15年高考真题——理科数学(浙江卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（浙江卷）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|20P x x x =-≥，{}|12Q x x =<≤，则()R P Q = ð（ ）（A ）[)0,1 （B ）(]0,2 （C ）()1,2 （D ）[]1,22．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）（A ）38cm （B ）312cm （C ）3323cm （D ）3403cm 3．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） （A ）10a d >，0n dS >（B ）10a d <，0n dS < （C ）10a d >，0n dS < （D ）10a d <，0n dS >4．命题“n N +∀∈，()f n N +∈且()f n n ≤”的否定形式是（ ） （A ）n N +∀∈，()f n N +∈且()f n n > （B ）n N +∀∈，()f n N +∈或()f n n > （C ）0n N +∃∈，()0f n N +∈且()00f n n > （D ）0n N +∃∈，()0f n N +∈或()00f n n >5．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ） （A ）||1||1BF AF -- （B ）22||1||1BF AF -- （C ）||1||1BF AF ++ （D ）22||1||1BF AF ++ 6．设,A B 是有限集，定义()()(),d A B card A B card A B =- ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(),0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，()()(),,,d A C d A B d B C ≤+。

则（ ）（A ）命题①和命题②都成立 （B ）命题①和命题②都不成立（C ）命题①成立，命题②不成立 （D ）命题①不成立，命题②成立7．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）（A ）()sin 2sin f x x = （B ）()2sin 2f x x x =+（C ）()21|1|f x x +=+ （D ）()22|1|f x x x +=+ 8．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）（A ）A DB α'∠≤ （B ）A DB α'∠≥（C ）A CB α'∠≤ （D ）A CB α'∠≤二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9．双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是_____________。

10．已知函数()()()()2231lg 11x x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则()()3f f -= ，()f x 的最小值是________。

11．函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是_________________。

12．若2log 3a =，则22a a -+=________。

13．如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________。

14．若实数,x y 满足221x y +≤，则|22||63|x y x y +-+--的最小值是________。

15．已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= ，若空间向量b 满足12b e ⋅= ，252b e ⋅= ，且对于任意,x y R ∈，()()()12010200||||1,b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈ ，则0x = ，0y = ，||b = ________。

三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 。

已知4A π=，22212b ac -=-。

⑴求tan C 的值；⑵若ABC ∆的面积为7，求b 的值。

17．（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，C 1B 1A 1DCBA090BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点。

⑴证明：1A D ⊥平面1A BC ；⑵求二面角11A BD B --的平面角的余弦值。

18．（本题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记(),M a b 是()||f x 在区间[]1,1-上的最大值。

⑴证明：当||2a ≥时，(),2M a b ≥；⑵当,a b 满足(),2M a b ≤，求||||a b +的最大值。

19．（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称。

⑴求实数m 的取值范围；⑵求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。

20．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且()21n n n a a a n N ++=-∈，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：⑴()112n n a n N a ++≤≤∈；⑵()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++。

2015年普通高校招生全国统考数学试卷浙江卷解答一．CCBDA ADB二．9．32，x y 22±=；10．0，3；11．π，()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；12．；13．78；14．3；15．1，2，16．解：⑴由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，故2cos 2sin B C -=。

又由4A π=，即34B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =； ⑵由tan 2C =得sin C =cos C =，又()sin sin sin 4B A C C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故sin 10B =，由正弦定理得3c =，又4A π=，1sin 32bc A =，故bc =，故3b =。

17．⑴设E 为BC 的中点，连1,A E AE 。

由题1A E ⊥平面ABC ，故1A E AE ⊥。

因AB AC =，故AE BC ⊥，从而AE ⊥平面1A BC 。

由,D E分别11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =，从而1//DE A A 且1DE A A =，所以1A AED 为平行四边形，故1//A D AE 。

又AE ⊥平面1A BC ，故1A D ⊥平面1A BC ；⑵作1A F BD ⊥于F ，连1B F ，由题AE EB ==01190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==。

由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆。

由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角。

由1A D 14AB =，0190DA B ∠=，得BD =1143A F B F ==，由余弦定理得11cos 1A FB =-即为所求。

18．解：⑴由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a -≥，故()f x 在[]1,1-上单调，因此()()(){},max |1|,|1|M ab f f =-。

当2a ≥时，由()()1124f f a --=≥，故()()4|1||1|f f ≤+-，因此()(){}max |1|,|1|2f f -≥，即(),2M a b ≥；当2a ≤-时，由()()1124f f a --=-≥，故()()4|1||1|f f ≤-+，因此()(){}max |1|,|1|2f f -≥，即(),2M a b ≥。

综上，当||2a ≥时，(),2M a b ≥；⑵由(),2M a b ≤得()|1||1|2a b f ++=≤，()|1||1|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由()()||0||||||0a b ab a b a b ab +≥⎧⎪+=⎨-<⎪⎩，得||||3a b +≤。

当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[]1,1-的最大值为2，即()2,12M -=，故||||a b +的最大值为3。

19．解：⑴由题知0m ≠，可设直线AB ：1y x b m =-+，代入椭圆方程并整理得()()222224210m x mbx m b +-+-=。

因直线AB 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，C 1B 1A 1FD E C BA故()2222820m m m b ∆=+-> ①。

将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+得2222m b m +=-②。

由①②得3m <-或3m >； ⑵令2130,2t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则)||21AB t =+，且O 到AB 的距离为12d t ⎛=+ ⎝AOB ∆的面积()1||22S t AB d =⋅=≤，当且仅当12t =时，等号成立，故AOB ∆。

20．解：⑴由题210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤。

由()111n n n a a a --=-得()()()12111110n n n a a a a a --=---> ，故102n a <≤，从而(]111,21n n n a a a +=∈-，即112n n a a +≤≤； ⑵由题21n n n a a a +=-，故11n n S a a +=- ①。