天津市河西区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
天津市部分区2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
天津市部分区2019〜2020学年度第一学期期末考试高二数学第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量(1,1,0)a =-,(,1,1)b m =-,若a b ⊥,则实数m =（ ） A. -2 B. -1C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据a b ⊥时，0a b =，列方程求出m 的值． 【详解】解：向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-， 若a b ⊥，则()()111100m ⨯+⨯-+-⨯=， 解得1m =． 故选：C ．【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算与垂直应用问题，属于基础题． 2.在复平面内,复数1(1i i+是虚数单位)对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数11i +，求出复数11i+在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【详解】解：111111(1)(1)222i i i i i i --===-++-， ∴复数11i +在复平面内对应的点的坐标为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3.设x ∈R ,则“11||<22x -”是“0<<2x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求解绝对值不等式结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】解：由11||<22x -，得111<222x -<-， 解得01x <<．∴ “11||<22x -”是“0<<2x ”的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判定方法，考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为（ ） A. 20里 B. 10里C. 5 里D. 2.5 里【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设此人每天所走的路程数为数列{}n a ，其首项为1a ，分析可得{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得6315S =，解可得1a 的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，设此人每天所走的程为数列{}n a ，其首项为1a ，即此人第一天走的路程为1a ，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，又由6315S =，即有161(1)2315112a -=-，解得：1160a =； 111602n n a -∴⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭56116052a ∴⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭即此人第6天走了5里； 故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题．5.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22143x y -=的一个焦点,则p =（ ） A. 2 B. 10D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出22143x y -=的左焦点，得到抛物线22y px =的准线，依据p 的意义求出它的值． 【详解】解：因为抛物线22(0)y px p =>焦点在x 轴上，开口为正方向，故准线在y 轴左侧，双曲线22143x y -=的左焦点为(，0)，故抛物线22y px =的准线为x = ∴2p=p = 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程22y px =中p 的意义．6.已知函数2ln ()xf x x =,'()f x 为()f x 的导函数,则'()f x =（ ） A .3ln xx B. 31xC. 31ln x x -D.312ln xx -【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】解：2ln ()xf x x=()()()22224321ln ln ln 1ln 22()x x xx x x xx x f x x x x '⋅⋅'∴=='-⋅-⋅-=故选：D .【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.7.正方体1111ABCD A B C D -,点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点,则EF 与1DA 所成角的余弦值为（ ） A. 0 B.15C.14D.13【答案】A 【解析】 【分析】连接1CB ，1BC ，证明1//EF BC ，11//DA CB ，再根据11BC CB ⊥，可得1EF DA ⊥即可得到EF 与1DA 所成角的余弦值.【详解】解：连接1CB ，1BC1111ABCD A B C D -是正方体,11//DA CB ∴且11BC CB ⊥因为点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点1//EF BC ∴ 1EF CB ∴⊥ 1EF DA ∴⊥即EF 与1DA 成直角，cos02π=则EF 与1DA 所成角的余弦值为0 故选：A【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，属于基础题. 8.曲线12y x =在点（1,1）处的切线方程为（ ） A. 210x y -+= B. 0x y -= C. 20x y +-= D. 210x y --=【答案】A 【解析】 【分析】求出曲线方程的导函数，把点()1,1的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，由求出的斜率和点()1,1的坐标写出切线方程即可．【详解】解：12y x=，1212x y -'∴=则曲线过点()1,1切线方程的斜率11|2x k y =='=， 所以所求的切线方程为：()1112y x -=-，即210x y -+=． 故选：A ．【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，属于基础题．9.设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线0x +=上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF 的面积为则C 的方程为（ ）A. 2212x y -=B. 22142x y -=C. 22163-=x yD. 22184x y -=【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=，表示右焦点F 的坐标，根据点到线的距离公式求出F 到渐近线的距离，根据OF PF =利用勾股定理求得OP ，利用12POF S OP d ∆=，得到方程，求得λ，得解.【详解】解：20x y +=为双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b -=的一条渐近线，故设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=则右焦点F 的坐标为)F20x y +=因为P 在0x +=上，且OF PF =则右焦点F 的坐标为)F到直线0x =的距离d ==OP ∴==1122POF S OP d ∆∴==⨯=2λ∴=故22:142x y C -=【点睛】本题考查双曲线的性质，三角形面积公式，点到线的距离公式，属于中档题. 10.若函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是（ ） A. (-1,0] B. [0,1)C. (-1,1)D. [-1,1]【答案】D 【解析】 【分析】先求导，换元可得2()23g t t at =-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，进而得到不等式组，解得即可.【详解】解：1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+2()2cos 2cos 2cos cos 3f x x a x x a x '∴=-+=-++因为函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增 2()2cos cos 30f x x a x '∴=-++≥恒成立令cos t x =则[]1,1t ∈-2()23g t t at ∴=-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，(1)230(1)230g a g a -=--+≥⎧∴⎨=-++≥⎩解得11a -≤≤故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.第Ⅱ卷（共80分)二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.i 是虚数单位,则21ii+-的值为_____.【解析】利用复数的运算法则计算出21ii+-，再根据求模的法则计算即可得出 【详解】解：()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+--+213122i i i +∴=+==- 故答案为：2【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.12.已知函数22(),'()f x x e f x =为()f x 的导函数,则'(1)f 的值为_____.【答案】22e 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求出()f x 的导函数，再代入求值即可. 【详解】解：22()f x x e =2'()2f x e x ∴= 22'(1)212f e e ∴=⨯=故答案为：22e【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.13.已知实数a 为函数32()3f x x x =-的极小值点,则a =_____. 【答案】2 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值点. 【详解】解：32()3f x x x =-()2()3632f x x x x x '∴=-=-令()0f x '>解得2x >或0x <，即函数()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 令()0f x '<解得02x <<，即函数()f x 在()0,2上单调递减； 故函数()f x 在2x =处取得极小值. 即2a = 故答案为：2【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属于基础题. 14.已知“21[2]102x ,,x mx ∃∈-+≤”是假命题,则实数m 的取值范围为________. 【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到1m x x<+，构造函数()1g x x x=+求()g x 在所给区间上的最小值. 【详解】解：由题意可知，21[2]102x ,,x mx ∀∈-+>是真命题1m x x ∴<+对1[2]2x ,∀∈恒成立，令()1g x x x =+()211g x x'∴=-令()0g x '>则12x <≤；令()0g x '<则112x ≤<；即()1g x x x =+1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1,2上单调递增；()()min 11121g x g ∴==+=2m <∴故答案为：(,2)-∞【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.15.设0021a ,b ,a -b >>=,则22(4)(1)a b ab++的最小值为________.【答案】4 【解析】 【分析】将式子变形可得()22222244(4)(1)a b a b ab a b ab ab+-++++=，根据已知条件可得22(4)(1)54a b ab ab ab++=++利用基本不等式可得最小值.【详解】解：()222222222244(4)(1)44a b a b ab a b a b a b ab ab ab+-+++++++==0021a ,b ,a -b >>=2222(4)(1)455444a b a b ab ab ab ab ab ++++∴==++≥=当且仅当5ab ab=时取等号，故最小值为4故答案为：4【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知函数()()32,f x x ax b a b R =-+∈.(I)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=,求,a b 的值； (II)若0a >,求()f x 的单调区间. 【答案】（Ⅰ）2,1a b == （Ⅱ）()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得()()1110f f ⎧-⎪⎨='⎪⎩得到关于,a b 的方程组，解得； （Ⅱ）求出函数的导函数，解()0f x '>得函数的单调递增区间，解()0f x '<得函数的单调递减区间.【详解】解：（Ⅰ）32()(,)f x x ax b a b R =-+∈2()32f x x ax =-'∴因为函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-= ()()1321110f a f a b ⎧=-=-⎪∴⎨=-+='⎪⎩解得2,1a b ==（Ⅱ）22()323()3a f x x ax x x '=-=-． 令()0f x '=,得0x =或23a x =. 因为0a >,所以2(,0)(,)3a x ∈-∞+∞时，()0f x '> ； 20,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 故()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AD CD,AD //⊥4BC,BC ,=2PA AD CD ,===点E 为PC 的中点.(I) 证明：//DE 平面PAB ;(II)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ 【解析】【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，取PB 中点M ，可证//AM DE ，即可得到//DE 平面PAB .（Ⅱ）根据（Ⅰ）所建坐标系，求出平面PCD 的法向量以及直线PB 的方向向量，利用夹角公式解得.【详解】（Ⅰ）证明： 取BC 中点F ,易知AFCD 是边长为2的正方形.依题意,可以建立以A 为原点,分别以AF ,AD ,AP 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）,可得(0,0,0)A ,(2,0,0)F ,(2,2,0)B -,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(1,1,1)E .取PB 中点M ,则(1,1,1)M -,即(1,1,1)AM =-又(1,1,1)DE =-,可得//AM DE ,又因为直线DE ⊄平面PAB ,所以//DE 平面PAB .（Ⅱ）解：依题意,(0,2,2)PD =-u u u r ,(2,0,0)CD =-,(2,2,2)PB =--设(,,)n x y z =为平面PCD 的法向量,则0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即220,20,y z x -=⎧⎨-=⎩ 不妨令1z =,可得(0,1,1)n =因此有cos ,PB nPB n PB n ⋅<>==-⋅ . 所以直线PB 与平面PCD . 【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的计算问题，关键建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何中的问题，属于中档题.18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,等比数列{}n b 满足124451,,()b a b a a n N *=-=+∈.(I)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(II)求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】（Ⅰ）*21()n a n n =-∈N ；*2()n n b n =∈N（Ⅱ）1*(23)26().n n n +-⨯+∈N 【解析】【分析】（Ⅰ）根据1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得{}n a 的通项公式，根据{}n a 的通项公式，可计算1212b a =-=,44516b a a =+=，即可求出等比数列的公比，得到数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和.【详解】解（Ⅰ）由2n S n =,得当1n =时,111a S ==当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-经检验1n =时也成立,所以*21()n a n n =-∈N即1212b a =-=,44516b a a =+=记数列{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,所以2q = 即*2()n n b n =∈N（Ⅱ）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,由21n a n =-,2n n b =,有(21)2n n n a b n =-⨯故23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ,23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L上述两式相减,得23112222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1118(12)2(21)212(23)2 6.n n n n n -++⨯-=+--⨯-=--⨯- 得1(23)26n n T n +=-⨯+.所以,数列{}n n a b 的前n 项和为1*(23)26().n n n +-⨯+∈N【点睛】本题考查等差、等比数列通项的计算，等比数列前n 项和公式的应用，利用错位相减法求差比数列的前n 项和，属于中档题.19.已知椭圆2222:1(>>0)x y C a b a b+=的长轴长为4,离心率为2. (I)求C 的方程； (II)设直线:l y kx =交C 于A,B 两点,点A 在第一象限,AM x ⊥轴,垂足为M , 连结BM 并延长交C 于点N .求证：点A 在以BN 为直径的圆上.【答案】（Ⅰ）22142x y += （Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由长轴长为4，得到2a =，再由离心率为2，可求c 的值，根据222c a b =- 计算出b 的值，即可得到椭圆方程； （Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，表示出,A B 两点，通过证明AB AN ⊥，得到点A 在以BN 为直径的圆上.【详解】解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ,依题意,24,c a a ==又222a b c =+,可得2,a b c ===所以,椭圆的方程为22142x y +=. （Ⅱ）由22142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =,则(,),(,),(,0)A u uk B u uk M u --．于是直线BM 的斜率为2k ,方程为()2k y x u =- 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)N N N x y ,则u -和N x 是方程①的解, 故22(32)2N u k x k +=+ ,由此得322N uk y k=+ 从而直线AN 的斜率为322212(32)2uk uk k u k k u k-+=-+-+ 所以AB AN ⊥,即点A 在以BN 为直径的圆上.【点睛】本题考查椭圆标准方程的计算问题，直线与圆锥曲线综合问题，属于难题.20.已知函数()cos sin 1f x x x x =+-.(I)若(0,)x π∈,求()f x 的极值；(II)证明：当[0,]x π∈时,2sin cos x x x x -≥.【答案】（Ⅰ）12π- （Ⅱ）见解析【解析】【分析】 （Ⅰ）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值；（Ⅱ）构造函数()2sin cos g x x x x x =--，证明函数在[0,]x π∈时()0g x ≥恒成立.【详解】解（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x =+-()cos f x x x '∴=, 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '< 当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表：因此,当2x π=时,()f x 有极大值,并且极大值为()()122f x f ππ==-极大值 ，没有极小值. （Ⅱ）令函数()2sin cos g x x x x x =--,()cos sin 1()g x x x x f x '=+-=由（Ⅰ）知()f x 在区间π(0,)2上单调递增,在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 又(0)0,()10,()2022f f f πππ==->=-< 故()f x 在()0,π存在唯一零点.设0x ,则00()()0g x f x '==当()00,x x ∈时,()0g x '>；当()0,πx x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在区间()00,x 上单调递增,在区间()0,πx 上单调递减又(0)0,()0g g π== ,所以,当[0,π]x ∈时,()0g x ≥.故2sin cos x x x x -≥.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数证明不等式恒成立问题，属于综合题.。
天津市和平区2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
故选：C 【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察
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图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.
6.已知双曲线 C： x2 a2
y2 b2
1 的一条渐近线的倾斜角为 60 ，且与椭圆
椭圆的离心率为______．
1
【答案】
4
【解析】 【分析】 利用已知条件列出方程组，求解 a、c，得到椭圆的离心率． 【详解】解：椭圆 G 的中心在坐标原点，焦距为 4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为 6，
2c 4 a c 6 ，解得 a 8 ， c 2 ， 所以椭圆的离心率为： e c 1 ．
4.抛物线 y2 4x 的焦点坐标是（）
A. 1，0
B. 1，0
C. 2，0
D. 2，0
【答案】B 【解析】
根据抛物线的标准方程为 y2 4x 画出图像可得准线方程为： x 1, 故焦点坐标为 1，0 .
故答案为 B． 5.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 x2 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一
y0 ) 是双曲线 C ：
x2 2
y2
1上的一点， F1 ， F2 是 C 的两个焦点，若
MF1 MF2 0 ，则 y0 的取值范围是（ ）
A. ( 3 , 3 ) 33
B. ( 3 , 3 ) 66
C. ( 2 2 , 2 2 )
D.
33
( 2 3 , 2 3) 33
【答案】A
【解析】
由题知
线于 M，
2019-2020学年天津市河西区高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（4分）若向量(2a =，0，1)-，向量(0b =，1，2)-，则2(a b -= ) A ．(4-，1，4)-B ．(4-，1，0)C ．(4，1-，0)D ．(4，1-，4)-2．（4分）设P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A ．2bB ．2aC ．bD ．a3．（4分）抛物线214x y =的准线方程是( ) A ．116x =-B ．116x =C ．1x =-D ．1x =4．（4分）中心在坐标原点、焦点在x 轴，且长轴长为18、焦距为12的椭圆的标准方程为()A ．2218172x y +=B ．221819x y +=C ．2218145x y +=D ．2218136x y +=5．（4分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB a =，1AA c =，BC b =，则BM 可表示为( )A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+6．（4分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为( ) A ．283x y B ．2163x y =C ．28x y =D ．216x y =7．（4分）若两个向量(1AB =，2，3)，(3AC =，2，1)，则平面ABC 的一个法向量为()A ．(1-，2，1)-B ．(1，2，1)C ．(1，2，1)-D ．(1-，2，1)8．（4分）已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为( )A ．B ．C ．D ．9．（4分）设1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为( )A ．3B C ．23D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分． 10．（5分）若向量(a x =，1-，3)，向量(2b =，y ，6)，且//a b ，则x = ，y = ．11．（5分）若双曲线221916x y -=上一点P 到右焦点的距离为4，则点P 到左焦点的距离是 ．12．（5分）若方程22151x y m m +=--表示焦点在y 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是 ．13．（5分）在空间直角坐标系O xyz -中，(1A ，2，1)-，(0B ，1，2)，(1C ，1，1)，则异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为 ．14．（5分）已知过点(1,0)M 的直线AB 与抛物线22y x =交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ，OB 的斜率之和为1，则直线AB 方程为 ．15．（5分）在空间直角坐标系O xyz -中，(2a x =-，2y ，2)-，(3b x =，2y ，3)x -，且12a b =，则222m x y x =++的最小值是 ，最大值是 ．三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（10分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142y x -=有相同的渐近线，且经过点M ． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．17．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：//PA 平面BDE ； （Ⅱ）求二面角B DE C --的余弦值；（Ⅲ）若点F 在线段PB （不包含端点）上，且直线PB ⊥平面DEF ，求线段DF 的长．18．（12分）已知点(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>3，F 是椭圆的右焦点，直线AF 23O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．2019-2020学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（4分）若向量(2a =，0，1)-，向量(0b =，1，2)-，则2(a b -= ) A ．(4-，1，4)-B ．(4-，1，0)C ．(4，1-，0)D ．(4，1-，4)-【解答】解：22(2a b -=，0，1)(0--，1，2)(4-=，1-，0)， 故选：C ．2．（4分）设P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A ．2bB ．2aC ．bD ．a【解答】解：根据椭圆定义可知122PF PF a +=， 故选：B ． 3．（4分）抛物线214x y =的准线方程是( ) A ．116x =-B ．116x =C ．1x =-D ．1x =【解答】解：由于抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2p x =-，抛物线214x y =，即24y x =的准线方程为1x =-， 故选：C ．4．（4分）中心在坐标原点、焦点在x 轴，且长轴长为18、焦距为12的椭圆的标准方程为()A ．2218172x y +=B ．221819x y +=C ．2218145x y += D ．2218136x y += 【解答】解：中心在坐标原点、焦点在x 轴，且长轴长为18、焦距为12，可得9a =，6c =，则b =所求的椭圆方程为：2218145x y +=． 故选：C ．5．（4分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB a =，1AA c =，BC b =，则BM 可表示为( )A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+【解答】解：11112BM BA AA A M AB AA AC =++=-++ 11111()222AB AA BC BA AB BC AA =-++-=-++1122a b c =-++，故选：A ．6．（4分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为( ) A ．283x y B ．2163x y =C ．28x y =D ．216x y =【解答】解：双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2．所以2c a =，即：2224a b a +=，所以223b a =；双曲线的渐近线方程为：0x ya b±=抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p到双曲线1C 的渐近线的距离为2，所以22||2211()()p ba b=+，因为223b a=，所以8p =．抛物线2C 的方程为216x y =． 故选：D ．7．（4分）若两个向量(1AB =，2，3)，(3AC =，2，1)，则平面ABC 的一个法向量为()A ．(1-，2，1)-B ．(1，2，1)C ．(1，2，1)-D ．(1-，2，1)【解答】解：两个向量(1,2,3),(3,2,1)AB AC ==， 设平面ABC 的一个法向量(n x =，y ，)z ， 则230320n AB x y z n AC x y z ⎧=++=⎪⎨=++=⎪⎩， 取1x =-，得平面ABC 的一个法向量为(1-，2，1)-． 故选：A ．8．（4分）已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为( ) A ．42B ．213C ．313D ．46【解答】解：抛物线的准线方程为2y =-，||4AF =，A ∴到准线的距离为4，故A 点纵坐标为2，把2y =代入抛物线方程可得4x =±． 不妨设A 在第一象限，则(4,2)A ，点O 关于准线2y =-的对称点为(0,4)M -，连接AM ， 则||||PO PM =，于是||||||||||PA PO PA PM AM +=+故||||PA PO +的最小值为22||46213AM =+=． 故选：B ．9．（4分）设1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为( )A B C ．23D 【解答】解：不妨设圆与by x a=相交且点M 的坐标为0(x ，00)(0)y x >，则N 点的坐标为0(x -，0)y -，联立00b y x a=，22200x y c +=得(,)M a b ，(,)N a b --， 又(,0)A a -且120MAN ∠=︒，所以由余弦定理得222224()cos c a a b b b =+++- 120︒，化简得2273a c =，求得e = 故选：A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分． 10．（5分）若向量(a x =，1-，3)，向量(2b =，y ，6)，且//a b ，则x = 1 ，y = ． 【解答】解：//a b ，∴存在实数k 使得a kb =，2x k ∴=，1ky -=，36k =，联立解得12k =，1x =，2y =-． 故答案为：1，2-．11．（5分）若双曲线221916x y -=上一点P 到右焦点的距离为4，则点P 到左焦点的距离是10 ．【解答】解：设点P 到双曲线的右焦点的距离是x ，双曲线221916x y -=上一点P 到右焦点的距离是4，|4|23x ∴-=⨯0x >，10x ∴=故答案为：1012．（5分）若方程22151x y m m +=--表示焦点在y 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是 (3,5) ． 【解答】解：因为椭圆焦点在y 轴上，所以150m m ->->，解得35m <<， 故答案为(3,5)．13．（5分）在空间直角坐标系O xyz -中，(1A ，2，1)-，(0B ，1，2)，(1C ，1，1)，则异面直线OA与BC所成角的余弦值为．【解答】解：在空间直角坐标系O xyz-中，(1A，2，1)-，(0B，1，2)，(1C，1，1)，(1,2,1)OA=-，(1,0,1)BC=-，所以cos,OA BC〈〉==故异面直线OA与BC．．14．（5分）已知过点(1,0)M的直线AB与抛物线22y x=交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB方程为220x y+-=．【解答】解：依题意可设直线AB的方程为：1x ty=+，代入22y x=得2220y ty--=，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则122y y=-，122y y t+=，12121212122()22422OA OBy y y y tk k tx x y y y y+∴+=+=+===--，21t∴-=，解得12t=-，∴直线AB的方程为：112x y=-+，即220x y+-=．故答案为：220x y+-=．15．（5分）在空间直角坐标系O xyz-中，(2a x=-，2y，2)-，(3b x=，2y，3)x-，且12a b =，则222m x y x=++的最小值是0，最大值是．【解答】解：(2a x=-，2y，2)-，(3b x=，2y，3)x-，且12a b =，23(2)4612x x y x∴-++=，化为：22143x y+=．22x-．则222221223(1)(4)144xm x y x x x x=++=++-=+-．∴函数m在[2-，2]上的单调递增，2x∴=-时，m取得最小值0，2x=时，m取对最大值8．故答案为：0，8．三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（10分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142y x -=有相同的渐近线，且经过点(2M ，2)-． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．【解答】解：（Ⅰ）双曲线C 与双曲线22142y x -=有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为22(0)24x y λλ-=≠，代入(2M ，2)-．得12λ=，故双曲线的方程为：2212y x -=．（Ⅱ）由方程得1a =，2b =，3c =，故离心率3e =． 其渐近线方程为2y x =±；焦点坐标(3F ，0)，解得到渐近线的距离为：23212⨯=+．22410m m ∴+=，即2m =±．17．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：//PA 平面BDE ； （Ⅱ）求二面角B DE C --的余弦值；（Ⅲ）若点F 在线段PB （不包含端点）上，且直线PB ⊥平面DEF ，求线段DF 的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC BD O =，连接OE ，底面ABCD 为正方形， O ∴为对角线AC ，BD 的中点，又E 是PC 中点， //OE PA ∴，OE 在平面BDE 内，PA 不在平面BDE 内， //OE ∴平面BDE ；（Ⅱ）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2A ，0，0)，(0P ，0，2)，(0E ，1，1)，(2B ，2，0)，则(0,1,1),(2,2,0)DE DB ==，设平面BDE 的一个法向量为(,,)m x y z =，则0220m DE y z m DB x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，可取(1,1,1)m =-，又平面DEC 的一个法向量为(2,0,0)DA =，设二面角B DE C --的平面角为θ，则3cos cos ,3||||m DA m DA m DA θ=<>==，故二面角B DE C --； （Ⅲ）假设PB 上存在点F ，使得PB ⊥平面DEF ，设(01),(,,)PF PB F x y z λλ=<<，则(x ，y ，2)(2z λ-=，2，2)-， (2F λ∴，2λ，22)λ-，∴(2,2,22),(2,2,2)DF PB λλλ=-=-，由0PB DF =得442(22)0λλλ+--=，解得13λ=，∴224(,,)333F ，2||(3DF =．第11页（共11页）18．（12分）已知点(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>3，F 是椭圆的右焦点，直线AF 23O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．【解答】解：（Ⅰ） 设(,0)F c ，由条件知223c =，得3c 又3c a = 所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程2214x y +=．⋯．（5分） （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线:2l y kx =-，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y将2y kx =-代入2214x y +=，得22(14)16120k x kx +-+=， 当△216(43)0k =->，即234k >时，21,28243k k x ±-= 从而2221224143||1|4k k PQ k x x k +-=+-=+ 又点O 到直线PQ 的距离21d k =+，所以OPQ ∆的面积214432OPQ K S d PQ ∆-== 243k t -，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==++， 当且仅当2t =，7k =等号成立，且满足△0>， 所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为：72y =-或72y x =-．⋯（12分）。
天津市部分区2019～2020学年度第二学期高二期末考试数学试题及答案
天津市部分区2019～2020学年度第二学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题，共40分）1．已知全集=U {0,1,2,3,4,5}，集合{1,5}A =，集合{}2B =，则集合()U C A B ＝A ．{}0,2,3,4B ．{}0,3,4C ．{}2D ．∅2．1-=x 是1||=x 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．下列四个函数之中，在（0，＋∞）上为增函数的是 A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =-C ．()f x x =-D ．xx f 1)(-= 4．已知函数()21ln 2f x x x =-，)(x f '为)(x f 的导函数，则)1(f '的值为 A ．－1B ．21-C ．0D ．21 5．函数52)(-+=x x f x 的零点所在区间为 A ．)3,2(B ．)2,1(C ．)1,0(D ．)0,1(-6．己知向量,的夹角为120°，8-=⋅b a ，且2||=,则=|| A ．6B ．7C ．8D ．97．已知31log,52,3123152=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=-cba，则A．a b c<<B．c b a<<C．c a b<<D．b c a<< 8．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为51和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为307，则=pA．101B．181C．61D．519．若nxx⎪⎭⎫⎝⎛-322)(*∈Nn的展开式中常数项为第9项，则n的值为A．7 B．8 C．9 D．1010．函数()）（xxxxf-+=1lncos2的部分图象大致为第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．）11．从5名高中生、4名初中生、3名小学生中各选一人的不同选法共有________种. 12．命题“1)21(,0<<∃xx”的否定是__________________________.13．曲线xey x2-=在点)1,0(处的切线的倾斜角大小为________.14．两位射击选手彼此独立地向同一目标射击一次，若甲射中的概率为0.8 ，乙射中的概率为0.9 ，则目标被击中的概率为________.15．已知ABC∆中,D为边BC上的点，且DCBD2=,若nm+=),(Rnm∈，则=-nm________.得分评卷人三、解答题（本大题共60分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．）16．（本小题满分12分）已知函数13)(3+-=x x x f ．（1）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间．17．（本小题满分12分）已知集合A ＝{}24,3,22++a a ，B ＝{}a a a --+2,24,7,02，且B A ＝{}7,3，求实数a 的值及集合B A .18．（本小题满分12分）已知)(3232*∈=N n C A n n .（1）求n 的值；（2）求nx x)21(-展开式中2x 项的系数.19．（本小题满分12分）某企业甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲小组研发新产品A ，乙小组研发新产品B ．设甲，乙两组的研发成功与否是相互独立的． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获得利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元.记企业研发新产品A 和B 获得的利润为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x x =+，()xxg x e =. （1）设)(x f '为)(x f 的导函数，求)(e f '的值；（2）若不等式()()2f xg x ax ≤)R (∈a 对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值．天津市部分区2019～2020学年度第二学期期末考试高二数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．60 12．1)21(,0≥<∀xx 13．135° 14．0.98 15.31-三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）解：（1）()33f x x x =-+1，所以1)0(=f ……………………………………1分又()2'33f x x =-， ……………………………………………………3分所以3)0(-='=f k ………………………………………………………4分 故切线方013=-+y x . …………………………………………………6分 （2）()2'330f x x =->，则1x >或1x <-； ………………………………8分()2'330f x x =-<，则11x -<<. ………………………………………10分故函数在(),1-∞-和()1,+∞上单调递增…………………………………………11分 在()1,1-上单调递减. ………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由A ∩B ＝{3,7}得a 2＋4a ＋2＝7， 解得a ＝1或a ＝－5.………………4分 当a ＝1时，集合B ＝{0,7,3,1}； ……………………………………………………5分 当a ＝－5时，因为2-a =7，集合B 中元素重复． …………………………………6分 所以，a ＝－5不符合题意，舍去， ………………………………………………8分 所以a ＝1 ……………………………………………………………………………10分 集合B ＝{0,7,3,1} ……………………………………………………………………11分所以{}7,3,2,1,0=B A ………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：(1)因为3232n n C A =………………………………………………………1分所以23)2)(1(3)1(2⨯--=-n n n n n …………………………………………………3分即24-=n所以6=n …………………………………………………………………………5分 （2）nx x)21(-其中6=n ，所以6)21(x x-中 ………………………………7分 626661)2()2()1(--+-=-=k k k k k k k xC x xC T ………………………………………9分 所以262=-k ， ………………………………………………………………10分 所以4=k …………………………………………………………………………11分 所以系数为240……………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A ………………………………1分 且事件B 为事件A 的对立事件, …………………………………………………2分 则事件B 为新产品,A B 都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35, 则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ………………………………………3分 再根据对立事件概率之间的概率公式可得()()13115P A P B =-=,……………4分 所以至少一种产品研发成功的概率为1315. ………………………………………5分 (2) 依题意,0,120,100,220ξ=,……………………6分 由独立试验同时发生的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ………………………………………………7分()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭; …………………………………………………8分 ()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭; ……………………………………………………9分()232220355P ξ==⨯=;…………………………………………………………10分所以ξ的分布列如下:………………………………………………………………………………………11分则数学期望24120120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088140=++=. …………………………………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()ln f x x x x =+…………………………………………………1分 所以2ln )(+='x x f ………………………………………………………………3分 所以3)(='e f ………………………………………………………………………4分 （1）()()2f xg x ax ≥，即()2ln x x x x x ax e+⋅≥，……………………………5分 化简可得ln 1xx a e+≤. ………………………………………………………………6分 令()ln 1xx k x e +=，…………………………………………………………………7分 ()()1ln 1xx xk x e -+'=，……………………………………………………………8分因为1x ≥，所以11x≤，ln 11x +≥.………………………………………………9分 所以()0k x '≤，()k x 在[)1,+∞上单调递减，……………………………………10分 ()()11k x k e≤=.………………………………………………………………………11分所以a的最小值为1e. …………………………………………………………………12分。
(2019-2020)学年天津市部分区高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．23．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．2【分析】利用双曲线方程求解实半轴的长，半焦距的长，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的离心率是=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，∴=0﹣3+3（3+λ）=0，解得实数λ=﹣2．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，反之不成立，即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键．6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，则半径可求，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．故选：D．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关【分析】先判断直线过定点（1，0），然后判断定点和圆的位置关系即可．【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），圆心坐标为C（2，0），半径r=，则|AC|=2﹣1=1＜，则点A在圆内，则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线过定点，判断定点和圆的位置关系是解决本题的关键．8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α【分析】根据空间线面位置关系的判定或性质进行判断．【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了空间线面位置关系，属于中档题．9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．M的坐标，然后求解即可．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1M（3，3），则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），由题意可知：|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，由a﹣c≤|PF|≤a+c，即可求得|PM|的取值范围．【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．∴|PM|==，当|PF|最大时，切线长|PM|最大．当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，最小值为：5+3=8，∴|PM|==3，|PM|的取值范围[，3]，故选D．【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查椭圆的性质，焦半径的取值范围，考查转化思想，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．【分析】先根据抛物线的方程判断出抛物线的开口方向，进而利用抛物线标准方程求得p，则焦点方程可得．【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左∴焦点坐标为（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，解题过程中注意抛物线的开口方向，焦点所在的位置12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【分析】先根据椭圆的方程求得P的坐标，进而根据椭圆的定义求得答案．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4∴|PF2|=4﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的简单性质．解答的关键是利用椭圆的定义．属基础题．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．【分析】利用平行与垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．则m+n=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平行与垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．【分析】取AC，A1C1的中点分别为E，H．可得BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，解△AFD即可．【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，AF=，DF=，∴∴．故答案为：【点评】本题考查了空间线面角的求解，属于中档题．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是∪．【分析】由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．根据质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△＜0，即可得出．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化为：k2，解得k或k．∴k的取值范围是∪．故答案为：∪．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【分析】（1）根据圆的一般方程的定义进行求解即可．（2）求出圆心和半径，结合直线的弦长公式进行计算．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）【点评】本题主要考查圆的一般方程以及直线和圆相交时的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．【分析】（1）将直线AB的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；（2）分别求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式，即可求出．【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4即有x1x2+y1y2=0，则•=0=0，即有OA⊥OB；（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，=•|OA|•|OB|=××2=3．∴S△OAB【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，属于中档题．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明BD⊥AD，根据面面垂直的性质可得BD ⊥平面PAD，故而平面MBD⊥平面PAD；（2）求出P到平面ABCD的高和△ABD的高，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣BCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=．在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．==2．∴S△BCD==．∴V P﹣BCD【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．【分析】（1）以D为原点，建立的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），由此能证明C1D⊥D1E．（2）由动点M满足（0＜λ＜1），得M（2a，0，λ），连接BM，求出平面AD1E的法向量，利用向量法能法语出结果．（3）连接AB1，B1E，求出平面B1AE的法向量，利用向量法能求出AD．【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，a，2a），∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），=（﹣a，1，0），=（0，1，1），则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的实数值的求法，考查满足二面角的棱长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的离心率及通径公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得m=﹣k，则直线l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）．【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，∴所求椭圆C的方程为；…（3分）（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k AD•k BD=﹣1，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，∴m1=﹣2k，m2=﹣k，且均满足3+4k2﹣m2＞0，（9分）当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾，当m1=﹣k时，l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）∴直线l过定点，定点坐标为（，0）．（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量坐标运算，考查转化思想，属于中档题．。
天津市河西区2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
DB
，得
2x 2 y
n1
0
0
PA n1
220，
PA
n1，
又PA
平面BDE，
PA/ /平面BDE.
（2）解：由（
1）知n1
(1,
1,1)
是平面BDE的一个法向量，
又n2
DA
(2,0,0)
是平面DEC的一个法向量.
设二面角B
【剖析】
（1）成立以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角
坐标系，再标出点的坐标，利用空间向量的应用即可得证；
（2）求出平面BDE的一个法向量，平面
DEC的一个法向量，再利用数目积公式求解即可；
（3）假定棱PB上存在点F，使PB
平面DEF，由PB DF
0求解即可.
【详解】证明： （1）以D为坐标原点，分别以
【剖析】
由m( x1, y1, z1)，n(x2, y2, z2)，则mn(x1x2, x2y2, z1z2)，代入运算即可得
解.
【详解】解:由于向量a
(2, 0, 1)，向量b
(0,1, 2)，
则2a (4,0, 2),
则2a b(4, 1,0),
应选:C.
【点睛】此题考察了向量减法的坐标运算，属基础题.
x
1有同样的渐近线，且经过点
a
b
4
2
- 9 -
M(2,2).
（1）求双曲线C的方程；
（2）求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
【答案】（1）x2
y2
1；（2）实轴长
2，离心率为
3，距离为2
2
【分析】
【剖析】
天津市和平区2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
9.命题：“ ”的否定为____．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】写命题否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题“ ”的否定是“ ”.
故答案为∀x∈R，x2﹣ax+1≥0
【点睛】本题考查命题的否定及特称命题与全称命题的关系，属于基本知识的考查．
【答案】
【解析】
【分析】
设 ， ，则 ， 由 ，可得 ，解得 即可求解．
【详解】解：由抛物线C： ，得焦点 ，准线方程为 过P作PM垂直准线于M，
设 ， ，则 ，
．
由 ，可得 ，
解得 ．
则 的面积为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点 的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．
【答案】（1） （2）直线l的方程为
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的几何性质求得 ， ；
（2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l 方程．
【详解】∵抛物线 的焦点坐标F(1,0)，p=2，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=1，
设P(m,n)，由抛物线定义知：
.
∴P点的坐标为 .
，解得： .
则渐近线方程为 .
故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解，抛物线的几何性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
则有 ，即 ，
2019-2020学年天津市河西区高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷题号 一 二 三 总分 得分第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1. 在四面体O −ABC 中，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,D为BC 的中点，为AD 的中点，则( )A. 12a +14b ⃗ +14c ⃗ B. 12a ⃗ +13b ⃗ −12c ⃗ C. 13a ⃗ +14b ⃗ +14c ⃗ D. 13a ⃗ −14b ⃗ +14c ⃗2. 设P 是椭圆x 216+y 210=1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|+|PF 2|等于( ) A. 4 B. √10C. 8D. 2√103. 已知抛物线y 2=2px 的准线方程是x =−2，则p 的值为( )A. 2B. 4C. −2D. −44. 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，长轴长为8，则椭圆的标准方程为( )A. x 216+y24=1 B. x 24+y 2=1C. x 216+y212=1 D. x 24+y 23=1 5. 在三棱锥A −BCD 中，E 是CD 的中点，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 设双曲线mx 2+ny 2=1的一个焦点与抛物线y =18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为( )A. 2B. √3C. 2√2D. 2√37. 已知平面α的一个法向量a ⃗ =(x,2y −1,−14)，又b ⃗ =(−1,2，1)，c ⃗ =(3,12,−2)且b ⃗ ，c ⃗ 在α内，则a ⃗ =( )A. (−952,−5326,−14) B. (−952,−2752,−14) C. (−952,126,−14)D. (−2752,−5326,−14)8. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点是F ，点M 是抛物线C 上的动点，点Q 是圆A ：(x −4)2+(y −1)2=1上的动点，则|MF|+|MQ|的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 59. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)中，F 2为其右焦点，A 1为其左顶点，点B(0,b)在以A 1F 2为直径的圆上，则此双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. √3+12 D. √5+12第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 设向量m⃗⃗⃗ =(2,2s −2,t +2)，n ⃗ =(4,2s +1,3t −2)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则实数s +t =__________． 11. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >b >0)右支上一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为________． 12. 若方程x 2a 2+y 2a=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．13. 在空间直角坐标系O −xyz 中，A(0,0，1)，B(m 2,0，0)，C(0,1，0)，D(1,2，1)，若四面体OABC 的外接球的表面积为6π，则异面直线OD 与AB 所成角的余弦值为______．14. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)经过点P(1,4)，直线PA ，PB 分别与抛物线C 交于点A ，B ，若直线PA ，PB 的斜率之和为零，则直线AB 的斜率为______． 15. 已知O(0,0，0)，A(1,2，3)，B(2,1，2)，P(1,1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，点Q 的坐标是________． 三、解答题（本大题共3小题，共34.0分）16. 已知双曲线方程9x 2−7y 2=63，求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．17. 如图，在底面是正方形的四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =1，点E 在PD 上，且PE ：ED =2：1． (1)求二面角D −AC −E 的余弦值；(2)在棱PC 上是否存在一点F ，使得BF//平面ACE ．18. 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2√23的椭圆过点(√2,√73)．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与y 轴的非负半轴交于点B ，过点B 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点P ，Q 两点，连接PQ ，求△BPQ 的面积的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查空间向量的加减法，考查学生计算能力，属于基础题．直接表示OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，化简即可． 【解答】解：OE ⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14×(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ +14c ⃗ ． 故选：A ．2.【答案】C【解析】解：椭圆x 216+y 210=1中，a =4， ∵P 是椭圆x 216+y 210=1上的点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点， ∴由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a =8． 故选：C ．由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ．本题考查椭圆的定义的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．3.【答案】B【解析】解：抛物线y 2=2px 的准线方程是x =−2，则p 的值：4． 故选：B ．利用抛物线的准线方程求出p ，即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】 【分析】运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，求出a ，b ，即可得到椭圆方程． 本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的公式和运用，属于基础题． 【解答】解：焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，长轴长为8， 即有ca =12，a =4，即为c =2，b =√a 2−c 2=2√3， 则椭圆方程为x 216+y 212=1．故选C ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由E 是CD 的中点，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可得出． 【解答】 解：如图所示，∵E 是CD 的中点，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．6.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查双曲线方程的求解，双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．由题意可得双曲线的一个焦点为(0,2)，据此整理计算可得双曲线的渐近线方程为y 2−x 23=0，求得渐近线方程为x −√3y =0，结合点到直线距离公式求解焦点到渐近线的距离即可． 【解答】解：∵抛物线x 2=8y 的焦点为(0,2)， ∴mx 2+ny 2=1的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上， ∴a 2=1n ，，c =2，根据双曲线三个参数的关系得到4=a 2+b 2=1n −1m ， 又离心率为2，即41n=4，解得，∴此双曲线的渐近线方程为y 2−x 23=0，则双曲线的一条渐近线方程为x −√3y =0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为：d =√3|√1+3=√3．故选B ．7.【答案】C【解析】解：由题意可得{a ⃗ ⋅b ⃗ =0a ⃗ ⋅c ⃗ =0，即{−x +2(2y −1)−14=03x +12(2y −1)+12=0，解得x =−952，y =2752． ∴a ⃗ =(−952,126,−14)． 故选：C ．由题意可得{a ⃗ ⋅b ⃗ =0a ⃗ ⋅c ⃗ =0，即{−x +2(2y −1)−14=03x +12(2y −1)+12=0，解得即可． 本题考查了线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，抛物线C的准线是l：x=−2，作MD⊥l于D，由抛物线的定义知|MF|=|MD|，所以要使|MF|+|MQ|最小，即|MD|+|MQ|最小，只要D，M，Q三点共线且M在D与Q之间即可，此时|MD|+|MQ|的最小值是：|AD|−1=6−1=5，故选：D．根据题意，求出抛物线的准线方程，作MD⊥l于D，由抛物线的定义知|MF|=|MD|，结合图形分析可得答案．本题考查抛物线的几何性质，关键是充分利用抛物线的定义分析．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．由题意，A1B⊥BF2，可得b2=ac，结合b2=c2−a2，即可得出结论．【解析】解：由题意，A1B⊥BF2，∴b2=ac，∴c2−a2=ac，∴e2−e−1=0，∵e>1，∴e=√5+1．2故选：D．10.【答案】172【解析】【分析】本题考查空间向量共线定理的应用．由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴存在实数k ，使得m ⃗⃗⃗ =k n ⃗ ，解出方程组即可解出s 和t ． 【解答】解：∵m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴存在实数k ，使得m ⃗⃗⃗ =k n ⃗ ，则{2=4k2s −2=k (2s +1)t +2=k (3t −2)， 解得k =12，s =52， t =6， ∴s +t =172．故答案为172．11.【答案】1<e ≤2或3≤e <6【解析】 【分析】本题考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 【解答】解：由题意，设P 到右准线距离为d ，则d ≥a −a 2c．根据第二定义，可得P 到右焦点的距离为ed ，∵右支上一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍， ∴P 到左焦点的距离为6d ， ∴6d −ed =2a ， ∴d =2a6−e (e <6)， ∴2a6−e ≥a −a 2c ，∴26−e ≥1−1e， ∴e 2−5e +6≥0， ∴e ≤2或e ≥3， ∵1<e <6，∴1<e ≤2或3≤e <6． 故答案为1<e ≤2或3≤e <6．12.【答案】(0,1)【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及二次不等式的解法，属于基础题． 由题意得a >a 2>0，求解即可． 【解答】 解： 因为方程x 2a 2+y 2a=1表示焦点在y 轴上的椭圆，所以a >a 2>0，解得0<a <1． 故答案为(0,1)．13.【答案】√3030【解析】 【分析】本题主要考查几何体中外接球的计算、以及异面直线所成角的计算，熟记公式即可，属于基础题．先由题意得到四面体OABC 的外接球即是四面体所在长方体的外接球，再由外接球的表面积求出m 2，从而可得到向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 坐标，根据cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可求出结果． 解：由题意易知OA ，OB ，OC 两两垂直，∴四面体OABC 的外接球即是四面体所在长方体的外接球，且外接球直接等于体对角线的长， 因此4π×12+12+m 44=6π，解得m 2=2，从而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1)， 则cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |√5×√6=√3030． ∴异面直线OD 与AB 所成角的余弦值为√3030．故答案为：√3030．14.【答案】−2【解析】解：因为抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,4)，∴p =8，∴抛物线C ：y 2=16x ， 设直线PA ：y −4=k(x −1)，并代入y 2=16x 消去x 并整理得k 2x 2+(8k −2k 2−16)xx +(4−k)2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)依题意知1和x 1是以上一元二次方程的两个根，∴1⋅x 1=(4−k)2k 2，∴x 1=k 2−8k+16k 2，∴y 1=4−k +kx 1=4−k +k ⋅k 2−8k+16k 2=16k−4，同理得x 2=k 2+8k−16k 2，y 2=−16k−4，所以直线AB 的斜率为：y 1−y 2x 1−x 2=16k −4+16k+4k 2−8k+16−k 2−8k−16k 2=−2．故答案为：−2将P(1,4)代入y 2=2px 可解得p =8，得抛物线方程为y 2=16x ，在设出直线PA 的方程并与抛物线方程联立解得A 的坐标，同理解得B 的坐标，最后用斜率公式可求得AB 的斜率为定值−2．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．15.【答案】(43,43,83)【解析】 【分析】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，其中根据空间向量数量积的坐标运算公式，求出QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，进而将问题转化为一个二次函数最值问题，是解答本题的关键． 可先设Q(x,y ，z)，由点Q 在直线OP 上可得Q(λ,λ,2λ)，则由向量的数量积的坐标表示可求QA ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q 点的坐标． 【解答】解：设Q(x,y ，z)，∵A(1,2，3)，(2,1，2)，P(1,1，2)，则由点Q 在直线OP 上可得存在实数λ使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,2λ)， 则Q(λ,λ,2λ)，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,2−λ,3−2λ)，QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−λ,1−λ,2−2λ)， ∴QA ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)(2−λ)+(2−λ)(1−λ)+(3−2λ)(2−2λ)=2(3λ2−8λ+5)， 根据二次函数的性质可得当λ=43时，取得最小值−23， 此时Q 点的坐标为：(43,43,83). 故答案为(43,43,83).16.【答案】解：∵双曲线方程9x 2−7y 2=63，∴双曲线的标准方程为：x 27−y 29=1，∴a =√7，b =3，∴该双曲线的实轴长为2a =2√7， 虚轴长为2b =6， 离心率e =ca=4√77，渐近线方程为y =±3√77x.【解析】把双曲线方程化为标准方程，分别求出a ，b ，c ，由此及彼能求出此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质，是基础题，解题时要把双曲线方程转化为标准方程．17.【答案】解：(1)以A 为坐标原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，则P(0,0，1)，C(1,1，0)，E(0,23,13)，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,23,13)， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABCD 的法向量， AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面ACE 的一个法向量为n ⃗ =(a,b ，c)， 得{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b +13c =0， 令c =2，则b =−1，a =1， ∴n ⃗ =(1,−1,2)．则cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=n⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63，即所求二面角的余弦值为√63．(2)设PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]， 则PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,−λ)， ∵B(1,0，0)，P(0,0，1)， ∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，BF⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1,λ,1−λ)， 若BF//平面ACE ，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，则(λ−1,λ,1−λ)⋅(1,−1,2)=0， 解得λ=12，即存在满足题意的点，当F 是棱PC 的中点时，EF//平面ACE ．【解析】本题主要考查二面角的求解，以及线面平行的应用，建立空间直角坐标系，利用空间向量法是解决本题的关键．(1)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角D −AC −E 的余弦值； (2)根据线面平行的判定定理，设PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，建立条件关系，即可得到结论． 18.【答案】解：(Ⅰ)由题意可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则{c a=2√232a 2+79b 2=1，故{a =3b =1， 所以，椭圆方程为x 29+y 2=1．(Ⅱ)由题意可知，直线BP 的斜率存在且不为o ．故可设直线BP 的方程为y =kx +1，由对称性，不妨设k >0， 由{y =kx +1x 2+9y 2−9=0，消去y 得(1+9k 2)x 2+18kx =0， 则|BP|=√1+k 218k 1+9k 2，将式子中的k >0换成−1k ， 得：|BQ|=18√1+k 2k 2+9． S △BPQ =12|BP||BQ|=12⋅18k√k 2+11+9k 2⋅18√k 2+1k 2+9 =12√k 2+118k 1+9k 2√1k 2+1181k 1+9k2=√k2+1√1k2+1162(1+9k2)(1+9k2)=(k+1k )16282+9(k2+1k2)，设k+1k=t，则t≥2．故S△BPQ=162t9t+64=1629t+64t≤2√9×64=278，取等条件为9t=64t即t=83，即k+1k =83，解得k=4±√73时，S△BPQ取得最大值278．【解析】(Ⅰ)设出椭圆的方程；利用椭圆的离心率，经过的点，求出a，b即可得到椭圆方程．(Ⅱ)直线BP的斜率存在且不为0.设直线BP的方程为y=kx+1，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理以及弦长公式，表示三角形的面积，利用基本不等式转化求解最值即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。
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河西区2019—2020学年度第一学期高二年级期末质量调查数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量(2,0,1)a =-r ，向量(0,1,2)b =-r ，则2a b -=r r （ ）A. (4,1,0)-B. (4,1,4)--C. (4,1,0)-D. (4,1,4)--【答案】C【解析】【分析】 由111(,,)m x y z =u r ，222(,,)n x y z =r ，则122212(,,)m n x x x y z z -=---u r r ，代入运算即可得解.【详解】解:因为向量(2,0,1)a =-r ，向量(0,1,2)b =-r， 则2(4,0,2)a =-r ,则2a b -=r r (4,1,0)-,故选:C.【点睛】本题考查了向量减法的坐标运算，属基础题.2.设P 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上的一动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. 2bB. 2aC. bD. a 【答案】B【解析】【分析】 由椭圆的定义122PF PF a +=即可得解.【详解】解：设椭圆的两个焦点为12,F F ，点P 为椭圆上的点， 由椭圆的定义有：122PF PF a +=，故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的定义，属基础题.3.抛物线214x y =的准线方程是（ ）A. 116x =B. 116x =-C. 2x =-D. 1x =-【答案】D【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，再求抛物线的准线方程即可. 【详解】解：由抛物线的方程为214x y =， 化为标准式可得24y x =， 即抛物线24y x =的准线方程是：1x =-，故选：D. 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，重点考查了抛物线的准线方程，属基础题.4.中心在坐标原心、焦点在x 轴，且长轴长为18、焦距为12的椭圆的标准方程为( ) A. 22x y 18172+= B. 22x y 1819+= C. 22x y 18145+= D. 22x y 18136+= 【答案】A【解析】【分析】 根据条件，求得a 、b 、c 的值，进而可得椭圆的标准方程．【详解】由题可得218a =，26c =，故281a =，272b =，又焦点在x 轴上，所以所求椭圆的标准方程为2218172x y +=， 故选A ．【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，注意焦点的位置，属于基础题．5.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,AB a AA c BC b ===u u u r u u u r u u u r ，则BM u u u u r 可表示为（ ）A. 1122a b c -++ B.1122a b c ++ C. 1122a b c --+ D. 1122a b c -+ 【答案】A【解析】 111111()()2222BM BB B M c BA BC c a b a b c =+=++=+-+=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r r r r r Q r r r ,故本题正确答案为.A 6.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 A. 283x y = B. 2163x y = C. 28x y = D. 216x y = 【答案】D【解析】由e=c a =2得4=22c a =1+22b a, ∴22b a=3. ∴双曲线的渐近线方程为3抛物线x 2=2py 的焦点是（0,2p ）,它到直线的距离d=2=22p ±=4p , ∴p=8.∴抛物线方程为x 2=16y.故选D.7.若两个向量()()1,2,3,3,2,1AB AC ==u u u v u u u v ,则平面ABC 的一个法向量为（ ）A. ()1,2,1--B. ()1,2,1C. ()1,2,1-D. ()1,2,1-【答案】A【解析】【分析】设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =r ，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解.【详解】设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =r ， 则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即230320x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，令1x =-，则2,1y z ==-， 即平面ABC 的一个法向量为(1,2,1)n =--v，故选A.【点睛】本题主要考查了平面的法向量的求解，其中解答中根据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直，列出关于,,x y z 的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8.已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】求出A 点坐标，作O 关于准线的对称点M ，利用连点之间相对最短得出AM 为PA PO +的最小值．【详解】解：抛物线的准线方程为2y =-， ∵4AF =，∴A 到准线的距离为4，故A 点纵坐标为2， 把2y =代入抛物线方程可得4x =±．不妨设A 在第一象限，则()4,2A ，点O 关于准线2y =-的对称点为()0,4M -，连接AM ，则PO PM =，于是PA PO PA PM AM +=+≥故PA PO +的最小值为2246213AM =+=．故选B ．【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．9.设12F F 、分别为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，12F F 、为直径的圆交双曲线某条渐近线于M N 、两点，且满足120MAN ︒∠=，则双曲线的离心率为（ ）A. 33 21 C. 23 D. 103【答案】B【解析】【分析】先求出双曲线渐近线方程，然后求出(,),(,)M a b N a b --，再利用向量数量积运算即可得解.【详解】解：由双曲线方程为22221x y a b-=，则其渐近线方程为b y x a=±， 联立222222x y c b y x a c a b⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩， 即(,),(,)M a b N a b --，又(,0)A a -，则(2,)AM a b =u u u u r ，(0,)AN b =-u u u r ，则21()2AM AN b ⋅=-=-u u u u r u u u r ， 解得2234b a =，即2223()4c a a -=，即2237c a =，即3c e a ==， 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，重点考查了双曲线的离心率，属中档题.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分.10.若向量(,1,3)a x =-r ，向量(2,,6)b y =r ，且//a b r r ，则x =_____，y =_____.【答案】 (1). 1 (2). -2【解析】【分析】 由题意可得1326x y -==，再求解即可. 【详解】解：由向量(,1,3)a x =-r ，向量(2,,6)b y =r ，且//a b r r ， 则1326x y -==， 解得：x 1,y 2==-，故答案为：1，-2.【点睛】本题考查了空间向量共线的坐标运算，属基础题.11.若双曲线221916x y -=上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右焦点的距离是 . 【答案】10【解析】试题分析：由双曲线方程可知293,26a a a =∴==，由定义122PF PF a -=得210PF =考点：双曲线定义点评：双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值等于2a12.若方程22151x y m m +=--表示焦点在y 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是_____. 【答案】(3,5)【解析】【分析】由椭圆的几何性质可得501015m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，再解不等式组即可得解. 【详解】解：由方程22151x y m m +=--表示焦点在y 轴的椭圆， 则501015m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得：513m m m <⎧⎪>⎨⎪>⎩，即35m <<，故答案为：(3,5). 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，属基础题.13.在空间直角坐标系O xyz -中，(1,2,1)A -，(1,1,1)B ，(0,1,2)C ，则异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为______.【解析】【分析】先求出向量OA u u u r 与BC u u u r 所成角的余弦值，再求异面直线OA 与BC 所成角的余弦值即可.【详解】解：由(1,2,1)A -，(1,1,1)B ，(0,1,2)C ，则(1,2,1)OA =-u u u r ,(1,0,1)BC =-u u u r ,则向量OA u u u r 与BC u u u r所成角的余弦值为3OA BC OA BC⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r , 则异面直线OA 与BC【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，重点考查了空间向量的应用，属基础题.14.已知过点M （1，0）的直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ，OB 的斜率之和为1，则直线AB 方程为______．【答案】2x +y -2=0【解析】【分析】设直线AB 的方程并代入抛物线方程，根据韦达定理以及斜率公式，可得t 的值，进而得到直线的方程．【详解】依题意可设直线AB 的方程为：x=ty+1，代入y 2=2x 得2220y ty --=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1y 2=-2，y 1+y 2=2t ， 所以12121212122()22422OA OB y y y y t k k t x x y y y y ++=+=+===--，∴21t -=，解得12t =-， ∴直线AB 的方程为：x=12y -+1，即2x+y-2=0． 故答案为2x+y-2=0． 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及直线方程的求解，其中设出直线的方程，代入抛物线的方程，利用韦达定理以及斜率公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题． 15.在空间直角坐标系O xyz -中，(2,2,2)a x y =--r ，(3,2,3)b x y x =-r ，且12a b ⋅=r r ，则222m x y x =++的最小值是________，最大值是__________.【答案】 (1). 0 (2). 8【解析】【分析】 先利用空间向量数量积运算可得22143x y +=，再利用椭圆的参数方程求最值即可得解. 【详解】解：因为(2,2,2)a x y =--r ，(3,2,3)b x y x =-r ，且12a b ⋅=r r ，所以2223(2)(2)(2)(3)3412x x y x x y -++-⨯-=+=， 即22143x y +=，设2cos ,x y θθ==，则22222224cos 3sin 4cos cos 4cos 3(cos 2)1m x y x θθθθθθ=++=++=++=+- ， 又[]cos 1,1θ∈-，则min 0m =，max 8m =故答案为：0，8.【点睛】本题考查了空间向量数量积运算，重点考查了椭圆的参数方程，属中档题.三.解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M . （1）求双曲线C 的方程；（2）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.【答案】（1）2212y x -=；（2）实轴长2 【解析】【分析】（1）由共渐近线双曲线方程的求法求解即可；（2）由双曲线方程及点到直线距离求解即可.【详解】解：（1）解：在双曲线22142-=y x 中，2a '=，b '=，则渐近线方程为a y x b''=±=，∵双曲线2222:1x y C a b -=与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线， 2b a∴=， ∴方程可化为222212x y a a-=， 又双曲线C 经过点(2,2)M -，代入方程，222212a a∴-=，解得1a =，2b =， ∴双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）解；由（1）知双曲线22:12y C x -=中， 1a =Q ，2b =，3c =，∴实轴长22a =，离心率为3==c e a， 设双曲线C 的一个焦点为(3,0)-，一条渐近线方程为2y x =， |32|221d -⨯∴==+， 即焦点到渐近线的距离为2.【点睛】本题考查了共渐近线双曲线方程的求法，重点考查了点到直线的距离，属基础题. 17.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点.（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）求二面角B DE C --的余弦值；（3）若点F 在线段PB （不包含端点）上，且直线PB ⊥平面DEF ，求线段DF 的长.【答案】（1）证明见解析（23【解析】【分析】（1）建立以D 为坐标原点，分别以DA DC DP 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，再标出点的坐标，利用空间向量的应用即可得证；（2）求出平面BDE 的一个法向量，平面DEC 的一个法向量，再利用数量积公式求解即可；（3）假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，由0PB DF ⋅=u u u r u u u r求解即可.【详解】证明：（1）以D 为坐标原点，分别以DA DC DP 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,2,0)B ， 则(2,0,2)PA =-u u u r ，(0,1,1)DE =u u u r ，(2,2,0)DB u u u r =，设1(,,)n x y z =u r 是平面BDE 的一个法向量，则由1100n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩，取1y =-，得1(1,1,1)n =-u u r . 1220PA n ⋅=-=u u u r u u r Q ，1PA n ∴⊥u u u r u u r ，又PA ⊄平面BDE ，//PA ∴平面BDE .（2）解：由（1）知1(1,1,1)n =-u u r 是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==u u r u u u r 是平面DEC 的一个法向量.设二面角B DE C --的平面角为θ，由图可知12,n n θ=<>u u r u u r，112212cos cos ,3n n n n n n θ⋅∴=<>==⋅u u u r u u r u u r u u u r u u r r , 故二面角B DE C --（3）假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设(01)PF PB λλ=<<u u u r u u u r ，(,,)F x y z则(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-，(2,2,22)F λλλ∴-，(2,2,22)DF λλλ=-u u u r ，(2,2,2)PB =-u u u r ，由0PB DF ⋅=u u u r u u u r 得442(22)0λλλ+--=， 解得13λ=，224,,333F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 则22222426||333DF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r .【点睛】本题考查了空间向量的综合应用，重点考查了运算能力，属中档题.18.已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)3F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜23O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）22y x =±- 【解析】试题分析：设出F ，由直线AF求得c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF的斜率为3，()0,2A -所以2c =c =又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）解：设()()1122,,,P x y Q x y由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-， 联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即2k <-或2k >时 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ===点O 到直线l 的距离d =所以21214OPQ S d PQ k∆==+，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.。