向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标：1. 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。
2. 学会向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。
二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。
2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示，如\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\)。
3. 向量的加法：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的和向量为\(\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\) 和\(\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)\)。
4. 向量的减法：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的差向量为\(\vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y)\) 和\(\vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y, a_z b_z)\)。
5. 向量的数乘：一个标量\(k\) 乘以向量\(\vec{a}\) 得到\(k\vec{a} = (ka_x, ka_y)\) 和\(k\vec{a} = (ka_x, ka_y, ka_z)\)。
6. 向量的点乘：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的点乘为\(a_x b_x + a_y b_y\) 和\(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。
2. 利用多媒体演示向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 引导学生通过小组讨论和实例分析，掌握向量的坐标表示和运算。
4. 利用练习题巩固所学知识，提高学生的实际运用能力。
向量的坐标表示及运算
向量的坐标表示及运算知识回顾：一、概念：a 是平面内任意一个向量，i 、j 分别是与x 轴，y 轴同向的两个单位向量，a =x i +y j ，()y x ,叫做a 的坐标，记作a =()y x ,。
二、向量的坐标的运算： 设a =()11,y x ，b =()22,y x⑴ 加法运算： ⑵ 减法运算：⑶ 实数与向量的积： ⑷ 向量的数量积：⑸ 已知两点A ()11,y x ，B ()22,y x ，则的坐标可以表示为：⑹ a 的模 |a |=三、三种关系：设a =()11,y x ，b =()22,y x⑴ 相等：a =b ⇔ ⑵ 共线：a //b ⇔ ⑶垂直：a ⊥b ⇔知识的运用：例1：设向量a =()2,1-，b =()1,2-，求（a • b ）（a +b ）。
例2：平面向量a ，b 中，已知()3,4-=a ，1=b ，且a ·b 0=，求b 。
例3：已知a =()2,1，b =()2,3-，当k 为何值时，⑴ k a +b 与a –3b 垂直？ ⑵ k a +b 与a –3b 平行？平行时它们是同向还是反向？例4：已知ABC ∆是等腰直角三角形， 90=∠ABC ，()1,2A ，()2,3-B ，求C 点坐标。
课后练习1．已知点()5,1--A 和向量()3,2=a ，若a AB 3=，则点B 的坐标为 。
2．若平面向量b 与向量()2,1-=a 的夹角是90°53=，则=b 。
3．若平面向量b 与向量()2,1-=的夹角是180°53=，则=b 。
4．已知e 为单位向量，()13,13+-=且e 与a 夹角为45°，则=e 。
5．已知向量()2,2-=a ，()k ,5=b 。
若b a +不超过5，则k 的取值范围是A 、[]6,4-B 、[]4,6-C 、[]2,6-D 、[]6,2-6．已知向量()2,1=a ，()4,2--=b ，5=c ，若()b a +·25=c ，则a 与c 的夹角为A 、30°B 、60°C 、120°D 、150°。
8.1向量的坐标表示及其运算
a
位置向量.
j
O i1
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
Ab
x
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
பைடு நூலகம்
-2
调用几何画板
4
怎样用i, j表示位置向量OP？
3
P（3，2）
N2
2j
1
j
Oi
2
M
4
3i
6
-1
OP OM ON 3i 2 j
例2：设ABC三个顶点坐标分别为A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ),G是ABC的重心，求G的坐标。
重心坐标公式
x
y
x1 y1
x2 3 y2 3
x3 y3
例3 : 线段AB的端点为A( x, 5), B(2, y), 直线AB上的点C(1,1),使 AC 2 BC , 求x, y的值.
存在唯一实数 ，使 b a ，则
(x2 , y2 ) (x1, y1) ( x1, y1)
因此 x1 y2 x2 y1 x1( y1) ( x1) y1 0
平面向量平行条件的坐标表示
定理：已知任意向量 a (x1, y1),b (x2, y2),
a//b 的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0
②求点A关于点B的对称点H的坐标
③若点C分有向线段 AB 的比 ＝2，求点C的坐标 ④求点D(0.5，y)分有向线段 AB 的比 及y值。
⑤若 AE 5 AB ,求点E的坐标 22
3, 若P是分 P1 P2定比为2的分点, 则P是分P2P1定比为 ___的分点， 则P1是分PP2定比为 ___的分点， 则P2是分PP1定比为 ___的分点。
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
向量坐标表示及运算
y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
平面向量的坐标表示及坐标运算
平面向量的坐标表示及坐标运算一个平面上的向量可以用坐标的形式表示出来。
一般而言，在平面上的向量都可以用一个坐标向量来表示，用一对数字表示向量的大小和方向，可以是极坐标，也可以是直角坐标。
极坐标是把向量投影到平面上，以圆心为原点，向量的起点到圆心的距离表示大小，圆心到向量的角度表示方向。
在不同情况下，极坐标可以取不同的圆心，比如笛卡尔坐标系的极坐标，其圆心就是笛卡尔坐标系的原点；也可以取向量的起点为圆心，这样的极坐标叫作空间极坐标。
直角坐标是指将一个向量从起点投射到X轴，再从X轴投射到Y 轴，X轴上的距离表示向量的X成分，Y轴上的距离表示向量的Y成分。
这样就把一个向量表示为两个正数（或零）的组合，例如（3，4），即表示一个向量，其X成分为3，Y成分为4。
二、坐标运算1.量加法：当两个向量的起点在同一个点时，他们的坐标向量可以相加，即：（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d）。
2.量减法：同样地，当两个向量的起点在同一个点时，他们的坐标向量可以相减，即：（a，b）-（c，d）=（a-c，b-d）。
3.放向量：缩放向量意味着将向量的大小变更，而不改变向量的方向，可以用缩放系数来表示，令K为缩放系数，则：K*（a，b）=（Ka，Kb），即对向量的每个成分乘以一个系数，就可以完成缩放的运算。
4.量的模：向量的模也称为向量的长度，表示向量大小的一个数值，它可以用欧式距离来表示，欧式距离计算公式的定义为：||A||=√（a^2+b^2），其中a和b分别表示向量的X和Y成分。
5.量的夹角：向量的夹角指向量之间的夹角，可以用弧度表示，也可以用角度表示，计算向量的夹角可以用余弦定理来计算，其计算公式定义为：cosθ=AB/||A||*||B||。
6.量的点积：点积用来表示两个向量的关系，可以用X和Y在向量上的分量来表示，它的计算公式定义为：AB=a*b+c*d，其中a，b，c，d分别表示两个向量的X和Y成分。
三、总结以上，就是平面向量的坐标表示及坐标运算的相关内容，在了解了平面向量的坐标表示方式以及如何进行坐标运算后，我们可以更加熟练的处理向量的坐标运算，也可以更清楚的理解向量的含义。
8.1.2向量的坐标表示及其运算
二、定比分点的概念
于P 的任意一点， 则存在唯一的实数 ，使得 , P 1 2
设P 是直线 l 上的两点，点 P 是 l 上不同 1, P 2
PP 1 PP 2
其中 叫做点 P 分有向线段 PP 所成的比 1 2
P1
P P1 P
P2 P2 P2
P
l l l
0
例 6．已知 A3,2 , B8,3点 P 在直线 AB 上， 且满足 AP 2 PB ，求点 P 的坐标.
例 7．在 ABC 中， A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 ， 求 ABC 重心 G 的坐标.
A
G
.
E
B
D
C
x1 x2 x3 y1 y2 y3 G , 3 3
例 1．已知 a x 1,2, b 1, x （1）若 a // b ，求实数 x 的值； （2）若 a b //a b ，求实数 x 的值.
例 2．已知 a // b , a 2,3 ,且 b 2 13，求 b 的坐标.
方法一： 方法二：
例3. O 是坐标原点， OA (k ,12), OB (4,5),
A, B, C 三点共线？ OC (10, k ) ，当 k 为何值时， 分析： A, B, C 三点共线的充要条件是 AB // BC
解： AB OB OA (4 k , 7)
BC OC OB (6, k 5) AB// BC (4 k ) (k 5) 6 (7) 0 2 化简得： k 2 或 11 k 9k 22 0 解得： A, B, C 三点共线. 因此 k 2 或 11时，
向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示
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2.已知
→ AB
＝(－2,4)，则下列说法正确的是
A.点A的坐标是(－2,4)
B.点B的坐标是(－2,4)
C.当点B是坐标原点时，点A的坐标是(－2,4)
√D.当点A是坐标原点时，点B的坐标是(－2,4)
解析 由任一向量的坐标的定义可知，当A是坐标原点时，点B的坐标 是(－2,4).
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反思 感悟
向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的 运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后 再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练 2 已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A→C＝(－4，－3)，则向量B→C等于
的有效方法．
(2)通过定比分点坐标公式的推导与应用，培养逻辑推理和数学 运算素养.
3 随堂演练
PART THREE
1.已知 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则12a－32b 等于
√A.(－1,2) B.(1，－2)
C.(－1，－2)
D.(1,2)
解析 12a－32b＝12(1,1)－32(1，－1)＝12－32，12＋32＝(－1,2).
x＝2， ∴y＝72，
∴D2，72.
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4.若向量B→A＝(2,3)，C→A＝(4,7)，则B→C＝__(_－__2_，__－__4_)__. 解析 B→C＝B→A＋A→C＝B→A－C→A＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4).
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5.已知 A(2,4)，B(－4,6)，若A→C＝32A→B，B→D＝43B→A，则C→D的坐标为_1_1_，__－__1_31__. 解析 ∵A→B＝(－6,2)，A→C＝32A→B＝(－9,3)， ∴C(－7,7)，B→D＝43(6，－2)＝8，－83， ∴D4，130，∴C→D＝11，－131.
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第八讲向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示：1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量坐标的有关概念（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解3.向量的坐标运算：设4.向量的摸：22y x a +=（二）向量平行的充要条件：1向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ⇔b =λa （a ≠0）.2设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）则b ∥a ⇔1221y x y x =（三）定比分点公式：1线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）. 2中点坐标公式3三角形重心坐标公式二、典型例题例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少?例2 下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量例3． ∆ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ∆重心，求GA 的坐标 例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B()3若a BD AC a 求,-=()如图7所示，若点M 分BA 的比λ为3：1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 点的坐标例5若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于A.b +21a B.b －21a C.a +21b D.a －21b 例6.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于A.0B.－1C.－2D.±1例7.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______. 例8 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于A.1B.2C.5D.6例9如图，G 是△ABC 的重心，求证：GA +GB +GC =0.例10设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，求证：OP =λOA +μOB 且λ+μ=1，λ、μ∈R . . 例11若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上? （2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小?例12.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有A.a ∥b 且a 、b 方向相同B.a =bC.a =－bD.以上都不对例13.设四边形ABCD 中，有DC =21AB 且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形C.等腰梯形D.菱形例14.l 1、l 2是不共线向量，且a =－l 1+3l 2，b =4l 1+2l 2，c =－3l 1+12l 2，若b 、c 为一组基底，求向量a . 例15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围..例16已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线? 例17.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .例18在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示AE .例对19任意非零向量a 、b ，求证：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |.三、高考点击试题1.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于A.（－3，6）B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3）2.已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于 A.43B.－43C.34D.－343已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于A.3B.1C.－1D.－3四、练习题1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于 （ ）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG +2．下列说法正确的是 （ ）A ．方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则MC MB MA -+等于 （ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 44．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（）A ．c b a =+B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-6．下列各量中是向量的是 （ ）A ．质量B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e -8．若),,(,,,R o b a b a ∈=+μλμλ不共线则 （ ）A ．o b o a ==,B ．o o a ==μ,C ．o b o ==,λD ．o o ==μλ,9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是 （ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于（ ） A ．b a λ+ B ．b a +λ C ．b a )1(λλ-+ D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①BC AB = ②||||BC AB = ③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2 其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线.14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.18．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 AC AB AP 21λλ+=.。