天津市耀华中学2019届高三二模考试数学试卷(理科)Word版含解析
天津市耀华中学2018-2019学年高考数学二模试卷（理科）金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的
清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。
临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说
今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!
最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终
是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．复数z=在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )
A．必要不充分条件B．充分必要条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到
最大值，则实数a的取值范围( )
A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）
4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( )
A．B．C．D．
6．设直线l ：y=2x+2，若l 与椭圆x 2
+=1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为﹣1的点P 的个数为(
)
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．已知函数f （x ）满足f （x ）=x 2
﹣2（a+2）x+a 2
，g （x ）=﹣x 2
+2（a ﹣2）x ﹣a 2
+8．设H 1（x ）=max{f （x ），g （x ）}，H 2（x ）=min{f （x ），g （x ）}（max （p ，q ）表示p ，q 中的较大值，min （p ，q ）表示p ，q 中的较小值），记H 1（x ）的最小值为A ，H 2（x ）的最大值为B ，则A ﹣B=( )
A ．a 2
﹣2a ﹣16
B ．a 2
+2a ﹣16
C ．﹣16
D ．16
8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）=且f （x+2）=f
（x ），g （x ）=，则方程f （x ）=g （x ）在区间上的所有实根之和为( )
A ．﹣8
B ．﹣7
C ．﹣6
D ．0
二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．
9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前
3个小组的频率之比为
1：2：3，第
2小组的频数为
12，则抽取的男生人数是
__________．
10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．
11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为__________．
12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=__________．
13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x 2
＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值范围为
__________．
14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b 2
﹣2b+c2=0，
则?的取值范围是__________．
三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．
16．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行
两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不
合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80
元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利
X 元，求X 的分布列，并求
出均值E （X ）．
17．正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角
A ﹣DC ﹣B
（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E ﹣DF ﹣C 的余弦值；
（Ⅲ）在线段
BC 上是否存在一点
P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论．
18．已知函数f （x ）=log 3（ax+b ）的图象经过点A （2，1）和B （5，2），记a n =3
f （n ）
，n ∈N
*
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设
，T n =b 1+b 2+…b n ，若T n ＜m （m ∈Z ），求m 的最小值；
（3）求使不等式≥对一切n ∈N *
，均
成立的最大实数
p ．
19．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为的椭圆过点（，）．
（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点
O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成
等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．
20．已知函数f （x ）=e x
（其中e 为自然对数的底数，且e=2.71828…），g （x ）=x+m （m ，
n ∈R ）．
（Ⅰ）若T （x ）=f （x ）g （x ），m=1﹣，求T （x ）在上的最大值φ（n ）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f （x ）=g （x ）在上恰有两个相异实根，求实数
m 的取值范围；
（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．
天津市耀华中学2015届高考数学二模试卷（理科）
一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．复数z=在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
专题：计算题．
分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得
到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．
解答：解：∵z===+i，
∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．
故选A．
点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．
2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )
A．必要不充分条件B．充分必要条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：解三角形．
分析：利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．
解答：解：在△ABC中，“sinA＞”?“＞A＞”?“A＞”．必要性成立；
反之，“A＞不能?“sinA＞”，如A=时，sinA=sin=sin＜sin=，
即sinA，即充分性不成立，
∴可判断A＞是sinA＞的必要而不充分条件．。
天津市和平区2019届高三下学期第二次质量调查数学(理)试卷+Word版含解析
天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学（理）学科试卷第Ⅰ卷选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件互斥,那么如果事件相互独立,那么.柱体的体积公式. 锥体的体积公式.其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,表示柱体的高. 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合,,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案. 【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.已知满足约束条件则的最小值为A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】首先绘制出可行域，注意到目标函数取最小值时直线系方程在y轴的截距有最大值，据此结合直线方程确定目标函数取得最小值时点的坐标，然后代入目标函数确定其最小值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故选：C.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.【详解】由流程图可知，程序输出的值为：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.下列结论错误的是A. 命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 命题：“，”的否定是“，”D. 若“”为假命题，则均为假命题【答案】B【解析】【分析】由逆否命题的定义考查选项A，由不等式的性质考查选项B，由全称命题的否定考查选项C，由真值表考查选项D，据此确定所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B. 若“”，当时不满足“”，即充分性不成立，反之，若“”，则一定有“”，即必要性成立，综上可得，“”是“”的必要不充分条件C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“，”的否定是“，”，D. 由真值表可知：若“”为假命题，则均为假命题.即结论错误的为B选项.故选：B.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.5.的图象向右平移个单位，所得到的图象关于轴对称，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数平移之后的函数解析式，所得到的图象关于轴对称，则时函数取得最大值或最小值，据此确定的值即可.【详解】的图象向右平移个单位后的解析式为：，图象关于轴对称，则当时函数取得最大值或最小值，即：，故，令可得：.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，设则的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先比较自变量的大小，然后结合函数的奇偶性确定函数在区间上的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小即可.【详解】注意到，，且，据此可得：，函数为偶函数，则：，由偶函数的性质可知：函数在区间上单调递减，故，即.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则抛物线的准线方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先联立双曲线的渐近线方程和直线确定点P的坐标，然后求解的面积得到a,b的关系，最后由抛物线方程确定其准线方程即可.【详解】不妨取双曲线的渐近线方程为，与直线联立可得：，即,由题意可得，，抛物线方程为，其准线方程为.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线准线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合平面向量的定义可得，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当取得最小值时点P的坐标，然后求解的值即可.【详解】，，，，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以当x=2，y=1时取最小值，此时.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
天津市耀华中学2018届高三二模考试数学试卷(理科)Word版含解析
天津市耀华中学2018届高三二模考试试卷（理科数学）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( )A．B．C．D．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．37．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．168．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是__________．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为__________．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=__________．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值范围为__________．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值范围是__________．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．16．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．17．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．天津市耀华中学2018届高三二模考试试卷（理科数学）答案一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形．分析：利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．解答：解：在△ABC中，“sinA＞”⇒“＞A＞”⇒“A＞”．必要性成立；反之，“A＞不能⇒“sinA＞”，如A=时，sinA=sin=sin＜sin=，即sinA，即充分性不成立，∴可判断A＞是sinA＞的必要而不充分条件．故选A．点评：本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a （x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．解答：解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x 的路线，确定选项．解答：解：∵y=sin（2x﹣）=cos=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序．5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( ) A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推关系式推出{}为等差数列，然后求出结果即可．解答：解：∵a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），∴a n a n﹣1+a n a n+1=2a n+1a n﹣1（n≥2），两边同除以a n﹣1a n a n+1得：=+，即﹣=﹣，即数列{}为等差数列，∵a1=1，a2=，∴数列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴a n=，即a2015=，故选：C．点评：本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．解答：解：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，解得或，则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，∵△PAB的面积为﹣1，∴AB边上的高为h==．设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，P到直线y=2x+2的距离d==，即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；联立得：①或②，①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；由②消去b得：2a2+2a+1=0，∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．故选：D．点评：本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．7．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（m ax（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16考点：函数最值的应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．解答：解：取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由解得或，∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．故选C．点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（﹣2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察上的交点的横坐标的特点，求出它们的和解答：解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t （0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．故选：B．点评：本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题．二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48．考点：频率分布直方图．专题：常规题型．分析：根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．解答：解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．点评：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，样本容量等于频数除以频率等知识，属于基础题．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为36（π+2）．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，分别计算底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，其底面面积S=×12×6+×62=18π+36，锥体的高h==6，故锥体的体积V==36（π+2），故答案为：36（π+2）点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：分别求出曲线的交点坐标，然后利用积分的应用求区域面积即可．解答：解：由解得，即A（1，1）．由，解得，即B（3，﹣1），∴曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为==+=，故答案为：；点评：本题主要考查定积分的应用，根据曲线方程求出曲线交点是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的积分公式．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=±或±5．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：先根据ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，将圆C1的方程化成直角坐标方程，再利用同角三角函数关系消去θ，可得圆C2的直角坐标方程，最后根据圆C1与圆C2相切，分为外切的内切两种情况讨论，利用圆心距与半径之间的关系建立方程，求实数a的值．解答：解：∵圆C1的方程为ρ=4cos（），∴⊙C1的方程化为ρ=4cos θ+4sin θ，则ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ，由ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，得x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴圆心C1坐标为（2，2），半径r1=2，∵圆C2的参数方程是，∴其普通方程是（x+1）2+（y+1）2=a2，∴以C2的坐标是（﹣1，﹣1），r2=|a|，∵两圆相切，∴当外切时|C1C2|=|a|+2==3，解得a=±，内切时|C1C2|=|a|﹣2==3，解得a=±5∴a=±或±5．故答案为：±或±5．点评：本题考查参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程、圆与圆的位置关系及其应用．解题时要认真审题，把极坐标方程合理地转化为普通方程．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值范围为（）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：原不等式为：2﹣x2＞|x﹣a|，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．解答：解：不等式等价为：2﹣x2＞|x﹣a|，且2﹣x2＞0，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个函数图象，将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支经过（0，2）点，a=﹣2；将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2﹣x2（y≥0，x＞0）相切时，由，即x2﹣x+a﹣2=0，由△=0 解得a=．由数形结合可得，实数a的取值范围是（﹣2，）．故答案为：（﹣2，）．点评：本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值范围是∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使，过P作PQ⊥CD与点Q，∴PQ⊥平面ACD∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则即所以二面角E﹣DF﹣C的余弦值为（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设∴所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE另解：设又∵把代入上式得，∴所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：（1）先由函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，进而求得函数f（x）的解析式，即可求出数列{a n}的通项公式；（2）用错位相减法求出T n的表达式即可求出对应的m的最小值；（3）先把原不等式转化为恒成立，再利用函数的单调性求不等式右边的最小值即可求出最大实数p．解答：解：（1）由题意得，解得，∴f（x）=log3（2x﹣1）（2）由（1）得，∴①②①﹣②得=，∴，设，则由得随n的增大而减小，T n随n的增大而增大．∴当n→+∞时，T n→3又T n＜m（m∈Z）恒成立，∴m min=3（3）由题意得恒成立记，则∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为，∴，即点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的范围，将△OPQ面积用m表示，求出面积的范围．解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则则故所以，椭圆方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且，．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）T（x）=e x（x+1﹣），求导T′（x）=e x（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=e x﹣2x；求导m′=e x﹣2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；（3）由题意，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+，故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为p（x）＞0恒成立；从而化为最值问题．解答：解：（Ⅰ）m=1﹣时，T（x）=e x（x+1﹣），n∈R，∴T′（x）=e x（x+1），①当n=0时，T′（x）=e x＞0，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；②当n＞0时，T′（x）=e x（x+）在（﹣，+∞）上为增函数，故T（x）在上为增函数，此时φ（n）=T（1）=e；③当n＜0时，T′（x）=e x（x+），T（x）在（﹣∞，﹣）上为增函数，在（﹣，+∞）上为减函数，若0＜﹣＜1，即n＜﹣2时，故T（x）在上为增函数，在上为减函数，此时φ（n）=T（﹣）=（﹣1+m）=﹣•，若﹣≥1﹣2≤n＜0时，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；∴综上所述：φ（n）=；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣m，∴F′（x）=e x﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；∴F（x）=e x﹣2x﹣m在上恰有两个相异实根，∴，解得2﹣2ln2＜m≤1，∴实数m的取值范围是{m|2﹣2ln2＜m≤1}；（Ⅲ）由题设：∀x∈R，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+＞0，（*），∵p′（x）=e x﹣，∴p（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；在（ln，+∞）上单调递增，∴（*）⇔p（x）min=p（ln）=﹣ln+=（n﹣nln+15）＞0，设h（x）=x﹣xln+15=x﹣x（lnx﹣ln2）+15，则h′（x）=1﹣ln﹣1=﹣ln，∴h（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，而h（2e2）=15﹣2e2＞0，且h（15）=15（lne2﹣ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使 h（x0）=0，且x∈。
【精品高考数学试卷】2019天津市高考数学二模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，集合A ＝{﹣1，2，3}，B ＝{2，3}，则∁U （A ∩B ）＝（ ） A ．{0，4}B ．{0，1，4}C ．{1，4}D ．{0，1}2．（3分）设变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −y −1≤0x +2y −4≤0，则目标函数z ＝x +y 最小的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．（3分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．﹣14．（3分）若a ＝﹣log 215，b ＝log 24.5，c ＝20.6，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b5．（3分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 24=1 B ．x 24−y 23=1 C ．x 29−y 216=1D ．x 216−y 29=16．（3分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（3分）如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE →=3EO →，则EC →⋅ED →的值是（ ）A ．−45B ．−1516C ．−14D ．−588．（3分）已知函数f （x ）={log 12(x +1)，−1＜x ＜0−x 2+2x ，x ≥0，若关于x 的方程f （x ）＝m （m ∈R ）恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a +b +c 的取值范围是（ ） A ．（12，1）B ．（34，1）C ．（34，2）D ．（32，2）二、填空题．9．（3分）已知i 是虚数单位，则1−i 3+i= ．10．（3分）某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量分别为400，800，600件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从C 种型号的产品中抽取 件．11．（3分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为√6，则四棱锥的体积为 ． 12．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为2x ﹣y +1＝0，在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为 ．13．（3分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B =π3，b ＝2√3，则△ABC 周长的最大值是 ．14．（3分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有 种．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数f （x ）＝cos x （sin x −√3cos x ），x ∈R ． （1）求f （x ）的最小正周期和最大值； （2）讨论f （x ）在区间[π3，2π3]上的单调性．16．某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会．已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为12，第二关每次闯过的概率均为23．假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响．（1）求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；（2）记甲闯关的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．．17．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝4，∠ACB ＝90°，P 、Q 分别为AE ，AB 的中点．（1）证明：PQ ∥平面ACD ．（2）求异面直线AB 与DE 所成角的余弦值； （3）求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小．18．各项均为正数的等比数列{a n }满足a 2＝3，a 4﹣2a 3＝9． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）•log 3a 2n +2（n ∈N *），数列{1b n}的前n 项和为T n ，证明：T n ＜12．19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1（﹣1，0），上顶点为B 1，原点O 到直线B 1F 1的距离为√32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点T 在圆x 2+y 2＝2上，点A 为椭圆的右顶点，是否存在过点A 的直线l 交椭圆C于点B （异于点A ），使得OT →=√147（OA →+OB →）成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20．设a ∈R ，函数f （x ）＝lnx ﹣ax ．（1）若a ＝2，求曲线y ＝f （x ）在点P （1，﹣2）处的切线方程； （2）若f （x ）无零点，求a 的取值范围；（3）若f （x ）有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1+x 2＞2a ．2019年天津市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．【解答】解：U ＝{0，1，2，3，4}，A ∩B ＝{2，3}； ∴∁U （A ∩B ）＝{0，1，4}． 故选：B ．2．【解答】解：作变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −y −1≤0x +2y −4≤0的可行域，如图：由：{2x +y −2=0x −y −1=0解得A （1，0），则直线z ＝x +y 过点A （1，0）时，z 取最小值1， 故选：D ．3．【解答】解：经过第一次循环得到s ＝3，i ＝2，不满足i ＞4， 执行第二次循环得到s ＝4，i ＝3，不满足i ＞4， 执行第三次循环得到s ＝1，i ＝4，不满足i ＞4， 经过第四次循环得到s ＝0，i ＝5，满足判断框的条件 执行“是”输出S ＝0． 故选：C ．4．【解答】解：−log 215=log 25＞log 24.5＞log 24=2，20.6＜21＝2； ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．5．【解答】解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，∴以|F 1F 2|为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，∵以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3）， ∴{16+9=c 23=ba ×4，解得a ＝4，b ＝3，∴双曲线的方程为x 216−y 29=1．故选：D ．6．【解答】解：在三角形中，若a ＞b ，由正弦定理asinA=b sinB，得sin A ＞sin B ．若sin A ＞sin B ，则正弦定理a sinA=b sinB，得a ＞b ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的充要条件． 故选：C ．7．【解答】解：AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE →=3EO →， 可得OD →=−OC →，EO →=14AO →，EC →⋅ED →=（EO →+OC →）•（EO →+OD →）＝（EO →+OC →）•（EO →−OC →） =EO →2−OC →2=116−1=−1516． 故选：B ．8．【解答】解：作图可得，a ∈(−12，0)，b +c ＝2，所以a +b +c ∈（32，2），故选：D ． 二、填空题． 9．【解答】解：1−i 3+i =(1−i)(3−i)(3+i)(3−i)=2−4i 10=15−25i ．故答案为：15−25i ．10．【解答】解：由题意得从C 种型号的产品中抽取90400+800+600×600＝30件．故填：30．11．【解答】解：正四棱锥的底面边长为2，底面面对角线的一半为√2，所以棱锥的高为h =√6−2=2，∴V =13Sh =13×22×2=83． 故答案为：83．12．【解答】解：因为圆C 的方程为ρ＝2sin θ，所以x 2+y 2＝2y ，x 2+（y ﹣1）2＝1， 因此圆心到直线距离为√5＜1，所以直线l 与圆C 相交．故答案为：相交13．【解答】解：因为b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos π3，B =π3，b ＝2√3，所以12＝a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ≥（a +c ）2﹣3（a+c2）2=(a+c)24，当且仅当a ＝c时取等号， 因此（a +c ）2≤48， 可得：a +c ≤4√3，可得：a +b +c ≤6√3，即△ABC 周长的最大值是6√3． 故答案为：6√3．14．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，在4个盒子中任选2个，作为“空盒”，有C 42＝6种不同的情况，②，将4个不同的小球放进剩下的2个盒子中，每个盒子中至少放一个，有24﹣2＝14种不同的放法，则恰有2个空盒的放法共6×14＝84种； 故答案为：84．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．【解答】解：（1）由题意，得f （x ）＝cos x sin x −√3cos 2x =12sin2x −√32（1+cos2x ）=12sin2x −√32cos2x −√32 ＝sin （2x −π3）−√32．所以f （x ）的最小正周期T =2π2=π，其最大值为1−√32． （2）令z ＝2x −π3则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是[−π2+2k π，π2+2k π]，k ∈Z ．由−π2+2k π≤2x −π3≤π2+2k π，得−π12+k π≤x ≤5π12+k π，k ∈Z 设A ＝[π3，2π3]，B ＝{x |−π12+k π≤x ≤512π+k π，k ∈Z }， 易知A ∩B ＝[π3，5π12]．所以，当x ∈[π3，2π3]时，f （x ）在区间[π3，5π12]上单调递增；在区间[5π12，2π3]上单调递减．16．【解答】解：（1）设事件A 为“甲恰好闯关3次才闯关成功的概率”，则有 ，P （A ）=12×（1−23）×23+（1−12）×12×23=518（2）由已知得：随机变量ξ的所有可能取值为2，3，4， 所以，P （ξ＝2）=12×23+12×12=712，P （ξ＝3）=12×（1−23）×23+（1−12）×12×23+12×13×13=13， ．P （ξ＝4）＝（1−12）×12×（1−23）=112 从而ξ2 3 4P71213112E （ξ）＝2×712+3×13+4×112=52．17．【解答】（1）证明：∵P 、Q 分别是AE 、AB 的中点， ∴PQ ∥BE ，PQ =12BE ， 又DC ∥BE ，DC =12BE ， ∴PQ ∥DC ，∵PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD ；（2）解：∵DC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，以点C 为坐标原点，分别以CD →，CA →，CB →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则C （0，0，0），A （0，4，0），B （0，0，4），D （2，0，0），E （4，0，4）， AB →=(0，−4，4)，DE →=(2，0，4)， ∴cos ＜AB →，DE →＞=AB →⋅DE→|AB →|⋅|DE →|=√105，∴异面直线AB 与DE 所成角的余弦值√105； （3）解：由（Ⅱ）可知AB →=(0，−4，4)，AE →=(4，−4，4)， 设平面ABE 的法向量为n →=(x ，y ，z)．则{n →⋅AB →=−4y +4z =0n →⋅AE →=4x −4y +4z =0，取z ＝1，得n →=(0，1，1)． 由已知可得平面ACD 的法向量为CB →=（0，0，4）， ∴cos ＜n →，CB →＞=n →⋅CB →|n →|⋅|CB →|=√22． 故所求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小为45°．18．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，q＞0，由a2＝3，a4﹣2a3＝9得3（q2﹣2q）＝9，解得q＝3或q＝﹣1．因为数列{a n}为正项数列，所以q＝3，所以，首项a1=a2q=1，故其通项公式为a n＝3n﹣1，n∈N*；（2）证明：由（1）得b n＝（2n﹣1）•log3a2n+2＝（2n﹣1）log332n+1＝（2n﹣1）（2n+1），所以1b n =1(2n−1)(2n+1)═12（12n−1−12n+1），即有前n项和S n=12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1）=12（1−12n+1）＜1 2．19．【解答】解：（1）由椭圆的一个焦点为F1（﹣1，0）知：c＝1，即a2﹣b2＝1．①．又因为直线B1F1的方程为bx﹣y+b＝0，即√b2+1=√32，所以b=√3．由①解得a2＝4．故所求椭圆C的标准方程为x24+y23=1．（2）假设存在过点A的直线l适合题意，则结合图形易判断知直线l的斜率必存在，于是可设直线l的方程为y＝k（x﹣2），由{x24+y23=1y=k(x−2)，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．（*）因为点A是直线l与椭圆C的一个交点，且x A＝2．所以x A •x B =16k 2−123+4k 2，所以x B =8k 2−63+4k 2，即点B （8k 2−63+4k 2，−12k 3+4k 2）． 所以OA →+OB →=（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2），即OT →=√147（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2）． 因为点T 在圆x 2+y 2＝2上，所以27•[(16k 23+4k 2)2+(−12k3+4k 2)2]＝2，化简得48k 4﹣8k 2﹣21＝0，解得k 2=34，所以k ＝±√32． 经检验知，此时（*）对应的判别式△＞0，满足题意．故存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±√32（x ﹣2）． 20．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝lnx ﹣2x ，所以f ′（x ）=1x −2． 故切线的斜率k ＝f ′（1）＝﹣1，则切线方程为y +2＝﹣（x ﹣1），即x +y +1＝0．（2）f ′（x ）=1x −a ，①当a ＝0时，f （x ）＝lnx 有唯一零点x ＝1，不合题意； ②当a ＜0时，则f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（0，+∞）上的增函数，因为f （1）＝﹣a ＞0，f （e a ）＝a ﹣ae a ＝a （1﹣e a ）＜0，所以函数f （x ）在区间（0，+∞）有唯一零点，不合题意；③当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x =1a ，所以，当x ∈（0，1a ）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，1a ）上是增函数； 当x ∈（1a ，+∞）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（1a ，+∞）上是减函数． 所以在区间（0，+∞）上，函数f （x ）有极大值为f （1a ）＝ln 1a −1＝﹣lna ﹣1， ∵e a ＞a ＞0，故1e ＜1a，且e a ＞1， ∴f （1e ）＝﹣a −a e a =−a （1+1e a）＜0，且当x →+∞时，f （x ）→﹣∞， 若f （x ）无零点，则f （1a ）＜0，即﹣lna ﹣1＜0，解得a ＞1e ，故所求实数a 的取值范围是（1e ，+∞）． （3）设x 1＞x 2＞0，由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得lnx 1﹣ax 1＝0，lnx 2﹣ax 2＝0，∴lnx 1﹣lnx 2＝a （x 1﹣x 2），即a =ln x 1x 2x 1−x 2， 要证：x 1+x 2＞2a ，只需证a （x 1+x 2）＞2，即证：lnx 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2． 令t =x 1x 2＞1，于是ln x 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2⇔lnt ＞2(t−1)t+1． 设函数h （t ）＝lnt −2(t−1)t+1（t ＞1），求导得h ′（t ）=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2＞0， 所以函数h （t ）在（1，+∞）上是增函数，所以h （t ）＞h （1）＝0，即不等式lnt ＞2(t−1)t+1在（1，+∞）上恒成立， 故所证不等式x 1+x 2＞2a 成立．。
耀华中学届高三年级校第二次模拟 理科数学试卷
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）耀华中学2015届高三年级校第二次模拟 理科数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I 卷（选择题 共40分）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1．复数1ii+在复平面上对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2．在ABC ∆中，“6A π>”是“1sin 2A >”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．已知变量x 、y 满足条件230,330,10.x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是（A ）1(,)2+∞ （B ）1(,)2-∞ （C ）1(,)3+∞ （D ）1(,)3-∞ 4．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（A ）向右平移6π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向左平移3π个单位长度5．数列{}n a 满足1211,,2a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -++-+=≥，则该数列的第2015项为（A ）12014（B ）201412 （C ）12015 （D ）2015126．设直线:22,l y x =+若l 与椭圆2214y x +=的交点为A 与B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为21-的点P 的个数为（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）17．已知函数2222()2(2),()2(2)8()f x x a x a g x x a x a a R =-++=-+--+∈，设{}{}12()max (),(),()min (),()H x f x g x H x f x g x ==（{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值），记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16 （D ）16-8．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0.x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩,且，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 （A ）4- （B ）6- （C ）7- （D ）8-第II 卷（非选择题 共110分）二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上．．．．．．．．．．．．．． 9．为了了解某校高三男生的身体状况，抽查了部分男生的体重，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图（如下图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1﹕2﹕3，第2小组的频数为12，则被抽查的男生的人数是 ▲ ．（第9题图） （第10题图）10．如上图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ▲ ．11．由曲线y x =，2y x =-，13y x =-所围成图形的面积 ▲ ．12．在极坐标系中，圆1C 的方程为42cos()4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程1cos ,1sin .x a y a αα=-+⎧⎨=-+⎩（α是参数），若圆1C 与圆2C 相切，则实数a 的值为 ▲ ．13．若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22||x x a <--成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．设O 是ABC ∆的外心，a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，满足2220b b c -+=，则BC AO ⋅uu u r uuu r的取值范围是 ▲ ．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()4sin cos()33f x x x π=++．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[,]46ππ-上的最大值和最小值及取得最值时相应的x 值．16．(本小题满分13分)为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损 80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求 出均值E (X ).17．（本小题满分13分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --.（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E DF C --的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？证明你的结论.18．(本小题满分13分)已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,f n n a n N =∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）求使不等式12111(1)(1)(1)21np n a a a +++≥+对一切n N *∈均成立的最大实数p 的值．19．(本小题满分14分)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆，离心率32e =，且椭圆过点2(2,)2． (Ⅰ) 求该椭圆的方程；(Ⅱ) 设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜 率依次成等比数列，求OPQ ∆面积的取值范围．20．(本小题满分14分)已知函数()x f x e =（其中e 为自然对数的底数，且.7182e =），()(,)2ngx x m m n R =+∈．（Ⅰ）若()()()T x f x g x =，12nm =-，求()T x 在[0,1]上的最大值()n ϕ的表达式； （Ⅱ）若4n =时方程()()f x g x =在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若152m =-，*n N ∈，求使()f x 的图象恒在()g x 图象上方的最大正整数n ．A B C D EFA B CD E F天津市耀华中学2015届高三第二次校模拟考试理科数学 参考答案一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABABCBDC二．填空题： 9．48； 10．363(2)π+； 11．136； 12．2±或52±； 13．9(2,)4-； 14．1[,2)4-． 三．解答题：15．解：（Ⅰ）()4sin cos cossin sin333f x x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22sin cos 23sin 3x x x =-+sin 23cos 2x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∴22T ππ==； （Ⅱ）∵46x ππ-≤≤，∴22633x πππ-≤+≤, ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()12f x -≤≤， 当236x ππ+=-，即4x π=-时，()min 1f x =-，当232x ππ+=，即12x π=时，()max 2f x =．16．解：（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A ，则111()1(1)(1)6104P A =--⨯-=，∴该产品不能销售的概率为14；（Ⅱ）由已知，可知X 的取值为320,200,80,40,160---.411(320)()4256P X =-==， 134133(200)()4464P X C =-=⋅⋅=，22241327(80)()()44128P X C =-=⋅⋅=，3341327(40)()4464P X C ==⋅⋅=，4381(160)()4256P X ===.∴X 的分布列为：X -320-200 -80 40 160p1256 364 27128 2764 81256E (X )1327278132020080401602566412864256=-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯40=， ∴均值E (X )为40.17．（Ⅰ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF . ∴AB ∥平面DEF .（Ⅱ）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，2）B （2，0，0）C （0，)0,3,1(),1,3,0(),,0,32F E ……4分 平面CDF 的法向量为)2,0,0(=DA 设平面EDF 的法向量为),,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n DE n DF 即30(3,3,3)30x y n y z ⎧+=⎪=-⎨+=⎪⎩,取， 721||||,cos =⋅>=<n DA n DA n DA ， ∴二面角E —DF —C 的余弦值为721；（Ⅲ）设332023),0,,(=∴=-=⋅y y DE AP y x P 则 又)0,32,(),0,,2(y x PC y x BP --=-=，把yA BCDEFxzP//(2)(23)323BP PC x y xy x y ∴--=-∴+=BC BP x y 31,34332=∴==代入上式得， ∴在线段BC 上存在点423(,,0)33P ，使AP DE ⊥．18．解：（Ⅰ）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，∴3()log (21)f x x =- *)12(l o g ,1233N n n a n n ∈-==-；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，212n nn b -=， 由错位相减法得：2332n nn T +=-； （Ⅲ）由题意得121111(1)(1)(1)21np a a a n ≤++++对任意n ∈N *恒成立， 设121111()(1)(1)(1)21nF n a a a n =++++， 则121121111(1)(1)(1)(1)231111()(1)(1)(1)21n n a a a F n n F n a a a n ++++++=++++22224841483(21)(23)n n n n n n n +++==>++++ 显然()0F n >，∴(1)()F n F n +>，即()F n 随着n 的增大而增大，∴()F n 的最小值是23(1)3F =，∴233p ≤， ∴最大实数p 的值为233．19．解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为22221x y ab+= (a ＞b ＞0)，则223,2211,2c a a b =+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ， 故2,1.a b ==⎧⎨⎩，∴椭圆方程为2214x y +=；(Ⅱ) 解：由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由22,440,y kx m x y =++-=⎧⎨⎩ 消去y 得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64 k 2b 2－16(1＋4k 2b 2)(b 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且122814km x x k -+=+，21224(1)14m x x k -=+，可得21m ≠，故 y 1 y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， ∵直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， ∴1212y y x x ⋅＝22121212()k x x km x x m x x +++＝k 2，即222814k m k -+＋m 2＝0，又∵m ≠0，∴ k 2＝14，即 k ＝12±， 设d 为点O 到直线l 的距离， 则 S △OPQ ＝12| PQ | d ＝12| x 1－x 2 | | m |＝22(2)m m -，由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得：0＜m 2＜2 且 m 2≠1，∴S △OPQ 的取值范围为{}|01m m <<．20．解：（Ⅰ）12n m =-时， ()(1)()22x n n T x e x n R =+-∈，∴()(1)2x n T x e x '=+，①当0n =时，()0,xT x e '=>()T x 在[0,1]上为增函数，则此时()(1)n T e ϕ==；②当0n >时，2()(),2xn T x e x n '=⋅+()T x 在2(,)n-+∞上为增函数， 故()T x 在[0,1]上为增函数，此时()(1)n T e ϕ==；③当0n <时，2()()2x n T x e x n'=⋅+， ()T x 在2(,)n -∞-上为增函数，在2(,)n -+∞上为减函数，若201,n <-<即2n <-时，故()T x 在2[0,]n -上为增函数，在2[,1]n-上为减函数，此时222()()(1)2nn n n T e m e n ϕ--=-=-+=-⋅，若21,n-≥即20n -≤<时，()T x 在[0,1]上为增函数，则此时()(1)n T e ϕ==；∴综上所述：2,2,()2, 2.nn e n n e n ϕ-⎧-<-⎪=⎨⎪≥-⎩；（Ⅱ）()()()2,x F x f x g x e x m =-=--()2,xF x e '=-∴()F x 在(0,ln 2)上单调递减；在(ln 2,)+∞上单调递增； ∴()2xF x e x m =--在[0,2]上恰有两个相异实根，2(0)10(ln 2)22ln 2022ln 21(2)40F m F m m F e m ⎧=-≥⎪⇔=--<⇔-<≤⎨⎪=--≥⎩， ∴实数m 的取值范围是{}|22ln 21m m -<≤；（Ⅲ）由题设：15,()()()022x n x R p x f x g x e x ∀∈=-=-+>， （*）∵()2xn p x e '=-,故()p x 在(,ln )2n -∞—上单调递减；在(ln ,)2n+∞上单调递增， ∴（*）min 151()(ln )ln (ln 15)02222222n n n n np x p n n ⇔==-+=-+>， 设()ln 15(ln ln 2)152x h x x x x x x =-+=--+，则()1ln 1ln 22x xh x '=--=-，∴()h x 在(0,2)上单调递增；在(2,)+∞上单调递减，而22222(2)22ln 151520h e e e e e =-+=->，且215515(15)1515ln1515(2ln )15(ln ln )0222h e =-+=-=-<， 故存在20(2,15)x e ∈使0()0h x =，且0[2,)x x ∈时()0,h x >0(,)x x ∈+∞时()0,h x < 又∵1(1)16ln0,2h =->21572e <<，∴*n N ∈时使()f x 的图象恒在()g x 图象的上方的最大正整数14n =．。
天津市耀华中学2019届高三下学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
2019届天津市耀华中学高三第二次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21xA x =>，{}2log 0B x x =<，则A B =ð（ ） A ．()0,1 B ．(]0,1C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】D【解析】通过解指数和对数不等式求得集合A,B ，再利用补集的定义直接求解即可. 【详解】{}{}{}{}2210log 001x A x x x B x x x x =>=>=<=<<，，则{}1A B x x =≥ð 故选D. 【点睛】本题主要考查了指数与对数不等式的求解及集合补集的运算，属于基础题.2．设变量,x y 满足约束条件20,30,230,x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．40B ．18C ．4D ．3【答案】B【解析】先画出不等式的可行域，将目标函数转化为动直线1y 66zx =-+纵截距的最大值求解即可. 【详解】不等式所表示的平面区域如图所示， 平移直线166zy x =-+，当直线的纵截距最大时z 有最大值. 当6z x y =+所表示直线经过点B （0，3）时，z 有最大值18.故选B.利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．1y x x=+B ．21y x =+C ．22x x y -=-D ．x y x e =+【答案】D【解析】由奇函数和偶函数的定义直接判断即可. 【详解】 易知1y x x=+和22x xy -=-为奇函数，21y x +为偶函数. 令()()xf x e x x R =+∈，则()()1111,11f e f e -=+-=-，即()()11f f ≠-且()()11f f ≠--.所以xy x e =+为非奇非偶函数.故选D. 【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的判定，注意判断函数奇偶性时要先求函数的定义域是否关于原点对称，属于基础题. 4．已知，则 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：因为，又，所以即【考点】根据对数单调性比较大小 5．已知，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6．已知，，且，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：x＞0，y＞0，且4xy﹣x﹣2y=4，利用基本不等式的性质可得：4xy=4+x+2y≥4+2，解出即可得出．详解：∵x＞0，y＞0，且4xy﹣x﹣2y=4，∴4xy=4+x+2y≥4+2，化为：2xy﹣﹣2≥0，解得≥，即xy≥2．当且仅当x=2y=2时取等号．则xy的最小值为2．故答案为：D.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．已知是定义在上的偶函数，其导函数为,若，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．因为函数 是偶函数所以所以，即函数是周期为4的周期函数因为所以 设所以所以在R 上是单调递减不等式等价于即所以所以不等式的解集为故答案选A 【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期性以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．8．已知函数22,0()3||,0x x f x x a a x ⎧->=⎨-++<⎩的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（ ）A ．17(,2)8--B ．17(,2]8-- C ．17[1,)16 D ．17(1,)16【答案】D【解析】试题分析：当2-=a 时,函数⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B 不正确．当1=a 时,函数⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C 也不正确．当1612-=a 时,函数⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A 也不正确．故应选D ． 【考点】分段函数的图象和性质及综合运用．【易错点晴】本题考查的是分段函数的图象和性质与数形结合的数学思想的范围问题,解答时运用排除法逐一分情况代入检验特殊值1,2,1612--=a ,求出分段函数的解析式分别为⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,分别作出这些函数的图象,并对每个函数的图象进行分析,逐一检验图象是否满足题设中的条件,排除不满足的函数的图象的情况和不满足题设条件的答案和选择支最后选答案．二、填空题9．已知,a b ∈R ，复数z a i =-且11zbi i=++（i 为虚数单位），则ab =___________. 【答案】6-【解析】利用复数的基本运算化简等式，只需等式左右实部等于实部，虚部等于虚部即可得解. 【详解】 ∵z a i =-，∴111z a i bi i i-==+++ 即()()()11111a i i bi bi i b b i b -=++=++-=++-根据左右两边对应相等有13112a b a b b =-=⎧⎧⇒⎨⎨-=+=-⎩⎩，∴6ab =-.故答案为：6-. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及复数相等的概念，属于基础题.10．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =__________. 【答案】10-【解析】由条件可得3243S S S =+，进而得132d a =-，利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】∵3243S S S =+，∴()111333246a d a d a d +=+++，整理，得132d a =-， ∴3232d =-⨯=-，∴()()5235110a =+-⨯-=-.故答案为：10-. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算，属于基础题.11．已知圆2212x y +=与圆22360x y x ++-=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作直线AB 的垂线，与x 轴分别交于C ，D 两点，则CD =__________. 【答案】4【解析】两圆联立求得点A 、B 的坐标，由垂直关系利用点斜式求解直线方程，从而得解. 【详解】联立方程组222236012x y x y x y ⎧++--=⎪⎨+=⎪⎩，解得11023x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2233x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即((,3A B -，3AB k =可得过(0,23A 且垂直于l 的直线方程为：323y x =-+，所以0y =，解得2x =，过(B -且垂直于l 的直线方程为：323y x =-0y =，解得2x =-， 所以224CD =+=. 故答案为4. 【点睛】求两圆公共弦所在直线的方程，一种求法，可将两圆的方程相减即可；另一种方法，可联立两圆的方程，求得两圆的交点坐标，进而再求直线方程，也可根据所求直线与圆心连线垂直，求直线斜率也可. 12．已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则23a b+的最小值为__________. 【答案】526+【解析】通过求函数导数得切线斜率，列方程可得切点()1,0b -，代入直线进而得1a b +=，由()2323a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开利用基本不等式求最值即可. 【详解】()ln y x b =+的导数为1'y x b=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，切点为()1,0b -，代入y x a =-，得1a b +=，∵a 、b 为正实数，则()232323235526b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当6a =，即62,36a b ==-526+. 故答案为526+. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及基本不等式应用求最值，属于中档题.13．已知向量AB AC AD 、、满足,2,1AC AB AD AB AD =+==，E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点.若54DE BF ⋅=-，则向量AB 与向量AD 的夹角的余弦值为__________.【答案】12【解析】由向量的加减运算得到1122DE BF CB CD CD CB ⎛⎫⎛⎫⋅=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，进而得到1CB CD ⋅=，利用数量积的公式求解夹角即可. 【详解】 如图22115115224224DE BF CB CD CD CB CB CD CD CB ⎛⎫⎛⎫⋅=--=⋅--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由2,1CD AB BC AD ====，可得1CB CD ⋅=，∴1cos 2CB CD ，=则π3CB CD =，， 从而向量AB 与向量AD 的夹角为π3，则其余弦值为12. 故答案为12. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的加法、减法的三角形法则，以及数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.14．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像过点(0,B ，且在ππ,183⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图像向左平移π个单位长度后与原来的图像重合，当124π2π,,33x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=__________.【答案】【解析】函数过点(0,3B -，代入求解得到π3ϕ=-，利用函数的周期性得结合单调性可得2ω=，通过整体换元得到函数的对称轴13π12x =-，从而由()1213π6f x x f ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像，过点(0,3B -， 则：2sin 3ϕ=-3sin ϕ=2πϕ<，所以：π3ϕ=-.则：()π2sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭.同时()f x 的图像向左平移π个单位之后与原来的图像重合， 所以：()()ππ2sin π2sin 33g x x x ωω⎡⎤⎛⎫=+-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.则：π2π,k Z k ω=∈. 函数在ππ,183x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调，则：πππ3182T ω-≤=，解得：1805ω<≤.所以：2ω=.则：()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 函数的对称轴方程为：()ππ2π32x k k Z -=+∈，得()π5π212k x k Z =+∈. 已知：1242,π,π33x x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，则：当3k =-时，13π12x =-. 由于：1213π212x x x +==-，则()121314π2sin π363f x x f ⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3-【点睛】本题考查了由y ＝A sin （ωx +ϕ）的部分图象确定解析式，考查了正弦型函数的性质问题，解答时要认真审题，注意函数性质的合理运用，着重考查了推理与论证能力，属于难题．三、解答题15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．【答案】（1）2 （2）S=【解析】第一问中利用,正弦定理化为角的关系式，然后得到比值因为第二问中，因为cosB=，结合余弦定理和面积公式得到。
天津耀华中学2019年高三第二次抽考试题(数学文)word版
天津耀华中学2019年高三第二次抽考试题（数学文）word 版数学试题〔文〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，共150分。
考试用时120分钟。
第I 卷〔选择题共50分〕【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的。
1、假设复数312a i i-+〔,a R i ∈为虚数单位〕是纯虚数，那么实数a 的值为〔〕 A 、6 B 、-6C 、5D 、-42、设函数2,0()0,0,()(),0x x f x x f x g x x ⎧<⎪==⎨⎪>⎩且为奇函数，那么(3)g =〔〕A 、8B 、18C 、-8D 、18-3、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍〔纵坐标不变〕，那么所得到的图象对应函数解析式为 〔〕A 、cos y x =-B 、sin 4y x =C 、sin()6y x π=- D 、sin y x =4、在ABC ∆中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，假设(4,3),(1,5)PA PQ ==，那么BC =〔〕A 、〔-2，7〕B 、〔-6，21〕C 、〔2，-7〕D 、〔6，-21〕5、两个圆222222240440x y ax a x y by b +++-=+-+=与恰有三条公切线，假设,,0a R b R ab ∈∈≠，那么2211a b +的最小值为〔〕A 、19B 、49C 、1D 、36、假设定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[0,1]x ∈时，(),f x x =那么函数3()log ||y f x x =-的零点个数是〔〕A 、0个B 、2个C 、4个D 、6个7、假设{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,0a a a a a >+>⋅<那么使数列{}na 的前n 项和0nS >成立的最大自然数n 是〔〕A 、4005B 、4006C 、4007D 、40088、函数|lg |,010,()16,102x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩假设a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，那么abc 的取值范围是〔〕A 、〔1，10〕B 、〔5，6〕C 、〔10，12〕D 、〔20，24〕第II 卷〔非选择题共110分〕【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，共计30分。
天津市耀华中学2018-2019学年高考二模数学(理)试题Word版含答案
2018-2019学年理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
金榜定题名。
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，则212i i（）A ．i B．i C ．4355i D．4355i2.若,x y 满足约束条件12300xx y xy，则2zxy 的最小值等于（）A ．0B ．3C ．1D ．-13.已知集合21|20,|lg2x A x x x B x y x，在区间3,3上任取一实数x ，则x A B 的概率为（）A ．18B ．14C ．13D ．124.若,a b 为正数，则“1a 且1b”是“2a b且1ab”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.运行如图程序框图，当输入的值为10时，输出S 的值为（）A ．45B ．49C ．52D ．546.101xx展开式中，2x 的系数为（）A ．210B ．45C ．-120D ．-252 7.若正项等比数列n a 的前4项和为9，前4项乘积为814，则前4项的倒数和为（）A ．32B ．94C ．1D ．28.已知正数,,a b c 满足,a b ab a b c abc ，则c 的取值范围（）A ．41,3 B ．14,23 C ．14,33D ．40,3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在答题纸上.9.在ABC 中，3,4,33ABCAB ACS ，则BC____________.10.一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为______________.11.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos，曲线2C 的参数方程为244x tyt（t 为参数）.则过曲线2C 焦点且斜率为2的直线与曲线1C 相交所得弦长为_____________．12.已知直线PA 切O 于点,A PBM 是O 的一条割线，如图所示有PBAC ，若47,9,5PA BM BC ，则AB_____________．13.平面内一点A 在两平行直线m n 、的同侧，且到,m n 的距离分别为2和3，点,BC 分别在直线,m n 上且6ABAC，则AB AC 的最大值为_________.14.已知函数22,0121xaf x x x ag xax ，对任意3,5t ，关于x 的方程f xg t 在3,5x 上总存在两不等实根，则a 的取值范围是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数2cos sin cos ,6f x x xx x R .（1）求f x 的最小正周期；（2）求f x 在闭区间0,2上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收纳2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时.（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E .17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D 中，侧棱1AA 底面ABCD ，1//,,1,2AB CD ABCD ADCDA AAB，E 为棱1A A 的中点.（1）证明：11B C CE ；（2）求二面角11B CE C 的正弦值；（3）设点M 在线段1C E 上，且直线AB 与平面11ADD A 所成角的正弦值是39，求线段AM的长.18.（本小题满分13分）设数列n a 的前n 项和为n S ，已知12112,8,452nnn a a S S S n ，n T 是数列2log n a 的前n 项和.（1）求数列n a 的通项公式；（2）求满足2311110091112016nT T T 的最大正整数n 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:10x y E a bab的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ，12,P A P A 两直线的斜率之积为49，12PA A 面积最大值为 6.（1）求椭圆E 的方程；（2）若椭圆E 的所有弦都不能被直线:y k 1l x 垂直平分，求k 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数ln f x x m 的图象与1y x 相切.（1）求f x 在xe 处的切线方程；（2）求证：当21xe 时，恒有22f x xf x成立；（3）如果,,s t r 满足s r t r，那么称s 比t 更靠近r.当2a 且1x 时，试比较e x和1x ea 哪个更靠近f x ，并说明理由.。
2019年最新(统考)天津市高三第二次模拟考试数学试题(理)及答案解析
高二模考试 数学试卷(理工类)第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41-B ．-1C ．41D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x∈==,则=B A ( )A ．(0,1)B ．(-1,2)C ．),1(+∞-D ．)1,21(3. 已知函数⎩⎨⎧<≥∙=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( )A ．41 B ．21C ．2D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( ) A ．31 B ．21 C. 32 D ．656. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[-B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[-8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=a x x x ax x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ． 13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PBMPMC AM ，2=3=，︒=∠120BAC ，则∙的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）讨论函数)(x f 在区间]2,12[ππ-上单调性求出的值域. 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与P ，且乙投球2次均未命中的概率为161. （Ⅰ）求乙投球的命中率P ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 17. 如图，直三棱柱111C B A ABC -中，4=AC ，3=BC ，41=AA ，BC AC ⊥，点D 在线段AB 上.（Ⅰ）证明C B AC 1⊥；（Ⅱ）若D 是AB 中点，证明//1AC 平面CD B 1；（Ⅲ）当31=AB BD 时，求二面角1B CD B --的余弦值. 18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a . （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值.20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值； （Ⅱ）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.数学试卷（理工类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11. 335 12. 21 13. π14.-2三、解答题15.解：（Ⅰ）+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x++=x x 2sin 232cos 21 )cos )(sin cos (sin x x x x +- x x x x 22cos sin 2sin 232cos 21-++= x x x 2cos 2sin 232cos 21-+= )62sin(π-=x .∴周期ππ==22T . 由)(262Z k k x ∈+=-πππ，得)(32Z k k x ∈+=ππ. ∴函数图象的对称轴方程为)(32Z k k x ∈+=ππ. （Ⅱ）∵]2,12[ππ-∈x ，∴]65,3[62πππ-∈-x . )62sin()(π-=x x f 在区间]3,12[ππ-上单调递增，在区间]2,3[ππ上单调递减，当3π=x 时，)(x f 取最大值1.∵21)2(23)12(=<-=-ππf f . ∴12π-=x ，23)(max -=x f . 所以值域为]1,23[-. 16.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得161)1())(1(22=-=-p B P ， 解得43=p 或45=p （舍去），所以乙投球的命中率为43.（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知21)(=A P ，21)(=A P ，43)(=B P ，41)(=B P . ξ可能的取值为0,1,2,3，故P A P P )()0(==ξ321)41(21)(2=⨯=∙B B ， )()()1(B B P A P P ∙==ξ)()()(12A P B P B P C +3272141432)41(212=⨯⨯⨯+⨯=， )()()3(B B P A P P ∙==ξ329)43(212=⨯=， 3215)3()0(1)2(==-=-==ξξξP P P . ξ分布列为：所以321320++⨯=ξE 2323322=⨯+⨯+. 17. 解：（Ⅰ）证明：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系xyz C -.则)0,0,3(B ，)0,4,0(A ，)4,4,0(1A ，)4,0,3(1B ，)4,0,0(1C .)0,4,0(-=，)4,0,3(1--=B ，01=∙B ，所以C B AC 1⊥.（Ⅱ）解法一：)4,4,0(1-=设平面CD B 1的法向量),,(z y x =，由)4,0,3(1--=∙B 043),,(=--=∙y x z y x ， 且∙=∙)0,2,23(m CD 0223),,(=+=y x z y x ， 令4=x 得)3,3,4(--=m ，所以0)3,3,4()4,4,0(1=--∙-=∙m AC ， 又⊄1AC 平面CD B 1，所以//1AC 平面CD B 1； 解法二：证明：连接1BC ，交1BC 于E ，DE . 因为直三棱柱111C B A ABC -，D 是AB 中点， 所以侧面C C BB 11为矩形，DE 为1ABC ∆的中位线. 所以1//AC DE ，因为⊂DE 平面CD B 1，⊄1AC 平面CD B 1， 所以//1AC 平面CD B 1. （Ⅲ）由（Ⅰ）知BC AC ⊥， 设)0,0)(0,,(>>b a b a D ， 因为点D 在线段AB 上，且31=AB BD ，即=31. 所以2=a ，34=b ，=BD )0,34,1(-. 所以)4,0,3(1--=C B ，)0,34,2(=. 平面BCD 的法向量为)1,0,0(1=n . 设平面CD B 1的法向量为)1,,(2y x n =，由021=∙n C B ，02=∙n CD ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0342043y x x ，所以34-=x ，2=y ，=2n )1,2,34(-. 设二面角1B CD B --的大小为θ， 所以613cos ==θ. 所以二面角1B CD B --的余弦值为61613. 18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ，+⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+∙-=n n .所以223+∙=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.①设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.② 由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122k m m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+. 令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 221)(xe x x e x xf -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=ee e ef ，所以)(x f 的极小值为2.（2）函数=-'=3)()(x x f x g 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x . 设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x . ∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增；∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点； ④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点.综上所述： 当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点. （3）对任意0>>a b ，1)()(<--ab a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*. 设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x x m x ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. ∴011)(2≤--='xm x x h 在),0(+∞上恒成立， ∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立，∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）. ∴m 的取值范围是),41[+∞.。
天津市和平区2019届高三下学期二模考试数学(理)试题 Word版含答案
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：∙如果事件B A ，互斥,那么 ∙如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B A P += )()()(B P A P AB P =.∙柱体的体积公式Sh V=. ∙锥体的体积公式Sh V 31=.其中S 表示柱体的底面积, 其中S 表示锥体的底面积,h 表示柱体的高. h 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 设全集R U =，集合})1lg({2-==x y x M ,{02}N x x =<<,则=N M C R )((A) {}12≤≤-x x (B) {}10≤<x x (C) {}11≤≤-x x (D) {}1<x x(2) 已知y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+014242y x y x y x 则y x z -=2的最小值为(A) 2 (B) 4 (C)21(D) 52 (3) 执行如图所示的程序框图,若输入的6=n ， 则输出=S(A) 145 (B) 31 (C) 5627 (D) 103(4) 下列结论错误的是(A) 命题：“若0232=+-x x ，则2=x ”的逆否命题是“若2≠x ，则0232≠+-x x ” (B) “b a >”是“22bc ac >”的充分不必要条件(C) 命题：“R x ∈∃， 02>-x x ”的否定是“R x ∈∀， 02≤-x x ” (D) 若“q p ∨”为假命题，则q p ,均为假命题(5) )2()2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的值为 (A) 3π-(B) 4π- (C) 3π (D) 6π- (6) 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设),(ln πf a =),2log (5-=f b ),(21-=ef c 则c b a ,,的大小关系是(A)a c b << (B)c b a << (C)a b c << (D)b c a <<(7) 已知双曲线1:2222=-by a x C )0,0(>>b a 的右焦点为)0,(c F ，直线c a x 2=与一条渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a O (为原点），则抛物线x aby 22=的准线方程为 (A) 21=y (B) 1=x (C) 1-=x (D) 2=x (8) 在ABC ∆中，62==AC AB ，2=⋅，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222++取得最小值时，=⋅(A)53 (B) 9- (C) 7 (D) 52- 第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2019届天津市耀华中学高三第二次校模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019届天津市耀华中学高三第二次校模拟考试数学（理）试题一、单选题1．若i=（）A．1i+B．1i-C．i D．i-【答案】D【解析】223i ii-+===-.故选D．【考点】复数的运算．2．若满足约束条件，则的最大值是（）A．1 B．C．4 D．2【答案】A【解析】试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当它过点时，有最大值为1．故选A．【考点】简单的线性规划．3．阅读如图的框图，则输出的S=A ．30B ．29C ．55D ．54【答案】D【解析】由题意结合所给的流程图运行程序确定输出的值S 即可. 【详解】由题意可知流程图运行过程如下： 首先初始化数据：0,1S k ==， 第一次循环，执行212,4k k S S k =+==+=，此时不满足4k >，继续循环； 第二次循环，执行213,13k k S S k =+==+=，此时不满足4k >，继续循环； 第三次循环，执行214,29k k S S k =+==+=，此时不满足4k >，继续循环； 第四次循环，执行215,54k k S S k =+==+=，此时满足4k >，输出54S =.故选：D . 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 4．设，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由题意，，，显然，因此有．故选A ．【考点】对数函数的性质，对数的换底公式．5．已知()()23f x x x R =+∈，若()1f x a -<的必要条件是()1,0x b a b +<>，则,a b 之间的关系是（ ） A ．2a b <B ．2a b ≥C ．2b a ≤D ．2b a > 【答案】B【解析】试题分析：()122f x x a -=+<，即12ax +<，按题意112a x x b +<⇒+<，因此2ab ≥．故选B ． 【考点】必要条件． 6．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】A【解析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为,F P 是抛物线 E 上位于第一象限内的任意一点， Q 是线段 PF 上的点，且满足2133OQ OP OF =+，则直线 OQ 的斜率的最大值为（ ）A．BC ．1 D【答案】D【解析】设()()00,,,,,02p P x y Q x y F ⎛⎫⎪⎝⎭，由2133OQ OP OF =+可得：1133OQ OP OF OP -=-，即13PQ PF =，从而()00001,,32p x x y y x y ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即0000442,,634OQ x p y yx y y k x x p+==∴==+， 根据2002y px =得：020004422OQ y k y p y p p y p ==≤==++. 本题选择D 选项.8．如图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=uu u r uu u r uuu r，4AB BD BD DC ⋅+⋅=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，则()AB DC AC +⋅的值为A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【解析】由题意首先求得AB DC+uu u r uuu r 和BD 的值，然后结合数量积的运算法则可得()AB DC AC +⋅的值.【详解】由题意可得：()44AB BD DC BD AB DC ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得：=2BD AB DC +=，且：()()()=AB DC AC AB DC AB BD DC+⋅+⋅++()()2AB DC AB DC BD =+++⋅.由0AB BD BD DC ⋅=⋅=可知()0AB DC BD +⋅=， 故()()2=4AB DC AC AB DC +⋅+=.故选：C . 【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的数量积的计算，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题9．已知集合()(){}250A x x x =+->，{}1B x m x m =≤<+，且()R B A ⊆ð，则实数m 的取值范围是_________。