和控制研究取得了长足发展．图１展示了在W e bo fS c i e n c e (WO S)数据库中,以 f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r 或 f l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r m 为主题的期刊㊁会议和综述论文等的数目及其引用量在２００８年至２０２２年间的演变趋势．近１５年来,在柔性机械臂领域发表的论文数目增长了近６倍,于２０２２年达到了２２００余篇,引用量从２００８年的４０次跃升到２０２２年的４０２７３次,这充分表明了学术界对柔性机械臂这一前沿研究领域的关注．机械臂的柔性来源包括连杆柔性和关节柔性．本文主要讨论柔性连杆机械臂,而关节柔性的相关研究不在本文关注范围,读者可以参考相关综述论文[１Ｇ３]．最近几年,各种柔性机械臂的设计不断涌现并被尝试应用于不同场景．例如,新型超冗余管状机械臂[４]通过具有可变中性轴机构和可调刚度,保证了机械臂的操作精度和高有效载荷能力[图２(a)]．从头足类章鱼获得灵感,学者们提出了气驱动和绳驱动结合的柔性机械臂设计[５],两种驱动的融合导致了整体的拮抗驱动机制,气驱动和绳驱动利用类似章鱼手臂的纵向和横向肌肉的运动方式,实现了多种运动模式,包括弯曲㊁拉伸㊁收缩和变硬．在医疗领域运用中,常见的柔性机械臂包括模块化柔性机械臂㊁连续体机械臂和蛇形机械臂等,它们具有高灵活性㊁结构柔性和操作安全性,可用于微创和外科手术[６Ｇ８];为保证外科手术中激光传输的精确性,F a n g等人[９]提出了一种流体驱动的柔性机械臂系统[图２(b)],其能够在粘膜上进行精细㊁精确和可重复的激光点控制．与传统的离散体机械臂相比,连续体机械臂不仅具有更高的自适应和避障能力,在抓取不同尺寸物体方面也具有明显优势．为实现柔性机械臂与不同曲率的非结构化环境的交互,M a等人[１０]提出了一种仿象鼻气动柔性机械臂,通过调节局部刚度来适应变化曲率的环境[图２(c)];L i u等人[１１]提出了一种约束极少的新型象鼻机械臂,简化了操作过程中对传感和控制系统的要求．此外,还有学者提出了受折纸启发的柔性机械臂:K a u f m a n n等人[１２]利用双稳态折纸结构构建机械臂,有效降低了柔性机械臂的控制要求;J e o n g等人[１３]基于折纸塔设计了一种三指机械臂,并证明了其能有效抓取易碎物体;基于折纸结构变大小㊁变形状和变刚度的特性,Z h a n g等人[１４]设计的折纸机械臂实现了多种变形模式,如弯曲㊁扭转㊁伸缩以及他们的组合[图２(d)]．(a)WO S数据库以f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r或f l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r m为主题的论文发文量(a)P u b l i c a t i o n s i n f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r o r f l e x i b l e/s o f tr o b o t i c a r mi n t h eWO Sd a t a b a s e(b)WO S数据库以f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r或f l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r m为主题的论文引用量(b)C i t a t i o n s t o p u b l i c a t i o n s i n f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r o rf l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r mi n t h eWO Sd a t a b a s e图１㊀以f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r或f l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r m为主题的研究发展历程分析F i g．１㊀A n a l y s i s o f t h e d e v e l o p m e n t p r o c e s s o f f l e x i b l e/s o f t m a n i p u l a t o rＧt h e m e do r f l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r mＧt h e m e d r e s e a r c h尽管柔性机械臂具有许多刚性机械臂所不具有的优点,但其也面临着由于结构柔性效应增加而产生的精度降低和振动问题．因此,柔性机械臂的研究必须充分考虑结构的柔性特征,柔性机械臂的高精度控制也需要考虑其动力学特性．开展柔性机７动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷械臂动力学和高精度控制研究的前提是建立其动力学模型,但柔性机械臂是一个复杂的动力学系统,具有非线性㊁强耦合和时变等特点,这使得柔性机械臂的动力学建模极具挑战．尽管柔性机械臂具有广阔的应用前景,但其结构刚度低,容易引起振动问题,针对不同场景也常需要进行专门的结构设计和分析,缺乏一般性理论．对于柔性机械臂这一高复杂度系统,精确的运动学模型能够对机械结构设计起到关键的指导作用,而有效的动力学模型则有助于获得更好的控制效果．因此,柔性机械臂研究的一个重要方向就是运动学和动力学建模,以及在此基础上的设计方案和控制策略．但是,柔性机械臂是一类典型的连续动力学系统,其模型可以由非线性偏微分方程描述,模型的精确求解非常困难,无限维模型也对控制方案的设计施加了许多限制．为解决上述难题,学者们提出了多种等效动力学建模方法来解决柔性机械臂的大变形预测㊁振动预测与控制㊁运动规划和高精度位姿控制等问题．尽管取得了一些进展,柔性机械臂动力学建模的方法框架尚不成熟和完备,相关研究依然面临较大挑战,但也充满机遇．作为动力学建模的基础,本文首先介绍柔性机械臂的常用运动学建模方法;随后详细介绍柔性机械臂的动力学建模方法,并概述当前柔性机械臂动力学的主要研究内容．最后,本文梳理柔性机械臂动力学领域值得关注的若干问题,为相关的研究者提供参考．图２㊀不同场景下的柔性机械臂．(a)新型超冗余管状机械臂[４],(b)激光外科手术机械臂[９],(c)象鼻机械臂[１０],(d)折纸连续体机械臂[１４]F i g．２㊀F l e x i b l e r o b o t i c a r m s i n d i f f e r e n t s c e n e s．(a)N e wu l t r aＧr e d u n d a n t t u b u l a r r o b o t i c a r m[４],(b)L a s e r s u r g i c a l r o b o t i c a r m[９],(c)E l e p h a n t t r u n k r o b o t i c a r m[１０],(d)O r i g a m i c o n t i n u u mr o b o t i c a r m[１４]１㊀运动学建模相比于刚性机械臂,柔性机械臂的运动学具有数学描述复杂㊁非线性强㊁逆解多解性等难题,解决这些问题的前提是建立柔性机械臂的运动学模型．本节简要介绍了柔性机械臂的运动学建模方法,引用了介绍相关方法的文献．柔性机械臂的柔性杆常被假设为广义欧拉－伯努利梁[１５],在此基础上,学者们提出了一系列运动学建模方法,包括曲率法㊁伪刚体运动学(P s e u d oＧR i g i dB o d y,P R B)㊁基于C o s s e r a t杆的运动学建模㊁结构几何分析㊁D e n a v i tＧH a r t e n b e r g(DＧH)表示法及坐标法,以及机器学习及数据驱动方法．１．１㊀曲率法在连续体机械臂的运动学建模中,常基于恒定曲率假设来简化模型．常曲率常被认为是连续体机器人的理想几何特性,可以有效简化运动学建模．恒定曲率假设不能完全描述柔性机械臂的运动学,可变曲率假设虽然可以更准确地描述连续体机械臂的运动学,但其过程更加复杂．可变曲率多截面连续体机械臂的运动学建模和分析还存在许多难题,包括复杂的矩阵计算㊁奇点问题㊁不可伸缩性以及在某些情况下无法找到数值解等[１６]．图３㊀柔性机械臂运动学简化模型．(a)P H曲线的边界条件[１７],(b)中性骨架和双支点柔性关节连续机器人的运动学参数[１８],(c)象鼻状机械臂[１９],(d)刚㊁柔性骨干的线㊁恒定曲率模型[２０] F i g．３㊀S i m p l i f i e d k i n e m a t i c sm o d e l o f f l e x i b l em a n i p u l a t o r．(a)B o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r P Hc u r v e s[１７],(b)K i n e m a t i c p a r a m e t e r s o f a c o n t i n u o u sr o b o tw i t h a n e u t r a l s k e l e t o n a n d d u a l p i v o t f l e x i b l e j o i n t s[１８],(c)E l e p h a n t t r u n k r o b o t i c a r m[１９],(d)L i n e a r,c o n s t a n tc u r v a t u r em ode l sf o r r ig i d a n d f l e x i b l e b a c k b o n e s[２０]S i n g h等人采用基于毕达哥拉斯曲线的定量建模方法[１７]建立了具有可变曲率的连续体机械臂８第１２期方虹斌等:柔性机械臂动力学建模研究进展模型[图３(a )],并以此为基础进行逆运动学问题求解．B a r r i e n t o s ＧD i e z 等人基于驱动空间和构型空间的运动学建模方法[１８]给出了两端固定㊁具有中心支撑轴和柔性关节的连续机械臂的运动学参数[图３(b)],仿真/实验结果表明该方法有效降低了计算需求．M i s h r a 等人[１９]采用椭圆积分方法建立了仿生连续体机械臂的可变曲率运动学模型[图３(c )]．基于分段恒定曲率模型,W a n g 等人[２０]比较了柔性骨干中的线模型㊁柔性骨干中的恒定曲率模型㊁刚性骨干中的线模型和刚性骨干中的恒定曲率模型[图３(d )],在提高建模精度的同时实现了动力学模型的快速解耦．L u 等人[２１]基于恒定曲率假设并结合D ＧH 方法㊁泰勒级数和四元数,建立了柔性机械臂的正运动学模型,并推导出了逆运动学的近似解析解．在无负载或小负载条件下,L i 等人[２２]基于恒定曲率假设建立了线驱柔性机械臂的运动学模型．针对多连杆柔性机械臂,M a r c h e s e 等人[２３]采用片状恒定曲率假设对柔性机械臂进行了运动学建模．为分析柔性机械臂的局部变形,G i o r e l l i 等人[２４]采用分段恒定曲率假设建立了柔性机械臂的静态变形模型．为避免奇点问题,Y a n g 等人[２５]采用分段恒定曲率近似处理的方法建立了连续体机械臂的非恒定曲率的正㊁逆动力学模型(图４):图４㊀连续体机械臂的几何关系[２５]F i g ．４㊀G e o m e t r i c r e l a t i o n s h i ps o f t h e c o n t i n u u mr o b o t i c a r m [２５]i －１i T ＝R (Z ,ψi )R (X ,θi )L iθi c o s θi －１s i n θi ０éëêêêùûúúú０１éëêêêêêùûúúúúúR (Z ,－ψi )(１)其中,i －１i T 是第i 个节段对第i －１个节段的齐次变换矩阵,L i 是第i 个节段的长度;ψi 为轴向旋转角,θi 为轴向偏转角,T (Z ,ʃψi )为绕z 轴旋转的旋转变换矩阵．考虑弹性的影响,R u n ge 等人[２６]运用曲率法以求解变直径的柔性机械臂的运动学方程．针对超弹性材料制成的连续体机械臂,Z h a o 等人[２７]提出了位移补偿法以得到其逆运动学的闭式解．１．２㊀伪刚体运动学(P R B )模型及基于C o s s e r a t 杆的运动学模型连续体机械臂在运动过程中会连续变形,而学者们已经建立了运动学模型来描述柔性体的弹性变形．基于柔性体静力学中的伪刚体理论,P R B 模型先将机械臂的柔性连杆近似为由传统的旋转关节㊁万向节关节或球形关节连接的刚性连杆,然后将柔性机械臂简化成由n 个关节连接的n ＋１个均匀间隔的刚性连杆．相比而言,基于C o s s e r a t 杆的运动学模型可以更为精确地描述机械臂柔性杆的变形特征,包括其延展㊁剪切㊁弯曲和扭转这四种应变．C a m pi s a n o 等人[２８]分别用P R B 方法和C o s s Ｇe r a t 杆模型建立了由水射流驱动的柔性连续体机械臂H y d r o J e t 的运动学模型,并给出了每个关节的内部弯矩和挠度角之间的关系(图５):τi ＝K i ωi θi ＝k i ,x ０００k i ,y ０００k i ,z éëêêêêùûúúúúωi x θi x ωi y θi y ωi z θi z éëêêêêùûúúúú(２)其中τi ɪℝ３代表内部弯矩的矢量,K i 是第i 个关节的刚度矩阵,ωi 是第i 个关节上的正交轴矢量,θi 是第i 个关节绕各轴旋转的角度矢量．伪刚体理论模型主要侧重于平面静态建模,它准确地描述了柔性体的大变形,计算效率高．V e n Ｇk i t e s w a r a n 等人[２９]利用伪刚体建模方法得到了连续体机械臂在多重外载荷下的静力学方程．针对由弹性中心轴组成的连续体机械臂,H u a n g 等人[３０]运用了基于P R B 理论的三维静态建模方法来建立运动学模型．针对平面连续体机械臂,K u o 等人[３１]运用了伪刚体模型方法来分析其运动学．T r i v e d i 等人[３２]建立的动力学模型充分考虑了柔性机械臂中非线性㊁自身重量和有效载荷等影响因素．将连续体机械臂视为多个具有耦合边界条件的C o s s e r a t 杆,T i l l 等人[３３]提出了柔性机械臂逆运动学的数值求解方法．同样基于C o s s e r a t 理论,M a 等人[３４]将柔性机械臂分为多段,然后依次建立了各段的动力学模型．针对具有高自由度的仿章鱼触手柔性机械臂,N i u 等人[３５]推导出了柔性机械臂９动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷闭式方程的解析解．图５㊀连续体机械臂H y d r o J e t运动学模型[２８]．(a)连续体机械臂H y d r o J e t,(b)C o s s e r a t框架,(c)P R B框架F i g．５㊀K i n e m a t i cm o d e l o f c o n t i n u u mr o b o t i c a r m H y d r o J e t[２８]．(a)C o n t i n u u mr o b o t i c a r m H y d r o J e t,(b)C o s s e r a t f r a m e w o r k,(c)P R B f r a m e w o r k１．３㊀几何结构分析针对连续体机械臂在小载荷下发生大变形的问题,基于分段恒定曲率假设的计算过于复杂,因此,学者们通过几何结构分析来推导末端执行器的位置方程．为得到柔性机械臂末端执行器的准确位置,K a r i m i等人[３６]考虑了柔性关节处的变形,推导出了末端位置的表达式[图６(a)]．针对在载荷作用下机械臂的静力学平衡和结构产生的刚度变化, Z h a o等人[３７]建立了基于平面双三角形张拉机构的多连杆柔性机械臂的运动学模型．B a r r i e n t o s等人[１８]将麦克劳林一阶展开应用于柔性机械臂,建立了机械臂的分段线性化运动学模型．为避免连续体机械臂中的奇点问题,A l l e n等人[３８]建立了机械臂柔性关节部分的闭式运动学方程[图６(b)]．L e e 等人[３９]通过几何方法推导了柔性机械臂的运动学方程,并通过实验验证了运动学模型的准确性．折纸机械臂是柔性机械臂中较为新颖的一类．结合折纸结构的柔性机械臂的复杂性在于折纸刚性面围绕折痕线的旋转,这些折痕线可等效为渐进式关节．而折纸的刚性折叠运动是由各个顶点的运动共同决定的．因此,建立一个运动学模型以及确定单个顶点的刚性折叠性条件,在折纸机械臂的设计中显得尤为重要．基于折纸末端点的运动学与底层的三角形各点的关系,Z i mm e r m a n n等人[４０]提出了三单元原理,为折纸机械臂的运动学建模提供了方法．S t a n k o v i cᶄ等人[４１]通过球形余弦定律推导出了折纸未知二面角的解析表达式,并利用刚性可折叠性得出了机械臂运动学模型．C h e n等人[４２]将机械臂的折纸单元简化为等边三角形,通过几何形状之间的关系建立了机械臂运动学模型．图６㊀柔性机械臂的几何结构分析．(a)主动柔性针的偏转柔性关节的运动学参数[３７],(b)恒定曲率截面[３９]F i g．６㊀G e o m e t r i c s t r u c t u r e a n a l y s i s o f f l e x i b l em a n i p u l a t o r．(a)K i n e m a t i c p a r a m e t e r s o f t h e d e f l e c t e d f l e x i b l e j o i n t o f a na c t i v ef l e x i b l e n e e d l e[３７],(b)C o n s t a n t c u r v a t u r e s e c t i o n[３９]１．４㊀D e n a v i tＧH a r t e n b e r g法(DＧH法)相较于传统刚性机械臂,柔性机械臂由多个柔性单元串联组成,它的运动学模型更加难以建立准确．DＧH法通过将笛卡尔空间转换为关节空间来建立运动学模型,而这种空间变换对柔性机械臂的逐点控制是必要的．W a n g等人[４３]运用DＧH法简化了多关节连续体机械臂,并构建了关节空间的运动学模型(图７)．针对蛇形柔性机械臂,O m i s o r e等人[４４]使用DＧH 法解决了正㊁逆运动学问题．针对一种多段柔性机械臂,L u等人[２１]结合DＧH方法㊁泰勒级数和四元数,推导了逆运动学的近似解析解．C h a w l a等人[４５]通过DＧH法得到了多关节串联机械臂从关节空间０１第１２期方虹斌等:柔性机械臂动力学建模研究进展到笛卡尔空间的映射关系．图７㊀连续体机械臂的D ＧH 坐标系[４４]F i g ．７㊀D ＧHc o o r d i n a t e s ys t e mo f a c o n t i n u u mr o b o t a r m [４４]图８㊀逆运动学使用的神经网络模型[４６]F i g．８㊀N e u r a l n e t w o r km o d e l s u s e d i n i n v e r s ek i n e m a t i c s [４６]１．５㊀机器学习及数据驱动方法与基于模型的方法相比,无模型方法的计算成本较低．但机器学习需要在柔性机械臂上进行大量实验才能获得学习集,再用于训练柔性机械臂的运动学模型．通过无模型的机器学习方法,S h a s t r i 等人[４６]训练了多层神经网络,为柔性机械臂逆运动学方程提供近似解(图８),缩短了逆运动学求解的计算时间并降低了复杂度．为避免传统的机械臂逆运动学求解算法中大量的迭代计算过程,G a o 等人[４７]改进了反向传播神经网络,并用于柔性机械臂逆解的求解,提高了逆运动学方程求解的精度．为解决柔性冗余机械臂的逆运动学问题,C s i s z a r 等人[４８]采用了支持向量回归和混合机器学习策略,并进行了有效性的验证．结合极限学习机㊁高斯混合回归和K－最近邻回归三种回归方法,X u 等人[４９]运用数据驱动的方法建立了柔性机械臂的逆运动学模型．对于可变曲率柔性机械臂,学者运用单节迭代方法[１６]来解决逆运动学问题．考虑刚柔耦合的变直径柔性机械臂的压力㊁载荷等因素,Y a n g 等人[２５]采用深度神经网络解决了逆运动学求解问题．２㊀柔性机械臂动力学建模柔性连杆机械臂是具有无限个自由度的连续动力学系统,其控制由非线性㊁强耦合的常微分方程和偏微分方程实现,而求出这种数学模型的精确解通常是不可行的．通常采用假定模态㊁有限元或集中参数方法对柔性连杆离散化,再利用拉格朗日方程建立动力学模型．M y 等人[５０]采用假设模态法和有限元法将柔性连杆离散化,再利用欧拉－伯努利方程推导梁的动力学方程,最后通过拉格朗日方程得出了柔性机械臂的动力学方程．A t a 等人[５１]在切向坐标系和虚拟链路坐标系中,使用扩展的哈密尔顿原理对具有末端质量的单连杆柔性机械臂进行动力学分析．S u b e d i 等人[５２]用位移矢量和旋转矩阵来建立平面三连杆柔性机械臂的运动学模型,最后使用拉格朗日方法推导出了动力学方程:㊀M (q )q ＋C (q ,q )＋G (q )＋K q ＋D q＝τ(３)其中M (q )是惯性矩阵,C (q ,q)是科里奥利力和离心力的矢量阵,G (q )是重力矩阵,K 是刚度矩阵,D 是关节粘性摩擦和连杆结构的阻尼矩阵,τ是作用机械臂上的广义力,q 是广义坐标向量．２．１㊀集中参数法集中参数法是指由有限个惯性元件㊁弹性元件及阻尼元件等组成的用常微分方程来描述的离散系统．该方法建立的模型形式简单,并且在处理小挠度的单连杆柔性机械臂的动力学问题时精度较高．在集中参数法中,任何柔性接头都被认为是用来储存势能的弹性元件,任何柔性连杆都将被等效为一个质量－弹簧－阻尼系统．R o n e 等人[５３]使用一组有限的运动学变量描述柔性机械臂的曲率变化,建立了动力学模型来解释柔性机械臂的惯性㊁驱动㊁摩擦㊁弹性和重力效应．针对非线性动力学参数未知的柔性机械臂,Q i等人[５４]提出了灰盒分布式参数建模方法,建立了一个n 维的O D E 系统:m D a(t )＋c D a(t )＋E I G a (t )＋f [a (t ),q (t )]＝－[m H q (t )＋c H q(t )＋E I R q (t )](４)１１动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷D k i ＝ʏL０φi (x )φk (x )d x ,G k i ＝ʏL０φi x x x x (x )φk (x )d x H k ＝ʏL ０g (x )φk (x )d x ,R k ＝ʏL ０g x x x x (x )φk (x )d x f k ＝ʏL ０f φk (x )d x ,a (t )＝a １(t ),a ２(t ), ,a n (t )[]T ìîíïïïïïï(５)其中非线性补偿项f [a (t ),q (t )]是位移的函数,φi (x )是第i 个特征函数,g (x )是满足边界条件的形函数,a i (t )是第i 个表示运动规律的时间函数,m 是机械臂的密度,c 是阻尼系数,E 是杨氏模量,I 是惯性矩,q (t )是垂直于机械臂轴线的外激励,D ɪRn ˑn,G ɪRn ˑn是相应矩阵的参数．考虑关节柔性,C o m i 等人[５５]基于集中参数系统法建立了柔性机械臂的数值模型．针对质量分布在末端的情况,M i s h r a 等人[５６]将柔性机械臂建模为可变曲率的弯杆和弹簧阻尼器．图９㊀柔性机械臂的集中参数法．(a)长度分布块状质量模型[５８],(b )原型导管的块状参数模型[６１],(c)柔性钓鱼竿块状参数模型[６３]F i g ．９㊀L u m p e d p a r a m e t e rm e t h o d f o r f l e x i b l em a n i pu l a t o r ．(a )L e n g t h Ｇd i s t r i b u t e d l u m pe dm a s sm o d e l [５８],(b )B l o c k p a r a m e t r i cm o d e l i n g of p r o t o t y pe c o n d u i t s [６１],(c )P a r a m e t r i cm o d e l i n g of f l e x i b l e f i s h i ng ro db l o c k s [６３]线性柔性机械臂的性能取决于基本振动模态,学者运用集中参数法[５７]将柔性杆离散化来构建动力学模型．为提高柔性机械臂模型的准确性,G o d Ｇa ge 等人[５８]提出了稳定模态的集中参数动力学模型[图９(a )]．H e 等人[５９]推导了自由端具有载荷的柔性机械臂的非线性动力学方程,并以常微分方程的形式对柔性臂杆进行了控制．对量化控制的问题,C a o 等人[６０]研究了具有量化输入的双连杆刚柔耦合机械臂的控制问题．考虑内摩擦的影响,J u n g 等人[６１]提出了一种包含非线性效应㊁摩擦的建模方法建立了柔性机械臂的动力学模型[图９(b )]．针对在质量高速运动的柔性机械臂,S a r k h e l等人[６２]将单连杆柔性机械臂构建为柔性钓鱼竿,采用了集中参数方法对柔性杆进行建模[图９(c )]．为提高柔性机械臂挠度描述的准确性,S u n 等人[６３]通过集中弹簧质量方法对系统进行了建模．为分析柔性机械臂的动力学,G i r i 等人[６４]使用模型单元(质量㊁弹簧和阻尼器)对连续体机械臂的局部进行了建模．针对柔性多连杆机械臂的轨迹跟踪与振动控制问题,G i o r gi o 等人[６５]应用集中参数法对连杆进行了离散化．将机械臂的弹性杆构建为成对的弹簧和阻尼器,A r k o u l i 等人[６６]为柔性机械臂的动力学建模提供一个框架．针对动力学实验的参数识别,K i m 等人[６７]提出了一个等效的集总元件系统,完善了柔性机械臂的伺服定位系统．为了解决柔性机械臂动力学模型计算复杂㊁精度低的问题,Z h a n g 等人[６８]提出了结合弹簧质量系统的柔性机械臂动力学模型．２．２㊀假设模态法柔性连杆机械臂在理论上具有无限自由度,而无限自由度到有限自由度是通过模态截断实现的．假设模态法(A s s u m e d M o d e s M e t h o d ,AMM )被广泛用于建立柔性连杆机械臂的有限自由度动力学模型．假设模态法是一种广义坐标近似法,将连续系统离散化,利用有限个已知的模态函数线性组合来近似确定系统的响应．在动力学模型的假设模态中,柔性连杆系统的柔性通常由截面的一组基于空间模态特征函数和时变模态振幅的有限模态函数组合来表示．学者利用模态振型函数和模态坐标来离散系统的动力学方程,再利用模态截断缩小方程的规模以便于柔性机械臂动力学的求解．柔性连杆机械臂是一个连续系统,它的动力学方程可表示为[６９]:w (x ,t )＝ð¥n ＝１W n (x )T n (t )(６)其中,n 为模态阶数(n ＝１,２, ¥);W n (x )为第n 阶模态振型函数,x 是与未变形的中性梁轴的距离;T n (t )为第n 阶模态的时间相关模态坐标．由于不可能包括系统的所有模态,假设模态法通过假设有限数量的模态来对系统进行建模,利用模态截断来重写方程,如下所示:w (x ,t )＝ðmn ＝１W n (x )T n (t )(７)m 为假设模态的模态截断阶数．在AMM 中,有许多可选择的边界条件．理想情况下,最佳的假设模２１。
柔性机器人动力学建模与控制
柔性机器人动力学建模与控制引言：随着科技的不断进步和人工智能的不断发展，机器人已经在我们的生活中扮演越来越重要的角色。
传统的机器人主要由硬性材料组成，而柔性机器人则是一种新型的机器人，其主要特点是拥有柔软的身体结构和优良的运动灵活性。
柔性机器人的动力学建模和控制是该领域的研究热点之一。
本文将探讨柔性机器人动力学建模与控制的一些基本概念和方法。
一、柔性机器人的动力学建模柔性机器人由于其柔软的结构，其动力学建模相对于传统机器人要更加复杂。
动力学建模是指描述机器人运动的力学方程，包括力、力矩和质量等因素。
对于柔性机器人来说，不同部位的柔软程度和柔性材料的特性都需要考虑进去。
1. 刚体动力学模型柔性机器人在某些情况下可以近似为刚体，这时可以采用刚体动力学模型进行建模。
刚体动力学模型基于牛顿定律，将机器人的运动建模为质量、惯量和力矩之间的关系。
2. 弹性扭转动力学模型柔性机器人的主要特点之一是柔性材料的扭转弹性。
为了描述柔性机器人的扭转特性，可以采用连续杆模型来建模。
连续杆模型将柔性机器人的身体分割为多个小段，每个小段可以近似为刚体。
通过综合考虑每个小段的质量、刚度、扭转角度和扭转力矩，可以得到柔性机器人的整体动力学方程。
3. 有限元模型有限元模型是一种常用的柔性机器人动力学建模方法。
该方法将柔性机器人的结构离散化，将其划分为多个小单元，每个小单元可以看作是一个刚体。
通过求解有限元方程，可以得到柔性机器人的运动方程。
二、柔性机器人的控制方法柔性机器人的控制是指通过对机器人的运动进行控制和调节，以达到所需的运动目标。
对于柔性机器人来说，由于其柔软的结构，控制方法相对复杂。
1. 位置控制位置控制是柔性机器人最基本的控制方法之一。
通过对机器人的关节位置进行调节，可以实现机器人的运动。
对于柔性机器人来说，由于其柔软的结构，位置控制相对困难，需要考虑到机械振动和松弛现象的影响。
2. 力控制力控制是柔性机器人广泛应用的一种控制方法。
刚-柔性机械臂动力学建模及其动力学特性研究
械臂 系统 的动力学模 型． 数值仿真结果表 明 ， 截取前二阶模 态即可满足刚一 柔性机械 臂 系统的精度要 求 ； 分
析 了柔性机械臂 的结构参数 、 材料参数和驱动 力矩对其动 力学特性的影响． 研究结果表 明： 通过采 用矩形 截面 ， 采 用较 大弹性模量的材料 ， 减 小外部施加 的驱 动力矩 ， 避免驱 动力矩产生 突变， 可以有效地提 高刚一
ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ． Ｔｈｅ ｒ ｅ ｓ ｕｌ ｔ ｓ ｓ ｈｏ ｗ ｔ ｈａ ｔ ｂ ｙ ｕｓ ｉ ｎ ｇ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｓ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ，ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｍｏ ｄｕ ｌ ｕ ｓ ｏ ｆ ｍａ ｔ ｅ ｒ ｉ ａ ｌ ｓ，ｒ ｅ ｄｕ ｃ ｉ ｎ ｇ
柔性机械臂 系统的动力学性能． 关键词 ： 柔性机械臂 ； 模 态分析 ； Ｋ ａ ｎ ｅ方程 ； 动力学特性 中图分 类号 ：Ｔ Ｈ１ １ ３ ． １ 文献标志码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ １ — ０ ２ ４ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ７ ０ — ０ ５
Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｏ ｆ ｄ ｙ ｎａ ｍｉ ｃ ｍｏ ｄｅ ｌ ｉ ｎｇ ａ ｎｄ ｐ ｅ ｒ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｎｃ ｅ ｆ ｏ ｒ ｒ ｉ ｇ ｉ ｄ－ ｆ ｌ ｅ ｘ ｉ ｂｌ ｅ ｍａ ｎ ｉ ｐｕ ｌ ａ ｔ ｏ ｒ ｓ
柔性机械臂的动力学建模与运动控制方法研究
柔性机械臂的动力学建模与运动控制方法研究柔性机械臂是一种结构具有柔性特点的机械臂，在实际应用中具有广泛的应用前景。
它灵活、轻巧，并能适应不同的环境和任务需求。
然而，由于柔性机械臂的特殊结构和柔性特性，其动力学建模和运动控制方法成为研究的重点之一。
一、柔性机械臂的动力学建模柔性机械臂的动力学建模是研究柔性机械臂运动规律和力学特性的基础。
传统的机械臂动力学建模方法通常基于刚体假设，忽略了柔性结构的影响。
而对于柔性机械臂来说，柔性结构会对机械臂的运动产生显著的影响，因此需要考虑柔性结构的动力学特性。
1.模态分析柔性机械臂的动力学建模中，模态分析是重要的一步。
通过模态分析，可以得到柔性机械臂的振型和频率响应特性，为后续的动力学建模提供基础。
模态分析可以借助实验测试和数值模拟方法进行。
2.拉格朗日方程拉格朗日方程是柔性机械臂动力学建模中常用的一种方法。
通过拉格朗日方程，可以将柔性机械臂的动力学方程转换为一组常微分方程，从而可以得到柔性机械臂的运动规律。
二、柔性机械臂的运动控制方法柔性机械臂的运动控制方法是研究如何控制柔性机械臂的运动轨迹和力的关键。
传统的控制方法通常基于刚体控制理论，无法很好地应用于柔性结构。
因此，针对柔性机械臂的特殊性，需要开发适应性强、鲁棒性好的运动控制方法。
1.自适应控制自适应控制方法适用于处理柔性机械臂的非线性和不确定性问题。
自适应控制通过实时调整控制参数，使控制系统能够适应柔性结构的变化，从而实现更好的运动控制效果。
2.模糊控制模糊控制方法通过建立模糊推理规则，将模糊逻辑应用于控制系统中，从而实现柔性机械臂的运动控制。
模糊控制方法具有较好的鲁棒性和适应性，可以应对柔性机械臂动态特性变化较大的情况。
3.神经网络控制神经网络控制方法基于神经网络的非线性映射能力和自适应学习能力，可以对柔性机械臂进行较为精确的运动控制。
通过训练神经网络，使其能够识别柔性机械臂的动态特性，并实现运动控制目标。
柔性机械臂动力学建模
柔性机械臂动力学建模一，研究现状柔体动力学建模方面国内外出现很多研究，主要针对关节柔性和柔性臂杆进行建模。
其中，Chang-Jin Li, T.S. Sankar, 利用拉格朗日方程及假设模态法对柔性机械臂进行建模，提出的该方法可以降低运算量，并用单连杆柔性机器人进行证明验证；B.Subudhi ,A.S.Morris, 基于欧拉-拉格朗日法和假设模态法对多柔性杆和柔性关节进行动力学建模；Gnmarra-Rosado VO,Yuhara, EAO,利用牛顿-欧拉公式和有限元分析法对两柔性两转动关节推导动力学方程；危清清，采用拉格朗日及假设模态法建立柔性机械臂辅助空间站舱段对接过程的动力学方程；谢立敏，基于动量、动量矩守恒关系和拉格朗日假设模态法对双柔性关节单柔性臂建模；王海，在考虑外部干扰下对柔性关机机械臂进行动力学建模；刘志全，基于精细模型的空间机械臂对柔性关节进行建模。
1，建模过程原理1）坐标系的选择（根据机械臂运动姿态选择不同的坐标系，一般包括绝对坐标系和相对坐标系，如表1所示）2），柔体离散化方法设柔性体的变形始终处于弹性范围内，因为任何一个弹性体都具有无限多自由度，忽略轴向变形和剪切变形的影响，仅考虑弯曲变形，通常都将柔性体离散成有限自由度作为近似分析模型。
（对变形场进行离散化后得到的常微分方程将有利于对柔性多体系统动力学建模研究的进一步深入）如下表2所列。
3）动力学的建模方法根据原理的不同一般常用的可分为牛顿-欧拉方法，拉格朗日方程（第二类），以及凯恩方程。
如表3所示。
二，单杆柔性机械的建模过程1，模型简化假设关节建模时需要注意关节齿轮传动间隙，间隙的存在使得传动机构存在误差，输出运动与输入运动不再是线性关系；另外，关节臂驱动力是通过电机来提供，电机中的电感电阻等元件，会影响电机力矩的产生，即关机建模的精细化问题，这里只进行简单的处理，不考虑精细化问题。
柔性关节主要由分体式永磁同步电机，谐波减速器，永磁制动器，光电编码器和圆光栅等组成。
柔性机械手臂的动力学建模研究
柔性机械手臂的动力学建模研究机器人技术的快速发展为工业自动化带来了重大意义的突破，其中的柔性机械臂也是其中的一大亮点。
柔性机械臂以其具有的柔性、高精度、低惯性等优点，被广泛应用于各个领域的生产和加工工作中，但是柔性机械臂的特殊性质使得其动力学建模存在困难，甚至有些复杂。
因此，本文将详细探讨柔性机械手臂的动力学建模研究。
一、柔性机械手臂的基本概述柔性机械臂的特殊性质在于其结构柔软且运动自由度多，同时由于受到弯曲、扭曲、伸展等多种形变影响，运动学和动力学关系极其复杂，这对动力学建模提出了很高的挑战。
在动力学建模的过程中，基于“柔性”的假设将变形的机械臂重新处理成一个具有连续分布的质量-弹性分布系统，通过利用Euler-Bernoulli和Timoshenko等经典理论可得到模型参数。
柔性机械臂建模的主要目标是求解机械臂在外部力作用下的位移、速度、加速度等信息，从而获得机械臂的动态响应。
二、柔性机械手臂的建模方法基于质量弹性分布的模型在建模过程中非常有用，这意味着考虑柔性机械臂上所有点的质量和弹性特性，同时考虑不同点之间的相互作用。
针对运动方程的构建，通常有三种主要方法：欧拉角动力学建模法、Quaternions动力学建模法和本体角动力学建模法等。
欧拉角动力学建模法：经典的欧拉角模型在柔性机械臂动力学建模方面得到了广泛的应用。
本模型基于欧拉角运动方程，其中的角度限制引起了机械臂姿态的不连续性和奇异性。
Quaternions动力学建模法：正是因为欧拉角动力学建模法存在的不连续性和奇异性问题，该问题也被Quaternions动力学建模法很好地解决了。
这个模型附属于一个四元数系统，它具有更好地解决方案的不连续性和奇异性等方面的优势，因此应用广泛。
本体角动力学建模法：柔性机械臂相对于地面的位移和基本运动轴之间的关系通常称为本体运动。
这种类型的建模方法可以用于需要计算机身姿态运动的场合。
但是，本体角动力学建模法也存在“万向锁”问题，限制了它在柔性机械臂领域的应用。
柔性机器人系统碰撞动力学建模
0 前言
随着机器人技术不断向高速度、高精度、轻型 化和大跨度方向发展，柔性机器人动力学的研究越 来越受到重视。单机器人的操作比较有限，机器人 之间的协调操作可以弥补其不足。协调操作不可避 免地要求人们研究机器人与工作对象之间、机器人 与机器人之间、机器人内部各个杆件之间的碰撞及 其动力学响应问题，从而为机器人轨迹规划与实时 控制提供依据。碰撞是机器人操作过程中不可避免 的动载条件，柔性机器人的碰撞将产生系统速度的 突变， 碰撞过程产生的巨大冲击力将激发高阶模态， 从而影响系统的动态特性。此外，机器人杆件柔性 程度的不同，也对碰撞系统的动力学效应产生不同 的影响。总之，碰撞对机器人轨迹规划和实时控制 等带来严峻的挑战，国内外学者对柔性机器人碰撞 动力学给予了高度重视[1-5]。KHULIEF 等[1]运用广 义冲量－动量定理研究了柔性体的碰撞，求出碰撞 后系统的动力学响应。 CHAPNIK 等[2]对单臂机器人 碰撞动力学进行了研究，采用有限元法建模，建模 时考虑了多种阻尼效应，其理论计算结果与文中自 行设计的试验结果吻合得很好。刘锦阳等[3]采用子 结构法[4]， 由 JOURDAIN 变分原理导出了柔性机械 臂在碰撞前、碰撞阶段以及碰撞后的动力学方程， 它区别于文献 [1] 的显著特色在于能获得碰撞过程 中的动力学性态，并能求出撞击力。刘才山等[5]针 对做大范围回转运动的柔性梁与固定斜面碰撞的情
=− m ∆z
ˆ ∂V Ι ∂z
(9)
式中，m 为柔性机器人系统的广义质量矩阵，可以 为碰撞前后广义速度之 由现有的文献[6]得到， ∆z =z −z 0 。 差，即 ∆z 此处的关键问题是式(9)右端函数的计算。将式 (7)代入式(9)的右端，得 = RΙ m ∆z (10) Ι 式中 R 为广义冲量阵，其形式为
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柔性机械臂动力学建模
一,研究现状
柔体动力学建模方面国内外出现很多研究,主要针对关节柔性与柔性臂杆进行建模。
其中,Chang-Jin Li, T、S、 Sankar, 利用拉格朗日方程及假设模态法对柔性机械臂进行建模,提出的该方法可以降低运算量,并用单连杆柔性机器人进行证明验证;
B、Subudhi ,A、S、Morris, 基于欧拉-拉格朗日法与假设模态法对多柔性杆与柔性关节进行动力学建模;
Gnmarra-Rosado VO,Yuhara, EAO,利用牛顿-欧拉公式与有限元分析法对两柔性两转动关节推导动力学方程;
危清清,采用拉格朗日及假设模态法建立柔性机械臂辅助空间站舱段对接过程的动力学方程;
谢立敏,基于动量、动量矩守恒关系与拉格朗日假设模态法对双柔性关节单柔性臂建模;王海,在考虑外部干扰下对柔性关机机械臂进行动力学建模;刘志全,基于精细模型的空间机械臂对柔性关节进行建模。
1，建模过程原理
1）坐标系的选择(根据机械臂运动姿态选择不同的坐标系,一般包括绝对坐标系与相对坐标系,如表1所示)
设柔性体的变形始终处于弹性范围内,因为任何一个弹性体都具有无限多自由度,忽略轴向变形与剪切变形的影响,仅考虑弯曲变形,通常都将柔性体离散成有限自由度作为近似分析模型。
(对变形场进行离散化后得到的常微分方程将有利于对柔性多体系统动力学建模研究的进一步深入)如下表2所列。
根据原理的不同一般常用的可分为牛顿-欧拉方法,拉格朗日方程(第二类),以及凯恩方程。
如表3所示。
表3 动力学建模方法
二,单杆柔性机械的建模过程
1,模型简化假设
关节建模时需要注意关节齿轮传动间隙,间隙的存在使得传动机构存在误差,输出运动与输入运动不再就是线性关系;另外,关节臂驱动力就是通过电机来提供,电机中的电感电阻等元件,会影响电机力矩的产生,即关机建模的精细化问题,这里只进行简单的处理,不考虑精细化问题。
柔性关节主要由分体式永磁同步电机,谐波减速器,永磁制动器,光电编码器与圆光栅等组成。
谐波减速器为柔性关节的减速与驱动装置,一般把把关节视为转子-扭簧系统。
柔性臂杆的模型假设
一般将柔性杆简化为简支梁,如何选择梁的模型,取决于剪切与旋转对梁的横向变形的影响。
Timoshenko梁同时考虑了梁的剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响,较适合于机械臂粗短的情况,实际上接近刚性臂。
Euler-Bernoulli梁则忽略梁的剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响,适于细长臂且横截面可以变化的情况。