弹性力学(程尧舜)习题解答
上式也是直线方程，所表示的直线和矢量 (I A)a 平行，过矢径为 (I A)r0 的点。
所以变形前的直线变形后仍然是直线。
6
(2)因为 ui, j 1，所以 I A 可逆。记 B (I A)1 ，则
r (I A)1r Br
(3)
变形前任意一个平面的方程可以表示成
ar c
(4)
其中 a 是和平面垂直的一个常矢量， c 是常数。将式(3)代入式(4)，得
r3
r3
a2
a2
S
S
S
S
2.16 设 f ye1 (x2xz)e2 xye3 ， 试 计 算 积 分 ( f )ndS 。 式 中 S 是 球 面
S
x2 y2 z2 a2在 xy 平面的上面部分. 解：用 c 表示圆 x2 y2 a2 ，即球面 x2 y2 z2 a2 和 xy 平面的交线。由 Stokes
解 ：变换系数同上题。
T11
T 1i 1 j ij
T11 T22 2
T11 T22 2
cos2
T12
T21 sin2 2
，
T12
T12
T21 2
T12
T21 2
cos2
T22
T11 2
sin 2
，
T13 T13 cos T23 sin ，
T33 T33 。
B 2.7 设有 3n 个数 Ai1i2in ，对任意 m 阶张量 j1 j2 jm ，定义
3
x2
z)e2
e1
6xz2e2 e3 (z2 x2 y)e3 e1 6xz2e3 e2 ]
由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量
ω
1 2
a
1 2
[6
xz
2e1
(
x2
y
z
2
)e2
(2
z
3
x2
z)e3
]
。
2.15 设 S 是一闭曲面， r 是从原点 O 到任意一点的矢径，试证明：
(1)若原点 O 在 S 的外面，积分 nr dS 0 ； r3 S
解 ：因为
Am (I mm)m ( )m ， 所以 m 是 A 的特征矢量， 是和其对应的特征值。设 a 是和 m 垂直的任意单
位矢量，则有
Aa (I mm)a a
所以和 m 垂直的任意单位矢量都是 A 的特征矢量，相应的特征值为 ，显然 是特
征方程的重根。 令
e2 1 (m n) ， e3 1 (m n) ， e1 =e2 e3
2
2 1 0
和反对称部分对应的轴向矢量为
ωe1 2e2 e3 。
2.11 已知二阶张量 T 的矩阵为
3 1 0 [T ] 1 3 0
0 0 1 求 T 的特征值和特征矢量。
3 1 0 解： 1 3 0 (1)[(3)2 1]0
0 0 1
由上式解得三个特征值为 1 4 ， 2 2 ， 3 1 。
u1 1iui u1 cos u2 sin ，
图2.4
y'
y
1
u2 u 2i i u1sin u2 cos ， u3 u 3i i u3 。
2.6 设有二阶张量 T Tijei e j 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T 在新坐标系
T 中的分量 T11 、 T T 12 、 13 和 33 。
2
2
则有
m
2 2
(e
2
+
e3
)
，
n
2 2
(e2
+
e3
)
上面定义的 ei 是相互垂直的单位矢量。张量 B 可以表示成
B 0e1 e1 e2 e2 +e3 e3
所以，三个特征值是 1、0 和－1，对应的特征矢量是 e3 、 e1 和 e2 。
2.13 设 a 和 b 是矢量，证明： (1) (a) (a)2a
(a)
因为 Cijkl 和 Bkl 是张量，所以有
C A B A B ijkl
C ii jj kk ll ijkl
ii jj ij kk ll kl
ii jj ij kl
比较上式和式(a)，得
( Aij ii jj Aij )Bkl 0
由于 B 是任意张量，故上式成立的充要条件是
全在 S 的内部。用V 表示由 S 和 S 所围的区域，在V 中式(b)成立，所以
nrdS nrdS nrdS ( r )dV 0
r3
r3
r3
r3
S S
S
S
V
即
nrdS nrdS
r3
r3
S
S
在 S 上， r a ， nr / a ，于是
nrdS nrdS 1 dS 1 dS 4 。
Aij
A ii jj ij
即 Aij 是张量。
2.8 设 A 为二阶张量，试证明 I A trA 。 证： I Aei ei Ajke j ek =Ajk (ei e j )(ei ek )=Ajk ij ik =Aii =trA 。
2.9 设 a 为矢量， A 为二阶张量，试证明：
2
(1) a A ( AT a)T ，(2) Aa (a AT )T 证：(1) ( AT a)T ( Ajiei e j akek )T ( Ajiei ak e e jkn n )T
(ab)(cd ) (ac)(bd ) (ad )(bc)
证： (ab)(cd ) aibjeijkek cl dmelmnen aibjcl dmeijk elmk
aibjcl dm (il jm im jl ) (aici )(bjd j )(aidi )(bjcj ) (ac)(bd)(ad)(bc) 。
ui, j
1 时，这一行列式大于零，所
以 dr 可逆。 dr
3.2 设位移场为 u Ar ，这里的 A 是二阶常张量，即 A 和 r 无关。求应变张量 ε 、反对 称张量 Ω (uu)/ 2 及其轴向矢量 ω 。
解： u A ， ε 1 ( A AT ) ， Ω 1 ( A AT ) ，
2
2
(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。
证：(1)方向和矢量 a 相同且过矢径为 r0 的点的直线方程可以写成
r ta r0
(1)
其中 t 是可变的参数。变形后的矢径为
r r ur Ar (I A)r
(2)
用 I A 点积式(1)的两边，并利用式(2),得
r t(I A)a(I A)r0
公式得
5
( f )ndS f dr ydx xdy 0 。
S
c
c
第三章
3.1
设
r
是矢径、
u 是位移，
r
r u 。求
dr dr
，并证明：当
ui, j
1 时，
dr dr
是一个可
逆 的二阶张量。
解： dr dr du I u dr dr dr
dr dr
I u
的行列式就是书中的式(3.2)，当
2.10 已知张量 T 具有矩阵
1 2 3 [T ] 4 5 6
7 8 9 求 T 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
解： T 的对称部分具有矩阵
1 3 5
1 ([T ][T ]T ) 3 5 7 ，
2
5 7 9
T 的反对称部分具有矩阵
0 1 2
1 ([T ][T ]T ) 1 0 1 。
( Ajiake e jkn i en )T Ajnake e jki i en
akek Ajne j en a A。
(2) (a AT )T (aiei Akje j ek )T ( Akjaieijnen ek )T ( Anj aieijken ek ) Anjen aiejikek Anjen e j aiei Aa
ω
1 2
u
1 2
ei
xi
Ajk
e
j
ek
xl el
1 2
Ajk eijmem
ek
il el
1 2
A e e jk ijm m ki
1 2
Aji eijm em
3.3 设位移场为 u Ar ，这里的 A 是二阶常张量，且 ui, j 1 。请证明：
(1)变形前的直线在变形后仍为直线；
(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；
C A B i1i2in j1 j2 jm
i1i2in j1 j2 jm
C n m A n 若 为 i1i2in j1 j2 jm
阶张量，试证明 是 i1i2in 阶张量。
证：为书写简单起见，取 n 2 ， m 2 ，则
Cijkl Aij Bkl ，
在新坐标系中，有
C A B ijkl
ij kl
aa ab ac aiai aibi aici a1 a2 a3 a1 b1 c1
证： ba bb bc biai bibi bici b1 b2 b3 a2 b2 c2 [a, b, c]2 。
ca cb cc ciai cibi cici c1 c2 c3 a3 b3 c3
2.4 设 a 、 b 、 c 和 d 是四个矢量，证明：
z z'
2.5 设有矢量 u uiei 。原坐标系绕 z 轴转动 角度，得到新坐标
系，如图 2.4 所示。试求矢量 u 在新坐标系中的分量。
解： 11 cos ， 12 sin ， 13 0 ，
o
21 sin ， 22 cos ， 23 0 ， 31 0 ， 32 0 ， 33 1。
x x'
弹性力学考试和答案
弹性力学考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 弹性力学中，应力状态的基本方程是（）。
A. 平衡方程B. 几何方程C. 物理方程D. 边界条件答案：A2. 弹性力学中，位移场的三个基本方程是（）。
A. 平衡方程B. 几何方程C. 物理方程D. 边界条件答案：B3. 弹性力学中，平面应力问题与平面应变问题的主要区别是（）。
A. 应力分量不同B. 位移分量不同C. 应变分量不同D. 边界条件不同答案：C4. 弹性力学中，圣维南原理是指（）。
A. 应力集中现象B. 应力释放现象C. 应力平衡现象D. 应力松弛现象答案：B5. 弹性力学中，莫尔圆表示的是（）。
A. 应力状态B. 应变状态C. 位移状态D. 应力-应变关系答案：A6. 弹性力学中，平面问题的基本解法有（）。
A. 直接积分法B. 叠加原理C. 变分法D. 能量法答案：A7. 弹性力学中，轴对称问题的基本解法是（）。
A. 直接积分法B. 叠加原理C. 变分法D. 能量法答案：A8. 弹性力学中，扭转问题的解法是（）。
A. 直接积分法B. 叠加原理C. 变分法D. 能量法答案：A9. 弹性力学中，平面应力问题的应力函数是（）。
A. 单一函数B. 两个函数C. 三个函数D. 四个函数答案：A10. 弹性力学中，平面应变问题的应力函数是（）。
A. 单一函数B. 两个函数C. 三个函数D. 四个函数答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 弹性力学中，应力状态的基本方程包括（）。
A. 平衡方程B. 几何方程C. 物理方程D. 边界条件答案：AC12. 弹性力学中，位移场的三个基本方程包括（）。
A. 平衡方程B. 几何方程C. 物理方程D. 边界条件答案：BC13. 弹性力学中，平面应力问题与平面应变问题的主要区别包括（）。
A. 应力分量不同B. 位移分量不同C. 应变分量不同D. 边界条件不同答案：AC14. 弹性力学中，圣维南原理包括（）。
弹性力学课后答案
弹性力学课后答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设 )。
2－14 见教科书。
2－15 2－16 见教科书。
见教科书。
2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令 ,便可得出。
第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。
由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3－3 见3-1例题。
3－4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后，并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。
《弹性力学》试题参考答案(参考题)
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
弹性力学课后习题答案
弹性力学课后习题答案弹性力学课后习题答案弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变后能够恢复原状的力学学科。
在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固理论知识、检验学习效果的重要方式。
本文将为大家提供一些弹性力学课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用弹性力学的知识。
1. 一根长度为L，截面积为A的均匀杆，受到一个沿杆轴方向的拉力F。
求杆的伸长量。
答案：根据胡克定律，拉力F和伸长量ΔL之间存在线性关系，即F = kΔL，其中k为弹性系数。
根据定义，弹性系数k等于应力σ和应变ε的比值，即k = σ/ε。
应力σ等于拉力F除以截面积A，即σ = F/A。
应变ε等于伸长量ΔL除以杆的原始长度L，即ε = ΔL/L。
将以上三个等式联立，可以得到ΔL = FL/(kA)。
2. 一个弹簧的弹性系数为k，原长为L。
如果将该弹簧拉长ΔL，求弹簧的应变能。
答案：弹簧的应变能可以通过应变能密度公式计算。
应变能密度W是单位体积内的应变能，等于单位体积内的弹性势能。
对于弹簧来说，单位体积内的弹性势能等于弹簧的弹性系数k乘以弹性势能密度的平方，即W = (1/2)k(ΔL/L)^2。
将ΔL/L替换为应变ε，可以得到W = (1/2)kε^2。
3. 一个圆形薄膜的半径为R，厚度为t，杨氏模量为E。
如果该薄膜受到一个沿法线方向的压力P，求薄膜的弯曲半径。
答案：薄膜的弯曲半径可以通过弯曲方程计算。
弯曲方程表明，弯曲半径R和薄膜的杨氏模量E、厚度t以及法线方向的压力P之间存在线性关系，即R =Et^3/(12P)。
4. 一个长为L，截面积为A的梁，受到一个沿梁轴方向的力F。
如果梁的杨氏模量为E，求梁的弯曲度。
答案：梁的弯曲度可以通过弯曲方程计算。
弯曲方程表明，弯曲度θ和梁的杨氏模量E、力F以及梁的长度L之间存在线性关系，即θ = FL^3/(3EI)。
其中I为梁的截面惯性矩，可以根据梁的几何形状计算得到。
5. 一个长为L，截面积为A的圆柱体材料，受到一个沿轴向的拉力F。
弹性力学试题及答案
弹性力学试题及答案一、选择题（每题10分，共40分）1. 在弹性力学中，下列哪个物理量表示应变能密度？A. 应力B. 应变C. 位移D. 应力能密度答案：D2. 在平面应力状态下，下列哪个方程是正确的？A. σ_x + σ_y = 0B. σ_x + σ_y = σ_zC. σ_x + σ_y = τ_xyD. σ_x + σ_y = 0答案：D3. 在弹性体中，应力与应变之间的关系可以用下列哪个关系式表示？A. σ = EεB. σ = GγC. τ = μγD. σ = λε答案：A4. 在弹性力学中，下列哪个方程表示平衡方程？A. σ_x + σ_y + σ_z = 0B. ε_x + ε_y +ε_z = 0 C. τ_xy = τ_yx D. σ_x + σ_y + σ_z = F答案：D二、填空题（每题10分，共30分）1. 弹性力学中的基本假设有：连续性假设、线性假设和________假设。
答案：各向同性2. 在三维应力状态下，应力分量可以表示为：σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_xz, τ_yz。
其中，τ_xy表示________面上的切应力。
答案：xOy3. 在弹性力学中，位移与应变之间的关系可以用________方程表示。
答案：几何方程三、计算题（每题30分，共90分）1. 已知一弹性体在平面应力状态下的应力分量为：σ_x = 100 MPa，σ_y = 50 MPa，τ_xy = 25 MPa。
弹性模量E = 200 GPa，泊松比μ = 0.3。
求应变分量ε_x, ε_y, γ_xy。
解：首先，利用胡克定律计算应变分量：ε_x = σ_x / E = 100 MPa / 200 GPa = 0.0005ε_y = σ_y / E = 50 MPa / 200 GPa = 0.00025γ_xy = τ_xy / G = 25 MPa / (E / 2(1 + μ)) = 25 MPa / (200 GPa / 2(1 + 0.3)) = 0.000375答案：ε_x = 0.0005，ε_y = 0.00025，γ_xy = 0.0003752. 一弹性体在三维应力状态下的应力分量为：σ_x = 120 MPa，σ_y = 80 MPa，σ_z = 40 MPa，τ_xy = 30 MPa，τ_xz = 20 MPa，τ_yz = 10 MPa。
弹性力学教材习题及解答
1－1.选择题a.以下资猜中， D 属于各向同性资料。
A.竹材；B.纤维加强复合资料；C.玻璃钢；D.沥青。
b.对于弹性力学的正确认识是 A 。
A.计算力学在工程构造设计的中作用日趋重要；B.弹性力学从微分单元体下手剖析弹性体，所以与资料力学不一样，不需要对问题作假定；C.任何弹性变形资料都是弹性力学的研究对象；D.弹性力学理论像资料力学同样，能够没有困难的应用于工程构造剖析。
c.弹性力学与资料力学的主要不一样之处在于 B 。
A.任务；B.研究对象；C.研究方法；D.基本假定。
d.所谓“完整弹性体”是指 B 。
A.资料应力应变关系知足胡克定律；B.资料的应力应变关系与加载时间历史没关；C.本构关系为非线性弹性关系；D.应力应变关系知足线性弹性关系。
2－1.选择题a. 所谓“应力状态”是指 B 。
A.斜截面应力矢量与横截面应力矢量不一样；B.一点不一样截面的应力跟着截面方向变化而改变；C.3 个主应力作用平面互相垂直；D.不一样截面的应力不一样，所以应力矢量是不行确立的。
2－2.梯形横截面墙体完整置于水中，以下图。
已知水的比重为，试写出墙体横截面界限 AA'， AB， BB’的面力界限条件。
2－3.作用平均散布载荷q 的矩形横截面简支梁，以下图。
依据资料力学剖析结果，该梁横截面的应力重量为试查验上述剖析结果能否知足均衡微分方程和面力界限条件。
2－4.单位厚度的楔形体，资料比重为，楔形体左边作用比重为的液体，以下图。
试写出楔形体的界限条件。
2－5.已知球体的半径为r ，资料的密度为1，球体在密度为1（ 1 ＞1）的液体中飘荡，以下图。
试写出球体的面力界限条件。
2－6.矩形横截面悬臂梁作用线性散布载荷，以下图。
试依据资料力学应力解答推导挤压应力y 的表达式。
3－1.选择题a.切应力互等定理依据条件B成立。
A.纯剪切；B.随意应力状态；C.三向应力状态；D.平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。
(完整版)《弹性力学》试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， 的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于M dxdy D=⎰⎰2ϕ杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准ϕ点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： ，。
0,=+i j ij X σ)(21,,i j j i ij u u +=ε二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。
ϕ题二（2）图（a ） （b ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x ⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量。
S∆题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为。
由得，l ∆q E)1(1με-=)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l 设板在力P 作用下的面积改变为，由功的互等定理有：S ∆lP S q ∆⋅=∆⋅将代入得：l ∆221b a P ES +-=∆μ显然，与板的形状无关，仅与E 、、l 有关。
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《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分)1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程(变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中, M dxdy D=⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M .4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为:0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用.圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同）,则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用:(1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替.（2)将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 已知。
《弹性力学》试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中，Mdxdy D=⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得， )1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
弹性理论基础答案
弹性理论基础答案【篇一：弹性力学基础习题答案nnnn1】/p> 2.1计算：(1)?pi?iq?qj?jk，(2)epqieijkajk，(3)eijpeklpbkiblj。
解：(1)?pi?iq?qj?jk(2)epqieijkajk2.2证明：若aij(3)eijpeklpbkiblj??pq?qj?jk??pj?jk??pk;?(?ik?jl??il?jk)bkiblj?biibjj?bjibij。
?(?pj?qk??pk?qj)ajk?apq?aqp;?aji，则eijkajk?0。
证：2eijkajk?eijkajk?eikjakj?eijkajk?eijkakj?eijkajk?eijkajk?0。
2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：a?aa?ba?cb?ab?bb?c?[a,b,c]2 c?ac?bc?ca?aa?ba?caiaiaibiaicia1a2a3a1b1c12证：b?ab?bb?c?biaibibibici?b1b2b3a2b2c2?[a,b,c]。
c?ac?bc?cciaicibicicic1c2c3a3b3c32.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：(a?b)?(c?d)?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)证：(a?b)?(c?d)?aibjeijkek?cldmelmnen?aibjcldmeijkelmk ?aibjcld m(?il?jm??im?jl)?(aici)(bjdj)?(aidi)(bjcj) ?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c )。
2.5设有矢量u?uiei。
原坐标系绕z轴转动?系，如图2.4所示。
试求矢量u在新坐标系中的分量。
解：?1?1?cos?，?1?2?sin?，?1?3?0，?2?1??sin?，?2?2?cos ?，?2?3?0，?3?1?0，?3?2?0，?3?3?1。
u1???1?iui?u1cos??u2sin?，图2.41u2???2?iui??u1sin??u2cos?，u3???3?iui?u3。