孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.5 能带结构的图示和空晶格模型
合集下载
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.1布洛赫定理及能带
ˆ ˆ H (r )TRn (r ) ˆ, H ˆ]0 [T
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
《固体能带理论》课件
分类
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.10 金属的费米面和能带论的局限性
因此，费米面完全在第一布里渊区内，在周期势的作用下， 费米面都是稍稍变形的球。
对于立方晶系的二价碱土金属(Ca(fcc)，Sr(fcc)， Ba(bcc))，每个原胞有两个 s 价电子。 由于费米球和第一布里渊区等体积,因而和区界面 相交,导致电子并没有全部在第一布里渊区,而是有一 部分填到了第二区,因此费米面在第一区形成空穴球面 ,第二区形成电子球面. 对于六角密堆积结构的二价金属Be、Mg,由于在第 一布里渊区六角面上几何结构因子为零,弱周期势场在 此不产生带隙,仅当考虑二级效应,如自旋轨道耦合时 才能解除简并。 这些金属的费米面可看作由自由电子球被布里渊区 边界切割,并将高布里渊区部分移到第一布里渊区得到 .因此,费米面的形状很复杂,会出现空穴型宝冠状、电 子型雪茄状等.
以第一布里渊区中心为原点,以费米波矢为半径画 自由电子的费米圆. (费米面的广延区图)
3) 将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当 的倒格矢进入简约布里渊区中等价部位(费米面 的简约区图)。
第一区
=1
第一区
第二区
=2，3
第三区圆，即费米面 同布里渊区边界垂直相交，尖角处要钝化，就 可以得到近自由电子的费米面。
三价金属铝,具有面心立方结构,每个原胞含有 3个价电子,自由电子的费米球将延伸至第一布 里渊区以外.由于周期势的作用,使得第二、第三 布里渊区的费米面变得支离破碎.
一价贵金属包括Cu，Ag，Au等均为面心立方结构,它 们s 轨道附近还有d轨道,形成固体时, s 轨道交叠积分 大, 演变成宽的s带, d轨道因交叠积分小, 变成一窄的d 带. 11个电子将d带填满, s带填了一半. 费米面在s带中, 但d带离费米面很近, 导致球形费米面发生畸变, 因而 出现复杂的输运行为, 但是仍属于单带金属. 比如对于金属铜，假设晶格常数为a，其费米半径
孙会元固体物理基础第三章能带论课件31布洛赫定理及能带
所以,线性叠加后的平面波是布洛赫波函数,可 以描述晶体电子.
说明： 在第一章描述的自由电子情形,由于波函数：
1 ik•r k (r) e i ( r ) k ( r ) k k V
所以,对自由电子情形,动量算符有确定的本 征值,代表电子的动量。 但是,对于布洛赫电子,由 于布洛赫波函数：
注：周期性边条件去掉了表面对平移对称性 的破坏，使有限大的晶体具有了完全的平移对称 性，也是数学处理上最简便的边条件
将布洛赫定理用于周期性边条件：
( r ) ( r N a ) e
k k i i
i k • r N a i i k
u ( r N a ) i i
mn m n
i ( R ) ( R R ) () R () R ( R ) e 将 代入 中得： mn m n nn e来自i( R R ) m n
ee
m
i( Ri ) () R m n
两边取对数得：
( R RRR ) ( )( )
i kr
i k r i ( r ) k ( r ) i e u ( r ) () r e ur () k k k k k
所以,布洛赫波函数不再是动量算符的本征函 数, k 不再代表布洛赫电子的动量。
一般把 k 称为晶体动量(crystal momentum),而把 k 理 解为标志电子在具有平移对称性的周期场中不同状态 的量子数,其取值由边界条件来确定.
h
则上式化为
1 iG R h(r n) u ( r R ) a ( k G ) e n h k V h 1 1 iG G hr i hR n a ( k G ) e e u (r) h k V h i k r () r e u () r k k
2021固体物理第三章最新PPT资料
固体物理第三章
第三章 晶格振动和晶体热学性质
本章主要内容 用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动的本征频率； 用格波来描写晶格原子的集体运动； 用量子理论来表述格波相应的能量量子；
在此基础上处理固体的热学性质。
§3.1 一维晶格的振动
晶格振动的根本原因: 原子间存在着相互作用力。 对于一对原子而 言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。
设想边界条件：无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应的原子 的运动情况都一样。
玻恩－卡门边界条件：
u1 uN1
德国理论物理学家，量 子力学的奠基人之一玻 恩，M.(Max Born 1882～1970). 1954年荣 获诺贝尔物理学奖
通常采用试解的方法求解。假设上式具有简谐波形式的试解：
unAie(qnat)
q为波矢，qna是序号为n的原子在t=0时刻的振动位相。
序号为n’的原子的位移：
u n A i ( q n a t ) e A i ( q t n ) q e ( n a n a ) u n e i( n q n )a
频率－波矢关系（称为色散关系）。
表明试解代表一种简正模型（即一个ω和一个q值）的格波。
格波： Aei(tnaq)
连续介质弹性波： Aei(txq)
从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性 波中的X是可连续取值的；而在格波中只能取na（原子位置），这 是一系列周期排列的点。
一个格波解表示所有原子同时作频率为 的振动，不同原子有
将简谐波形式的试解代入运动学方程
mdd2u 2tn (un1un12un)
m 2 u n u n ( e iq e a iq 2 a ) 2 u n (c q ) o 1 a )s
第三章 晶格振动和晶体热学性质
本章主要内容 用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动的本征频率； 用格波来描写晶格原子的集体运动； 用量子理论来表述格波相应的能量量子；
在此基础上处理固体的热学性质。
§3.1 一维晶格的振动
晶格振动的根本原因: 原子间存在着相互作用力。 对于一对原子而 言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。
设想边界条件：无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应的原子 的运动情况都一样。
玻恩－卡门边界条件：
u1 uN1
德国理论物理学家，量 子力学的奠基人之一玻 恩，M.(Max Born 1882～1970). 1954年荣 获诺贝尔物理学奖
通常采用试解的方法求解。假设上式具有简谐波形式的试解：
unAie(qnat)
q为波矢，qna是序号为n的原子在t=0时刻的振动位相。
序号为n’的原子的位移：
u n A i ( q n a t ) e A i ( q t n ) q e ( n a n a ) u n e i( n q n )a
频率－波矢关系（称为色散关系）。
表明试解代表一种简正模型（即一个ω和一个q值）的格波。
格波： Aei(tnaq)
连续介质弹性波： Aei(txq)
从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性 波中的X是可连续取值的；而在格波中只能取na（原子位置），这 是一系列周期排列的点。
一个格波解表示所有原子同时作频率为 的振动，不同原子有
将简谐波形式的试解代入运动学方程
mdd2u 2tn (un1un12un)
m 2 u n u n ( e iq e a iq 2 a ) 2 u n (c q ) o 1 a )s
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.0序言
1 e2 V (r ) ve (r ) Rn 4 0 r Rn
该近似使得单电子薛定谔方程的本征函数取布洛 赫波函数(Bloch wave function)的形式，并使得单电子 能谱呈能带结构(energy band structure).所以，处理晶 体中电子问题的量子力学理论又称为能带论。
所以绝热近似实际上把整个问题简化为相对较 简单的电子体系运动和离子实体系运动，也就 是把电子的运动和离子实（原子核）的运动分 开了. 这种绝热近似的设想最早是由玻恩(M.Born)和 奥本海默(J.E.Oppenheimer)提出的，所以又称 为玻恩—奥本海默(Born-Oppenheimer)近似。
求和号上的一撇表 示求和时i j 或 mn；1/2源于考虑 了两次相互作用.
表示电子和离子实之间的相互作用势能.
H (r , R) (r , R) 其中，r 代表 r 1 , r2 , r 3 , , rNZ ， R 代表 R1 , R2 , R3 , , RN
H H e H n H e,n
式中：
H H e H n H e,n
下脚标中的i、 j为电子序号、 m、n为离子 实序号.
NZ 2 2 1 / 1 e2 H e Te Vee (ri , rj ) ri 2 i , j 4 0 ri rj i 1 2m
为简单起见，取单原子的价电子数目Z=1。 则电子体系的哈密顿进一步简化为： 单电子势能 N 2 1 e2
i 1
H [
i2 ve (ri ) ] 2m Rn 4 0 ri Rn
N 2 2 1 e2 H [ i ve (ri ) ] 2m i 1 Rn 4 0 ri Rn
该近似使得单电子薛定谔方程的本征函数取布洛 赫波函数(Bloch wave function)的形式，并使得单电子 能谱呈能带结构(energy band structure).所以，处理晶 体中电子问题的量子力学理论又称为能带论。
所以绝热近似实际上把整个问题简化为相对较 简单的电子体系运动和离子实体系运动，也就 是把电子的运动和离子实（原子核）的运动分 开了. 这种绝热近似的设想最早是由玻恩(M.Born)和 奥本海默(J.E.Oppenheimer)提出的，所以又称 为玻恩—奥本海默(Born-Oppenheimer)近似。
求和号上的一撇表 示求和时i j 或 mn；1/2源于考虑 了两次相互作用.
表示电子和离子实之间的相互作用势能.
H (r , R) (r , R) 其中，r 代表 r 1 , r2 , r 3 , , rNZ ， R 代表 R1 , R2 , R3 , , RN
H H e H n H e,n
式中：
H H e H n H e,n
下脚标中的i、 j为电子序号、 m、n为离子 实序号.
NZ 2 2 1 / 1 e2 H e Te Vee (ri , rj ) ri 2 i , j 4 0 ri rj i 1 2m
为简单起见，取单原子的价电子数目Z=1。 则电子体系的哈密顿进一步简化为： 单电子势能 N 2 1 e2
i 1
H [
i2 ve (ri ) ] 2m Rn 4 0 ri Rn
N 2 2 1 e2 H [ i ve (ri ) ] 2m i 1 Rn 4 0 ri Rn
《固体物理基础教学课件》第3章
原子n离开平衡位置位移μn 原子n和原子n+1间相对位移
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k at s
k ( , 0, 0) 同理在 点： a
R点： k ( , , ) a a a
R at s
J 0 2 J1
at s
J 0 6 J1 对应能带顶
a
则沿ГX即Δ轴的波矢取值范围
(k x ,Байду номын сангаасk y , k z ) ( , 0, 0); 且0 1
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
按照
2 2 n (k ) k 2m
kz
以及K空间中相应点的坐标 , 可求得 n (k ) 从而可描点画图。
kx
ky
对面心立方格子(fcc)对称点、线符号说明： 2 点： k (1, 0, 0) 点： k (0, 0, 0)
2 3 3 K点： k ( , , 0) a 4 4 a 2 1 1 1 L点： k ( , , ) a 2 2 2
这些高对称性的点、线常用一些固定的符号 表示出来(在K空间)，第二章我们已经给出了这 些符号的说明。
比如简立方晶系的符号有：
点： k (0, 0, 0) (原点)
[布里渊区正方形边界的面心位置，共有 6个等价点(
点： k ( , 0, 0) a
a
, 0, 0);(0,
移入第一布里渊区后对应 点 .
轴
2 2 2 则 2 3 ( ) 2m a 2 2 2 2 2 ( ) 2m a 由此可得 2 ( k ) 由于和 MN等价的有4条,所 以 2 (k ) 4重简并 kz
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
M
N
kx
ky
轴
2 (k ) / ( ) 同理可得 3 (k ) 曲线： 2m a 3 (k ) 曲线对应最近邻倒格点P： 2 2 2 P点： k ( , , )对应点 a a a 2 4 2 Q点： k ( , , )对应点 a a a 2 kz 2 2 则 3 3 ( ) 2m a P Q 2 ky 2 2 3 6 ( ) 2m a kx 轴 3 (k ) 也是4重简并
图的得到可参考黄昆的书PP178-184
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
2 2 2 2 点： k (0,1,0) 1 ( ) a 2m a 2 2 2 取 ( ) 为能量单位， 1 (k ) 1 2m a
2 2 n (k ) k 如 1 (k ) 曲线： 2m 当 k 在第一布里渊区时： 点： k (0, 0, 0) 1 0
2 轴:沿 ( , 0, 0);(0 1) a 2 3 轴:沿 ( , , 0);(0 ) a 4 2 1 轴:沿 ( , , );(0 ) a 2
kz
ky
kx
如图—面心立方格子沿 轴向 空 晶格近似得到的 n (k ) 函数图示
, 0);(0, 0, )] a a
R点： k ( , , ) a a a
[布里渊区顶角的位置，共有 8个等价点： ( 1, 1, 1)] a
沿 100 方向的轴记为； 沿 111 方向的轴记为
对于简立方在紧束缚近似下我们得到能量为：
J 0 2 J1 (cos k x a cos k y a cos k z a) at 在 点： k (0, 0, 0) s J 0 6 J1 对应能带底
2 2 n
其他曲线我们不再分析,有兴趣的同学可参考 可参考黄昆的书PP178-184 。 总之,沿 轴时,找出倒空间和 轴()平行的线 段上的最近邻、次近邻…等倒格点，并计算出相 应的 , 依抛物线形式画出即可。 沿其它轴的画法一样，注意平移线段的长度应 为倒格矢. 由上面的分析可知,在空晶格近似中,由于对称 性,许多状态是高度简并的,在计入周期场起伏的 微扰作用后,某些简并性要消失(不会全部消失), 详细情况可参阅谢希德等人编著的《固体物理学 中的群论》。
轴
如 2 (k ) 曲线：
Fcc的倒格子为bcc, 所以原点 在体心.
M
kz
N
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
ky
kx 2 (k ) 曲线对应最近邻倒格点M： 2 2 2 M 点： k ( , , ) a a a 移入第一布里渊区后对应点 ; 2 2 N点： k ( , 0, ) a a
k sat J 0 2 J1 (cos k x a cos k y a cos k z a)
(k x , k y , k z )
a
( , 0, 0); 且0 1
在上述波矢范围内取一些值，代入能量表达 式中就可以得到相应的能量，进而可以画出Δ 轴上的能谱图。类似的对于Г点和R点的连线 轴也可以得到相应的能谱图。 用简约波矢表述自由电子的能量称为空晶格 模型(empty-lattice model)
下面我们以面心立方格子空晶格模型为例， 讨论其能带结构。
面心立方格子空晶格模型(empty-lattice model) 的能带结构 空晶格模型中晶格周期势V (r )=0, 即电子完全自由。 但薛定谔方程的解受晶格对称性的约束。因 而其通解为自由电子 布洛赫函数，即： 2 2 (r ) 薛定谔方程 n k (r ) n (k) n k 2m
3.5 能带结构的图示和空晶格模型
本节主要内容:
给出空晶格模型下能带结构的图示
3.5 能带结构的图示和空晶格模型
为了直观理解能带的计算结果 n (k ) ，常以图
示的形式在第一布里渊区中一些高对称性的点、 线上给出。 这些特殊的点、线满足以下条件：
k k Gh 且 所属点群操作数目要大于1
k ( , 0, 0) 同理在 点： a
R点： k ( , , ) a a a
R at s
J 0 2 J1
at s
J 0 6 J1 对应能带顶
a
则沿ГX即Δ轴的波矢取值范围
(k x ,Байду номын сангаасk y , k z ) ( , 0, 0); 且0 1
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
按照
2 2 n (k ) k 2m
kz
以及K空间中相应点的坐标 , 可求得 n (k ) 从而可描点画图。
kx
ky
对面心立方格子(fcc)对称点、线符号说明： 2 点： k (1, 0, 0) 点： k (0, 0, 0)
2 3 3 K点： k ( , , 0) a 4 4 a 2 1 1 1 L点： k ( , , ) a 2 2 2
这些高对称性的点、线常用一些固定的符号 表示出来(在K空间)，第二章我们已经给出了这 些符号的说明。
比如简立方晶系的符号有：
点： k (0, 0, 0) (原点)
[布里渊区正方形边界的面心位置，共有 6个等价点(
点： k ( , 0, 0) a
a
, 0, 0);(0,
移入第一布里渊区后对应 点 .
轴
2 2 2 则 2 3 ( ) 2m a 2 2 2 2 2 ( ) 2m a 由此可得 2 ( k ) 由于和 MN等价的有4条,所 以 2 (k ) 4重简并 kz
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
M
N
kx
ky
轴
2 (k ) / ( ) 同理可得 3 (k ) 曲线： 2m a 3 (k ) 曲线对应最近邻倒格点P： 2 2 2 P点： k ( , , )对应点 a a a 2 4 2 Q点： k ( , , )对应点 a a a 2 kz 2 2 则 3 3 ( ) 2m a P Q 2 ky 2 2 3 6 ( ) 2m a kx 轴 3 (k ) 也是4重简并
图的得到可参考黄昆的书PP178-184
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
2 2 2 2 点： k (0,1,0) 1 ( ) a 2m a 2 2 2 取 ( ) 为能量单位， 1 (k ) 1 2m a
2 2 n (k ) k 如 1 (k ) 曲线： 2m 当 k 在第一布里渊区时： 点： k (0, 0, 0) 1 0
2 轴:沿 ( , 0, 0);(0 1) a 2 3 轴:沿 ( , , 0);(0 ) a 4 2 1 轴:沿 ( , , );(0 ) a 2
kz
ky
kx
如图—面心立方格子沿 轴向 空 晶格近似得到的 n (k ) 函数图示
, 0);(0, 0, )] a a
R点： k ( , , ) a a a
[布里渊区顶角的位置，共有 8个等价点： ( 1, 1, 1)] a
沿 100 方向的轴记为； 沿 111 方向的轴记为
对于简立方在紧束缚近似下我们得到能量为：
J 0 2 J1 (cos k x a cos k y a cos k z a) at 在 点： k (0, 0, 0) s J 0 6 J1 对应能带底
2 2 n
其他曲线我们不再分析,有兴趣的同学可参考 可参考黄昆的书PP178-184 。 总之,沿 轴时,找出倒空间和 轴()平行的线 段上的最近邻、次近邻…等倒格点，并计算出相 应的 , 依抛物线形式画出即可。 沿其它轴的画法一样，注意平移线段的长度应 为倒格矢. 由上面的分析可知,在空晶格近似中,由于对称 性,许多状态是高度简并的,在计入周期场起伏的 微扰作用后,某些简并性要消失(不会全部消失), 详细情况可参阅谢希德等人编著的《固体物理学 中的群论》。
轴
如 2 (k ) 曲线：
Fcc的倒格子为bcc, 所以原点 在体心.
M
kz
N
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
ky
kx 2 (k ) 曲线对应最近邻倒格点M： 2 2 2 M 点： k ( , , ) a a a 移入第一布里渊区后对应点 ; 2 2 N点： k ( , 0, ) a a
k sat J 0 2 J1 (cos k x a cos k y a cos k z a)
(k x , k y , k z )
a
( , 0, 0); 且0 1
在上述波矢范围内取一些值，代入能量表达 式中就可以得到相应的能量，进而可以画出Δ 轴上的能谱图。类似的对于Г点和R点的连线 轴也可以得到相应的能谱图。 用简约波矢表述自由电子的能量称为空晶格 模型(empty-lattice model)
下面我们以面心立方格子空晶格模型为例， 讨论其能带结构。
面心立方格子空晶格模型(empty-lattice model) 的能带结构 空晶格模型中晶格周期势V (r )=0, 即电子完全自由。 但薛定谔方程的解受晶格对称性的约束。因 而其通解为自由电子 布洛赫函数，即： 2 2 (r ) 薛定谔方程 n k (r ) n (k) n k 2m
3.5 能带结构的图示和空晶格模型
本节主要内容:
给出空晶格模型下能带结构的图示
3.5 能带结构的图示和空晶格模型
为了直观理解能带的计算结果 n (k ) ，常以图
示的形式在第一布里渊区中一些高对称性的点、 线上给出。 这些特殊的点、线满足以下条件：
k k Gh 且 所属点群操作数目要大于1