第2章 内积空间
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矩阵理论-第二章内积空间
2
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
矩阵第二章 内积空间
第二章 内积空间目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。
§1 内积空间的概念定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。
如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。
(1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。
此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。
例2－1 对于nR 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积()∑==ni i i y x Y X 1,，n R 成为一个内积空间。
内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称为欧氏空间。
由于n 维实内积空间都与nR 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。
例2－2 如果对于nn RB A ⨯∈∀,，定义内积为()∑==nj i ij ij b a B A 1,,，则n n R ⨯成为一个内积空间。
例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f ba⎰=)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积的条件，从而],[b a R 构成内积空间。
内积()βα,具有下列基本性质(1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；(3) ()()0,,==βθθα。
定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈∀βα,，有()()()ββααβα,,,2≤，并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。
定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
第二章 内积空间-1
( A, B ) = ∑ ∑ aij bij = tr ( ABT )
i =1 j =1
n n
容易验证它满足内积定义的四个条件，因 容易验证它满足内积定义的四个条件， 对于所定义的内积构成一个欧氏空间。 此 ,对于所定义的内积构成一个欧氏空间。 对于所定义的内积构成一个欧氏空间 [注：此处如果将矩阵A看作一个长向量： 注 此处如果将矩阵 看作一个长向量 看作一个长向量： T A = (aij )n×n ⇔ A = (a11 ⋯ an1 ⋯ a1n ⋯ ann ) ∈ R n
ij
yi = c1i x1 + c2i x2 + ⋯+ cni xn (i = 1,2,⋯, n)
从而有： 从而有： (y i , y j ) = ∑ ∑ c si c tj (x s , x t )
n n i =1 j =1
= (c1i c2iFra bibliotek c1 j c2 j ⋯ cni )A (i, j = 1,2,⋯, n) ⋮ c nj
x =
i , j =1
∑ ξ iξ j (xi , x j ) = ξ T Aξ
n
(ξ = (ξ 1
ξ 2 ⋯ ξ n )T ∈ R n )
在V的基 的基
x =
y 1 , y 2 , ⋯ , y n 下：
i , j =1
∑η η ( y , y ) =
n i j i j
2 2 η12 + η 2 + ⋯ + η n
在欧氏空间中， 在欧氏空间中，一组基为标准正交基的 充分必要条件是它的度量矩阵为单位矩阵。 充分必要条件是它的度量矩阵为单位矩阵。
(α1,α1) (α1,α2 ) (α2 ,α1) (α2 ,α2 ) G(α1， ,αn ) = ⋯ ⋯ ⋯ (αn ,α1) (αn ,α2 ) ⋯ (α1,αn ) ⋯ (α2 ,αn ) ⋯ ⋯ ⋯ (αn ,αn )
第二章内积空间
y1 n n 则 (α , β ) = ∑∑ xi y j (α i ,α j ) = (x1 , x2 ,L , xn )A y2 = x H Ay M i =1 j =1 y n
定理4：设 ε1 , ε 2 ,L, ε n 与 η1 ,η 2 ,L,η n 为n维酉空间V的基，它们 定理4 维酉空间V的基， 的度量矩阵为A和B，，C是 ε1 , ε 2 ,L, ε n 到 η1 ,η 2 ,L,η n 的过渡 的度量矩阵为A ，，C
(α ,α )
.
∀α ≠ 0 ∈ V ,
称
α α
为α 的规范化单位向量
定义 α , β 的距离为 d (α , β ) = α − β 2、向量长度的性质
(1) α ≥ 0, 当且仅当 α = 0时等式成立； 时等式成立； (2) kα = k α ;
引理（Chauchy不等式） 引理（Chauchy不等式）设V是酉（欧氏）空间， ∀α , β ∈ V , 不等式 是酉（欧氏）空间， 向量的长度满足 证明: 证明:
y1 n n y2 (α , β ) = ∑∑ xi y j (α i ,α j ) = (x1 , x2 ,L, xn )A = xT Ay M i =1 j =1 y n
则
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。 的双线性函数来计算。 定理2：设 ε1 , ε 2 ,L, ε n 与 η1 ,η 2 ,L,η n 为n维欧氏空间V的基，它们 定理2 维欧氏空间V的基， 的度量矩阵为A ，，C 的度量矩阵为A和B，，C是 ε1 , ε 2 ,L, ε n 到 η1 ,η 2 ,L,η n 的过渡 证明详见P26-27） （证明详见 ） 矩阵，则 B = C AC 矩阵， 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。 欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。
定理4：设 ε1 , ε 2 ,L, ε n 与 η1 ,η 2 ,L,η n 为n维酉空间V的基，它们 定理4 维酉空间V的基， 的度量矩阵为A和B，，C是 ε1 , ε 2 ,L, ε n 到 η1 ,η 2 ,L,η n 的过渡 的度量矩阵为A ，，C
(α ,α )
.
∀α ≠ 0 ∈ V ,
称
α α
为α 的规范化单位向量
定义 α , β 的距离为 d (α , β ) = α − β 2、向量长度的性质
(1) α ≥ 0, 当且仅当 α = 0时等式成立； 时等式成立； (2) kα = k α ;
引理（Chauchy不等式） 引理（Chauchy不等式）设V是酉（欧氏）空间， ∀α , β ∈ V , 不等式 是酉（欧氏）空间， 向量的长度满足 证明: 证明:
y1 n n y2 (α , β ) = ∑∑ xi y j (α i ,α j ) = (x1 , x2 ,L, xn )A = xT Ay M i =1 j =1 y n
则
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。 的双线性函数来计算。 定理2：设 ε1 , ε 2 ,L, ε n 与 η1 ,η 2 ,L,η n 为n维欧氏空间V的基，它们 定理2 维欧氏空间V的基， 的度量矩阵为A ，，C 的度量矩阵为A和B，，C是 ε1 , ε 2 ,L, ε n 到 η1 ,η 2 ,L,η n 的过渡 证明详见P26-27） （证明详见 ） 矩阵，则 B = C AC 矩阵， 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。 欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。
第二章-内积空间
(,)TT
a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空
间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H {|(a 1,a2, ,an, )T}, a2 i
i1
(,)TT
a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
这个一元二次不等式对任意 恒成立，因此
4 ( ,)2 4 ( , )(,) 0
当 0 时，取 即两向量线性相关
时等式 成立。
类似于高等数学，根据柯西-施瓦茨不等式，我们称
a rcco s (,), [0 ,], 、 0
(4 )定 性 ： (x ,x )= 0 x .
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V是实数域 R 上的线性空间。如果对 V中任意
两个向量 、V 都存在所谓 与 的内积 (,)R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1)(,)(,); 、 、 V
注意到 R n 中的内积显然具有如下性质：
(1 )对 称 性 ： (x ,y ) (y ,x );
(2)双 线 性 性 ： (xy,z)(x,z)(y,z); (x， y+z)(x,y)(x,z); (kx,y)k(x,y), kR; (x,ky)k(x,y), kR;
(3)正 性 ： (x,x)0;
( , )( , )(,) ( , ) ( , ) ( ,) 2 ( , )( ,)
(,) (,)(,)
定理8 （柯西--施瓦茨不等式）如果 V 是数域 R 上
的欧氏空间，则对 V 中的任意向量 α、β V ，有
第二章 内积空间
第二章 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。
定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。
§2.1欧氏空间与酉空间一、欧氏空间与酉空间定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =),(),(.2y x y x λ=λ，λ∀∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积。
称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。
例1 在[]n P x 中定义10((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]nP x 构成一个欧氏空间。
例2 在n n ⨯R 中对,n n A B ⨯∀∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ⨯R 为欧氏空间。
证明 因为,,,n n A B C λ⨯∀∈∈R R（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+（4） 211(,)tr()0n nTijj i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ⨯R 为欧氏空间。
例3 ,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。
第2章 内积空间-2
1 2
1 2
cos sin
sin cos
1 2
G
1 2
就是一个正交变换。因为此变换的矩阵表示 G 是正
交矩阵。
矩阵分析简明教程
例2 HouseHolder变换
如图，
e2
x
x ( x, e1 )e1 ( x, e2 )e2 ,
2β
y
e1
因此向量 x 关于“与 e2 轴正交的直线”对称的镜
一、正交补与投影定理
定义 2.4.1 设 V1,V2 是数域 R上欧氏空间 V 的
两个子空间。向量 V 。如果对任意 V1 ，都 有 ( , ) 0 ，则称 与子空间 V1 正交，记
为 V1 。如果对任意 V2 ，都有 V1 ， 则称子空间 V1 与 V2 正交，记为 V1 V2
就称 x 为方程组的最小二乘解，这种方法就称为
最小二乘法。
矩阵分析简明教程
令 y A x ，显然 y R( A) ，因此求不相容方 程组的最小二乘解的问题即为在 R( A) 中找出向 量 Ax，使得向量b 到 Ax 的距离比到子空间 R( A) 中其它向量的距离都短，即Ax 是向量 b 在 R( A)
1. 正交投影的概念
定义 设 V1 是数域 R上欧氏空间V 的子空间。
向量 V 。如果有 1 V1 , 2 V1 使得
1 2
则称 1 是 在 V1 上的正交投影。
定理 （投影定理）设 V1 是数域 R 上欧氏空间V 的
子空间，则对任意 V ， 在 V1 上存在唯一 的正交投影。
矩阵分析简明教程
设 Rn 为单位向量，对任意 Rn ，定义
H ( E 2 H )
称H 为Householder 变换（初等反射变换），则 H 是 Rn 的正交变换。
第二章-数值分析(04)内积空间
证明：以二阶矩阵为例证明 10 取x ee2 得x T Ax 11 22 0 0 x 1 , 得x T Ax a a 取 , 01
数值分析
数值分析
(2) A是正定阵, A 也是正定阵； （由i 0证明） (3) A R nn , 若A是非奇异的, 则AT A是n 阶实对称正定阵；
数值分析
成 立, 则 , 必 线 性 相 关因 为 若 , 线 性 无 关 则k R, . , 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立矛 盾. ,
数值分析
数值分析
在不同的空间中Cauchy Schwarz不等式有 ,
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
用 1 与上式作内积得 ,
(1 , 11 r r ) 1 (1 , 1 ) 0
由 1 0 ( 1 , 1 ) 1
2
0, 从而有1 0 .
数值分析
数值分析
二、 内积范数
由内积定义的范数称为内积范数： ( , )
(1) x R n , x
x, x
2 2 2 x1 x 2 x n ,
称 x 为 n 维向量 x 的内积范数 .
(2) x R n , A为n阶对称正定矩阵, x的A范数定义为 x
a b
n
ij ij
若 ( x ) 1, 则 b ( f , g ) f ( x ) g ( x )dx
a
数值分析
定义 设[a , b]是有限或无限区间, ( x )是定义 在[a , b]上的非负可积函数, 若其满足 (1) ( x )dx 0,
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(a 1 , a 2 ) (a 2 , a 1 ) A T A 即 A 为实对称矩阵。 x T Ax (a , a ) 0 即 A 为实正定矩阵。
,a n 定理1 设A为n维欧氏空间V的基a1 ,a 2 , 的度量矩阵，则
(1)矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) a , b V , a x1a1 + x2a2 + + xnan , b y1a1 + y2a2 + + ynan ,
内积的作用：研究高维空间中的几何问题 内积的公理化定义要点
内积(a，b)是二元运算：V×V→ R (a，b)的公理性质 (a，b)是任何满足定义的运算。
欧氏空间的例子
例1. 线性空间 R n { ( x1 , x 2 , , x n ) T | x1 , x 2 , , x n R }
设 a 1， a 2， ,a n 是 n 维 实 内 积 空 间 V 的 一 个 基 ，
向量a 与b 在该基下的坐标为
x ( x1 , x 2 , , x n ) T , y ( x1 , x 2 , , x n ) T
a x 1a 1 + x 2 a 2 + + x n a n ,
n 例5 在实线性空间R n中，对于任意两个 n阶矩阵A，B， 定义 n n T ( A, B ) tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则 ( A, B 是内积，向量空间 )
8
是欧氏空间。 R nn
欧氏空间的性质
由定义知
(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ) (6) (a, kb ) = k(a, b )
第2章 内积空间
武汉理工大学理学院
同济大学数学系
2009-3-22
2.1 实内积空间
定义.设V 是一个实线性空间，R为实数域， 若a, b V, 存在唯一的 rR与之对应， 记作(a, b ) = r, 并且满足
(1) (a, b ) = (b, a ) (2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g ) (3) (ka, b ) = k(a, b ) (4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0 a = 0 实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。
由 || a + b || 2 (a + b , a + b ) || a || 2 + 2 (a , b ) + || b || 2 知
a 与b 正交 || a + b || 2 || a || 2 + || b || 2
这就是实内积空间中的勾股定理。
Remark. 正交（orthogonal）与垂直（perpendicular）的区别
有 在 欧 氏 空 间 C[ a , b ] 中 ， 对 任 意 的 向 量 f ( x ) C[ a , b ] ， 有
2 2 a a12 + a 2 + + an ．
f ( x)
b
a
f
2
(x)dx ．
a , b V , 引理（Cauchy-Schwarz不等式）设V是欧氏空间，
b y1a1 + y2a 2 + + yna n
17
( a , b ) ( x 1a 1 + x 2 a 2 + + x n a n , y 1a 1 + y 2 a 2 + + y n a n )
x i y i (a i , a j )
(a 1 , a 1 ) (a 1 , a 2 ) (a 1 , a n ) y1 (a 2 , a 1 ) (a 2 , a 2 ) (a 2 , a n ) y 2 ( x1 , x 2 , , x n ) (a , a ) (a , a ) (a , a ) y n 2 n n n n 1
n
a (a1 , a2 ,, an ) ， b (b1 , b2 ,, bn ) ，
规定
(a , b ) a1b1 + 2a2b2 + + nan bn ，
n
不难验证线性空间 R 对于如上规定的运算也构成一个内积空间．
6
例3. 线性空间 R n { ( x1 , x 2 , , x n ) T | x1 , x 2 , , x n R } A为 n 阶实正定矩阵， a ( x1 , x 2 , , x n ) T , b ( x1 , x 2 , , x n ) T 定义内积
2
b , 因 此 Cauchy-Schwarz 不 等 式 成立. 说明：等号仅当 a tb 0 即两个向量线性相关时成立.
2 2 2
即 (a , b ) a
结合不同的欧氏空间，可得Cauchy不等式的具体实例，如 （1） xi , yi R
x1 y1 + x2 y 2 + + xn y n x12 + x22 + + xn2 y12 + y 22 + + y n2 ,
( 2 ) || k a || | k | || a || ；
(3) || a + b || || a || + || b || 。
三角不等式
Remark. (1)~(3)为范数的本性特征
例 6 在欧氏空间 R 中，对任意的向量 a (a1 , a2 ,, an ) R ，
n n
2
对称性 线性性 正定性
则称 (a, b ) 为a 与b 的内积，V 为实内积空间。
冯· 诺依曼（John von Neumann，1903~1957）
冯· 诺依曼, 20世纪最重要的数学家之一，在现代计算机、博弈论和核武 器等诸多领域内有杰出建树的最伟大的科学全才之一，被称为“计算机之 父”和“博弈论之父”。 原籍匈牙利。布达佩斯大学数学博士。先后执教于柏林大学和汉堡大学。 1930年前往美国，后入美国籍。历任普林斯顿大学、普林斯顿高级研究所 教授，美国原子能委员会会员。美国全国科学院院士。早期以算子理论、 量子理论、集合论等方面的研究闻名，开创了冯· 诺依曼代数。第二次世 界大战期间为第一颗原子弹的研制作出了贡献。为研制电子数学计算机提 供了基础性的方案。1944年与摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）合著《 博弈论与经济行为》，是博弈论学科的奠基性著作。晚年，研究自动机理 论，著有对人脑和计算机系统进行精确分析的著作《计算机与人脑》。 主要著作有《量子力学的数学基础》（1926）、《计算机与人脑》（1958 ）、《经典力学的算子方法》、《博弈论与经济行为》（1944）、《连续 几何》（1960）等。
冯· 诺依曼（John von Neumann，1903~1957）
冯· 诺依曼从小聪颖过人，兴趣广泛，读书过目不忘。 据说他6岁时就能用古希腊语同父亲闲谈，一生掌握了七种语言，最擅德语，可在 他用德语思考种种设想时，又能以阅读的速度译成英语。他对读过的书籍和论文 ，能很快一句不差地将内容复述出来，而且若干年之后，仍可如此。 1911年一1921年，冯· 诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间，就崭露头角而深 受老师的器重。与费克特老师合作发表了第一篇数学论文，此时冯· 诺依曼还不到 18岁。1921年一1923年在苏黎世联邦工业大学学习．很快又在1926年以优异的成 绩获得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯· 诺依曼年仅22岁。 1927年一1929年冯· 诺依曼相继在柏林大学和汉堡大学担任数学讲师。1930年接受 了普林斯顿大学客座教授的职位，西渡美国。1931年他成为美国普林斯顿大学的 第一批终身教授，那时，他还不到30岁。1933年转到该校的高级研究所，成为最 初六位教授之一，并在那里工作了一生。冯· 诺依曼是普林斯顿大学、宾夕法尼亚 大学、哈佛大学、伊斯坦堡大学、马里兰大学、哥伦比亚大学和慕尼黑高等技术 学院等校的荣誉博士。 他是美国国家科学院、秘鲁国立自然科学院和意大利国立林且学院等院的院士。 1954年他任美国原子能委员会委员；1951年至1953年任美国数学会主席。 1954年夏，冯· 诺依曼被发现患有癌症，1957年2月8日，在华盛顿去世，终年54岁
例 7 在 R 中，向量组
n
0 , , 0 , 1 , 0 , , 0 , i 1 , 2 , , n i i ( i ) 中任意两个向量 i , j (i j ) 正交．
例8 零向量与任意向量正交 .
度量矩阵的来历
（2） f ( x), g ( x) C[a, b]
b
a
f ( x) g ( x)dx
b
a
f ( x)dx
2
b
a
g 2 ( x)dx ,
这就是著名的Schwarz不等式。
向量的夹角 a , b
由Cauchy-Schwaz不等式可知
(a , b ) 1 1, || a || || b ||
对比 Rn 中的结论， 可用
(a , b ) cos a , b [0, ] || a || || b ||
定义 a 与 b 在内积空间 中的 夹角 a , b .
向量的正交orthogonal
定义. 设V 是实内积空间，a , b V ,
若 (a , b ) 0 , 则称 a 与b 正交，记作 a b 。
(a , b ) a T A b
Remark: 对于同一个线性空间，可以定义不同的内 积成为不同的欧氏空间