反三角函数与最简三角方程期末复习
反三角函数知识点总结
反三角函数知识点总结一、反正弦函数反正弦函数记作y = arcsin x，其中x ∈ [–1，1]，y ∈ [–π/2，π/2]。
1．定义域和值域反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
即反正弦函数的输入值在[-1,1]之间，输出值在[-π/2,π/2]之间。
2．性质（1）y = arcsin x ⇔ sin y = x；（2）反正弦函数是奇函数，即arcsin(-x) = -arcsin x；（3）反正弦函数在[-1,1]上是单调递增的；（4）反正弦函数的图像在[-1,1]上是关于直线x=y对称的；（5）反正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π；（6）反正弦函数的导数是1 / √(1 - x²)，其中|x| < 1；（7）反正弦函数在x=0处的导数为1。
二、反余弦函数反余弦函数记作y = arccos x，其中x ∈ [–1，1]，y ∈ [0，π]。
1．定义域和值域反余弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]。
即反余弦函数的输入值在[-1,1]之间，输出值在[0,π]之间。
2．性质（1）y = arccos x ⇔ cos y = x；（2）反余弦函数是偶函数，即arccos(-x) = arccos x；（3）反余弦函数在[-1,1]上是单调递减的；（4）反余弦函数的图像在[-1,1]上是关于直线x=y对称的；（5）反余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π；（6）反余弦函数的导数是-1 / √(1 - x²)，其中|x| < 1；（7）反余弦函数在x=1处的导数为0。
三、反正切函数反正切函数记作y = arctan x，其中x ∈ R，y ∈ (-π/2，π/2)。
1．定义域和值域反正切函数的定义域是R，值域是(-π/2，π/2)。
即反正切函数的输入值是实数，输出值在(-π/2，π/2)之间。
2．性质（1）y = arctan x ⇔ tan y = x；（2）反正切函数是奇函数，即arctan(-x) = -arctan x；（3）反正切函数在整个定义域上是单调递增的；（4）反正切函数的图像在整个定义域上是关于直线x=y对称的；（5）反正切函数是周期函数，其最小正周期是π；（6）反正切函数的导数是1 / (1 + x²)；（7）反正切函数在x=0处的导数为1。
高三数学-高考复习讲义-反三角函数与最简三角方程讲义资料(Word版)
高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解 其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。
高中三年级数学第一轮复习讲义18反三角与最简三角方程
2018届高三第一轮复习讲义【18】-反三角及最简三角方程一、知识梳理：1．反三角函数的图像和性质【提醒】常用关系式（1）()[]arcsin arcsin ,1,1x x x -=-∈-()sin arcsin ,x x =[]1,1x ∈-()arcsin sin ,x x x =∈,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()[]arccos arccos ,1,1x x x π-=-∈-()cos arccos ,x x =[]1,1x ∈-()arccos cos ,x x x =∈[]0,π（3）R x x x ∈-=-,arctan )arctan(()tan arctan ,x x R =∈()arc tan tan ,,22x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭2．最简三角方程的解集，见下表：【注意】特别注意反三角函数自身的定义域和值域,要通过诱导公式进行转化，然后再借助于反三角求解.例：求sin ,,2y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦上的反函数时，先算()sin y x π=-.二、基础检测：1．用反三角函数值的形式表示下列各式中的角： (1)1sin ,[,],322x x x ππ=-∈-=；1sin ,[0,],4x x x π=∈=. (2)1cos ,[0,],4x x x π=-∈=；1cos ,[,0],5x x x π=∈-=． (3)在ABC ∆中，1sin ,tan 2,4A B ==-A =；B =． 2．函数sin ,[,]24y x x ππ=∈-的反函数是. 3.(1)函数arcsin(35)y x =-的定义域是．(2)若1[2x ∈-，则arccos y x =的值域是. 4.方程2sin 1x =，当[,]x ππ∈-时的解集是. 5.2sin()12x π-=的解集是.6.tan()112x π+=-的解集是.三、例题精讲：【例1】下列命题正确的是（）A ．函数y sinx =与函数y arcsinx =互为反函数B ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是增函数C ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是奇函数D ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是周期函数【解析】C ．【例2】已知,x R ∈的值为． 【解析】0；【例3】若]65,3(arccos ππ∈x ，则x 的取值范围是．【解析】)21,23[-； 【例4】求下列反三角函数的值：(1)1arcsin ； (2))22arccos(-； (3))3arctan(-． 【解析】(1)2π； (2)43π； (3)3π-．【例5】函数()|arcsin |arccos f x x x a b x =++是奇函数的充要条件是 ( )A ．220a b +=B ．0a b +=C ．a b =D ．0ab =【解析】A ．【例6】研究函数)arcsin(sin )(x x f =的性质． 【解析】函数的定义域为R ．因为)()arcsin(sin )]2(arcsin[sin )2(x f x x x f ==+=+ππ，所以)arcsin(sin )(x x f =是周期为π2的周期函数．因为)()arcsin(sin )sin arcsin()](arcsin[sin )(x f x x x x f -=-=-=-=-，所以此函数是奇函数．因为当]2,2[ππ-∈x 时，x x =)arcsin(sin ，所以)arcsin(sin )(x x f =在)](2,2[Z k k k ∈+-ππππ上单调增，在)](23,2[Z k k k ∈++ππππ上单调减． 当)(22Z k k x ∈+=ππ时，)arcsin(sin )(x x f =取得最大值2π； 当)(22Z k k x ∈-=ππ时，)arcsin(sin )(x x f =取得最大值2π-． 【例7】解下列三角方程：(1)sin cos x x -=; (2)22sin 5sin 40x x --=；(3)22sin 5cos 40x x --=；【解析】(1)由辅助角公式，sin cos )42x x x π-=-=，sin()42x π-=．则243x k πππ-=+或2243x k πππ-=+，k Z ∈． 解得7212x k ππ=+或11212x k ππ=+，k Z ∈． （2）22sin 5sin 4(sin 4)(2sin 1)0x x x x --=-+=，解得sin 4x =（舍）或1sin 2x =-解得26x k ππ=-+或526x k ππ=-+，k Z ∈．（3）2222sin 5cos 42(1cos )5cos 42cos 5cos 20x x x x x x --=---=---= 即22cos 5cos 20x x ++=，解得cos 2x =-（舍）或1cos 2x =-． 解得22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭； 【例8】化简下列各式： (1) )65arcsin(sinπ； (2) )21sin(arccos ；(3) )]1312(cos[arcsin -． 【解析】(1)因为]2,2[65πππ-∉，而]2,2[6πππ-∈，且65sin6sin ππ=， 设a ==65sin6sinππ，所以6arcsin )6arcsin(sin )65arcsin(sin πππ===a ． (2)因为,321arccos π=所以23)3sin()21sin(arccos ==π． (3)因为135)1312(1)]1312(cos[arcsin 2=--=-． 【例9】求k 的取值范围，使得关于x 的方程0sin sin 2=+-k x x 在[,]22ππ-上（1）无解; （2）仅有一解; （3）有两解 【解析】用分离参数的方法x x k sin sin 2+-=，只需要考虑k 与函数x x y sin sin 2+-=的交点个数就是方程解的个数，令]1,1[,sin -∈=t x t则函数t t y +-=2，画出二次函数t t y +-=2在]1,1[-∈t 上的图像，观察常值函数k y =与二次函数t t y +-=2的交点个数，可知(1)当),41()2,(+∞⋃--∞∈k 时，两函数图像没有交点，即原方程无解；(2)当}41{)0,2[⋃-∈k 时，两函数图像只有一个交点，即原方程只有一个解；(3)当)41,0[∈k 时，两函数图像有两个交点，即原方程有两个解． 【例10】解下列三角方程：(1)sin 2sin3x x =； (2)cos23cos 1x x =+；(3)3sin 4cos 50x x --=． (4)1cos sin 8sin 62-=x x x解（1）322x x k π=+或322,x x k k Z ππ=-+∈{|2x x k π∴=或2,}55k x k Z ππ=+∈ 解：（2）22cos 3cos 20x x --=1cos 2x =-或cos 2x =（舍）2{|2,}3x x k k Z ππ∴=±∈ 解（3）45sin(arcsin )55x -={|22x x k ππ∴=++4arcsin ,}5k Z ∈ 解：(4)解法一：转齐次方程。
反三角函数知识点总结
《反三角函数知识点总结》一、引言三角函数是数学中一个重要的分支，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
而反三角函数则是三角函数的反函数，它们为解决一些特定类型的问题提供了有力的工具。
本文将对反三角函数的知识点进行全面总结，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
二、反三角函数的定义1. 反正弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\sin y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arcsin x\)，反正弦函数\(\arcsin x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)。
- 图像：反正弦函数的图像是一段在\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)区间内的曲线，关于原点对称。
2. 反余弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\cos y = x\)，且\(0\leq y\leq\pi\)，那么\(y=\arccos x\)，反余弦函数\(\arccos x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([0,\pi]\)。
- 图像：反余弦函数的图像是一段在\([0,\pi]\)区间内的曲线，关于\(y\)轴对称。
3. 反正切函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\tan y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\lt y\lt\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arctan x\)，反正切函数\(\arctan x\)的定义域是\(R\)，值域是\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。
- 图像：反正切函数的图像是一条在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)区间内的曲线，关于原点对称。
三、反三角函数的性质1. 定义域和值域- 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的定义域都是有一定限制的，分别是\([-1,1]\)、\([-1,1]\)和\(R\)。
反三角函数与最简单的三角方程
反三角函数与最简单的三角方程 (99.9.15) 班别 学号 姓名 成绩 一、 在下面各式中，对的在括号内打√，错的打×。
（10分） (1) arcsin 2π=1 ( ) (2) arccos 21=3π±( )(3) sin(arcsin215-)=215-( ) (4) sin(arcsin 3π)=3π( )(5) arccos[cos(3π-)]=3π-( ) (6) arctg 4π=n π+4π,n ∈Z( )(7) arctg(3-)=65π( ) (8) x ∈R,arcsinx+arccosx=2π( ) (9) arcsin(sin 32π)=3π-( ) (10) arccos(cos 21)=3π( )二、 选择题（把答案写在指定的括号内，每题8分，共40分）1，已知函数y=21arccos213-x ，则其定义域和值域分别是（ ） （A ）131≤≤-x 20,π≤≤y （B ）ππ≤≤-≤≤-y x ,131（C ）2121,31231≤≤-+≤≤y x π （D ）22,31231≤≤-+≤≤y x π 2，已知x(π，2π)，则arcctg(ctgx)等于（ ） （A ）π－x （B ）x －π （C ）x －2π （D ）2π－x3，方程cos 2x=cos 26π的解集是（ ）（A ）{x |x=k π6π±，k ∈Z} （B ）{x |x=k π3π±，k ∈Z}（C ）{x |x=2k π6π±，k ∈Z} （D ）{x |x=2k π3π±，k ∈Z}4，方程sinx+cosx=26，0<x<2π，则x 等于（ ）（A ）125π （B ）12π （C ）65π （D ）12512ππ或 5，方程sin4xcos5x=－cos4xsin5x 的一个解是（ ） （Ａ）100 （Ｂ）200 （Ｃ）500 （Ｄ）700三、 填空题（每题８分，共２４分） ６，比较大小：arccos(31-) arcsin 53 ７，方程tg(2x+3π)=33在区间［０，２π）上的解集是 ８，方程cos(2π+x)=x )21(在区间［０，１００π）内实数解的个数是四、 解答题（每题１３分，共２６分） ９，求值：cos(arcsin 53+2arctg2)10，如图，有一块正方形钢板，一个角上有伤痕，要把它截成一块正方形钢板，面积是原钢板的32，应按怎样的角度x 来截？a五、 附加题：（10分）11，写出方程4sin(x+3π)=1的解集，并求其在[0，2π]上所有解的和。
反三角函数知识点归纳总结
反三角函数知识点归纳总结反三角函数是三角函数的逆运算，用于解决三角函数的反问题。
常见的反三角函数包括反正弦函数（arcsin或sin⁻¹）、反余弦函数（arccos或cos⁻¹）和反正切函数（arctan或tan⁻¹）。
1. 反正弦函数（arcsin或sin⁻¹），它的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
当给定一个数x，反正弦函数的值表示满足sin(y) = x的角度y，其中y的范围在[-π/2, π/2]之间。
2. 反余弦函数（arccos或cos⁻¹），它的定义域是[-1, 1]，值域是[0, π]。
当给定一个数x，反余弦函数的值表示满足cos(y) = x的角度y，其中y的范围在[0, π]之间。
3. 反正切函数（arctan或tan⁻¹），它的定义域是整个实数集，值域是[-π/2, π/2]。
当给定一个数x，反正切函数的值表示满足tan(y) = x的角度y，其中y的范围在[-π/2, π/2]之间。
反三角函数的应用广泛，特别是在解决三角方程和三角函数的求值问题时非常有用。
它们可以帮助我们找到角度，从而解决与角度相关的问题。
需要注意的是，反三角函数的结果通常以弧度表示，但也可以通过转换成度数来表示。
此外，反三角函数还有一些重要的性质：反正弦函数的值域是[-π/2, π/2]，反余弦函数的值域是[0, π]，反正切函数的值域是[-π/2, π/2]。
反三角函数的图像通常是关于y = x的直线对称的。
反三角函数具有周期性，即在一定范围内的值重复出现。
总结起来，反三角函数是用于解决三角函数的反问题的函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们的定义域、值域和性质都有一定的规律和特点。
在解决三角方程和求解三角函数值的问题时，反三角函数是非常有用的工具。
最新反三角函数与最简三角方程专题精选(知识总结与试题)
反三角函数与最简三角方程专题1、反三角函数： 概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=. 反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],arcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π]的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2、最简单的三角方程其中：（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
反三角函数与简单三角方程
1 、反三角函数：
概念： 把正弦函数 y sin x ， x
, 时的反函数，成为反正弦函数，记作 22
y arcsin x .
y sin x(x R) ，不存在反函数 .
含义 ： arcsin x 表示一个角 ；角
, ； sin x . 22
反余弦、反正切函数同理，性质如下表 .
名称
函数式
1x x1
∴1 x2
4x2 1 4
x 4x2
1 解不等式组得
1 4
1
1
x
2
6
11 ∴不等式的解集为 ( , )
26
例 1. 写出下列三角方程的解集
简单的三角方程
(1) sin( x
)
2
;
(2) 2cos3x 1 0 ;
82
(3) cot x 3
文案大全
实用标准文档
解集 {x|x=(k π+arctg3) 2， k ∈Z}
（ 2 ）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简
单的三角方程的解；
（ 3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；
如：若 sin
sin ，则 sin
k ( 1)k ；若 cos
cos ，则
2k
；
若 tan tan ，则 a k
；若 cot cot ，则 a k
（ 4 ）． 恒等式 arcsin x＋ arccos x＝ , arctan x＋arccot x＝ 的应用。
2
2
文案大全
2 、最简单的三角方程
方程
实用标准文档
方程的解集
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反三角函数与最简三角方程
已知关于x的方程 3 sin 2 x cos 2 x k 1 在区间0, 内有相异的两个实数解 , 求k 2 的取值sin x a
当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k
3 4 y sin x, x , 2 2
2
2三角方程 cos x a
当a 1时, x 一般地, 当 a 1时, x
. x 2k , k Z
2
, k Z
.
.
k (1) k arcsin a, k
当 a 1时, 方程无解; 当a 1时, x x 2k , k Z . 当a 1时, x x 2k , k Z . 一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
一、复习反三角函数，完成下列习题：
1 arcsin 1
2 y sin x, x , 2 2 arcsin 4 ; 2 2 2 7函数f x arccos x 1 的反函数是 3 arccos1 3 ; 2 y sin x, x 0, 2 5 2 3 4 arccos 6 ;8函数f x 2 arctanx的反函数是 2 x y tan , x , 5 arct an 1 4 ;
3三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
1.解下列三角方程
1 3 sin x cos x 1, x 0, 2cos2 x sin 2 x 1 37 cos x 3 cos2 x 0 46 sin 2 x 8 sin x cos x 1 2.求下列函数的反函数 1 y arcsin 2 x; 2 y arccos x ; 3 y arctan2 x 1;
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第六章 三角比
反三角函数与最简三角方程
6
;
6函数f x arcsin x的反函数是
.
.
.
2
反三角函数与最简三角方程
二、最简三角方程
解下列方程
1sin x
3 cos x 1, x 0,2 ; 3 cos x 1 0, x 2 ,2 ;
22 sin 2 x
3sin 2 x 3 sin x cos x 1 0