反三角函数和最简单的三角方程测试题
反三角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1反三角函数的概念和性质．一．基础知识自测题：1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1]，值域是.2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是[0, π] .3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是.4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是(0, π) .5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝.8．若sin x＝－, x∈(－, 0)，则x＝.9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝.二．基本要求：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1],arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。
反三角函数练习
)=
5 )]=4
3
5 4
(D)arctg(-2)=arcctg(4
)=cos(arccos
)
4
)
1 2
例10．函数f(x)=arcsin(tgx)的定义域 （ ） （A）- 4 ≤x≤ 4 (B)kπ- 4 ≤X≤kπ+ 4 (K∈Z) (C)kπ+ 4 ≤x≤(k+1)π- 4（K∈Z） (D)2kπ- 4 ≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z) 例11．在[-1, 数是 ( )
3 2
]上和函数y=x相同的函
(B)y=arcsin(sinx) (D)y=cos(arccosx)
(A)y=arccos(cosx) (C) y=sin(arcsinx)
例12. 计算cos[arccos(- )+arcsin(1 1 例13．求值：arctg 2 +arctg 3
3 5
5 13
5
例6．研究函数y= arccos (x-x2)的定义域、 值域及单调性。 例7．作函数y=arcsin(sinx)，x∈[-π，π] 的图象，并判断它的奇偶性及单调区间。 例8．计算： cos[arccos -arccos ()]
4 5
5 13
二.反三角形函数的运算
例9.下列关系式中正确的是 (A)arcos[cos((B)sin(arcsin (C)arccos(cos
)]
例14．求值：tg (arcsin ) 例15．证明arctg1+arctg2+arctg3=π1 23 563 -arccos 65
例16．函数y=arccos
(A)[0, ] (B)(0, 2
反三角函数的综合应用题
反三角函数的综合应用题反三角函数是高中数学中的一个非常重要的概念，它可以解决很多复杂的问题。
在本文中，我将介绍一些反三角函数的综合应用题，希望能对广大学生有所帮助。
1. 求解三角方程三角方程是基于三角函数和角度的方程。
求解三角方程需要利用反三角函数。
下面是一个例子：cos(x) = 1/2我们可以用反余弦函数来求解这个方程。
x = arccos(1/2) = π/3 或5π/3因为余弦函数的周期是2π，所以我们可以将答案写成：x = π/3 + 2πk 或5π/3 + 2πk其中k是任意整数。
2. 求解三角形的边长和角度有时候我们需要求解一个三角形的边长和角度，但是我们只知道其中一些角度和边长的关系。
下面是一个例子：已知一个直角三角形，其中一条腰的长度是3，斜边与另一条腰的夹角是60度，求斜边和另一条腰的长度。
我们可以用反正弦函数和反余弦函数来求解这个问题。
从图中可以看出sin(60) = 1/2，因此另一条腰的长度是3/2。
对于斜边的长度，我们可以用反正弦函数来求解：sin(θ) = 3/2 / cθ = arcsin(3/2 / c)c = 2 / sin(arcsin(3/2 / c))c = 2 / sin(θ)由于这是一个直角三角形，因此我们可以用勾股定理来求解：c^2 = a^2 + b^2c^2 = 9/4 + b^2b^2 = c^2 - 9/4b = √(c^2 - 9/4)因此，斜边的长度是√(4 - 9/4) = √7/2。
3. 求解三角函数的反函数三角函数的反函数是反三角函数。
它可以用来求解一些特殊的三角函数值。
下面是一个例子：求x，在0到π/2的范围内，使得cos(arcsec(x)) = 1/2我们可以用反正割函数来求解这个问题。
cos(arcsec(x)) = 1/2sec(arcsec(x)) = 2x = sec(arccos(2))x = 1/2因此，当x = 1/2时，cos(arcsec(x))等于1/2。
高考中的反三角函数与简单三角方程
高考中的反三角函数与简单三角方程一、选择题1. (86(10)3分)当x ∈[－1，0]时，在下面的关系式中正确的是A.π－arccos(－x)＝arcsin 21x -B.π－arcsin(－x)＝arccos 21x -C.π－arccosx ＝arcsin 21x -D.π－arcsinx ＝arccos 21x -2. (87(8)3分)函数y ＝arccos(cosx) (x ∈[－2,2ππ])的图象是3. (88(7)3分)方程4cos2x －43cosx ＋3＝0的解集是A.{x|x ＝k π＋(－1)6πk ，k ∈Z}B.{x|x ＝k π＋(－1)3πk ，k ∈Z} C.{x|x ＝k π±6π，k ∈Z} D.{x|x ＝k π±3π，k ∈Z} 4. (88(10)3分)tg[arctg 51＋arctg3]的值等于 A.4 B.41 C.81 D.8 5. (89(4)3分)cos[arcsin(－54)－arccos(－53)]的值等于 A.－1 B.－257 C.257 D.－5106. (89上海)函数y ＝arccos x1的值域是 A.[0，2π) B.(0，2π] C.[0，π) D.(0，π] 7. (89上海)下面四个函数中为奇函数的是 A.y ＝x 2sin(x ＋2π) B.y ＝x 2cos(x ＋4π) C.y ＝cos(arcctgx) D.y ＝arcctg(sinx)8. (90(4)3分)方程sin2x ＝sinx 在区间(0，2π)内的解的个数是A.1B.2C.3D.49. (90(15)3分)设函数y ＝arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ，又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是A.y ＝－arctg(x －2)B.y ＝arctg(x －2)C.y ＝－arctg(x ＋2)D.y ＝arctg(x ＋2)10.(90上海)下列函数中在定义域内不具有单调性的函数是A.y ＝ctg(arccosx)B.tg(arcsinx)C.sin(arctgx)D.cos(arctgx)11.(90广东)已知函数①y ＝arctgx ；②y ＝2π－arcctgx ，那么 A.①和②都是奇函数 B.①和②都是偶函数C.①是奇函数，②是偶函数D.①和②都既不是奇函数，也不是偶函数12.(91上海)下列四个式子中，正确的是 A.sin(arccos 32)＞sin(arccos 31) B.tg(arccos 32)＞tg(arccos 31) C.sin[arccos(－32)]＞sin[arccos(－31)] D.tg[arccos(－32)]＞tg[arccos(－31)] 13.(92(4)3分)方程sin4xcos5x ＝－cos4xsin5x 的一个解是A.10oB.20oC.50oD.70o14.若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx ≥a 的x 的取值范围是(92(12)3分)A.[0，arcsina]B.[arcsina ，π－arcsina]C.[π－arcsina ，π]D.[arcsina ，2π＋arcsina] 15.(92上海)函数y ＝arccos 的值域是A.[0，2π]B.(0，2π) C.[0，π] D.(0，π) 16. (94(14)5分)函数y ＝arccos(sinx)(－323ππ<<x )的值域是 A.(65,6ππ) B.[0，65π] C.(32,3ππ) D.[32,6ππ]17. (95(7)4分)使arcsinx ＞arccosx 成立的x 的取值范围是A.(0，22]B.(22，1]C.[－1，22) D.[－1，0) 18. (95上海)方程tg(2x ＋33)3=π在区间[0，2π)上解的个数是 A.5 B.4 C.3 D.219. 96(8)4分)0＜α＜2π，arcsin[cos(2π＋α)]＋arccos[sin(π＋α)]等于A.2π B.－2π C.2π－2α D.－2π－2α 20. (97(6)4分)满足arccos(1－x)≥arccosx 的x 的取值范围是A.[－1，－21]B.[－21，0]C.[0，21]D.[21，1] 21. (98(14)5分)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 A.arccos 215- B.arcsin 215- C.arccos 251- D.arcsin 251- 22. (2000上海(16)4分)下列命题中正确的是 A.若点P(a ，2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα＝552； B.同时满足sinα＝21，cosα＝23的角α有且只有一个； C.当|a|＜1时，tg(arcsina)的值恒正；D.三角方程tg(x ＋3)3π=的解集为{x|x ＝kπ，k∈Z}.二、填空题1. (85(6)4分)方程2sin(x ＋6π)＝1的解集是__________________. 2. (85(7)4分)设|a|≤1，那么arccosa ＋arccos(－a)等于_________. 3. (89(13)4分)方程sinx －3cosx ＝2的解集是__________________.4. (90上海)函数y ＝arcsinx(x ∈[－1，1])的反函数是_______________.5. (91(16)3分)arctg 31＋arctg 21的值是_________. 6. (93上海)函数y ＝arccosx(－1≤x ≤0)的反函数是_______________.7. (94上海)计算sin(21arccos 81)＝____________ 三、解答题(无)。
10309反三角函数与三角方程(答案)
第九讲：反三角函数与三角方程原函数和反函数关于y=x 对称三角函数选特定区间也能找到反函数[]:arcsin :1,1;:,;:;:.22y x ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦什么样的函数具有反函数呢？答：定义域与值域之间存在一对一的关系的函数。
1、反三角函数定义域值域奇偶性奇函数单调性增函数arcsin [1,1]y x x =∈-单调性的描述要注意：应该描述成在上单调递增。
[][][]()()arccos :1,1;:0,;:;:.121101023223arcta y x y x y ππππππ=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==定义域值域奇偶性非奇非偶单调性减函数注意：这是0,上的反函数，我们把它定为标准区间。
那么其它区间的反函数怎么表示呢？解题思路：非标准区间要转化成标准区间来解画出反余弦函数图像的方法：（1）描点法：，，，，，，，，，；（2）利用反函数图像与原函数关于对称作图。
()n :,;:,;:;:22x ππ⎛⎫-∞+∞- ⎪⎝⎭定义域值域奇偶性奇函数单调性增函数[][][][]2:sin(arcsin ),1,1;arcsin()arcsin ,1,1;cos(arccos ),1,1;arccos()arccos ,1,1;tan(arctan ),; arctan()arctan ,x x x x x x x x x x x x x x x R x x x Rπ=∈--=-∈-=∈--=-∈-=∈-=-∈、反三角函数的恒等式有arcsin(sin ),,;22x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦3.1(1)arcsin 12arccos k x k a x k a πππ⇔≤=+-⇔≤=±⇔最简三角方程：sinx=a 当a 时,cosx=a 当a 时,tanx=a x=k +arctanaa 提示：（1）要有字母观点，要根据的情况分类讨论； （2）这个解是一般解，适合所有情况，但对于某些特殊值（如0，1等），可以用更简洁的形式表示。
应用数学基础(上册)第05章 反三角函数与简单的三角方程
图5-3 y= cos x的图像
定义2 余弦函数y= cos x在 0,π 上的反函数称为反余弦函 数,记作x= arccos y(或x= cos-1 y).
以x作自变量,y作函数,则反余弦函数可表示成:y=arccos x (或y=cos-1 x).其中y(即arccos x)是角,而x是这个角的余弦值.这 样反余弦函数y= arccos x的定义域是x∈-1,1 ,值域是y∈0,π .
由例6两小题可以看出:
(1) 如果α ∈ −π ,π ,那么 2 2
arcsin ( sinα ) = α
(2) 如果α ∉ −π ,π ,那么 2 2 arcsin (sinα ) ≠ α
这时arcsin sinα 等于在 −π ,π 上且与α 角有相同正弦值 2 2 的另一个角.
π ,π . y = 3arcsin3x的定义域,值域分别为-1,1 , −π ,π 吗? 域是 −
2 2
2 2
例1 将下列各等式写成反正弦形式的等式. (1)sin π = 3 ; (2)sin π =1; (3)sin -π = − 2 ; (4)sin 0=0. 2 3 2 2 4
*第五章 反三角函数与简单 的三角方程
本章学习反三角函数的概念，讨论最简三角方程的解， 介绍正弦定理、余弦定理和它们在解斜三角形中的应用. 介绍正弦定理、余弦定理和它们在解斜三角形中的应用.
第一节 反三角函数 第二节 第三节 简单三角方程 解斜三角形
*第四节 数学实验一 Mathematica入门及 简单应用
而由上小题(1)可知sinα = 3,cosα = 4 , 5 5 3 所以 tanα = 5 = 3. 4 4 5 代入上式有:
反三角函数的求法练习题
反三角函数的求法练习题一、选择题1. 已知sinθ = 0.5，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 30°B. θ = 150°C. θ = 210°D. θ = 330°2. 已知cosθ = 0.8，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 143.13°B. θ = 216.87°C. θ = 323.13°D. θ = 336.87°3. 已知tanθ = 1，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 45°B. θ = 135°C. θ = 225°D. θ = 315°二、填空题4. 已知sinθ = 0.6，求θ的值，θ = _______°。
5. 已知cosθ = 0.4，求θ的值，θ = _______°。
6. 已知tanθ = 3，求θ的值，θ = _______°。
三、解答题7. 已知sinθ = 0.8，求θ在第二象限的值。
8. 已知cosθ = 0.7，求θ在第三象限的值。
9. 已知tanθ = 2，求θ在第一象限的值。
10. 已知sinθ = 0.3，求θ在第四象限的值。
11. 已知cosθ = 0.9，求θ在第一象限的值。
12. 已知tanθ = 0.5，求θ在第二象限的值。
四、综合题13. 已知sinθ = 0.75，求θ在第一象限和第二象限的值。
14. 已知cosθ = 0.4，求θ在第三象限和第四象限的值。
15. 已知tanθ = 1.5，求θ在第一象限和第三象限的值。
五、应用题16. 一个直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比值为0.6，求该锐角的度数。
17. 在一个直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值为0.8，求该锐角的度数。
18. 一个物体从地面向上抛出，其运动轨迹与水平面的夹角的正切值为1.2，求该夹角的度数。
6.4.1 反三角函数(含答案)
【课堂例题】例1.写出下列角的弧度数：(1)1 arcsin2=(2)arcsin1=(3)arcsin(2=(4)arcsin0=例2.求下列各式中的角(用反正弦表示)：(1)2sin,[,]522 x xππ=∈-(2)1sin,[0,]3x xπ=∈课堂练习1.求值：(1)arcsin(1)-=(2)arcsin(=(3)arcsin0.457=(利用计算器，精确到0.01)(4)sin(arcsin0.6)=2.求下列各式中的角x(1)3sin,[0,]42x xπ=∈(2)1sin,[0,2]7x xπ=-∈3.不使用计算器计算：(1)1cos(2arcsin)3(2)11sin[arcsin arcsin()]34+-(3)1tan(arcsin0.8)24.已知[1,1]x∈-，求证：arcsin()arcsinx x-=-【知识再现】1.一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值([1,1])y y ∈-，那么在 上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =，称x 为y 的 .2.arcsin ([1,1])y y ∈-表示一个 的角.【基础训练】1.填空：arcsin2= ；1arcsin()2-= ;arcsin1= ；arcsin(2-= . 2.填空：1sin(arcsin )4= ； cos(arcsin1)= . 3.计算下列各角的弧度数(精确到0.0001)(1)arcsin 0.2672≈ ；(2)arcsin(0.3322)-≈ .4.ABC ∆中， 如果3cos 5A =-，那么A 用反正弦函数可以表示为 . 5.用反正弦函数表示下列角x ：(1)sin [,]22x x ππ=∈-； (2)1sin ,[,]42x x ππ=∈;(3)13sin ,[,]32x x ππ=-∈6.不使用计算器计算：(1)1sin(2arcsin )3; (2)5cos(arcsinarcsin )213-；(3)11tan[arcsin()]24-； (4)3cot(arcsin )7.7.计算并回答问题：arcsin(sin )3π= ；arcsin(sin1)= ； 5arcsin(sin )6π= ；arcsin[sin()]5π-= . 请问arcsin(sin )x x =成立的充要条件是什么？(无需证明)【巩固提高】8.在ABC ∆中，已知1arcsin 5A =，5arcsin 13B =，求C 的精确值和近似值(精确值用反正弦来表示，近似值保留3位小数).9.求证：34arcsin arcsin 552π+=(选做)10.(1)求证：当[,]22x ππ∈-时，arcsin(sin )x x =.(2)已知sin ,[1,1],[2,2],22x a a x k k k Z ππππ=∈-∈-+∈，求x .【温故知新】11.已知函数()lg(31),[0,3]f x x x =+∈，求1()f x -.【课堂例题答案】例1.(1)6π；(2)2π；(3)4π-；(4)0. 例2.(1)2arcsin 5x =;(2)1arcsin 3x =或1arcsin 3x π=- 【课堂练习答案】 1.(1)2π-;(2)3π-;(3)0.47;(4)0.6 2.(1)3arcsin 4x =;(2)1arcsin 7x π=+或12arcsin 7π-3.(1)79;(2)12;(3)12 4.证：sin[arcsin()]x x -=-，sin(arcsin )sin(arcsin )x x x -=-=- 又arcsin()[,],arcsin [,]2222x x ππππ-∈--∈-且sin y x =在[,]22ππ-上是单调增函数， 因此arcsin()arcsin x x -=- 证毕【知识再现答案】 1.[,]22ππ-，反正弦函数 2.[,]22ππ-上且正弦值为y 【习题答案】 1.,,,3624ππππ-- 2.1,043.(1)0.2705;(2)0.3386-4.4arcsin 5π-5.(1)arcsin 5x =;(2)1arcsin 4x π=-;(3)1arcsin 3x π=+6.(1)9;(2)2647.,1,,365πππ-,[,]22x ππ∈-8. 2.545145.843C rad π=-≈≈ 9.证：33sin(arcsin )55=，443sin(arcsin )cos(arcsin )2555π-== 又34arcsin [,],arcsin [,]5222522πππππ∈--∈-，因此34arcsin arcsin 525π=- 证毕 10.(1)证：arcsin(sin )[,],[,]2222x x ππππ∈-∈-，又sin[arcsin(sin )]sin x x = 因此arcsin(sin )x x = 证毕(2)2[,]22x k πππ-∈-又sin(2)sin x k x a π-==，因此2arcsin x k a π-=， 即2arcsin ,x k a k Z π=+∈ 11.11()(101),[0,1]3x f x x -=-∈。
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反三角函数和最简单的三角方程测试题
一、（每小题5分，共60分）选择题
（1）下面等式中不成立的是（）。
（A）；（B）；
（C）；（D）。
（2）的值是（）。
（A）；（B）；（C）；（D）。
（3）已知，那么的值是（）。
（A）；（B）；（C）；（D）。
（4）已知且，那么等于（）。
（A）；（B）；（C）；（D）。
（5）已知方程
，
那么（）。
（A）M和N都是方程的解集；（B）M是方程的解集，N不是方程的解集；（C）M不是方程的解集，N是方程的解集；（D）M和N都不是方程的解集。
（6）函数定义域是（）。
（A）；（B）；（C）；（D）。
（7）已知那么（）。
（A）6；（B）4；（C）2；（D）0。
（8）已知函数那么（）。
（A）是奇函数，是偶函数；（B）是偶函数，是奇函数；（C）和都是奇函数；（D）和都是偶函数。
（9）已知函数其中
那么（）。
（A）；（B）；
（C）；（D）。
（10）已知
那么（）。
（A）；（B）
；（C）；（D）。
（11）函数图象与图象（）。
（A）关于轴对称；（B）关于轴对称；
（C）关于坐标原点对称；（D）关于直线对称。
（12）函数的图象是（）。
（A）圆；（B）半圆；（C）椭圆；（D）半椭圆。
二、（每小题6分，共18分）填空题
（1）
（2）已知那么
（3）方程的解集是。