第二章 内积空间
第二章 内积空间-1
( A, B ) = ∑ ∑ aij bij = tr ( ABT )
i =1 j =1
n n
容易验证它满足内积定义的四个条件，因 容易验证它满足内积定义的四个条件， 对于所定义的内积构成一个欧氏空间。 此 ,对于所定义的内积构成一个欧氏空间。 对于所定义的内积构成一个欧氏空间 [注：此处如果将矩阵A看作一个长向量： 注 此处如果将矩阵 看作一个长向量 看作一个长向量： T A = (aij )n×n ⇔ A = (a11 ⋯ an1 ⋯ a1n ⋯ ann ) ∈ R n
ij
yi = c1i x1 + c2i x2 + ⋯+ cni xn (i = 1,2,⋯, n)
从而有： 从而有： (y i , y j ) = ∑ ∑ c si c tj (x s , x t )
n n i =1 j =1
= (c1i c2iFra bibliotek c1 j c2 j ⋯ cni )A (i, j = 1,2,⋯, n) ⋮ c nj
x =
i , j =1
∑ ξ iξ j (xi , x j ) = ξ T Aξ
n
(ξ = (ξ 1
ξ 2 ⋯ ξ n )T ∈ R n )
在V的基 的基
x =
y 1 , y 2 , ⋯ , y n 下：
i , j =1
∑η η ( y , y ) =
n i j i j
2 2 η12 + η 2 + ⋯ + η n
在欧氏空间中， 在欧氏空间中，一组基为标准正交基的 充分必要条件是它的度量矩阵为单位矩阵。 充分必要条件是它的度量矩阵为单位矩阵。
(α1,α1) (α1,α2 ) (α2 ,α1) (α2 ,α2 ) G(α1， ,αn ) = ⋯ ⋯ ⋯ (αn ,α1) (αn ,α2 ) ⋯ (α1,αn ) ⋯ (α2 ,αn ) ⋯ ⋯ ⋯ (αn ,αn )
第二章内积空间
定理4：设 ε1 , ε 2 ,L, ε n 与 η1 ,η 2 ,L,η n 为n维酉空间V的基，它们 定理4 维酉空间V的基， 的度量矩阵为A和B，，C是 ε1 , ε 2 ,L, ε n 到 η1 ,η 2 ,L,η n 的过渡 的度量矩阵为A ，，C
(α ,α )
.
∀α ≠ 0 ∈ V ,
称
α α
为α 的规范化单位向量
定义 α , β 的距离为 d (α , β ) = α − β 2、向量长度的性质
(1) α ≥ 0, 当且仅当 α = 0时等式成立； 时等式成立； (2) kα = k α ;
引理（Chauchy不等式） 引理（Chauchy不等式）设V是酉（欧氏）空间， ∀α , β ∈ V , 不等式 是酉（欧氏）空间， 向量的长度满足 证明: 证明:
y1 n n y2 (α , β ) = ∑∑ xi y j (α i ,α j ) = (x1 , x2 ,L, xn )A = xT Ay M i =1 j =1 y n
则
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。 的双线性函数来计算。 定理2：设 ε1 , ε 2 ,L, ε n 与 η1 ,η 2 ,L,η n 为n维欧氏空间V的基，它们 定理2 维欧氏空间V的基， 的度量矩阵为A ，，C 的度量矩阵为A和B，，C是 ε1 , ε 2 ,L, ε n 到 η1 ,η 2 ,L,η n 的过渡 证明详见P26-27） （证明详见 ） 矩阵，则 B = C AC 矩阵， 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。 欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。
第二章-内积空间
(,)TT
a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空
间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H {|(a 1,a2, ,an, )T}, a2 i
i1
(,)TT
a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
这个一元二次不等式对任意 恒成立，因此
4 ( ,)2 4 ( , )(,) 0
当 0 时，取 即两向量线性相关
时等式 成立。
类似于高等数学，根据柯西-施瓦茨不等式，我们称
a rcco s (,), [0 ,], 、 0
(4 )定 性 ： (x ,x )= 0 x .
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V是实数域 R 上的线性空间。如果对 V中任意
两个向量 、V 都存在所谓 与 的内积 (,)R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1)(,)(,); 、 、 V
注意到 R n 中的内积显然具有如下性质：
(1 )对 称 性 ： (x ,y ) (y ,x );
(2)双 线 性 性 ： (xy,z)(x,z)(y,z); (x， y+z)(x,y)(x,z); (kx,y)k(x,y), kR; (x,ky)k(x,y), kR;
(3)正 性 ： (x,x)0;
( , )( , )(,) ( , ) ( , ) ( ,) 2 ( , )( ,)
(,) (,)(,)
定理8 （柯西--施瓦茨不等式）如果 V 是数域 R 上
的欧氏空间，则对 V 中的任意向量 α、β V ，有
课件：2-1 内积空间
m
n
m
n
(3) ( i xi , j y j ) (i xi , j y j )
i 1
j1
i 1
j1
mn
mn
(i xi , j y j )
i j ( xi , y j )
i1 j1
i1 j1
推论 设(x,y)是欧氏空间V的内积，则
(1) ( x, y) ( x, y), x, y V , C
则 C n 是n维酉空间。
称为标准内积
定义
设 A C mn 称 A (aij )mn 为A的共轭； 称 AH ( A)T 为A的共轭转置。
不难验证共轭转置矩阵满足下列性质：
(1) A B A B (2) AB AB (3) AH AT AT (4) ( A B)H AH BH
则 (x,y)=xH Ay (3) x C n , x , 均有 xH Ax 0
证明： 设 A (aij )nn , aij ( i , j ), 由于
aij (i , j ) ( j ,i ) aji
所以 AH A
(2)
( x, y) ( x11 x2 2 xn n , y11 y2 2 yn n )
V( x(C) y,酉z)空 间( x, z) ( y, z), z V （可加性） ( x, x) 0 等号成立当且仅当 x （正定性）
例2.1对任意的 x, y Rn，定义内积 ( x, y) xT y
则 Rn 是n维欧氏空间。 证：( x, y) xT y yT x ( y, x)
x
3
0
1 )112(
2( x 1)2
x
8
41)2
5
所以，f(x)，g(x)在基1,
第二章 内积空间
第二章 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。
定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。
§2.1欧氏空间与酉空间一、欧氏空间与酉空间定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =),(),(.2y x y x λ=λ，λ∀∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积。
称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。
例1 在[]n P x 中定义10((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]nP x 构成一个欧氏空间。
例2 在n n ⨯R 中对,n n A B ⨯∀∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ⨯R 为欧氏空间。
证明 因为,,,n n A B C λ⨯∀∈∈R R（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+（4） 211(,)tr()0n nTijj i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ⨯R 为欧氏空间。
例3 ,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。
工程矩阵理论第2章内积空间与等距变换.ppt
, = x11 + x22 +…+ xnn, y11 + y22 +…+ ynn
1, 1 1, 2 … 1, n y1 = (x1, x2, …, xn) 2, 1 2, 2 … 2, n y2
n, 1 n, 2 … n, n yn
… …
… …
= XTGY = (XTGY)T = YHGTX.
第二章 内积空间与等距变换
例2 在 n中定义X, Y = YHX, 则 n为酉空间.
注: 上述两个例子中的内积称为标准内积. 一般情况下, 如果不特别声明, 则 n和 n 中的内积均指标准内积.
例3 设A为n阶正定矩阵, 在 n中定义 X, Y = YTAX,
则 n为欧氏空间.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
… …
… …
…
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn) 2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn
n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn
1, 1 1, 2 … 1, n y1 = (x1, x2, …, xn) 2, 1 2, 2 … 2, n y2
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn) 2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn
n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn
…
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
第2章 内积空间
(a 1 , a 2 ) (a 2 , a 1 ) A T A 即 A 为实对称矩阵。 x T Ax (a , a ) 0 即 A 为实正定矩阵。
,a n 定理1 设A为n维欧氏空间V的基a1 ,a 2 , 的度量矩阵，则
(1)矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) a , b V , a x1a1 + x2a2 + + xnan , b y1a1 + y2a2 + + ynan ,
内积的作用：研究高维空间中的几何问题 内积的公理化定义要点
内积(a，b)是二元运算：V×V→ R (a，b)的公理性质 (a，b)是任何满足定义的运算。
欧氏空间的例子
例1. 线性空间 R n { ( x1 , x 2 , , x n ) T | x1 , x 2 , , x n R }
设 a 1， a 2， ,a n 是 n 维 实 内 积 空 间 V 的 一 个 基 ，
向量a 与b 在该基下的坐标为
x ( x1 , x 2 , , x n ) T , y ( x1 , x 2 , , x n ) T
a x 1a 1 + x 2 a 2 + + x n a n ,
n 例5 在实线性空间R n中，对于任意两个 n阶矩阵A，B， 定义 n n T ( A, B ) tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则 ( A, B 是内积，向量空间 )
8
是欧氏空间。 R nn
欧氏空间的性质
由定义知
(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ) (6) (a, kb ) = k(a, b )
内积空间
内积空间(2012-06-17 20:13:58)▼内积空间内积的几何解释在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。
这个额外的结构叫做内积或标量积。
这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。
内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。
关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。
内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。
在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。
在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。
定义下文中的数量域F是实数域或复数域。
域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：满足以下公理：∙共轭对称；这个设定蕴含着对于所有, 因为.(共轭也写成加星号：，如同共轭转置。
)∙对第一个元素是线性算子；由前两条可以得到：因此实际上是一个半双线性形式。
∙非负性：(这样就定义了对于所有。
说明内积是从点积抽象而来。
)∙非退化：从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。
在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。
当且仅当。
因此，内积空间是一个Hermitian形式。
V满足可加性：对所有的，，如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。
共轭双线性变成了一般的双线性。
备注。
多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。
很多物理学家接受相反的约定。
这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。
某些作者接受约定< , > 在第一个分量是线性的而< | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。
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第二章 内积空间目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。
§1 内积空间的概念定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。
如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。
(1)()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈）（3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。
此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。
例2－1 对于nR 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积()∑==ni i i y x Y X 1,，n R 成为一个内积空间。
内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称为欧氏空间。
由于n 维实内积空间都与nR 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。
例2－2 如果对于nn RB A ⨯∈∀,，定义内积为()∑==nj i ij ij b a B A 1,,，则n n R ⨯成为一个内积空间。
例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f ba⎰=)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积的条件，从而],[b a R 构成内积空间。
内积()βα,具有下列基本性质(1)()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；(3)()()0,,==βθθα。
定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈∀βα,，有()()()ββααβα,,,2≤，并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。
定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
若1||=α，则称α为单位向量。
对于任一非零向量α，取||ααβ=，则β是与α线性相关的单位向量。
这种做法称为向量的单位化。
利用向量长度的概念，Cauchy-Schwarz 不等式又可以表示为()βαβα⋅≤,。
当βα,都不是零向量时，由此不等式可得()1,≤⋅βαβα。
因此，可以利用等式()βαβαϕ⋅=,cos 来定义两个非零向量βα,的夹角ϕ，且限制ϕ的取值范围为πϕ≤≤0。
定义 当()θβα=,时，称βα,是正交的，记为βα⊥。
零向量与任何向量正交。
例2－4 若βα,是两个正交向量，则有222||||||βαβα+=+一般地，如果k ααα,,,21 是k 个两两正交的向量，则有22221221||||||||k k αααααα+++=+++从定理2－1可以推出如下简单推论。
推论 设V 是内积空间，V ∈∀βα,，有(1)βαβα+≤+； (2) βαβα-≥-。
把定理2－1应用到欧氏空间nR 和例2－3中],[b a R 得不等式∑∑∑===⋅≤ni ini ini ii yxyx 12121dx x g dx f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛)()()(222这是历史上两个著名的不等式。
§2 正交基与子空间的正交关系2.1 正交基的概念内积空间中两两正交的一组非零向量，称为正交组。
正交组是线性无关的。
定义2－3 在n 维欧氏空间中，由正交组构成的基称为正交基。
如果正交基中每个向量的长度都等于单位长度，则此正交基便称为标准正交基（或单位正交基）。
定理2－2（存在性）任一n 维欧氏空间V 都存在标准正交基。
通过施密特（Schmidt ）正交化过程，可将欧氏空间的基转化为标准正交基。
标准正交基下的内积设欧氏空间V 中的两向量在其标准正交基n ααα,,,21 的表达式分别为：n n x x x αααα+++= 2211，n n y y y αααβ+++= 2211，则有 ()n n y x y x y x +++= 2211,βα。
两组标准正交基之间的过渡矩阵是一个正交矩阵设n e e e ,,,21 及n e e e ''',,,21 是欧氏空间V 的两组标准正交基，从前一组基到后一组基的过渡矩阵为A ，即n i a nk k ki i ,,2,1,1=='∑=e e 。
则()n j i ji j i a a a a a a nk kj ki n k nt t k tj ki nt t tj nk k ki j i ,,2,1,,0,1 ),(),(),(11111=⎩⎨⎧≠=====''∑∑∑∑∑=====e e e e e e这表明E A A T=，即过渡矩阵为A 是一个正交矩阵。
2.2 正交子空间定义2－4 设21,V V 是内积空间V 的两个子空间。
如果对任意的21,V V ∈∈βα，都有()0,=βα，则称1V 与2V 是正交的，并记为21V V ⊥。
特别地，如果V 中某个向量α与子空间1V 中的每个向量都正交，则称α与1V 正交，记为1V ⊥α。
定理2－3 内积空间V 的两个正交子空间21,V V 的和21V V +是直和。
证明：如果存在21,V V ∈∈βα，使得θβα=+，则有()()()()()αααβαααβααθ,,,,,0=+=+==，所以θα=。
同理可证，θβ=。
因而零向量的表示方式是唯一的，即21V V +是直和。
定义2－5 设21,V V 是内积空间V 的两个子空间。
且满足V V V V V =+⊥2121,，则称2V 是1V 的正交补子空间，简称为正交补，记为⊥1V 。
定理2－4 n 维欧氏空间V 的任一子空间1V 都有唯一的正交补。
证明：若{}θ=1V ，则V 就是1V 的正交补。
若1V 是V 的()n m m ≤维子空间，我们取1V 的一组正交基m e e e ,,,21 ，并将其扩充为V 的一组正交基n m m e e e e e ,,,,,,121 +。
),,(12n m L V e e +=就是1V 的正交补。
唯一性。
设除2V 外，还有3V 也是1V 的正交补。
则3121V V V V V ⊕=⊕=。
令2V ∈α，则V ∈α，故存在3311,V V ∈∈αα，使得31ααα+=。
因为311,αααα⊥⊥，所以 ()()()()()1113111311,,,,,0ααααααααααα=+=+==，于是θα=1。
由此可得33V ∈=αα，即有32V V ⊆。
同理可证23V V ⊆，因此有32V V =。
□推论 n V V =+⊥11dim dim 。
§3 内积空间的同构定义1 两个内积空间V 与V '是同构的，如果V 与V '之间存在一个一一对应的映射σ，使得对任意的V ∈βα,及R k ∈均满足：(1)()()()βσασβασ+=+；(2) ()()ασασk k =；(3) ()()βασβσα,,=。
这就是说，两个内积空间认为是同构的，首先作为线性空间它们是同构的；其次，在这个同构之下向量内积是保持不变的。
定理2－5 所有的n 维欧氏空间都同构。
证明：设V 是n 维欧氏空间，n e e e ,,,21 是它的一组标准正交基。
对于任意的V n n ∈+++=e e e x ξξξ 2211，定义n R V →:σ为()()n ξξξσ,,,21 =x ，则σ是一个一一对应，且满足定义1中的条件(1)、(2)。
再证明(3)亦满足即可说明任一个n 维欧氏空间都与nR 同构。
由于同构是一种等价关系，所以所有的n 维欧氏空间都同构。
□§4 正交变换定义2－7 保持内积空间V 中向量内积不变的线性变换T ，称为V 的一个正交变换。
即对任意的V ∈βα,，都有()()βαβα,,=T T 。
定理2－6 设T 是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则下列各命题互相等价： (1) T 是正交变换；(2) T 保持向量的长度不变，即V ∈∀α，有αα=T ；(3) 若n e e e ,,,21 是V 的标准正交基，则n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基； (4) T 在任一标准正交基下矩阵是正交矩阵。
证明：(1)⇔(2)若T 是正交变换，则由()()βαβα,,=T T ，取αβ=，两边开方即可推出αα=T 。
反之，若T 保持向量的长度不变，即V ∈∀α，有()()αααααα,,===T T T ，则有()()()()βαβαβαβα++=++,,T T ，即()()()()()()βββαααβββααα,,2,,,2,++=++T T T T T T ，于是，得()()βαβα,,=T T ，即T 是正交变换。
(1)⇔(3)若T 是正交变换，则对V 的任一组标准正交基n e e e ,,,21 ，都有ij j i j i T T δ==),(),(e e e e ，n j i ,,2,1, =，因此n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基。
反之，若n e e e ,,,21 是V 的标准正交基，则n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基，则对V 中的任二向量n n x x x e e e +++= 2211α，n n y y y e e e +++= 2211β， 便有n n T x T x T x T e e e +++= 2211α，n n T y T y T y T e e e +++= 2211β， 因此()()βαβα,,2211=+++=n n y x y x y x T T ，即T 是正交变换。
(3)⇔(4)设T 在标准正交基n e e e ,,,21 下的矩阵为A ，即是说∑==nk k ki i a T 1e e ，n i ,,2,1 =。
若n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基，则作为两个标准正交基之间的过渡矩阵，A 是正交矩阵。
反之，若A 是正交矩阵，则有ij nk kj ki n t t tj n k k ki j i a a a a T T δ===∑∑∑===111),(),(e e e e ，n j i ,,2,1, =这说明n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基。
□例2－5 设T 是欧氏空间3R 的线性变换，()()()3321132321,,,,,,,R x x x x x x x x x T ∈∀=，试证明T 是正交变换。
证明：()()αααα,,=T T 即可。
例2－5 (1) 证明：V 的线性变换T 是正交变换⇔T 保持V 中任意两向量βα,的距离不变，即 βαβα-=-T T 。