商人过河数学模型
数学建模—商人们怎样安全过河
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其
实际意义。
提示：
决定商品价格的主要因素：
生产成本、包装成本、其他成本。
•一般思维：
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 11 36 2 2 2 22
•逆向思维：
每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
3 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于 6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他 回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达 T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾 车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常 提前了10分钟。问他步行了多长时间？
“数学软件与数学建模”选修课之二
数学模型简介
马新生
浙江教育学院数学系 xsma@
“数学软件与数学建模”选修课之二
数学模型简介
2.1 模型2-商人们怎样安全过河 2.2 模型3-照明问题 2.3 数学模型介绍
模型2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货.
模型的局限性
数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态 … …
数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策 … …
了解程度 白箱
灰箱
数学建模：研究商人过河问题
数学建模实验一报告实验题目：研究商人过河问题一、实验目的：编写一个程序（可以是C,C++或Mathlab ）实现商人安全过河问题。
二、实验环境：Turbo c 2.0、Microsoft Visual C++ 6.0、Matlab 6.0以上 三、实验要求：要求该程序不仅能找出一组安全过河的可行方案，还可以得到所有的安全过河可行方案。
并且该程序具有一定的可扩展性，即不仅可以实现3个商人，3个随从的过河问题。
还应能实现 n 个商人，n 个随从的过河问题以及n 个不同对象且每个对象有m 个元素问题(说明：对于3个商人，3个随从问题分别对应于n=2,m=3)的过河问题。
从而给出课后习题5（n=4,m=1）的全部安全过河方案。
四、实验步骤：第一步：问题分析。
这是一个多步决策过程，涉及到每一次船上的人员以及要考虑此岸和彼岸上剩余的商人数和随从数，在安全的条件下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。
第二步：分析模型的构成。
记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，2,1=k ，n y x k k 2,1,=，（具有可扩展性），将）（k k y x ,定义为状态，状态集合成为允许状态集合（S ）。
S={2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x ）（}记第k 次渡船的商人数为k u ，随从数为k v ，决策为),(k k v u ，安全渡河条件下，决策的集合为允许决策集合。
允许决策集合记作D ，所以D={2,1,0,,21|,=<+<v u v u v u ）（|1<u+v<2,u,v=0,1,2},因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k d 变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=-，此式为状态转移律。
制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策)2,1(n k D d k =∈，使状态S s k ∈按照转移律，由初始状态)3,3(1=s 经有限n 步到达)0,0(1=+n s第三步：模型求解。
游戏中的数学模型
Q4= 0
1 0
0
0
0
1
0
0
0
0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Q5=
1
0
1
0
0
Q6=
0 1
Q7=
0 0 0 1 0 0 0 1 可以证明， Dü rer空间（简称D空间）中任何一个元 素都可以用Q1，Q2，…，Q8来线性表示，但它们能 0 0 1 0 否构成D空间的一组基呢？ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。
易验证，D 对加法和数乘封闭，且构成一线性空间。 记 M ={所有的4×4数字方} ，则其维数为16。 而D是M的子空间，则D是有限维的线性空间。 根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基， 则任一个Durer方均可由这组基线性表示。
Durer魔方的维数和生成集
140 110 50 70 20
160 90 60
120 130 30
a11 a12 a13 a14
b11 b12 b13 b14
A=
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
B=
b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 b41 b42 b43 b44
（i）可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如 （0,1,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系 统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是： 人在此岸 人在对岸 (1，1，1，1) (0，0，0，0) (1，1，1，0) (0，0，0，1) (1，1，0，1) (0，0，1，0) (1，0，1，1) (0，1，0，0) (1，0，1，0) (0，1，0，1) 总共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充 要条件。 （ii）可取运算：状态转移需经状态运算来实现。在实际问题 中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量 （转移向量），用它来反映摆渡情况。例如 （1，1，0，0） 表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能 有（1，0，0，0，）、（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、 （1，0，0，1）四个。
基于商人过河游戏的数学建模-最新教育文档
基于商人过河游戏的数学建模1提出问题文献[1]给出一个智力游戏：“三名商人各带一个随从渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。
商人怎样才能安全渡河呢？”此类智力问题当然可以通过一番思考，拼凑出一个可行的方案来。
文献[1]中通过图解法给出了解答，但是当商人数与随从数发生变化，船能容纳的人数不是二人时，图解法就会变得繁复而难以解决问题。
因此，将上述游戏改为n名商人各带一个随从过河，船每次至多运p个人，至少要有一个人划船，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。
商人怎样才能安全渡河的问题。
除此之外，考虑了随着船载人数的增多，以及商人与仆人的对数增多到多少时，会影响商人的安全渡河的问题。
2问题分析由于这个虚拟的游戏已经理想化了，所以不必再作假设。
我们希望能找出这类问题的规律性，建立数学模型，并通过计算机编程进行求解。
安全渡河游戏可以看做是一个多步决策过程，分步优化，船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶回此岸的每一步，都要对船上的商人和随从做出决策，在保证商人安全的前提下，在无限步内使全部人员过河。
用状态表示某一岸的人员状况，决策表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题转化为在状态的允许范围内，确定每一步的决策，最后获取一个全局最优方案的决策方案，达到渡河的目标。
除此以外，我们还要找出，随着船载人数的增加，商人与仆人对数达到多少时，会影响到商人不能安全过河。
这里要对船载人数进行限制，因为船载人数过多时，此智力游戏会变得相当繁复，就会失去作为游戏的本来意义。
3模型构成记第k次渡河前此岸的商人数为，随从数为，，，。
将二维向量定义为过程的状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S。
当时，；当时，。
记第k次渡船上的商人数为uk，随从数为vk，将二维向量定义为决策。
数学建模：研究商人过河问题
数学建模实验一陈说之吉白夕凡创作实验题目：研究商人过河问题一、实验目的：编写一个法式（可以是C,C++或Mathlab ）实现商人平安过河问题.二、实验环境：Turbo c 2.0、、Matlab 6.0以上三、实验要求：要求该法式不单能找出一组平安过河的可行方案, 还可以获得所有的平安过河可行方案.而且该法式具有一定的可扩展性, 即不单可以实现3个商人, 3个随从的过河问题.还应能实现n 个商人, n 个随从的过河问题以及n 个分歧对象且每个对象有m 个元素问题(说明：对3个商人, 3个随从问题分别对应于n=2,m=3)的过河问题.从而给出课后习题5（n=4,m=1）的全部平安过河方案.四、实验步伐：第一步：问题分析.这是一个多步决策过程, 涉及到每一次船上的人员以及要考虑彼岸和彼岸上剩余的商人数和随从数, 在平安的条件下（两岸的随从数不比商人多）, 经有限步使全体人员过河. 第二步：分析模型的构成.记第k 次渡河前彼岸的商人数为k x , 随从数为k y , 2,1=k , n y x k k 2,1,=, （具有可扩展性）, 将）（k k y x ,界说为状态, 状态集合成为允许状态集合（S ）.S={2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x ）（}记第k 次渡船的商人数为k u , 随从数为k v , 决策为),(k k v u , 平安渡河条件下, 决策的集合为允许决策集合.允许决策集合记作D, 所以D={2,1,0,,21|,=<+<v u v u v u ）（|1<u+v<2,u,v=0,1,2},因为k 为奇数时船从彼岸驶向彼岸, k 为偶数时船由彼岸驶向彼岸, 所以状态k s 随决策k d 变动的规律是k k k k d s s )1(1-+=-, 此式为状态转移律.制定平安渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策)2,1(n k D d k =∈, 使状态S s k ∈依照转移律, 由初始状态)3,3(1=s 经有限n 步达到)0,0(1=+n s第三步：模型求解.#include "stdio.h"#include "string.h"#include <memory>#include <stdlib.h>#include <iostream>using namespace std;#include "conio.h"FILE *fp;/*设立文件指针, 以便将它用于其他函数中*/struct a{long m,s;struct a *next;};/*数组类型a ：记录各种情况下船上的商人和仆人数, m ：代表商人数 s ：代表仆人数*/struct a *jj,head;/*head为头指针的链表单位（船上的人数的各种情况的链表）*/int n,total=0,js=0;/*total暗示船上各种情况总数*/struct aim {long m1,s1,m2,s2;int n;struct aim *back,*next;};/*用于建立双向的指针链表, 记入符合的情况, m1, s1暗示要过岸的商人数和仆人数；m2, s2暗示过岸了的商人数和仆人数, n暗示来回的次数*/int k1,k2;void freeit(struct aim *p){struct aim *p1=p;p1=p->back;free(p);if(p1!=NULL)p1->next=NULL;return;}/*释放该单位格, 并将其上的单位格的next指针还原*/int determ(struct aim *p){ struct aim *p1=p;if(p->s1>k2)return -1;/*仆人数不能超越总仆人数*/if(p->m1>k1)return -1;/*商人数不能超越总商人数*/if(p->s2>k2)return -1;/*对岸, 同上*/if(p->m2>k1)return -1;/*对岸, 同上*/if(p->s1<0)return -1;/*仆人数不能为负*/if(p->s2<0)return -1;/*商人数不能为负*/if(p->m1<0)return -1;/*对岸, 同上*/if(p->m2<0)return -1;/*对岸, 同上*/if(p->m1!=0)if(p->s1>p->m1)return -1;if(p->m2!=0)if(p->s2>p->m2)return -1;/*两岸商人数均不能小于仆人数*/ while(p1!=NULL){p1=p1->back;if(p1!=NULL)if(p1->n%2==p->n%2)if(p1->s1==p->s1)if(p1->s2==p->s2)if(p1->m1==p->m1)if(p1->m2==p->m2)return -1;}/*用于解决重复, 算法思想：即将每次算出的链表单位与以前的相比力, 若重复, 则暗示呈现循环*/if(p->s1==0&&p->m1==0)if(p->n%2==0)return 1;else return -1;/*显然如果达到条件就说明ok了*/return 0;}/*判断函数*/int sign(int n){if(n%2==0)return -1;return 1;}/*符号函数*/void copyit(struct aim *p3,struct aim *p){p3->s1=p->s1;p3->s2=p->s2;p3->m1=p->m1;p3->m2=p->m2;p3->n=p->n+1;p3->back=p;p3->next=NULL;p->next=p3;}/*复制内容函数, 将p中的内容写入p3所指向的链表单位中*/ void print(struct aim *p3){struct aim *p=p3;js++;while(p->back){p=p->back;}printf("\n第%d种方法:\n",js);fprintf(fp,"\n第%d种方法:\n",js);int count=0;while(p){ printf("%ld,%ld::%ld,%ld\t",p->m1,p->s1,p->m2,p->s2);fprintf(fp,"%ld,%ld::%ld,%ld\t",p->m1,p->s1,p->m2,p->s2); p=p->next;count++;}cout<<"一共有"<<count<<"步完成"<<endl;}/*打印函数, 将p3所指的内容打印出来*/void trans(struct aim *p){struct aim *p3;/*p3为申请的结构体指针*/struct a *fla;int i,j,f;fla=&head;p3=(struct aim *)malloc(sizeof(struct aim));f=sign(p->n);for(i=0;i<total;i++){fla=fla->next;copyit(p3,p);p3->s1-=fla->m*f;p3->m1-=fla->s*f;p3->s2+=fla->m*f;p3->m2+=fla->s*f;/*运算过程, 即过河过程*/j=determ(p3);/*判断, j记录判断结果*/ if(j==-1){if(i<total-1){continue;}else{freeit(p3);break;}}int count1=0;if(j==1){if(i<total-1){print(p3); count1++;continue;}else{print(p3);freeit(p3);break;}//cout<<cout1<<endl;printf("%d",count1);printf("\n");}if(j==0)trans(p3);}return;}/*转移函数, 即将人转移过河*//*n=0*/void main(){ struct aim *p,*p1;int j,a,e,f;struct a *flag;/*flag是用与记录头指针*/FILE*fpt;if((fpt=fopen("c:result.dat","w+"))==0){printf("can't creat it\n");exit(0);}fp=fpt;system("cls");printf("问题描述：三个商人各带一个随从搭船过河, 一只小船只能容纳X人, 由他们自己划船.三个商人窃听到随从们密谋, 在河的任意一岸上, 只要随从的人数比上人多, 就杀失落商人.可是如何搭船渡河的决策权在商人手里, 商人们如何安插渡河计划确保自身平安？\n");printf("\n");p=(struct aim *)malloc(sizeof(struct aim));p->back=NULL;p->next=NULL;p->s2=0;p->m2=0;p->n=1;/*设立初始头指针*/printf("please input the total of people on the board\n");fprintf(fp,"\n请输入船上的人数\n");scanf("%d",&n);fprintf(fp,"\n%d\n",n);flag=&head;for(e=0;e<=n;e++)for(f=0;f<=n;f++)if(e+f>0&&e+f<=n){ total++;jj=(struct a*)malloc(sizeof(struct a));jj->m=e;jj->s=f;flag->next=jj;jj->next=NULL;flag=jj;}/*********************************/printf("please input the total of merchant and salvent as follow: mechant,salvent;\n");fprintf(fp,"\nplease input the total of merchant and salvent as follow: mechant,salvent;\n");scanf("%ld,%ld",&p->m1,&p->s1);fprintf(fp,"\n%ld,%ld\n",p->m1,p->s1);/**********************************/k1=p->m1;k2=p->s1;trans(p);fclose(fpt);getch();}第一步：三个商人, 三个随从的模型求解谜底为：运行后的结果为：第 1 种方案：(3,3) 到 (0,0)、(3,1) 到 (0,2)、(3,2) 到(0,1)、(3,0) 到 (0,3)、(3,1) 到 (0,2)、(1,1) 到 (2,2)、(2,2) 到 (1,1)、(0,2) 到 (3,1)、(0,3) 到 (3,0)、(0,1) 到(3,2)、(0,2) 到 (3,1)、(0,0) 到 (3,3)第 2 种方案：(3,3) 到 (0,0)、(3,1) 到 (0,2)、(3,2) 到(0,1)、(3,0) 到 (0,3)、(3,1) 到 (0,2)、(1,1) 到 (2,2)、(2,2) 到 (1,1)、(0,2) 到 (3,1)、(0,3) 到 (3,0)、(0,1) 到(3,2)、(1,1) 到 (2,2)、(0,0) 到 (3,3)第 3 种方案：(3,3) 到 (0,0)、(2,2) 到 (1,1)、(3,2) 到(0,1)、(3,0) 到 (0,3)、(3,1) 到 (0,2)、(1,1) 到 (2,2)、(2,2) 到 (1,1)、(0,2) 到 (3,1)、(0,3) 到 (3,0)、(0,1) 到(3,2)(、0,2) 到 (3,1)、(0,0) 到 (3,3)第 4 种方案：(3,3) 到 (0,0)、(2,2) 到 (1,1)、(3,2) 到(0,1)、(3,0) 到 (0,3)、(3,1) 到 (0,2)、(1,1) 到 (2,2)、(2,2) 到 (1,1)、(0,2) 到 (3,1)、(0,3) 到 (3,0)、(0,1) 到(3,2)、(1,1) 到 (2,2)(0,0) 到 (3,3)第二步：四个商人三个随从, 其结果为：第1种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第2种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3一共有14步完成第3种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第4种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第5种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第6种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第7种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 2,2::2,13,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第8种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第9种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3一共有14步完成第10种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第11种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第12种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第13种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3一共有14步完成第14种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 4,2::0,1 4,0::0,34,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第15种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第16种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3一共有14步完成第17种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第18种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第19种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第20种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3一共有14步完成第21种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,13,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第22种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3一共有14步完成第23种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 2,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,20,0::4,3 一共有16步完成第24种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3一共有14步完成第25种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第26种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3一共有14步完成第27种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,12,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,10,0::4,3 一共有16步完成第28种方法:4,3::0,0 3,2::1,1 3,3::1,0 2,2::2,1 4,2::0,14,0::0,3 4,1::0,2 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第29种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3一共有14步完成第30种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,10,3::4,0 0,1::4,2 2,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,20,0::4,3 一共有16步完成第31种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,10,3::4,0 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3一共有14步完成第32种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 0,1::4,2 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第33种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,12,1::2,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3一共有14步完成第34种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,10,0::4,3 一共有16步完成第35种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 3,2::1,1 3,3::1,02,2::2,1 3,2::1,1 2,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3一共有14步完成第36种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,01,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第37种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第38种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第39种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第40种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第41种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第42种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 2,2::2,1 3,2::1,12,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第43种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,00,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第44种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,22,1::2,2 1,0::3,3 1,1::3,2 0,0::4,3 一共有14步完成第45种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 0,2::4,1 0,3::4,0 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第46种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,21,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成第47种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 0,1::4,20,2::4,1 0,0::4,3 一共有12步完成第48种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,1::4,2 0,2::4,1 0,0::4,3 一共有14步完成第49种方法:4,3::0,0 4,1::0,2 4,2::0,1 4,0::0,3 4,1::0,22,1::2,2 2,2::2,1 1,1::3,2 2,1::2,2 1,0::3,31,1::3,2 0,0::4,3 一共有12步完成。
商人过河
s=[3,3];m=[0,0];d=zeros(1,2);k=1;l=0; d=3*ones(1,2); while any(s~=0) k=k+1 %渡河 d1=[0,2;1,1;2,0]'; %每种渡河的方案 for i=d1 s1=s; m1=m; s1=s1-i‘; m1=m1+i'; if all(s1==0) l=l+1; d=[d;i']; s=s1; m=m1; else if all(s1>=0) & all(m1>=0) if (s1(1)==0 | s1(1)>=s1(2)) & (m1(1)==0 | m1(1)>=m1(2)) & any(i'~=d(end,:)) %back d2=[0 1;1 0;1 1]'; for j=d2 s2=s1; m2=m1; s2=s2+j‘; m2=m2-j'; if all(s2>=0) & all(m2>=0) if (s2(1)==0 | s2(1)>=s2(2)) & (m2(1)==0 | m2(1)>=m2(2)) l=l+1; d=[d;i']; d=[d;j']; m=m2; s=s2; l=l+1; break end; end; end break end; end; end; end;end d(2:end,:)
答案
商人过河问题
• 三名商人个带一个随从乘船渡河,一只小船 支能容纳二人,由他们自己划行,随从们密约, 在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就 杀人越货.但是如何乘船渡河的大权掌握在 商人们手中,那么商人们应该怎样才能安全 渡河呢? • 对于这类智力问题可以通过逻辑思维判断 得出解决方案.也可以通过计算机枚举种种 可能,得到合理的解.（考虑过 表示出发岸边的人数； %m--表示河对岸的人数； %d--表示过河的每种决策 clear all s=[3,3];m=[0,0];
数学建模 商人过河
数学建模商人过河(hjh)
问题
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.
乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?
分析问题
（1）,数据及其关系？（2）如何存储？（3）过程中数据上的操作？
（4）操作过程中需借助什么结构实现？
解答
（1）数据：河两岸的商人数x∈（0，3）和随从人数y∈（0，3）
关系：线性关系
（2）存储：用二维数组来实现。
（3）操作：前进（过河）、后退（返回）
（4）操作过程中需借助栈结构实现
具体分析
此岸商人数与随从人数为C【x】【y】，彼岸商人数与随从人数为B【3-x】【3-y】，C与B数组中x必须大于等于y。
C与B数组中，各个数组中每相邻两个二维数组|x+y|之差不得超过2。
其中过河途中船上人数用数组A表示A【x1】【y1】，返回途中船上人数A【x2】【y2】。
x1，x2，y1，y2=0，1，2。
x1+y1=1或2；y2+x2=1或2。
从此岸来考察，要从最开始的C【3】【3】变到C【0】【0】。
1，C【3】【3】→C【3】【1】，C【3】【1】→C【3】【2】；
2，C【3】【2】→C【3】【0】，C【3】【0】→C【3】【1】；3，C【3】【1】→C【1】【1】，C【1】【1】→C【2】【2】；4，C【2】【2】→C【0】【2】，C【0】【2】→C【0】【3】；5，C【0】【3】→C【0】【1】，C【0】【1】→C【0】【2】；6，C【0】【2】→C【0】【0】。
操作过程中需借助栈结构实现，具体如下图所示：
此岸人数已经全部转移到彼岸，任务圆满完成，商人们安全过河。
数学模型实验商人过河
《数学模型实验》实验报告姓名：王佳蕾学院：数学与信息科学学院地点：主楼402学号：20151001055 专业：数学类时间：2017年4 月16日一、实验名称：商人和仆人安全渡河问题的matlab实现二、实验目的：1.熟悉matlab基础知识，初步了解matlab程序设计；2.研究多步决策过程的程序设计方法；3.（允许）状态集合、（允许）决策集合以及状态转移公式的matlab表示；三、实验任务：只有一艘船，三个商人三个仆人过河，每一次船仅且能坐1-2个人，而且任何一边河岸上仆人比商人多的时候，仆人会杀人越货。
怎么在保证商人安全的情况下，六个人都到河对岸去，建模并matlab实现。
要求：代码运行流畅，结果正确，为关键语句加详细注释。
四、实验步骤：1.模型构成2.求决策3.设计程序4.得出结论（最佳解决方案）五、实验内容：（一）构造模型并求决策设第k次渡河前此岸的商人数为xk，随从数为yk，k=1,2,...，xk，yk=0,1,2,3.将二维向量sk=（xk，yk）定义为状态，安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S，S 对此岸和彼岸都是安全的。
S={(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}设第k次渡船上的商人数为uk，随从数vk，将二维变量dk=（uk，vk）定义为决策，允许决策集合记为D,由小船的容量可知，D={(u,v)|1<=u+v<=2,u,v=0,1,2}k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时，船从彼岸驶向此岸，状态sk随决策变量dk的变化规律为sk+1=sk+(-1)^k*dk（状态转移律）这样制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策dk∈D(k=1,2,...,n)，使状态sk∈S，按照转移律，由初始状态s1=（3,3）经有限步n到达状态sn+1=（0,0）。
（二）程序设计（三）运行结果、六、 结论体会：安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。
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商人过河数学模型
专业信息与计算科学班级姓名罗彪学号
1、问题重述3名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全过河呢？
2、问题分析商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。
对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步内使全部人员过河。
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。
3、模型假设1、每个商人和随从都会划船；2、只有一条船，且每条船上最多只能乘坐两个人；3、所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象；
4、船在渡河的过程中不受外界环境的影响。
4、模型的建立与求解1、模型建立~第k次渡河前此岸的商人数，~第k次渡河前此岸的随从数, =0,1,2,3;
k=1,2,… …=(, , ck )~过程的状态，其中, , ck 分别表示对应
时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中c取值1表示
即将向彼岸运行，为0表示即将向此岸运行S ~ 允许状态集合，
S={(x , y)| x=0, y=0,1,2,3; x=3 ,y=0,1,2,3; x=y=1,2}~第k
次渡船上的商人数~第k次渡船上的随从数=(, )~决策，D={(u , v)| ,, =0,1,2} ~允许决策集合k=1,2,… …因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是=+~状态转移律求∈D(k=1,2, …n), 使∈S, 并按转移
律由=(3,3,1)到达状态=(0,0,0(1))。
2、模型求解本模型使用MATLAB软件编程求解，运行结果如下>> chouxiang输入商人数
目:3输入仆人数目:3输入船的最大容量:2ans = 0 011 01 03 022211313 0323133Matlab程序function foot=chouxiang %程序
开始需要知道商人数，仆人数，船的最大容量sr=input(输入商人数目:);pr=input(输入仆人数目:);c=input(输入船的最大容量:); if pr>srsr=input(输入商人数目:);pr=input(输入仆人数
目:);c=input(输入船的最大容量:); end %状态数组生成
zt=1; % 状态数组存放在矩阵“A”中,zt为插入新元素的行标初
始为1for i=sr:-1:0 for j=pr:-1:0 if ((i>=j)&((sr-i)>=(pr-j)))|((i==0)|(i==sr))
%(i>=j)&((sr-i)>=(pr-j)))|((i==0)|(i==sr))为可以存在
的状态的约束条件 A(zt,1:3)=[i,j,1]; % 表示此岸安全
A(zt+1,1:3)=[i,j,0]; zt=zt+2; end j=pr;end;end;%决策生成
jc=1; for i=0:c for j=0:c if (i+j<=c)&(i+j>0)
% 满足条件 D={(u,v)|1<=u+v<=c,u,v=0,1,2}
d(jc,1:3)=[i,j1]; %表示从此岸到彼岸 d(jc+1,1:3)=[-i,-j,-1]; %表示从彼岸到此岸 jc=jc+2; end end j=0; end %将状态数
组生成抽象矩阵 k=(1/2)*size(A,1);
CX=zeros(2*k,2*k);a=size(d,1); for i=1:2*k for j=1:a
c=A(i,:)+d(j,:)
; x=find((A(:,1)==c(1))&(A(:,2)==c(2))&(A(:,3)==c(3))) ; v(i,x)=1; % x为空不会改变v的值 end end %dijstra方
法x=1; y=size(A,1);m=size(v,1);T=zeros(m,1); T=T、^-
1;lmd=T; P=T; S=zeros(m,1); S(x)=1; P(x)=0;
lmd(x)=0;k=x;while(1)
a=find(S==0); aa=find(S==1); if size(aa,1)==m break; end for j=1:size(a,1)
pp=a(j,1); if v(k,pp)~=0 if T(pp)>(P(k)+v(k,pp))
T(pp)=(P(k)+v(k,pp)); lmd(pp)=k; end end end
mi=min(T(a)); if mi==inf break; else d=find(T==mi);
d=d(1); P(d)=mi; T(d)=inf; k=d; S(d)=1; endendif
lmd(y)==inf foot=can not reach; return;endfoot(1)=y;g=2;
h=y;while(1)
if h==x break; end foot(g)=lmd(h); g=g+1;
h=lmd(h);end foot=A(foot,:);foot(:,3)=[];
5、模型评价与推广1、模型的优点: 采用了较为成熟的数学理论建立模型，可行度比较高；模型的求解运用了强大的matlab 软件，结果可信度高，便于推广；2、模型的缺点: 没有找到商人数﹑随从数及船的容量之间的数量关系；没有考虑到实际生活中，在安全渡河的前提下，商人过河的优先级应高于随从。
3、该商人、随从过河模型可以完美解决此类商仆过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。