电磁场电磁波习题精选1.0第一章 矢量分析

第一章 矢量分析
物理科学技术学院 任一涛
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第一章 矢量分析 Home work. 10% Middle term Exam: 30% Final Exam : 60%
Text book：
《电磁场与电磁波》，王家礼，朱满座，路宏敏，西安电子科技大学出 版社，2000
在点 M 处沿 l 方向的方向导数
∂ϕ ∂l
M
1 2 2 2 2 = ⋅1 + ⋅1 − ⋅ = 3 3 3 4 3
第一章 矢量分析
标量场 φ (x, y, z) 在 l 方向上的方向导数为
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = cos α + cos β + cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z
在直角坐标系中，令
dy ⎧ dx ⎪ xy 2 = x 2 y ⎧ z = c1 x ⎪ ⎪ 解之即得矢量方程 ⎨ 从而有 ⎨ 2 2 ⎪ dx = dz ⎪ x − y = c2 ⎩ 2 ⎪ xy 2 y z ⎩
c1 和 c2 是积分常数。
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例1-1 求数量场φ =(x+y)2-z 通过点 M(1, 0, 1) 的等值面 方程。 解：点 M 的坐标是 x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场 值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为
∂ ∂ ∂ ∇ ≡ ex + ey + ez ∂z ∂x ∂y
矢量微分算符号 ∇ 的运算规则是（以直角坐标系为例）：
∂ ∂ ∂ ∇ϕ = (ex + e y + ez )ϕ ∂z ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ = ex ϕ + e y ϕ + ez ϕ ∂x ∂y ∂z
∇ • A = (e x
∂ ∂ ∂ + ey + ez ) • ( Axex + A y e y + Azez ) ∂x ∂y ∂z ∂Ay ∂Ax ∂Az = + + ∂x ∂y ∂z
r = xe x + ye y + ze z
dr = dxex + dyey + dzez
dx dy dz = = Ax Ay Az
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例1-2 求矢量场 A=xy2ex+x2yey+zy2ez 的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz = 2 = 2 2 xy x y y z
标量场与矢量场
若场量与方向无关，在数学上可只需用一个代数变量（标量 函数）来描述， 因而标量的空间分布称为标量场， 如温度场 T(x, y, z)、电位场 φ(x, y, z)、密度场 D(x, y, z) 等。 若空间中各点的分布不仅需要确定其大小，同时还需确定其 方向才能描述， 称为矢量场，如电场、磁场、流速场等等。
梯度的定义与坐标系无关，它由标量场 φ 的分布所决定。梯度是标 量场的一个重要概念。
梯度的性质： 方向导数等于梯度在该方向上的投影。 标量场中每一点 M 处的梯度，垂直于过该点的等值面， 且指向 φ(M) 增大的方向。
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哈密顿（Hamilton）微分算子： 矢量微分算子
为方便，我们引入一个
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矢量微分算符号 ∇ 的运算规则是（以直角坐标系为例） ：
ex ∂ ∇×A = ∂x Ax ey ∂ ∂y Ay ez ∂ ∂z Az
∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Az ∂Az ∂Ay =( − − − )e x + ( )e y + ( )e z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
所以
证明：M 点的坐标为 M(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)，由于函 数 φ 在 M0 处可微，故
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Δϕ = ϕ ( M ) − ϕ ( M 0 ) = Δx + Δy + Δz + ωρ ∂x ∂y ∂z
ω 是比 ρ 高阶的无穷小， ω 在 ρ →0 时趋于零。
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Δϕ
ρ
为
ϕ (M ) − ϕ (M 0) = ρ
ϕ (M ) − ϕ (M 0) = lim M →M ρ
0
的极限存在，则称此极限为函数 φ(M) 在点 M0 处沿l方向的方向导数，记
∂ϕ ∂l
M0
∂ϕ >0 代 方向导数是函数 φ 在一个点处沿某一方向对距离的变化率。 ∂l ∂ϕ 表在 M0 处函数 φ 沿 l 方向是增加的， < 0 代表在 M0 处函数 φ 沿 l 方
( x + y) − z = 0
2
或
z = ( x + y)
2
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图 1-2 方向导数的定义
第一章 矢量分析 设 M0 是标量场 φ = φ (M) 中的一个已知点，从 M0 出发沿某一方 向引一条射线 l, 在 l 上 M0 的邻近取一点 M，MM0=ρ，如图1-2所示。 若当 M 趋于 M0 时(即ρ趋于零时)，
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x2 + y2 例1-3 求数量场 u = z l=ex+2ey+2ez 方向的方向导数。
解：l 方向的方向余弦为
在点 M(1, 1, 2) 处沿
cos α = cos β = cos γ =
1 12 + 2 2 + 2 2 2 12 + 2 2 + 2 2 2 12 + 2 2 + 2 2
在某一空间区域内不同的每一点，都对应着某个物理量的一个确 定的值(无穷多个量的集合)，是位置的函数。除有限个点和表面外， 该对应值应是处处连续的。
通过场物体将作用给予另一个物体。
如电场，引力场 电荷 场 电荷 物质 场 物质
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静态场与时变场
若描述该场的物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该 物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。
grad ϕ = ∇ ϕ
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设 c 为一常数，u(M) 和 v(M) 为数量场，很容易证明下面 梯度运算法则的成立。
grad c = 0 或 ∇ c = 0 grad (cu ) = c grad u 或 ∇ (cu ) = c∇ u grad (u ± v ) = grad u ± grad v 或 ∇ (u ± v ) = ∇ u ± ∇ v grad (uv ) = v grad u + u grad v 或 ∇ (uv ) = v∇ u + u∇ v ⎛u⎞ 1 ⎛u⎞ 1 grad ⎜ ⎟ = 2 (v grad u − u grad v 或 ∇ ⎜ ⎟ = 2 (v∇ u ± u∇ v ) ⎝v⎠ v ⎝v⎠ v grad [ f (u )] = f ' (u )grad u 或 ∇[ f (u )] = f ' (u )∇ u
向是减少的。
∂l
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若函数 φ = φ (x, y, z) 在点 M0(x0, y0, z0) 处可微， cosα、cosβ、cosγ为 l 方向的方向余弦，则函数 φ 在点 M0处沿 l方向的方向导数必定存在，且为
∂ϕ ∂l
M0
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = cos α + cos β + cos γ ∂x ∂x ∂z
A = Ax ( x, y, z )ex + Ay ( x, y, z )e y + Az ( x, y, z )ez
其中 ex、ey、ez 为 x 轴、y 轴、z 轴正向单位矢量。 Ax(x, y, z)、Ay(x, y, z)、 Az(x, y, z)分别是矢性函数 A 在直角坐标系中三个坐标轴上的投影分量。
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例1-4 设标量函数r是动点 M(x, y, z) 的矢量 r=xex+yey+zez r 2 2 2 gradr = = r ° . 的模，即 r = x + y + z ， 证明： r 证： 因为
∂r ∂r ∂r grad r = ∇ r = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z ∂r ∂ x x 2 2 2 = = x + y +z = 2 2 2 ∂x ∂x r x + y +z
两边除以ρ，可得
Δϕ
∂ϕ Δ x ∂ϕ Δ y ∂ϕ Δ z +ω = + + ρ ∂x ρ ∂y ρ ∂z ρ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = cos α + cos β + cos γ + ω ∂x ∂y ∂z
当ρ趋于零时对上式取极限，可得
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = cos α + cos β + cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z
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第一章 矢量分析
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 场的概念 标量场的方向导数和梯度 矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度 圆柱坐标系与球坐标系 亥姆霍兹定理
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场（物理学中）---- 是空间中存在的一种物理效应或作用，分布 于引起它的场源体周围。 如：引力场，电磁场，压力场，温度场等 特点： 占有一定空间（场域 ），在该空间内有分布。
1 = 3 2 = 3 2 = 3
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而
∂u 2 x ∂u 2 y ∂u − (x2 + y2) = = , , = ∂x z ∂y z ∂z z2
数量场在 l 方向的方向导数为
∂u ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β + cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z 1 2x 2 2y 2 x2 + y2 = + − 3 z 3 z 3 z2