固体物理基础(孙会元主编)思维导图
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孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.1布洛赫定理及能带
ˆ ˆ H (r )TRn (r ) ˆ, H ˆ]0 [T
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.1 玻尔兹曼方程
dt, k k dt, k k dt; t) d f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
也就是这部分电子是漂移过来的，所以： f f f f f f f vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
f f f f f f f 推导： vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
利用多元函数的泰勒展开,且只取到dt的线性项
f ( x x, y y， ) f ( x, y， ) ( x y } f ( x, y ) x y
dt, k k dt, k k dt; t ) 右 f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
f ( x, y, z; k x , k y , k z ; t ) {v xdt v ydt v zdt x y z kx dt k y dt k z dt } f (x , y , z ; k x , k y , k z ;t ) kx k y kz
与位置 r 有关系，通常是由
温度梯度
r 变化
化学势变化
电子分布函数f 与波矢 k 有关系，也就是与
f 变化
能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以 理解。 电子分布函数f 与时间t有关系，是因为外力的 作用使得波矢依赖于时间，即： 在外电场E 和磁场 B 中,电子的运动规律是： dk F e(E v B) dt
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.10 金属的费米面和能带论的局限性
因此，费米面完全在第一布里渊区内，在周期势的作用下， 费米面都是稍稍变形的球。
对于立方晶系的二价碱土金属(Ca(fcc)，Sr(fcc)， Ba(bcc))，每个原胞有两个 s 价电子。 由于费米球和第一布里渊区等体积,因而和区界面 相交,导致电子并没有全部在第一布里渊区,而是有一 部分填到了第二区,因此费米面在第一区形成空穴球面 ,第二区形成电子球面. 对于六角密堆积结构的二价金属Be、Mg,由于在第 一布里渊区六角面上几何结构因子为零,弱周期势场在 此不产生带隙,仅当考虑二级效应,如自旋轨道耦合时 才能解除简并。 这些金属的费米面可看作由自由电子球被布里渊区 边界切割,并将高布里渊区部分移到第一布里渊区得到 .因此,费米面的形状很复杂,会出现空穴型宝冠状、电 子型雪茄状等.
以第一布里渊区中心为原点,以费米波矢为半径画 自由电子的费米圆. (费米面的广延区图)
3) 将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当 的倒格矢进入简约布里渊区中等价部位(费米面 的简约区图)。
第一区
=1
第一区
第二区
=2，3
第三区圆，即费米面 同布里渊区边界垂直相交，尖角处要钝化，就 可以得到近自由电子的费米面。
三价金属铝,具有面心立方结构,每个原胞含有 3个价电子,自由电子的费米球将延伸至第一布 里渊区以外.由于周期势的作用,使得第二、第三 布里渊区的费米面变得支离破碎.
一价贵金属包括Cu，Ag，Au等均为面心立方结构,它 们s 轨道附近还有d轨道,形成固体时, s 轨道交叠积分 大, 演变成宽的s带, d轨道因交叠积分小, 变成一窄的d 带. 11个电子将d带填满, s带填了一半. 费米面在s带中, 但d带离费米面很近, 导致球形费米面发生畸变, 因而 出现复杂的输运行为, 但是仍属于单带金属. 比如对于金属铜，假设晶格常数为a，其费米半径
孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.4 热导率和热电势
1 取n=0,略去高次项得： 0 Q( ) vk dS F 3 12π
1 0 vk dS F 3 12π
与上一节得到的立方体的电导率： 1 e2 3 4π
2 vx 1 2 2 e 0 sF vk dSF e 12π3 sF vk dSF 比较得：
所以，0可通过的测量来获得。
进一步可以得到 1和 2
1 2 2 1 π (kBT ) 0 ( ) 3
1 2 2 π (k BT )2 0 ( ) 3
n
2 π2 f0 2 Q Q( ) d Q( ) (kBT ) ( 2 ) 6
f0
1 e( ) / kBT 1
f 0 e( ) / kBT 1 2 2 ( ) / kBT T kB T e 1 e( ) / kBT 1 2 ( ) / kBT kBT T e 1
对于 1 来说,相应的Q为：
1 n 其中：Q( ) v ( ) dS 3 k k 12π
1 Q( ) ( ) vk dS F ( ) 0 ( ) 3 12π
( ) Q( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )0 ( ) 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) Q( ) 0
f 0 1 n ( ) 其中： n v dSd 3 k k 12π
对于金属来说，我们在第一章已经讨论
f 0 ( ) 过， 函数的特点具有类似于函数的性质，
仅在 附近 kBT 的范围内才有显著的值，且是
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.4能带结构的其它计算方法
( ) r) ,相互作用势依赖于 i ( r ) ,同时 i ( r ) 由于nr i( i i ( r ) 既出现 又要由薛定谔方程来决定,也就是说， 在系数中,同时又是方程的解.所以,必须用自洽的 计算方法—迭代法来处理.这种求解工作量很大, 需借助计算机进行. 求解思路： 1).首先确定所研究晶体的结构和组成(确知价 电子并计算出电荷密度)； 2). 确定初始的单电子势 V ( r ) ；
3.密度泛函理论(density functional theory) 该理论是对哈特利—福克(Hartree—Fock)近 似,亦即将多电子问题化为单电子问题的更严格、 更精确的描述. (具体内容可参考谢希德、陆栋主 编的《固体能带理论》17）. 在密度泛函理论基础之上的局域密度近似 (local density approximation,简称为LDFT)框架 下的计算 ,在大多数情况下能得到较好的结果。 密度泛函理论的基础是非均匀相互作用电子 系统的基态能量由基态电荷密度唯一确定,是基态 电子密度n ( r ) 的泛函.阎守胜书P287(12.1.3)给出了 证明;同时给出了当电子密度的空间变化缓慢时,由 局域密度近似得到的单电子薛定谔方程.
内层电子的能带---窄带；外层电子的能带---宽带 通常把被电子填满的最高能带称为价带，而把 最低空带或半满带称为导带(后面我们还要讨论). 固体的物性主要取决于价带和导带中的电子.而对 于这些外层电子而言,离子实区内和离子实区外是 两种性质不同的区域. 离子实区外,电子感受到的是弱的势场的作用, 波函数很平滑,类似于平面波;离子实区内由于强 烈的局域势作用,波函数急剧振荡,可由紧束缚波 函数来描述。 外层电子(价带和导带中的电子)的波函数可由 两者的线性组合来描述。
(2)
孙会元固体物理基础第一章1.2自由电子气体的热性质
1 f ( ) 0 1 2
随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变 宽,但在任何情况下,此能量范围约在 kBT 范围内,且随T0K而无限地变窄。
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内 才有显著的值. 即
第二节 费米分布和自由电子气体的热性质
一
化学势和费米能量随温度的变化 自由电子费米气体的比热容
二
1.2.1 化学势和费米能量随温度的变化 T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的 宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量 描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克 分布函数,亦即费米分布函数.
3.费米分布函数的特点
f (i ) (i ) kBT e 1
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
1 f () 0
亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电 子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） 1. 表达式：
f (i ) (i ) kBT e 1
1
是N电子热力学
体系的化学势
2.物理意义
费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量 为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根 据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所 以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平 均电子占据数.
4.化学势随温度的变化 化学势的计算要由下式积分确定，式中，g() 为自由电子费米气体单位体积的能态密度
随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变 宽,但在任何情况下,此能量范围约在 kBT 范围内,且随T0K而无限地变窄。
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内 才有显著的值. 即
第二节 费米分布和自由电子气体的热性质
一
化学势和费米能量随温度的变化 自由电子费米气体的比热容
二
1.2.1 化学势和费米能量随温度的变化 T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的 宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量 描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克 分布函数,亦即费米分布函数.
3.费米分布函数的特点
f (i ) (i ) kBT e 1
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
1 f () 0
亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电 子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） 1. 表达式：
f (i ) (i ) kBT e 1
1
是N电子热力学
体系的化学势
2.物理意义
费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量 为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根 据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所 以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平 均电子占据数.
4.化学势随温度的变化 化学势的计算要由下式积分确定，式中，g() 为自由电子费米气体单位体积的能态密度
孙会元 固体物理基础 第一章 1.5霍尔效应和磁阻
Jy = 0时的电场Ey称为霍尔电场，把Jy = 0代入 方程组，得： c eB B Ey Jx Jx Jx 2 0 me ne ne
me
B 可以理解为与电子所受洛伦兹力 Ey J x 相平衡的电场 ne Ey 得 R 1 按照霍尔系数的定义 RH H J x Bz ne
所以垂直磁电阻为零
但是实验表明电阻率的变化一般不为零,有时还 很大.这进一步反映出自由电子模型的局限性
电子由于受洛伦兹力的作用，沿z方向将螺 旋式前进。其轨迹在 xy平面上的投影为圆,角 频率为 c eB 这就是叫回旋频率(cyclotron m frequency)的原因。 实际上，电子运动时总受到散射(磁致电 阻的产生)，当 c 1 时，电子走圆周的很 小部分既受到散射，然后重新开始。
当磁场增大，使得 c 1 时，电子在相继 的两次散射间可完成多次圆周运动。
以上表明散射程度随磁场而变化，由此 可以理解在与电流垂直的磁场作用下，在电 流方向电阻的变化原因
在能带论之后，我们会认识到这种运动是 量子化的。而且这种现象是研究费米面的重 要手段。
4.隧道磁电阻TMR---Tunnel Magnetoresistance 有隧道节 5.各向异性磁电阻AMR--- Anisotropic Magnetoresistance 与技术磁化相联系 对于我们教材中的垂直磁电阻情况，表示在 与电流垂直的磁场作用下，在电流方向电阻的 B 变化，也就是电阻率的变化 z
me B eE x ev y B vx 0 y me 整理得 eE y evx B v y 0 FB v I FE me vz 0 x J x nevx 电流密度 J nev E
孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.3 简谐晶体的量子理论
, x , y , z
2
1 所以，晶格振动部分的哈密顿为：H Tn V P ( Rn )P ( Rn ) 2M Rn 1 / [u ( Rn ) u ( Rn )] ( Rn Rn ) [u ( Rn ) u ( Rn )] 4 Rn Rn
j
整个系统的本征能量和本征波函数为：
1 E j n j j 2 j j
3N
(Q1 , Q2 , , Q3 N ) n (Q j )
j 1
j
可见简正坐 标的引入可 使问题简化
2. 格波
Q j Ce
i j t
2Q 0 Q j j j
(a1 ) (a2 ) (a3 ) 1 (ai a j ) (ai ) (a j ) iq a1 (a1 ) e iq ai iq a2 (a2 ) e 由此可令: (ai ) e iq a3 (a3 ) e l3 l1 l2 f ( Rl ) (a1 ) (a2 ) (a3 ) f (0)
1. 简正坐标、简正模
我们已经讨论过晶格的薛定谔方程： [Tn V ( R )] ( R ) n ( R )
而且在简谐近似下，我们得到： 1 / V [u ( Rn ) u ( Rn )] ( Rn Rn ) [u ( Rn ) u ( Rn )] 4 Rn Rn
j
简正坐标 Q j 描写的运动表示系统中每个原子 i t 以相同的频率 j 振动,它对时间的依赖关系为 e . 因为它是体系的本征振动,所以要求振幅不依赖 时间. 所以,对于频率为 j 的简正模可表示为：
2
1 所以，晶格振动部分的哈密顿为：H Tn V P ( Rn )P ( Rn ) 2M Rn 1 / [u ( Rn ) u ( Rn )] ( Rn Rn ) [u ( Rn ) u ( Rn )] 4 Rn Rn
j
整个系统的本征能量和本征波函数为：
1 E j n j j 2 j j
3N
(Q1 , Q2 , , Q3 N ) n (Q j )
j 1
j
可见简正坐 标的引入可 使问题简化
2. 格波
Q j Ce
i j t
2Q 0 Q j j j
(a1 ) (a2 ) (a3 ) 1 (ai a j ) (ai ) (a j ) iq a1 (a1 ) e iq ai iq a2 (a2 ) e 由此可令: (ai ) e iq a3 (a3 ) e l3 l1 l2 f ( Rl ) (a1 ) (a2 ) (a3 ) f (0)
1. 简正坐标、简正模
我们已经讨论过晶格的薛定谔方程： [Tn V ( R )] ( R ) n ( R )
而且在简谐近似下，我们得到： 1 / V [u ( Rn ) u ( Rn )] ( Rn Rn ) [u ( Rn ) u ( Rn )] 4 Rn Rn
j
简正坐标 Q j 描写的运动表示系统中每个原子 i t 以相同的频率 j 振动,它对时间的依赖关系为 e . 因为它是体系的本征振动,所以要求振幅不依赖 时间. 所以,对于频率为 j 的简正模可表示为：