孙会元固体物理基础第一章1.2自由电子气体的热性质
《固体物理》课程教学大纲
《固体物理》课程教学大纲课程名称：固体物理课程类别：专业必修课适用专业：物理学考核方式：考试总学时、学分：56 学时 3.5 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标固体物理学是应用物理和物理类专业的一门基础课程，是继四大力学之后的一门基础且关键的课程。
主要内容是固体的结构及组成粒子（原子、离子、电子等）之间的相互作用与运动规律，阐明固体的性能、用途以及其与微观图像的联系，以晶格振动、固态电子论和固体的能带理论为主要内容。
课程教学目标为：课程教学目标1：通过固体物理学的整个教学过程，使学生理解晶体微观结构和宏观性质的联系。
课程教学目标2：熟悉固体无论晶格结构，基本键和作用，晶格振动的物理图像，固体电子论和能带理论等基本概念和物理图像。
课程教学目标3：了解固体物理领域的一些新进展，为以后的专业课和研究生阶段学习打好基础。
课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。
二、课程教学要求本课程教学的基本结构要求：本课程以晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带理论、金属和半导体电子理论、外场中晶体电子的运动规律为基本结构，内容有晶格周期性、晶格的对称性、晶体四种结合方式、简谐振动、声子、晶格振动的热容理论、晶格振动模式密度、布洛赫定理、弱周期场近似、紧束缚近似、能态密度、准经典运动、回旋共振、德哈斯-范阿尔芬效应、电子热容等。
执行本大纲应注意的问题：1.注意本课程与量子力学和热统的紧密联系，尤其是注意量子力学课程进度；2．注意讲清本课程中的基本概念和基本理论，在保持课程的科学性及系统性的基础上，应突出重点、难点，并努力反映本学科的新成就，新动向；3．因学时有限，而内容较多，因此有一部分内容要求学生自学。
学生自学部位不占总学时，但仍然是大纲要求掌握内容。
学生自学部分，采用由教师提示，学生课后自学并提出问题，老师课后解答的方式；4．注重学生思考问题，培养学生思维和研究精神。
孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.7非简谐效应
0
0
0
2 3 1 U2 1 U3 U ( R ) U ( R ) 2 3 0 0 2 ! 3 ! R R R R
（1）简谐近似 展开式中取前两项： 2 2 1 U U ( R ) U ( R ) 0 0 2 U ( r) R0 R 简谐近似下，温度升高，导致振幅变大，但 位移的平均值为零，所以两原子间距不变，无 热膨胀现象。
三声子过程(势能展开取到3次方项)
四声子过程 (势能展开取到4次方项)
两个声子通过非简谐项的作用, 产生了第三个声子, 这可以看成是两个声子碰撞之后变成了第三个声子.
声子的这种相互作用可以理解为: 一个声子的存在将 在晶体中引起周期性的弹性应变, 由于非简谐项的影 响, 晶体的弹性模量不是常数, 而受到弹性应变的调制. 由于弹性模量的变化，将使第二个声子受到散射而 产生第三个声子。
2 ! R R 0
0
0
（2）非简谐效应 展开式中取前三项：
2 3 2 1 3 1 U U U ( R ) U ( R ) 2 3 0 0 2 ! R 3 ! R R R
0 0
非简谐近似下，温度升高，导致振幅变大，位 移的平均值不再为零，两原子间距增大，有热膨 胀现象。
下面我们首先从热力学出发，给出晶体的状 态方程，进而讨论热膨胀 1.晶体的状态方程 由热力学知,压强P、熵S、定容比热CV和自由 能F之间的关系为： 自由能F分为两部分:内能 F U TS U(和体积有关)；束缚能(d F P d V S d T TS)，与温度有关。
F P V T F S T V S CV T T V
孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.1 玻尔兹曼方程
dt, k k dt, k k dt; t) d f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
也就是这部分电子是漂移过来的，所以： f f f f f f f vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
f f f f f f f 推导： vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
利用多元函数的泰勒展开,且只取到dt的线性项
f ( x x, y y， ) f ( x, y， ) ( x y } f ( x, y ) x y
dt, k k dt, k k dt; t ) 右 f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
f ( x, y, z; k x , k y , k z ; t ) {v xdt v ydt v zdt x y z kx dt k y dt k z dt } f (x , y , z ; k x , k y , k z ;t ) kx k y kz
与位置 r 有关系，通常是由
温度梯度
r 变化
化学势变化
电子分布函数f 与波矢 k 有关系，也就是与
f 变化
能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以 理解。 电子分布函数f 与时间t有关系，是因为外力的 作用使得波矢依赖于时间，即： 在外电场E 和磁场 B 中,电子的运动规律是： dk F e(E v B) dt
固体物理基础课程-1
Eph
h ph
hc
ph
~
E2
E1
元素能级数据库与能谱/光谱分析——化学组成的无损分析
“全元素”分析——无需指定分析元素； 分析精度比较低，低
试样要求低，而且为无损检测；
含量元素往往分析
SEM/TEM中都配备能谱分析仪
不出来
原因：物质波，波函数模的平方代表粒子出现的几率密度
电子能级
电子的状态：取决于四个量子数(n，l，m，ms )
孤立原子与固体材料的内层电子的电子能级情况如何？ 1) 氢原子的电子能级： －13.6/n2 (eV)
2) 类氢离子的电子能级： － 13.6 x Z2 /n2 (eV) 3) 多电子原子中电子的能级：
固体物理基础C
第一部分 固体材料中电子态
固体材料内能——微观角度观察
出发点：固体材料是大量原子相互结合的产物 材料能量：其中所有原子能量之和
内能 = 核能 + 核外电子能量 + 振动能
能量的基准：不涉及核反应时，所有原子核的能量为0——基准
注意：涉及核能时，核外电子能量往往远远低于核能，可忽略！
0K下 U(0K)取决于核外电子能量： 为所有组成原子中各电子所 处能级的能量之和
n0为粒子波传播方向上的单位矢量，也就是粒子运动的方向p it r k Aexp iEt r p
A为振幅，t为时间，r为空间 位置矢量，i为虚数单位。
依据量子理论微观粒子的状态完全由波函数Ψ r, t 描述。 一般波函数 Ψ r, t 的物理意义：粒子出现的几率密度
—各量子数都有影响：元素周期性排布
—非全满电子亚层中电子填充的洪特(Hund)法则 比如：Fe原子，核外26个电子，如何排布？ 1s22s22p63s23p63d64s2
固体物理基础参考解答
当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
对于自由电子气体，能量为
εn (k ) =
2k 2 2m
∇kεn (k )
=
2
m
k
；
k
=
1
(2mε
)
1 2
三维下，对应等能面为球面，所以单位体积的能态密度为：
∫ g (ε ) = 2
n
(2π )3
dsε
=2
4π k 2 =
1
(2m3
)
1 2
ε
1 2
∇k εn (k ) 8π 3 2k / m π 2 3
米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等。
5. 如何理解金属自由电子气体的简并性？
答 ：在 统 计 物 理 中 ，把 体 系 与 经 典 行 为 的 偏 离 ，称 为 简 并 性 (degeneracy)。在
绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照经
典 的 自 由 电 子 气 体 (Drude)的 模 型 ，电 子 在 T=0 时 的 平 均 能 量 为 零 。因 此 ，在 T=0K
如此对全部电子气来说要出现沿磁感应强度 B 方向的净磁矩，因而，出现了泡利
孙会元 固体物理基础 第一章 1.4电场中的自由电子
从而有
d pp ( t d t )p ( t ) p ( t ) F ( t ) d t d t
所以，自由电子在外场下的动力学方程为：
d p pt () Ft ( ) d t
设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity)为 vd(t),则动量
p () t m vt () e d
第四节 金属的电导率和热导率
本节主要内容： 一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 二、索末菲近似下金属的电导率 三、金属的热导率
一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 无论是经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论，还 是量子的索末菲自由电子论，在解释金属的电 导和热导问题上都取得了成功,并成功解释了维 德曼—夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁德-洛 仑兹自由电子论的结果。 1. 电场下经典的动力学方程 按照特鲁德-洛仑兹模型，电子遵循碰撞近似 和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向,所以电 子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分 电子。
m e
电导率 n e F
2
me
和前面得到的电导率形式 上一样，只是用F 代替
两种电导率形式上虽然一样，但是两者导电 的物理机理却不同。第一种形式认为费米球内 所有电子都参与了导电,电子数目多但速度缓慢； 第二种则认为只有费米面附近的电子参与了导 电,电子数目少但速度极大，取费米速度；所以, 两者效果一样，即电流密度一样。 严格的理论计算支持了后一种的说法。这主要 是由泡利原理导致的。能量比费米能低得多的 电子，其附近的状态已被电子占据，没有空态 可接受其它电子。因此，这部分电子无法从电 场里获得能量进入较高的能级而对电导做出贡 献，能被电场激发的还是费米面附近的电子。
r n s 3/4
第一章.ppt固体物理课件
2.几种晶格的实例
(1)一维原子链 一维单原子链
a
x na x
一维双原子链
0 x a
b
a
(2)二维
(a)
(b)
a2 a1
a4
a3 a6
(1)平行晶列组成晶列族，晶列 族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的；
(3)晶列族中的每一晶列上，
格点分布都是相同的；
(4)在同一平面内，相邻晶列间的
距离相等。
晶列的特点
2.晶向指数 (1) 用固体物理学原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R l1 a1 l2 a 2 l3 a 3
a1 ,a 2 ,a 3
为固体物理学原胞基矢
其中 l1 , l2 , l3 为整数，将 l , l , l 化为互质的整数 l1 , l2 , l3 ， 1 2 3
记为[ l1l2 l3]， [ l1l2 l3 ]即为该晶列的晶列指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示
§1.2 晶格的周期性
一、晶格与布拉伐格子 1. 晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式。
2. 布拉伐格子(空间点阵） 布拉伐格子：一种数学上的抽象，是点在空间中周期性的规则排列。
格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化学、物理和几 何环境上完全相同。 基元：每一个格点所代表的物理实体。
(c)体心立方
ak
a1
a2
aj
ai
a3
复旦大学《固体物理学》第三讲自由电子气的其他性质课件
上讲回顾•用半经典模型解决了Drude模型对比热高估的问题——高估了参与热激发的电子数目•模型：Sommerfeld仍然沿用Drude模型的基本假定，但用量子力学来处理金属自由电子气*给出了基态（T=0）的重要性质，引入即使超出自由电子气也仍然有效的一些重要概念费米能级、状态密度自由电子气的其他性质1本讲目的：电子气在低温和外场下1.低温下金属自由电子性质与基态有何不同？2.自由电子气在电磁场下如何运动？自由电子气的其他性质2第3讲、自由电子气的其他性质1.自由电子气低温性质(利用低温费米分布特性)*比热（低温时，电子贡献才是主要的）*费米能级、总能（Sommerfeld积分）2.电磁场中的电子气*Hall效应（半经典）*朗道能级（量子）自由电子气的其他性质3相比于基态，极低温下的电子气性质会有哪些不同？自由电子气的其他性质4自由电子气的其他性质51、自由电子气低温(k B T<<E F )性质•引进温度，即引进费米分布•用总电子数确定Fermi 能级•确定电子气能量11)(/)(+=-Tk E E B F eE f ⎪⎩⎪⎨⎧≠===⎰⎰⎰∞∞0 ,)(0 ,)()(0FT dE E E f C T dE E C dE E D E f N E ⎪⎩⎪⎨⎧≠===⎰⎰⎰∞∞2/302/30,)(0 ,)()(0FT dE E E f C T dE E C EdE E D E f U E自由电子气的其他性质6电子被热激发，看被积函数⎰∞=0)()(dEE D E f N ⎰∞=0)()(dEE D E f N 0≠T EC ED =)(FE 0)()()()(FFE E E E E D E f EC EDE f ><==1)()(/)(F +=-Tk E E B eE C E D E f Tk B ⎰∞=0)()(EdE E D E f U自由电子气的其他性质7≠T Ef ∂∂-0=T FB E T k <<的偶函数且是函数类)( ,F E E Ef -∂∂-δ低温时费米分布的数学性质自由电子气的其他性质8()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=+=-=+=+=-=-----0,10,111111222B B x e e x e ee e dx df x f e eE f Tk E x xx x xx xx Tk E μμ-d f (E )/d E 的对称性•对费米分布，其对E 的导数总是x =(E-μ)的偶函数•当T 0时，才是delta 函数自由电子气的其他性质9A. 比热(k B T<<E F )•总能量⎰∞=0)()(EdEE f E D U •总电子数⎰∞=0)()(dEE D E f N •对这两个式子求导，得⎰∞∂∂=∂∂=0el )(TfE dEED T U C VTf E D dEE ∂∂=⎰∞0F )(0⎰∞=0F F )()(dEE D E f E N E •相减后，得()⎰∞∂∂-=0F el)(Tf E D E E dE C V •根据(E -E F )d f /d T 的类δ函数性质，可以近似得到()⎰∞∂∂-≈0FFel)(Tf E E dE E D C V自由电子气的其他性质10•对费米分布求导()()[]2//2B F 1B F B F +-=∂∂--T k E E Tk E E e eT k E E T f •进行变量替换，()Tk E E x B F /-=()()⎰⎰∞-∞+=∂∂-≈T k E x xVe e dxx E TD k Tf E E dE E D C B F /22F 2B 0F F el1)()(•低温时，可将积分下限推至负无穷大，得()31222π=+⎰∞∞-xxee dxxFB 2F 2B2F 2B2el 2233)(3T T Nk N E Tk E TD k C Vπππ===•于是•与前面的半经典估计比较FB el T T NkC V ≈自由电子气的其他性质11F B F B B VVT T Nk E T k Nk T U C 22202elππ==⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=与定性的结果仅差常数因子定性的解释是正确的，即只有Fermi面附近的电子被激发！TC V∝el •低温时，电子气对热容的贡献很小•并不只适用于自由电子气。
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随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变 宽,但在任何情况下,此能量范围约在 kBT 范围内,且随T0K而无限地变窄。
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内 才有显著的值. 即
第二节 费米分布和自由电子气体的热性质
一
化学势和费米能量随温度的变化 自由电子费米气体的比热容
二
1.2.1 化学势和费米能量随温度的变化 T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的 宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量 描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克 分布函数,亦即费米分布函数.
3.费米分布函数的特点
f (i ) (i ) kBT e 1
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
1 f () 0
亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电 子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） 1. 表达式：
f (i ) (i ) kBT e 1
1
是N电子热力学
体系的化学势
2.物理意义
费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量 为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根 据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所 以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平 均电子占据数.
4.化学势随温度的变化 化学势的计算要由下式积分确定，式中，g() 为自由电子费米气体单位体积的能态密度
n f ( )g ( )d
０
1 1 1 1 3 2 2 2 g () 23 ( 2 m ) C
n f ( )g ( )d
０
f ()
1 e
() kBT
很显然，I0等于１，由于 为 ( - ) 的偶函数，因此I1=0。下面考虑I2
(
f )
1 令( - )/kBT=，则 f e 1
此外,由于热激发能远小于基态费米能.因而, 激发态系统增加或减少一个电子时所增加或减 少的能量,即化学势µ 和费米能量相差不多.从而 对化学势和费米能级F不加以区分.因此,很多 的固体书中把费米分布函数表示为：
f () 1 e(F ) kBT 1
1 f () 0
费米分布函数表达式中的是体系的化学势, 它的意义是在体积和温度不变的条件下,系统增 加或减少一个电子时所增加或减少的能量. 化学势可由下式确定：
N / V n ) g ( ) d f(
０
有时称上式为归一化条件 上面的积分不容易得到,为此下面首先给出费 米分布函数的特点,然后再讨论化学势的计算.
将展开式代入积分式中,并把积分下限扩展 到-∞，可得到：
QQ ( ) ( ) （ ） Q ( ) （ ） Q ( ) 2
f f ( I Q ( ) ( ) d Q ) ( ) ( ) d 1 f 2 ( Q ) ( ) ( ) d 2 ( ( I0Q ( )I Q )I2Q ) 1
f ( )
该特点可由下式得出：
f 1 1 1 ( )k T ( )k T B B k T e 1 e 1 B
偶函数源于把上式用-( -)替换后不变； 函数 源于费米分布函数远离化学势时为零。
费密分布函数的上述特点是我们讨论自由电 子费密 电子系统，则有：
i
f ( i ) N
亦即：费米分布函数对所有量子态求和等 于系统中总电子数。
考虑到金属中自由电子数目极多，其能量 状态是准连续分布的，所以，上式的求和可以 改为对能量的积分：
N / V n ) g ( ) d f(
０
这里g( )就是单位体积的能态密度，且基态 时自由电子的能态密度公式在这里仍然适用. 当费米分布函数取1时，恰好对应的就是基态 的情形.
f (i ) (i ) kBT e 1
1
a . k T 0 B
i 1 f (i ) 陡变 i 0 i
b . kBT 0
1 i 1 f ( i ) i 2 0 i
2) 由上面的图示可以看出，当T > 0K时，费米 分布函数有
0
f ( ) d(Q ( ))
0
Q ( ) H d
0
f (i ) (i ) kBT e 1
1
因为： f () 0
Q(0) 0
f 所以： I Q ( ) ( ) d 0
考虑到 (f / ) 函数的特点具有类似于函数的 性质,仅在附近kBT的范围内才有显著的值. 所 以,上式的积分下限即使扩展到-∞也不会影响 积分结果. 同时, 可将Q()在附近展开为泰勒 级数. 1 2
1
g( ) C
1 2
上面的积分并不容易，涉及到费米统计中常 遇到的积分形式,称为费米积分：
I H ( )f( )d
０
下面利用分部积分法求解费米积分
分部积分法：
I H ( )f ( ) d (利用分部积分) ０
f Q () f() 0 Q () ( ) d 0