2019高考数学试题汇编之立体几何(原卷版)

暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V

柱体

Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱

“

专题04立体几何

1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则

A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的幂势既同，则积不容异”称为祖

体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是

A．158

C．182

B．162

D．324

4．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱V A上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则

A．β<γ，α<γB．β<α，β<γ

C．β<α，γ<αD．α<β，γ<β

5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．

6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A B C D挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H 1111

分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.

8．【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

【 E 12． 2019 年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱 ABCD –A 1B 1C 1D 1 的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，

9．【2019 年高考北京卷文数】已知 l ，m 是平面 α 外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l ⊥m ；②m ∥ α ；③l ⊥ α ．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

10．

【2019 年高考天津卷文数】已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 .若圆柱的一个

底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 __________.

11． 2019 年高考江苏卷】如图，长方体 ABCD - A B C D 的体积是 120，为 CC 的中点，则三棱锥 E ?BCD

1 1 1 1

的体积是 ▲ .

【

E ，M ，N 分别是 BC ，BB 1，A 1D 的中点.

（1）证明：MN ∥平面 C 1DE ；

（2）求点 C 到平面 C 1DE 的距离．

13．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体 ABCD – 1B 1C 1D 1

的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA 1

上，BE ⊥EC 1．

（1）证明：BE ⊥平面 EB 1C 1；

（2）若 AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥 E

BB 1

C 1

的体积．

14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB，△Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，

∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面积.

15．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E 为CD的中点．

（1）求证：BD⊥平面P AC；

（2）若∠ABC=60°，求证：平面P AB⊥平面PAE；

（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．

16．【2019 年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，△PCD 为等

边三角形，平面 PAC ⊥ 平面 PCD ， P A ⊥ CD , C D = 2, AD = 3 .

（1）设 G ，H 分别为 PB ，AC 的中点，求证： G H ∥平面 P AD ；

（2）求证： P A ⊥ 平面 PCD ；

（3）求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值.

17．

【2019 年高考江苏卷】如图，在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，D ，E 分别为 BC ，AC 的中点，AB =BC ．

求证：（1）A 1B 1∥平面 DEC 1；

（2）BE ⊥C 1E ．

18．【2019 年高考浙江卷】如图，已知三棱柱 ABC - A B C ，平面 A ACC ⊥ 平面 ABC , ∠ABC = 90? ，

1 1 1 1

∠BAC = 30?, A A = AC = AC, E, F 分别是 AC ，A B 的中点.

【

1 1

（1）证明： EF ⊥ BC ；

（2）求直线 EF 与平面 A 1BC 所成角的余弦值.

19．云南省昆明市 2019 届高三高考 5 月模拟数学试题】已知直线 l ⊥ 平面 α ，直线 m ∥平面 β ，若 α ⊥ β ，

A ．

B ． 2

【 1

则下列结论正确的是

A ． l ∥β 或 l ? β

C ． m ⊥ α

B ． l // m

D ． l ⊥ m

20．【陕西省 2019 届高三年级第三次联考数学试题】已知三棱柱 ABC - A B C 的侧棱与底面边长都相等，

1 1 1

A 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 A

B 与 C

C 所成的角的余弦值为

1 1

A ．

B ．

C ．

D ．

5 4

21．【四川省宜宾市 2019 届高三第三次诊断性考试数学试题】如图，边长为2 的正方形 ABCD 中， E , F 分

别是 BC , C D 的中点，现在沿 AE , AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 B, C , D 三点重合，重合

后的点记为 P ，则四面体 P - AEF 的高为

3 3

C ．

3 4

D ．1

22．广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（6 月）数学试题】在三棱锥 P - ABC 中，平面 P AB ⊥

平面 ABC ，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，△PAB 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱

锥外接球的表面积为_______．

23．【河南省洛阳市 2019 年高三第三次统一考试（5 月）数学试题】在四棱柱 ABCD - A B C D 中，四边

1 1 1 1

形 ABCD 是平行四边形，A A ⊥

平面 ABCD ， ∠BAD = 60? ，AB = 2, BC = 1, AA 1 = 6 ，E 为 A 1B 1

中点.

（1）求证：平面 A 1BD ⊥ 平面 A 1AD ；

（2）求多面体 A E - ABCD 的体积.