不等式选讲内容题型大全不看后悔

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中职数学：不等式题型选讲典型例题(含答案)

不等式题型选讲1、有关不等式的解法：解不等式是通过变形转化为简单不等式从而得到解集，如分式不等式转化为整式不等式但要注意是同解变形，每一步变形既充分又必要，例如解分式不等式不要随便去分母，而是先移项，等价转化为f (x )>0或f (x )<0的形式，再分析讨论。

一些含绝对值符号的不等式，含有参数的不等式必须进行讨论。

例1、（1）设集合A ={x ∣x 2-1>0}，B ={x ∣log 2x >0}，则A ∩B 等于（）A 、{x ∣x >1}B 、{x ∣x >0}C 、{x ∣x <-1}D 、{x ∣x <-1或x>1}(2)不等式（1+x ）(1-∣x ∣)>0的解集为( )A 、{x ∣0≤x <1}B 、{x ∣x <0且x ≠-1}C 、{x ∣-1<x <1}D 、{x ∣x <1或x ≠-1}（3）设f (x )是奇函数且在（-∞，0）内是减函数，f (-2)=0，则x f (x )<0的解集为（）A 、（-1，0）∪（2，+∞）B 、（-∞，-2）∪（0，2）C 、（-∞，-2）∪（2，+∞）D 、（-2，0）∪（0，2）（4）（2003新教材高考试题）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，若f (x )>1，则x 0的取值范围是（）A 、（-1，1）B 、（-1，+∞）C 、（-∞，-2）∪（0，+∞）D 、（-∞，-1）∪（1，+∞）选择题具有自身独特的特点，从而决定了它的解法具有灵活机动的优势。

解题者选择不同的解法，从一个侧面反映出他们数学水平的不同“层次”。

例2、（1）不等式1)20(lg cos 2>x （x ∈(0,π)的解集为（2）不等式x x x <-24的解集是-----------------。

不等式选讲――柯西不等式与排序不等式(全)

不等式选讲――柯西不等式与排序不等式（全）例1 已知12,,n a a a ⋅⋅⋅都是正数，求证：21212111()()n na a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥ 证1：()i a R i N +∈∈12n a a a ∴++⋅⋅⋅+≥，12111n a a a ++⋅⋅⋅+≥21212111()()n na a a n a a a ∴++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥，当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立. 证2：构造两个数组：利用柯西不等式有22211`1([][]nn ni i i ===≤⋅∑∑即 21111(1)()()nn nii i i ia a===≤∑∑∑21212111()()n na a a n a a a ∴++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥例2 设(1,2,,)i a R i n ∈=⋅⋅⋅，且22111()1nnii i i A a a n ==+<-∑∑，证明：122A a a <证明：由柯西不等式，有2222222212121211()[()](111)[()](1)(2)n ni n ni i i a a a a a a a n a a a ===++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+∑∑221211(1)(2)1ni i i A a n a a a n =∴+<⋅-+-∑∑122A a a ∴<例3. 设12,,,,k a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，有2111nnk k k a k k==≥∑∑证明：22211()[nnn n k a k k a =≤⋅∑∑∑∑不妨设12k a a a <<⋅⋅⋅<，则k a k ≥，故11k a k≤ 1111nn k k k a k==∴≤∑∑2211111()()n n n k k k k a k k k ===∴≤∑∑∑，即2111nn kk k a k k ==≤∑∑例4.已知,0a b >，4422222(1)1(1)(1)a b f b a b a b+=+++++，求证：16f ≥ 证明：由题意，可得442222222222222(1)1(1)(1)(1)[(1)][(1)]a b a b f b a a b a b b a b b a++=+++++=+++++ 222222222(1)(1)[(1)][][]a b a b a b b a b a++=+++≥+令22(1)a b g b a+=+22222()](1)a b g b a ∴+=++≥++221()2()11()()24a b a b a b g a b a b a b a b++++++∴≥==+++≥+++即4f ≥例5.证明：22221212()n na a a a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤证明：221212()(111)n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅222221212()(111)()n n a a a n a a a ≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ 22221212()n n a a a a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+∴≤若上述不等式中12,,,0n a a a ⋅⋅⋅>，两边开平方，得12n a a a n ++⋅⋅⋅+≤这就是著名的不等式：n 个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值.例6 .求证：对于任意实数12,a a 和12,b b ，下面不等式恒成立证明：由柯西不等式，得： 2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+又 2222222212112)()(()b a a b b b =++++ 222222121211221122()()2()()()a a b b a b a b a b a b ≥+++++=+++两边开平方即得证. 例7 .证明：对于任意实数,,x y z ，不等式222222()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x +++≥+++成立.证明：由柯西不等式，得 222222()()()()x y y z x yy z y x z++≥+=+ 22222()()()y z z x z y x ++≥+，222222()()()z x x y x y z ++≥+2222222222222()()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x ∴+++≥+++ 222222,,0x y y z z x +++≥222222()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x ∴+++≥+++例8. 若u =,p q 是使u 有意义的实数，试确定u 的最大值.解：由柯西不等式，得u =1122(111)(23262)p q q p q ≤++-+-+-=当且仅当23262p q q p q -=-=-即2,2p q ==时等号成立.max u ∴=练习：1.已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证：2设,,,,21+∈R x x x n 求证：n nn x x x x x x x x x x x +++≥++++ 211232213.已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，试求a 的最值.4.设a 、b 、c>0且acos2θ+bsin2θ<c ，求证c b a <+θθ22sin cos.5.设a ﹐b 为不相等的正数﹐试证：(a ＋b)(a 3＋b 3)＞(a 2＋b 2)2﹒6.设a ﹑b 均为正数，则(a ＋2b )(1a ＋2b)之最小值＝ .﹒ 7.(a 2＋b 2＋c 2)((21a )＋(21b)＋(21c ))最小值为 .8.设16)1z (9)1y (4x 222++++=1，求2x+y+z-16之最大值，最小值 . 9.设x ，y ，z ∈R ，若x 2+y 2+z 2=5，求x-y+2z 的最大值 .，且此时(x ，y ，z)= . 10.设x ，y ，z 均为正实数，且x+y+z=10，求z9y 1x 4++的最小值 .且此是(x ，y ，z)= . 11.x , y , z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5﹐求(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值 . 12.设a 、b 为实数，求a 2+b 2+(2a-3b+4)2的最小值为 . 13.设x ，y ，z ∈R ，求222zy 2x z y x 2++-+的最大值 .14.设 a , b , c > 0，证明１）．a 2a b 2b c 2c ≥ a b+c b c+a c a+b . ２）．a a b b c c ≥ 3)(cb a abc ++.３）．ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a 333222222222++≤+++++≤++. ４）．333888111c b a c b a c b a ++≤++. 5). cb a b a ac c b ++++222222 ≥ abc.15.设 x 1 , x 2 , … , x n (n ≥ 2) 全是正整数，并有以下性质：x 1 + x 2 + … + x n = x 1x 2 … x n证明：1 < nx x x n+++...21 ≤ 2.16.设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证：cb a ac c b b a ++>+++++922217.a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++.18.若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411.19.+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a .20. 设 a , b , c ≥ 0，證明 23≥+++++b a c a c b c b a .21.已知a 、b 、c ∈R +且a+b+c=1，求141414+++++c b a 的最大值.22.求)cos 11)(sin 11(a a y ++=的最小值)20(π<<a .23.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：222222236)sin 1sin 1sin 1)((R CB A c b a ≥++++24.比较大小：1010⨯1111⨯1212⨯1313 与 1013⨯1112⨯1211⨯1310.。

专题27 不等式选讲(文理通用)(解析版)

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式选讲目录题型一：含绝对值不等式的解法 .......................................................... 1 题型二：不等式的最值 ......................................................................... 8 题型三：含绝对值不等式的成立问题................................................... 9 题型四：含绝对值函数的图像及其应用 ............................................. 10 题型五：不等式证明 (17)题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =−++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >−，求a 的取值范围．【答案】(1)(][),42,−∞−+∞ ．(2)3,2−+∞．解析：(1)当1a =时，()13f x x x =−++，13x x −++表示数轴上的点到1和3−的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3−的距离之和不小于6，故4x ≤−或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,−∞−+∞ ．(2)依题意()f x a >−，即3a x a x −+>−+恒成立，333x a x x a a x −++−+=≥++，故3a a +>−，所以3a a +>−或3a a +<，解得32a >−．所以a 的取值范围是3,2−+∞．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =−+−+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集； (2)若()4f x …，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x≤或112x≥；(2)(][),13,−∞−+∞ ．解析：(1)当2a =时，()43f x x x =−+−．当3x ≤时，()43724f x x x x =−+−=−≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =−+−=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =−+−=−≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ≤或112x ≥ ．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =−+−+≥−−−+=−+−=−(当且仅当221a x a −≤≤时取等号)，()214a ∴−≥，解得：1a ≤−或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,−∞−+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型． 3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3−【解析】1224x x x <−−−−≤ 或10224x x x −≤≤ +−≤ 或0224x x x >++≤21x ∴−≤<−或10x −≤≤或203x <≤,所以解集为22,3−4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =−+−−．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈−∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】()1(),1−∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x −−−.当1x <时，2()2(1)0f x x =−−<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)−∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈−∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x −−−−− 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x −+−−<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x −+−−<；当1x <时，原不等式可化，即()210x −>，显然成立，此时解集为(),1−∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x −+−−<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x −+−−<，即()210x −<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1−∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈−∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a −+−−<，即()()10x a x −−>，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a −< =−−<≤，因1a x <≤时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x −. 【答案】见解析【解析】当0x <时，原不等式可化为122x x −+−>，解得13x <−；为为当12x 0≤≤时，原不等式可化为122x x +−>，即1x <−，无解；当12x >时，原不等式可化为212x x +−>，解得1x >. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <−>或.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+−−>．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围【答案】(Ⅰ)2{|2}3x x <<(Ⅱ)(2，+∞) 分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围．解析：(Ⅰ)当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|＞1，等价于11221x x x ≤−−−+−> 或111221x x x −<< ++−> 或11221x x x ≥ +−+> ，解得223x <<，所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a −−<−=+−−≤≤ −++>，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A −，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +．由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >．所以a 的取值范围为(2，+∞)．7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥【答案】153x x x ≤−≥−或分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可解析：原不等式可化为3232x x <− −−≥ 或32332x x ≥−+≥ ．解得5x ≤−或13x ≥−．综上，原不等式的解集是153x x x ≤−≥−或．8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++−>(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【答案】解析：(Ⅰ)11112x x a x a x x a x a a a a a++−=++−≥++−=+≥，仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2．(Ⅱ)()3f =1133335a a a a++−=−++<当03a <<时，()3f =165a a−+<，解得a >当3a ≥时，()3f =15a a +<，解得a >综上所述，a 的取值范围为．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围【答案】(1);(2)．【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,．若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为．【解析】(1)当时,不等式等价于①当时,①式化为,无解;当时,①式化为,从而;当时,①式化为,从而所以不等式的解集为()24f x x ax =−++()11g x x x =++−1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1−a 112x x −+−≤≤[]1,1−1a =()()f x g x ≥2|1||1|40x x x x −+++−−≤x 1x <−11x −≤≤1x >[1,1]x ∈−()2g x =()()f x g x ≥[1,1]−[]1,1x ∈−()2f x ≥()f x []1,1−()1f −()1f ()12f −≥()12f ≥11a −≤≤a []1,1−1a =()()f x g x ≥21140x x x x −+++−−<1x <−2340x x −−≤11x −≤≤220x x −−≤11x −≤≤1x >240x x +−≤1x <≤()()f x g x ≥112xx −+−≤≤(2)当时,所以的解集包含,等价于当时,又在的最小值必为与之一,所以,得．所以的取值范围为．10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数． (1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(1)因为所以不等式等价于或或由无解；由；由综上可得不等式的解集为．(2)解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围不等式的解集为空集等价于不等式恒成立记，则当时，当时，当时， []1,1x ∈−()2g x =()()f x g x ≥[]1,1−[]1,1x ∈−()2f x ≥()f x []1,1−()1f −()1f ()()1212f f −≥ ≥ 11a −≤≤a []1,1−()12f x x x =+−−()1f x ≥()2f x x x m ≥−+m {}1x x ≥5-，4 ∞()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x −<−=+−−=−≤≤ > ()1f x ≥131x <− −≥ 12211x x −≤≤ −≥231x > ≥ 131x <− −≥ ⇒x 1222x x −≤≤ ≥ 12x ⇒≤≤231x >≥ 2x ⇒≥()1f x ≥[)1,+∞()2f x x x m ≥−+m ()2f x x x m ≥−+()2m f x x x >−+()()2F x f x x x =−+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x −+−<−−+−≤≤ −++>()max m F x > 1x <−()()2211131524F x x x x F=−+−=−−−<−=− 12x −≤≤()223535312424F x x x x F =−+−=−−+≤= 2x >()()2211332124F x x x x F=−++=−−+<=所以所以不等式的解集为空集时，所以不等式的解集非空时，的取值范围为．解法二：原式等价于存在，使成立，即设由(1)知当时，，其开口向下，对称轴所以当时，，其开口向下，对称轴为所以当时，，其开口向下，对称轴为所以综上所以的取值范围为．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a −+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =−,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ){}13x x −≤≤;(Ⅱ)[)2,+∞.【解析】(Ⅰ)当2a =时,()222f x x −+.()max 3524F x F== ()2f x x x m ≥−+54m >()2f x x x m ≥−+m 5,4−∞x R ∈2()f x x x m −+≥2max [()]f x x x m −+≥2()()g x f x x x =−+2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x −+−≤− =−+−−<< −++≥1x ≤−2()3g x x x =−+−112x =>−()()11135g x g ≤−=−−−=−12x −<<()231g x x x =−+−32x =()399512424g x g ≤=−+−=2x ≥()23g x x x =−++12x =()()24231g x g ≤=−++=()max 54g x =m 5,4−∞解不等式2226x −+≤,得13x −≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}13x x −≤≤. (Ⅱ)当R x ∈时,()()2122121f x g x x a a x x a x a a a +=−++−−+−+=−+≥ 当12x =时等号成立. 所以当R x ∈时,()()3f x g x +≥等价于13a a −+≥.① 当1a ≤时,①等价于13a a −+≥,无解. 当1a >时,①等价于13a a −+≥,解得2a ≥ 所以的取值范围是[)2,+∞.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【答案】4证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333xy z==，，，所以222x y z ++的最小值为4．2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由．【答案】解析:(1),得,且当, 故,且当,∴的最小值为．(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾, 所以不存在,使得成立．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．0,0a b >>11a b+33a b +,a b 236a b +=11a b =+?2ab ³a b 33a b +?a b 33a b +623a b =+?32ab £2ab ³,a b 236a b +=(Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)+的最大值．【答案】(Ⅰ)3a =−，1b =；(Ⅱ)4．分析：(Ⅰ)先由x a b +<可得b a x b a −−<<−，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；(Ⅱ)，再利用柯西不等式的最大值．解析：(Ⅰ)由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a −−=−=解得3a =-,1b = (Ⅱ≤4=，即1t =时等号成立，故max4=．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c ++的值；(Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ)87．解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=++，当且仅当a x b -＃时，等号成立，又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++,所以a b c 4++=． (Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得 ()()22222114912+3+1164923a b a b c c a b c++++≥×××=++=, 即222118497a b c ++?．当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立所以2221149a b c ++的最小值为87．题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =−+−−．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； (2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =时， 24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +−=−< −+>≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x −． (2)()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++−．而|||2||2|≥x a x a ++−+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a −或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,−∞−+∞ ．2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+−−．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+−−，即2,1,()2,11,2, 1.x f xx x x −≤− =−<< ≥故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +−−>成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax −<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax −≥；若0a >，|1|1ax −<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =−−．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】(1),33a a(2)2解析：(1)若x a ≤,则()22f x a x a x −−<, 即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x −−<, 解得3x a <,即3a x a <<, 综上,不等式的解集为,33a a． (2)2,()23,x a x af x x a x a −+≤ =−>．画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC ,ABC 的高为3,,0,,022a a a A B,所以||=AB a ,所以211||222ABCS AB a a =⋅== ,解得2a =．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+−．(1)求不等式()6f x x ≤−的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤+−≤所确定的平面区域的面积．【答案】(1)[2,2]−； (2)8．解析：(1)依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>=+≤≤ −+<，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x > −≤− 或0226x x x ≤≤ +≤− 或0326x x x < −+≤−，解2326x x x >−≤− ，得无解；解0226x x x ≤≤ +≤− ，得02x ≤≤，解0326x x x < −+≤−，得20x −≤<，因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]− (2)作出不等式组()60f x yx y ≤+−≤表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =−++= ，解得(2,8)A −，由26y x x y =+ +=, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =×−=−×−−= ． 3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+−−．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】(1)详解解析；(2)7,6 −∞−．【解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x+≥=−−<<−−≤−，作出图象，如图所示：(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x −−=+−，解得76x =−．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6 −∞−．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+−−． (I )画出(x)y f =的图像； (II )求不等式(x)1f >的解集．【答案】 (I )见解析 (II )()()11353−∞+∞，，，【官方解答】(I )()4133212342x x f x x x x x−−=−−<<− ，≤，，≥ ，()y f x =如图所示：(II )由()f x 得表达式及图像，当()1f x =时，得1x =或3x =当()1f x =−时，得13x =或5x = 故()1f x >的解集为{}13x x <<；()1f x −<的解集为153x x x <>或 ()1f x >∴，解集为()()11353−∞+∞，，，．【民间解答】(I )如上图所示：(II )()4133212342x x f x x x x x−−=−−<<− ，≤，，≥ ()1f x >当1x −≤，41x −>，解得5x >或3x <1x −∴≤ 当312x −<<，321x −>，解得1x >或13x <113x −<<∴或312x <<当32x ≥，41x −>，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x>综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353−∞+∞，，，．5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++−．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x−<−=+−≤<≥()y f x=的图像如图所示(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】(1)()211f x x x =++−3,112,12132x x x x x x >=+−≤≤ −<−，可作出函数()f x 的图象如下图(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b −+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a −≥，且30a b −+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b −+−≥恒成立结合3a ≥，可知20b −≥即2b ≥综上可知32a b ≥ ≥ ，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明【答案】解析:证明:由柯西不等式得,直线的普通方程为．因为, , 所以, 因此2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥．【答案】(1)见解析 (2)见解析【解析】(1)证明：由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ++++≥++，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤； (2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤，即043a c <+≤，所以1143a c ≥+，由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c ++=+≥=≥++，当且仅当124a c=，即1a =，12c =时取等号，所以113a c+≥ 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc +++++++ ，,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤l 22222()()()ac bd a b c d +++≤224a b +=2216c d +=2()64ac bd +≤8.ac bd +≤()22212ab bc ca a b c ∴++=−++1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=−++<； (2)不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<， 1,a b c a bc=−−= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bcbc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=． (1)求222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥成立，证明：3a −≤或1a −≥．【答案】(1)43；(2)见详解．【官方解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z −++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =−+++++−++++++−2223(1)(1)(1)x y z −++++ …故由已知得232(1)(1)143()x y z −++++≥，当且仅当511,,333x y z ==−=−时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43． (2)由于2[(2)(1)()]x y z a −+−+−.222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =−+−+−+−−+−−+−−2223(2)(1)()x y z a −+−+− …故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +−+−+−…，当且仅当4122,,333a a a xy z −−−==时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a −+−+−的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +…，解得3a −≤或1a −≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z −++++++−++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥，当且仅当511,,333x y z ==−=−时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43． (2)2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a −+−+−++≥．当且仅当4122,,333a a a xy z −−−==时等号成立． 22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a −+−+−++=−+−+−=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a −≤或1a −≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c =324×××=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =−+−，2()1681g x x x =−+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤．【答案】(1)[0，43]；(2)见解析．解析：(1)由f (x )=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1 可得1331x x ≥−≤ ①，或111x x < −≤ ②．解①求得1≤x ≤43，解②求得 0≤x ＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]．(2)由g (x )=16x 2﹣8x +1≤4，求得14−≤x ≤34，∴N =[14−，34]，∴M ∩N =[0，34]．∵当x ∈M ∩N 时，f (x )=1﹣x ，x 2f (x )+x [f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=21142x−−≤14，故要证的不等式成立．7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【答案】[选修4—4：不等式证明选讲]．解析：本小题主要考查本小题满分10分．证法一：因为0,0x y >>，所以210x y ++≥>，故22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=．证法二：(柯西不等式)22222(1)(1)(1)(1)(x y x y x y y x y x ++++=++++≥++ 29xy ≥+=．证法三：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故222(1)(1)(2)(2)2()99x y x y x y y x x y xy xy ++++≥++=−+≥． (江苏苏州褚小光) 证法四：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故2222(1)(1)(2)(2)225459x y x y x y y x x y xy xy xy xy ++++≥++=++≥+=． 8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ． (II22222222111()()(111)()9.p p q r p q r q r ≥×+×+×++++=++即2223q p r ++≥．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >+>+(Ⅱ>是a b c d −<−的充要条件．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析．解析：(Ⅰ)因为2a b =++，2c d =++a b c d+=+，abcd >，得22>++>(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d −<−，则22()()a b c d −<−．即22()4()4a b ab cd cd +−<+−．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由(Ⅰ)>．(ⅱ)>22>，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a bab −=+−2()4c dcd <+−2()c d =−．因此a b c d −<−，综上，>是a b c d −<−的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明: (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．分析：(1)将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法，假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<<b ，从而与1=ab 矛盾，即可得证解析：由ab b a b a b a +=+=+11，0>a ，0>b ，得1=ab ，(1)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；(2)假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<<b ，从而1<ab ，这与1=ab 矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：(1)；(2)．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：解法二：330,0,2a b a b >>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤55222222332()()))()4a b a b a b a b ++=+⋅+≥+=5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b ++=+++=+++−33233332()2()4a b a b a b ≥++−=+=解法三：又，所以．当时，等号成立．所以，，即． (2)解法一：由及得所以．解法二：(反证法)假设，则，两边同时立方得：，即，因为，所以，即，矛盾，所以假设不成立，即．解法三：因为，所以：．又，所以: 。

高中数学不等式选讲，最全的不等式知识总结

不等式不仅会出现在大题的选做题中，还会出现在选择、填空题里，因此，同学们考前务必把这些知识点看一遍！
题型
一、求取值范围
为正数）
取值范围是[12,27].
所以a的取值范围是（﹣∞，2-2√2].
二、解不等式
三、证明题
∴a b＋b c＋c a＞ab＋bc＋ca,证毕。

直接得出（a-b）（a/a-b/b）≥0.
a=b=c时取等号，得k等于四分之一。

做题方法
1.零点分区间法的一般步骤
（1）令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
（2）将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
（3）由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；（4）取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
2.利用绝对值的几何意义
3.两函数绝对值型不等式
（1）
（2）
4.绝对值不等式的证明
①利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；
②利用三角形|进行证明；
③转化为函数问题，数形结合进行证明。

5.绝对值不等式的综合应用
（1）研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．
（2）常用不等式。

不等式选讲

不等式选讲一、线性规划例变量,x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，求下列表达式的最值（1）设y z x = （2） 2yz x =-（3） 3z x y =- （4） 3z x y =+ （5） 22z x y =+练习：1. 设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．552. 已知实数,x y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值是-1，求m 的值；3. 若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A ．（1-，2）B ．（4-，2）C ．(4,0]-D ． (2,4)-二、均值不等式（1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1,求x +y 的最小值；（2）已知x ＜45,求函数y =4x -2+541-x 的最大值（3）若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0，求x +y 的最小值（4）若-4＜x ＜1,求22222x x y x -+=-的最大值.(5)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.(6)已知正实数,x y ，12x y +=，求213x y x y++-的最小值。

（7）已知x ＞0,y ＞0，且31x y xy +-=-，求x y +的范围。

（8）已知x ＞0,y ＞0，且31x y xy +-=-，求xy 的范围。

（9）(2014·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．、三、绝对值不等式1.已知函数，，（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围。

2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练及答案解析

2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1、设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0；当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解；当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【解析】(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174. 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .题型三不等式的证明与应用例3、设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【答案】略.【解析】[证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【巩固训练】题型一解绝对值不等式1.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________【答案】{x |x ≤－3或x ≥2}.【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5，解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围【答案】（1）{x |x ≤1或x ≥4}；（2）[－3,0]．【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．3.设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a ≥－3.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式1.已知函数.（1）图中画出的图像；()123f x x x =+--()y f x =（2）求不等式的解集．【答案】（1）见解析（2）. 【解析】⑴如图所示：（2）()()()()+∞⋃⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞->∴><<<><≤∴<>>-≥<<<<-∴<>>-<<--≤∴<>>-≤>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<---≤-=5,1,331,解集为1x f ，5x 或3x 1或31x 综上，5x 或3x 23，3x 或5x 解得14x ，23x 当23x 1或31x 131x 或1x 解得1,23x ，23x 1当1x ，3x 或5x 解得1,4x ，1x 当1,x f 23x x,423x 12,3x 1x 4,x f2.不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－3)【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，()1f x >()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．题型三不等式的证明与应用1.已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1；求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).【答案】略.【解析】证明：因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①因为(a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证.2.设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．【答案】略.【解析】证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．3.设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 【答案】略.【解析】(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.。

不等式选讲高考常考题型汇总(详解答案)

,1
上恒成立,
x 2 max a x 2 min ,
1 a 5 , 2
a
的取值范围为
1,
5 2
.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及绝对值三角不等式的应用,其中解答中熟记含绝对值不等式的解法,以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.
2
8．已知函数 f (x) x2 1, g(x) | x a | | 2x 1|, a R .
（1）当 a 1 时，解不等式 g(x2 ) 7 ；
2
2
（2）对任意 x1, x2 R ，若不等式 f (x1) ≥ g(x2 ) 恒成立，求实数 a 的取值范围.
试卷第 2页，总 6页
9．选修 4-5：不等式选讲
故 a 的取值范围为 (,5] [7, )
【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，绝对值的三角不等式，恒成立问题，考查了计算化简，分析求值的能力，属中档题. 7．【详解】
（2）当 m 1时，函数 g(x) f (x) | x m | 的图象与 x 轴围成一个三角形，求实数 m 的取值范围.
21．设函数 f x 2x 4 1．（1）画出函数 y f x 的图象；（2）若不等式 f x ax 的解集非空，求 a 的取值范围．
试卷第 6页，总 6页
参考答案
试卷第 5页，总 6页
19．已知函数 f (x) | 3x 1| 2 | x 1| ．
（1）画出 y f (x) 的图像；
（2）求不等式 f (x) f (x 1) 的解集．
20．[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 f x 2x 2 5 . （1）解不等式： f x | x 1| ；

不等式知识点及题型总结

不等式一、知识点：1. 实数的性质：0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a ．2. 不等式的性质：3. 常用基本不等式：4.利用重要不等式求最值的两个命题：命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2.命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2s时，积ab 有最大值42s .注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有结论：ax 2+bx+c>0⇔20040a ab ac >⎧=⎨-<⎩或检验；ax 2+bx+c<0⇔2040a ab ac <⎧=⎨-<⎩或检验 6. 绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。

（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-7. 不等式证明方法：基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。

我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。

例：解下列不等式：(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥；(3)2210x x -+<；(4)2220x x -+<．解：(1)方程27120x x -+=的解为123,4x x ==．根据2712y x x =-+的图象，可得原不等式27120x x -+>的解集是{|34}x x x <>或．(2)不等式两边同乘以1-，原不等式可化为2230x x +-≤．方程2230x x +-=的解为123,1x x =-=．根据223y x x =+-的图象，可得原不等式2230x x --+≥的解集是{|31}x x -≤≤．(3)方程2210x x -+=有两个相同的解121x x ==．根据221y x x =-+的图象，可得原不等式2210x x -+<的解集为∅．(4)因为0∆<，所以方程2220x x -+=无实数解，根据222y x x =-+的图象，可得原不等式2220x x -+<的解集为∅．练习1. （1）解不等式073<+-x x ；（若改为307x x -≤+呢？）（2）解不等式2317x x -<+；解:(1)原不等式⎩⎨⎧>-<+⎩⎨⎧<->+⇔03,0703,07x x x x 或{|73}x x ∴-<<(该题后的答案:{|73}x x -<≤).(2)1007x x -<+即{|710}x x ∴-<<.8、最值定理设x 、y 都为正数，则有⑴ 若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵ 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值” 注意：一正、二定、三相等几种常见解不等式的解法重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论典型题例示范讲解例1：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．例：解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或解下列分式不等式：例：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x （1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

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不等式选讲内容题型大全不看后悔
1.绝对值不等式的解法
一．简单的去绝对值情形
1．不等式：32-x ≤1的解集是_______ ___． 2.不等式：1-x ≥3的解集是_______ _ _．
3.解不等式：312>-+
x x 的解集是_______ _ _． 4．（2008·山东高考题）若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的取值范围为。

5．设集合{}1,A x x a x =
-<∈R ，{}2,B x x b x =->∈R ．若A B ⊆，则实数,a b 必满足（）．
Ａ．3a b +≤ Ｂ．3a b +≥ Ｃ．3a b -≤ Ｄ．3a b -≥ 6. 不等式：
123-<+x x 的解集是_______ _ _． 7．（2007广东，14）（不等式选讲选做题）
设函数)2(,3|12|)(-++-=f x x x f 则= ；若5)(≤x f ，则x 的取值范围是。

8.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：|21|3x x +-<
9. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5不等选讲设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；
(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。

二．只涉及两个绝对值，不再有其它项时，用平方法去绝对值
例：1. 不等式130x x +--≥的解集是___ ___.
2.（2011年高考广东卷理科9)不等式
130x x +--≥的解集是______. 3. （2009广东14)不等式1|
2||1|≥++x x 的实数解为 . 4.若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。

5.(2009山东卷理)不等式0212<---x x 的解集为 .
6.【2012高考真题湖南理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 三．涉及两个且另有一常数时，用分段讨论法去绝对值
1. 不等式：|||1|3x x +->的解集是_______ _ _．
2．不等式
的解集为. 3. 不等式|2
1|2|432|+-≥-x x 的解集是_______ _ _． 4．对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为________
5．（2009福建选考21（3））
解不等式∣2x-1∣<∣x ∣+1
6.【2012高考真题广东理9】不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____．
7. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为
（A ）[-5.7] （B ）[-4,6]
（C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞
8.【2012高考真题江西理16】（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。

9. (2011年高考天津卷理科13) 已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧
⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭
，则集合A B ⋂=________. 10．（2008广东，14）（不等式选讲选做题）已知R ∈a ，若关于x 的方程0|||41|2=+-++a a x x
有实根，则a 的取值范围是。

11.【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
已知函数()2f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.
12．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.
（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；
（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.
四：利用数轴法求解
1.31-+-=x x y 的最小值为
2.21++-=x x y 的最小值为
3.【2012高考真题陕西理15】A.（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .
4.若不等式24≥++-a x x 对所有的x 都恒成立，则a 的取值范围是
5．（2009辽宁选作24）
设函数.|||1|)(a x x x f -+-=
（I ）若3)(,1≥-=x f a 解不等式；
（II ）如果a x f x 求,2)(,≥∈∀R 的取值范围。

五．涉及绝对值不等式的恒成立问题，方法：分段去绝对值
1．（2007海南、宁夏，22C ，10分）（选修4 –5：不等式选讲）设函数.|4||12|)(--+=x x x f
（1）解不等式2)(>x f ；
（2）求函数)(x f y =的最小值
2.不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____
（答：1a <）；
3. 不等式a x x <---34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____
4．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数。

（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若
对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

5.（2009重庆卷理）不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）
A ．(,1][4,)
-∞-+∞U B ．(,2][5,)-∞-+∞U C ．[1,2]
D ．(,1][2,)-∞+∞U 6.若不等式a x x <-+-34有实数解，则实数a 的取值范围__ ___
7．(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x 的不等式
12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是
8. 若关于x 的不等式34---<x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围为__ ___
9.【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x 。

(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)若k x f x f ≤-)2(2)(恒成立，求k 的取值范围。

六：性质：y x y x +≤-，y x y x +≤+运用
1. 对于实数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则1++y x 的最大值为 .
2. 对于实数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则32++y x 的最大值为 .
3.已知实数x ，y 满足1≤+y x ，323≤-y x ，则y x -2的最大值为 .
4.已知实数x ，y 满足12≤+-y x ，323≤-y x ，则45+x 的最大值为 .
5. 对于实数x ，y ，若
12≤+-y x ，323≤-y x ，则45+x 的最大值为 . 6. 对于实数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则3+-y x 的最大值为 .
7. (2010年高考福建卷理科)对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值
为 . 8.【2012高考江苏24】[选修4 - 5：不等式选讲] （10分）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<
-<，，求证：5||18
y <． 2. 比较法解不等式
1．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式11-x 2＜的解集为M ．
（I ）求集合M ；
（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小．
2．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a 、b 是非负实数，求证：。

3.均值不等式及其推广的运用
1.【2012高考真题福建理23】（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f （x ）=m-|x-2|，m ∈R ，且f （x+2）≥0的解集为[-1,1].
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若a ，b ，c ∈R ，且
2．（2008江苏，21D ，10分）（选修4 – 5：不等式选讲）设c b a ,,为正实数，求证：
3．（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。