《一元二次方程的实根分布问题》ppt课件
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y
O
kx
0
b 2a
k
f (k ) 0
Ok
x
0
b 2a
k
f (k ) 0
Ok x
f (k) 0
11
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根均在 (m，n)内
y
Om n x
0
m
b
n
2a
f (m) 0 f (n) 0
两根均在[m，n] 外两旁
(,4) (0,)
4.若方程x²–2mx+m–1=0在区间(–2，4)上有两根， 求实数m的取值范围。
(1,3)
16
17
3
f (2) 3m 2 0
5
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。 条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
Hale Waihona Puke Baidu
y
如右图知
1、f (0) 0且0 3 m 1
2 2、f (2) 0且1 3 m 2
m
f (m) f (n) 0 或 f (m) 0且m b m n
2a 2
或 f (n) 0且 m n b n
2
2a
13
注意：
由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般 考虑以下三个方面：
①判别式 b2 4ac 的符号； ②对称轴 x bk 的位置分布；
2a
③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。
如右图知
2O
4x
f (2) m 10 0
f
(0)
m
0
4m0
f (4) 5m 4 0
5
7
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件7：若方程的一个根小于2，另一个根大于4。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O 24 x
f f
(2) (4)
一元二次方程的实根分布问题
1
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件1：若方程有两个正根。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O
x
(m 3)24m 0
m 2
3
0
0 m1
f (0) m 0
2
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
2
O
2 x
2
3
3、f (0) f (2) m(3m 2) 0 2 m 1
3
由于1，2，3知m的取值范围是 2 m 1
3
6
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件6：若方程的一个根在(–2 ，0)，另一个根
在(0 ，4)。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
mn
O
x
f (m 0)
f
(n)
0
X1∈(m，n) ， X2∈(p，q) 。
y
np
mO
qx
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
12
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根有且仅有一个在(m，n)内
y
y
y
n
Om
x O m nx O m nx
设二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)的二实根为 x1, x2 (x1 x2 ) b 2 4ac 方程对应的二次函数为 f (x) ax2 bx c(a 0)
10
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根均小于k
y
两个根均大于k
y
一个根小于k， 一个根大于k。
3m 2 5m 4
0 0
m
4 5
8
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根 的绝对值较大。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O
x
f
(0) m m3
2
0
0
m0
9
小结
一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象 与x轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象， 利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题， 下面通过例题具体情况来说明。
条件2：若方程的两个根均小于1。 y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
(m 3)24m 0
O
m 2
3
1
m9
f (1) 2m 2 0
1x
3
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件3：若方程的一个根大于1，一个根小于1。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
14
课堂练习：
1.若方程7x²–(m+13)x+m²–m–2=0在区间(0，1)、 (1，2)上各有一个实根，求实数m的取值范围。
(2,1) (3,4)
2.若方程2x²–(m–2)x–2m²–m=0的两根在区间[0，1] 之外两旁，求实数m的取值范围。
(,2) (1,)
15
课堂练习：
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根，一个小于1， 另一个大于1，则求实数k的取值范围。
y
如右图知
O1
x
f (1) 2m 2 0 m 1
4
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件4：若方程的两个根均在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
(m 3)24m 0
0
m
3
2
2
O
2 m1
2
x
f (0) m 0
O
kx
0
b 2a
k
f (k ) 0
Ok
x
0
b 2a
k
f (k ) 0
Ok x
f (k) 0
11
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根均在 (m，n)内
y
Om n x
0
m
b
n
2a
f (m) 0 f (n) 0
两根均在[m，n] 外两旁
(,4) (0,)
4.若方程x²–2mx+m–1=0在区间(–2，4)上有两根， 求实数m的取值范围。
(1,3)
16
17
3
f (2) 3m 2 0
5
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。 条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
Hale Waihona Puke Baidu
y
如右图知
1、f (0) 0且0 3 m 1
2 2、f (2) 0且1 3 m 2
m
f (m) f (n) 0 或 f (m) 0且m b m n
2a 2
或 f (n) 0且 m n b n
2
2a
13
注意：
由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般 考虑以下三个方面：
①判别式 b2 4ac 的符号； ②对称轴 x bk 的位置分布；
2a
③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。
如右图知
2O
4x
f (2) m 10 0
f
(0)
m
0
4m0
f (4) 5m 4 0
5
7
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件7：若方程的一个根小于2，另一个根大于4。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O 24 x
f f
(2) (4)
一元二次方程的实根分布问题
1
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件1：若方程有两个正根。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O
x
(m 3)24m 0
m 2
3
0
0 m1
f (0) m 0
2
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
2
O
2 x
2
3
3、f (0) f (2) m(3m 2) 0 2 m 1
3
由于1，2，3知m的取值范围是 2 m 1
3
6
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件6：若方程的一个根在(–2 ，0)，另一个根
在(0 ，4)。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
mn
O
x
f (m 0)
f
(n)
0
X1∈(m，n) ， X2∈(p，q) 。
y
np
mO
qx
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
12
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根有且仅有一个在(m，n)内
y
y
y
n
Om
x O m nx O m nx
设二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)的二实根为 x1, x2 (x1 x2 ) b 2 4ac 方程对应的二次函数为 f (x) ax2 bx c(a 0)
10
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根均小于k
y
两个根均大于k
y
一个根小于k， 一个根大于k。
3m 2 5m 4
0 0
m
4 5
8
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根 的绝对值较大。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O
x
f
(0) m m3
2
0
0
m0
9
小结
一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象 与x轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象， 利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题， 下面通过例题具体情况来说明。
条件2：若方程的两个根均小于1。 y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
(m 3)24m 0
O
m 2
3
1
m9
f (1) 2m 2 0
1x
3
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件3：若方程的一个根大于1，一个根小于1。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
14
课堂练习：
1.若方程7x²–(m+13)x+m²–m–2=0在区间(0，1)、 (1，2)上各有一个实根，求实数m的取值范围。
(2,1) (3,4)
2.若方程2x²–(m–2)x–2m²–m=0的两根在区间[0，1] 之外两旁，求实数m的取值范围。
(,2) (1,)
15
课堂练习：
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根，一个小于1， 另一个大于1，则求实数k的取值范围。
y
如右图知
O1
x
f (1) 2m 2 0 m 1
4
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件4：若方程的两个根均在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
(m 3)24m 0
0
m
3
2
2
O
2 m1
2
x
f (0) m 0