欧氏空间
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第八讲 欧氏空间
高等代数选讲
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
线性代数—3.4 欧氏空间
(3) [a b, c] [a, c] [b, c]; (4) [a, a] 0, 等号成立的充分必要条件是 a 0.
[a, a] a12 L an2 ❖ 向量的内积
设有 n 维向量 a (a1, , an), b (b1, , bnБайду номын сангаас, 记
[a, b] abT a1b1 L anbn 称 [a, b] 为向量 a 与 b 的内积. • 向量空间带有内积运算, 就称为欧氏空间.
因此 |[a,b]| || a || || b ||
1 a 1 || a ||
❖ 两向量的夹角 定义非零向量 a 与 b 的夹角为 arccos [a,b] || a || || b ||
规定零向量与任一向量成任意角. • 若 [a, b] 0, 则称向量 a 与 b 正交. • 范数为 1 的向量, 称单位向量.
提示: 对于立体向量 a, b,
[a,b] || a || || b || cos 其中 为向量 a 与 b 的夹角
ab b
a
• 非零向量 a 的单位化(或规范化)向量 ao 1 a || a ||
表示与 a 同向(即夹角为零)的单位向量.
例1 求与 a (1,1,1), b (1,-2,1)同时正交的单位向量.
❖ 向量的内积
设有 n 维向量 a (a1, , an), b (b1, , bn), 记
[a, b] abT a1b1 L anbn 称 [a, b] 为向量 a 与 b 的内积. • 向量空间带有内积运算, 就称为欧氏空间.
❖ 内积的性质
设 a, b, c 为 n 维向量, k 为实数, 则有下列性质: (1) [a, b] [b, a]; (2) [ka, b] k [a, b];
[a, a] a12 L an2 ❖ 向量的内积
设有 n 维向量 a (a1, , an), b (b1, , bnБайду номын сангаас, 记
[a, b] abT a1b1 L anbn 称 [a, b] 为向量 a 与 b 的内积. • 向量空间带有内积运算, 就称为欧氏空间.
因此 |[a,b]| || a || || b ||
1 a 1 || a ||
❖ 两向量的夹角 定义非零向量 a 与 b 的夹角为 arccos [a,b] || a || || b ||
规定零向量与任一向量成任意角. • 若 [a, b] 0, 则称向量 a 与 b 正交. • 范数为 1 的向量, 称单位向量.
提示: 对于立体向量 a, b,
[a,b] || a || || b || cos 其中 为向量 a 与 b 的夹角
ab b
a
• 非零向量 a 的单位化(或规范化)向量 ao 1 a || a ||
表示与 a 同向(即夹角为零)的单位向量.
例1 求与 a (1,1,1), b (1,-2,1)同时正交的单位向量.
❖ 向量的内积
设有 n 维向量 a (a1, , an), b (b1, , bn), 记
[a, b] abT a1b1 L anbn 称 [a, b] 为向量 a 与 b 的内积. • 向量空间带有内积运算, 就称为欧氏空间.
❖ 内积的性质
设 a, b, c 为 n 维向量, k 为实数, 则有下列性质: (1) [a, b] [b, a]; (2) [ka, b] k [a, b];
第二节 欧式空间的基本概念
α1 = (1 , 1 , 1)T , α2 = (1 , 0 , -1)T , α3 = (1 , -2 , 1)T ,
是一个正交向量组 ,请将该向量组化为正交单位向量组 .
解
ao = 1 a
|| a ||
1
=
1
|| 1
||1
=
1 (1,1,1)T = ( 1 ,
3
3
1, 3
1 )T . 3
2
=
1
证毕
, .
(3)三角不等式 ||α+β||||α||+||β||.
3 、向量的夹角
定义非零向量a与b的夹角φ为
= arccos a,b ,
|| a || || b ||
(0 )
规定: 零向量与任意向量成任意角.
• 若<a,b>=0, 则称向量a与b正交.
• 范数为 1 的向量称单位向量.
α = 0.
其中α,β和γ是V中任意向量, k是任意实数, 则称实数 <α,β>为α和β的内积, 称定义了内积的实线性空间V为 实内积空间或欧几里得空间, 简称为欧氏空间.
❖ 关于欧氏空间的两点说明
① 欧氏空间定义中的条件(1)-(4)称为内积公理,
其中的(2), (3)统称为内积的线性性质, 且可以写成
(1)与(2)的证明板书推导. 下面证明(3).
三角不等式的证明
|| ||2 = , =|| ||2 2 , || ||2
|| ||2 2 || || || || || ||2 = (|| || || ||)2
两边同时开方可得
||α+β||||α||+||β||, 故三角不等式成立.
欧氏空间
6．为了便于学生记忆,可将欧氏空间的基础性质作如下整理：设v是一个欧氏空间,α、β、γ∈V,k∈R,有：把"内积"的性质及向量的长度、夹角、距离得到的有关性质总结一起.
二． 内容及要求
1、 内容：内积、欧氏空间、向量的长度、向量间的夹角、距离的概念、性质.
2、 重点：内积、欧氏空间的定义.
2．正交基（或标准正交基）的求法的基础是建立在"任一线性无关组可得一正交组（从而得一标准正交组）"之上的,上述证明思想的分析过程可从含两个向量的向量组出发,一般地用归纳法,这样易于接受,从而自然得正交基（标准正交基）的求法.这是本节的难点及重点.施密特正交化公式麻烦.
3．子空间的正交补是子空间的一类特殊的余子空间,其结论上不同于一般向量空间的有限维子空间的余子空间存在不唯一；而正交补存在且唯一.而求正交补的思想同求余子空间类似,不同的在于选标准正交基.
一 教学思考
1．在欧氏空间中讨论线性变换,最主要的是讨论那些与内积有关的线性变换,以后两节即讨论这样两类线性变换.
2．从内容上看本节给出了正交变换的定义及等价叙述（分一般欧空上及有限欧空）,以及中正交变换的类型.从中建立了n 维欧氏空间中正交变换与n 阶正交矩阵的一一对应,此二者是同一事物的两种形式,可以相互借助一方讨论另一方,中的正交变换的形式及相应的矩阵的形式.另外n 维欧氏空间的正交变换是v的自同构映射,等结论.本节易理解不麻烦.
3．为更好的认识正交变换,可总结正交矩阵的若干性质.
Ⅱ）反过来：有了"内积"后,可用此表示行来年感的长度与夹角：.
③ 上述关系启发我们可以先定义"内积",然后利用"内积"定义向量的有关度量问题.
二． 内容及要求
1、 内容：内积、欧氏空间、向量的长度、向量间的夹角、距离的概念、性质.
2、 重点：内积、欧氏空间的定义.
2．正交基（或标准正交基）的求法的基础是建立在"任一线性无关组可得一正交组（从而得一标准正交组）"之上的,上述证明思想的分析过程可从含两个向量的向量组出发,一般地用归纳法,这样易于接受,从而自然得正交基（标准正交基）的求法.这是本节的难点及重点.施密特正交化公式麻烦.
3．子空间的正交补是子空间的一类特殊的余子空间,其结论上不同于一般向量空间的有限维子空间的余子空间存在不唯一；而正交补存在且唯一.而求正交补的思想同求余子空间类似,不同的在于选标准正交基.
一 教学思考
1．在欧氏空间中讨论线性变换,最主要的是讨论那些与内积有关的线性变换,以后两节即讨论这样两类线性变换.
2．从内容上看本节给出了正交变换的定义及等价叙述（分一般欧空上及有限欧空）,以及中正交变换的类型.从中建立了n 维欧氏空间中正交变换与n 阶正交矩阵的一一对应,此二者是同一事物的两种形式,可以相互借助一方讨论另一方,中的正交变换的形式及相应的矩阵的形式.另外n 维欧氏空间的正交变换是v的自同构映射,等结论.本节易理解不麻烦.
3．为更好的认识正交变换,可总结正交矩阵的若干性质.
Ⅱ）反过来：有了"内积"后,可用此表示行来年感的长度与夹角：.
③ 上述关系启发我们可以先定义"内积",然后利用"内积"定义向量的有关度量问题.
第八章 欧氏空间
例3 在R3中，向量 (1, 0, 0), (1, 1, 0) 求 , 的夹角。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
三、向量的正交
定义4 对欧氏空间V中的两个向量 , , 若内积 ( , ) 0, 则称
与 正交或垂直，记为：
注意： 零向量与任一向量正交。 例4 在R4中求一单位与下面三个向量
例1 设 (1 , 2 ), (1 , 2 ) 为二维实空间R2中的任意两个 向量，问：R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间？
(1) ( , ) 1 2 2 1
(2) ( , ) (1 2 )1 (1 2 2 ) 2
正交向量组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，则这样的向 量组称为标准正交向量组。 性质1 欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。 注： (1) 单个非零向量也称为一个正交向量组。 (2) 线性无关的向量组不一定是正交向量组。
欧氏空间
§2 标准正交基
定义2 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为 正交基，由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。 性质2 设 1 , 2 , , n 是n维欧氏空间V中的一组标准正交基，则
(3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0 时有 ( , ) 0 这里 , , 是V中任意的向量，k为实数，这样的线性空间V
称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
i 1 i 1 i 1 i 1n n n
n
(4) 一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为 单位矩阵。
欧氏空间
图形学欧氏空间具体概念
2. n 维欧氏空间 中的线性变换 σ 是正交变换 维欧氏空间V中的线性变换 交矩阵． 交矩阵．
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则
欧氏空间简介
批第八章欧氏空间本节恒设为实数域。
定义1 设是上的向量空间。
如果有一个规则，使得对于中任意向量都对应中唯一确定的数，将其记为，并且下述条件成立。
1234 若则称为向量与的内积。
而称为欧几里德空间，简称欧氏空间。
第五章所讨论的向量空间便是一个欧氏空间，因为那里的内积定义满足定义1中的所有条件，这是欧氏空间的一个典型代表。
又如，设是定义在闭区间上的所有连续函数所构成的上的向量空间，规定中任意二向量，对应则便成为一个欧氏空间。
这是因为对任意及实数，均有同时，若不是零函数，则故规定的对应是与的内积。
命题1 设为欧氏空间，则对任意及任意，恒有：(1)(2)(3)证明由定义1知而由知。
证毕。
由命题1，利用数学归纳法不难证明：对任意都有现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为定义2 非负实数称为向量长度，记为。
由定义1中的条件4知非零向量的长度恒为正实数。
而由命题1的（3）知零向量的长度为0。
除此之外，还有命题2 对任意实数及，有其中表的绝对值。
由此即知。
定理1 对欧氏空间中的任意二向量恒有而等号成立的充分必要条件是线性无关。
证明当线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设，于是由知当线性无关时，对任意负数均有，从而并即因此必有这也就是，所以这样，便证明了定理的前一结论，又因上面的两种情况分别说明了后一结论的充分性与必要性成立，故知定理得证。
定理2（三角不等式）对于欧氏空间中的任意向量均有证明由定理1得故把定理1 用于前面的具体例子，即可得到关于定积的一个重要的不等式由定理1知，在一般的欧氏空间中，对于任意非零向量，恒有因此有意义，而亦称为与的夹角。
特别地，当时，就是说正交。
显然，按此规定，零向量与任意向量均正交。
由此易知有下述二命题成立。
命题3 设是欧氏空间的一个向量，那么中所有与正交的向量构成的一个子空间。
称之为的正交子空间。
记为。
命题4 设是欧氏空间的一个子空间，那么，中所有与中每个向量均正交的向量构成的一个子空间。
欧氏空间
2
≤ α + 2 α ⋅ β + β = ( α + β )2
2 2
由于 α + β 与 α + β 此即三角不等式。
都是非负实数，故有
α+β ≤ α + β
第九章 欧几里得空间
(α , β ) 由于 ≤ 1, α⋅β
(α , β ) 有意义。 故 cos θ = α⋅β
定义3 设 α 与β 是欧氏空间V的两个非零向量，α 与β 的夹 (α , β ) , 0≤θ ≤π θ = arc cos 角规定为： α⋅β 例9.1.8 在欧氏空间 R 3 中，取向量 α = (1, 0, 0), β = (1,1, 0), 求 α 与β 的夹角。 解： 于是
(γ , γ ) = (α + t β , α + t β ) = (α , α ) + 2(α , β )t + ( β , β )t 2 ≥ 0 （9.1.4）
这是关于t的一个二次三项式，又 ( β , β ) > 0, 故 ∆ ≤ 0, 4(α , β )2 − 4(α , α )( β , β ) ≤ 0 (α , β )2 ≤ (α , α )( β , β ), 故有 (α , β ) ≤ α ⋅ β 因此 即
(α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ) 。 (α , k β ) = k (α , β ) 。
∀α 1 , α 2 , k1 , k2 ,
n m
,α n , β1 , β 2 , , kn , l1 , l2 ,
n m
, β n ∈V
, ln ∈ R,
则有
( ∑ kiα i , ∑ li β i ) = ∑ ∑ ki li (α i , β j ) 。
≤ α + 2 α ⋅ β + β = ( α + β )2
2 2
由于 α + β 与 α + β 此即三角不等式。
都是非负实数，故有
α+β ≤ α + β
第九章 欧几里得空间
(α , β ) 由于 ≤ 1, α⋅β
(α , β ) 有意义。 故 cos θ = α⋅β
定义3 设 α 与β 是欧氏空间V的两个非零向量，α 与β 的夹 (α , β ) , 0≤θ ≤π θ = arc cos 角规定为： α⋅β 例9.1.8 在欧氏空间 R 3 中，取向量 α = (1, 0, 0), β = (1,1, 0), 求 α 与β 的夹角。 解： 于是
(γ , γ ) = (α + t β , α + t β ) = (α , α ) + 2(α , β )t + ( β , β )t 2 ≥ 0 （9.1.4）
这是关于t的一个二次三项式，又 ( β , β ) > 0, 故 ∆ ≤ 0, 4(α , β )2 − 4(α , α )( β , β ) ≤ 0 (α , β )2 ≤ (α , α )( β , β ), 故有 (α , β ) ≤ α ⋅ β 因此 即
(α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ) 。 (α , k β ) = k (α , β ) 。
∀α 1 , α 2 , k1 , k2 ,
n m
,α n , β1 , β 2 , , kn , l1 , l2 ,
n m
, β n ∈V
, ln ∈ R,
则有
( ∑ kiα i , ∑ li β i ) = ∑ ∑ ki li (α i , β j ) 。
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i , i1 ) (i1, i1 )
i 1
(i=1,2,…,m)
1, 2, …, m 是一组正交组。
2. 单位化
取
1
|
1
1
|
1,
2
|
1
2
|
2
,
,
m
|
1
m
|
m.
则 1, 2 , …, m 是一组正交的单位向量组。
—— 以上方法称为施密特(schmidt)正交化方法
它包括正交化和单位化两个过程。
二、向量的长度与夹角
定义2 设 n 维向量=(a1,a2,…,an).称
| | (,) a12 a22 an2 .
为向量 的模(或长度). 特别：| | = 1的向量 称为单位向量， 当 0时，| | 为一单位向量称为 的单位化。
长度的性质:
,,Rn,R,则 (1) 非负性 || 0,若||=0 = 0; (2) 正齐次性 ||=||·||;
n
n
证: (, j ) ( xii , j ) xi (i , j )
设1,2,…,m是一组线性无关的向量，利
用这组向量可构造出正交向量组。
1. 正交化
(1) 令1=1；
(2) 求2=211使
0=(2,1)=(211, 1 )
= (2, 1)1 (1, 1) .
得1=(2,1)/(1,1),
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1;
(3) 求3=31122, 使
0=(3, 1)=(311=(23,2,1)1)1(1, 1)+2(2, 1)
注：定义了内积的 n 维向量空 间Rn称为 n 维 欧氏空间(Euclid Space)，仍记为 Rn.
性质 (1) 交换律
(,)=(,);
(2) 分配律 (, )=(,)(,);
(3) 内积满足如下结合律:
(,)=(,)=(,); R
(2)与(3)等价于
(+,)= (,) (,); 、R (4) 非负性 (,)0, 且(,)=0 =0.
个向量1, 2, …, n 是两两正交的单位向量，即
1.i=j
(i,j)=
0.ij
则称该基为标准正交基。
例如： Rn中， e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),… en=(0,0,…,1)
就是一个标准正交基。
例3
证明
1 (
1, 2
1 2
,0,0), 2
(
1 , 2
1 ,0,0), 2
特别:
, arccos
(, )
.
| || |
当(,)=0时，称与 垂直(正交)
记为 .
定理2 (勾股定理)
设1,2,…,k为欧氏空间Rn中两两正交的向
量，即(i ,j )=0,ij，则
|1+2+…+k|2=|1|2+|2|2+…+|k|2
证: |1+2+…+k|2
= (1+2+…+k ,1+2+…+k)
0=(3, 2) = (31122, 2)
=(3,2)1(1, 2)2 (2, 2)
得
1
(3 , 1 ) (1, 1)
,
2
(3 , 2 ) (2, 2)
3
3
(3 , 1 ) (1, 1)
1
(3 , 2 ) (2, 2)
2
(4) 类似地，得：
i
i
(i , (1,
1 1
) )
1
( (
i, 2,
2 2
故 , arccos 18 arccos 2 .
3 26
24
三、标准正交基
1、正交向量组
定义4
若(a,b)=0，则称a与b是正交的，记
作 ab。
注：零向量与任何向量正交。
定义5
在欧氏空间中，一组两两正交的向量 组称为正交向量组。
定理4 非零的正交组是线性无关的。
证：设1,2,…,m是一组非零正交组，并设
k
k
kk
k
( i , j )
(i , j ) (i ,i )
i 1
j 1
i1 j1
i 1
=|1|2+|2|2+…+|k|2
例1 已知=(1,2,2,3),=(3,1,5,1),求与 的长度及它们的夹角<,>. 解： || || (,) 3 2,
|| || (, ) 6
而 (, )=18
3 (0,0,
1, 2
1 2
),
4
(0,0,
1 , 2
1) 2
为 R4 的标准正交基.
证:
(i , i )
(
1 )2 ( 2
1 )2 1,
2
即|i|=1,i=1,2,3,4
且
(1, 2 )
1 1 ( 1 ) ( 1 ) 0，
22 2
2
(1, 3 ) (1, 4 ) 0, (2 , 3 ) (2 , 4 ) 0，
k11+ k22 +…+kmm= 0
用 1 与等式两边作内积，得
0=(0,1)=k1(1,1)+k2(2,1)+…+ki(i,1)+… +km(m,1)
得 k1=0,
类似地：用i ( i=2,3,…, m)与等式两边作内积， 得ki=0, (i=2,3,…,m),故1,2,…,m线性无关。
2、施密特(Schmidt)正交化
(3 , 4 ) 0. 故1, 2, 3, 4为R4的标准正交基.
注：利用施密特正交化方法，可从欧氏 空间的任一个基出发，找到一个标准正交基。
定理5 若n维向量1,2,…,n 是一组标准正 交基.则n维向量=(x1,x2,…,xn)在
基1,2,…,n下的第j个分量为:
x j (, j ), j 1，2， , n.
(3) 三角不等式 ||||||.
定理 1 (Chauchy-Schwarz不等式)
| (, ) | | || |
| (, ) | | || |
向量 和 线性相关.
重要不等式
n
n
n
| aibi |
ai 2
bi 2 .
i 1
i 1
i 1
定义 3
设,为Rn中两个向量，定义与的夹角为
例2 将线性无关组1=(2,0),2=(1,1)化
成正交的单位向量组
解： (1) 正交化
令 1=1=(2,0)
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
(1,1) 2 (2, 0) (0,1) 4
(2) 单位化
1
|
1
1
|
1
(1, 0),
2 2 (0,1),
则1, 2是一组正交的单位向量组。
3、标准正交基 定义6 在 n 维欧氏空间 V 中若一个基的 n
§4 欧氏空间
在 Rn 中引进内积运算，建立 n 维欧氏空间概念 n 维向量的长度
n 维向量间的夹角 n 维向量间的关系
一、向量的内积 定义1 设 n 维向量
=(x1, x2 …, xn), =(y1, y2…, yn).
定义数：x1 y1+x2 y2+…+ xn yn
为向量 与 的内积，记为 ( , ). 即( , ) = x1 y1+x2 y2+…+xn yn.
i 1
(i=1,2,…,m)
1, 2, …, m 是一组正交组。
2. 单位化
取
1
|
1
1
|
1,
2
|
1
2
|
2
,
,
m
|
1
m
|
m.
则 1, 2 , …, m 是一组正交的单位向量组。
—— 以上方法称为施密特(schmidt)正交化方法
它包括正交化和单位化两个过程。
二、向量的长度与夹角
定义2 设 n 维向量=(a1,a2,…,an).称
| | (,) a12 a22 an2 .
为向量 的模(或长度). 特别：| | = 1的向量 称为单位向量， 当 0时，| | 为一单位向量称为 的单位化。
长度的性质:
,,Rn,R,则 (1) 非负性 || 0,若||=0 = 0; (2) 正齐次性 ||=||·||;
n
n
证: (, j ) ( xii , j ) xi (i , j )
设1,2,…,m是一组线性无关的向量，利
用这组向量可构造出正交向量组。
1. 正交化
(1) 令1=1；
(2) 求2=211使
0=(2,1)=(211, 1 )
= (2, 1)1 (1, 1) .
得1=(2,1)/(1,1),
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1;
(3) 求3=31122, 使
0=(3, 1)=(311=(23,2,1)1)1(1, 1)+2(2, 1)
注：定义了内积的 n 维向量空 间Rn称为 n 维 欧氏空间(Euclid Space)，仍记为 Rn.
性质 (1) 交换律
(,)=(,);
(2) 分配律 (, )=(,)(,);
(3) 内积满足如下结合律:
(,)=(,)=(,); R
(2)与(3)等价于
(+,)= (,) (,); 、R (4) 非负性 (,)0, 且(,)=0 =0.
个向量1, 2, …, n 是两两正交的单位向量，即
1.i=j
(i,j)=
0.ij
则称该基为标准正交基。
例如： Rn中， e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),… en=(0,0,…,1)
就是一个标准正交基。
例3
证明
1 (
1, 2
1 2
,0,0), 2
(
1 , 2
1 ,0,0), 2
特别:
, arccos
(, )
.
| || |
当(,)=0时，称与 垂直(正交)
记为 .
定理2 (勾股定理)
设1,2,…,k为欧氏空间Rn中两两正交的向
量，即(i ,j )=0,ij，则
|1+2+…+k|2=|1|2+|2|2+…+|k|2
证: |1+2+…+k|2
= (1+2+…+k ,1+2+…+k)
0=(3, 2) = (31122, 2)
=(3,2)1(1, 2)2 (2, 2)
得
1
(3 , 1 ) (1, 1)
,
2
(3 , 2 ) (2, 2)
3
3
(3 , 1 ) (1, 1)
1
(3 , 2 ) (2, 2)
2
(4) 类似地，得：
i
i
(i , (1,
1 1
) )
1
( (
i, 2,
2 2
故 , arccos 18 arccos 2 .
3 26
24
三、标准正交基
1、正交向量组
定义4
若(a,b)=0，则称a与b是正交的，记
作 ab。
注：零向量与任何向量正交。
定义5
在欧氏空间中，一组两两正交的向量 组称为正交向量组。
定理4 非零的正交组是线性无关的。
证：设1,2,…,m是一组非零正交组，并设
k
k
kk
k
( i , j )
(i , j ) (i ,i )
i 1
j 1
i1 j1
i 1
=|1|2+|2|2+…+|k|2
例1 已知=(1,2,2,3),=(3,1,5,1),求与 的长度及它们的夹角<,>. 解： || || (,) 3 2,
|| || (, ) 6
而 (, )=18
3 (0,0,
1, 2
1 2
),
4
(0,0,
1 , 2
1) 2
为 R4 的标准正交基.
证:
(i , i )
(
1 )2 ( 2
1 )2 1,
2
即|i|=1,i=1,2,3,4
且
(1, 2 )
1 1 ( 1 ) ( 1 ) 0，
22 2
2
(1, 3 ) (1, 4 ) 0, (2 , 3 ) (2 , 4 ) 0，
k11+ k22 +…+kmm= 0
用 1 与等式两边作内积，得
0=(0,1)=k1(1,1)+k2(2,1)+…+ki(i,1)+… +km(m,1)
得 k1=0,
类似地：用i ( i=2,3,…, m)与等式两边作内积， 得ki=0, (i=2,3,…,m),故1,2,…,m线性无关。
2、施密特(Schmidt)正交化
(3 , 4 ) 0. 故1, 2, 3, 4为R4的标准正交基.
注：利用施密特正交化方法，可从欧氏 空间的任一个基出发，找到一个标准正交基。
定理5 若n维向量1,2,…,n 是一组标准正 交基.则n维向量=(x1,x2,…,xn)在
基1,2,…,n下的第j个分量为:
x j (, j ), j 1，2， , n.
(3) 三角不等式 ||||||.
定理 1 (Chauchy-Schwarz不等式)
| (, ) | | || |
| (, ) | | || |
向量 和 线性相关.
重要不等式
n
n
n
| aibi |
ai 2
bi 2 .
i 1
i 1
i 1
定义 3
设,为Rn中两个向量，定义与的夹角为
例2 将线性无关组1=(2,0),2=(1,1)化
成正交的单位向量组
解： (1) 正交化
令 1=1=(2,0)
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
(1,1) 2 (2, 0) (0,1) 4
(2) 单位化
1
|
1
1
|
1
(1, 0),
2 2 (0,1),
则1, 2是一组正交的单位向量组。
3、标准正交基 定义6 在 n 维欧氏空间 V 中若一个基的 n
§4 欧氏空间
在 Rn 中引进内积运算，建立 n 维欧氏空间概念 n 维向量的长度
n 维向量间的夹角 n 维向量间的关系
一、向量的内积 定义1 设 n 维向量
=(x1, x2 …, xn), =(y1, y2…, yn).
定义数：x1 y1+x2 y2+…+ xn yn
为向量 与 的内积，记为 ( , ). 即( , ) = x1 y1+x2 y2+…+xn yn.