粘性不可压缩流体运动
不可压缩粘性流体的流动
§7-2 不可压粘性流体运动的
基本方程简介
将微元体所受的惯性力、质量力和 表面力代入牛顿第二定理 ΣF = ma 可得不可压粘流的运动微分方程：N-S方程
∂p ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ax = fx − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂x ∂x ∂y ∂z
ay
∂p ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v = fy − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂y ∂x ∂y ∂z
引入特征量:将N-S方程中的各物理量无 量纲化。
x y u v p x ′ = ,y ′ = ,u ′ = ,v ′ = , p ′ = L δ U V P 这些无量纲化的物理量与1具有相同的量级
N-S方程的无量纲化
∂u ′ VL ∂u ′ P ∂p ′ ν ∂ 2u ′ L 2 ∂ 2u ′ u′ +( ) ′ v = −( 2 ) + [ 2 +( ) ] 2 ∂x ′ ∂y ′ δ ∂y ′ Uδ ρU ∂x ′ UL ∂x ′ 1 2 ×1 1 1 1 ε 1×1 ε ×1 ε
理想流体没有切向力，只有法向力 pii 实际流体既有法向力，也有切向力，如图， 由于应力的对称性，应力中只有6个分量 是独立的。它们是： 主应力： 切应力：
p xx
p yy
p zz
p xz = p zx
p xy = p yx p zy = p yz
对不可压流体，主应力可表示为： ∂u p xx = − p + 2µ ∂x ∂v p yy = − p + 2µ ∂y ∂w p zz = − p + 2µ ∂z 一般情况下，三个法向应力不相等， 其关系是： 1 − p = ( p xx + p yy + p zz ) 3
粘性流体的不可压缩流动
Chapter 9-1 粘性不可压缩流体流动§1概述一、粘性不可压缩流动模型１、关于粘性 粘性摩擦的存在必导致绕流阻力的存在，运动的衰减及涡量的扩散。
在大e R 数下，惯性力>>粘性力，采用理想流体模型，理想流体理论对不脱体绕流情况下的升力，压力分布和速度分布给出了符合实际的结果，但在阻力等与粘性效应相关的问题上却无能为力。
因而，在研究阻力等起源于粘性的现象时须抛弃理想流体假设。
在小e R 数和中e R 数情况下，粘性作用不可忽略。
2、关于不可压缩流动（流体的压缩性对流动的影响可略）液体压缩系数小，一般可认为不可压缩（极端情况如激波等除外）。
气体在低速运动（速度远小于声速）、非定常时速度变化缓慢，且重力方向上流场的尺度<10km 时，可略其压缩性。
（当研究对流层（~10km ）内大气运动时，不能忽略重力场引起的压缩效应）。
３、基本方程组和边界条件均质不可压缩流体.const ρ=，且温度变化小，const μ=，故有20V dV pF V dt γρ⎫∇⋅=⎪⎬∇=-+∇⎪⎭求速度和压力场的完备方程组。
能量方程22:dUk T S S dtρμ=∇+ 用于求温度场 本构方程 2P p I S μ=-+ 用于求应力边界条件：在固壁表面上，流体的法向和切向速度分别等于固体表面的对应速度分量。
在自由表面上，0, 0nn n p p p τ=-=。
二、粘性流动分类，求解问题的几种途径层流：流体运动规则、稳定，各部分分层流动互不掺混，质点轨迹光滑。
脉线清晰 湍流：流体运动极不规则、极不稳定，伴有高频扰动，各部分激烈掺混，质点轨迹杂乱无章。
决定流动状态的参数是e R 数(Batchlor page255)，e R <<2000 一定是层流，此时粘性力足以保持流动的稳定。
层流：极少有准确解（某些特殊的简单问题，非线性方程得以简化） 近似解法：大e R 数，边界层理论小e R 数，部分或全部忽略惯性力。
不可压缩粘性流体动力学基础_OK
uz y
u y z
zx
xz
1 ux 2 z
uz x
（7—3）
14
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流体力学与流体机械
综上所述，可写出表示流体微团运动的基本形式如下：
表示平移的平移速度：u x、u、y u。z
表示线变形的线变形速度（又称线变率）：
x
u x x
y
u y y
z
u z y
表示角变形的角变形速度（又称角变率）：
一、流体微团（Material Elements of Fluid） 流体微团是由大量的流体质点所组成的一个微小质团，它
具有微小的体积，是研究流体运动的一个基本单元。
4
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流体力学与流体机械
流体微团的尺度在微观上足够大，大到能包含大量的 分子，使得在统计平均后能得到其物理量的确定值，质 点的尺度在宏观上又足够小，远小于所研究问题的特征 尺度，使得其平均物理量可看成是均匀的；而且可以把 流体微团看成是几何上的一个点。
dx dy dz
x y z
21
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在给定瞬时，在漩涡场中任取一个不是涡线的封闭曲线， 通过这条曲线上每一点作一根涡线，这些涡线就构成一个管 状曲面，称为涡管（Vortex Tube）；涡管中充满着作旋涡运 动的流体，称为涡束，或称为元涡（Vortex Filament）。 涡通量（Vortex Flux）或旋涡强度（Intensity of Vorticity），以 J表示。元涡的涡通量为微元涡的断面积和速度涡量（简称涡 量）的乘积，即
y
ux d yd t y
D
C
C
uy
u y y
dy
《流体力学》 第七章 不可压缩粘性流体的流动
应力与应变的关系--------本构关系
du
dy
对照牛顿实验
pyx
斯托克斯假设
(1). 应力与变形速率之间为线性关系(小变 形(各向同性假设) (3). 趋于零时, 应力状态退化为理想流体 的应力状态(当流体处于静止状态时,符合 静止流体的应力特征)
pyz pzy
pzx pxz
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
y x
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
p y x y
pzx z
)
将pxx pyx pzx 的表达式代入, 设不可压, 则有
同理有
ax
fx
1
p x
(
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)
ay
fy
1
p y
(
2v x 2
2v y 2
2v z 2 )
az
fz
1
p z
pzz
p
2
w z
相 加
1 3
(
pxx
pyy
第六章——不可压缩粘性流体的内部流动
Du Dt
fx
1
p x
2u x2
2u y2
2u z 2
1
3
( V ) x
利用已知条件：
(1) =常数；=常数
(2)定常流动： 0
t
(3)充分发展流动:
u x
2u x2
0
,
u u( y )
(4)质量力沿x分量: fx 0
化简后得：
dp dx
d2u dy2
17
6.3 平板间的层流
压强p与y无关，速度u与x无关，积分得：
单位宽度上的流量为：
Q
h
udy
h g sin ( y2 2hy)dy gh3 sin
0
0 2
3
25
6.4 管内湍流 1. 湍流脉动现象与值 湍流（紊流） ：流动雷诺数Re> 2300的流动 湍流脉动现象：湍流流动参数随时间和空间作随机变化的现象。
26
6.4 管内湍流
图6-10 某热线仪测得的管内轴向瞬时速度
6
6.1 流动阻力
【解】油的平均流速为 V G 0.329(m / s)
A
流动沿程阻力损失为：
hf
l
d
V2 2g
9.94(m)
建立入口和出口间的伯努利方程
V12 2g
z1
p1
g
V22 2g
z2
p2
g
hw
出口端的油压
p0 p2 (V12 V22 ) g(z1 z2 ) p1 ghw 305090(Pa)
u U (1 y ) 2h
6-26
此时，平板间的速度随y呈线性分布，这种由上平板运动带
动流体产生的流动称为库艾特剪切流
流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在询面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的 观点，求得平均量。
但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等 流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。
本章的容介绍流体运动的基本 规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。
第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。
位移 和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则 是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
(b)谥.A n(d)一. 平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成(c)A B(a)A了液体基体的单纯位移，其移动速度为心、®、“,。
基体在运动中可能沿直线也 可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不 变）。
二、 线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比 A 点和D 点大了竺如 而比就代表〃y = l 时液体基体运动时，在单位时间沿勿dyy 轴方向的伸长率。
du x °"、. du : dxdydz三、 角变形（角变形速度）—BIA ■ dp -------------------------------- Jda-0 = dp + 00 =J"些+些k dz. dx四、旋转（旋转角速度）1O = —0 =—21勿du vdx—dx角变形:血 A那么，代入欧拉加速度表达式，得：du r du Tdu r八 八5=说=古叫 云+"卑+"0+-叭巴加、6仇 du Ya v = ----- = — + u v ---------- + U.0, +ii t a ）. -iLCoydt dt dy “'2 …加.du diL q 。
不可压缩粘性流体的运动微分方程名师优质资料
根据边界层的特征，在边界层内惯性项和粘性项具有 同样的数量级，由方程组（8-37）可知，必须使 1 Re l 和 2
同数量级，所以 l ~ 1 Re l ，即 反比于 雷诺数越大，边界层相对厚度越小。
Re l
。这表明，
这样，将式（8-37）中的某些项略去，再变换成有量纲 量，便得到了层流边界层的微分方程（称为普朗特边界层方 程）： v x v x 2vx 1 p
（8-36）
v
y
o
x
l
vx
x
图8-11
推导层流边界层的微分方程用图
可以利用边界层每一处的厚度都很小的特征，来比较方程 组（8-36）中各项的数量级，权衡主次，忽略次要项，这 样便可大大简化该方程组。
即 l或 足不等式 边界层的厚度 与平板的长度 l 相比较是很小的， ，而 l 1 y的数值限制在边界层内，并满
p xx
dy
xz
zx
fz
xy
xy
fy
xy
A
y
yx
dx x
zx zx dz z
fx
o z
第一个下标表示应力所在平面的法线方向 第二个下标表示应力本身的方向。
y
yx
yx y
dy
xy
dy
M
xy
xy x
dx
dx
yx
现在根据边界层的特征，利用不可压缩粘性流体 的运动微分方程来研究边界层内流体的运动规律。为 简单起见，只讨论流体沿平板作定常的平面流动,x轴与 壁面相重合，如图8-11所示。假定边界层内的流动全 是层流，忽略质量力，则不可压缩粘性流体平面定常 流动的微分方程和连续方程为
第七章 粘性不可压缩流体的湍流运动
u l y 2
O
x
§7-2 普朗特混合长理论
第七章 粘性不可压缩流体的湍流运动 9
§7-2-1 混合长理论 ▪ 混合长度 ~ (u d u v 上层落入下层的动量： dy ~ (u d u v 下层动量流入上层： dy
下层的动 量增量：
l ) 2 l ) 2
y
u
yo
粘性不可压缩流体运动方程 ( 忽略体力 )
ui ui 1 p u u i j u j xi x j t ui 0 u x j i 0 xi ~u ~ ) ui (ui u j ) (u p i j 1 ui t xi x j x j ui 0 湍流运动方程 xi
u u u l y 2
u l y 2
~(u v
~ 所导致的x方向的湍流应力 ~ 应为 脉动速度 v xy
du l ~(u du l ) v ~l du v ~ (du )l ) v dy 2 dy 2 dy dy O
x
~ v ~u ~ v ~ du l xy dy
第七章 粘性不可压缩流体的湍流运动 5
§7-1-2
湍流运动方程 ▪ 雷诺方程 ▪ 雷诺应力
ui (ui u j ) 1 p ui xi x j t ui 0 xi
ui
u j u i u i u i x j x j x j x j x i x j u j u ( i ) 2 s ij x j x j x i x j
~ ~ ~u ~ P ij u i j
第七章 粘性不可压缩流体的湍流运动 7 §7-1 湍流的定义及雷诺方程 §7-1-2 湍流运动方程 ▪ 雷诺方程 ▪ 雷诺应力
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v
v
divP
dt
微分形式的动能定理
dU
dt
内能的变化率
P : S div(kgradT) q
变形面力作的 热传导传入
功
的热量
辐射或其他原因 传入的热量
6
粘性流体运动的一般性质
(3) 机械能的损耗性：由于粘性的存在，面力所做的功只有一 部分转化为动能，另一部分被粘性应力耗损变成了热能，单位 体积内耗损的动能由耗损函数确定：
2u r 2
1 r
u r
1 r
2u
2
P
2u r 2
1 r
u r
P
1 d r du P r dr dr
d r du rP dr dr
r
du dr
r2 2
P
C1
du r P C1
dr 2
r
20
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
du r P C1 dr 2 r
准确解
粘
性
层流
小Re数
不 可
近似解
大Re数
粘性力 惯性力
？
压
中Re数
缩
流
统计理论
混合长度理论
体 运 动
湍流
模式理论
K-ε方程 RSM模型
9
9.2.1 粘性不可压缩流体层流运动的准确解
粘性不可压缩流体在无限长柱形管道内的定常运动 已知：管截面上的形状及两个截面上的压力 求：管截面上速度分布、流量及管道中的阻力系数
第一节 粘性不可压缩流体的运动特点
研究粘性不可压缩流体运动的特点：产生内磨擦及传热有关的能 量耗损过程 主要解决的重点：流动过程阻力的产生机理、计算与控制；
考虑粘性作用的情况有： (1) 流体运动能量损耗的过程 (2) 粘性力与惯性力同阶或较惯性力大得多的时候（如在边界层内）
1
粘性不可压缩均质流体运动方程组
22
(a) 速度分布剖面
u P a2 r 2 pa pb a2 r2
4
4l
umax
pa pb
4l
a2
23
(b) 流量及平均速度
u pa pb a2 r 2 4l
a
Q 0 u2rdr
2S 2 2S : S
dU
dt
P: S div(kgradT)
q
S 0
1 2
u y
v x
u y
xvP
pI 0
2
1 2
u z
w x
u x
S1
2
v z
w y
1 2
u y
v x
u w z x
1 2
v z
w y
0
1 2
u z
w x
1 2
u y
v x
v
y
1 2
u
P 4
r
2
C1
ln
r
C2
在边壁 在中心
r a，u 0 r 0，u
C1 0
C2
P 4
a2
u P a2 r 2 pa pb a2 r2
4
4l
21
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
u P a2 r 2 pa pb a2 r2
4
4l
粘性不可压缩流体运动－轴对称圆管内定常层流
连续性方程 N－S方程 本构方程 涡旋运动方程
3
初始条件与边界条件
(1) 初始条件：t=0时，流场中已知速度分布及压力分布
v v(x, y, z) p p(x, y, z)
(2) 边界条件：
静止固壁上：满足粘附条件 v 0 运动固壁上：满足 v流 v固 自由面上：满足 pnn p0 pn 0
v z
w y
1 2
u z
w x
1 2
v z
w y
w
z
7
第二节 粘性不可压缩流体运动方程组的 求解途径
v 0
dv F 1 gradp v
dt
P pI 2S
连续性方程 N－S方程 本构方程
方程组的特点：二阶非线性偏微分方程组 解的存在和唯一性？
8
第二节 粘性不可压缩流体运动方程组的求解
在截面b处，即x=l，满足： p pb 16
P pa pb
l
p
pa
l
pb
x
pa
压力沿轴向线性下降
2u y 2
2u z 2
P
泊松方程 pa
pb
0
l
17
2u 2u y2 z2 P
pa pb
l
二元二阶偏微分方程
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
(2) 平面运动：两个平行x-z坐标面的无限长平面间的粘性 流体运动
4
粘性流体运动的一般性质
(1) 有旋性：绝大部分粘性不可压缩流体运动都是有旋的 (2) 涡旋的扩散性：涡旋强的地方将向涡旋弱的地方输运 涡量，直至涡量相等为止。
d ( )v
dt
5
d t
U
V2 2
F v
v divP P : S
div(kgradT) q 微分形式的能量方程
d
V2 2
F
v 0
连续性方程
dv F divP
dt
运动方程
dU dt
P: S div(kgradT)
q
能量方程
P pI 2S
本构方程
p f (T,V )
状态方程
2
粘性不可压缩均质流体运动方程组
v 0
dv F 1 gradp v
dt
P pI 2S
d ( )v
dt
（流体正压，外力有势）
一元二阶常微分方程
边界条件 直接积分
准确解
18
2u 2u y2 z2 P
pa pb
l
二元二阶偏微分方程
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
2u y 2
2u z 2
P
结构轴对称
2u r 2
1 r
u r
1 r
2u
2
P
流动分布轴对称
0 u u(r)
19
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
u 0 v w 0
t
12
u 0 x
连续性方程
0 1 p u x
0 1 p
y
N－S方程
0 1 p
z
v w 0 u 0
t
13
边界条件
静止固壁上：满足粘附条件 u 0 在截面a处，即x=0，满足： p pa 在截面b处，即x=l，满足： p pb
pa pb
14
u 0 x 0 1 p
y
0 1 p
z 0 1 p u
x
u u(y, z)
p p(x)
2u 2u 1 p
y2 z 2 x
15
u u(y, z)
p p(x)
2u y 2
2u z 2
1
p x
2u 2u 1 p
y2 z2 x P
P为常数
1 p P
x
p Px C1
在截面a处，即x=0，满足： p pa
10
v 0 u v w 0 x y z
连续性方程
一维流动 v w 0
u
0
x
11
dv F 1 gradp v
dt
N－S方程
u u u v u w u 1 p u t x y z x
v u v v v w v 1 p v t x y z y
w u w v w w w 1 p w t x y z z