平行线的判定 (3)
(必考题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测卷(包含答案解析)(3)
一、选择题1．甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 2．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（ ）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90° 3．下列命题中，真命题的是（ ） A ．同旁内角互补，两直线平行B ．相等的角是对顶角C ．同位角相等D ．直角三角形两个锐角互补4．如图，在ABC 中，100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，D 是AB 上一点，将ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．55°5．如图，下列能判定//AB CD 的条件有（ ）个（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；（5）∠5＝∠DA ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图，在四边形ABCD 中，要得到AB CD ∥，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．BD ∠=∠ D ．12180B ∠+∠+∠=︒7．如图，要得到AB ∥CD ，只需要添加一个条件，这个条件不可以．．．是（ ）A ．∠1＝∠3B ．∠B ＋∠BCD ＝180°C ．∠2＝∠4D ．∠D ＋∠BAD ＝180°8．如图，能判定AD ∥BC 的条件是（ ）A ．∠1＝∠2B ．∠2＝∠3C ．∠1＝∠4D ．∠3＝∠4 9．如图，//AB EF ，C 点在EF 上，EAC ECA ∠=∠，BC 平分DCF ∠，且AC BC ⊥．下列结论：①AC 平分DCE ∠；②//AE CD ；③190B ∠+∠=︒；④BDC 21∠=∠．其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，下列条件中，不能判断AD ∥BC 的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠4C ．∠EAD=∠BD ．∠D=∠DCF 11．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）．A ．28B ．20C ．48D ．6812．如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，80A ∠=︒，40ABC ∠=︒，那么BDC ∠=（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒二、填空题13．如图，点P 是三角形三条角平分线的交点，若∠BPC=100︒，则∠BAC=_________．14．如图，将△ABC 沿着DE 对折，点A 落到A ′处，若∠BDA ′+∠CEA ′＝70°，则∠A ＝_____．15．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，若∠B ＝72°，∠DAE ＝16°，则∠C ＝_____度．16．命题“若11a b=，则a b =”，这个命题是_____命题．（填“真”或“假”）17．如图，下列能判定//AB CD 的条件有_______个．①180B BAD ∠+∠=°；②12∠=∠；③34∠=∠；④5BAD ∠=∠．18．如图，已知△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ，若∠BGC =115°，则∠A =______．19．如图，C 是线段AB 上一点，∠DAC ＝∠D ，∠EBC ＝∠E ，AO 平分∠DAC ，BO 平分∠EBC ．若∠DCE ＝40°，则∠O ＝______°．20．如图，∆ABC 中，∠A= 82︒ ，∆ABC 的两条角平分线交于点 P ，∠BPD 的度数是_____；三、解答题21．如图，已知点E 在直线DC 上，射线EF 平分AED ∠，过E 点作EB EF ⊥，G 为射线EC 上一点，连接BG ，且90EBG BEG ︒∠+∠=．（1）求证：DEF EBG ∠=∠；（2）若EBG A ∠=∠，求证：//AB EF ．22．如图所示，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，BP 平分ABC ∠交AD 于点P .（1）求APB ∠的度数.（2）若56ADC ∠=︒，求ABP ∠的度数.23．已知：直线GH 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，并且//EM FN ．（1）如图1，求证：//AB CD ；（2）如图2，2AEF CFN ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135︒．24．如图，//AD BC ，∠1=∠C ，∠B =60°，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，试说明//AB DE ．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．解：∵//AD BC ，（已知）∴∠1=∠ =60°．（ ）∵∠1=∠C ，（已知）∴∠C =∠B =60°．（等量代换）∵//AD BC ，（已知）∴∠C +∠ =180°．（ ）∴∠ =180°-∠C =180°-60°=120°．（等式的性质）∵DE 平分∠ADC ，（已知）∴∠ADE =12∠ADC =12×120°=60°．（ ） ∴∠1=∠ADE ．（等量代换）∴//AB DE ．（ ）25．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AB 延长线上的点，连接EF ，分别交AD 、BC 于点G 、H ．若12∠=∠，A C ∠=∠，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．补全解答过程．猜想：AB 与CD 的位置关系是 ① ．证明：∵12∠=∠（已知），1AGH ∠=∠（②），∴2AGH ∠=∠（③）．∴ ④ （同位角相等，两直线平行）．∴ADE C ∠=∠（⑤），∵A C ∠=∠（已知），∴ ⑥ （等量代换）．∴ ⑦ （⑧）．26．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，AE BC ⊥．若40BAD ∠=︒，70C ∠=︒，求DAE ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】若甲说的是真话，则乙是假话，丙说的是真话，和已知不符合．故甲说的是假话，不是乙获奖；若乙说的是真话，则丁说的也是真话，和已知不符合．故乙说的是假话，不是丙获奖．显然丙说的是真话，丁说的是假话，则是丁获奖．【详解】解：本题可分三种情况：①如果甲是真命题，则乙是假命题，丙是真命题，丁是真命题；显然与已知不符； ②如果甲是假命题，乙是真命题，则丙是假命题，丁是真命题；显然与已知不符； ③如果甲是假命题，乙是假命题，则丙是真命题，丁是假命题；在这种情况下，只有丙说了实话，而其他人都说了假话，因此这种情况符合题意．在③的条件下，丁说了假话，因此丁才是真正获奖的人．故选D ．【点睛】此题主要考查命题的真假推理，解题的关键是用假设的方法，进行分析排除． 2．C解析：C【分析】根据折叠前后对应角相等可得ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得ADE ∠、AED ∠，再次运用平角的定义即可求得CEA '∠．【详解】解：∵将A ∠沿DE 翻折，∴ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，∵D 是线段AB 上的点，25BDA '∠=︒，∴180ADE A D B E DA '∠+∠-'∠=︒，即251280ADE ︒=∠-︒，解得102.5ADE ∠=︒，∵30A ∠=︒，180A AED ADE ∠+∠+∠=︒，∴180180102.53047.5AED ADE A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴18018047.547.585CEA AED A ED ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．3．A解析：A【分析】利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；B 、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；C 、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；D 、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义，难度不大．4．C解析：C【分析】先求出60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，得出ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒．【详解】∵100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，∴60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，∴ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可得出结论．【详解】解：当12∠=∠时，//AD BC ，不符合题意；当34∠=∠时，//AB CD ， 符合题意；当5B ∠=∠时，//AB CD ，符合题意；当180B BCD ∠+∠=︒时，//AB CD ；符合题意；当5D ∠=∠时，//AD BC ；不符合题意；综上所述，能判定//AB CD 的条件有（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．6．B解析：B【解析】A不可以；∵∠1=∠3，∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)，不能得出AB∥CD，∴A不可以；B可以；∵∠2=∠4，∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)；∴B可以；C、D不可以；∵∠B=∠D,不能得出AB∥CD；∵∠1+∠2+∠B=180°，∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，不能得出AB∥BC；∴C、D不可以；故选B.7．A解析：A【分析】根据B、D中条件结合“同旁内角互补，两直线平行”可以得出AB∥CD，根据C中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，而根据A中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AD∥BC．由此即可得出结论．【详解】解：A．∵∠1=∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；B．∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；C．∠2=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；D．∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．故选A．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据四个选项给定的条件结合平行线的性质找出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等或互补的角找出平行的两直线是关键．8．B解析：B【分析】根据平行线的判定方法进行分析即可．【详解】A、∠1＝∠2不能判定AD∥BC，故此选项错误；B、∠2＝∠3能判定AD∥BC，故此选项正确；C 、∠1＝∠4可判定AB ∥CD ，不能判定AD ∥BC ，故此选项错误；D 、∠3＝∠4不能判定AD ∥BC ，故此选项错误；故选：B ．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行．9．D解析：D【分析】根据平行线的性质及角度的计算，等腰三角形的性质即可进行一一求解判断.【详解】根据//AB EF ， BC 平分DCF ∠，且AC BC ⊥可得∠1+∠BCD=90°，∠BCD=12∠DCF ， 又∠DCF+∠ECD=180°，∴∠1=12∠ECD ，故AC 平分DCE ∠，①正确； ∵AC 平分DCE ∠，∴∠1=∠ECA,∵EAC ECA ∠=∠∴EAC ∠=∠1，∴//AE CD ，②正确；∵EF ∥AB ，∴∠FCB=∠B ，∴∠B=∠DCB ，∵∠1+∠DCB=90°，∴190B ∠+∠=︒，③正确；∵EF ∥AB ，∴∠ECA=∠CAD ，∵∠1=∠ECA∴∠1=∠CAD∵∠CDB 是△ACD 的一个外角，∴∠CAD=∠1+∠CAD=2∠1，④正确；故选D【点睛】此题主要考查平行线的角度计算，解题的关键是根据图像的特点进行求解.10．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD 、BC 是否平行即可．【详解】解：A 、∵∠1=∠3，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；B 、∵∠2=∠4，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），但不能判定AD ∥BC ； C 、∵∠EAD=∠B ，∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）；D 、∵∠D=∠DCF ，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．11．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．12．D解析：D【分析】根据三角形的内角和得出∠ACB 的度数，再根据角平分线的性质求出∠DCA 的度数，再根据三角形内角与外角的关系求出∠BDC 的度数．【详解】解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-80°-40°=60°，∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝12∠ACB=30°（角平分线的性质）， ∴∠BDC=∠ACD+∠A=30°+80°=110°（三角形外角的性质）．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三角形外角的知识，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，难度适中．二、填空题13．【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=故可得到∠ABC+∠ACB=即可得出答案【详解】在△BPC 中∠BPC=∴∠PBC+∠PCB=∵P 是三角形三条角平分线的交点∴∠ABC=2∠PBC ∠解析：20︒【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=80︒，故可得到∠ABC+∠ACB=160︒，即可得出答案．【详解】在△BPC 中，∠BPC=100︒，∴∠PBC+∠PCB=80︒，∵P 是三角形三条角平分线的交点，∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB=2∠PCB ，∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=160︒，∴∠BAC=180()20ABC ACB ︒-∠+∠=︒，故答案为：20︒．【点睛】此题考查三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，熟练应用定理解决问题是解题的关键．14．35°【分析】先根据折叠性质可求得∠A′DE ＝∠ADE ∠A′ED ＝∠AED 再和平角性质可求得根据平角定义和已知可求得∠ADE+∠AED ＝145°然后利用三角形的内角和定理即可求得∠A 的度数【详解】解解析：35°【分析】先根据折叠性质可求得∠A′DE ＝∠ADE ，∠A′ED ＝∠AED ，再和平角性质可求得根据平角定义和已知可求得∠ADE+∠AED ＝145°，然后利用三角形的内角和定理即可求得∠A 的度数．【详解】解：∵将△ABC 沿着DE 对折，A 落到A′，∴∠A′DE ＝∠ADE ，∠A′ED ＝∠AED ，∴∠BDA′+2∠ADE ＝180°，∠A′EC+2∠AED ＝180°，∴∠BDA ′+2∠ADE+∠A′EC+2∠AED ＝360°，∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，∴∠ADE+∠AED ＝145°，∴∠A ＝180°-（∠ADE+∠AED ）=180°-145°=35°,故答案为：35°．【点睛】本题考查了折叠的性质、平角定义和三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解答的关键．15．40【分析】根据三角形的内角和得出再利用角平分线得出利用三角形内角和解答即可【详解】是高是角平分线故答案为40【点睛】本题考查了三角形的内角和定理熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于是解题的 解析：40【分析】根据三角形的内角和得出18BAD ∠=，再利用角平分线得出68BAC ∠=，利用三角形内角和解答即可．【详解】 AD 是高，72B ∠=，18BAD ∴∠=，181634BAE ∴∠=+=， AE 是角平分线，68BAC ∴∠=，180726840C ∴∠=--=．故答案为40.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180是解题的关键．16．真【分析】根据题意判断正误即可确定是真假命题【详解】解：命题若则a=b 这个命题是真命题故答案为：真【点睛】本题考查了命题与定理的知识解题的关键是当判断一个命题为假命题时可以举出反例难度不大解析：真【分析】根据题意判断正误即可确定是真、假命题．【详解】解：命题“若11a b=，则a=b”，这个命题是真命题， 故答案为：真．【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是当判断一个命题为假命题时可以举出反例，难度不大．17．1【分析】利用判定平行的条件分别判断各个条件是否满足即可【详解】①仅能判断BC ∥AD 错误；②仅能判断BC ∥AD 错误；③可通过内错角相等判断AB ∥CD 正确；④无法判断平行错误故答案为：1个【点睛】本题解析：1【分析】利用判定平行的条件，分别判断各个条件是否满足即可．【详解】①仅能判断BC ∥AD ，错误；②仅能判断BC ∥AD ，错误；③可通过内错角相等，判断AB ∥CD ，正确；④无法判断平行，错误故答案为：1个．【点睛】本题考查平行的判定，需要注意题干中告知的条件到底能判定哪一组线段平行．18．50°【分析】根据三角形内角和定理求出∠GBC+∠GCB根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB根据三角形内角和定理计算即可【详解】解：∵∠BGC=115°∴∠GBC+∠GCB=180°﹣115°=解析：50°【分析】根据三角形内角和定理求出∠GBC+∠GCB，根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠BGC=115°，∴∠GBC+∠GCB=180°﹣115°=65°，∵BE，CF是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠GBC=12∠ABC，∠GCB=12∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=130°，∴∠A=180°﹣130°=50°，故答案为50°．19．125【分析】利用平角的定义可得由角平分线的性质易得由三角形的内角和定理可得结果【详解】解：平分平分故答案为：125【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：125【分析】利用平角的定义可得180********ACD BCE DCE，由角平分线的性质易得11()1105522OAB OBA DAC CBE，由三角形的内角和定理可得结果．【详解】解：40DCE，180********ACD BCE DCE，DAC D，EBC E∠=∠，221802140220DAC CBE，110DAC CBE，AO平分DAC∠，BO平分EBC∠，∴11()1105522OAB OBA DAC CBE，180()18055125O OAB OBA，故答案为：125．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练运用定理是解答此题的关键．20．49°【分析】由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°由角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+ACB)=49°再由三角形的外角性质即可得出结果【详解】∵△ABC 中∠解析：49°【分析】由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°，由角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+ACB)=49°，再由三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】∵△ABC 中，∠A=82°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°，∵△ABC 的两条角平分线交于点P ，∴∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， ∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+ACB)=1982⨯︒=49°， ∴∠BPD=∠PBC+∠PCB=49°，故答案为：49°．【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及三角形的外角性质；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意得到90FEB ∠=︒，再根据等量代换的方法求解即可；（2）通过已知条件证明A AEF ∠=∠，即可得到结果；【详解】（1）∵EB EF ⊥，∴90FEB ∠=︒，∴1809090DEF BEG ∠+∠=︒-︒=︒．又∵90EBG BEG ︒∠+∠=，∴DEF EBG ∠=∠．（2）∵EF 平分AED ∠，∴AEF DEF ∠=∠．∵EBG A ∠=∠，DEF EBG ∠=∠，∴A DEF ∠=∠．又∵DEF AEF ∠=∠，∴A AEF ∠=∠，∴//AB EF ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，结合角平分线的性质和垂直的性质证明是解题的关键． 22．（1）135︒；（2）11︒【分析】（1）根据角平分线性质可得∠PAB +∠PBA ＝45°，即可解题；（2）由(1)可知135APB ∠=︒，可得45BPD ∠=︒，然后根据三角形外角性质得出PBD BPD ADC ∠+∠=∠，即可求解；【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒且180ACB ABC CAB ∠+∠+∠=︒，∴90ABC CAB ∠+∠=︒，∵AD 、BP 分别平分CAB ∠、ABC ∠， ∴()1452PBA PAB ABC CAB ∠+∠=∠+∠=︒ ∵180PBA PAB APB ∠+∠+∠=︒∴135APB ∠=︒（2）∵180BPD APB ∠+∠=︒，135APB ∠=︒∴45BPD ∠=︒∵56ADC ∠=︒，且PBD BPD ADC ∠+∠=∠∴564511PBD ∠=︒-︒=︒∵BP 分别平分ABC ∠，∴PBD ABP ∠=∠即11ABP ∠=︒【点睛】本题考查了三角形内角和定理及推论,角平分线的定义及三角形外角的性质,难度适中. 23．（1）见解析；（2）AEM ∠，GEM ∠，DFN ∠，HFN ∠【分析】（1）根据平行线的性质和判定可以解答；（2）由已知及（1）的结论可知∠CFN=45°，然后结合图形根据角度的加减运算可以得到解答．【详解】（1）证明：∵//EM FN ，∴EFN FEM ∠=∠．∵EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，∴2CFE EFN ∠=∠，2BEF FEM ∠=∠． ∴CFE BEF ∠=∠．∴//AB CD ．（2）由（1）知AB //CD ，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵∠AEF=2∠CFN=∠CFE ，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴∠CFN=∠EFN=∠FEM=∠BEM=45°，∠BEG=∠CFH=∠DFE=90°,∴∠AEM=∠GEM=∠HFN=∠DFN=90°+45°=135°，∴度数为135°的角有：AEM ∠、 GEM ∠、 DFN ∠、 HFN ∠．【点睛】本题考查平行线的判定和性质及角平分线的综合运用，熟练掌握平行线的判定和性质定理及角平分线的意义是解题关键．24．B ；两直线平行，同位角相等；ADC ；两直线平行，同旁内角互补；ADC ；角平分线性质；内错角相等，两直线平行．【分析】利用平行线的性质和判定，角平分线的性质去进行填空．【详解】解∵//AD BC ，（已知）∴∠1=∠B=60°．（两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠C ，（已知）∴∠C =∠B =60°．（等量代换）∵//AD BC ，（已知）∴∠C +∠ADC=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∴∠ADC=180°-∠C =180°-60°=120°．（等式的性质）∵DE 平分∠ADC ，（已知）∴∠ADE =12∠ADC =12×120°=60°．（角平分线性质） ∴∠1=∠ADE ．（等量代换）∴//AB DE ．（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． 25．①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD ∥BC ，进而得到∠ADE=∠C ，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB ∥CD ．【详解】猜想：AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD ．证明：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠AGH （对顶角相等）∴∠2=∠AGH （等量代换）∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）∴∠ADE=∠C （两直线平行，同位角相等）∵∠A=∠C （已知）∴∠ADE=∠A （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）故答案为：①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．26．20°【分析】由题意，先求出30B ∠=︒，然后得到60=︒∠BAE ，即可求出答案．【详解】解：如图：AD 平分BAC ∠224080BAC BAD ∴∠=∠=⨯︒=︒70C ∠=︒30B ∴∠=︒AE BC ⊥于点E90AED ∴∠=︒903060BAE ∴∠=︒-︒=︒604020DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及余角的定义，解题的关键是正确的求出角的度数进行计算．。
七年级下册数学各章知识点总结
北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算单项式 整 式 多项式同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
二、多项式1、多项式、多项式的次数、项 几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法：a m﹒a n =am+n(m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（am）n=amn(m,n 都是正整数）； 3、积的乘方：（ab ）n=a n bn(n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：am÷a n=am-n(m,n 都是正整数,a ≠0) ；整 式 的 运算六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：a=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：p 是正整数。
七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
第二十四章第3-5节平行线的判定定理;平行线的性质定理;三角形内角和定理
（3）在推理的过程中，已经推出的结论可以作为后面继续推证的依据.
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一.选择题
1.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线，有且只有一个公共点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有（）
又∵EF∥AB（已知），
∴∠EFC＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∴∠ADE＝∠EFC（等量代换）.
评析：本题关键是利用平行线的性质，来证明角度相等，要注意角的位置.
例4.如图所示，直线MN分别和直线AB、CD、EF相交于G、H、P，∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°，求证：AB∥EF.
分析：要证AB∥EF，可先证AB∥CD和EF∥CD.根据平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥EF.
（1）∵CE∥AB（已知），
∴∠1＝∠B（）
（2）∵CE∥AB（已知），
∴∠2＝∠A（）
（3）∵∠1＝∠B，∠2＝∠A（已证），
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠A（）
即∠ACD＝∠B＋∠A（）
（4）∵BCD是一直线（已知），
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°（），
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（）.
*2.如图所示，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：DG∥BA.
5.提示：因为∠BAC是△ACD的一个外角，所以∠BAC＞∠1.因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠2.因为∠2是△BCD的一个外角，所以∠2＞∠B.所以∠BAC＞∠B.
3.提示：因为AB∥CD，所以∠EMB＝∠END，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4.因为MG∥NH，所以∠3＝∠4.所以∠1＝∠2.
4.提示：过点E作EF∥AB，所以∠B＋∠BEF＝180°，因为AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），所以∠D＋∠DEF＝180°，所以∠B＋∠BEF＋∠DEF＋∠D＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
浙教版七年级数学下册3平行线的判定同步练习
浙教版七年级下 1.3平行线的判定同步练习一．选择题1．（2021秋•文山市期末）下列图形中,由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（）A．B． C．D．2．（2020秋•盐田区期末）如图,点E在射线AB上,要AD∥BC,只需（）A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°3．（2021秋•于洪区期末）如图,直线a,b被直线c所截,下列条件不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180°C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°4．（2021秋•肇源县期末）如图,下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5．A．1 B．2 C．3 D．45．（2020春•岳西县期末）有下列说法：①对顶角相等；②内错角相等；③平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④平面内过一点有且只有一条直线平行于已知直线,其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．（2021春•柳南区校级期末）如图,下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°7．（2021春•孟村县期末）木工师傅用图中的角尺画平行线,他依据的数学道理是（）A．同位角相等,两直线平行B．内错角相等,两直线平行C．同旁内角互补,两直线平行D．以上结论都不正确8．（2021•香坊区校级开学）如图,下列条件中能判定AB∥CD的是（）A．∠AEC＝∠BFD B．∠CEF＝∠BFE C．∠AEF+∠CFE＝180°D．∠C＝∠BFD 9．（2021春•高州市月考）如图所示,已知直线c与a,b分别交于点A、B且∠1＝120°,当∠2＝（）时,直线a∥b．A．60°B．120°C．30°D．150°10．（2021春•瑶海区期末）下列说法中,错误的是（）A．平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线最短C．经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线D．同位角相等,两直线平行二．填空题11．（2021•桂林）如图,直线a,b被直线c所截,当∠1 ∠2时,a∥b．（用“＞”,“＜”或“＝”填空）12．（2021春•思明区校级月考）结合图（不能自己标角）,用符号语言表达“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式：∵,∴．13．（2021春•兴宾区期末）如图,将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动,可知直角边AB∥CD,依据是．14．（2021秋•杜尔伯特县期末）如图,不添加辅助线,请写出一个能判定AD∥BC的条件．15．（2021春•呼和浩特期末）如图,下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．能判定AB∥CD的条件为．16．（2020春•夏邑县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°,∠ABC＝30°）按如图方式放置,使A,B两点分别落在直线m,n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°,∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有．（填序号）三．解答题17．（2021秋•杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图,∠1＝30°,∠B＝60°,AB⊥AC．求证：AD∥BC．证明：∵AB⊥AC（已知）,∴∠＝90°（）,∵∠1＝30°,∠B＝60°（已知）,∴∠1+∠BAC+∠B＝（）,即∠+∠B＝180°,∴AD∥BC（）．18．（2021春•普陀区校级月考）如图,点G在CD上,已知∠BAG+∠AGD＝180°,EA平分∠BAG,FG 平分∠AGC,请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（）,∠AGC+∠AGD＝180°（）,所以∠BAG＝∠AGC（）．因为EA平分∠BAG,所以∠1＝（）．因为FG平分∠AGC,所以∠2＝,得∠1＝∠2（）,所以AE∥GF（）．19．（2021春•平谷区校级期中）已知：如图,∠1＝∠2,∠A＝∠2．求证：DF∥AC．20．（2021春•东台市月考）如图,∠CDA＝∠CBA,DE平分∠CDA,BF平分∠CBA,且∠1＝∠2,试说明DE∥FB．21．（2021春•甘州区校级月考）已知：∠A＝∠C＝120°,∠AEF＝∠CEF＝60°,求证：AB∥CD．答案与解析一．选择题1．（2021秋•文山市期末）下列图形中,由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（）A．B． C．D．【解析】解：A、∠1＝∠2,AB∥CD,符合题意；B、∠1+∠2＝180°,AB∥CD,不符合题意；C、∠1＝∠2,得不出AB∥CD,不符合题意；D、∠1＝∠2,得不出AB∥CD,不符合题意；故选：A．2．（2020秋•盐田区期末）如图,点E在射线AB上,要AD∥BC,只需（）A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°【解析】解：要AD∥BC,只需∠A＝∠CBE,故选：A．3．（2021秋•于洪区期末）如图,直线a,b被直线c所截,下列条件不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180°C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°【解析】解：A、当∠1＝∠3时,有a∥b,故A不符合题意；B、当∠2+∠3＝180°时,有a∥b,故B不符合题意；C、当∠1＝∠4时,∵∠3＝∠4,∴∠1＝∠3,∴a∥b,故C不符合题意；D、当∠1+∠4＝180°时,不能判定a∥b,故D符合题意．4．（2021秋•肇源县期末）如图,下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：（1）利用同旁内角互补,判定两直线平行,故（1）正确；（2）利用内错角相等,判定两直线平行,∵∠1＝∠2,∴AD∥BC,而不能判定AB∥CD,故（2）错误；（3）利用内错角相等,判定两直线平行,故（3）正确；（4）利用同位角相等,判定两直线平行,故（4）正确．故选：C．5．（2020春•岳西县期末）有下列说法：①对顶角相等；②内错角相等；③平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④平面内过一点有且只有一条直线平行于已知直线,其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：①对顶角相等是正确的；②内错角相等不一定相等,原来的说法错误；③平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线是正确的；④平面内过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线,原来的说法错误．故选：B．6．（2021春•柳南区校级期末）如图,下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°【解析】解：当∠1＝∠2时,AC∥EF,故选项A不符合题意；当∠4＝∠C时,AC∥EF,故选项B不符合题意；当∠1+∠3＝180°时,BC∥DE,不能判断AC∥EF,故选项C符合题意；当∠3+∠C＝180°时,AC∥EF,故选项D不符合题意；7．（2021春•孟村县期末）木工师傅用图中的角尺画平行线,他依据的数学道理是（）A．同位角相等,两直线平行B．内错角相等,两直线平行C．同旁内角互补,两直线平行D．以上结论都不正确【解析】解：木工师傅用图中的角尺画平行线,他依据的数学道理是同位角相等,两直线平行, 故选：A．8．（2021•香坊区校级开学）如图,下列条件中能判定AB∥CD的是（）A．∠AEC＝∠BFD B．∠CEF＝∠BFE C．∠AEF+∠CFE＝180°D．∠C＝∠BFD 【解析】解：A．由∠AEC＝∠BFD,不能判定AB∥CD,故本选项不符合题意；B．由∠CEF＝∠BFE,可判定CE∥BF,不能判定AB∥CD,故本选项不符合题意；C．由∠AEF+∠CFE＝180°,根据“同旁内角互补,两直线平行”能判定AB∥CD,故本选项符合题意；D．由∠C＝∠BFD,可判定CE∥BF,不能判定AB∥CD,故本选项不符合题意；故选：C．9．（2021春•高州市月考）如图所示,已知直线c与a,b分别交于点A、B且∠1＝120°,当∠2＝（）时,直线a∥b．A．60°B．120°C．30°D．150°【解析】解：∵∠1＝120°,∠1与∠3是对顶角,∴∠1＝∠3＝120°,∵∠2＝∠3＝120°,故选：B．10．（2021春•瑶海区期末）下列说法中,错误的是（）A．平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线最短C．经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线D．同位角相等,两直线平行【解析】解：A．在同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线,该选项说法正确,故该选项不符合题意；B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短,该选项说法错误,故该选项符合题意；C．经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线,该选项说法正确,故该选项不符合题意；D．同位角相等,两直线平行,该选项说法正确,故该选项不符合题意；故选：B．二．填空题11．（2021•桂林）如图,直线a,b被直线c所截,当∠1 ＝∠2时,a∥b．（用“＞”,“＜”或“＝”填空）【解析】解：要使a∥b,只需∠1＝∠2．即当∠1＝∠2时,a∥b（同位角相等,两直线平行）．故答案为＝．12．（2021春•思明区校级月考）结合图（不能自己标角）,用符号语言表达“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式：∵∠2+∠4＝180°,∴a∥b．【解析】解：∵∠2+∠4＝180°,∴a∥b（同旁内角互补,两直线平行）．故答案为：∠2+∠4＝180°；a∥b．13．（2021春•兴宾区期末）如图,将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动,可知直角边AB∥CD,依据是内错角相等,两直线平行．【解析】解：如图所示：∵∠1＝∠2＝30°,∴AB∥CD（内错角相等,两直线平行）,故答案为：内错角相等,两直线平行．14．（2021秋•杜尔伯特县期末）如图,不添加辅助线,请写出一个能判定AD∥BC的条件∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B＝180°．【解析】解：∵AD和BC被BE所截,∴当∠EAD＝∠B时,AD∥BC,或当∠DAC＝∠C时,AD∥BC,或当∠DAB+∠B＝180°时,AD∥BC,故答案为：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B＝180°．15．（2021春•呼和浩特期末）如图,下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．能判定AB∥CD的条件为①③④．【解析】解：①∠B+∠BCD＝180°,同旁内角互补,两直线平行,则能判定AB∥CD；②∠1＝∠2,但∠1,∠2不是截AB、CD所得的内错角,所不能判定AB∥CD；③∠3＝∠4,内错角相等,两直线平行,则能判定AB∥CD；④∠B＝∠5,同位角相等,两直线平行,则能判定AB∥CD．故能判定AB∥CD的条件为①③④．故答案为：①③④．16．（2020春•夏邑县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°,∠ABC＝30°）按如图方式放置,使A,B两点分别落在直线m,n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°,∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有①⑤．（填序号）【解析】解：①∵∠1＝25.5°,∠ABC＝30°,∴∠2＝∠1+∠ABC＝55.5°＝55°30',所以,m∥n；②没有指明∠1的度数,当∠1≠30°,∠2≠∠1+30°,不能判断直线m∥n,故∠2＝2∠1,不能判断直线m∥n；③∠1+∠2＝90°,不能判断直线m∥n；④∠ACB＝∠1+∠2,不能判断直线m∥n；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1,判断直线m∥n；故答案为：①⑤三．解答题17．（2021秋•杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图,∠1＝30°,∠B＝60°,AB⊥AC．求证：AD∥BC．证明：∵AB⊥AC（已知）,∴∠BAC＝90°（垂直的定义）,∵∠1＝30°,∠B＝60°（已知）,∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系）,即∠BAD+∠B＝180°,∴AD∥BC（同旁内角互补,两直线平行）．【解析】解：证明：∵AB⊥AC（已知）,∴∠BAC＝90°（垂直的定义）,∵∠1＝30°,∠B＝60°（已知）,∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系）,即∠BAD+∠B＝180°,∴AD∥BC（同旁内角互补,两直线平行）,故答案为：BAC；垂直的定义；180°；等量关系；BAD；同旁内角互补,两直线平行．18．（2021春•普陀区校级月考）如图,点G在CD上,已知∠BAG+∠AGD＝180°,EA平分∠BAG,FG 平分∠AGC,请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知）,∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义）,所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等）．因为EA平分∠BAG,所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义）．因为FG平分∠AGC,所以∠2＝∠AGC,得∠1＝∠2（等量代换）,所以AE∥GF（内错角相等,两直线平行）．【解析】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知）,∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义）,所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等）,因为EA平分∠BAG,所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义）,因为FG平分∠AGC,所以∠2＝∠AGC,得∠1＝∠2（等量代换）,所以AE∥GF（内错角相等,两直线平行）．故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等,两直线平行．19．（2021春•平谷区校级期中）已知：如图,∠1＝∠2,∠A＝∠2．求证：DF∥AC．【解析】证明：∵∠1＝∠2,∠A＝∠2,∴∠1＝∠A,∴DF∥AC．20．（2021春•东台市月考）如图,∠CDA＝∠CBA,DE平分∠CDA,BF平分∠CBA,且∠1＝∠2,试说明DE∥FB．【解析】解：DE∥BF,理由是：∵∠CDA＝∠CBA,DE平分∠CDA,BF平分∠CBA,∴∠1＝∠ABF,∵∠1＝∠2,∴∠2＝∠ABF,∴DE∥BF．21．（2021春•甘州区校级月考）已知：∠A＝∠C＝120°,∠AEF＝∠CEF＝60°,求证：AB∥CD．【解析】证明：∵∠A＝∠C＝120°,∠AEF＝∠CEF＝60°,∴∠A+∠AEF＝180°,∠C+∠CEF＝180°,∴AB∥EF,CD∥EF,∴AB∥CD．。
第3讲 平行线的性质
全方位教学辅导教案学科：数学任课教师：授课时间： 2020 年月日（星期）【知识讲解】一、平行线的性质1、性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2、性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
3、性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
提示：（1）只有当两条直线平行时，才会有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
（2）平行线的性质和判定是直线的位置关系和角的数量关系之间的相互转换，不同的是性质以平行为条件，即由平行得到角相等或互补；判定是以平行为结论，即由角相等或互补得到两条直线平行。
二、命题1.命题的定义：判断一件事的语句叫做命题2.命题的构成：（1）命题是由题设和结论两部分组成的，题设是已知事项，结论是由已知事项退出的事项。
（2）命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
例如，命题是“对顶角相等”，可以改写成：如果两个角使对顶角，那么这两个角相等。
题设：两个角是对顶角，结论：这个两个角相等。
3.命题分类：如果题设成立，结论一定成立，这样的命题是真命题；如果题设成立，结论不一定成立，这样的命题是假命题。
提示：（1）命题是用语句的形式对某件事作出肯定或否定的判断，这些判断包含“是”或“不是”，“具有”或“不具有”的特点。
（2）命题是一种判断，这种判断可能正确也可能错误。
（3）在找命题的题设和结论时，要分清命题的“已知事项”和“推出事项”（4）为了准确表达命题的题设和结论，有时需要对命题的语序进行调整或增减，使语句通顺、语意明确，但是不能改变原意。
总结：判断一个语句是不是命题，关键是看他是否对一件事作出了判断，命题的题设和结论不明显时，通常把语句改写成：如果……那么……的形式，“如果”后面接的是题设，“那么”后面接的是结论。
三、定理和证明1.定理：一些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，即所有的定理都是真命题。
平行线与垂直线的性质与判定
平行线与垂直线的性质与判定平行线和垂直线是几何学中常见的两种特殊线型。
它们具有不同的性质和判定方法，在解决几何问题和证明几何命题时起到重要作用。
本文将介绍平行线和垂直线的性质以及判定方法。
一、平行线的性质与判定1. 平行线的性质平行线是指不相交且位于同一平面内的两条直线，它们具有以下性质：（1）平行线上的任意一对对应角相等；（2）平行线与横截线之间，对应角相等；（3）平行线与平行线之间，内角和等于180度；（4）平行线的任意两条线段之间的比例相等。
2. 平行线的判定方法平行线可以通过以下几种方法进行判定：（1）同位角判定法：若两条直线被一组平行线截断，或者两条直线被一组平行线所包围，那么这两条直线就是平行线。
（2）转角判定法：若两条直线之间的内角和等于180度，则这两条直线是平行线。
（3）斜率判定法：若两条直线的斜率相等并且不相交，那么这两条直线是平行线。
（4）平行线的性质判定法：若两条直线具有平行线的性质，如对应角相等、内角和等于180度等，则这两条直线是平行线。
二、垂直线的性质与判定1. 垂直线的性质垂直线是指两条直线相交，交角等于90度的情况。
垂直线具有以下性质：（1）垂直线构成的交角等于90度；（2）垂直线的斜率之积等于-1。
2. 垂直线的判定方法垂直线可以通过以下几种方法进行判定：（1）直角判定法：若两条直线的交角等于90度，则这两条直线是垂直线。
（2）斜率判定法：若两条直线的斜率之积等于-1，则这两条直线是垂直线。
（3）垂直线的性质判定法：若两条直线具有垂直线的性质，如交角等于90度等，则这两条直线是垂直线。
三、平行线与垂直线的应用平行线和垂直线在几何学中有广泛的应用。
它们能够帮助我们解决与角度、比例和图形相似性等相关的问题。
1. 平行线的应用平行线的性质和判定方法可以应用于以下几个方面：（1）证明两幅图形相似：如果两条直线与另外一组平行线相交，并且相交处的对应角相等，那么这两幅图形是相似的。
平行线的判定例题与讲解
3 平行线的判定1．平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．如图，推理符号表示为：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点同位角相等，两直线平行①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．(2)平行公理的推论：①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．答案：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．2．平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单记为：同旁内角互补，两直线平行．符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点同旁内角互补，两直线平行①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单记为：内错角相等，两直线平行．符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．答案：内错角相等【例2－2】如图，下列说法中，正确的是()．A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BCB．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CDC．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CDD ．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD错解：A或B或D错解分析：判定直线平行所需要的内错角或同旁内角找不准．条件不能推出结论.正解：C正解思路：∠A与∠D是直线AB和CD被直线AD所截得到的同旁内角．因为∠A＋∠D ＝180°，所以AB∥CD.3．平行线的判断方法平行线的判定方法主要有以下六种：(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．析规律如何选择判定两直线平行的方法①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．【例3】如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法．若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一个条件；若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一个；若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一个条件；从其他方面考虑，还可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一个条件．答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°…4．平行线判定的应用(1)平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．(2)平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．释疑点判定平行的关键判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．【例4－1】如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．解析：要判断AB边与CD边平行，则需满足同旁内角互补的条件．∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°.∴AB∥CD.∴这个零件合格．答案：合格【例4－2】已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A＋∠B＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC.解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行．。
平行线四大模型
平行线四大模型1、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+∠4=180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补平移3.平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移（translation），简称平移。
4.平移的性质经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）（3）多次平移相当于一次平移。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行线的判定
班级：教科院07教技专升本
小组成员：许向琴刘伟伟曹磊程妮张文文
设计时间：2020年.6
指导教师：刘志华
一、教学目标
(一)知识与技能
1．能说出平行线的判定公理，即“同位角相等，两直线平行”；能说出判定公理的第一个推论，即“内错角相等，两直线平行”。
2．会用数学语言表示平行线判定公理及其推论，并能根据它们做简单的推理证明。
此外，本节课的教学中还介绍了两种重要的数学思想方法，即化归和分类的思想方法。
3．结合现实生活中一些平行线的例子，能够运用判定定理进行具体的分析。
（二）过程与方法
1．能够通过自主提出问题、老师引导、动脑思考、同桌交流、表达反馈的学习过程，体验和感悟探究的一般学习过程；
2.通过体验，将学生学到的数学知识、方法用于解决生活中的实际问题，感受数学的价值。
（三）情感态度价值观
1.培养学生合作的意识和能力，能从学习中体验合作的乐趣。
2. 使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教育
二、学习者特征分析
（一）知识基础
本节课是平行线的判定的第一课时，学生对平行线的概念已有了一定的了解；能够结合现实生活进行举例；
(二)能力基础
1．学生思维活跃，能积极参与讨论，口头表达能力一般。
2．已具有一定的抽象思维能力，但还需要借助一些具体形象事物的支持。
3．具备一定的分析、概括、归纳的能力。
4．在教师给予一定支持的情况下，学生具有一定的自主学习能力与合作学习能力。
5．学生的自控能力还不强，需要教师做好课堂的调控。
（三）情感态度
1．学生能够认识到数学知识对个人学习和生活的重要性以及数学在各门课程学习中的重要地位，所以大多数学生乐于并能够认真学习数学。
2．学生对枯燥的数学知识的学习兴趣不浓，但对数学知识的实际应用内容非常感兴趣。
三、教学重点、难点
1．能够推导出判定直线平行的主法。
2．会进行简易地逻辑推理。
3．能够从比较复杂的图形中找出符合平行线判定方法的基本图形。
四、教学方法：探究式,合作学习，
五、教学过程
（一）复习回顾
通过上一节课的学习，学生对平行线的意义已有了较深的认识，了解了平行线的概念，对它有了直观的、感性的认识，首先，在学习新课前，我们先进行简单的复习回顾，思考如下的问题：
参照教科书第12页图，制作三根木条组成的教具模型，或让学生用纸条制作类似的教具。
展示时，可先摆成一般情况的三条直线相交，让学生指出“三线八角”中各对角的关系名称，既复习旧知，又为后面新课学习作好准备。
随后按照教科书第13页所述对其进行旋转变化，并提问：两个同位角（或内错角）的大小有什么关系时，这两根木条互相平行？（让学生大胆猜想。
）
（二）创设情境
参考教科书第13页的思考，再次引发思考，进行小组讨论，合作交流。
（三）新课讲授
【教法说明】通过教科书12页的思考，使学生回顾上节所学知识，在于强化平行线的定义，建立感性的认识。
再由13页的思考，引入新课。
教师给出类似现实生活中两条直线被第三条直线所截的模型，转动，让学生观察，转动到不同位置时，的大小有无变化，再让从小变大，说出直线与的位置关系变化规律．
【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论．
学生活动：转动到不同位置时，也随着变化，当从小变大时，直线从原来在右边与直线相交，变到在左边与相交．
师：在这个过程中，存在一个与不相交即与平行的位置，那么多大时，直线呢？也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系．师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线外一点画的平行线．
学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示．
师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？
学生：保证了两个同位角相等．
师：由此你能得到什么猜想？
学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行．
师：我们的猜想正确吗？会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢？
教师用计算机演示运动变化过程．在观察实验之前，让学生看清角和角，而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论．
学生活动：学生小组观察、讨论、分析．
总结了，当时，不平行，而无论取何值，只要，、就平行．
教师引导学生以小组表达出结论，并告诉学生这个结论称为平行线的判定公理．
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：同位角相等，两直线平行．
即：∵，
∴（同位角相等，两直线平行）．
【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程，让学生确信公理的正确．尝试反馈，巩固练习（出示投影）．
1．如图所示，直线a,b,任意画一条直线C，使与a,b,相交，量得∠1=65, ∠2=65,那么a//b,为什么？
（出示投影）
2．直线、被直线所截．
1．见图，如果，那么与有什么关系？
2．与有什么关系？
3．与是什么位置关系的一对角？
学生活动：学生观察，思考分析，给出答案：时，，与相等，与是内错角．
师：与满足什么条件，可以得到？为什么？
学生活动：，因为，通过等量代换可以得到．
师：时，你进而可以得到什么结论？
学生活动：．
师：由此你能总结出什么正确结论？
学生活动：内错角相等，两直线平行．
师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行．
【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯．
师：上面的推理过程，可以写成
∵（已知），
（对顶角相等），
∴．
［∵（已证）］，
∴（同位角相等，两直线平行）．
【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使学生大胆尝试，培养他们勇于进取的精神．
教师指出：方括号内的“∵”，就是上面刚刚得到的“∴
”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略．
尝试反馈，巩固练习（出示投影）
1．如图1，直线、被直线所截．
（1）量得，，就可以判定，它的根据是什么？
（2）量得，，就可以判定，它的根据是什么？
`
图1
学生活动：学生口答．
【教法说明】这组题旨在巩固平行线的判定公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题．
变式训练，培养能力
（出示投影）
观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系：
A1B1___AB,AA1___AB,A1D1___C1D1,AD___BC,你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下。
学生活动：学生思考后回答问题．教师给以指正并启发、引导得出答案．【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题，从而得到一题多解．提高了学生的解题能力．
（四）总结扩展
1.熟知判定平行线的两个判定定理
2．结合判一定理的证明过程，熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式．
六、布置作业
课本第16页习题5.2第1.2.3题．
七、评价
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行。