高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课件新人教A版选修2_3
项式定理 二项式系数 各项的系数 Ck n(k＝0，1，2，„，n)
二项展开式
n 1 n－1 k n－ k k C0 a ＋ C a b ＋„＋ C b ＋„ n n na n ＋Cn nb n－ k k Ck a b 是展开式中的第 k＋1 项， n n k k 可记作 Tk＋1＝Ck a b n
Tr＋1＝Cr 9(
9－3r 所以 ＝3，r＝1， 2 所以第二项为含 x3 的项：
3 3 T2＝－2C1 x ＝－ 18 x . 9
9－ 3r r (3)因为 Tr＋1＝(－2)r·C9 x 2 ，若 Tr＋1 为常数项， 则 9－3r＝0，所以 r＝3，因此常数项为第 4 项(－2)3C3 9＝ －672.
1．3 二项式定理 1．3.1 二项式定理
[ 学习目标 ] 1. 能用计数原理证明二项式定理 ( 难 点)． 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单 问题(重点、难点)．
[知识提炼· 梳理] 二项式定理
公式(a＋b) 概念
n 0 n 1 n－ 1 ＝Cna ＋Cna b＋„＋
n－ k k n n * Ck a b ＋„＋ C b ( n ∈ N )称为二 n n
9－3r (4)因为 Tr＋1＝(－2)rCr 9x 2 ， 9－3r 若 Tr＋1 为有理项，当且仅当 为整数． 2 因为 0≤r≤9，r∈N，所以 r＝1，3，5，7，9，
即展开式中的有理项共 5 项，它们是 T2＝－18x3， 4 032 4 608 512 T4＝－672，T6＝－ 3 ，T8＝－ 6 ，T10＝－ 9 . x x x
－
展开式通项
在二项式定理中，令 a＝1，b＝x， 备注
2 2 则得到公式(1＋x)n＝1＋C1 x ＋ C n nx k n ＋„＋Ck x ＋„＋ x n
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)(a＋b)10 的展开式中共有 10 项．(
n－ k k n (2)Ck a b 是 ( a ＋ b ) 展开式的第 k 项．( n
) )
(3)(a ＋ b)n 与 (a － b)n 的 展 开 式 的 二 项 式 系 数 相 同．( )
解析：(1)错，(a＋b)10 的展开式中共有 11 项．
n－ k k n (2)错，Ck a b 是 ( a ＋ b ) 展开式的第(k＋1)项． n
(3)对，这两个展开式的二项式系数都是 Ck n. 答案：(1)× (2)× (3)√
[变式训练] (1)(2016· 全国Ⅰ卷)(2x＋ x)5 的展开式 中，x3 的系数是________(用数字填写答案)． a x＋ 8 (2)若 3 的展开式中 x4 的系数为 7，则实数 a x ＝________．
r 解析：(1)Tr＋1＝C5 (2x)5－r·(
x)
4．(1－i)10(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为 ________________．
6 6 解析：由通项公式得 T7＝C6 · ( － i) ＝－ C 10 10＝－210.
答案：－210
5．(2015· 广东卷)在( x－1)4 的展开式中，x 的系数为 ________．
r 解析：由题可知 Tr ＋ 1 ＝ C 4 ( x )4 － r( － 1)r ＝ ( － 1)rC r 4
2．(x＋2)n 的展开式共有 12 项，则 n 等于( A．9 B．10 C．11
) D．8
解析：因为(a＋b)n 的展开式共有 n＋1 项，而(x＋2)n 的展开式共有 12 项，所以 n＝11. 答案：C
3．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1 得 ( ) A．(x－1)4 B．x4 C．(x＋1)4 D．x5 解析：原式＝[(x－1)＋1]4＝x4. 答案：B
4－r 4－r x 2 ，令 ＝1，解得 r＝2，所以展开式中 x 的系数为 2
2 C2 ( － 1) ＝6. 4
答案：6
类型 1 求二项展开式中的特定项或其系数(自主研析) [典例 1]
已知
2 n x－x 展开式中第三项的系数比第二
项的系数大 162，求： (1)n 的值； (2)展开式中含 x3 的项； (3)求二项展开式的常数项； (4)求二项式的展开式的所有有理项．
r
r 5－ r r ＝2 C5·x5－ ，令 2
5
r － ＝3，得 r＝4，所以 T5＝10x3，所以 x3 的系数为 10. 2
a 4 4 r rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr r 8－r (2)由 Tr＋1＝C8x 3 ＝C8a ·x8－ r.令 8－ r＝4， 3 3 x 所以 r＝3，则 x 的系数为
解：(1)因为 T3＝C2 n(
n－6 22 x)n－2－x ＝4C2 nx 2 ，
T2＝C1 n( 依题意得
n－3 2 x)n－1－x＝－2C1 nx 2 ，
2 1 4Cn＋2Cn＝162，
1 所以 2C2 n＋Cn＝81，
所以 n2＝81，n＝9.
(2)设第(r＋1)项含 x3 项，则 9－3r 2r x)9－r－x ＝(－2)rCr 9x 2 ，
4 3 C3 a 8 ＝7.解之得
1 a＝ . 2
1 答案：(1)10 (2) 2
类型 2 二项式定理的正用、逆用 [典例 2]
(1)二项式 3
1 4的展开式为_______． x－ x
归纳升华 1.求二项展开式的特定项的常用方法： (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母 的指数恰好都是整数．解这类问题必须合并通项公式中同一 字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整 除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 2．正确区分二项式系数与该项的系数． 二项式系数与项的系数是两个不同的概念， 前者仅与 二项式的指数及项数有关， 与二项式无关， 后者与二项式、 二项式的指数及项数均有关．
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项
1.3.1 二项式定理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *) (1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项式的展开式，展开式中一共有____项．(3)二项式系数：各项的系数__(k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项(a ＋b )n展开式中第k ＋1项____________(k ∈{0,1,2，…，n })称为二项展开式的通项． 预习交流(1)二项展开式的特点有哪些？(2)(x ＋1)n的展开式共有11项，则n 等于( )． A ．9 B ．10 C ．11 D ．12(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 7的展开式中第3项的二项式系数为__________，第6项的系数为__________，x 的次数为5的项为__________．答案：1．(2)n ＋1 (3)C kn2．T k ＋1＝C k n a n －k b k预习交流：(1)提示：①项数：n ＋1项；②指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减到0，同时b 的指数由0递增到n ；③通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r指的是第r ＋1项，不是第r 项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C rn 叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x )3的二项展开式中第3项的二项式系数为C 23＝3，而该项的系数为C 23·22＝12.(2)提示：B(3)提示：21 －84 －448x 5一、二项式定理的直接应用求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．熟记二项式(a ＋b )n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算1．(2011山东高考，理14)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为__________．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x 的项即可．2．(2011天津高考，理5)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )．A ．－154B ．154C ．－38D ．38思路分析：利用二项展开式的通项公式求．1．(2011陕西高考，理4)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．202．(2011广东高考，理10)x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 三、二项式定理的应用(整除问题)试判断7777－1能否被19整除．思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开．证明：32n ＋2－8n －9是64的倍数．用二项式定理解决a n＋b 整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m 的整数倍加上或减去r (1≤r ＜m )的形式，利用二项展开式求解．答案：活动与探究1：解法1：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法2：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.迁移与应用：解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.活动与探究2：1.4 解析：由二项式定理可知T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 2r ＝C r 6(－a )r x 6－3r， 令6－3r ＝0，得r ＝2，∴T 3＝C 26(－a )2＝60. ∴15a ＝60.∴a ＝4.2．C 解析：设含x 2的项是二项展开式中第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r·⎝⎛⎭⎪⎫－2x r＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r (－2)r x 3－r.令3－r ＝2，得r ＝1.∴x 2的系数为C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.迁移与应用：1.C 解析：设第r ＋1项为常数项，T r ＋1＝C r 622x (6－r )(－2－x )r ＝(－1)r ·C r 6212x －2rx －rx， ∴12x －3rx ＝0， ∴r ＝4.∴常数项为T 5＝(－1)4C 46＝15.2．84 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r.令7－2r ＝3得r ＝2.因而⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7展开式中含x 3项的系数为(－2)2·C 27＝4×7×62＝84.故x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数为84.活动与探究3：解：7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C 177·7676＋C 277·7675＋…＋C 7677·76＋C 7777－1＝76(7676＋C 1777675＋C 2777674＋…＋C 7677)．由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．迁移与应用：证明：∵32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9 ＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋C nn ＋1·8＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＝(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋…＋C n －1n ＋1)·64，故32n ＋2－8n －9是64的倍数．1.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是( )． A ．C 216x 12B ．C 316x 10 C ．－C 316x 10D ．C 416x 82．(2012天津高考，理5)在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．40D ．－403．(2012山东省实验中学诊断，理6)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 10的展开式中的常数项是( )．A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项4．(2012湖南高考，理13)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)5．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项． 6．(1－x )4·(1－x )3的展开式中x 2的系数是__________．答案：1．C 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·(x )16－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， ∴第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10. 2．D 解析：T r ＋1＝C r5(2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ，∴当10－3r ＝1时，r ＝3.∴(－1)325－3C 35＝－40.3．B 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 20－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r C r 10·x 20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r ＝8.∴常数项为第9项．4．－160 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 626－r x 3－r .当3－r ＝0时，r ＝3.故(－1)3C 3626－3＝－C 3623＝－160.5．6 解析：∵T r ＋1＝3r4C r 20x20－r y r(r ＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，∴r ＝0,4,8,12,16,20，共6项．6．－6 解析：展开式中的x 2项为C 14·(－x )1·C 23·(－x )2＋C 24(－x )2C 03＝－6x 2.。
1.3.1二项式定理1-人教A版高中数学选修2-3课件
a4
C
1 4
a
3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
猜想 (a b)n ?
探究3：请分析(a+b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab )(ab)
n
①项： a n a n1b … ankbk … bn
②系数：
C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析a nk b k
k个(a b)中选b n个(a b)相乘 n k个(a b)中选a
b
C
k n
a
nk
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
①项数： 共有n＋1项
②次数：各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
③二项式系数:
C
k n
(k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项:
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
概念理解
(a
b)n
C
0 n
a
作业：P37 4
Cnk
③展开式：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n1
b
C
k n
a
n
k
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。
高中数学第一章计数原理13131二项式定理同步课件新人教A版选修2
2．正确区分二项式系数与该项的系数． 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与 二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、 二项式的指数及项数均有关．
[变式训练] (1)x＋ax5展开式中 x3 的系数为 10，则 a 的值等于( )
17·山东卷)已知(1＋3x)n 的展开式中含有 x2 项
(2)因为第 3r 项的二项式系数为 C31r0－1， 第 r＋2 项的二项式系数为 C1r＋0 1， 所以 C310r－1＝Cr1＋0 1，故 3r－1＝r＋1 或 3r－1＋r＋1＝ 10， 解得 r＝1 或 r＝2.5(不合题意，舍去)，所以 r＝1.
1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记 Cknan－kbk 是展开式的第(k＋1)项，不要误 认为是第 k 项． 3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其为特定值．
解得 n＝4(舍去 n＝－1)．
设(x－ 2)4 展开式中 Tr＋1＝Crnx4－r(－ 2)r.
由 4－r＝2，得 r＝2. 故(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为 T3＝C24x2(－ 2)2＝ 12x2. 答案：12x2
[类题尝试] 已知二项式x－ 2x10. (1)求展开式中含 x4 项的系数； (2)如果第 3r 项和第 r＋2 项的二项式系数相等，求 r 的值． 解：(1)设第 k＋1 项为 Tk＋1＝Ck10(－2)kx10－32k. 令 10－32k＝4，解得 k＝4， 故展开式中含 x4 项的系数为 C410(－2)4＝3 360.
类型1 求二项展开式中的特定项或其系数(自主研析)
[典例❶]
已知在
12x2－
1 x
n
的展开式中，第9项为常
高中数学 1.3.1《二项式定理》课件 新人教A版选修2-3
1 5 1、求(2 x − ) 的展开式 x 2、求（ + 2 x) 7的展开式第4项的系数 1 1 7 3、求（x − ) 的展开式中x 3的系数 x
破解疑惑： 破解疑惑： 今天是星期五,再过2 天后是星期几, 今天是星期五,再过22007 天后是星期几, 你知道吗？ 你知道吗？
解： = 8670 × 2 22011 = 2(7 +1)670
0 1 669 670 = 2(C670767010 + C670766911 + ...+ C670 711669 + C670 701670)
发现被7整除余 ，故相当过2天后是星期几是一样的 天后是星期几是一样的。 发现被 整除余2，故相当过 天后是星期几是一样的。 整除余 故是周日
拓 展 提 高 (x2+3x+2)5展开式中 的系数为 展开式中x的系数为 _____. 方法1 方法 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在展开式中只有 C 1 (x 2 + 2)4 ⋅ 3x才存在 x的项 , 5 其系数为 5C 4 2 4 ⋅ 3 = 240 4
方法2 方法 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式中只有 C 1 x(x + 3) ⋅ 2 4 才存在 x的项 , 5 其系数为 C 1 ⋅ 3 ⋅ 2 4 = 240 5
1 x
)10 的展开式中是否包含常数项? 的展开式中是否包含常数项?
分析:取通项来分析, 分析:取通项来分析, 常数项即 x 项.
0
Tr +1 = C ⋅ ( 3 x
r 10
2
)
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理讲义新人教A版选修2_3
1．3.1 二项式定理知识点二项式定理及其相关概念1．二项式定理二项展开式：(a＋b)n＝□01C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理，其中各项的系数□02C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．特别地，(1＋x)n＝□031＋C1n x＋C2n x2＋…＋C k n x k＋…＋C n n x n(n∈N*)．结构特点：(1)各项的次数都□04等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；05n＋1项．(3)共有□2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的第k＋1项□06C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即T k＋1＝□07C k n a n－k b k.(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)1．注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C r n，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数C r n 与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C15，而第二项的系数则是C15·24.注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．2．要牢记C k n a n－k b k是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a ＋b )n展开式中共有n 项．( )(2)二项式(a ＋b )n与(b ＋a )n展开式中第r ＋1项相同．( ) (3)C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( )答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是________． (2)展开⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 4为________．(3)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________． 答案 (1)－560x 10(2)1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4 (3)10解析 (1)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·x16－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， 所以第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10＝－560x 10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 4＝1＋C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4.(3)T 4＝C 35x 2y 3含x 2y 3的项的系数是C 35＝10.探究1 二项式定理的正用与逆用例1 (1)若f (x )＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋4，则f (2019)－f (－2019)的值为________；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4的展开式．[解析] (1)根据f (x )的解析式，逆用二项式定理，得f (x )＝[(x －1)＋1]4＋3＝x 4＋3.显然f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，∴f (2019)－f (－2019)＝0.(2)解法一：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04(x )4－C 14·(x )3·12x＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.解法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x 2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1)＝x 2－2x＋32－12x ＋116x2. [答案] (1)0 (2)见解析 拓展提升二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(a ＋b )n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：将展开式合并成二项式(a ＋b )n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．[跟踪训练1] (1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4；(2)化简1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn .解 (1)解法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x2(1＋3x )4＝1x 2[1＋C 14(3x )＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4) ＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn ＝C 0n ＋21C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C nn ＝(1＋2)n＝3n.探究2 利用二项式定理求某些特定项例2 已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数及二项式系数； (3)求展开式中所有的有理项．[解] (1)由题意得，T r ＋1＝C rn(3x )n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r n x n －2r 3(r ＝0,1,2，…，n )．∴T 6＝T 5＋1＝(－1)5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125C 5n ·xn －103， 又第6项为常数项，∴n －103＝0，∴n ＝10.(2)由(1)知T r ＋1＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r10·x 10－2r 3，令10－2r3＝2，得r ＝2. ∴x 2的系数为(－1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 210＝454.含x 2这一项的二项式系数为C 210＝45.(3)由题意得，10－2r3为整数，其中0≤r ≤10，r ∈Z .∵T r ＋1为有理项， ∴10－2r3为有理数，∴10－2r ＝0， 或10－2r ＝6，或10－2r ＝－6， 得r ＝5或r ＝2或r ＝8. ∴有理项为T 3＝C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2＝454x 2，T 6＝C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－638， T 9＝C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128·x －2＝45256x －2. 拓展提升求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．[跟踪训练2] (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________；(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中的常数项是________． 答案 (1)1 (2)7解析 (1)展开式的通项为T r ＋1＝C r 9x9－r(－a )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xr ＝C r 9·(－a )r x 9－2r(0≤r ≤9，r ∈N )．当9－2r ＝3时，解得r ＝3，代入得x 3的系数，根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1. (2)展开式的通项为T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－r －13r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－43r (0≤r ≤8，r ∈N )． 令8－43r ＝0，得r ＝6，则T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫128－6C 68＝7.探究3 整除及余数问题例3 (1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求9192被100除所得的余数． [解] (1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1 ＝(1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋C 910·10＋1)－1 ＝1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋102＝100(108＋C 110·107＋C 210·106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.拓展提升利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．[跟踪训练3](1)求证32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除；(2)求230－3除以7的余数．解(1)证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋C n＋1n＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋C n－1n＋182＋C nn＋1·8＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋C n－1n＋182.该式每一项都含因式82，故能被64整除．(2)230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3 ＝C010710＋C11079＋…＋C9107＋C1010－3＝7×(C01079＋C11078＋…＋C910)－2.又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5.1．若(2x －3x )n ＋3的展开式中共有15项，则自然数n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 A解析 因为(2x －3x )n ＋3的展开式中共n ＋4项，所以n ＋4＝15，即n ＝11.选A.2．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3－2x 25的展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40 答案 B解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 25的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x2r ＝(－1)r ·2r C r 5x 15－5r，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3×23×C 35＝－80.选B.3．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5 答案 C解析 由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有C 适合．4．(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于________． 答案 70解析 ∵(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝41＋29＝70.5．求(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数．解 ∵(x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10，本题求x 10的系数，只要求(x ＋2)10展开式中x8及x10的系数．由T r＋1＝C r10x10－r·2r，取r＝2得x8的系数为C210×22＝180，又x10的系数为C010＝1，因此所求系数为180－1＝179.。
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数
例2
已知二项式3
x－32x10.
(1)求展开式第4项的二项式系数；
解
3
x－32x10 的展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10(3
x)10－k－32xk
103k
x ＝Ck10310－k－23k· 2 (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究 若(1＋ 3)4＝a＋b 3(a，b 为有理数)，则 a＋b＝___4_4__. 解析 ∵(1＋ 3)4＝1＋C14×( 3)1＋C24×( 3)2＋C34×( 3)3＋C44×( 3)4 ＝1＋4 3＋18＋12 3＋9＝28＋16 3， ∴a＝28，b＝16， ∴a＋b＝28＋16＝44.
跟踪训练1 化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋ 1)－1. 解 原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋C45(2x＋1)－ C55(2x＋1)0 ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
展开式的第 4 项(k＝3)的二项式系数为 C310＝120.
解答
(2)求展开式第4项的系数； 解 展开式的第 4 项的系数为 C31037－233＝－77 760. (3)求第4项. 解 展开式的第 4 项为 T4＝T3＋1＝－77 760 x.
解答
反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展 开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开 式中“项的系数”这两个概念. (2)第 k＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 Ckn. 例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.
高中数学第1章计数原理1.31.3.1二项式定理课件新人教A版选修2_3
思考 2：二项式(a＋b)n 与(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknan－kbk，而(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknbn－kak.
1．(x＋1)n 的展开式共有 11 项，则 n 等于( )
A．9
B．10
C．11
1)n－k＋…＋(－1)nCnn.
[解]
(1)法一：
x－21 x4＝C04(
x)4－C14(
x)3·21 x＋C24(
x)2·2
1
x
2－C34 x·21 x3＋C4421 x4＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
法二：
x－21 x4＝22x－x14＝161x2(2x－1)4
＝161x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
40 10 [∵T3＝C25(2x)2＝C2522x2＝40x2， ∴第 3 项的系数为 40，第 3 项的二项式系数为 C25＝10.]
合作 探究 释疑 难
二项式定理的正用和逆用
【例 1】
(1)求
x－21 x4的展开式；
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋ Ckn(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
二项式定理的双向功能 1．正用：将二项式(a＋b)n 展开，得到一个多项式，即二项式定 理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展 开． 2．逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n 的形式，即二项式定理 从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉 公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．
2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理课件新人教A版选修2_3
(1)求二项展开式特定项的步骤
(2)正确区分二项式系数与该项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指 数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及 项数均有关．
1.二项式2
x－1x6的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项的系
数分别为________，________. 解析：由已知得二项展开式的通项为
1.S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则 S 等于( )
A．x4
B．x4＋1
C．(x－2)4
D．x4＋4
解析：选 A．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C04(x －1)4＋C14(x－1)3＋C24(x－1)2＋C34(x－1)＋C44＝[(x－1)＋1]4＝x4， 故选 A．
1.[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项.
9－3r
解：因为 Tr＋1＝(－2)rCr9x 2 ，若 Tr＋1 为常数项，则 9－3r＝0， 所以 r＝3，因此常数项为第 4 项(－2)3C39＝－672.
2.[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项.
9－3r
解：因为 Tr＋1＝(－2)rCr9x 2 ， 若 Tr＋1 为有理项，当且仅当9－23r为整数. 因为 0≤r≤9，r∈N，所以 r＝1，3，5，7，9， 即展开式中的有理项共 5 项，它们是 T2＝－18x3，T4＝－672， T6＝－4 x0332，T8＝－4 x6608，T10＝－5x192.
B．－80
C．40
D．－40
答案：C
(1＋2x)5 的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项 式系数为________.
高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理说课稿 新人教A版选修2-3(2021年最新整理)
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1.3.1二项式定理一、教材分析【教材的地位及作用】二项式定理安排在高中数学选修2—3第三节,是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。
二项展开式与多项式乘法有密切的联系,本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。
运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。
【学生情况分析】学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃,但创新思维能力较弱。
在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论,而不重视其形成过程。
（根据以上分析，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重、难点)。
【教学目标】1、知识目标:理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征,并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题.2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。
3、情感目标:（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程,培养学生解决数学问题的兴趣和信心。
(2)通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美。