7. 第七讲 欧氏空间
欧氏空间
(1) [ x , y ] = [ y , x ]; ( 2) [λ x , y ] = λ [ x , y ];
( 3) [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ];
(4) [ x , x ] ≥ 0, 且当 x ≠ 0时, 有 [ x , x ] > 0.
二、向量的长度及性质 定义
α T α1 α T α 2 L α T α n 1 1 1 1 T T T α 2 α1 α 2 α 2 L α 2 α n 0 ⇔ =M M M M Tα T T α2 L α n αn 0 α n 1 α n
⇔ αT α j i 1, 当 i = j = δ ij = 0, 当 i ≠ j
[β1,α2] β2 = α2 − β1 [β1, β1]
已正交, 我们求得 β1 , β 2 已正交 再来求 β 3
β 3 = α 3 − λ1β1 − λ2 β 2 (1)
β3 α3 λ2 β 2 λ1β1 β1
(1)式两边与 β1 内积 注意 式两边与 内积,
[β1 , β 2 ] = [ β1 , β 3 ] = 0
x ⋅ y =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx y cos( x , y )
建立标准的直角坐标系后, 建立标准的直角坐标系后 可用向量的坐标来计算内积 设 x = ( x1 , x2 , x3 )T , y = ( y1 , y2 , y3 )T 则
x ⋅ y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
一、内积的定义及性质 定义 设有 n 维向量
x = [ x, x] =
2 2 2 x1 + x2 + L + xn ,
欧氏空间
1 0
5 3 1 0 15
《线性代数与解析几何》 第四章 n维向量
第十七讲
4.5 欧氏空间
(几何空间的推广)
本节在实数域内讨论问题
16
本节主要内容
1. 欧氏空间的概念 2. 规范正交基 3.Schmidt正交化 4. 正交矩阵
17
引言
空间的推广： 几何空间R3 n维实向量空间Rn
度量性质的推广: R3中: 长度夹角内积 Rn中: 内积长度夹角
( )2
+ .
24
3.夹角: 设 ∈, Rn 0, 0
称 arc cos ( , ) , 0
为 与 的夹角. 4.正交: 当(,)=0 时,称 与 正交.
记为⊥ .
因为零向量与任何向量的内积为零.
规定: ∈Rn,必有 0⊥ .
25
4.5.2 规范正交基(自然基的推广)
1.正交向量组:两两正交的非零实向量构 成的向量组称为正交向量组.
正交向量组有一个非常重要的性质.
26
2.正交向量组 线性无关
证 设,2,,m是正交向量组, 若 k1+k22++kmm= 0 两边同i 作内积 (k1++kmm , i ) = 0 即 k1(,i )+k2(2, i )++km(m, i ) = 0 当ij 时(i ,j ) = , 有 ki (i ,i ) = 0 又i 0, 则(i ,i ),从而ki , i =1,2,,m 故 ,2,,m 线性无关.
(, ) a12 a22 L an2
单位向量:长度为1的向量.
20
要推广几何空间中向量夹角的概念, 必须先证明下面著名的不等式.
第七章欧氏几何的公理体系简介
第七章欧氏几何的公理体系简介§7.1欧氏几何的公理体系简介一、希尔伯特的公理体系简介1、原始概念点、直线、平面是几何研究的基本对象，属于不加定义的基本元素；“在……上”（属于、通过都是它的同义语）、“在……之间”、：“合同”及“连续”等是不加定义的原始概念。
2、欧氏公理公理Ⅰ结合公理（共八条）Ⅰ：至少有一条直线通过已知的两点；1Ⅰ：至多有一条直线通过已知的两点；2这两条公理的二个直接推论是：推论1o：两个不同的点确定唯一直线；推论2o：两条不同的直线至多只有一个交点。
由于这两条推论的表述比较直接，因此通常用作中学教材的公理。
Ⅰ：一条直线上至少有两个点；至少有三点不在同一条直线上；3Ⅰ：至少有一个平面通过已知不共线的三点。
每个平面上至少4有一个点；5Ⅰ：至多有一个平面通过已知不共线的三点。
公理4Ⅰ和公理5Ⅰ也有一条直接推论： 推论：不共线的三点确定唯一平面。
这条推论通常作为中学立体几何教材的第一条公理。
6Ⅰ：如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线上所有点都在这个平面上；7Ⅰ：如果两个平面有一个公共点，那么至少还有另外一个公共点；8Ⅰ：至少存在四个点不在同一个平面上。
在八条结合公理中，如果只是建立平面几何，可以去掉后面的五条。
公理Ⅱ 顺序公理（共四条）1Ⅱ：如果B 介于点A 和点C 之间，则A 、B 、C 是一条直线上的三个不同点，并且B 也介于C 、A 之间。
2Ⅱ：对于任意两点A 、B ，直线AB 上至少有一点C ，使B 介于A 、C 之间；3Ⅱ：一条直线上的任意三点，至多有一点介于其余两点之间；4Ⅱ：（巴士公理）设A 、B 、C 是不共线的三点，直线a 在平面ABC 内，但不过A 、B 、C 中任何一点，如果a 上有一点介于A 、B 之间，那么a 上也必有另一点介于A 、C 或B 、C 之间；顺序公理用来规定直线上点的相互关系。
公理Ⅲ 合同公理（共五条）1Ⅲ：设AB 是给定线段，X A ''是从A '点出发的射线，则在X A ''上有且仅有一点B '，使得AB B A =''，对于每条线段AB ，都有BA AB =。
图形学欧氏空间具体概念
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则
欧氏空间复习
欧氏空间复习 一、欧氏空间定义如果V 是实数域R 上维线性空间，而且存在V 上二元实函数(,)满足： 1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)k l k l αβγαγβγ+=+3）(,)0αα≥，而且等于0的充分必要条件是0α=其中,,,,V k l R αβγ∈∈。
则称V 为具有内积(,)的欧氏空间，简称为欧氏空间。
我们有： ●(,0)0α=●1111(,)(,)rsrsi i j j i ji j i j i j k l k lαβαβ=====∑∑∑∑● 2(,)(,)(,)αβααββ≤（可以用其定义角度，证明一些不等式）如果设12,,,n εεε 为V 基，则定义(,)i j n n A εε⨯⎡⎤=⎣⎦，称其为基12,,,n εεε 的度量矩同样我们有：● 基的度量矩阵正定；● 不同基的度量矩阵合同（由此可以证明标准正交基的存在性） ●如果设1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε== ，则有：(,)T X AY αβ=二、标准正交基和正交补欧氏空间V 的基12,,,n εεε 称为标准正交基，如果有(,)i j ij εεδ=。
标准正交基的存在性一可以通过基的度量矩阵为正定矩阵及其正定矩阵和单位矩阵合同的性质证明。
其次可以通过施密特正交化方法证明。
我们有： ●n 维列向量12,,,n ααα 为n R 标准正交基的充分必要条件是矩阵12[,,,]n A ααα= 满足T A A E =，换句话说A 是正交矩阵。
注意一个正交矩阵决定两组正交基，一个是正交矩阵的列向量组，另外一个是正交矩阵的行向量组。
● 标准正交基的过度矩阵是正交阵。
●根据施密特正交化我们可以推出，对任意实可逆矩阵A 存在正交矩阵U 和上（或者下）三角矩阵T 使得A TU =或者A U T =。
●如果12,,,n εεε 为欧氏空间V 的标准正交基，而且：1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε==则有(,)T X Y αβ=。
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
定义与基本性质欧氏空间
欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。
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特别地，当 x 1 时，称 x 为单位向量.
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3. 向量长度的简单性质
1) 2) x 0; x 0 x0
kx k x
1 x. 3）非零向量 x 的单位化： x
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18
4.欧氏空间中向量的夹角
（1） 引入夹角概念的可能性与困难
3 R 1）在 中向量 x 与 y 的夹角
a a
b
b
(2)
( k f , g ) k f ( x ) g ( x ) dx k f ( x ) g ( x ) dx
a a
b
b
k( f , g )
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(3)
( f g , h)
f ( x ) g ( x ) h( x ) dx a
则称 ( x , y )为 x 和 y 的内积，并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.
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注： 欧氏空间 V是特殊的线性空间
① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ ( x , y ) R.
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4
（ 1）
( x, y) ( x, y)2 ( x , x ) 2( x , y ) ( y, y ) 0 2 ( y, y ) ( y, y )
即
( x , y ) 2 ( x , x )( y, y )
两边开方，即得
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x, y
x y.
21
当 x、y 线性相关时，不妨设
设 则
C cij
n
n n
C1 , C 2 , , C n ,
yi cki xk , i 1,2,, n
k 1
14
2014/12/16
于是
n k 1 n l 1
( yi , y j ) ( cki xk , clj xl ) ( xk , xl ) cki clj
也即 x、y 线性相关.
2014/12/16 22
3. 柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用 柯西
1）
a1b1 a2b2 anbn
a a a
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2
不等式
b b b
b
2 n
施瓦兹 不等式
ai , bi R, i 1, 2, , n.
证：当 y 0 时， ( x , 0) 0,
y 0
( x , y ) x y 0.
当 y 0 时，作向量
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结论成立.
z x ty, tR
20
由内积的正定性，对 t R，皆有
( z , z ) ( x ty, x ty )
( x , x ) 2( x , y ) t ( y, y ) t 2 0 ( x, y) 取 t 代入（1）式，得 ( y, y )
从而 ( f , f ) 0.
( f , f ) 0 f ( x ) 0.
因此，( f , g ) 为内积， C[a, b] 为欧氏空间.
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2. 内积的简单性质
V为欧氏空间， x , y, z V , k R
1) ( x , ky ) k ( x , y ),
( x , y ) ( i xi , j x j ) i j ( xi , x j )
i 1 j 1
（ 4）
令
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aij ( xi , x j ), i , j 1, 2, n.
11
A aij
nn
,
1 1 2 2 X , Y n n
b b a a
b
f ( x )h( x ) dx g ( x )h( x ) dx
( f , h) ( g , h)
b
(4) ( f , f ) f 2 ( x ) dx
a
f ( x ) 0,
2
( f , f ) 0.
2 f ( x ) 0, 则
且若 f ( x ) 0, 故
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10
3. n 维欧氏空间中内积的矩阵表示
x1 , x2 , , xn为V的一组基，对V中 设V为欧氏空间，
任意两个向量
x 1 x1 2 x2 n xn y 1 x1 2 x2 n xn
n i 1 n j 1 n n
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( x1 , xn ) ( x2 , xn ) ( xn , xn )
12
注：
① 度量矩阵A是实对称矩阵. ② 由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵.
1 2 x V , x 0 事实上，对 ，即 X 0 n 有 ( x , x ) X AX 0
x ky
2
于是， ( x , y ) ( ky, y ) k ( y, y ) k y .
x y ky y k y
2
( x, y) x y .
(**)式等号成立.
反之，若（**）式等号成立，由以上证明过程知 或者 y 0 ，或者
x, y x y0 y, y
n
（ 5）
n
则
( x , y ) aij i j X AY
i 1 j 1
（ 6）
( x1 , x1 ) ( x1 , x2 ) ( x2 , x1 ) x2 , x2 定义：矩阵 A (x , x ) (x , x ) n 2 n 1
称为基 x1 , x2 ,, xn 的度量矩阵.
当 n 3 时，1）即为几何空间 R 3 中内积在直角
坐标系下的表达式 .
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( x, y)即 x y .
5
2）定义 ( x , y ) a1b1 2a2 b2 kak bk nan bn 易证 ( x , y ) 满足定义中的性质(1)～(4). 所以 ( x , y ) 也为内积. 从而 R n 对于内积 ( x , y ) 也构成一个欧氏空间.
矩阵分析与应用
第七讲 欧氏空间、酉空间 信息与通信工程学中，向量之间的基本运算为线性运算， 其具体模型为几何空间 R 2、 R 3 , 但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 都可以通过内积反映出来：
长度：
x
x x
x y 夹角 x , y ： cos x , y x y
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.
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定义： 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意 两个向量 x y,定义一个二元实函数，记 ( x , y ) ，
( x , y ) 满足性质： x , y, z V , k R
例1．在 R n 中，对于向量
x a1 , a2 , , an ,
1）定义
y b1 , b2 , , bn
（ 1）
( x , y ) a1b1 a2 b2 an bn
易证 ( x , y ) 满足定义中的性质 (1)～(4). 所以, ( x , y ) 为内积. 这样 R n 对于内积 ( x , y ) 就成为一个欧氏空间.
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16
3. 欧氏空间中向量的长度
(1) 引入长度概念的可能性 1）在 R 向量 x 的长度（模） x x x . 2) 欧氏空间V中，x V , ( x , x ) 0 使得
3
x x 有意义.
2. 向量长度的定义
x V , x ( x , x ) 称为向量 x 的长度（模）.
kx, ky k 2 ( x , y)
2) (0, y ) ( x , 0) 0 3) ( x , y z ) ( x , y ) ( x , z )
n n n 推广： i xi , j y j i j ( xi , y j ) i 1 i 1 i , j 1
2）定义 ( A, B ) aij bij tr ( ABT )
i 1 j 1
（ 2）
易证 ( A, B ) 满足定义中的性质 (1)～(4). 所以, ( A, B ) 为内积. 这样 R mn 对于内积 ( A, B ) 就成为一个欧氏空间.
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7
例3． C[a, b] 为闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数
x y x , y arc cos x y
（ *）
2）在一般欧氏空间中推广（*）的形式，首先 应证明不等式： 此即,
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( x, y) 1 x y
2. 柯西－布涅柯夫斯基不等式
对欧氏空间V中任意两个向量 x、y ，有 ( x, y) x y 当且仅当 x、y 线性相关时等号成立. （**）
k 1 l 1
n
n
n
n
akl cki clj C AC i j
k 1 l 1
B ( yi , y j ) C iAC j
C1 C2 A C1 , C 2 ,, C n C AC C n
y y1 , y2 ,, yn Y2 x1 , x2 ,, xn CY2