多项式的因式分解(1)——提公因式法
小专题( 六 ) 因式分解的几种常见方法
小专题（六） 因式分解的几种常见方法 -3-
4.十字相乘法:x2+( p+q )x+pq型的多项式的因式分解.这类二次三项式的特点是:二次项的 系数是1,常数项是两个数的积,一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二 次项的系数是1的二次三项式因式分解:x2+( p+q )x+pq=( x+p )( x+q ).mx2+px+q型的多项
( 1 )1.992+1.99×0.01; 解:原式=1.99×( 1.99+0.01 )=3.98.
( 2 )20162+2016-20172.
解:原式=2016×[( 2016+1 )]-20172=2016×2017-20172=2017×( 2016-2017 )=-2017.
小专题（六） 因式分解的几种常见方法 -5-
m+n )2( m-n )2. 当 m=-3,n=2 时,原式 =( -3+2 )2×( -3-2 )2=( -1 )2×( -5 )2=1×25=25.
5.已知 x=156,y=144,求代数式12x2+xy+12y2 的值. 解:12x2+xy+12y2=12( x2+2xy+y2 )=12( x+y )2, 当 x=156,y=144 时, 原式=12×( 156+144 )2=45000.
小专题（六） 因式分解的几种常见方法 -10-
根据上述论法和解法,思考并解决下列问题: ( 1 )分解因式:x3+x2-2; ( 2 )分解因式:x3-7x+6; ( 3 )分解因式:x4+x2+1. 解:( 1 )原式=( x3-1 )+( x2-1 )=( x-1 )( x2+x+1 )+( x-1 )·( x+1 )=( x-1 )( x2+2x+2 ). ( 2 )原式=x3-1-7x+7=( x-1 )( x2+x+1 )-7( x-1 )=( x-1 )( x2+x-6 )=( x-1 )( x-2 )( x+3 ). ( 3 )原式=x4+2x2+1-x2=( x2+1 )2-x2=( x2+1+x )·( x2+1-x ).
因式分解之提取公因式法
第六讲 因式分解之提取公因式法一、知识要点1、 因式分解：把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
（1） 多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。
如：()()22b a b a b a -=-+，从左边到右边的变形属于整式乘法； ()()b a b a b a -+=-22，从左边到右边的变形属于因式分解； （2）因式分解的方法：①提公因式法； ②运用公式法； ③十字相乘法； ④分组分解法2、提公因式法：（1）如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。
把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）公因式：多项式ab ＋ac ＋ad 的各项ab 、ac 、ad 都含有相同的因式a ，a 称为多项式各项的公因式。
公因式由两部份构成：系数：各项系数的最大公约数相同字母的指数：取最低次幂（3）用提公因式法时的注意点：① 公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。
如：4a 2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；② 当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正。
如：-2m 3+8m 2-12m= -2．m(m 2-4m+6)； ③ 提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。
二、知识运用典型例题例1、下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解，那些不是，为什么？（1） ()()ab b a b a 422+-=+ （2）()()ab b a b a 422-+=- （3）()()22b a a b -=+- （4）()()22b a b a +=--练习：下列式子从左到右的变形中是因式分解的是（ ）2233.236A a b ab a b ⋅= 2.(1)(1)1B x x x +-=-()22.211C x x x ++=+ ()2.111D x x x x ++=++例2、 若多项式2x mx n ++分解因式的结果是()()65x x -+，则m = ，n = 。
提取公因式法分解因式的步骤
提取公因式法分解因式的步骤公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多个代数式的公因式，将其进行合并简化，从而得到原始代数式的因式分解形式。
下面将介绍公因式法分解因式的具体步骤。
1.观察多项式中的各个项，寻找它们之间的公因式。
公因式是指可以同时整除多个项的代数式。
2.将找到的公因式提取出来，并用括号括起来。
提取公因式时，需要将公因式的系数和变量一同提取出来。
3.将原始多项式中的每一项除以提取出来的公因式。
这一步可以通过将每一项的系数与公因式的系数进行除法运算来实现。
4.将提取出来的公因式与上一步得到的商相乘，并将结果写在括号外面。
这一步是将公因式和商相乘，重新得到原始多项式。
5.最后，将括号外面的结果与原始多项式进行比较，确保两者相等。
这一步是为了验证因式分解的正确性。
通过以上步骤，我们可以完成对多项式的因式分解。
下面通过一个具体的例子来说明公因式法的应用。
假设我们要对多项式3x^2 - 6x进行因式分解。
第一步，观察多项式中的各个项，发现它们之间的公因式是3x。
第二步，将公因式3x提取出来，并用括号括起来，得到3x( ).第三步，将原始多项式中的每一项除以公因式3x，得到(3x^2)/(3x) - (6x)/(3x)。
第四步，将提取出来的公因式3x与上一步得到的商相乘，并将结果写在括号外面，得到3x((3x^2)/(3x) - (6x)/(3x))。
第五步，化简括号内的表达式，得到3x(x - 2)。
将括号外面的结果与原始多项式进行比较，发现它们相等，因此得到的因式分解形式为3x(x - 2)。
通过以上步骤，我们成功地将多项式3x^2 - 6x分解为公因式3x和商(x - 2)的乘积形式。
总结起来，提取公因式法分解因式的步骤包括观察多项式中的各个项，寻找公因式，提取公因式并用括号括起来，将每一项除以公因式得到商，将公因式与商相乘得到因式分解形式，最后验证分解结果的正确性。
这一方法简单实用，可以帮助我们快速进行因式分解运算。
苏科版数学七下多项式的因式分解第1课时提公因式法课件
因式分解及相关概念
练一练：下列各式由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是?
（1）ab＋ac＋d＝a（b＋c）＋d 不是，等号右边不是几个整式的积的情势.
（2） a2－1＝(a＋1)(a－1)
是
（3） (a＋1)(a－1)＝a2－1
不是，而是整式乘法.
（4） 8a2b3c＝2a2·2b3·2c
2
因式分解及相关概念
问题1.1 你能把多项式ab＋ac＋ad写成积的情势吗？请说明你的理由.
根据乘法分配律 ab＋ac＋ad＝a（b＋c＋d）
换一种看法，就是把单项式乘多项式的法则 a（b＋c＋d）＝ab＋ac＋ad
反过来，就得到 ab＋ac＋ad＝a（b＋c＋d）．
因式分解及相关概念
问题1.2 视察多项式ab＋ac＋ad的每一项，你有什么发现吗？
a 是多项式ab＋ac＋ad各项都含有的因式．
定 义： 一个多项式各项都含有的因式，称为这个多项式各项的公
因式． 例如：a就是多项式ab＋ac＋ad各项的公因式．
因式分解及相关概念
练一练：找出下列多项式各项的公因式并填写下表：
多项式 4x＋4y A2b2＋ab2 3x2－6x3
公因式 4 b2 3x2
因式分解及相关概念
问题2 填空并说说你的方法： （1）a2b＋ab2＝ab( a＋b )； （2）3x2－6x3＝3x2( 1-2x )； （3）9abc－6a2b2＋12abc2＝3ab(
3c－2ab＋4c2 ).
因式分解的根 据是什么？
定 义： 这样，把一个多项式写成几个整式的积的情势，叫做多
注意： 1.公因式既可以是一个单项式的情势，也可以是一个多项式的 情势. 2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)
因式分解(1)-提取公因式(1)(1)
──提公因式法
揭标引学
1.了解因式分解的意义，会用提公因式法进 行因式分解（指数是正整数）；
2.经历通过整式乘法逆向得出因式分解方法 的过程，发展学生的逆向思考问题的能力和推理 能力.
情境引入
计算：375×2.8+375×5+375×2.2 解：原式=375×(2.8+5+2.2) =375×10 =3750
射阳县实验初中
例题讲解
例2：把下列各式分解因式 (1)12a2bc-6ab (2)-2m3+8m2-12m
♦当多项式的第一项的系数是“−”时，通常 把“−”作为公因式的负号写在括号外，使括 号内第一项的系数化为“+ ”． ♦提公因式法因式分解的关键就是找公因式．
射阳县实验初中
练一练：【自学检查】
射阳县实验初中
拓展延伸
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(1+x)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)2 （1）上述分解因式的方法是_提__取_公__因_式___法，共应用 了__2___次； （2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2018，则 需要应用上述方法_2_0_1_8_次，分解因式后的结果是 _____； （3）请用以上的方法分解因式： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n (n为正整数)，必须 有简要的过程.
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解技巧讲解002
七、综合运用及技巧
1、换元（即整体法）
因式分解时可以用一个字母代替一个整式，也可以将原式中的某个部分变形后的式子用
一个字母代替，（一般都是既约多项式），分解完后再将其带入。
2、主次分清
我们在处理一个项数多的多项式的时候，可以按照一个主要字母（任选）的降幂整理后，
然后分解。
十字相乘法解决。
[例]分解因式：6x2-7x+2
解：采用类似的办法：把6分解成2×3，写在第一列；把2分解成(-1)×(-2)，写在第二
列；然后交叉相乘，把积相加，最后把得到的和写在横线下面。如下：
2 -1
3 -2
-7
这个和恰好是一次项的系数，于是有：
上面的算式称之为长十字相乘，式子中的三个十字，就是上面所说的三个十字相乘，我
们省略了横线及其底下的数。
如果二次式中的缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用。
[例]分解因式：x2-y2+5x+3y+4[缺少含有字母的项]
解：由如下算式
(x) (y) (1)
1 1 1
=2a2b(x+y)(b+c)[(x+y)+3a3b3(b+c)]
=2a2b(x+y)(b+c)(x+y+3a3b4+3a3b3c)
其实这是一种整体的思想，在因式分解中应用广泛。
3、切勿漏1
4、注意符号
在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变。
5、化“分”为整
数学论文——因式巧分解
史虓
◎综述
所谓多项式的因式分解，是把一个多项式写成几个整式的积的形式。因式分解并不复杂，
多项式的因式分解和乘法
多项式的因式分解和乘法多项式是代数学中常见的一种表达式形式，它由一系列的代数项按照特定的运算规则组合而成。
在代数学中，多项式的因式分解和乘法是两个重要的操作，它们在解决实际问题和简化计算中具有广泛的应用。
本文将围绕多项式的因式分解和乘法展开讨论。
一. 多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式表达式拆解成相乘的数或代数项的算法。
它可以帮助我们找到多项式的根、简化计算以及解决实际问题。
在进行多项式的因式分解时，我们可以采用以下的方法：1. 提取公因式法：通过找出多项式中的公因式，将其提取出来，从而得到因式分解结果。
例如，对于多项式2x^2 + 4x，我们可以提取出公因式2x，得到2x(x + 2)。
2. 分解差平方法：对于形如a^2 - b^2的多项式，我们可以利用差平方公式(a - b)(a + b)将其进行因式分解。
例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以得到(x - 2)(x + 2)的因式分解结果。
3. 分解二次三角形式：对于形如a^2 + 2ab + b^2的多项式，我们可以使用二次三角形式进行因式分解，即(a + b)^2。
例如，对于多项式x^2 + 4x + 4，我们可以得到(x + 2)^2的因式分解结果。
二. 多项式的乘法多项式的乘法是将两个或多个多项式相乘的操作。
它通常用于计算多项式的展开式或者解决实际问题。
在进行多项式的乘法时，我们可以采用以下的方法：1. 使用分配律：多项式的乘法可以利用分配律进行展开。
例如，对于多项式(x + 2)(x + 3)，我们可以将其展开得到x^2 + 5x + 6。
2. 使用FOIL法则：FOIL法则是一种用于展开两个二次多项式相乘的方法。
其中，F代表首项相乘，O代表外项相乘，I代表内项相乘，L 代表尾项相乘。
例如，对于多项式(x + 2)(x + 3)，我们可以使用FOIL 法则展开得到x^2 + 5x + 6。
3. 使用多项式的乘法公式：当需要计算两个多项式相乘时，我们可以使用多项式的乘法公式进行展开。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
因式分解法(提公因式法、公式法)
【知识要点】1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。
☆提公因式分解因式要特别注意：（1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。
（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。
（3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式，这时要特别注意各项的符号）。
（4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。
（5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。
2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式：()()22a b a b a b -=+-； ()2222a ab b a b ±+=±。
平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。
完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。
☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：（1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。
具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。
（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。
（3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。
（4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。
【典例分析】例1.分解下列因式：（1）22321084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+（3）323111248ab a b a b --+ （4）y x y x y x x 32223313231+-+-（5）23)(2)(m n a n m -+- （6）32)(4)(2y z y z y x -+-练习：因式分解(1)a(x-y)+b(x-y)-(x-y) (2)6(x+y)-12z(x+y) (3)(2x+1)y 2+(2x+1)2y(4)p(a 2+b 2)+q(a 2+b 2)-l(a 2+b 2) （5）2a(b+c)-3(b+c) （6）6(x-2)+x(2-x)（7）m(a-b)-n(b-a) （8）2a(x+y-z)-3b(x+y-z)+5c(z-x-y)；（9）m(m-n)2-n(n-m)2 （10）2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c)．例2. 把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2 （2）22331b a +-（3）22)2()2(y x y x +-- （4）11622-b a练习：把下列各式分解因式： （1）224b a -（2）11622-y x（3）22481916b a +-（4）2916a -例3.运用完全平方公式因式分解：（1）21449x x ++ （2）25102+-a a（3）229124b ab a +- （4）42242b b a a +-（5）21222+-x x （6）x x x 2718323+-（7）2()6()9m n m n +-++ （8）22224)1(4)1(a a a a ++-+（9）161)(21)(2+---y x y x （10）9)(6)(222+-+-x x x x练习：把下列各式分解因式：（1）221025x xy y -+ （2）222y xy x -+-（3）1692+-t t （4）22816y x xy +-（5）2411x x ++ （6）xy y x 4422-+（7）81224-+-x x （8）ax y ax y ax ++2232（9） 161)(21)(2+---y x y x （10） )(12)(9422n m m n m m ++++例4. 把下列各式分解因式：（1）32231212x x y xy -+ （2）442444)(y x y x -+（3）222)1(4+-a a （4）2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-练习：把下列各式分解因式：（1）222224)(b a b a -+ （2）222)41(+-m m（3）22248)4(3ax x a -+ （4）4224168b b a a +-（5）)()(2x y y x a -+- （6）)()(422m n b n m a -+-例5.已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++。
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（1）解：原式=5x2·x-5x2·2 =5x2(x-2)
记得写出因数“1”
（2）解：原式=6ab·2bc-6ab·1 =6ab(2bc-1)
（3）解：原式=-(2m3 -8m2 +12m) =-(2m·m2-2m·4m+2m·6) =-2m(m2-4m+6)
二．填空题 5. 多项式 2x2 y3z 4x3 y3z 6x4 yz2 各项的公因式是___________；
6. 12 x2 32 x 4x (________); 5x2 10 xy (________) (x 2y).
7. 若 x=49,y=1007,则 xy-7x=
.
8. 若 a2+a-1=0,则 a -a -a 2019 2020 2021 =___________.
解：原式=32×3198-4×3×3198+10×3198
“数”与“式”
=3198(9-12+10）
的相互变换
提公因式法
=3198×7
∵ 3198为整数， ∴ 3198×7是7的倍数， 即： 3200-4×3199+10×3198的值是7的倍数。
学以致用
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC
=3(x-y)2·[a- 2b(x-y)]
=3(x-y)2(a-2bx+2by)
学以致用
1、已知a+b=5 ， ab=3， 求a2b+ab2的值。
解：a2b+ab2=ab·a +ab·b =ab(a+b)
当a+b=5 ,ab=3时
原式=3×5=15
因式分解 整体代入
学以致用
2、试说明3200-4×3199+10×3198的值是7的倍数。
ab+ac+ad = a (b+c+d）
公因式
提取公因式
多项式中的公因式是如何确定的？
新知探究
找 3x 2 – 6 x3y 的公因式。
3
定系数
2 定指数 x
定字母
所以， 3x 2 – 6 x3y 的公因式是3x2 。
新知探究
寻找公因式的方法（步骤）
一看系数 当一个多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数 应取各项系数的 最大公约数 .
等式右边最终不是积的运算
② 24x2y=3x ·8xy
等式左边不是多项式，
③ x2-1=(x+1)(x-1) ④ (2x+1)2=4x2+4x+1
从左到右是整式乘法
⑤ x2+x=x2(1+ )
等式右边的一个因式不是整式
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
温故知新ห้องสมุดไป่ตู้
单项式乘多项式法则： a（b+c+d） = ab+ac+ad 整式乘法 把这个法则反过来写成：ab+ac+ad = a（b+c+d） 因式分解
互逆
① x2+xy-x ② a2-9
= =
x(x+y-1). (a+3)(a-3).
因式分解
一个多项式 整式的乘积
像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式， 叫做多项式的因式分解。
尝试练习
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ③ ⑥ ，
不是的，请说明为什么？
① am+bm+c=m(a+b)+c
一．选择题
1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 （ ）
A. x2 y
B. x2 2x
C. x2 3y
D. x2 xy y 2
2. 下列各等式从左到右的变形中，属于因式分解的是 （ ）
A. (x 3)(x 3) x2 9 C. 3x2 3x 1 3x(x 1) 1
B. x2 9 x (x 3)(x 3) x D. a2 2ab b2 (a b)2
2020
9.5多项式的因式分解（1） ——提公因式法
苏教版七年级下册 数学
授课教师：宜兴外国语学校
徐黎英
指导教师：宜兴市教师发展中心 陈 峰
温故知新
整式的乘积 一个多项式
（1）计算： ① x(x+y-1) = x2+xy-x . 整式乘法
② (a+3)(a-3) = a2-9
.
（2）根据上面等式的结论填空:
是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0， a(1+2b)-c(1+2b)＝0， (1＋2b)(a-c)＝0， ∴1＋2b＝0或a－c＝0， 即b＝－0.5(舍去),或 a＝c ， ∴△ABC是等腰三角形．
课堂小结
概念
因式 分解
记得先把首项的 “-”提出来
概念总结：
ab+ac+ad = a（b+c+d）
找公因式
提公因式
如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公 因式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项 式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
思维拓展
下列多项式可以用提公因式法分解因式吗？如果可以, 请你找出多项式各项的公因式。
(2). (3)21 (3)20 6 319
方法
把一个多项式写成几个整式的积的形式
形式：am+bm+mc=m(a+b+c)
找公因式的方法：定系数；定字母；定指数
提公因式法
步骤：一找公因式；二提公因式
注意点：1.公因式要找准； 2.不要漏项，尤其是因数1； 3.首项有“-”提负号，要注意变号。
其它方法（未完待续… ）
9.5 多项式的因式分解（1）提公因式法
三．解答题
9. 用提公因式法将下列各式分解因式：
（1） 6xyz 3xz2
（2） x2n x2n1
（3） 8a2 12ab3 4a
（4） x2 y 4xy 5y
（5） 3a（x－y）－6b（y－x） （6） ( y x)2 x(x y)3 ( y x)4
10.利用简便方法计算： (1).36×19.99+78×19.99-14×19.99
（1） a(x+y)+b(x+y)
可以，公因式(x+y)
（2） a(x-y)+b(y-x)
可以，公因式(x-y)
（3） a(x+y)+b(-y+x)
不可以，
（4） 3a(x-y)3+9b(y-x)2
可以，公因式3(x-y)2
（5） 3a(x-y)2n+9b(y-x)2n+1 可以，公因式3(x-y)2n或3(y-x)2n
发现：一个多项式的公因式可以是单项式也可以是多项式。
（整体思想）
例题讲解
2.把下列多项式分解因式 （1） 3a(x-y)2-6b(x-y)3
改写成
3a(x-y)2-6b(x-y)3
（2） 3a(x-y)2+6b(y-x)3
（2）解：原式= 3a(x-y)2-6b(x-y)3 （1）解：原式=3(x-y)2·a-3(x-y)2·2b(x-y)
二看字母 公因式中的字母应取各项 相同的字母 .
三看指数 相同字母 的指数，取次数 最低的.
尝试练习
找出下列多项式各项的公因式
(1) a2b＋ab2
公因式：ab
(2) 3x2－6x3
公因式：3x2
(3) 9abc－6a2b2＋12abc2 公因式：3ab
例题讲解
第一步：找公因式
1.把下列多项式分解因式 第二步：提取公因式
3. (3)2019 (3)2020的值是 （
）
A. 2 32019
B. 2 32019
C. 3
D.3
4. 下列因式分解中正确的是（ ）
A. 3xm 12xm1 xm (3 12x)
B. a b2 b a3 a b2 (1 b a)
C. 2x 2y 2y x2 x 2y2 2y x D. 8x2 y 4x 4xy2x 1