不可压缩粘性流体的运动微分方程

边界层内，这是由于层外的流体质点不断地穿入到边界层里 去的缘故。
总结上面所述，边界层的基本特征有：
• 与物体的长度相比，边界层的厚度很小； •边界层内沿边界层厚度的速度变化非常急剧，即速
度梯度很大；
•边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；
•由于边界层很薄，因而可近似地认为，边界层中各
截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；
v v y x ~1 y x
为了便于讨论，将各项的数量级记载方程组（8-37）相应项 的下面。现在来分析方程组（8-37）各项的数量级，以达到 简化方程的目的。
v v v x x 惯性项 vx 和 vy 具有相同的数量级1，而惯性项 vx xy y x v y v 和 y y 也具有另一个相同的数量级 ，比较这两个惯
现在来研究粘性流体在大雷诺数下平滑地绕流某静止 物体（例如机翼的翼型，图8-9）的情况。在紧靠物体表 面的薄层内，流速将由物体表面上的零值迅速地增加到与 来流速度 v 同数量级的大小，这种在大雷诺数下紧靠物 体表面流速从零急剧增加到与来流速度相同数量级的薄层 称为边界层。在边界层内，流体在物体表面法线方向上的 速度梯度很大，即使粘度很小的流体，表现出的粘滞力也 较大，决不能忽略。所以，边界层内的流体有相当大的涡 通量。当边界层内的有旋流离开物体而流入下游时，在物 体后形成尾涡区域。在边界层外，速度梯度很小，即使粘 度较大的流体，粘滞力也很小，可以忽略不计。所以可以 认为，在边界层外的流动是无旋的势流。
2v x ~1 2 x
v 1 x ~ y
2出其它各量的数量级，由连续方程 因此 v ~ ，于是又得到以下数量级： y
v y ~ x 2 v y ~ 2 x v y ~1 y 2 v 1 y ~ 2 y
（8-37）
v v y x 0 x y 1 1
式中 Re l vl 。很显然，在边界层内， x与v、x与l 以及y v 与 是同一数量级，于是可取 v ~ 1, x ~ 1和y ~ x
（符号~表示数量级相同），所以得到如下一些数量级：
v x ~1 x
和惯性项
vx
v x x
p dv v x dx
具有同一个数量级。
对于在壁面上的各点， y 0, vx v y 0, 由式（8-38） 的第一式可得
2vx y 2 1 dp 1 dv v dx y 0 dx
（8-40）
方程组（8-38）是在物体壁面为平面的假设下得到的， 但是，对于曲面物体，只要壁面上任何点的曲率半径与该 处边界层厚度相比很大时（机翼翼型和叶片叶型即如此）， 该方程组仍然是适用的，并具有足够的精确度。这时，应 用曲线坐标，x轴沿着物体的曲面，y轴垂直于曲面。
•在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；
•边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层
流和紊流两种流动状态。
对平板而言，层流转变为紊流的临界雷诺数为
Re x 5 105 ~ 3 106
边界层从层流转变为紊流的临界雷诺数的大小决定于许多因 素，如前方来流的紊流度、物体壁面的粗糙度等。实验证明， 增加紊流度或增加粗糙度都会使临界雷诺数值降低，即提早 使层流转变为紊流。如机翼前端的边界层很薄，不大的粗糙 度凸出就会透过边界层，导致层流变为紊流。
由此可见，当粘性流体绕过物体流动时，可以将物体外面的 流场划分为两个区域：在边界层和尾涡区域内，必须考虑流 体的粘滞力，它应当被看作是粘性流体的有旋流动；在边界 层和尾涡区以外的区域内，粘滞力很小，可以看作是理想流 体的无旋流动。实际上，边界层内、外区域并没有一个明显 的分界面，一般在实际应用中规定从固体壁面沿外法线到速 度达到势流速度的99%处距离为边界层的厚度，以 表示， 见图8-9。解决大雷诺数下绕过物体流动的近似方法是以边界 层理论为基础的。 用微型测速管直接测量紧靠机翼表面附近的流速得知， 实际上边界层很薄，通常边界层的厚度仅为弦长的几百分之 一。例如在汽轮机叶片出汽边上，最大边界层厚度一般为零 点几毫米。从图8-9中可以看出，流体在前驻点O处速度为零， 所以边界层的厚度在前驻点处等于零，然后沿着流动方向逐 渐增加。为了清晰起见，在图8-9上将边界层的尺寸放大了。 另外，边界层的外边界和流线并不重合，流线伸入
p xx
dy
xz
zx
A
xy
xy
fy
xy
fz
y
yx
dx x
zx zx dz z
fx
o z
第一个下标表示应力所在平面的法线方向 第二个下标表示应力本身的方向。
y
yx
yx y
dy
xy
dy
M
xy
xy x
dx
dx
yx
广义牛顿内 摩擦定律
其意义为：切向应力等于动力粘度和角变 形速度的乘积。
在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微 团除发生角变形以外，同时也发生线变形。
p xx p yy p zz v x 2 p 2 v x 3 v y 2 p 2 v y 3 v z 2 p 2 v z 3
性项的数量级，方程组（8-37）中第二式中各惯性项可以 2 v 与 2 v x 忽略掉。另外，比较各粘性项的数量级，可知 2x 2
2 v x 比较，x2

y x 2 v 2 v y y 2 v 可以略去；又 x2 与 y2 比较， 2y 可以略去； x 2 v 2 v 2 v 最后，比较 y2x 和 y2y 的数量级，y2y 也可以略去。 2 v 于是在方程组（8-37）的粘性项中只剩第一式中的一项 y2x 。
vx x vy y
x

y 2
p 0 y v x v y 0 x y
（8-38）
其边界条件为
在y 0处 在y 处
v x v x
vx v y 0
（8-39）
式中 vx 是边界层外边界上势流的速度分布，可由势流理论 来决定。对于沿平板流动，vx v。 从方程组（8-38）第二式得到一个很重要的结论：在边 界层内压强p与y无关，即边界层横截面上各点的压强相等，
o 图8-2 分析切向应力之间的关系用图
x
根据达朗伯原理，作用于微元平行六面体上的各力对通过中心 M并与z轴相平行的轴的力矩之和应等于零。又由于质量力和 惯性力对该轴的力矩是四阶无穷小量，可以略去不计，故有
yx xy dz dy dx dx yx dxdz yx dy dxdy xy dydz xy dx dydz 0 2 y 2 2 x 2
现将切向应力和法向应力的关系式代入 式(8-1),化简可得不可压缩粘性流体的运动微 分方程：
纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程
如果是没有粘性的理想流体，则 为 零，于是纳维-斯托克斯方程变成理想流体 的欧拉运动微分方程。
dv x dv y dv z 如果没有加速度，则 、 、 dt dt dt
（8-36）
v
y
o x
l
图8-11

vx
x
推导层流边界层的微分方程用图
可以利用边界层每一处的厚度都很小的特征，来比较方程 组（8-36）中各项的数量级，权衡主次，忽略次要项，这 样便可大大简化该方程组。
即 l或 足不等式 边界层的厚度 与平板的长度 l 相比较是很小的， ，而y的数值限制在边界层内，并满 l 1
现在根据边界层的特征，利用不可压缩粘性流体 的运动微分方程来研究边界层内流体的运动规律。为 简单起见，只讨论流体沿平板作定常的平面流动,x轴与 壁面相重合，如图8-11所示。假定边界层内的流动全 是层流，忽略质量力，则不可压缩粘性流体平面定常 流动的微分方程和连续方程为
2vx 2vx v x v x 1 p vx vy x 2 y 2 x y x 2v y 2v y 1 p vx vy x 2 x y y y 2 v x v y 0 x y v y v y

0 y
为了把方程组（8-36）变换成无量纲的，引入坐标与平板 2 长度 l 、分速度与来流速度 v ，压强与 v 之比，即引 入无量纲物理量：
x x l
y y l
vx v x v
vy
vy v
p p 2 v
将它们代入方程组（8-36），整理后得
v v p 1 2 v 2 v x x x x v v x y 2 2 Re l x x y x y 1 1 2 1 1 1 2 2 2 v v p 1 v v y y y y v v x y 2 2 x x y y Re l y 1 2 1 1
根据边界层的特征，在边界层内惯性项和粘性项具有 同样的数量级，由方程组（8-37）可知，必须使 1 Re l 和 2
同数量级，所以 l ~ 1 Re l ，即 反比于 雷诺数越大，边界层相对厚度越小。
Re l
。这表明，
这样，将式（8-37）中的某些项略去，再变换成有量纲 量，便得到了层流边界层的微分方程（称为普朗特边界层方 程）： v x v x 2vx 1 p
p px 。而在边界层外边界上，边界层内的流动与外部 有势流动相合。所以压强 px 可以根据势流的速度 vx 由 伯努力方程来决定，即 p 1 v 2 常数 2 dp dv v dx dx
因为 v ~ 1 ，即 vx ~ v (或v) ，这就是说，压强项 1 x
都为零，于是上述方程变成欧拉平衡微分 方程。
所以说，上述纳维-斯托克斯方程式不 可压缩流体的最普遍的运动微分方程。