矩阵论第2章内积空间
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矩阵理论-第二章内积空间
2
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
戴华《矩阵论》线性空间与内积空间PPT精品文档
组 Ax 的一个基础解系， 为 Ax b 的一
个特解。
.
15
.
16
向量的线性相关性：
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、 线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推 广到一般线性空间。
.
17
.
18
.
19
.
20
.
21
证明：取k1 ，k2 ，k3∈R， 令 k11+k22+k33
k 1 1 00 0 k2 1 11 0 k3 1 01 0 0 00 0 则有k1-k2=0, k2 +k3=0
( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
.
38
从而 ( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
(A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4)C 1 1 C 2
.
32
由题， 在基 1,2,3下的坐标为 x(3,2,4)T
而且，基 1,2,3 到基 1,2,3的过渡矩阵为
1 2 4
所以
P
0
1
4
0 0 1
1 2 4 3 2 3
y P1x 0
1
4 2
1
8
0 0 1. 4 4
33
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
1 0
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
.
30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
个特解。
.
15
.
16
向量的线性相关性：
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、 线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推 广到一般线性空间。
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证明：取k1 ，k2 ，k3∈R， 令 k11+k22+k33
k 1 1 00 0 k2 1 11 0 k3 1 01 0 0 00 0 则有k1-k2=0, k2 +k3=0
( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
.
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从而 ( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
(A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4)C 1 1 C 2
.
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由题， 在基 1,2,3下的坐标为 x(3,2,4)T
而且，基 1,2,3 到基 1,2,3的过渡矩阵为
1 2 4
所以
P
0
1
4
0 0 1
1 2 4 3 2 3
y P1x 0
1
4 2
1
8
0 0 1. 4 4
33
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
1 0
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
.
30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
第二章 内积空间 矩阵理论课件
(4) 定性：( x, x)=0 x .
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R上的线性空间。如果对 V 中任意
两个向量 、 V 都存在所谓 与 的内积 (, ) R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1) (, ) ( , ) ; 、、 V
4 （3）特别地，当 α 与 β 正交时，有
||α β|| 2 ||α|| 2 ||β|| 2 .
最后我们给出欧氏空间 V 的内积的坐标表示形式。
设 1,2, ,n 为 V 的任意一组基，向量 , 在
此基下的坐标分别为
x ( x1, x2 , , xn )T , y ( y1, y2, , yn )T .
1
t t dt
1
2 3
,
g23 (2,3 ) (t, t 2 )
1 t t 2 dt 0,
1
g33 (3,3 ) (t 2, t 2 )
1 t 2 t 2 dt
1
2 5
.
度量矩阵 G 是对称矩阵，所以所求为
2 G 0
0
2 3
2 3Leabharlann 0 .2 30
2 5
（2）f (t) 和 g(t) 在自然基下的坐标分别是
( , ) T T
a1b1 a2b2 anbn .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空 间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H { | (a1, a2, , an, )T }, a2i
i 1
( , ) T T
在 R3 中，选取自然基 i, j, k，则度量矩阵
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R上的线性空间。如果对 V 中任意
两个向量 、 V 都存在所谓 与 的内积 (, ) R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1) (, ) ( , ) ; 、、 V
4 （3）特别地，当 α 与 β 正交时，有
||α β|| 2 ||α|| 2 ||β|| 2 .
最后我们给出欧氏空间 V 的内积的坐标表示形式。
设 1,2, ,n 为 V 的任意一组基，向量 , 在
此基下的坐标分别为
x ( x1, x2 , , xn )T , y ( y1, y2, , yn )T .
1
t t dt
1
2 3
,
g23 (2,3 ) (t, t 2 )
1 t t 2 dt 0,
1
g33 (3,3 ) (t 2, t 2 )
1 t 2 t 2 dt
1
2 5
.
度量矩阵 G 是对称矩阵，所以所求为
2 G 0
0
2 3
2 3Leabharlann 0 .2 30
2 5
（2）f (t) 和 g(t) 在自然基下的坐标分别是
( , ) T T
a1b1 a2b2 anbn .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空 间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H { | (a1, a2, , an, )T }, a2i
i 1
( , ) T T
在 R3 中，选取自然基 i, j, k，则度量矩阵
矩阵第二章 内积空间
第二章 内积空间目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。
§1 内积空间的概念定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。
如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。
(1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。
此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。
例2－1 对于nR 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积()∑==ni i i y x Y X 1,，n R 成为一个内积空间。
内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称为欧氏空间。
由于n 维实内积空间都与nR 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。
例2－2 如果对于nn RB A ⨯∈∀,，定义内积为()∑==nj i ij ij b a B A 1,,，则n n R ⨯成为一个内积空间。
例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f ba⎰=)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积的条件，从而],[b a R 构成内积空间。
内积()βα,具有下列基本性质(1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；(3) ()()0,,==βθθα。
定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈∀βα,，有()()()ββααβα,,,2≤，并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。
定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
矩阵论第2章 内积空间
，
2 2 2 ( )2
由此得到式 (1) .
对此式由 ，得到
.
由此得到式 (2) .
把定理 2-1 应用到欧氏空间 Rn 和例 2-3 中 R[a, b]得到两个著名
的不等式为
n
n
n
xi yi
xi2
（1） ( , k ) k( , ) ；
（2） , , , ；
（3） (, 0) (0, ) 0 ．
有了内积概念，就可以在内积空间引入向量的长度及向量之间的 夹角等概念．下面先证明关于内积的一个重要不等式.
定理 2-1 设V 是数域 R 上的内积空间，对 , V ，则有不
(, ) ( , ) 2 2
一般地，如果1 ,2 , ,k 是 k 个两两正交的向量组，则有 1 2 k 2 1 2 2 2 k 2
这利用内积性质及正交条件可以证明．
事实上，由正交性有
(i
, j
)
(
i
,i
)
i
2
,
ji ,
(i, j 1, 2,
,k)
0,
ji
得到
k
设12n????及12n????是n维欧氏空间v的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为a即12n?????12na????21上式转置得12??????????????12ta????????????22n?????n?????利用形式矩阵乘法将式22两边分别左乘式21得111212122212nnnnnn?????????????????????????????????????111212122212nntnnnnaa???????????????
由此可得，若1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V 的一组非零向 量，且满足条件：
2 2 2 ( )2
由此得到式 (1) .
对此式由 ，得到
.
由此得到式 (2) .
把定理 2-1 应用到欧氏空间 Rn 和例 2-3 中 R[a, b]得到两个著名
的不等式为
n
n
n
xi yi
xi2
（1） ( , k ) k( , ) ；
（2） , , , ；
（3） (, 0) (0, ) 0 ．
有了内积概念，就可以在内积空间引入向量的长度及向量之间的 夹角等概念．下面先证明关于内积的一个重要不等式.
定理 2-1 设V 是数域 R 上的内积空间，对 , V ，则有不
(, ) ( , ) 2 2
一般地，如果1 ,2 , ,k 是 k 个两两正交的向量组，则有 1 2 k 2 1 2 2 2 k 2
这利用内积性质及正交条件可以证明．
事实上，由正交性有
(i
, j
)
(
i
,i
)
i
2
,
ji ,
(i, j 1, 2,
,k)
0,
ji
得到
k
设12n????及12n????是n维欧氏空间v的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为a即12n?????12na????21上式转置得12??????????????12ta????????????22n?????n?????利用形式矩阵乘法将式22两边分别左乘式21得111212122212nnnnnn?????????????????????????????????????111212122212nntnnnnaa???????????????
由此可得，若1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V 的一组非零向 量，且满足条件：
矩阵论第二章
0
(2)
则 0 是 经单位化得到的单位向量。 定理1： [cauchy—schwarz不等式]对于内积 空间中任意向量 , ，有 ( , )
(3)
并且， 等号成立的 , 线性相关。
9°（三角不等式）对 向量 , ，有
定义4：设 V 是数域 F上的线性空间， 如果在V 上还定义了一种叫内积的运算：对于V 中任意 向量 , 都有 F 中唯一的数 x 与之对应， 记为
, x， 并且这种内积运算还具有如下性质：
对于任意的 , , V
1) , ,
及任意的 k F
有：
2) k , k , 4) 当 0时, , 0
3) , , ,
此时称 V 为一个内积空间。
n C 对于复数域上的线性空间 ， 若规定向量 例1：
a1 , a2 ,, an
1 1 , 2
( 2 , 1 ) 1 2 , [设 2 k1 2 , ( 1 , 1 )
( 2 , 1 ) k ( 1 , 1 )
因 ( 2 , 1 ) 0
]，
3
( 3 , 1 ) ( , ) 1 3 2 2 3，…, ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
定理3： 欧氏空间在一组基下的度量矩阵都 是正定矩阵。
, 证明：设 V 是 n 维欧氏空间，
1 2
,, n
是 V 的一
A 是该基下的度量矩阵。 的一组基， 为证明实对
称矩阵 A 正定， 只须证明实二次型 x
1 1 2 2 n n
T
Ax 正定，
(2)
则 0 是 经单位化得到的单位向量。 定理1： [cauchy—schwarz不等式]对于内积 空间中任意向量 , ，有 ( , )
(3)
并且， 等号成立的 , 线性相关。
9°（三角不等式）对 向量 , ，有
定义4：设 V 是数域 F上的线性空间， 如果在V 上还定义了一种叫内积的运算：对于V 中任意 向量 , 都有 F 中唯一的数 x 与之对应， 记为
, x， 并且这种内积运算还具有如下性质：
对于任意的 , , V
1) , ,
及任意的 k F
有：
2) k , k , 4) 当 0时, , 0
3) , , ,
此时称 V 为一个内积空间。
n C 对于复数域上的线性空间 ， 若规定向量 例1：
a1 , a2 ,, an
1 1 , 2
( 2 , 1 ) 1 2 , [设 2 k1 2 , ( 1 , 1 )
( 2 , 1 ) k ( 1 , 1 )
因 ( 2 , 1 ) 0
]，
3
( 3 , 1 ) ( , ) 1 3 2 2 3，…, ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
定理3： 欧氏空间在一组基下的度量矩阵都 是正定矩阵。
, 证明：设 V 是 n 维欧氏空间，
1 2
,, n
是 V 的一
A 是该基下的度量矩阵。 的一组基， 为证明实对
称矩阵 A 正定， 只须证明实二次型 x
1 1 2 2 n n
T
Ax 正定，
Matrix1-2内积空间PPT课件
子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别某些线性空间 的方法。
重要的子空间：
➢ 设向量组｛1，2，···， m｝Vn（F）， 由它们的一切线性组合生成的子空间：
m
➢L{矩1阵，A2，F m··×·，n，两m }个=子｛i空1 间ki：i ki F }
•A的零空间：N(A)=｛X ： AX=0｝F n，
“正交补”子空间
(i) 集合的U的正交集：
U=｛Vn(F )： U，(，)=0 ｝
(ii) 若U是Vn(F)的子空间，则
U 是Vn(F)子空间
(iii)
Vn(F)=U U 。
U的正交补子空间
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
2021/3/9
17
矩 阵
i1 j1
度量矩阵A的性质：Hermite 性与正定性
A
定义内积 在一个基{1，2，…， n }下定义内积 确定一个度量矩阵A 。
二、标准正交基
1. 标准正交的向量组：
定义：
｛1，2，…，n｝为正交组(i，j ) =0 性质：
2. 标准正交基
基｛1，
2，…，n｝是标准正交基
(i， j)=
1 0
dimW1＋dimW2=dim(W1＋W2)＋dim(W1W2) 证明的主要方法：基扩充方法
4. 子空间的直和
分析：如果dim(W1W2)0，则 dim(W1＋W2)dimW1＋dimW2 所以： dim(W1＋W2)=dimW1＋dimW2
dim(W1W2)=0 W1W2={0} 直和的定义： 定义1·6 ： dim(W1W2)=0 ，则和为直和 W=W 1＋W2=W1W2，
i j i j
标准正交基的优点：
重要的子空间：
➢ 设向量组｛1，2，···， m｝Vn（F）， 由它们的一切线性组合生成的子空间：
m
➢L{矩1阵，A2，F m··×·，n，两m }个=子｛i空1 间ki：i ki F }
•A的零空间：N(A)=｛X ： AX=0｝F n，
“正交补”子空间
(i) 集合的U的正交集：
U=｛Vn(F )： U，(，)=0 ｝
(ii) 若U是Vn(F)的子空间，则
U 是Vn(F)子空间
(iii)
Vn(F)=U U 。
U的正交补子空间
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
2021/3/9
17
矩 阵
i1 j1
度量矩阵A的性质：Hermite 性与正定性
A
定义内积 在一个基{1，2，…， n }下定义内积 确定一个度量矩阵A 。
二、标准正交基
1. 标准正交的向量组：
定义：
｛1，2，…，n｝为正交组(i，j ) =0 性质：
2. 标准正交基
基｛1，
2，…，n｝是标准正交基
(i， j)=
1 0
dimW1＋dimW2=dim(W1＋W2)＋dim(W1W2) 证明的主要方法：基扩充方法
4. 子空间的直和
分析：如果dim(W1W2)0，则 dim(W1＋W2)dimW1＋dimW2 所以： dim(W1＋W2)=dimW1＋dimW2
dim(W1W2)=0 W1W2={0} 直和的定义： 定义1·6 ： dim(W1W2)=0 ，则和为直和 W=W 1＋W2=W1W2，
i j i j
标准正交基的优点：
第二章矩阵论
例 设 H I n 2uu H , u C n ,且 变换 H 2uu H , 则
uH u 1
,定义
H , H 2uu H , 2uu H
H 2 H uu H 2uu H H ,
例 设欧氏空间P3 x 中的内积定义为
f x , g x
1 1
f x g x dx ,
f x , g x P3 x
取 f1 x x ，构造子空间 W Span x ， W 的一组正交基； （1）求 （2）将 W 分解为两个正交的非零子空 间的和。
, 也是 R 2 的内积。 可验证这样定义的
例3 对 f x , g x C a, b ，定义内积为
f x , g x
b a
f x g x dx
用定积分的性质可证明这样定义的 f x , g x 是 C a, b 的内积。
2 , 1 2 2 1 ,, 1 , 1 i , 1 i , 2 i , i 1 i i 1 2 i 1 1 , 1 2 , 2 i 1 , i 1
例 设P3 x 是全体次数小于3的实系数多项 式构成一个实线性空间，定义内积为 f x , g x 11 f x g x dx , f x , g x P3 x 不难验证这样定义的 f x , g x 是 P3 x 的内 积，求 P3 x 的一组标准正交基。
所以H是 C n 上的酉变换，称为Householder 镜象变换.
定理2.5 设T是内积空间V上的一个线性 变换，则下列命题等价： （1） T , T , , , V , （2） T , V ， 当V是有限维时，以上命题进一步与以下 命题等价。 （3） 1 , 2 ,, n 是V的一组标准正交基，则 T 1 , T 2 ,, T n 是V的一组标准正交基; （4）T在任一组标准正交基 1 , 2 ,, n下的 矩阵是酉矩阵。
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y1 n n y2 , xi y j i , j x1 , x2 ,, xn A xT Ay i 1 j 1 y n
则
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。
定理2：设 1, 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为n维欧氏空间V的基，它们 的度量矩阵为A和B，，C是 1, 2 ,, n 到 1 ,2 ,,n 的过渡
命题
设S是n维线性空间V 的一个子空间，则存在子空 间T , 使得
并称T是S的补空间。
证明： 设x1 ,x2 , …,x k是S的一组基，则它可扩充为 V的一组基x1 ,x2 , …,x k，x 令 则
k+1，
…,x n,
从而
练习P23：5, 6
第四节
线性映射
主要内容： 一、线性映射 二、线性映射的矩阵表示 三、线性映射的运算（自学） 四、不变子空间（自学）
例4在实线性空间中，对于任意两个 n阶矩阵A，B ，定 义 n n T A, B tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则
( A, B)
是内积，向量空间
R
nn
是欧氏空间。
内积的性质
对于欧氏空间的向量 , ,
1.(0, ) ( ,0) 0, V ; 2.( , ) ( , ) ( , ); 3.( , k ) k ( , )
3 k , k , (4) , 0 当且仅当 0
时等式成立
则称复数 ( , )为向量 , 的内积。 定义了内积的复线性空间叫做酉空间。
酉空间内积的性质
对于酉空间的向量 , ,
1.( , k ) k ( , )
1 1
方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两 个向量的内积。
T T f ( x), g ( x) 在基1，x,x2的坐标分别为 (1,1,1) , (1,4,5) ,
则
( f , g ) T A
2 (1,1,1) 0 2 3
0 2 3 0
实例 求导运算T在多项式空间pn [x]上的值空间R(T)与 核空间N (T)分别为 R(T)=L{1 , x , x2 , … , x
n-1
}
N(T)={ 1 }
定理：设T是n维线性空间V的一个线性变换， 是n维线性空间V的基，
则 （1） T的值域R(T)与核N (T)都是V的子空间； 分别称为象子空间，核子空间；
例2、在R3中线性变换T将基
其中
变为基
（1）求T在基
（2）求向量
下的表示矩阵；
及 在基 下的坐标
解（1）依题意
则
（2）设
则 练习P23：7, 8
第二章 内积空间
主要内容
一、欧氏空间与酉空间
二、内积空间的度量
三、正交变换 四、正交子空间与正交投影 五、最小二乘问题
第一节
欧氏空间与酉空间
在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运算， 而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积正是适应 这种要求而引入的。内积空间是3维向量空间的自然推广， 故称实内积空间为欧氏空间，称复内积空间为酉空间。
1 , n 2 , n
矩阵 A 也常常称为度量矩阵（或 Gram 矩阵），因为许多 与向量度量有关的量可以用A来描述。
定理1：设A为n维欧氏空间V的基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵，则
（1）矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) , V , x11 x2 2 xn n ; y11 y2 2 yn n ;
说明： 在有些教材上酉空间的定义与本教材有所不同，主要是定义 中的（3），可采用： (3) k , k , 这样，在例（7）中的内积为：
, aibi
H
i
定理3：设A为n维酉空间V的基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵，则
（1）矩阵A为Hermite、正定矩阵；
2.( , ) ( , ) ( , );
3.( , ) ( , ) 0, V .
例7
在向量空间Cn，设
T
a1 , a2 ,, an ,
定义
i
b1 , b2 ,, bn T C n
则Cn成为酉空间。
, H aibi
, 0
当且仅当
0
时等式成立
则称实数 ( , )为向量 , 的内积，
定义了内积的实线性空间叫做欧氏空间。
例1
在向量空间Rn，设
T
a1 , a2 ,, an
定义
b1 , b2 ,, bn R n
T
, aibi T T
线性映射（变换）
有以下性质：
（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相 关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的 线性无关向量组； （4）设 则 并且
线性变换的值域与核
设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核 N (T)分别为 --T的全体像组成的集合 --零向量原像组成的集合 设A是n阶矩阵，A的值域R(A)与核N (A)分别为
（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。
例3 在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，
f ( x), g ( x) 定义
f ( x), g ( x) a
b
f ( x) g ( x)dx
是内积，
f ( x), g ( x) 利用定积分的性质，可以验证 C[a,b]是欧氏空间，但其维数无限。
解：设基1，x,x2的度量矩阵为 A (aij )33 ,
2 a23 a32 ( x, x ) 1x x dx 0 , a33 ( x , x ) 1x dx , 5
2
1 2
11dx 2 , a12 a21 (1, x) 1 xdx 0 , 2 2 2 1 x dx , x dx , a22 ( x, x) a13 a31 (1, x ) 3 3
一、欧氏空间
定义 在实线性空间V中，若任意两个向量 ,
按某种法则有实数与之对应，记作 ( , ) 并满足公理，
(1) , ,
(2) , , ,
(3)
k , k ,
(4)
(2) , V , x11 x2 2 xn n ; y11 y2 2 yn n ;
y1 n n 则 , xi y j i , j x1 , x2 ,, xn A y2 x H Ay i 1 j 1 y n
a11 (1,1)
1 1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
4
则
2 A0 2 3
0 2 3 0
2 3 0 2 5
2 2 （2）求 f ( x) 1 x x 与 g ( x) 1 4x 5x 的内积。
方法一：利用定义，直接计算 f ( x), g ( x) f ( x) g ( x)dx
三、子空间的直和
设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间，如果交空 间={0}，则称和空间为直和，记做
定理 : 设S1 ,S2是线性空间 V的两个子空间，则下列命 题等价 （1）和空间 为直和； （2）和空间
（3）若 则 的任意元 是S1的基， 是 可唯一表示成 是S2的基， 的基。
自学P11定理1.3.5
定理4：设 1, 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为n维酉空间V的基，它们
的度量矩阵为A和B，，C是 1, 2 ,, n 到 1 ,2 ,,n 的过渡
H 矩阵，则 B C AC
练习P38 1;2;3
即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。
第二节 内积空间的度量 主要容： 一、向量长度及性质 二、向量的正交性 三、标准正交基与与施密特正交化方法
（2）给定n维线性空间V的基后， V上的线性变换 与n阶矩阵之间存在一一对应关系。
（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，
是n维线性空间V的基，T1，T2在该基
下的矩阵为
矩阵分别为
则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下
（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在基
下的矩阵为
则
且向量
在该基下的坐标为
二、度量矩阵及性质
设 1 , 2 ,, n 为n维欧氏空间V的基，令
1 , 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 A , , n 2 n 1
n , n
i
可以验证 , 满足内积的定义，称之为Rn中的标准内积。 例2 在向量空间Rn，设
a1 , a2 ,, an T
定义
b1 , b2 ,, bn T R n
, iaibi i 可以验证 , 也是Rn中的内积。
说明（1）同一线性空间可定义不同的内积，从而形成 不同的欧氏空间。
2 3 1 0 0 4 2 5 5
三、酉空间
定义 在复线性空间V中，若任意两个向量 , 按某种法则有复数与之对应，记作 ( , ) 并满足公理，
(1) , ( , )
(2) , , ,
一、线性映射（变换）的定义及性质
则
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。
定理2：设 1, 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为n维欧氏空间V的基，它们 的度量矩阵为A和B，，C是 1, 2 ,, n 到 1 ,2 ,,n 的过渡
命题
设S是n维线性空间V 的一个子空间，则存在子空 间T , 使得
并称T是S的补空间。
证明： 设x1 ,x2 , …,x k是S的一组基，则它可扩充为 V的一组基x1 ,x2 , …,x k，x 令 则
k+1，
…,x n,
从而
练习P23：5, 6
第四节
线性映射
主要内容： 一、线性映射 二、线性映射的矩阵表示 三、线性映射的运算（自学） 四、不变子空间（自学）
例4在实线性空间中，对于任意两个 n阶矩阵A，B ，定 义 n n T A, B tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则
( A, B)
是内积，向量空间
R
nn
是欧氏空间。
内积的性质
对于欧氏空间的向量 , ,
1.(0, ) ( ,0) 0, V ; 2.( , ) ( , ) ( , ); 3.( , k ) k ( , )
3 k , k , (4) , 0 当且仅当 0
时等式成立
则称复数 ( , )为向量 , 的内积。 定义了内积的复线性空间叫做酉空间。
酉空间内积的性质
对于酉空间的向量 , ,
1.( , k ) k ( , )
1 1
方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两 个向量的内积。
T T f ( x), g ( x) 在基1，x,x2的坐标分别为 (1,1,1) , (1,4,5) ,
则
( f , g ) T A
2 (1,1,1) 0 2 3
0 2 3 0
实例 求导运算T在多项式空间pn [x]上的值空间R(T)与 核空间N (T)分别为 R(T)=L{1 , x , x2 , … , x
n-1
}
N(T)={ 1 }
定理：设T是n维线性空间V的一个线性变换， 是n维线性空间V的基，
则 （1） T的值域R(T)与核N (T)都是V的子空间； 分别称为象子空间，核子空间；
例2、在R3中线性变换T将基
其中
变为基
（1）求T在基
（2）求向量
下的表示矩阵；
及 在基 下的坐标
解（1）依题意
则
（2）设
则 练习P23：7, 8
第二章 内积空间
主要内容
一、欧氏空间与酉空间
二、内积空间的度量
三、正交变换 四、正交子空间与正交投影 五、最小二乘问题
第一节
欧氏空间与酉空间
在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运算， 而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积正是适应 这种要求而引入的。内积空间是3维向量空间的自然推广， 故称实内积空间为欧氏空间，称复内积空间为酉空间。
1 , n 2 , n
矩阵 A 也常常称为度量矩阵（或 Gram 矩阵），因为许多 与向量度量有关的量可以用A来描述。
定理1：设A为n维欧氏空间V的基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵，则
（1）矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) , V , x11 x2 2 xn n ; y11 y2 2 yn n ;
说明： 在有些教材上酉空间的定义与本教材有所不同，主要是定义 中的（3），可采用： (3) k , k , 这样，在例（7）中的内积为：
, aibi
H
i
定理3：设A为n维酉空间V的基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵，则
（1）矩阵A为Hermite、正定矩阵；
2.( , ) ( , ) ( , );
3.( , ) ( , ) 0, V .
例7
在向量空间Cn，设
T
a1 , a2 ,, an ,
定义
i
b1 , b2 ,, bn T C n
则Cn成为酉空间。
, H aibi
, 0
当且仅当
0
时等式成立
则称实数 ( , )为向量 , 的内积，
定义了内积的实线性空间叫做欧氏空间。
例1
在向量空间Rn，设
T
a1 , a2 ,, an
定义
b1 , b2 ,, bn R n
T
, aibi T T
线性映射（变换）
有以下性质：
（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相 关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的 线性无关向量组； （4）设 则 并且
线性变换的值域与核
设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核 N (T)分别为 --T的全体像组成的集合 --零向量原像组成的集合 设A是n阶矩阵，A的值域R(A)与核N (A)分别为
（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。
例3 在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，
f ( x), g ( x) 定义
f ( x), g ( x) a
b
f ( x) g ( x)dx
是内积，
f ( x), g ( x) 利用定积分的性质，可以验证 C[a,b]是欧氏空间，但其维数无限。
解：设基1，x,x2的度量矩阵为 A (aij )33 ,
2 a23 a32 ( x, x ) 1x x dx 0 , a33 ( x , x ) 1x dx , 5
2
1 2
11dx 2 , a12 a21 (1, x) 1 xdx 0 , 2 2 2 1 x dx , x dx , a22 ( x, x) a13 a31 (1, x ) 3 3
一、欧氏空间
定义 在实线性空间V中，若任意两个向量 ,
按某种法则有实数与之对应，记作 ( , ) 并满足公理，
(1) , ,
(2) , , ,
(3)
k , k ,
(4)
(2) , V , x11 x2 2 xn n ; y11 y2 2 yn n ;
y1 n n 则 , xi y j i , j x1 , x2 ,, xn A y2 x H Ay i 1 j 1 y n
a11 (1,1)
1 1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
4
则
2 A0 2 3
0 2 3 0
2 3 0 2 5
2 2 （2）求 f ( x) 1 x x 与 g ( x) 1 4x 5x 的内积。
方法一：利用定义，直接计算 f ( x), g ( x) f ( x) g ( x)dx
三、子空间的直和
设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间，如果交空 间={0}，则称和空间为直和，记做
定理 : 设S1 ,S2是线性空间 V的两个子空间，则下列命 题等价 （1）和空间 为直和； （2）和空间
（3）若 则 的任意元 是S1的基， 是 可唯一表示成 是S2的基， 的基。
自学P11定理1.3.5
定理4：设 1, 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为n维酉空间V的基，它们
的度量矩阵为A和B，，C是 1, 2 ,, n 到 1 ,2 ,,n 的过渡
H 矩阵，则 B C AC
练习P38 1;2;3
即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。
第二节 内积空间的度量 主要容： 一、向量长度及性质 二、向量的正交性 三、标准正交基与与施密特正交化方法
（2）给定n维线性空间V的基后， V上的线性变换 与n阶矩阵之间存在一一对应关系。
（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，
是n维线性空间V的基，T1，T2在该基
下的矩阵为
矩阵分别为
则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下
（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在基
下的矩阵为
则
且向量
在该基下的坐标为
二、度量矩阵及性质
设 1 , 2 ,, n 为n维欧氏空间V的基，令
1 , 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 A , , n 2 n 1
n , n
i
可以验证 , 满足内积的定义，称之为Rn中的标准内积。 例2 在向量空间Rn，设
a1 , a2 ,, an T
定义
b1 , b2 ,, bn T R n
, iaibi i 可以验证 , 也是Rn中的内积。
说明（1）同一线性空间可定义不同的内积，从而形成 不同的欧氏空间。
2 3 1 0 0 4 2 5 5
三、酉空间
定义 在复线性空间V中，若任意两个向量 , 按某种法则有复数与之对应，记作 ( , ) 并满足公理，
(1) , ( , )
(2) , , ,
一、线性映射（变换）的定义及性质