2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例
向量的运算
减法
减法法则
坐标运算 实数与向量的积 定义 定义 运算性质 坐标运算
向量的数量积
运算性质 坐标运算
向量的应用
一年之计，莫如树谷：十年之计，莫如树木；终 身之计，莫如树人。长才靡入用，大厦失巨楹。 ——邵谒
m 1 即(n m)a (n )b 0. 2
因为向量a,b不共线,
n m 0， 所以 m 1 n 0. 2 1 解得： n m= . 3 1 1 1 所以AR AC,同理TC AC, 于是RT AC. 3 3 3 故AR RT TC.
微课1
（长度问题）
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关 系？
提示：对角线长度的平方=两邻边的平方和.
平行四边形有类似的数量关系吗？
思考1：如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，
AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？ 提示：确定
D A
B
C
思考2:在平行四边形ABCD中，设向量 AB a，AD b 则向量 DB 等于什么？向量 AC 等于什么？ 提示:
参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的 物理现象.
【互动探究】
用两条成 120° 角的等长的绳子悬挂一个灯具， 如图所 示，已知灯具的重量为 10N，则每根绳子的拉力大小是
10N ． ________
【解析】因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所 成的角都相等，且等于 60° ，故每根绳子的拉力都是 10N. 故填 10N.
→2 → → 2 →2 →2 → → 解析： AB ＝(OB－OA) ＝OB ＋OA －2OA· OB， → → 又∵|OB|＝10，|OA|＝14， → ∴AB2＝100＋196－2×14×10×cos60° ＝156， → ∴|AB|＝2 39. ∴此时甲、乙两人之间的距离为 2 39km.
1．已知点 A( 3，1)，B(0,0)，C( 3，0)，设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E，那么有 BC ＝λ CE ， 其中 λ 等于( C ) 1 A．2 B. 2 1 C．－3 D．－ 3
例2.如图，□ABCD中，点E，F分别是AD，DC边 的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能
发现AR，RT，TC之间的关系吗？
猜想：AR=RT=TC
E D R B F T C
A
【解析】 设AB a, AD b, AR r, 设AC a b. 由于 AR 与 AC 共线，故设 r n(a b),n R，
2 2 2 2 ∴→ CA －→ CB ＝0，→ CA ＝→ CB ，∴CA＝CB，△ABC 为等腰 三角形．
微课2
利用向量解决力（速度、位移） 的合成与分解
例1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体 向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小 与所耗力气的大小有什么关系？ 提示：夹角越大越费力.
吗？为什么？
F 1 最小，最小值为 提示: 0 时，
G 2
,
120 时， F1 G .
用向量解力学问题
对物体进行受力分析
画出受力分析图
转化为向量问题
【方法规律】 1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.
2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型.
3.参数的获得,即求出数学模型的有关解----理论
【方法规律】
用向量方法解决平面几何问题的“三步法”： （1）建立平面几何与向量的联 系，用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为 向量问题. （2）通过向量运算，研究几何 元素之间的关系，如距离、夹角 等问题. （3）把运算结果“翻译”成几 何元素.
几何问题向量化
向量运算关系化
向量关系几何化
体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位 移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使 得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具 有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.
因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解
决物理问题，又是一个值得探讨的课题.
日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一 个物体(如图).如果绳子的最大拉力为 F ,物体受到 的重力为 G. 你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力 F1 的
大小与两绳之间的夹角θ 的关系？
1.能利用向量的知识解决几何中的长度、角度、垂 直等问题. 2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、 相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积 表示． (重点、难点） 3.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模 型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤. 4.掌握向量在物理中应用的基本题型，进一步加深 对所学向量的概念和向量运算的认识.（难点）
例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 型，如图，AC AB AD,DB AB AD, 你能发现平行 四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系 吗？
D C
解：设 AB a, AD b， 则AC a b, DB a b.
A B
AC AC AC (a b) (a b) a a a b b a b b a 2a b b (1)
F1
0 180
G
思考3:上述结论表明，若重力 G 一定，则拉力的 大小是关于夹角θ 的函数.在物理学背景下，这 个函数的定义域是什么？单调性如何？ 提示:
| F1 |
增函数
2 cos 2
|G|
, 0 180
思考4: | F |有最小值吗？| F1 |与| G |可能相等 1
【解析】如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝ 3 |BC| 60°，CE＝ ，∴ ＝3 ，∴ BC ＝－3 CE . 3 |CE|
2.在△ABC 中，已知 A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)， 则 BC 边的中线 AD 的长是( B ) 5 A．2 5 B. 5 2 7 C．3 5 D. 5 2
B
4.已知点 A(1,0)，直线 l：y＝2x－6，点 R 是直线 l → ＝2AP → ，求点 P 的轨迹方程． 上的一点，若RA
【解题关键】代入法求轨迹方程
设出P（x，y）和R（x0，y0）的坐标，用 P的坐
标表示R点的坐标，之后代入已知直线方程化简即
得。
【解析】 设 P(x，y)，R(x0，y0)， → ＝(1,0)－(x ，y )＝(1－x ，－y )， 则RA 0 0 0 0 → ＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)． AP
【变式练习】
求证：直径所对的圆周角为直角．
→ → [证明] 设AO＝ a ，OB＝ b ， → → → 则AB＝ a ＋ b ，OC＝ a ，BC＝ a － b ，
| a |＝| b |. → → 因为AB· BC＝( a ＋ b )· ( a － b )＝| a |2－| b |2＝0， → → 所以AB⊥BC.所以∠ABC＝90° .
2 2
2
注意这种求 模的方法
同理 DB a 2a b b (2)
(1) (2)得 AC DB 2( a b ) 2( AB AD ).
2 2 2 2 2 2
2
2
2
平行四边形两条对角线长的平方和等于两 条邻边长的平方和的两倍. 如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
2.5
平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、
全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性
运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解
决面几何中的一些问题，下面我们通过几个具
DB a b, AC a b.
思考3 利用 a 2, b 1, a - b 2, 如何求a b ? AC 等于多少？
提示:
由 a b 2, 得 a b =4
2 即（a b ） 4, 2 2 2
| AC | a b (a b) 2 a 2a b b
1 因为 EB AB AE a b, 2 又因为 ER与EB 共线， 1 所以设 ER mEB m(a b). 2
， 因为 AR AE ER
1 1 因此n(a b ) b m (a b )， 2 2
1 1 所以 r b m(a b). 2 2
2 2 2
a 2a b b 4, a 2a b b 4, 1 所以a b . 2
2 2
a 2a b b 6.
2
【即时训练】
在四边形ABCD中AB BC=0，且AB=DC，则四边形 ABCD是（ B ） A.平行四边形 C.菱形 B.矩形 D.正方形
解：由已知条件得v v2 0.
| v |
所以
| v1 |2 | v 2 |2
96(km / h),
d 0.5 t 60 3.1(min). |v| 96
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1 min.
【变式练习】
如图，已知甲、乙两人同时从 O 出发，甲行走 10 km 到达 B 处，乙出发的方向与甲的方向的夹角 为 60° ，乙走了 14 km 后到 A 处，求此时甲、乙两 人之间的距离．
1－ x ＝ 2x－ 1， 0 → → 由RA＝2AP，得 － y0＝ 2y 1－ x ＝ 2x－2， 0 ∴ 6－ 2x0＝2y.
，
又∵ 点 R 在直线 l：y＝2x－6 上，∴ y0＝2x0－6， ① ②
由①得 x0＝3－2x，代入②得 6－2(3－2x)＝2y， 整理得 y＝2x，即为点 P 的轨迹方程 .
课件5：2.5.1 平面几何中的向量方法~2.5.2 向量在物理中的应用举例
(2)因为 E 为 CD 的中点，所以 E(n4，m4 )，设 F(x,0)， 则A→E＝(n4，－34m)，A→F＝(x，－m)，因为 A，E，F 三点共线， 所以A→F＝λA→E，即(x，－m)＝λ(n4，－34m)，
所以－x＝mn4＝λ，－34mλ，
故 λ＝43，x＝n3，即 F(n3，0)．
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．形状无法确定
【解析】∵(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，
∴C→A2－C→B2＝0，C→A2＝C→B2，
∴CA＝CB，△ABC 为等腰三角形． 【答案】C
3．力 F＝(－1，－5)作用于质点 m，使 m 产生的位移 s＝(4,6)， 则力 F 对质点 m 做的功是________． 【解析】∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4,6)＝－34， ∴力 F 对 m 所做的功是－34. 【答案】－34
所以|A→F|＝13 n2＋9m2，即 AF＝13 n2＋9m2.
规律方法 1．利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的 向量最好是已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向 量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要 性质运算，最后把运算结果还原为几何关系． 2．若平面图形中存在垂直的线段(如直角三角形、矩形等)， 可建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算求解．
解:以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线分别为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
(1)因为 D 为 AB 的中点， 所以 D(n2，m2 )， 所以|C→D|＝12 n2＋m2，|A→B|＝ m2＋n2， 所以|C→D|＝12|A→B|，即 CD＝12AB.
2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例(教学设计)
2.5.1平面几何中的向量方法 2.5 .2向量在物理中的应用举例（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.运用向量方法解决某些简单的物理问题.二、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力. 经历用向量方法解决某些简单的物理问题的过程；体会向量是一种处理物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.[教学难点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题一、复习回顾1．向量的概念；2．向量的表示方法：几何表示、字母表示；3．零向量、单位向量、平行向量的概念；4．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；5．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；6．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；8．要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；9．理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.10．理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；11．能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；12．能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；13．会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.二、师生互动，新课讲解由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例1（课本P109例1）（课本P109例1）()2222|||.|2||||ABCD AC BD AC DB AB AD =++ 已知平行四边形的对角线为、求证：()()()22222222222222|||2|||2|2|||?,||||?|||||.|AC AC AB ADAB AD AB AD DB DB AB AD AB AD AB ADAC DB AB AD ===++===+-+++=- 证得明：由变式训练1：证明：直径所对的圆周角为直角。
高一数学2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例
2
体会
数学在现实生活中的作用 .
教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算
.
教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题
.
教学过程：
一、复习引入：
1. 讲解上节作业题 .
已知 A(1, 0), 直线 l : y 2 x 6, 点 R是直线 l上的一点 , 若 RA 2 AP ,求点 P的轨迹方程 .
教学过程： 一、复习引入：
2. 5.1 平面几何中的向量方法
1. 两个向量的数量积： a b | a || b | cos .
2. 平面两向量数量积的坐标表示 : a b x1x2 y1 y2.
3. 向量平行与垂直的判定 :
a // b x1 y2 x2 y1 0.
a b x1x2 y1 y2 0.
4
2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与平行四边形法则是什么？
二、讲解新课：
例 1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在
单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力
. 你能从数学的角度解释这种形象吗？
探究 1.设两人拉力分别为 F1 ， F2 ，其夹角为 ，旅行包的重力为 G 。 (1) 为何值时， | F1 |最小，最小值是多少 ?
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
a aa
a
x 2 y2
a
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二、讲解新课： 例 1. 平 行 四 边 形 是 表 示 向 量 加 法 与 减 法 的 几 何 模 型 . 如 图 ，
课件8：2.5.1 平面几何中的向量方法~2.5.2 向量在物理中的应用举例
则
A(0，1)，P
22λ，
22λ，E1，
22λ，F
22λ，0.
于是P→A＝－
22λ，1－
22λ，E→F＝
Байду номын сангаас
22λ－1，－
2
2
λ.
因为P→A·E→F＝－
2
2
λ
22λ－1＋1－
22λ－
22λ＝
－
2
2
λ
22λ－1＋1－
22λ＝0，
所以P→A⊥E→F，即 PA⊥EF.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用，可 以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
所以|C→D|＝12 n2＋m2，|A→B|＝ m2＋n2， 所以|C→D|＝12|A→B|，即 CD＝12AB. (2)解：因为 E 为 CD 的中点，所以 E4n，m4 ， 设 F(x，0)，则A→E＝4n，－43m，A→F＝(x，－m)． 因为 A，E，F 三点共线，
所以A→F＝λA→E.即(x，－m)＝λ4n，－34m.
为( C ) A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形 D．形状无法确定 【解析】因为(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，
所以C→A2－C→B2＝0，C→A2＝C→B2，
所以 CA＝CB，△ABC 为等腰三角形．
4. 一物体受到相互垂直的两个力 F1，F2 的作用，两力 大小都为 5 3 N，则两个力的合力的大小为________．
类型 2 平面几何中的长度问题 典例 2 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，设 AC＝m， BC＝n. (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD＝12AB； (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F.求 AF 的长度(用 m，n 表示)．
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举
2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例一览众山小诱学导入材料：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.问题：如何从数学的角度解释这种现象？图2-5-1导入：我们把上面的问题抽象为如图2-5-1所示的数学模型.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力)，就得到了问题的数学解释.在这里不妨设|F 1|=|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F 1|=2cos 2||θF .通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，2θ由0°到90°逐渐变大，cos 2θ的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.温故知新1.什么是向量加法的平行四边形法则和三角形法则？答:平行四边形法则：把这两个向量置于同一起点上，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共顶点出发的对角线所对应的向量就表示这两个向量的和，它适用于不共线的两个向量求和.三角形法则：把两个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就表示两个向量的和，它适用于任意两个向量作和.2.什么是平面向量的基本定理？答:平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.3.如何计算向量的数量积？答:已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b =0.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
必修四2-5-1~2平面向量应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
→ ＝a，AD → ＝b，由 E、F 分别为对应边的三等分点，得 解 设AB 1 1→ → → → FO＝FA＋AO＝－ a＋ AC 3 2 1 1 1 1 ＝－3a＋2(a＋b)＝6a＋2b. 1→ 1 → 1 1 1 1 → → → OE＝OC＋CE＝2AC＋3CD＝2(a＋b)－3a＝6a＋2b. → ＝OE → ，又 O 为其公共点，故 E、O、F 在同一直线上． ∴FO
2．5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1． 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题及 其他一些实际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高运 算能力和解决实际问题的能力． 3． 掌握用向量方法解决实际问题的基本方法； 向量方法解决几 何问题的“三步曲”． 【核心扫描】 1．用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问 题．(重点) 2．用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．用向量解决平面几何问题的步骤及方法 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
可简述为：图形到向量→向量的运算→向量和数到图形．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)一般可选择以下两种方法： ①基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基 底表示相关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算． ②坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化 为向量的坐标运算．
课前探究学习
课堂讲练互动
2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)
变式训练
1.已知△ABC三边长分别为a，b，c，试用向 量的方法证明：a＝bcosC＋ccosB.
证明：如图所示，设C→B＝a，
C→A＝b，A→B＝c，则 a＝b＋c， ∴a2＝(b＋c)·a ＝a·b＋a·c ①
又a与b的夹角为∠C，a与c的夹角等于∠B, 故①式可化为：|a|2＝|a||b|cosC＋|a||c|cosB， 即|a|＝|b|cosC＋|c|cosB， 也即a＝bcosC＋ccosB.
则A→M＝(x，y－b)，M→Q＝(a－x，－y)，
∵A→M＝－32M→Q， ∴(x，y－b)＝－32(a－x，－y)， ∴a＝x3(x>0)，b＝－2y，
则 A0，－y2，Qx3，0，
P→A＝3，－2y，A→M＝x，32y，
∵P→A·A→M＝0，∴3x－34y2＝0， ∴所求轨迹方程为 y2＝4x(x>0)．
解：(1)s＝A→B＝(7，0)－(20，15)
＝(－13，－15)， 从而 W1＝F1·s＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－ 13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·s＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)． (2)W＝(F1＋F2)·s＝F1·s＋F2·s＝W1＋W2＝ －102(J)．
答案：5
知识回顾 Knowledge Review
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
和船它的们实的际合速速度度为为向量V水 、 V船 和 V合，由题意，
V合 =V船+ V水
其方向为临界方向 PQ，船只要朝着这个方向行
驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：
P
提问:表示划船速度的向量怎样画?
高中数学 第二章 平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例学业
2018版高中数学第二章平面向量2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例学业分层测评新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章平面向量2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例学业分层测评新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第二章平面向量2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例学业分层测评新人教A版必修4的全部内容。
2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例（建议用时:45分钟)［学业达标］一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1）与l平行,则实数m的值为（）A．－1 B．1C．2 D．－1或2【解析】向量(1－m，1)是直线的方向向量，所以斜率为错误!，则错误!＝－错误!，解得m＝－1或m＝2。
【答案】D2．已知点A（2,3)，B(－2，6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是( ) A．梯形B．邻边不相等的平行四边形C．菱形D．两组对边均不平行的四边形【解析】因为错误!＝(8，0），错误!＝(8,0），所以错误!＝错误!，因为错误!＝(4，－3），所以｜错误!|＝5，而|错误!｜＝8，故为邻边不相等的平行四边形．【答案】B3．在△ABC中,点O是△ABC外任一点，若错误!(错误!＋错误!＋错误!)＝错误!，则点G是△ABC的( ）【导学号：00680062】A．内心B．外心C．垂心D．重心【解析】因为13(错误!＋错误!＋错误!）＝错误!，所以错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＝3错误!，化简得错误!＋错误!＋错误!＝0,故点G为三角形ABC的重心．【答案】D4．在△ABC中,D为BC边的中点，已知错误!＝a，错误!＝b，则下列向量中与错误!同方向的是( )A．错误!B．错误!＋错误!C．a－b｜a－b|D．错误!－错误!【解析】因为D为BC边的中点，则有错误!＋错误!＝2错误!，所以a＋b与错误!共线，又因为错误!与a＋b共线，所以选项A正确．【答案】A5.如图2。
课件9：2.5.1 平面几何中的向量方法~2.5.2 向量在物理中的应用举例
又∵点 R 在直线 l：y＝2x－6 上，∴y0＝2x0－6，
∴16－－x20x＝0＝2x2－y，2，②
①
由①得 x0＝3－2x，代入②得 6－2(3－2x)＝2y，
整理得 y＝2x，即为点 P 的轨迹方程．
类型 3 向量在物理中的应用
例 3 (1)一个质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：
由向量垂直的条件知，BP⊥DC．
名师指津 垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转
化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运 算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使 问题获解，如本题便是将向量B→P，C→D由基底B→A，B→C线性 表示．当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的 夹角是明确的，且长度易知．
名师指津 1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求 边长及角，也可以用向量法求解． 2．如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所 做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位 移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．
跟踪训练 4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向 上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用 在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m，则力F和 摩擦力f所做的功分别为多少？(|g|＝10 m/s2)
解：设木块的位移为 s，则： W＝F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20× 23＝500 3(J)． 因为 F 在竖直方向上的分力的大小为 |F1|＝|F|·sin 30°＝50×12＝25(N)， 所以物体所受的支持力的大小为 |FN|＝|mg|－|F1|＝8×10－25＝55(N)．
预习自测 2.已知力 F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从 A(2，0)移 动到 B(－2，3)，则 F 对物体所做的功为________焦耳． 【解析】 由已知位移A→B＝(－4，3)， ∴力 F 做的功为 W＝F·A→B＝2×(－4)＋3×3＝1. 【答案】 1
高中数学 第2章 平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例(教
2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例学 习 目 标核 心 素 养1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)2.体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点)3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点) 1.通过用向量方法解决几何问题，提升学生的数学运算和直观想象素养. 2.通过用向量方法解决物理问题，提升学生的数学抽象、数学建模素养.1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲〞(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译〞成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．(2)向量的加减法运算表达在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量m v 是向量的数乘运算．(4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积．1．平面内四边形ABCD 和点O ，假设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，那么四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形D [由条件知OA →＋OC →＝OB →＋OD →，那么OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．]2．△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，且a ·b ＜0，那么△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定A [由条件知∠BAC 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．]3．一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，那么力F 所做的功W ＝________J.300[W ＝F ·s ＝6×100×cos 60°＝300(J)．]4．三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(x ，y )的合力F 1＋F 2＋F 3＝0，那么F 3的坐标为________．(－5,1)[由F 1＋F 2＋F 3＝0，那么F 3＝－(F 1＋F 2)，∵F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，∴F 1＋F 2＝(5，－1)，即F 3＝(－5,1)．]向量在平面几何中的应用[1．用向量法如何证明平面几何中AB ⊥CD?提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →；③证明AB →·CD →的值为0；④给出几何结论AB ⊥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝(x 1，y 1)，CD →＝(x 2，y 2)，再计算AB →·CD →的值为0，从而得到几何结论AB ⊥CD .2．用向量法如何证明平面几何中AB ∥CD?提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →；③寻找实数λ，使AB →＝λCD →，即AB →∥CD →；④给出几何结论AB ∥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝(x 1，y 1)，CD →＝(x 2，y 2)．利用向量共线的坐标关系x 1y 2－x 2y 1＝0得到AB →∥CD →，再给出几何结论AB ∥CD .以上两种方法，都是建立在A ，B ，C ，D 中任意三点都不共线的基础上，才有AB →∥CD →得到AB ∥CD .【例1】 (1)非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·CA →|AC →|＝12，那么△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形(2)四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．思路点拨：(1)先由平行四边形法那么分析AB →|AB →|＋ AC→|AC →|的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由AB →|AB →|·CA →|AC →|＝12求∠BAC ，最后判断△ABC 的形状．(2)先建系设点P 坐标，再根据A ，P ，F 和C ，P ，E 分别共线求点P 坐标，最后求四边形APCD 的面积．(1)C [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠A 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ，设AB →，CA →的夹角为θ，而AB →|AB →|·CA →|AC →|＝cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以∠BAC ＝π－π3＝23π，故△ABC 为等腰三角形．](2)[解] 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，如下图，∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)， F (6,4)，E (3,0)，设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )，AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)． 由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线， 得⎩⎪⎨⎪⎧4x －6y ＝0，6(x －3)－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3，∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB ＝36－12×3×3－12×3×6＝452.1．将本例(1)的条件改为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，试判断△ABC 的形状． [解] ∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， ∴(OB →－OC →)·(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝0， ∴CB →·(AB →＋AC →)＝0， ∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， ∴AB →2－AC →2＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0， 所以|AB →|＝|AC →|， ∴△ABC 是等腰三角形．2．将本例(2)的条件“BF ∶FC ＝2∶1〞改为“BF ∶FC ＝1∶1〞，求证：AF ⊥DE . [证明] 建立如下图的平面直角坐标系，那么A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)，那么中点E (3,0)，F (6,3)， ∴AF →＝(6,3)，DE →＝(3，－6)，∴AF →·DE →＝6×3＋3×(－6)＝0， ∴AF →⊥DE →，∴AF ⊥DE .用向量法解决平面几何问题的两种思想(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法那么、运算律或性质计算(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.向量在解析几何中的应用【例2】 点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，假设RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．思路点拨：[解] 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，那么RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，－y 0＝2y .又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2， ①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程．用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题．[跟进训练]1．△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．(1)求直线DE 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在直线的方程． [解] (1)设M (x ，y )是直线DE 上任意一点， 那么DM →∥DE →，因为点D ，E 分别为边BC ，CA 的中点，所以点D ，E 的坐标分别为D (－1,1)，E (－3，－1)， DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， 所以(－2)(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，那么→⊥AB →，所以→·AB →＝0， 又→＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)，所以4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程.平面向量在物理中的应用[1．向量的数量积与功有什么联系？提示：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．【例3】 (1)一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．(2)设作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，假设|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，如下图．①求F 3的大小； ②求F 2与F 3的夹角．思路点拨：(1)求出合力、位移的坐标表示→利用数量积求功(2)①由三个力处于平衡状态用F 1，F 2表示F 3→用向量模的计算公式求F 3的大小②用F 1，F 2表示F 3→构造F 2·F 3→利用夹角公式求解(1)－40 [因为F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，所以合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)，AB →＝(－1,4)，那么F ·AB →＝－1×8－8×4＝－40，即三个力的合力所做的功为－40.] (2)[解] ①由题意|F 3|＝|F 1＋F 2|，因为|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝1＋4＋2×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝ 3. ②设F 2与F 3的夹角为θ， 因为F 3＝－(F 1＋F 2)， 所以F 3·F 2＝－F 1·F 2－F 2·F 2， 所以3·2·cos θ＝－1×2×⎝⎛⎭⎫－12－4， 所以cos θ＝－32， 所以θ＝56π.向量在物理中的应用(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法那么求解.(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题.[跟进训练]2．一条宽为3km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头A ，B ，AB ＝3km ，船在水中最大航速为4 km/h ；问怎样安排航行速度可使该船从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？[解] 如下图，设AC →为水流速度，AD →为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ， 当AE 与AB 重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC ⊥AE ， 在Rt △ADE 和▱ACED 中，|DE →|＝|AC →|＝2，|AD →|＝4，∠AED ＝90°， ∴|AE →|＝|AD →|2－|DE →|2＝23，3÷23＝0.5(h)，sin ∠EAD ＝12，∴∠EAD ＝30°.∴船实际航行速度大小为4 km/h ，与水流成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5小时.1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象．1．以下命题正确的是( )A ．假设AB →∥CD →，那么直线AB 与直线CD 平行． B ．假设△ABC 是直角三角形，那么必有CA →·CB →＝0C ．△ABC 中，假设AB →·BC →＋AB →2＝0，那么△ABC 为等边三角形D ．|AB →|＝(x B －x A )2＋(y B －y A )2D [A 错，可能为同一条直线；B 错，直角不一定是∠C ；C 错，由条件可得AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴∠BAC 为直角，即△ABC 为直角三角形，非等边三角形．] 2．过点M (2,3)，且垂直于向量u ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P (x ，y )是所求直线上任一点，那么MP →⊥u .又MP →＝(x －2，y －3)，所以2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.]3．作用在点A 的三个力f 1＝(3,4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3,1)，且A (1,1)，那么合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为( )A ．(9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ．(0,9)A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 设终点为B (x ，y )，那么(x －1，y －1)＝(8,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝8，y －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，所以终点坐标为(9,1)．]4．△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .[证明] 以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系(略)． 设AC ＝a ，那么A (a,0)，B (0，a )， D ⎝⎛⎭⎫0，a 2，C (0,0)，E ⎝⎛⎭⎫13a ，23a . 因为AD →＝⎝⎛⎭⎫－a ，a 2，CE →＝⎝⎛⎭⎫13a ，23a ， 所以AD →·CE →＝－a ·13a ＋a 2·23a ＝0，所以AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .word。