第二章内积空间

第二章 内积空间

在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性

质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。

§2.1欧氏空间与酉空间

一、欧氏空间与酉空间

定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =

),(),(.2y x y x λ=λ，λ?∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ?∈

0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=

则称(,)x y 为V 的内积。称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21

),(x x x =为x 的长度或模。

例1 在[]n P x 中定义1

0((),())()()f x g x f x g x dx =?，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]n

P x 构成一个欧氏空间。 例2 在n n ?R 中对,n n A B ??∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ?R 为欧氏空间。 证明 因为,,,n n A B C λ??∈∈R R

（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===

（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+

（4） 2

11

(,)tr()0n n

T

ij

j i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ?R 为欧氏空间。 例3 ,n x y ?∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。

例4 设A 为n 阶正定阵且,n x y ?∈R 定义T (,)x y x Ay =，则n R 是n 维欧氏空

间。 证明 ,,,n x y z λ?∈∈R R

（1）T T T T (,)[](,)x y x Ay x Ay y Ax y x ==== （2）T (,)(,)x y x Ay x y λλλ==

（3）T T T (,)()(,)(,)x y z x y Az x Az y Az x z y z +=+=+=+

（4）因为T x Ax 正定二次型，故T (,)0x x x Ax =≥，T 0x Ax x θ=?=

注：例3、例4说明在一个线性空间中可以定义不同的内积，但其得到的欧氏空

间我们视为不同的。

由于经常用到复矩阵及其相关性质，故以下列出一些常用概念及性质。

矩阵共轭及共轭转置：设n n A ?∈C 1. ()ij m n A a ?= ，()ij m n A a ?=，称A 为A 的共轭。 2. A B A B +=+，,m n A B ?∈C 。 3. AB A B =，,m s s n A B ??∈∈C C 。

4. 记T

H A A =，H A 称为A 的复共轭转置矩阵，m n A ?∈C 。

5. T

H T A A A ==，m n A ?∈C 。 6. H H H ()A B A B +=+，,m n A B ?∈C 。 7. H H ()kA kA =，k ∈C 。

8. H H H ()AB B A =，,m s s n A B ??∈∈C C 。 9.

H H ()A A =，m n A ?∈C 。

10. 若H A A =，则称A 为埃尔米特（Hermite ）矩阵，n n A ?∈C 。

11. 若H A A =-，则称A 为反埃尔米特矩阵，n n A ?∈C

定义2 设V 是C 上的线性空间，若V y x ∈?,有(,)x y ∈C 且满足： ),(),(.1x y y x = ),(),(.2y x y x λ=λ λ∈C

),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ?∈

0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=

则称(,)x y 为V 的内积，称定义了上述内积的有限维线性空间()V C 为复内积空间或酉空间，称21

),(x x x =为x 的长度或模。

例5 在n C 中定义H (,)x y x y =，则n C 是酉空间。

注：在n C （n R ）中定义的内积H (,)x y x y =（T x y ）称为标准内积。以后若无特

殊说明，n C （n R ）及其子空间的内积均采用标准内积。

例6在m n ?C 中对,m n A B ??∈C 定义H (,)tr()A B A B =,则m n ?C 为酉空间。

证明 与例2类似，请读者自证。

二、欧氏空间与酉空间的性质 定理1：设(,)x y 是酉空间V 的内积，则 （1）(,)(,)x y x y λλ=，,x y V ∈，λ∈C （2）(,)(,)(,)x y z x y x z +=+，,,x y z V ∈

（3）11

11

(,

)(,)m

r

m r

i i j

j i j i j i j i j x y x y λμ

λμ=====∑∑∑∑， 其中,i j λμ∈C ，,i j x y V ∈，

1,2,,i m =，1,2,,j r =。

证明（1） (,)(,)(,)(,)x y y x y x x y λλλλ=== （2）),(),(),(),(),(),(z x y x x z x y x z y z y x +=+=+=+

（3）由定理1的（2 ）得

1

1

11

(,

)(,

)m

r

m

r

i i j

j i i j

j i j i j x y x y λμ

λμ

=====∑∑∑∑

11(,)m

r

i i j j i j x y λμ===∑∑

11

(,)m

r

i j i j i j x y λμ===∑∑

上述定理1的结论在欧氏空间显然成立，即 推论1设(,)x y 是欧氏空间V 的内积，则 （1）(,)(,)x y x y λλ=，,x y V ∈，λ∈R （2）(,)(,)(,)x y z x y x z +=+，,,x y z V ∈

（3）11

11

(,

)(,)m

r

m r

i i j

j i j i j i j i j x y x y λμ

λμ=====∑∑∑∑ 其中,i j x y V ∈，,i j λμ∈R ，

1,2,,i m =，1,2,,j r =。

定理2 设(,)x y 是酉（欧氏）空间V 的内积，则 （1）kx k x =，k ∈C （k ∈R ）。 （2）(,)x y x

y ≤，柯西—许瓦兹（Cauchy ––Schwarz ）不等式

（3）x y x y +≤+ 证明 不妨设V 是酉空间。

（1）kx k x ===。

（2）y θ=时显然，不妨设y θ≠，考虑

),(02

y x y x y x λ-λ-=λ-≤

),(),(),(),(2

y y x y y x x x λ+λ-λ-=

取)

,()

,(y y x y =

λ，则 2

2

2

2

2

2

2

(,)(,)(,)0x y x y y x x y

y

y

-

-

+

≥

所以

y x y x ≤),(

（3） 2

(,)x y x y x y +=++

2

2

(,)(,)x x y y x y =+++ 2

2Re(,)x x y y =++ 2

22(,)x x y y ≤++， 由柯西—许瓦兹不等式，即得 2

x y +2

2

22()x x

y y x y ≤++=+

所以 y x y x +≤+

三、内积在基下的矩阵

线性空间中，向量是由一个基唯一线性表示的，而内积是两个向量的运算，所以我们自然要讨论欧氏（酉）空间中内积与基的关系。

定义3：设12,,

,n εεε为欧氏（酉）空间V 的基，则称n n ij a A ?=)(为内积在基

下的矩阵，也称度量矩阵，其中n j n i a j i ij 2,1,2,1),(==εε=。 定理3设12,,

,n εεε为酉空间V 的基，则

（1） 内积在基下的矩阵A 是埃尔米特矩阵，即H A A =。

（2）H (,)x y x A y =，其中(=x x n ~),,21εεε ，(=y y n ~),,21εεε ，,n x y ∈C 。

（3）n x θ?≠∈C 均有H 0x A x >。

证明 （1） 由于ji i j j i ij a a =εε=εε=),(),(，故H A A =。

（2） 设T T 1212(,,

,),(,,,)n n x x x x y y y y ==，由定理1有

11

(,)(,

)n

n

i i j j

i j x y x y εε

===∑∑

11

(,)n

n

i j i j i j x y εε===∑∑

H 11

n n

i j ij i j x y a x Ay ====∑∑

（3）(x x θ≠?=12,,,)n x εεεθ≠，所以H (,)0x A x x x =>。

在欧氏空间中，由定理3可得类似结论。 推论2 设12,,

,n εεε为欧氏空间V 的基，则

（1） 内积在基下的矩阵A 是实对称阵，即T A A =。

（2）T (,)x y x A y =，其中(=x x n ~),,21εεε ，(=y y n ~),,21εεε ，,n x y ∈R 。

例7 3(),()[]f x g x P x ?∈，定义2

((),())()()f x g x f x g x dx =?，则3[]P x 为欧氏

空间，求内积在基21,1,(1)x x --下的矩阵。

解 2

110

2a dx ==?，2

120

(1)0a x dx =-=?， 2

2130

2

(1)3

a x dx =-=

? 2

2220

2

(1)3

a x dx =-=

?，23230(1)0a x dx =-=?

243302(1)5

a x dx =-=?

因为A 是实对称阵，所以22032

03220

35A ?

????

???=??????????

。

定理4 设欧氏（酉）空间的内积),(y x 在两组基12,,

,n εεε和12

,,,n

εεε'''下的矩阵分别为B A ,，且 12(,,,)(n

εεε'''=12,,,)n P εεε，则H B P AP =，即B 与A 合

同。 证明：设(),(,),(),(,)ij n n ij i j ij n n ij i j A a a B b b εεεε??''==== ，12()n P p p p =，

则

12

(,,,)(n

εεε'''=12,,,)n P εεε =12(,,

,)n εεε12

()n p p p

所以

i ε'=12(,,,)n i p εεε j ε'=12(,,,)n j p εεε

故由定理3有

H (,)ij i j i j b p Ap εε''==

所以

H ()()ij n n i j n n B b p Ap ??==

H H H 1112

1H H H 1

2

n n

n n n p Ap p Ap p Ap p Ap p Ap p Ap ??

??=?

????? H 11

H []n n p Ap Ap p ??

??

=??????

H 1H 1

H []n n p A p p P AP p ????

==??????

§2.2向量的正交与标准正交基

一、向量的正交与标准正交基

定义1 设V 为欧氏（酉）空间，,x y V ∈，如果(,)0x y =，则称向量x 与y 正

交，记为x y ⊥。

在一个线性空间中，如果定义了两个不同的内积，得到两个欧氏（酉）空间，则向量在这两个欧氏（酉）空间的正交性不一定相同，如下例。

例1在[]n P x 中定义内积1

11((),())()()f x g x f x g x dx -=?，得欧氏空间1V ，定义

内积1

20

((),())()()f x g x f x g x dx =?，得欧氏空间2V ，取2(),()f x x g x x ==，则在1

V 中2x x ⊥，在2V 中x 与2x 不正交。

定义1 设V 为欧氏（酉）空间，12,,

,m ααα是V 中非零向量组，如果

12,,,m ααα两两正交，则称12,,,m ααα是正交向量组。若12,,

,m ααα是正交向量组且都是单位向量（即12||||||||||||1m ααα==

==），则称12,,

,m ααα是标准正

交向量组。

定理1 正交向量组是线性无关向量组。

证明 设12,,,m ααα是正交向量组，令1122m m k k k αααθ+++=，则

因为

1,(,)0,i j ij i j

i j

ααδ=?==?

≠? 所以

1122(,)m m i k k k αααα++

+1(,)m

j j i j k αα==∑

(,)00,1,2,

,i i i i k k i m αα==?==

故12,,,m ααα线性无关。

定义2 若12,,

,n εεε为欧氏（酉）空间的基且为标准正交向量组，则称

12,,,n εεε为标准正交基。

定义 3 设()n n n n A ??∈C R ，若H H n AA A A I ==(T T n AA A A I ==)，则称A 为酉矩阵（正交阵），全体n 阶酉（正交）矩阵构成的集合记为()n n n n ??U E 。

下列为酉矩阵的简单性质，设,n n A B ?∈U ，则 1. H 1A A -= 2. T n n A ?∈U 3. n n AB ?∈U 4. |det |1A =

证明 H H det det det 1n n A A I A A I =??==，即 det det 1A A ?=，|det |1A = 5. A 的特征值模为1，即|()|1A λ=。

证明 设λ是A 的特征值，则存在n x θ≠∈C ，使得Ax x λ=，所以

H H ()()Ax Ax x x λλ=?H H H x A Ax x x λλ=

即

1λλ=，|()|1A λ=

6. A 、T A 和H A 的列分别构成n C 的标准正交基。 证明 只证A 的列构成n C 的标准正交基，其余类似。 设12

[]n A ααα=，由H n A A I =得

H 1H 212H []n n n I αααααα??????=????????

所以

H

1,(,)0,i

j i j ij i j

i j ααααδ=?===?≠?

定理2 设12,,,n εεε为酉（欧氏）空间V 的标准正交基，则内积在基下的矩

阵为单位阵，从而内积(,)H x y x y =，其中,x y 分别为,x y 在基12,,,n εεε下的坐

标。

证明 设1212[,,

,],[,,

,]n n x x y y εεεεεε==，因为

1,(,)0,ij i j ij i j

a i j

εεδ=?===?

≠? 所以()ij n n n A a I ?==，所以由§2.1定理3得

H H H (,)n x y x Ay x I y x y ===

定理3 酉（欧氏）空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉（正交）矩阵。

证明 不妨设V 是酉空间，设12,,

,n εεε，12

,,,n

εεε'''是V 的两个标准正交基，P 为由12,,,n εεε到12,,,n εεε'''的过渡矩阵。由§2.1定理4知内积在这两个基下

的矩阵合同，又由本节定理2知内积在基下的矩阵为单位阵，故有H n n I P I P =，即H n P P I =，P 为酉矩阵。

推论1 设V 是酉（欧氏）空间，12(I):,,

,n εεε，12

(II):,,,n

εεε'''是V 的两个标准正交基，P 为由(I)到(II)的过渡矩阵，x 在(I)、(II)下的坐标分别是,a b ，则H b P a =。

证明 由§1.3定理1及P 为酉（正交）矩阵即得。

二、向量的正交化

由本节定理2、定理3知道酉（欧氏）空间中的基用标准正交基，则向量的内积表达和向量的坐标转换较为方便，而酉（欧氏）空间V 中的基与标准正交基是等价的，下面讨论如何从V 的一个基出发，求出V 的标准正交基，即向量正交化问题。

定理4 （Schmidt 正交化）设12,,

,m ααα是酉（欧氏）空间V 的线性无关向

量组，则在V 中存在正交向量组12,,

,m βββ，且使得

12[,,

,]m ααα=12[,,

,]m B βββ，其中()m m m m

m m

B ??∈

C R 为单位上三角阵（单位上三角阵：对角线元素都是1的上三角阵；()m m m m m m

??C R ：()m m m m ??C R 中秩为m 的矩阵全体）。

证明 令 11βα=

1222111(,)

(,)

βαβαβββ=-

132333121122(,)(,)

(,)(,)

βαβαβαββββββ=-

-

121121112211(,)(,)

(,)

(,)(,)

(,)

m m m m m m m m m βαβαβαβαβββββββββ----=-

--

-

不难证明12,,

,m βββ是V 中正交向量组。

而 11αβ=

1221211(,)

(,)

βααββββ=

+

132331231122(,)(,)

(,)(,)

βαβααβββββββ=

++

121121112211(,)(,)

(,)

(,)(,)

(,)

m m m m m m m m m βαβαβααββββββββββ----=

++

+

+

所以