北师大版九年级数学下册_第二章_二次函数_2.1_二次函数_同步训练(有答案)
北师大九年级数学下册第二章二次函数２．１二次函数同
步训练
学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿班级：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿考号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
一、选择题（本题共计１０小题，每题３分，共计３０分，）１．下列函数中，能表示y是x的二次函数是（）
Ａ．y＝１
x２Ｂ．y＝−x２
２
Ｃ．y２＝２x−１Ｄ．y＝x（３x−１）−３x２
２．y＝mx m２＋２m＋２是二次函数，则m的值为（）
Ａ．０，−２Ｂ．０，２Ｃ．０Ｄ．−２
３．如果函数y＝（m−３）x m２−３m＋２是二次函数，那么m的值一定是（）Ａ．０Ｂ．３Ｃ．０，３Ｄ．１，２
４．下列函数关系中，可以看做二次函数y＝ax２＋bx＋c模型的是（）
Ａ．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
Ｂ．我国人中自然增长率为１％，这样我国总人口数随年份变化的关系
Ｃ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
Ｄ．圆的周长与半径之间的关系
５．下列函数中，是二次函数的为（）
Ａ．y＝２x＋１
Ｂ．y＝（x−２）２−x２
Ｃ．y＝２
x２
Ｄ．y＝２x（x＋１）
６．若函数y＝−２（x−１）２＋（a−１）x２为二次函数，则a的取值范围为（）Ａ．a≠０Ｂ．a≠１Ｃ．a≠２Ｄ．a≠３
７．下列函数中，不是二次函数的是（）
Ａ．y＝１−√２x２Ｂ．y＝２（x−１）２＋４
Ｃ．y＝１
x２＋xＤ．y＝１
２
（x−１）（x＋４）
８．如果y＝（m−２）x m２−m是关于x的二次函数，则m＝（）
Ａ．−１Ｂ．２Ｃ．−１或２Ｄ．m不存在９．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）
Ａ．正比例函数Ｂ．一次函数
Ｃ．反比例函数Ｄ．二次函数
１０．圆的面积公式S＝πR２中，S与R之间的关系是（）
Ａ．S是R的正比例函数Ｂ．S是R的一次函数
Ｃ．S是R的二次函数Ｄ．以上答案都不对
二、填空题（本题共计８小题，每题３分，共计２４分，）
１１．函数y＝（m＋１）x｜m｜＋１＋４x−５是二次函数，则m＝＿＿＿＿＿＿＿＿．
１２．下列函数：①y＝６x２＋１；②y＝６x＋１；③y＝６
x ＋１；④y＝６
x２
＋１．其
中属于二次函数的有＿＿＿＿＿＿＿＿（只要写出正确答案的序号）．
１３．若函数y＝（m＋１）x m２＋３m＋４是二次函数，则m的值为＿＿＿＿＿＿＿＿．１４．已知y＝（k＋２）x k２−２是二次函数，则k＝＿＿＿＿＿＿＿＿．
１５．已知函数y＝mx２m−４−２x２＋２x−１（x≠０）是关于x的二次函数，则m的
值为＿＿＿＿＿＿＿＿．
１６．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝（a−２）x２＋（b＋２）x−３．
（１）当＿＿＿＿＿＿＿＿时，x，y之间是二次函数关系；
（２）当＿＿＿＿＿＿＿＿时，x，y之间是一次函数关系．
１７．若二次函数y＝mx２＋x＋m（m−２）的图象经过原点，则m的值为＿＿＿＿＿＿＿＿．
１８．函数y＝２x２中，自变量x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿，函数值y的取值范
围是＿＿＿＿＿＿＿＿．
三、解答题（本题共计８小题，共计４６分，）
１９．（４分）若y＝（a−４）x a２−３a−２＋a是二次函数，求：
（１）a的值；
（２）函数的关系式．
２０．（６分）某汽车的行驶路程y（m）与行驶时间x（s）之间的函数表达式为
y＝３x＋１
２
x２．y是x的二次函数吗？求汽车行驶６０s的路程．
２１．（６分）已知函数y＝（n＋２）x n２＋n−４是关于x的二次函数．
（１）求满足条件的n的值；
（２）当n为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，并写出y随x的增大而增大的x的取值范围．
２２．（６分）y＝（m２−２m−３）x２＋（m−１）x＋m２是关于x的二次函数，则m满足的条件是什么？
２３．（６分）关于x的函数是二次函数的有＿＿＿＿＿＿＿＿．
（１）y＝ax２
（２）y＝−x（x−２）
（３）y＝３x２−４−x３
（４）y＝２xπ２
（５）y＝−２−１
３
x２
（６）y＝１
２−x２
（７）y
x−３
＝２＋x
（８）（３＋x）（x−２）＝y−x２．
２４．（６分）已知函数y＝（m＋３）x m２＋６m＋１０是关于x的二次函数．
（１）求m的值；
（２）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？此时x在什么范围时，y随x的增大而减小？
２５．（６分）已知y＝（m２−m）x m２−２m−１＋（m−３）x＋m２是x的二次函数，
求m的值和二次函数的解析式．
２６．（６分）已知y是x的二次函数，当x＝２时，y＝−４，当y＝４时，x恰为方程２x２−x−８＝０的根．
（１）解方程２x２−x−８＝０
（２）求这个二次函数的解析式．
答案
１．Ｂ
２．Ｄ
３．Ａ
４．Ｃ
５．Ｄ
６．Ｄ
７．Ｃ
８．Ａ
９．Ｂ
１０．Ｃ
１１．
１２．①
１３．
１４．
１５．或
１６．且
１７．
１８．全体实数
１９．解：（１）∵y＝（a−４）x a２−３a−２＋a是二次函数，
∴a２−３a−２＝２，且a−４≠０，
整理，得
（a−４）（a＋１）＝０，且a−４≠０，
解得a＝−１；（２）由（１）知，a＝−１，则该函数解析式为：y＝−５x２−１．
x２满足二次函数的一般形式，
２０．解：y＝３x＋１
２
所以y是x的二次函数，
×６０２＝１９８０．
当x＝６０时，y＝３×６０＋１
２
２１．解：（１）根据题意得n＋２≠０且n２＋n−４＝２，解n２＋n−４＝２得n１＝−３，n２＝２，
所以n的值为−３或２；（２）当n＋２＞０，即n＞−２时，抛物线开口向上，抛物线有最低点，所以n＝２，
此时解析式为y＝４x２，这个最低点的坐标为（０， ０），当x＞０时，y随x的增大而增大．２２．解：∵y是x的二次函数，
∴m２−２m−３≠０，
∴m≠−１且m≠３，
故满足的条件是m≠−１且m≠３．
２３．（２），（５），（７）．
２４．解：（１）由题意得，
m２＋６m＋１０＝２，m＋３≠０，
解得：m＝−２或m＝−４；（２）当m＝−４时，m＋３＝−１＜０，函数有最大值，最大值是０，
根据二次函数的性质，当x＞０时，y随x的增大而减小．
２５．解：∵y＝（m２−m）x m２−２m−１＋（m−３）x＋m２是x的二次函数，
∴{m ２−m ≠０m ２−２m −１＝２，解得m ＝３或m ＝−１， ∴此二次函数的解析式为：y ＝６x ２＋９或y ＝２x ２−４x ＋１． ２６． 解：（１）∵２x ２−x −８＝０， ∴a ＝２，b ＝−１c ＝−８， ∴△＝１＋６４＝６５＞０， ∴x １＝１＋√６５４，x ２＝１−√６５４；（２）设方程２x ２−x −８＝０的根为x １、x ２，则 当x ＝x １，x ＝x ２时，y ＝４，可设y ＝a （２x ２−x −８）＋４， 把x ＝２，y ＝−４代入，得−４＝a （２×２２−２−８）＋４， 解得a ＝４，
所求函数为y ＝４（２x ２−x −８）＋４， 即y ＝８x ２−４x −２８．。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步训练试题(含答案及详细解析)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限2、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴为直线x＝1，则以下结论正确的是（）A．ac＞0B．c﹣5b＜0C．2a﹣b＝0D．当a＝﹣1时，抛物线的顶点坐标为(1，5)3、抛物线()212=++的顶点坐标是（）y xA ．（1，2）B ．（1，2-）C ．（1-，2）D ．（1-，2-） 4、对于二次函数()21y x =--的图象的特征，下列描述正确的是（ ）A ．开口向上B ．经过原点C ．对称轴是y 轴D ．顶点在x 轴上5、如图1所示，△DEF 中，∠DEF ＝90°，∠D ＝30°，B 是斜边DF 上一动点，过B 作AB ⊥DF 于B ，交边DE （或边EF ）于点A ，设BD ＝x ，△ABD 的面积为y ，图2是y 与x 之间函数的图象，则△ABD 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、若抛物线27(4)1y x =-+-平移得到27y x =-，则必须（ ）A ．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B ．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C ．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位7、在同一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝2x 与二次函数2y ax a =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8、抛物线()20y ax bx c a =++<的图象过点3,0，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④9、下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．21y x =B ．211y x x=++C ．221y x =-D ．y 10、在求解方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，先在平面直角坐标系中画出函数2y ax bx c =++的图象，观察图象与x 轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（ ）A ．13x =-，22x =B ．13x =-，23x =C ．12x =-，22x =D ．12x =-，23x =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h （m ）与足球被踢出后经过的时间t （s ）之间的关系为h ＝﹣5t 2＋12t ，则足球距地面的最大高度是______m ．2、二次函数y ＝2(1)3k k x -+的图象开口向上，则k ＝___． 3、二次函数21y x x =---的图像有最______点．（填“高”或“低”）4、点()0m ,是抛物线224y x x =--与x 轴的一个交点，则224m m -的值是________． 5、某件商品的销售利润y （元）与商品销售单价x （元）之间满足267y x x =-+-，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为______元．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A - 和 点()3,0B ，与y 轴交于点C , 顶点为D ．（1）求该抛物线的表达式的顶点D 的坐标；（2）将抛物线沿y 轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为M , 点C 的对应点为E ．①如果点M 落在线段BC 上, 求DBE ∠的度数；②设直线ME 与x 轴正半轴交于点P , 与线段BC 交于点Q , 当2PE PQ =时, 求平移后新抛物线的表达式．2、如图，抛物线y ＝ax 2+bx +6与x 轴交于A （2，0），B （8，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，当∠PCB 12=∠BCO 时，求点P 的横坐标．3、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数225y x mx m =-+的图象经过点()1,2-．（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．4、跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1 m ，并且相距4 m ，现以两人的站立点所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是（0，1）．身高1.50 m 的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1 m 时，绳子刚好经过她的头顶．（1）求绳子所对应的抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）身高1.70m 的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？（3）身高1.64m 的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手s m ，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出s 的取值范围．5、小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值．（1）求该二次函数的表达式；（2）该二次函数的图象与直线y n =有两个交点A ，B ，若6AB >，直接写出n 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据顶点式写出顶点坐标，开口向上，进而即可求得的答案【详解】解： y ＝2（x +1）2，20a =>开口向上，顶点坐标为()1,0-∴该函数不经过第三、四象限如图，故选C【点睛】本题考查了2()y a x h =-图象的性质，根据解析式求得开口方向和顶点坐标是解题的关键．2、B【分析】根据图象可判断a 和c 的符号，即可判断A ；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，即可得出930a b c ++=，再根据抛物线对称轴为直线x ＝1，即12b a -=，且可判断出0b >，通过整理可得出752b c b -=-，即可判断B ；由12b a-=，即可判断C ；由1a =-，可求出b 、c 的值，即得出抛物线解析式，再变为顶点式，即可判断D ．【详解】解：根据图象可知，该二次函数开口向下，∴0a <，该二次函数与y 轴交点在x 轴上方，∴0c >，∴0ac <，故A 选项错误，不符合题意；∵该抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，∴930a b c ++=，∵对称轴为直线x ＝1，即12b a-=， ∴2b a =-， ∴9()302b bc ⨯-++=，即302b c -= ∴752b c b -=-． ∵0a <，∴0b >，∴702b -<， ∴50c b -<，故B 选项正确，符合题意； ∵12b a-=， ∴20a b +=，故C 选项错误，不符合题意；当1a =-时，即12(1)9(1)30b b c ⎧-=⎪⨯-⎨⎪⨯-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴该二次函数解析式为2y x 2x 3=-++，改为顶点式为2(1)4y x =--+，∴抛物线顶点坐标为(1，4)，故D 选项错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．3、C【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标即可．【详解】解：抛物线()212y x =++的顶点坐标是（1-，2），故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是明确二次函数顶点式()2y x h k =-+的顶点坐标为()h k ，． 4、D【分析】根据二次函数2()y a x h =-的性质判断即可．【详解】在二次函数()21y x =--中，∵10a =-<，∴图像开口向下，故A 错误；令0x =，则2(01)10y =--=-≠，∴图像不经过原点，故B 错误；二次函数()21y x =--的对称轴为直线1x =，故C 错误； 二次函数()21y x =--的顶点坐标为(1,0)，∴顶点在x 轴上，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数2()y a x h =-的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．5、C【分析】由图得点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，由三角函数算出AB ，由三角形面积公式即可求解．【详解】由图可得：点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，tan 3012AB DB =⋅︒==∴1122ABD S =⨯⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图像问题以及解直角三角形，由题判断点A 运动到哪里能使ABD △面积最大是解题的关键．6、B【分析】根据两抛物线的顶点坐标即可确定平移的方向与距离，从而完成解答．【详解】抛物线27(4)1y x =-+-的顶点为(－4，－1)，而抛物线27y x =-的顶点为原点由题意，把抛物线27(4)1y x =-+-的顶点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，即可得到抛物线27y x =-的顶点，从而抛物线27(4)1y x =-+-先向右平移4个单位，再向上平移1个单位即可得到27y x =-．故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住抛物线顶点的平移．7、C【分析】先由一次函数的性质判断，然后结合二次函数中a ＞0时，a ＜0时，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵一次函数y ＝2x ，∴一次函数的图像经过原点，且y 随x 的增大而增大，故排除A 、B 选项； 在二次函数2y ax a =-中，当a ＞0时，开口向上，且抛物线顶点在y 的负半轴上，当a ＜0时，开口向下，且抛物线顶点在y 的负半轴上，∴D 不符合题意，C 符合题意；故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．8、D【分析】根据抛物线的对称性与过点3,0，可得抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0,-可判断②，再依次判断,,a b c 可判断①，由对称轴为直线1x =，可判断③，由函数2y ax bx c =++与1y =-的图象有两个交点，可判断④，从而可得答案.【详解】 解： 抛物线()20y ax bx c a =++<的图象过点3,0，对称轴为直线1x =，∴ 抛物线与x 轴的另一个交点为：()1,0,- 则0,a b c -+= 故②符合题意；∴ 抛物线与y 轴交于正半轴，则0,c >10,2b x a则0,b >0,abc 故①不符合题意；对称轴为直线1x =，∴ 当1x =时，,y a b c 最大值 故③不符合题意；当210ax bx c +++=时，则21,ax bx c而函数2y ax bx c =++与1y =-的图象有两个交点，∴ 方程210ax bx c +++=有实数根．故④符合题意；综上：符合题意的是：②④故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断,,a b c 的符号以及代数式的符号，函数的最值，方程的根”是解本题的关键.9、C【分析】根据二次函数的定义依次判断．【详解】解：A 、21y x =不是二次函数，不符合题意； B 、211y x x =++，不是二次函数，不符合题意；C 、221y x =-，是二次函数，符合题意；D 、y =故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的定义：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点．10、D【分析】由题意观察2y ax bx c =++的图象，进而根据与x 轴的两个交点的横坐标进行分析即可.【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：12x =-，23x =， 所以方程的近似解是12x =-，23x =.故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象与x 轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与x 轴的两个交点的横坐标可以看作是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的近似解进行分析.二、填空题1、365【分析】a =-5开口方向向下，最大值为顶点y 值，由公式可得答案．【详解】解：∵h =-5t 2+12t ，∴a =-5，b =12，c =0，∴足球距地面的最大高度是：24(5)0124(5)⨯-⨯-⨯-=7.2m ， 故答案为：7.2．【点睛】本题考察了二次函数的图象和性质，利用二次函数求最值，一是可以通过配方，化为顶点式；二是根据二次函数图象与系数的关系，利用244ac b a - 求出顶点纵坐标．2【分析】由解析式是二次函数可知22k = ，再由图像的开口向上得10k ->，由此求解即可．【详解】解：∵()213k y k x =-+是二次函数，∴22k =，解得k =∵图像的开口向上，∴10k ->即1k >，∴k =．【点睛】本题考查了二次函数的定义与二次函数图像的性质，熟知 图像开口向上时，a ＞0，图像开口向下时，a ＜0是解题的关键．3、高【分析】根据二次函数图象的开口即可解答．【详解】解：∵二次函数21y x x =---∴二次函数21y x x =---的图象开口向下∴二次函数21y x x =---的图像有最高点．故答案是高．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，对于y =ax 2+bx +c （a ≠0），当a ＞0，函数图象开口方向向上，函数图象开口方向向下．4、8【分析】根据抛物线224y x x =--与x 轴的一个交点为（m ,0），代入函数解析式得出，得出224m m -=，代入()222422-=-m m m m 即可求解．【详解】解：∵抛物线224y x x =--轴的一个交点为（m ,0），∴将点（m ,0）代入得，2240m m --=，即224m m -=∴代数式224m m -的值为：()222422248-=-=⨯=m m m m ．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是用整体代入法求值．5、2【分析】2267(3)2y x x x =-+-=--+知y 的最大值在3x =时取得，值为2．【详解】解：267y x x =-+-2(3)2y x =--+根据函数图像性质可知在3x =时，y 最大且取值为2故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数实际应用中的最值问题．解题的关键将二次函数化成顶点式．三、解答题1、（1）2y x 2x 3=-++，()1,4D ；（2）①45DBE ∠=︒；②232.2y x x =-+- 【分析】（1）把点()1,0A - 和 点()3,0B 代入抛物线的解析式。
九年级下册数学北师大版同步课时作业 2.1二次函数(有答案)
九年级下册数学北师大版同步课时作业2.1二次函数一、单选题1.下列函数是二次函数的是( )A.23y x =+B.21y x =C.231y x =-D.22(1)y x x =--2.关于函数(50010)(40)y x x =-+，下列说法不正确的是( )A.y 是x 的二次函数B.二次项系数是10-C.一次项是100D.常数项是20 0003.某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放y 辆单车，如果该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是( )A.2(1)y a x =-B.2(1)y a x =+C.2y ax =D.2y x a =+4.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x （02x <<）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系式是( )A.2y x =B.24y x =-C.24y x =-D.42y x =-5.函数2(5)y m x x =-+是二次函数的条件为( )A.m 为常数,且0m ≠B.m 为常数,且5m ≠C.m 为常数,且 0m =D.m 可以为任何数6.如图,正方形ABCD 的边长为5,点E 是AB 上一点,点F 是AD 延长线上一点,且BE DF =.四边形AEGF 是矩形,则矩形AEGF 的面积y 与BE 的长x 之间的函数关系式为( )A.5y x =-B.25y x =-C.25y x =-D.225y x =-7.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放单车a 辆，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（ ）A.2(1)y a x =+B.2(1)y a x =-C.2(1)y x a =-+D.2(1)y x a =-+二、填空题8.已知菱形两条对角线长的和为24cm ，设其中一条对角线的长为cm x ，则菱形的面积()2cm S 与(cm)x 之间的函数关系式为_______，自变量x 的取值范围是______.9.某产品每件成本10元,试销阶段该产品的销售单价:x (元)与日销售量y (件)之间的关系如下表:三、解答题10.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.设每个房间每天的定价增加x （x为10的正整数倍）元.求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数解析式；（2）该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数解析式.参考答案1.答案：C解析：A 项，23y x =+是一次函数；B 项，因为21x 不是整式，所以21y x =不是二次函数；C 项，符合二次函数的概念；D 项，化简，得21y x =-+，是一次函数.故选C.2.答案：C解析：2(50010)(40)1010020000y x x x x =-+=-++，所以y 是x 的二次函数，二次项系数是10-，一次项是100x ，常数项是20 000，所以A ，B ，D 正确，C 不正确.故选C.3.答案：B解析：由题意，得该公司第二个月投放单车的数量为(1 ) a x +辆，第三个月投放单车的数量为2(1)a x +辆，所以2(1)y a x =+.故选B.4.答案：B解析：根据剩余部分的面积=大正方形的面积-挖去的小正方形的面积，得24y x =-.故选B.5.答案：B解析：函数2(5)y m x x =-+是二次函数的条件为m 为常数，且5m ≠.故选B.6.答案：D解析：∵(05)BE x x =<<，∴5,5AE x AF x =-=+，∴2(5)(5)25y AE AF x x x =⋅=-+=-，故选D.7.答案：A解析：依题意得第三个月投放单车2(1)a x +辆，则2(1)y a x =+.8.答案：21122S x x =-+;024x <<解析：其中一条对角线的长为cm x ，∴另一条对角线的长为(24)cm x -，211(24)1222S x x x x ∴=-=-+.0,024240,x x x >⎧∴∴<<⎨->⎩.9.答案：2105004000w x x =-+-解析：由题表中的数据可知y 与x 是一次函数关系.设其解析式为(0)y kx b k =+≠，则1525018220k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10400k b =-⎧⎨=⎩，y ∴与x 之间的函数关系式为10400y x =-+,故日销售利润w （元）与 销售单价x （元）之间的函数关系式为(10)(10400)w x x =--+=2105004000x x -+-。
北师大九年级数学下册《2.1二次函数》同步训练(有答案)
北师大九年级数学下册《2.1二次函数》同步训练（有答案）北师大九年级数学下册第二章二次函数2.1二次函数同步训练学校名称：________________________;1、多项选择题（共10个子题，每题3分，共30分）1在以下功能中，它可以代表？？对的二次函数是（）A.？？=？？2b.？？=？二2c、？？=2.1d.？？=？？(31)? 3.二22.??=+ 2??+ 2是一个二次函数，那么？？的值是（）c.0d.?2a.0，?2b.0，2二3.如果函数??=(3)??3??+2是二次函数，那么??的值一定是（）a.0b.3c.0，3d.1，24.下列函数关系中，可以看做二次函数??=2++??模型的是（）a.在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系b、中国人口自然增长率为1%，这是中国总人口变化与年份之间的关系c.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）d、圆周和圆半径之间的关系5.下列函数中，是二次函数的为（）a.??=2??+1b.??=(2)222d.？？=2.（？？+1）c.？？=？？26.如果函数？=？2(1)2+(1)?? 2是一个二次函数，那么？？的值范围是（）A？？≠0b。
？？≠1c。
？？≠2d。
？？≠37.在下列函数中，非二次函数为（）b.??=2(1)2+4a.??=1?2??2十一c.??=??2+??d.??=2(1)(??+4)8.如果??=(2)?是关于??的二次函数，则??=()a.?1b.2c.?1或2d.??不存在9.等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）a.正比例函数b.一次函数c.反比例函数d.二次函数10.圆的面积公式??=2中，??与??之间的关系是（）a.??是??的正比例函数b.??是??的一次函数c.??是??的二次函数d.以上答案都不对二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）11.函数=（？？+1）+1+4 如果5是二次函数____12.下列函数：①??=6??2+1；②??=6??+1；③??=??+1；④??=??2+1．其中属于二次函数的有________（只要写出正确答案的序号）．二13.若函数??=(??+1)+3??+4是二次函数，则??的值为________．二14.已知??=(??+2)2是二次函数，则??=________．15.已知函数？=2.4.2.2+2??? 1 (? ≠ 0）是关于？？二次函数，那么？？价值在于___16.已知两个变量??，??之间的关系式为??=(2)??2+(??+2)3．(1)当________时，??，??之间是二次函数关系；(2)当________时，??，??之间是一次函数关系．六6二1二17.若二次函数??=2+??+??(???2)的图象经过原点，则??的值为________．18.函数??=2??2中，自变量??的取值范围是________，函数值??的取值范围是________．三、解答题（本题共计8小题，共计46分，）二19.(4分)若??=(4)??32+??是二次函数，求：（1）??的值；（2）函数关系20.（6分）某汽车的行驶路程??(??)与行驶时间??(??)之间的函数表达式为??=3??+2??2．??是??的二次函数吗？求汽车行驶60??的路程．二21.(6分)已知函数??=(??+2)+???4是关于??的二次函数．(1)求满足条件的??的值；（2）什么时候？？为什么抛物线有最低点时，该值是？找到最低点的坐标并写？？跟随随着…的增加而增加？？价值范围22.（6分）??=(??2?23)??2+(1)??+??2是关于??的二次函数，则??满足的条件是什么？23.（6分）大约？？的函数是二次函数（1）？？=二（2）??=(2)（3）??=3??2?43（4）??=22（5）??=?2?3??2（6）??=22（7）3=2+??(8)(3+??) (2)=?? 2．一1一24.(6分)已知函数??=(??+3)+6??+10是关于??的二次函数．(1)求??的值；（2）?? 当值为时，为什么函数有一个最大值？最大值是多少？此时此刻？？在什么范围内，？？跟随增加和减少？225.（6分）已知=（2分）2.1+(3)??+?? 2是吗？？求的二次函数？？值和的解析二次函数26.(6分)已知??是??的二次函数，当??=2时，??=?4，当??=4时，??恰为方程2??28=0的根．（1）解方程2？？2.8=0（2）求此二次函数的解析式2回答1 b2。
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数含答案【及含答案】
北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表，x …-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …y …12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 …下列四个结论：①二次函数y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为-3；②抛物线与y轴交点为（0，-3）；③二次函数y=ax2+bx+c 的图像对称轴是x=1；④本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c的解是x1=-1,x2=3.其中正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.12、已知y关于x的函数图象如图所示，则当y<0时，自变量x的取值范围是（）A.x＜0B.-1＜x＜1或x＞2C.x＞-1D.x＜-1或1＜x＜23、抛物线y=-2(x-1)2-3与y轴的交点纵坐标为（）A.-3B.-4C.-5D.-14、抛物线y=3(x-1)2+2的顶点坐标是（）A.（1，-2）B.（-1，2）C.（1，2）D.（-1，-2）5、对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣x+ 与x轴交于An、B n 两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值是（）A. B. C. D.16、二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y …4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …下列说法正确的是（）A.抛物线G的开口向下B.抛物线G的对称轴是直线C.抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）D.当x＞﹣3时，y随x的增大而增大7、将抛物线y＝2x²向右平移4个单位，再向上平移3个单位，得到的图象的表达式为( )A.y＝2(x－4)²－3B.y＝2(x＋4)²＋3C.y＝2(x－4)²＋3D.y ＝2(x＋4)²－38、若实数a使关于x的二次函数y=x2+（a-1）x-a+2，当x<-1时，y随x的增大而减小，且使关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a值的和为（）A.1B.4C.0D.39、抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是 x=1 ．下列结论中：① ；②；③ ；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（）A.5个B.4个C.3个D.2个10、关于二次函数，下列说法正确的是 ( )A.当x=2时，有最大值-3；B.当x=-2时，有最大值-3；C.当x=2时，有最小值-3；D.当x=-2时，有最小值-3；11、抛物线y＝3（x+1）2+1的顶点所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12、关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x-1=0有两个实数根，a的取值范围为（）A.a≥0B.a<2C.a≥0且a≠1D.a≤2或a≠113、已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14、由抛物线得到抛物线是经过怎样平移的（）A.右移1个单位上移2个单位B.右移1个单位下移2个单位C.左移1个单位下移2个单位D.左移1个单位上移2个单位15、二次函数的图象如图所示，那么，，，这四个代数式中，值为正数的有（）.A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(共10题，共计30分)16、将抛物线y=﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为________．17、抛物线y=2（x+1）2的顶点坐标为________.18、二次函数y=﹣4（1+2x）（x﹣3）的一般形式y=ax2+bx+c是________．19、如果函数是关于x的二次函数, 则k=________ 。
北师大九年级数学下册《2.1二次函数》同步训练含参考答案
北师大九年级数学下册第二章二次函数 2.1 二次函数同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 下列函数中，能表示y是x的二次函数是（）A.y=1x2B.y=−x22C.y2=2x−1D.y=x(3x−1)−3x22. y=mx m2+2m+2是二次函数，则m的值为（）A.0，−2B.0，2C.0D.−23. 如果函数y=(m−3)x m2−3m+2是二次函数，那么m的值一定是（）A.0B.3C.0，3D.1，24. 下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c模型的是（）A.在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B.我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D.圆的周长与半径之间的关系5. 下列函数中，是二次函数的为（）A.y=2x+1B.y=(x−2)2−x2C.y=2x2D.y=2x(x+1)6. 若函数y=−2(x−1)2+(a−1)x2为二次函数，则a的取值范围为（）A.a≠0B.a≠1C.a≠2D.a≠37. 下列函数中，不是二次函数的是（）A.y=1−2x2B.y=2(x−1)2+4C.y=1x +x D.y=12(x−1)(x+4)8. 如果y=(m−2)x m2−m是关于x的二次函数，则m=()A.−1B.2C.−1或2D.m不存在9. 等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数10. 圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（）A.S是R的正比例函数B.S是R的一次函数C.S是R的二次函数D.以上答案都不对二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分，）11. 函数y=(m+1)x|m|+1+4x−5是二次函数，则m=________．12. 下列函数：①y=6x2+1；②y=6x+1；③y=6x +1；④y=6x+1．其中属于二次函数的有________（只要写出正确答案的序号）．13. 若函数y=(m+1)x m2+3m+4是二次函数，则m的值为________．14. 已知y=(k+2)x k2−2是二次函数，则k=________．15. 已知函数y=mx2m−4−2x2+2x−1(x≠0)是关于x的二次函数，则m的值为________．16. 已知两个变量x，y之间的关系式为y=(a−2)x2+(b+2)x−3．(1)当________时，x，y之间是二次函数关系；(2)当________时，x，y之间是一次函数关系．17. 若二次函数y=mx2+x+m(m−2)的图象经过原点，则m的值为________．18. 函数y=2x2中，自变量x的取值范围是________，函数值y的取值范围是________．三、解答题（本题共计 8 小题，共计46分，）19.(4分) 若y=(a−4)x a2−3a−2+a是二次函数，求：（1）a的值；(2)函数的关系式．x2．y是x的二次函数吗？20. （6分）某汽车的行驶路程y(m)与行驶时间x(s)之间的函数表达式为y=3x+12求汽车行驶60s的路程．21.(6分) 已知函数y=(n+2)x n2+n−4是关于x的二次函数．(1)求满足条件的n的值；(2)当n为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，并写出y随x的增大而增大的x的取值范围．22. （6分）y=(m2−2m−3)x2+(m−1)x+m2是关于x的二次函数，则m满足的条件是什么？23.(6分) 关于x的函数是二次函数的有________．（1）y=ax2（2）y=−x(x−2)（3）y=3x2−4−x3（4）y=2xπ2x2（5）y=−2−13（6）y=12−x2=2+x（7）yx−3(8)(3+x)(x−2)=y−x2．24.(6分) 已知函数y=(m+3)x m2+6m+10是关于x的二次函数．(1)求m的值；（2）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？此时x在什么范围时，y随x的增大而减小？25. （6分）已知y=(m2−m)x m2−2m−1+(m−3)x+m2是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．26.(6分) 已知y是x的二次函数，当x=2时，y=−4，当y=4时，x恰为方程2x2−x−8=0的根．(1)解方程 2x2−x−8=0(2)求这个二次函数的解析式．答案1. B2. D3. A4. C5. D6. D7. C8. A9. B10. C11.12. ①13.14.15. 或16. 且17.18. 全体实数19. 解：(1)∵y=(a−4)x a2−3a−2+a是二次函数，∴a2−3a−2=2，且a−4≠0，整理，得(a−4)(a+1)=0，且a−4≠0，解得a=−1；(2)由(1)知，a=−1，则该函数解析式为：y=−5x2−1．20. 解：y=3x+12x2满足二次函数的一般形式，所以y是x的二次函数，当x=60时，y=3×60+12×602=1980．21. 解：(1)根据题意得n+2≠0且n2+n−4=2，解n2+n−4=2得n1=−3，n2=2，所以n的值为−3或2；(2)当n+2>0，即n>−2时，抛物线开口向上，抛物线有最低点，所以n=2，此时解析式为y=4x2，这个最低点的坐标为(0, 0)，当x>0时，y随x的增大而增大．22. 解：∵y是x的二次函数，∴m2−2m−3≠0，∴m≠−1且m≠3，故满足的条件是m≠−1且m≠3．23. (2)，(5)，(7)．24. 解：(1)由题意得，m2+6m+10=2，m+3≠0，解得：m=−2或m=−4；(2)当m=−4时，m+3=−1<0，函数有最大值，最大值是0，根据二次函数的性质，当x>0时，y随x的增大而减小．25. 解：∵y=(m2−m)x m2−2m−1+(m−3)x+m2是x的二次函数，∴ m2−m≠0m2−2m−1=2，解得m=3或m=−1，∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2−4x+1．26. 解：(1)∵2x2−x−8=0，∴a=2，b=−1c=−8，∴△=1+64=65>0，∴x1=1+654，x2=1−654；(2)设方程2x2−x−8=0的根为x1、x2，则当x=x1，x=x2时，y=4，可设y=a(2x2−x−8)+4，把x=2，y=−4代入，得−4=a(2×22−2−8)+4，解得a=4，所求函数为y=4(2x2−x−8)+4，即y=8x2−4x−28．。
北师大版九年级下 第二章《二次函数》专题训练 (含答案)
目录专题训练(一)二次函数的图象信息题类型一二次函数图象与系数的关系类型二利用二次函数的图象比较大小类型三利用二次函数的图象求方程的解或不等式的解集类型四二次函数与其他函数的组合图象问题类型五利用二次函数图象的位置变化求阴影部分的面积专题训练(二)二次函数与几何的综合问题类型一二次函数与三角形的结合类型二二次函数与平行四边形的结合类型三二次函数与特殊平行四边形的结合类型四二次函数与几何变换的综合专题训练(三)求二次函数表达式的常见类型类型一已知三点求表达式类型二已知顶点或对称轴求表达式类型三已知抛物线与x轴的交点求表达式类型四根据图形平移求表达式专题训练(四)巧用抛物线的对称性解题类型一利用抛物线的对称性求对称轴或点的坐标类型二利用抛物线的对称性比较函数值的大小类型三利用抛物线的对称性求代数式的值类型四利用抛物线的对称性确定自变量的取值范围类型五利用抛物线的对称性求面积类型六巧用抛物线的对称性求二次函数的表达式类型七利用对称性解决线段和最短问题详解详析专题训练(一) 二次函数的图象信息题► 类型一 二次函数图象与系数的关系1．2017·防城港期中二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图5－ZT －1所示，则点M(a ，b ＋c)在( )图5－ZT －1A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如图5－ZT －2，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的大致图象为( )图5－ZT －23．2018·恩施州抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝－1，部分图象如图5－ZT －3所示，下列判断中：①abc ＞0；②b 2－4ac ＞0；③9a －3b ＋c ＝0；④若点(－0.5，y 1)，(－2，y 2)均在抛物线上，则y 1＞y 2；⑤5a －2b ＋c ＜0.其中正确的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55－ZT －3 5－ZT －44．如图5－ZT －4，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－1，且过点(12，0)，有下列结论：①abc ＞0；②a －2b ＋4c ＝0；③25a －10b ＋4c ＝0；④3b ＋2c ＞0；⑤a －b ≥m(am －b)．其中所有正确的结论是________．(填写正确结论的序号)►类型二利用二次函数的图象比较大小5．2017·江津区期末点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3D．y1＝y2＞y3►类型三利用二次函数的图象求方程的解或不等式的解集6．如图5－ZT－5，以点(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的范围是()图5－ZT－5A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜67．如图5－ZT－6是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，它与x 轴的一个交点为A(3，0)，根据图象，可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是________．图5－ZT－6 5－ZT－7 8．如图5－ZT－7是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx ＋c＜0的解集是________．9．如图5－ZT－8，二次函数y1＝a(x－2)2的图象与直线l交于A(0，－1)，B(2，0)两点．(1)确定二次函数的表达式；(2)设直线l的表达式为y2＝kx＋b，根据图象，确定当y1＞y2时，自变量x的取值范围．图5－ZT－8►类型四二次函数与其他函数的组合图象问题10．2017·曲靖一模在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋b的大致图象是()图5－ZT－911．函数y＝kx与y＝－kx2＋k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()图5－ZT－1012．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5－ZT－11所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx在同一平面直角坐标系中的大致图象为()图5－ZT－11图5－ZT－1213．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图5－ZT－13所示，则一次函数y＝bx＋c的图象不经过第________象限．图5－ZT－13►类型五利用二次函数图象的位置变化求阴影部分的面积14．如图5－ZT－14，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x，新抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为()图5－ZT－14A．2 B．4 C．8 D．1615．如图5－ZT－15，抛物线y＝－12x2＋72x与矩形OABC的边AB交于点D，B，若A(0，3)，C(6，0)，则图中阴影部分的面积为()图5－ZT－15A．3 B．4 C．5 D．616．如图5－ZT－16，抛物线y1＝－x2＋2向右平移1个单位长度得到抛物线y2.回答下列问题：图5－ZT－16(1)抛物线y2的表达式是____________，顶点坐标为________；(2)阴影部分的面积为________；(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的表达式为____________，开口向________，顶点坐标为________．17．如图5－ZT－17，7×8网格中的每个小正方形的边长均为1，将抛物线y1＝x2－1向右平移2个单位长度得到抛物线y2.(1)请直接写出抛物线y2的函数表达式：________；(2)图中阴影部分的面积为________；(3)若将抛物线y2沿x轴翻折，求翻折后的抛物线的表达式．图5－ZT－17专题训练(二)二次函数与几何的综合问题►类型一二次函数与三角形的结合1．如图6－ZT－1，直线l过A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P，若S△AOP＝92，求二次函数的表达式．图6－ZT－12．如图6－ZT－2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1.(1)求点C的坐标(用含a的代数式表示)；(2)连接AC，BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式．图6－ZT－2►类型二二次函数与平行四边形的结合3．如图6－ZT－3，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx ＋c，点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)．求抛物线的表达式．图6－ZT－3►类型三二次函数与特殊平行四边形的结合4．如图6－ZT－4，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，且与x轴交于另一点C，其顶点为P.(1)求a，k的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．图6－ZT－45．2017·邵阳如图6－ZT －5所示，顶点坐标为(12，－94)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点M(2，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)点A 是抛物线与x 轴的交点(不与点M 重合)，点B 是抛物线与y 轴的交点，点C 是直线y ＝x ＋1上一点(位于x 轴下方)，点D 是反比例函数y ＝kx (k>0)图象上一点．若以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是菱形，求k 的值．图6－ZT －5►类型四二次函数与几何变换的综合6．如图6－ZT－6所示，已知抛物线E：y＝－2x2－4x，将其向右平移2个单位长度后得到抛物线F.(1)求抛物线F的表达式；(2)设抛物线F和x轴相交于点O，B(点B位于点O的右侧)，顶点为C，点A位于y 轴的负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的表达式．图6－ZT－67．已知二次函数y＝2x2＋4x＋k－1.(1)当二次函数的图象与x轴有交点时，求k的取值范围；(2)若A(x1，0)与B(x2，0)是二次函数图象上的两个点，且当x＝x1＋x2时，y＝－6，求二次函数的表达式，并在所提供的直角坐标系中画出它的大致图象；(3)在(2)的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y＝12x＋m(m<3)与新图象有两个公共点，且m为整数时，求m的值．图6－ZT－7专题训练(三) 求二次函数表达式的常见类型►类型一已知三点求表达式1．已知：如图3－ZT－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的表达式．图3－ZT－12．如图3－ZT－2①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．图3－ZT－2►类型二已知顶点或对称轴求表达式3．如图3－ZT－3，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．图3－ZT－34．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．5．已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的表达式．6．如图3－ZT－4，已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．图3－ZT－4►类型三已知抛物线与x轴的交点求表达式7．抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的表达式为()A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－38．如图3－ZT－5，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，则抛物线的表达式为______________．图3－ZT－59．已知抛物线的顶点坐标为(1，9)，它与x轴有两个交点，两交点间的距离为6，求抛物线的表达式．►类型四根据图形平移求表达式10．一个二次函数图象的形状与抛物线y＝－2x2相同，顶点坐标为(2，1)，则这个二次函数的表达式为______________________________．11．将抛物线y＝12x2平移，使顶点的坐标为(t，t2)，并且经过点(1，1)，求平移后抛物线对应的函数表达式．12．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图3－ZT－6所示的抛物线．(1)求此抛物线的表达式；(2)在抛物线上存在一点M，使△ABM的面积为20，请直接写出点M的坐标．图3－ZT－613．如图3－ZT－7，经过点A(0，－6)的抛物线y＝12x2＋bx＋c与x轴相交于B(－2，0)，C两点．(1)求此抛物线的表达式和顶点D的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围．图3－ZT－7专题训练(四) 巧用抛物线的对称性解题►类型一利用抛物线的对称性求对称轴或点的坐标1．二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，则该二次函数图象的对称轴是直线()A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且经过点P(3，0)，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为()A．(－1，0) B．(0，0) C．(1，0) D．(3，0)3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标．►类型二利用抛物线的对称性比较函数值的大小4．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则() A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1 C．y3<y1<y2D．y2<y3<y15．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3从大到小排列是____________．►类型三利用抛物线的对称性求代数式的值6．已知P(a，m)，Q(b，m)是抛物线y＝2x2＋4x－3上的两个不同的点，则a＋b＝________．7．当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为________．►类型四利用抛物线的对称性确定自变量的取值范围8．二次函数y＝ax2＋bx＋c中x，y的部分对应值如下表：则当y<0时，x的取值范围为________．9．二次函数y＝(x－1)2＋1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为________________．►类型五利用抛物线的对称性求面积10．如图4－ZT－1，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为________．图4－ZT－111．已知二次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)；(2)如图4－ZT－2，此二次函数的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x轴上，求图中阴影部分的面积．图4－ZT－2►类型六巧用抛物线的对称性求二次函数的表达式12．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，则此二次函数的表达式为______________．13．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为______________．14．二次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式．►类型七利用对称性解决线段和最短问题15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋6的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，B的横坐标是一元二次方程x2－4x－12＝0的两个根．(1)请直接写出点A、点B的坐标．(2)请求出该二次函数的表达式及图象的对称轴和顶点坐标．(3)如图4－ZT－3，在二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－316．如图4－ZT－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，它与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴直线x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．图4－ZT－4详解详析专题训练(一)二次函数的图象信息题1．[解析] D∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0.∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，即b＜0，∴b＋c＜0，∴点M(a，b＋c)在第四象限．故选D.2．[解析] B∵a＜0，∴抛物线的开口向下，故C选项不合题意．∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，故A选项不符合题意．∵a＜0，b＞0，对称轴为x＝－b2a ＞0，∴对称轴在y轴右侧，故D选项不符合题意．故选B.3．[解析] B∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，它经过点(1，0)，∴－b2a＝－1，a＋b＋c＝0，∴b＝2a，c＝－3a.∵a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故②正确．∵由抛物线的对称性，知抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－3，0)，∴9a－3b＋c＝0，故③正确．∵由抛物线的对称性，知点(－1.5，y1)在抛物线上，又－1.5＞－2，则y1＜y2，故④错误．∵5a－2b＋c＝5a－4a－3a＝－2a＜0，故⑤正确．故选B.4．[答案] ①③⑤5．[解析] D∵y＝－(x－1)2＋2，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，P1(－1，y1)关于直线x＝1的对称点是(3，y1)，∵1＜3＜5，∴y1＝y2＞y3，故选D.6．[解析] C∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为(1，－4)，∴对称轴为直线x＝1，而对称轴左侧图象与x轴交点的横坐标的取值范围是－3＜x＜－2，∴对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标的取值范围是4＜x＜5.故选C.7．[答案] x 1＝3，x 2＝－1[解析] 设抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(x ，0)．∵抛物线与x 轴的两个交点到对称轴的距离相等，∴3＋x 2＝1，解得x ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－1，0)，∴关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1＝3，x 2＝－1.8．[答案] x ＜－1或x ＞5[解析] 由图可知，图象的对称轴为直线x ＝2，它与x 轴的一个交点坐标为(5，0)，∴函数图象与x 轴的另一个交点坐标为(－1，0)，∴ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是x ＜－1或x ＞5.9．[解析] (1)将(0，－1)代入抛物线的表达式，即可求出a 的值，进而确定二次函数的表达式．(2)确定y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围即为抛物线在一次函数图象上方时对应的x 的取值范围，观察图形即可得出．解：(1)∵二次函数y 1＝a (x －2)2的图象与直线交于点A (0，－1)，∴－1＝a (0－2)2，解得a ＝－14， ∴二次函数的表达式为y 1＝－14(x －2)2， 即y 1＝－14x 2＋x －1. (2)∵二次函数y 1＝a (x －2)2的图象与直线l 交于A (0，－1)，B (2，0)两点，直线l 的表达式为y 2＝kx ＋b ，∴当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围为0＜x ＜2.10．[答案] C11．[解析] B 由表达式y ＝－kx 2＋k (k ≠0)可得抛物线的对称轴为直线x ＝0.A 项，由双曲线的两支分别位于第二、四象限，可得k ＜0，则－k ＞0，抛物线开口向上，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．本选项图象与k 的取值相矛盾，故A 错误．B 项，由双曲线的两支分别位于第一、三象限，可得k ＞0，则－k ＜0，抛物线开口向下，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本选项图象符合题意，故B 正确．C 项，由双曲线的两支分别位于第一、三象限，可得k ＞0，则－k ＜0，抛物线开口向下，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本选项图象与k 的取值相矛盾，故C 错误．D 项，由双曲线的两支分别位于第一、三象限，可得k ＞0，则－k ＜0，抛物线开口向下，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本选项图象与k 的取值相矛盾，故D 错误．故选B.12．[解析] B ∵二次函数的图象开口向上，∴a >0.∵x ＝－b 2a>0，∴b <0.∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c >0.∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限．故选B.13．[答案] 四[解析] ∵二次函数图象的对称轴在y 轴的右侧，∴a ，b 异号．∵a <0，∴b ＞0.∵二次函数的图象与y 轴的交点在正半轴，∴c ＞0.∴一次函数y ＝bx ＋c 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．14．[答案] B15．[解析] A 过点D 作DE ⊥OC 于点E ，根据抛物线的对称性得到：S 阴影＝S 矩形OADE .∵A (0，3)，∴点D 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－12x 2＋72x ，得 3＝－12x 2＋72x ，解得x ＝1或x ＝6， ∴AD ＝1，OA ＝3，∴S 阴影＝S 矩形OADE ＝1×3＝3.故选A.16．[解析] (1)根据抛物线的移动规律“左加右减”可直接得出抛物线y 2的表达式，再根据y 2的表达式求出顶点坐标即可；(2)利用割补法将阴影部分的面积转化为长方形的面积，再列式计算即可；(3)先求出抛物线y 2旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线y 3的表达式． 解：(1)∵抛物线y 1＝－x 2＋2向右平移1个单位长度得到抛物线y 2，∴抛物线y 2的表达式是y 2＝－(x －1)2＋2，顶点坐标为(1，2)．故答案为：y 2＝－(x －1)2＋2，(1，2)．(2)阴影部分的面积是1×2＝2.故答案为：2.(3)∵将抛物线y 2绕原点O 旋转180°后，得到抛物线y 3的顶点坐标为(－1，－2)， ∴抛物线y 3的表达式为y 3＝(x ＋1)2－2，开口向上．故答案为：y 3＝(x ＋1)2－2，上，(－1，－2)．17．[解析] (1)根据左加右减的平移规律即可求解；(2)把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为长为4，宽为2的长方形的面积；(3)根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的坐标特征得出答案．解：(1)将抛物线y1＝x2－1向右平移2个单位长度得到抛物线y2，则y2＝(x－2)2－1，即y2＝x2－4x＋3.(2)由题意，得图中阴影部分的面积为2×4＝8.(3)将抛物线y2沿x轴翻折，翻折后的抛物线的表达式为－y＝x2－4x＋3，即y＝－x2＋4x－3.专题训练(二) 二次函数与几何的综合问题1．解：设直线l 的表达式为y ＝kx ＋b .∵直线l 过点A (4，0)，B (0，4)，∴⎩⎨⎧4k ＋b ＝0，b ＝4，∴⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝4， ∴y ＝－x ＋4.设点P 的纵坐标为y P ，∵S △AOP ＝92，∴12×4·y P ＝92， ∴y P ＝94，∴94＝－x ＋4，解得x ＝74，∴点P 的坐标为(74，94)． 把⎝⎛⎭⎫74，94代入y ＝ax 2，解得a ＝3649， ∴二次函数的表达式为y ＝3649x 2. 2．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1， 而抛物线与x 轴的一个交点A 的坐标为(－1，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(3，0)．设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，即y ＝ax 2－2ax －3a ，当x ＝0时，y ＝－3a ，∴C (0，－3a )．(2)由(1)可得AB ＝4，OC ＝3a ，∴S △ABC ＝12AB ·OC ＝6a ，∴6a ＝6，解得a ＝1， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.3．解：由题意可得点C 的坐标为(5，4)．把(－2，0)，(0，4)，(5，4)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧0＝4a －2b ＋c ，4＝c ，4＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－27，b ＝107，c ＝4. ∴抛物线的表达式为y ＝－27x 2＋107x ＋4.4．解：(1)∵直线y ＝－3x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， ∴A (1，0)，B (0，3)．又∵抛物线y ＝a (x －2)2＋k 经过点A (1，0)，B (0，3)，∴⎩⎨⎧a ＋k ＝0，4a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－1.即a ，k 的值分别为1，－1.(2)设点Q 的坐标为(2，m )，对称轴x ＝2交x 轴于点F ，过点B 作BE ⊥直线x ＝2于点E .在Rt △AQF 中， AQ 2＝AF 2＋QF 2＝1＋m 2. 在Rt △BQE 中，BQ 2＝BE 2＋EQ 2＝4＋(3－m )2.∵AQ ＝BQ ，∴1＋m 2＝4＋(3－m )2，∴m ＝2. ∴点Q 的坐标为(2，2)．(3)当点N 在对称轴上时，NC 与AC 不垂直， ∴AC 应为正方形的对角线．又∵对称轴直线x ＝2是线段AC 的垂直平分线，∴点M 与顶点P (2，－1)重合，点N 为点P 关于x 轴的对称点，其坐标为(2，1)．此时，MF ＝NF ＝AF ＝CF ＝1，且AC ⊥MN ，∴四边形AMCN 为正方形．在Rt △AFN 中，AN ＝AF 2＋NF 2＝2，即正方形的边长为 2.5．解：(1)依题意可设抛物线的表达式为y ＝a (x －12)2－94，将点M (2，0)代入可得a ＝1，∴抛物线的表达式为y ＝(x －12)2－94＝x 2－x －2.(2)当y ＝0时，x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，∴A (－1，0)． 当x ＝0时，y ＝－2，∴B (0，－2)．在Rt △OAB 中，OA ＝1，OB ＝2，∴AB ＝ 5.设直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为点G ，易求G (0，1)，∴Rt △AOG 为等腰直角三角形，∴∠AGO ＝45°.∵点D 是反比例函数y ＝kx (k＞0)图象上一点，∴点D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：∴①此菱形以AB 为边且AC 也为边，如图①所示，过点D 作DN ⊥y 轴于点N . 在Rt △BDN 中，∵∠DBN ＝∠AGO ＝45°，∴DN ＝BN ＝102，∴D (－102，－102－2)．∵点D 在y ＝k x 的图象上，∴k ＝－102·(－102－2)＝52＋10.②此菱形以AB 为对角线，如图②所示，作AB 的垂直平分线CD 交直线y ＝x ＋1于点C ，交y ＝kx 的图象于点D ，再分别过点D ，B 作DE ⊥x 轴于点F ，BE ⊥y 轴，DE 与BE 相交于点E .在Rt △BDE 中，同①可证∠AGO ＝∠DBO ＝∠BDE ＝45°，∴BE ＝DE . 可设点D 的坐标为(x ，x －2)．∵BE 2＋DE 2＝BD 2，∴BD ＝2BE ＝2x . ∵四边形ACBD 是菱形，∴AD ＝BD ＝2x . ∵在Rt △ADF 中，AD 2＝AF 2＋DF 2， 即(2x )2＝(x ＋1)2＋(x －2)2，解得x ＝52.∴点D 的坐标为(52，12)．∵点D 在y ＝k x 的图象上，∴k ＝54. 综上所述，k 的值为52＋10或54.6．解：(1)方法一：原抛物线y ＝－2x 2－4x ＝－2(x ＋1)2＋2，其顶点坐标为(－1，2)，向右平移2个单位长度后抛物线F 的顶点坐标为(1，2)，∴抛物线F 的表达式为y ＝－2(x －1)2＋2，即y ＝－2x 2＋4x .方法二：当y ＝0时，即－2x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2，∴原抛物线与x 轴的交点坐标为(－2，0)和(0，0)．平移后抛物线F 与x 轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)，∴抛物线F 的表达式为y ＝－2x (x －2)，即y ＝－2x 2＋4x .方法三：根据抛物线平移之间的关系，可得抛物线F 的表达式为y ＝－2(x －2)2－4(x －2)＝－2x 2＋4x .方法四：∵抛物线E 与抛物线F 关于y 轴对称，∴抛物线F 的表达式为y ＝－2(－x )2－4(－x )＝－2x 2＋4x .(2)∵抛物线F 的表达式为y ＝－2x 2＋4x ＝－2(x －1)2＋2， ∴顶点C 的坐标为(1，2)．当y ＝0时，－2x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝2，∴点B 的坐标为(2，0)． 设点A 的坐标为(0，y )，且y <0.∵点A 到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离的2倍，∴－y ＝2×2，解得y ＝－4， ∴点A 的坐标为(0，－4)．设AB 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b .由题意，得⎩⎨⎧b ＝－4，2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－4.∴AB 所在直线的表达式为y ＝2x －4. 7．解：(1)∵二次函数的图象与x 轴有交点， ∴b 2－4ac ≥0，即42－4×2×(k －1)≥0，解得k ≤3.(2)∵二次函数y ＝2x 2＋4x ＋k －1图象的对称轴为直线x ＝－1， ∴x 1＋x 2＝2×(－1)＝－2，∴当x ＝－2时，y ＝－6，即2×(－2)2＋4×(－2)＋k －1＝－6，解得k ＝－5， ∴二次函数的表达式为y ＝2x 2＋4x －6，图象如图①所示：(3)设(2)中二次函数y ＝2x 2＋4x －6的图象与x 轴交于A ，B 两点，即A (－3，0)，B (1，0)．依题意可画出翻折后的图象如图②所示：当直线y ＝12x ＋m 经过点A 时，可得m ＝32，当直线y ＝12x ＋m 经过点B 时，可得m ＝－12，根据图象可知，符合题意的m 的取值范围为－12<m <32.∵m 为整数，∴m 的值为0或1.专题训练(三) 求二次函数表达式的常见类型1．解：把(－1，0)，(0，－3)，(4，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－3，16a ＋4b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.所以此抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.2．解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)因为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2. (3)阴影部分的面积为2. 3．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋3[解析] ∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴b2＝1，解得b ＝2.∵抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3， 故抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. 4．解：∵二次函数图象的顶点为A (1，－4)，∴设该二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2－4.将(3，0)代入表达式，得a ＝1， 故该二次函数的表达式为y ＝(x －1)2－4， 即y ＝x 2－2x －3.5．解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A (1，0)， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)． 设抛物线的表达式为y ＝a (x －1)(x －3)． 把(0，3)代入表达式，得3＝3a ， ∴a ＝1，∴该抛物线的表达式为y ＝(x －1)(x －3)，即y＝x2－4x＋3.6．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴设此抛物线的表达式为y ＝a (x －1)2＋4. ∵抛物线过点B (0，3)，∴3＝a (0－1)2＋4，解得a ＝－1， ∴此抛物线的表达式为y ＝－(x －1)2＋4， 即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E (0，－3)，连接AE 交x 轴于点P . 设直线AE 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝7，b ＝－3，∴直线AE 的表达式为y ＝7x －3. 当y ＝0时，x ＝37，∴当P A ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为(37，0)．7．[解析] B 由抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)．又因为抛物线与y 轴交于点(0，－3)，把x ＝0，y ＝－3代入y ＝a (x ＋1)(x －3)，得－3＝a (0＋1)(0－3)，即－3a ＝－3，解得a ＝1，故此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.故选B.8．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋39．解：由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的两个交点分别为(－2，0)和(4，0)， 所以设其表达式为y ＝a (x ＋2)(x －4)． 将(1，9)代入表达式，得9＝a (1＋2)(1－4)， 解得a ＝－1.所以抛物线的表达式为y ＝－(x ＋2)(x －4)， 即y ＝－x 2＋2x ＋8.10．[答案] y ＝－2x 2＋8x －7或y ＝2x 2－8x ＋911．解：根据题意，得平移后的抛物线的表达式为y ＝12(x －t )2＋t 2.∵平移后的抛物线经过点(1，1)， ∴1＝12(1－t )2＋t 2，解得t ＝1或t ＝－13，∴平移后抛物线对应的函数表达式为y ＝12(x －1)2＋1或y ＝12(x ＋13)2＋19，即y ＝12x 2－x ＋32或y ＝12x 2＋13x ＋16.12．解：(1)此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x 2＋2x －3.(2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (1，0)，B (－3，0)，∴AB ＝4.设点M 的坐标为(m ，n )． ∵△ABM 的面积为20， ∴12AB ·|n |＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m 2＋2m －3＝10， 解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14， ∴M (－1＋14，10)或M (－1－14，10)； 当n ＝－10时，m 2＋2m －3＝－10，此方程无解． 故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)． 13．解：(1)∵点A 的坐标为(0，－6)， ∴y ＝12x 2＋bx －6.∵该抛物线过点B (－2，0)，∴12×(－2)2－2b －6＝0，解得b ＝－2， ∴此抛物线的表达式为y ＝12x 2－2x －6.∵y ＝12x 2－2x －6＝12(x －2)2－8，∴抛物线的顶点D 的坐标为(2，－8)．(2)平移后所得新抛物线的表达式为y 1＝12(x －2＋1)2－8＋m ，即y 1＝12(x －1)2－8＋m ，∴顶点P 的坐标为(1，m －8)．对于y ＝12x 2－2x －6，令y ＝0，得12x 2－2x －6＝0，解得x 1＝6，x 2＝－2，∴C (6，0)，∴直线AC 的表达式为y ＝x －6， 当x ＝1时，y ＝－5. ∵点P 在△ABC 内，∴⎩⎨⎧m －8＜0，m －8＞－5，解得3<m <8.专题训练(四) 巧用抛物线的对称性解题1．[解析] B ∵二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，∴图象的对称轴是直线x ＝2＋（－4）2＝－1.故选B.2．[解析] C 由于抛物线的对称轴为直线x ＝2，而点P (3，0)位于x 轴上，设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(m ，0)，根据题意得m ＋32＝2，解得m ＝1，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)，故选C.3．解：由点A (－2，7)，B (6，7)的纵坐标相同，可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x ＝－2＋62＝2.设该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(x 2，－8)，则有2＝3＋x 22，从而得x 2＝1，故该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(1，－8)．4．[解析] C 抛物线y ＝－2x 2－8x ＋m 的对称轴为直线x ＝－2，且开口向下，∴当x ＝－2时y 取得最大值．∵－4＜－1，且－4到－2的距离大于－1到－2的距离，根据抛物线的对称性，知y 3＜y 1.∴y 3＜y 1＜y 2.故选C. 5．[答案] y 1＞y 3＞y 2 6．[答案] －2[解析] 已知点P (a ，m )和Q (b ，m )是抛物线y ＝2x 2＋4x －3上的两个不同的点，因为点P (a ，m )和Q (b ，m )的纵坐标相等，所以它们关于抛物线的对称轴对称，而抛物线y ＝2x 2＋4x －3的对称轴为直线x ＝－1，故a ＋b ＝－2.故答案为－2. 7．[答案] 3[解析] 设y ＝x 2－2x ＋3，∵当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，∴m ＋n2＝－－22×1，∴m ＋n ＝2，∴当x ＝m ＋n ，即x ＝2时，x 2－2x ＋3＝22－2×2＋3＝3.故答案为3.8．[答案] －2<x <39．[答案] －1＜x ≤0或2≤x ＜3[解析] 当y ＝2时，(x －1)2＋1＝2，解得x ＝0或x ＝2；当y ＝5时，(x －1)2＋1＝5，解得x ＝3或x ＝－1，又抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－1＜x ≤0或2≤x ＜3.10．[答案] 2π[解析] 利用图形的对称性可知图中阴影部分的面积为半圆面积．∵⊙O 的半径为2，∴图中阴影部分的面积为12π×22＝2π. 11．解：(1)∵y ＝2x 2＋m ，∴图象开口向上，对称轴为直线x ＝0，则当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 2， 故答案为：＜.(2)∵二次函数的图象经过点(0，－4)，将(0，－4)代入y ＝2x 2＋m 可得m ＝－4，∴二次函数的表达式为y ＝2x 2－4.设AB 与y 轴交于点E ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ∥x 轴．由抛物线的对称性知AE ＝EB ，∴BC ＝2OC .设点C 的坐标为(p ，0)(p ＞0)，则点B 的坐标为(p ，2p )，将(p ，2p )代入二次函数表达式，得2p ＝2p 2－4，解得p ＝－1(舍去)或p ＝2， ∴点B 的坐标为(2，4)，∴BC ＝4.由图形的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，∴S 阴影＝12S 正方形ABCD ＝12×BC 2＝12×16＝8. 12．[答案] y ＝－14x 2－32x ＋74[解析] ∵该函数图象与x 轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别是(－7，0)，(1，0)，故设该二次函数的表达式为y ＝a (x ＋7)(x －1)．把顶点坐标(－3，4)代入，得4＝a (－3＋7)(－3－1)，解得a ＝－14. 则该二次函数的表达式为y ＝－14(x ＋7)(x －1)，即y ＝－14x 2－32x ＋74.13．[答案] y ＝29x 2＋49x －169[解析] ∵对称轴为直线x ＝－1，且图象与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝6，∴直线与x 轴交于(－4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为－1.∵顶点在函数y ＝2x 的图象上，∴y ＝2×(－1)＝－2，∴顶点坐标为(－1，－2)．设二次函数的表达式为y ＝a (x ＋1)2－2，把(2，0)代入，得0＝9a －2，解得a ＝29. ∴y ＝29(x ＋1)2－2＝29x 2＋49x －169. 14．解：∵A ，B 两点关于二次函数图象的对称轴对称，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝6.∵顶点P 到x 轴的距离为3，∴顶点P 的坐标为(6，3)或(6，－3)．当二次函数图象的顶点P 的坐标为(6，3)时，设二次函数的表达式为y ＝a (x －6)2＋3，把A (0，0)代入表达式，得a (0－6)2＋3＝0，解得a ＝－112， ∴二次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋3，即y ＝－112x 2＋x ； 当二次函数图象的顶点P 的坐标为(6，－3)时，同理可求得二次函数的表达式为y ＝112(x －6)2－3，即y ＝112x 2－x . 故二次函数的表达式为y ＝－112x 2＋x 或y ＝112x 2－x .15．解：(1)解方程x 2－4x －12＝0得x 1＝－2，x 2＝6，即A (－2，0)，B (6，0)．(2)将A ，B 两点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋6，得⎩⎨⎧4a －2b ＋6＝0，36a ＋6b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝2， ∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋6. ∵y ＝－12x 2＋2x ＋6＝－12(x －2)2＋8， ∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，8)．(3)存在．如图，作点C 关于二次函数图象的对称轴的对称点C ′，连接AC ′，交二次函数图象的对称轴于点P ，此时△APC 的周长最小．∵C (0，6)，∴C ′(4，6)．设直线AC ′的表达式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎨⎧－2k ＋n ＝0，4k ＋n ＝6，解得⎩⎨⎧k ＝1，n ＝2，∴y ＝x ＋2，当x ＝2时，y ＝4，即P (2，4)．16．解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且经过点A (1，0)，∴B (－3，0)．把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎨⎧－3m ＋n ＝0，n ＝3，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴直线BC 的表达式为y ＝x ＋3.。
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)(满分：100分 时间：100分钟)一、选择题(本大题共10小题；每小题3分；共30分) 1．下列函数中；不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2答案：D2．抛物线y ＝x 2+3与y 轴的交点坐标为（ ）A ．（3；0）B ．（0；3）C ．（0；3）D ．（3；0）答案：B3．把二次函数y ＝－14x 2－x ＋3用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式( )A ．y ＝－14(x －2)2＋2B ．y ＝14(x －2)2＋4C ．y ＝－14(x ＋2)2＋4D ．y ＝21122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3答案：C4．将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位；再向下平移1个单位；所得抛物线为( ) A ．y ＝3(x －2)2－1 B ．y ＝3(x －2)2＋1 C ．y ＝3(x ＋2)2－1 D ．y ＝3(x ＋2)2＋1 答案：C5．对抛物线y ＝－x 2＋2x －3而言；下列结论正确的是( ) A ．与x 轴有两个交点 B ．开口向上C ．与y 轴的交点坐标是(0,3)D ．顶点坐标是(1；－2) 答案：D6．二次函数y ＝2x 2＋mx ＋8的图象如图所示；则m 的值是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．6 答案：B6题图 8题图 9题图7．点P 1（﹣1；y 1）；P 2（3；y 2）；P 3（5；y 3）均在二次函数y ＝﹣x 2+2x +c 的图象上；则y 1；y 2；y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＝y 2＞y 3B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＝y 2答案：A8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)的图象如图所示；当－5≤x ≤0时；下列说法正确的是( )A ．有最小值－5、最大值0B ．有最小值－3、最大值6C ．有最小值0、最大值6D ．有最小值2、最大值6 答案：B9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示；下列结论正确的是( )A ．a <0B ．b 2－4ac <0C ．当－1<x <3时；y >0D ．－b2a＝1答案：D10．在同一平面直角坐标系内；一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象可能是( )A B C D答案：C二、填空题(本大题共8小题；每小题3分；共24分)11．若函数y ＝(m －3)2213m m x ＋－是二次函数；则m ＝______. 答案：－512．抛物线y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1；则b 的值为________． 答案：413．如果抛物线y ＝(m +1)2x 2+x +m 2﹣1经过原点；那么m 的值等于 ． 答案：114．已知抛物线y ＝x 2﹣6x +m 与x 轴仅有一个公共点；则m 的值为 ． 答案：915．二次函数的部分图象如图所示；则使y ＞0的x 的取值范围是 ． 答案：﹣1＜x ＜315题图 16提图 17题图 18题图16．如图所示；已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (1,0)；B (3,0)两点；与y 轴交于点C (0,3)；则二次函数的图象的顶点坐标是________．答案：(2；－1)17．如图；在平面直角坐标系中；抛物线y ＝﹣23（x ﹣3）2+k 经过坐标原点O ；与x 轴的另一个交点为A ．过抛物线的顶点B 分别作BC ⊥x 轴于C 、BD ⊥y 轴于D ；则图中阴影部分图形的面积和为 ． 答案：1818．如图；在正方形ABCD 中；E 为BC 边上的点；F 为CD 边上的点；且AE ＝AF ；AB ＝4；设EC ＝x ；△AEF 的面积为y ；则y 与x 之间的函数关系式是__________．答案：y ＝－12x 2＋4x三、解答题(本大题共5小题；共46分)19．求经过A (1,4)；B (－2,1)两点；对称轴为x ＝－1的抛物线的解析式． 解：∵对称轴为x ＝－1；∴设其解析式为y ＝a (x ＋1)2＋k (a ≠0)． ∵抛物线过A (1,4)；B (－2,1)；∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 1＋12＋k ；1＝a －2＋12＋k.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1；k ＝0.∴y ＝(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1.20．已知；在同一平面直角坐标系中；反比例函数y ＝5x与二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象交于点A (－1；m )．(1)求m ；c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．解：(1)∵点A 在函数y ＝5x的图象上；∴m ＝5－1＝－5.∴点A 坐标为(－1；－5)． ∵点A 在二次函数图象上； ∴－1－2＋c ＝－5；即c ＝－2.(2)∵二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x －2； ∴y ＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1.∴对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为(1；－1)．21．下图是一座拱桥的截面图；拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m ；拱桥的跨度为10cm ．桥洞与水面的最大距离是5m ．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中； （1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．解：（1）抛物线的顶点坐标为（5；5）；与y 轴交点坐标是（0；1）； 设抛物线的解析式是y ＝a （x ﹣5）2+5； 把（0；1）代入y ＝a （x ﹣5）2+5；得a ＝﹣425； ∴y ＝﹣425（x ﹣5）2+5（0≤x ≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4；∴4＝﹣425（x﹣5）2+5；∴425（x﹣5）2＝1；∴x1＝152；x2＝52；∴两景观灯间的距离为152﹣52＝5（米）．22．元旦期间；某宾馆有50个房间供游客居住；当每个房间每天的定价为180元时；房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时；就会有一个房间空闲．如果游客居住房间；宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．（1）若房价定为200元时；求宾馆每天的利润；（2）房价定为多少时；宾馆每天的利润最大？最大利润是多少？解：（1）若房价定为200元时；宾馆每天的利润为：（200﹣20）×（50﹣2）＝8640（元）；答：宾馆每天的利润为8640；（2）设总利润为y元；则y＝（50﹣18010x）（x﹣20）＝﹣110x2+70x+1360＝﹣110（x﹣350）2+10890故房价定为350时；宾馆每天的利润最大；最大利润是10890元．23．如图；已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧）；与y轴交于点B；且OA＝OB．（1）求线段AC的长度：（2）若点P在抛物线上；点P位于第二象限；过P作PQ⊥AB；垂足为Q．已知PQ＝；求点P的坐标．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与y轴交于点B；且OA＝OB；∴点B的坐标为（0；3）；∴OB＝OA＝3；∴点A的坐标为（﹣3；0）；∴0＝﹣（﹣3）2+b×（﹣3）+3；解得；b＝﹣2；∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1）；∴当y＝0时；x1＝﹣3；x2＝1；∴点C的坐标为（1；0）；∴AC＝1﹣（﹣3）＝4；即线段AC的长是4；（2）∵点A（﹣3；0）；点B（3；0）；∴直线AB的函数解析式为y＝x+3；过点P作PD∥y轴交直线AB于点D；设点P的坐标为（m；﹣m2﹣2m+3）；则点D的坐标为（m；m+3）；∴PD＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m；∵PD∥y轴；∠ABO＝45°；∴∠PDQ＝∠ABO＝45°；又∵PQ⊥AB；PQ＝2；∴△PDQ是等腰直角三角形；∴PD＝2sin4522PQ=︒＝2；∴﹣m2﹣3m＝2；解得；m1＝﹣1；m2＝﹣2；当m＝﹣1时；﹣m2﹣2m+3＝4；当m＝﹣2时；﹣m2﹣2m+3＝3；∴点P的坐标为（﹣2；3）或（﹣1；4）．24．如图；在平面直角坐标系中；顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A 和x轴上的点B；AO＝OB＝2；∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM；求S△AOM；（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2；抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F 的左侧）；如果△MBF与△AOM相似；求所有符合条件的抛物线C2的表达式．解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B；AO＝OB＝2；∠AOB ＝120°；∴点B （2；0）；点A （﹣1；﹣）；∴220223(1)(1)a b a b ⎧=⨯+⨯⎪⎨-=⨯-+⨯-⎪⎩；得333a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；∴该抛物线的解析式为y ＝2232333(1)3333x x x -+=--+； （2）连接MO ；AM ；AM 与y 轴交于点D ； ∵y ＝22323331)3333x x x -+=--+； ∴点M 的坐标为（1；33）； 设过点A （﹣13；M （1；33）的直线解析式为y ＝mx +n ；333m n m n ⎧-+=-⎪⎨+=⎪⎩；得2333m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；∴直线AM 的函数解析式为y 23x 3当x ＝0时；y 3∴点D 的坐标为（0；﹣33）；∴OD ＝33； ∴S △AOM ＝S △AOD +S △MOD ＝33；（3）①当△AOM ∽△FBM 时；OM OABM BF=； ∵OA ＝2；点O （0；0）；点M （13；点B （2；0）； ∴OM ＝233；BM ＝233；∴OM ＝BM ；解得；BF ＝OA ＝2；∴点F 的坐标为（4；0）； 设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)3x --+c ； ∵点F （4；0）在抛物线C 2上；∴c ＝33 ∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)333x --+； ②当△AOM ∽△MBF 时；OM OABF BM=； ∵OA ＝2；点O （0；0）；点M （1；33）；点B （2；0）； ∴OM ＝233；BM ＝233；∴BF ＝23； ∴点F 的坐标为（83；0）； 设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)3x --+d ； ∵点F （83；0）在抛物线C 2上；∴d 253；∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝231)x -253．。
北师大版九年级下册数学2.1---2.3测试题含答案
2.1二次函数一、选择题1．对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b＝0时，二次函数是y＝ax2+cB．当c＝0时，二次函数是y＝ax2+bxC．当a＝0时，一次函数是y＝bx+cD．以上说法都不对2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1）C．D．y＝（x﹣1）2﹣x23．若函数y＝（m﹣1）x2+3x+1是二次函数，则有（）A．m≠0 B．m≠1 C．x≠0 D．x≠4．如果函数y＝（k﹣2）x+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是（）A．1或2 B．0或2 C．2 D．05．下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（）A．y＝x（x﹣3）B．y＝（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2 C．y＝x2+D．y＝6．已知x是实数，且满足（x﹣2）（x﹣3）＝0，则相应的函数y＝x2+x+1的值为（）A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 7．函数y＝（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．08．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞29．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A．y＝（m﹣1）2x2B．y＝（m+1）2x2C．y＝（m2+1）x2D．y＝（m2﹣1）x2 10．下列函数中，是二次函数的有（）①y＝1﹣x2②y＝③y＝x（1﹣x）④y＝（1﹣2x）（1+2x）A．1个B．2个C．3个D．4个11．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（）A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数C．S是R的二次函数D．以上答案都不对12．关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（）A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10C．一次项是100 D．常数项是20000二、填空题13．如果函数y＝（m﹣2）x2+2x+3（m为常数）是二次函数，那么m取值范围是．14．若y＝（m+1）+2x2+3（x≠0）是二次函数，则m＝或者或者或者．15．已知是二次函数，则a＝．16．已知方程ax2+bx+cy＝0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为，成立的条件是，是函数．17．若函数y ＝（m +3）为二次函数，且x ＜0时，y 随x 的增大而增大，则m＝ ．2.2二次函数2y ax c =+的图像与性质 1.已知抛物线y=2x 2+1是由抛物线y=2x 2（ ）得到的． A ．再向上平移2个单位B ．再向下平移2个单位C ．再向上平移1个单位D ．再向下平移1个单位2.在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2−1的图象与x 轴的交点的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 03.已知a>0，则函数y=ax 2+a 的图象经过的象限是（ ） A ．第三、四象限 B ．第一、二象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、三象限4.对于二次函数y=3x 2+2 ，下列说法错误的是（） A. 最小值为2B. 图象与y 轴没有公共点C. 当x<0时，y 随x 的增大而减小D. 其图象的对称轴是y 轴 【练习】1.求符合下列条件的抛物线y=ax²-1的函数关系式 （1）.通过点（-3,2）； （2.）与221x y =的开口大小相同,方向相反 ； （3）.当x 的值由0增加到2时,函数值减少4 .2.抛物线c ax y +=2顶点坐标是(0,2),且形状及开口方向与抛物线221x y -=相同 （1）求a,c 的值；（2）画出这个函数的图像。
九年级数学下(北师大版)第二章《二次函数》综合习题练习(含解析)
二次函数综合题类型一有关图象变换问题1．已知抛物线y＝a(x－1)2＋3(a≠0)与y轴交于点A(0，2)，顶点为B，且对称轴l1与x轴交于点M.(1)填空：a的值为______，点B的坐标为______；(2)有一个动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t秒，求t为何值时P A＋PB最小；(3)将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C，且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N，过点C作DE∥x轴，分别交l1、l2于点D、E，若四边形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．第1题图解：(1)－1，(1，3)；【解法提示】把A(0，2)代入抛物线的解析式可得，2＝a＋3，∴a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋3，∴抛物线的顶点B的坐标为(1，3)．(2)如解图①，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，点P 即为所求．第1题解图①∵A ′(0，－2)，B (1，3)，易得直线A ′B 的解析式为y ＝5x －2， 令y ＝0得，x ＝25，∴P (25，0)， ∴2t ＝25，∴t ＝15时，P A ＋PB 最小；(3)设抛物线向右平移后的解析式为y ＝－(x －m )2＋3.由⎩⎨⎧y ＝－（x －1）2＋3y ＝－（x －m ）2＋3，解得x ＝m ＋12， ∴点C 的横坐标为m ＋12，∵MN ＝m －1，四边形MDEN 是正方形，如解图②，当点C 在x 轴的上方时，C (m ＋12，m －1)，第1题解图②把点C 的坐标代入y ＝－(x －1)2＋3， 得到m －1＝－（m －1）24＋3，解得m ＝3或m ＝－5(舍去)，∴平移后抛物线的解析式为y ＝－(x －3)2＋3；当点C 在x 轴下方时，C (m ＋12，1－m )， 把点C 的坐标代入y ＝－(x －1)2＋3， 得到1－m ＝－（m －1）24＋3，解得m ＝7或m ＝－1(舍去)，∴平移后抛物线的解析式为y ＝－(x －7)2＋3. 综上所述，平移后的解析式为y ＝－(x －3)2＋3或 y ＝－ (x －7)2＋3.2．已知抛物线y ＝x 2－2ax ＋a 2(a 为常数，a >0)，G 为该抛物线的顶点． (1)如图①，当a ＝2时，若抛物线与y 轴交于点M ，则△GOM 的面积为________；(2)如图②，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90°后，所得新图象与y 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的上方)，D 为x 轴的正半轴上一点，以OD 为一对角线作平行四边形OQDE ，其中Q 点在第一象限，QE 交OD 于点C ，若QO 平分∠AQC ，AQ ＝2QC .求证：△AQO ≌△EQO ；(3)在(2)的条件下，若QD ＝OG ，试求a 的值．图① 图②第2题图解：(1)4；【解法提示】当a ＝2时，令x ＝0，则y ＝a 2＝4，∴点M (0，4)，∵y ＝x 2－2ax ＋a 2＝(x －a )2，∴当a ＝2时，顶点G (2，0)，∴OM ＝4，OG ＝2，S △GOM ＝12OM ·OG ＝12×4×2＝4.(2)证明：∵四边形OQDE 为平行四边形， ∴QC ＝CE ＝12QE ，又∵AQ ＝2QC ，∴AQ ＝EQ ，∵QO 平分∠AQC ，∴∠AQO ＝∠EQO ，∵在△AQO 和△EQO 中，⎩⎨⎧AQ ＝EQ∠AQO ＝∠EQO QO ＝QO，∴△AQO ≌△EQO (SAS)； (3)∵由题意知G (a ，0)， ∴OG ＝a ，∴OA ＝a ， ∵QD ＝OG ，∴QD ＝a ，∵四边形OQDE 为平行四边形，∴OE ＝QD ＝a ， 即A (0，a )，由旋转知，旋转前抛物线点A 的坐标为(2a ，a )， 把(2a ，a )代入y ＝x 2－2ax ＋a 2得，4a 2－2a ·2a ＋a 2＝a ， 即a 2＝a ，解得a ＝1或0. ∵a 为常数，a >0，∴a＝0不合题意，舍去，∴a＝1.3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－33x2＋233x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D.(1)求直线BC的解析式；(2)如图②，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC.当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使PE＋12BE的值最小，求点P的坐标和PE＋12BE的最小值；(3)如图③，点G是线段CB的中点，将抛物线y＝－33x2＋233x＋3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为F.在抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②图③第3题图解：(1)当x＝0时，y＝－33x2＋233x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)，当y＝0时，有﹣33x2＋233x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点B的坐标为(3，0)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 将B (3，0)、C (0，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝3，解得：⎩⎨⎧k ＝－33b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣33x ＋3；(2)如解图①中，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，交直线BC 于点F .作EN ⊥x 轴，设P (a ，－33a 2＋233a ＋3)，则F (a ，－33a ＋3)，第3题解图①∴PF ＝－33a 2＋3a ，∴S △PBC ＝12×PF ×3＝－32a 2＋332a ， ∴当a ＝32时，S △PBC 最大 ， ∴P (32，534)， ∵C (0，3)，B (3，0)， ∴tan ∠CBO ＝33，∴∠CBO ＝30°，∵EN ⊥x 轴，∴EN＝12BE，∴PE＋12BE＝PE＋EN，∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE＋12BE的值最小．此时PE＋12BE＝PE＋EN＝PM＝534；(3)存在，点Q坐标为(3，32)或(3，－235)，∵D是对称轴x＝1与x轴的交点，G是BC的中点，∴D(1，0)，G(32，32)，∴直线DG解析式y＝3x﹣3，∵抛物线y＝－33x2＋233x＋3＝－33(x－1)2＋433沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，∴原抛物线向右平移了2个单位，∴y′＝－33(x－3)2＋433，∴F(3，43 3)，∴对称轴为x＝3，∵△FGQ为直角三角形，∴∠FGQ＝90°或∠FQG＝90°，∠GFQ＝90°(不合题意，舍去)，当∠FQG＝90°，则QG∥x轴，∴Q(3，3 2)；当∠FGQ＝90°，设点Q坐标(3，y)，∵FQ 2＝FG 2＋GQ 2，∴(433－y )2＝(3－32)2＋(433－32)2＋(3－32)2＋(32－y )2. ∴y ＝－235， ∴Q (3，－235)，综上所述，Q 的坐标可能为(3，32)或(3，－235)．4．如图，已知二次函数y 1＝ax 2＋bx 的图象经过(－2，4)，(－4，4)两点． (1)求二次函数y 1的解析式；(2)将y 1沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y 2，直线y ＝m (m >0)交y 2于M 、N 两点，求线段MN 的长度(用含m 的代数式表示)； (3)在(2)的条件下，y 1、y 2交于A 、B 两点，如果直线y ＝m 与y 1、y 2的图象形成的封闭曲线交于C 、D 两点(C 在左侧)，直线y ＝－m 与y 1、y 2的图象形成的封闭曲线交于E 、F 两点(E 在左侧)，求证：四边形CEFD 是平行四边形．第4题图解：(1)将点(－2，4)，(－4，4)代入y 1＝ax 2＋bx ，得 ⎩⎨⎧4a －2b ＝416a －4b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－3，∴y1＝－12x2－3x；(2)将y1配方，得y1＝－12(x＋3)2＋92，∴顶点坐标是(－3，9 2)．此顶点沿x轴翻折后为(－3，－92)，再向右平移2个单位后的点是(－1，－92)．翻折后抛物线的方向改变，但开口大小不变，∴翻折后抛物线解析式的二次项系数是1 2.∴y2＝12(x＋1)2－92，即y2＝12x2＋x－4.令y2＝m，得12x2＋x－4＝m，即x2＋2x－2(4＋m)＝0.设此方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－2(4＋m)．∵x1，x2是点M，N的横坐标，∴MN＝|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4＋8（4＋m）＝29＋2m；(3)设点A的纵坐标为y0.①当y0≤m＜92时，如题图．对于直线y＝m和函数y1＝－12x2－3x，由第(2)问的方法求得CD＝29－2m.对于直线y＝－m和函数y2＝12x2＋x－4，由第(2)问的方法可知EF＝29－2m.∴CD＝EF.又CD∥EF，∴四边形CEFD是平行四边形．②当0＜m ＜y 0时，如解图，此时直线y ＝m 与y 1的右交点为D ，与y 1的左交点为C ，直线y ＝－m 与y 2的右交点为F ，与y 2的左交点为E .第4题解图由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m y ＝－12x 2－3x ， 消去y ，得－12x 2－3x ＝m ，即x 2＋6x ＋2m ＝0. 解此方程，得x ＝－3±9－2m . 点D 的横坐标为x D ＝－3＋9－2m . 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m y ＝－12x 2＋x －4，消去y ，得 12x 2＋x －4＝m ，即x 2＋2x －2(4＋m )＝0. 解此方程，得x ＝－1±9＋2m . 点C 的横坐标为x C ＝－1－9＋2m . ∴CD ＝x D －x C ＝9－2m ＋9＋2m －2.同理，x F＝－3＋9＋2m，x E＝－1－9－2m.∴EF＝x F－x E＝9－2m＋9＋2m－2.∴CD＝EF.∴四边形CEFD是平行四边形．综上所述，当m＞0时，所构成的四边形CEFD是平行四边形．类型二有关图形规律问题5．如图，在平面直角坐标系中，B(－2，0)，C(0，4)，将△BOC绕原点O顺时针旋转90°得到△DOA，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A，B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)将△ADO以每秒一个单位的速度沿x轴的负半轴向左平移，平移后的三角形记为△D′O′A′，平移时间为t秒．①当D′落在抛物线上时，求t的值；②t为何值时，△D′A′C的周长最小？直接写出t的值和△D′A′C周长的最小值；③设△D′O′A′与△BOC重叠部分的面积为S，当0≤t≤4时，请直接写出S与t的函数关系式．第5题图解：(1)根据题意得OA＝OC＝4，BO＝DO＝2，∴D(0，2)，A(4，0)．∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，∵抛物线过点C(0，4)，∴4＝－8a，∴a＝－1 2，∴抛物线的解析式是y＝－12x2＋x＋4；(2)①设D′的坐标是(－t，2)，当D′落在抛物线上时，－12t2－t＋4＝2，解得：t1＝－1＋5，t2＝－1－5(不合题意，舍去)，∴t＝－1＋5；②如解图①，过点A作AE⊥AB，在AE上截取AF＝CD＝2，连接DD′、A′F、CD′、CA′，第5题解图①∵AF＝CD＝2，DD′＝AA′＝t，∠CDD′＝∠A′AF＝90°，∴△AA′F≌△DD′C，∴CD′＝A′F，∵OD＝2，AO＝4，∴AD＝OD2＋AO2＝25，∴A′D′＝25，∵△CD′A′的周长＝A′D′＋CD′＋CA′＝25＋A′F＋CA′，由两点之间线段最短可知，当CA′，A′F共线时，A′F＋CA′值最小，最小值为CF的长度，此时C(0，4)，F(4，－2)，∵CF＝62＋42＝213，∴△CD′A′的周长的最小值为213＋2 5.∵C(0，4)，F(4，－2)，∴直线CF的解析式y＝－32x＋4，当y＝0，则x＝83，∴t＝4－83＝43.③当0≤t≤1时，S＝（2＋4－t2）t2＝－t24＋2t；当1＜t＜2时，S＝－2120t2＋185t－45；当2≤t≤4时，S＝－120t2－25t＋165.【解法提示】当0≤t≤1，如解图②，第5题解图②∵tan∠A′＝24＝12＝OEOA′，∴OE＝4－t 2，∴S重叠部分＝（2＋4－t2）t2＝－t24＋2t；当1＜t＜2，如解图③，可求S重叠部分＝－2120t2＋185t－45；当2≤t≤4时，如解图④，可求S重叠部分＝－120t2－25t＋165.图③图④第5题解图6．已知直线y＝2x＋m与抛物线y＝ax2＋ax＋b有一个公共点M(1，0)，且a ＜b.(1)抛物线顶点Q的坐标为________(用含a的代数式表示)；(2)猜想直线y＝2x＋m与抛物线的交点情况，并证明你的猜想；(3)设直线y＝2x＋m与抛物线的另一个交点为N，若－1≤a≤－12，求线段MN长度的取值范围．解：(1)(－12，－9a4)；【解法提示】∵抛物线过点M (1，0)，∴a ＋a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∵y ＝ax 2＋ax ＋b ＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋12)2－9a 4，∴抛物线顶点Q 的坐标为(－12，－9a4)． (2)直线y ＝2x ＋m 与抛物线有两个交点．证明如下： ∵直线y ＝2x ＋m 经过点M (1，0)， ∴0＝2×1＋m ，解得m ＝－2，联立⎩⎨⎧y ＝2x －2y ＝ax 2＋ax －2a ，得ax 2＋(a －2)x －2a ＋2＝0①， ∴Δ＝(a －2)2－4a (－2a ＋2)＝9a 2－12a ＋4， 又∵a ＜b ，b ＝－2a ， ∴a ＜0，b ＞0，∴Δ＝9a 2－12a ＋4＝(3a －2)2＞0， ∴方程①有两个不相等的实数根， ∴直线y ＝2x ＋m 与抛物线有两个交点；(3)由(2)得M 、N 的横坐标为方程ax 2＋(a －2)x －2a ＋2＝0的解，即x 2＋(1－2a )x －2＋2a ＝0，∴[x ＋(12－1a )]2＝(1a －32)2，解得x 1＝1，x 2＝2a －2，将x ＝2a －2代入y ＝2x －2得y ＝4a －6，∴点N (2a －2，4a －6)， 根据两点间的距离公式得，MN 2＝[(2a －2)－1]2＋(4a －6)2＝20a 2－60a ＋45＝20(1a －32)2，∵－1≤a ≤－12，则－2≤1a ≤－1，∴1a －32＜0， ∴MN ＝25(32－1a )＝35－25a ， 又∵－1≤a ≤－12，∴55≤MN ≤7 5.7．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c ，经过A (－1，0)，B (5，0)两点，与y 轴交于C 点．已知M (0，1)，E (a ，0)，F (a ＋1，0)，点P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标； (3)若△PCM 是以CM 为底边的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．第7题图 备用图解：(1)将点A (－1，0)，B (5，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得：⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0－25＋5b ＋c ＝0，解得：⎩⎨⎧b ＝4c ＝5，∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)当a ＝1时，E (1，0)，F (2，0)，OE ＝1，OF ＝2. 设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，如解图①，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4.第7题解图①S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12(PN ＋OF )·ON －12PN ·MN －12OM ·OE＝12(x ＋2)(－x 2＋4x ＋5)－12x (－x 2＋4x ＋4)－12×1×1 ＝－x 2＋92x ＋92＝－(x －94)2＋15316，∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316， 当x ＝94时，y ＝－(94－2)2＋9＝14316. 此时点P 坐标为(94，14316)；(3) ∵M (0，1，)，C (0，5), △PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为3.令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6. ∵点P 在第一象限，∴P (2＋6，3)．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值．如解图②，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1，1)； 作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1，－1)；连接PM 2，与x 轴交于点F ，此时ME ＋PF ＝ PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P (2＋6，3)，M 2(1，－1)代入得：⎩⎨⎧（2＋6）m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，第7题解图②解得：m ＝46－45，n ＝－46＋15，∴y ＝46－45x －46＋15，当y ＝0时，解得x ＝6＋54.∴F (6＋54，0)．∵a＋1＝6＋5 4，∴a＝6＋1 4.∴当a＝6＋14时，四边形PMEF周长最小．8．如图，已知直线l：y＝13x＋b经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…，B n(n，y n)(n为正整数)依次在直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)，…，A n＋1(x n＋1，0)，设x1＝d(0<d<1)．(1)求b的值；(2)求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式(用含d的代数式表示)；(3)当d(0<d<1)的大小变化时，是否存在顶点与x轴的两个交点所构成的三角形是直角三角形的抛物线？若存在，请你求出相应的d的值，若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)∵M(0，14)在直线y＝13x＋b上，∴14＝13×0＋b，∴b＝1 4；(2)由(1)得：y＝13x＋14，∵B1(1，y1)在l上，∴当x＝1时，y1＝13×1＋14＝712，∴B1(1，7 12)．∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋712(a≠0)，又∵x1＝d，∴A1(d，0)，∴0＝a(d－1)2＋7 12，∴a＝－712（d－1）2，∴经过点A1，B1，A2的抛物线的解析式为：y＝－712（d－1）2(x－1)2＋712；(3)存在．由抛物线的对称性可知，所构成的三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0<d<1，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1.∵当x＝1时，y1＝13×1＋14＝712<1，当x＝2时，y2＝13×2＋14＝1112<1，当x＝3时，y3＝13×3＋14＝114>1，∴该抛物线的顶点只有B1，B2，①若B1为顶点，由B1(1，7 12)，则d＝1－712＝512；②若B2为顶点，由B2(2，11 12)，则d＝1－[(2－1112)－1]＝1112，综上所述，d的值为512或1112时，存在满足条件的抛物线．类型三有关新定义问题9．如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两条抛物线L1、L2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．(1)在图①中，抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与L2：y＝a(x－4)2－3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为________，a的值为________；(2)在图②中，已知抛物线L3：y＝2x2－8x＋4，它的“伴随抛物线”为L4，若L3与y轴交于点C，点C关于L3的对称轴对称点为D，请求出以点D为顶点的L4的解析式；(3)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y＝a2(x －h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．图① 图②第9题图解：(2，1)，1； 【解法提示】(1)∵抛物线L 1：y ＝－x 2＋4x －3，∴此抛物线的顶点坐标A (2，1)，∵抛物线L 2过点A (2，1)，∴1＝a (2－4)2－3，∴a ＝1.(2)由L 3：y ＝2x 2－8x ＋4化成顶点式，得y ＝2(x －2)2－4，∴C (0，4)，对称轴为x ＝2，顶点坐标(2，－4)，∴点C 关于对称轴x ＝2的对称点D (4，4)，设L 4：y ＝a (x －h )2＋k则L 4：y ＝a (x －4)2＋4，再将点(2，－4)代入得，－4＝4a ＋4，解得：a ＝－2，L 3的伴随抛物线L 4的解析式为：y ＝－2(x －4)2＋4；(3)a 1＝－a 2.理由如下：∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上，设A (m ，n )，B (h ，k )，∴可以列出两个方程⎩⎨⎧n ＝a 2（m －h ）2＋k ①k ＝a 1（h －m ）2＋n ②， ①＋②得：(a 1＋a 2)(m －h )2＝0，∵伴随抛物线的顶点不重合，∴a 1＝－a 2.10．在平面直角坐标系中，将抛物线L 1：y ＝12x 2，沿x 轴向右平移m (m ＞0)个单位长度，得抛物线L 2，顶点为P ，交L 1于点Q .(1)抛物线L 2的表达式为________(用字母m 表示)；(2)连接OQ 、PQ ，当∠OQP ＝60°时，点Q 的坐标为________；(3)若将抛物线L 1与L 2其中任意一条沿着x 轴方向水平向左(或向右)平移得到另一条，记抛物线L 1的顶点为O ，抛物线L 2的顶点为P ，抛物线L 1与L 2的交点为点Q ，连接OQ 、PQ ，当∠OQP ＝90°时，我们称这样的两条抛物线是“共轭抛物线”．①当L 1和L 2是“共轭抛物线”时，求m 的值；②请你根据上述“共轭抛物线”的概念，求出抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”．第10题图解：(1)y ＝12(x －m )2；【解法提示】将抛物线L 1沿x 轴向右平移m (m ＞0)个单位长度，得到抛物线L 2：y ＝12(x －m )2. (2)(23，6)；【解法提示】如解图①，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，由点Q 到L 1与L 2的对称轴的距离相等，可得：OG ＝PG ＝12OP ＝12m ，当x ＝m 2时，y ＝18m 2，即点Q 的坐标为(12m ，18m 2)，∵∠OQP ＝60°，∴根据抛物线的性质可知：△OPQ 为等边三角形，∴tan ∠QOP ＝QG OG ＝tan60°＝18m 212m ＝3，第10题解图①解得：m ＝43，∴点Q 坐标为(23，6)；(3)①∵∠OQP ＝90°，OQ ＝PQ ，∴∠QOG ＝45°，OG ＝PG ＝12OP ＝12m ，当x ＝12m 时，y ＝12×(12m )2＝18m 2，故点Q 的坐标为(12m ，18m 2)，由∠QOG ＝45°，∠OGQ ＝90°，得：OG ＝GQ ，∴|12m |＝|18m 2|，解得：m ＝0(不符合题意，舍去)，m ＝±4，当m ＝4时，抛物线向右平移；当m ＝－4时，抛物线向左平移，综上所述，当L 1和L 2是“共轭抛物线”时，m 的值为±4；②如解图②，∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，第10题解图②∴设抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”为：y ＝－(x ＋1－m )2＋4， ∵△PEQ 是等腰直角三角形，∴PF ＝FQ ，则PF ＝|m 2|，当x ＝－1＋12m 时，y ＝－14m 2＋4，即Q (－1＋12m ，－14m 2＋4)，FQ ＝4－(－14m 2＋4)＝14m 2，由PF ＝FQ 可知：|12m |＝14m 2，解得：m ＝±2或m ＝0(不符合题意，舍去)，则抛物线y ＝－x 2－2x ＋3向右平移所得的“共轭抛物线”为：y ＝－(x －1)2＋4； 抛物线y ＝－x 2－2x ＋3向左平移所得的“共轭抛物线”为：y ＝－(x ＋3)2＋4， 综上所述，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”为y ＝－(x －1)2＋4或y ＝－(x ＋3)2＋4.。
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》单元练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》单元练习题（含答案）1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋5)(x－3)经变换后得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，则这个变换可以是( )A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位2．抛物线y＝2x2－5x＋3与坐标轴的交点共有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)、B(2，y2)、C(5，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y24．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为( )A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0,2或－25．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( )A．b＞1 B．b＜1 C．b≥1 D．b≤16．设计师以y＝2x2－4x＋8的图形为灵感设计杯子如图所示．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE 等于( )A．17 B．11 C．8 D．77．已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为 .8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式y＜0的解集是 .9. 二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是 .10. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1y2(填“＞”“＜”或“＝”)．11. 已知抛物线：y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过A(－1,1)、B(2,4)两点，顶点坐标(m，n)，有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜12；④n≤1.则所有正确结论的序号是 .12. 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为A(－2，－2)，且过点B(0,2)，则二次函数的表达式为 .13. 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是 m2.14. 如图，抛物线的顶点为A(2,1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15. 某工厂制作A、B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B 数量相等．(1)制作一件A和一件B分别获利多少元？(2)工厂安排65人制作A、B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B.现在在不增加工人的情况下，增加制作C.已知每人每天可制作1件C(每人每天只能制作一种手工艺品)，要求每天制作A、C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式；(3)在(1)(2)的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值．参考答案：1-6 BBBDDB 7. －5≤y ≤4 8. x ＞5或x ＜－1 9. (－1,8) 10. ＞11. ① ② ④12. y ＝(x ＋2)2－2 13. 11214. 解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋1，把(0,0)代入得4a ＋1＝0，解得a ＝－14.所以抛物线的解析式为y ＝－14(x －2)2＋1，即y ＝－14x 2＋x ；(2)存在．因为抛物线的对称轴为直线x ＝2，则B(4,0)，设M(x ，－14x 2＋x)，根据题意得12×4×|－14x 2＋x|＝12×4×1×3，所以－14x 2＋x ＝3(舍)或－14x 2＋x ＝－3，解－14x 2＋x ＝－3得x 1＝－2，x 2＝6，此时M 点的坐标为(－2，－3)或(6，－3)．15. (1) 解：设制作一件A 获利x 元，则制作一件B 获利(105＋x)元，由题意得：30x ＝240x ＋105，解得：x ＝15，经检验，x ＝15是原方程的根，当x ＝15时，x ＋105＝120，答：制作一件A 获利15元，制作一件B 获利120元；(2) 解：设每天安排x 人制作B ，y 人制作A ，则2y 制作C ，于是有：y ＋x ＋2y ＝65，∴y ＝－13x＋653，答：y 与x 之间的函数关系式为：y ＝－13x ＋653； (3) 解：由题意得：W ＝15×2×y ＋[120－2(x －5)]x ＋2y ×30＝－2x 2＋130x ＋90y ，又∵y ＝－13x＋653， ∴W ＝－2x 2＋130x ＋90y ＝－2x 2＋130x ＋90(－13x ＋653)＝－2x 2＋100x ＋1950，∵W ＝－2x 2＋100x ＋1950，对称轴为x ＝25，而x ＝25时，y 的值不是整数，根据抛物线的对称性可得：当x ＝26时，W 最大＝－2×262＋100×26＋1950＝3198元，此时制作A 产品的13人，B 产品的26人，C 产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．。