孙会元固体物理基础能带论37布洛赫电子的准运动
另外,当讨论电子在外场中的运动问题时,如果采用量子 力学处理,哈密顿中除了周期势外,还要考虑外势场.而且, 由于外场使得电子的状态和能量随时间变化,所以必须求 解包括外加势场在内的含时薛定谔方程.
求解含时薛定谔方程是很复杂的,为此人们把布 洛赫电子近似当作准经典粒子来处理,这样就避 免了复杂的数学运算,而且物理图像也比较直观.
n
(k
v
)
n
(k0
)
k
n
(k
)
k0
k
考虑到在k0 附近,调幅因子un,k包函数近似为：
n,k0 (r,t) 1 k
u (r )e d( k
2 k n,k0
i[(k0 k ) r 1[n (k0 )(kn (k ))k0 k ]t]
k)
2
2
2 (r ,t)A(r ,t)
n,k
n,k0
kx
ky
kz
n,k0
2
2
2
sin kx sin ky sin kz
(r ,t) (r ,t) 2
2
2 (r ,t)A(r ,t)
n,k
n,k0
kx
ky
kz
n,k0
2
2
2
上式即布洛赫波包函数
(r ,t) u (r )ei[(k0•r n (k0 )t]
k0
n,k0
某时刻，在坐标空间内找到电子的概率为：
2
n,k (r , t)
2
n,k0 (r , t)A(r ,t)
2
un,k0 (r )
A(r ,t) 2
附加因子A(r,t)的最大值为1(k 或,, 0时) .
2
当k
0
时,在坐标空间内找到电子的概率为
u n,k0
(r
)
,对应k0 本征态,电子的坐标完全不确定.
亦即外电场、磁场对布洛赫电子的作用采用 经典的处理方式，晶格周期场对电子的作用沿 用能带论量子力学的处理方式。
把布洛赫电子当作准经典粒子来处理的近似方 法称为准经典近似。下面我们首先给出布洛赫电 子的准经典模型，然后对这一模型的合理性给出 解释。
一、布洛赫电子的准经典模型
1.模型的表述
假设每个电子具有确定的位置r,波矢k和能带指标n,对
u (r ) n,k0
i[(k0 r n (k0 )t ]
k 2
i[ k (r (kn (k ))k0 t )]
k e e d( k ) k
2
(r ,t)
u n,k0
(r
)
ei[( k0
r n (k0 ) t ]
n,k
k
k i[ k (r (k n (k ))k0 t )]
e 2
k
如果k 0, 仅当,, 0时,波包的振幅最大,而 当 , , 0时,波包的振幅趋于零.这表明波包 局限在晶体的一个区域内,且位置是时间的函数.
由测不准关系,布洛赫电子的波矢完全确定,则
坐标是完全不确定的. 考虑到实际晶体中的电子态,往往v是一些本v 征态 的叠加.如果布洛赫电子的状态由 k0 附近k 范围 内的布洛赫本征态叠加构成,它将构成一个波包.
虽然波包的波矢不能完全确定，但是波包的空 间位置有一定的确定性。也就是说，这个叠加态 构成的波包以牺牲波矢的完全确定来换取坐标的 某种确定性。
于给定的εn(k),在外电场E(r,t)和外磁场B(r,t)的作用下,位 置、波矢、能带指标随时间的变化遵从如下规则:
1).能带指标n是运动常数，电子总呆在同一能带中，
忽略带间跃迁的可能性；
电
2).电子的速度满足：
rv•
v vn (k )
1 h
kv n
v (k )
子 的 运
3).波矢随时间的变化满足：
前面写波函数时,考虑到本征态是定态,没有考
虑时间因子,现在考虑时间因子后，布洛赫波函
数写成：
(r,t)
n
(k
,
r
)e
i
n
(
k
)t
i[k
e
rn (k )t]
u (r) n,k
由于波包包含不同能量本征态(不同的
v
v k
状态 v
具有不同的能量).忽略带间跃迁,可把 k0附近k 范
围内的布洛赫本征态叠加构成的波包函数写成:
3.7 布洛赫电子的准经典运动
前面我们讨论了晶体电子在周期势场中的本征态和本 征能量，从本征态和本征能量出发可以进一步研究晶体 中电子的基态和激发态
因为只要知道了电子本征态的分布，就可以根据统计 物理的基本原理去讨论系统中电子按能量的平衡态分布 问题，也可以讨论在外场下的量子跃迁问题，比如热激 发、光吸收和电子散射等。
d(
k)
2
考虑到 (r ,t) u (r )ei[(k0 r n (k0 )t]
k0
n,k0
并把被积函数中的矢量用分量表示，且令：
x
1
n (k
kx
)
k0
t
y
1
n (k
ky
)
k0
t
z
1
n (k
kz
)
k0
t
则波包函数可表示为：
sin kx sin ky sin kz
(r ,t) (r ,t) 2
在准经典模型中，能带仍然满足前面的对称性。
2.模型合理性的说明
下面我们从量子力学出发给出模型的合理解释
严格求解电子在外电场和外磁场作用下的
行为，应从含时薛定谔方程中得到：
[
1
(
p)
v eA)2
V
(rv)
e]
(rv,
t)
ih•
(rv,
t)
v
2m
A是与磁场相关的矢量势；是与电场相关的标量势
量子力学对应原理告诉我们,如果一个力学体
(r,t) 1 k
u (r )e dk k0
k 2
k0
k 2
n,k
i[k r n (k )t]
归一化因子
v 求和写成积分是同一能带中波矢 k是准连续的
令：k
v
k0
k
(r,t) 1 k
u (r )e dk k0
k 2
k0
k 2
n,k
i[k r n (k )t]
在k0附近将n (k )展开得：
系的态与态的变化可以用经典力学近似描述,则这
个态在量子力学中可以表示为一个波包.
波包就是指该粒子的空间分布在r0附近⊿r范 围内，动量取值在ħk0附近 ħ⊿k 范围内，且⊿r 与⊿k满足不确定性关系。
粒子运动的平均速度相当于波包中心移动的速度
晶体中,一个电子的本征状态v是由布洛赫波函数v 来描述的,它具有确定的波矢 k 和确定的能量n(k ).
动
v• hk
e[
Ev(rv,
t
)
vvn
v (k )
Bv(rv,
t
)]
方 程
hrv•kv•vn (ek[vE)v(rv,1ht)kvvvnn((kvkv)) Bv(rv,t)]
晶v格周期场的量子力学处理的结果全部体现 在n (k ) 中
因而准经典模型提供了从能带结构推断输运 性质，或反过来从输运性质的测量结果推断能带 结构的理论基础。
求解含时薛定谔方程是很复杂的,为此人们把布 洛赫电子近似当作准经典粒子来处理,这样就避 免了复杂的数学运算,而且物理图像也比较直观.
n
(k
v
)
n
(k0
)
k
n
(k
)
k0
k
考虑到在k0 附近,调幅因子un,k包函数近似为：
n,k0 (r,t) 1 k
u (r )e d( k
2 k n,k0
i[(k0 k ) r 1[n (k0 )(kn (k ))k0 k ]t]
k)
2
2
2 (r ,t)A(r ,t)
n,k
n,k0
kx
ky
kz
n,k0
2
2
2
sin kx sin ky sin kz
(r ,t) (r ,t) 2
2
2 (r ,t)A(r ,t)
n,k
n,k0
kx
ky
kz
n,k0
2
2
2
上式即布洛赫波包函数
(r ,t) u (r )ei[(k0•r n (k0 )t]
k0
n,k0
某时刻，在坐标空间内找到电子的概率为：
2
n,k (r , t)
2
n,k0 (r , t)A(r ,t)
2
un,k0 (r )
A(r ,t) 2
附加因子A(r,t)的最大值为1(k 或,, 0时) .
2
当k
0
时,在坐标空间内找到电子的概率为
u n,k0
(r
)
,对应k0 本征态,电子的坐标完全不确定.
亦即外电场、磁场对布洛赫电子的作用采用 经典的处理方式，晶格周期场对电子的作用沿 用能带论量子力学的处理方式。
把布洛赫电子当作准经典粒子来处理的近似方 法称为准经典近似。下面我们首先给出布洛赫电 子的准经典模型，然后对这一模型的合理性给出 解释。
一、布洛赫电子的准经典模型
1.模型的表述
假设每个电子具有确定的位置r,波矢k和能带指标n,对
u (r ) n,k0
i[(k0 r n (k0 )t ]
k 2
i[ k (r (kn (k ))k0 t )]
k e e d( k ) k
2
(r ,t)
u n,k0
(r
)
ei[( k0
r n (k0 ) t ]
n,k
k
k i[ k (r (k n (k ))k0 t )]
e 2
k
如果k 0, 仅当,, 0时,波包的振幅最大,而 当 , , 0时,波包的振幅趋于零.这表明波包 局限在晶体的一个区域内,且位置是时间的函数.
由测不准关系,布洛赫电子的波矢完全确定,则
坐标是完全不确定的. 考虑到实际晶体中的电子态,往往v是一些本v 征态 的叠加.如果布洛赫电子的状态由 k0 附近k 范围 内的布洛赫本征态叠加构成,它将构成一个波包.
虽然波包的波矢不能完全确定，但是波包的空 间位置有一定的确定性。也就是说，这个叠加态 构成的波包以牺牲波矢的完全确定来换取坐标的 某种确定性。
于给定的εn(k),在外电场E(r,t)和外磁场B(r,t)的作用下,位 置、波矢、能带指标随时间的变化遵从如下规则:
1).能带指标n是运动常数，电子总呆在同一能带中，
忽略带间跃迁的可能性；
电
2).电子的速度满足：
rv•
v vn (k )
1 h
kv n
v (k )
子 的 运
3).波矢随时间的变化满足：
前面写波函数时,考虑到本征态是定态,没有考
虑时间因子,现在考虑时间因子后，布洛赫波函
数写成：
(r,t)
n
(k
,
r
)e
i
n
(
k
)t
i[k
e
rn (k )t]
u (r) n,k
由于波包包含不同能量本征态(不同的
v
v k
状态 v
具有不同的能量).忽略带间跃迁,可把 k0附近k 范
围内的布洛赫本征态叠加构成的波包函数写成:
3.7 布洛赫电子的准经典运动
前面我们讨论了晶体电子在周期势场中的本征态和本 征能量，从本征态和本征能量出发可以进一步研究晶体 中电子的基态和激发态
因为只要知道了电子本征态的分布，就可以根据统计 物理的基本原理去讨论系统中电子按能量的平衡态分布 问题，也可以讨论在外场下的量子跃迁问题，比如热激 发、光吸收和电子散射等。
d(
k)
2
考虑到 (r ,t) u (r )ei[(k0 r n (k0 )t]
k0
n,k0
并把被积函数中的矢量用分量表示，且令：
x
1
n (k
kx
)
k0
t
y
1
n (k
ky
)
k0
t
z
1
n (k
kz
)
k0
t
则波包函数可表示为：
sin kx sin ky sin kz
(r ,t) (r ,t) 2
在准经典模型中，能带仍然满足前面的对称性。
2.模型合理性的说明
下面我们从量子力学出发给出模型的合理解释
严格求解电子在外电场和外磁场作用下的
行为，应从含时薛定谔方程中得到：
[
1
(
p)
v eA)2
V
(rv)
e]
(rv,
t)
ih•
(rv,
t)
v
2m
A是与磁场相关的矢量势；是与电场相关的标量势
量子力学对应原理告诉我们,如果一个力学体
(r,t) 1 k
u (r )e dk k0
k 2
k0
k 2
n,k
i[k r n (k )t]
归一化因子
v 求和写成积分是同一能带中波矢 k是准连续的
令：k
v
k0
k
(r,t) 1 k
u (r )e dk k0
k 2
k0
k 2
n,k
i[k r n (k )t]
在k0附近将n (k )展开得：
系的态与态的变化可以用经典力学近似描述,则这
个态在量子力学中可以表示为一个波包.
波包就是指该粒子的空间分布在r0附近⊿r范 围内，动量取值在ħk0附近 ħ⊿k 范围内，且⊿r 与⊿k满足不确定性关系。
粒子运动的平均速度相当于波包中心移动的速度
晶体中,一个电子的本征状态v是由布洛赫波函数v 来描述的,它具有确定的波矢 k 和确定的能量n(k ).
动
v• hk
e[
Ev(rv,
t
)
vvn
v (k )
Bv(rv,
t
)]
方 程
hrv•kv•vn (ek[vE)v(rv,1ht)kvvvnn((kvkv)) Bv(rv,t)]
晶v格周期场的量子力学处理的结果全部体现 在n (k ) 中
因而准经典模型提供了从能带结构推断输运 性质，或反过来从输运性质的测量结果推断能带 结构的理论基础。
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孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.1布洛赫定理及能带
ˆ ˆ H (r )TRn (r ) ˆ, H ˆ]0 [T
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
固体物理 04-01布洛赫定理
大
学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子 电子的波函数
—— 布洛赫函数
西
南 晶格周期性函数
科 技 大 学
—— 晶格周期性函数
Solid State Physics
固 体 物
理 布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
二十年代初期，在用量子力学研究金属
的电导理论的过程中发展起来的。
西 南 科 技 大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
Felix Bloch，1905.10 – 1983.9
博士论文《金属的传导理论》
发展核磁精密测量的新方法及其有 关的发现，与爱德华·珀塞尔（ Edward Mills Purcell, 1912-1997） 分享 1952年诺贝尔物理学奖
Solid State Physics
固 体
物 平移算符本征值的物理意义
理
1)
—— 原胞之间电子波 函数相位的变化
2) 平移算符本征值量子数
西
南 —— 简约波矢，对应于平移动操作本征值的量子数
科
技 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
？
b）晶体中电子的平均自由程为什么会远大于
西
南 原子的间距？
科
技 大
……
学
Solid State Physics
固体物理学：第四章 第九节 布洛赫电子在恒定电场中的准经典运动
4. 在外加电场，磁场中空穴的准经典运动方程为 空穴的运动方程是带正电荷的粒子的运动方程
五、导体、绝缘体和半导体的能带特征
在一种固体中，存在着未填满的能带，那么它必定 是导体。
如果所有能带中，只有全满带或者全空带，那么它 是绝缘体。
半导体在绝对零度下，所有能带是全满或者全空。 但禁带很窄，在有限温度下有少量的满带电子被激 发到空带中，形成少量空穴的价带和少量电子的导 带。
布洛赫电子的行为则完全不同，因为布洛赫电子 通常都有复杂的能带结构，不能写出v(t) 和 k(t)的 明显关系，但总可以写成下面的函数形式：
因为v(k(t))是倒空间的周期函数，因此速度是时间 的有界函数，当E平行于一个倒点阵矢量时，速度 将随时间振荡。
如果电子在t=0时刻k=0，那么v(k)=0，有效质量m*>0。随着时 间增加，不断被加速，越过A点后，有效质量m*<0，电子被 减速，一直到B点，速度变为0。随着k的继续增加，进入第二 布里渊区C点。在简约能区图式中，C点将折回到第一布里渊 区的等价点C’。这里C和C’相差一个倒格矢，电子在k空间 循环运动。
布洛赫电子的准经典运动过程中，晶格的周期场始终 起了关键的作用，这种作用隐含在E(k)函数中。 一个电子载有的电流比例与它的速度，于是在布洛赫 电子的准经典模型中，直流电场将感生出交变电流， 这种效应成为布洛赫振荡，其周期为：
其中2pi/d是沿着电场方向两个区界的距离。在一维情 况下，就是第一布里渊区的宽度，其振荡频率为：
2.
空穴的能量应该是从满带中失去一个电子，系统能量的变化：
逸失电子在带内位置越低，需要更多的功，系统的能量越 高。如果令价带能量零点位于带顶，并且能带是对称的， 可以构造一个近满带对应的空穴能带，如图所示：
固体物理学：第四章 第八节 布洛赫电子的动力学性质
当Δk=0时候，即为一个布洛赫本征态，在空间找到
电子概率为
,电子的坐标完全不确定。
当
时，仅当
时，波包的振
幅最大，对所有的
，波包的振幅都
趋于0。这说明波包都局域在晶体中的一个区域内，
并且位置是时间的函数，我们把某个时刻波包的中
心位置
认定为电子的坐标。
写成矢量形式
根据不确定关系，Δk越大， Δr 越小，电子的位置越 确定。
假设电子状态由k0附近Δk范围内的布洛赫本征态叠加构成， 它将构成一个波包。波包的波矢不能完全确定，但波包的 空间位置确有一定的可知性。
换言之，以牺牲波矢的完全确定来换取坐标的某种确定性， 在某种情况下，可以把它当做经典粒子处理。
布洛赫本征态由式4.1.17表示为
用不同的k状态叠加构成波包，而不同的k状态具有不 同的能量。忽略带间跃迁，将同一能带中特定波矢k0 附近Δk范围内的诸波函数叠加得到：
四、准经典近似的物理含义
准经典近似描述晶体中电子的外场响应。外场作为一 种力出现在描述波包的坐标和波矢变化的经典运动方 程中。因此要求与波包的尺度相比，外场是一个时间 和空间缓变场。
晶格的周期势和波包的尺度相比不是缓变的，但是布 洛赫电子本身已经精确考虑了晶格的周期场，这种意 义上，布洛赫电子的准经典近似只是部分的经典极限： 对外场做经典处理，但是对于离子的周期势必须做量 子处理。
二、波包在外场中的运动、 布洛赫电子的准动量
量子力学中，任意不显含时间的力学量A的平均值随 时间的变化由下列Ehrenfest关系给出：
其中H是系统的哈密顿量，令A为晶格的平移算符T， 在一维情况下，对一个布洛赫函数有
上式通常是一个能带的结果，但是即使ψ是任意个 能带的布洛赫态的组合，只要波矢k是简约能去图 式中相同的波矢，它仍然成立。 在均与外力F作用下，系统的哈密顿量为
固体物理学：第四章 第十节 布洛赫电子在恒定磁场中的准经典运动
电子在r空间的轨道不是限制在一个平面内，而是绕 磁场做螺旋运动：
其中 对时间积分
是 在垂直磁场平面内的投影。
r空间电子轨道是垂直于磁场平面内的投影与k空间的 轨道类似，它们之间差一个比例因子hbar/eB 和 一个 pi/2的旋转：
对于自由电子等能面是一个球面，k空间的轨道是闭 合的圆，称为闭轨道。但是对于布洛赫电子等能面 不一定是球面，也不一定闭合。
第四章 能带论
§4.10 布洛赫电子在恒定磁场中 的准经典运动
一、恒定磁场下的动力学
在恒定磁场B中，电子在k空间的准经典运动方程是
K沿着磁场方向的分量和电子的能量是守恒量。在k 空间电子沿着垂直磁场的平面和等能面的交线运动。 V(k)的方向在k空间从低能量指向高能量方向，假定 B沿着kz方向。
对于布洛赫电子，类比4.10.14，从4.10.12可以定义回 旋有效质量和回旋频率：
回旋有效质量m*c (E,k)可以不同于以前我们定义的 有效质量，它不但与一个特定的电子状态相关，而
且和回旋轨道性质有关。
对于能带电子，如果在能量极值点附近的能谱可写
成
，等能面为球面，具有单一的有效质
量，那么类似自由电子的情况：
不同界面贡献的大小，可以发现等能面的截面积为极 值的那些截面，通常会起主导的作用。
二、轨道量子化
上面我们从准经典运动方程出发讨论电子在恒定磁 场中的运动，外场作为经典处理，得到电子绕磁场 沿着经典螺旋轨道。但是施加磁场会自动破坏电子 状态的基本量子化图像。 对于自由电子气，无磁场时
如果电子限制在一个边长为L的立方体：
状态密度为： 基本图像。
这是自由电子状态量子化的
如果施加一个沿着z方向的均匀磁场B，那么电子在x-y 平面内将受到洛伦茨力的作用。因此，除了kz以外， kx, ky不再是好量子数。磁场引入了新的运动恒量， 即绕着磁场方向的角动量。求解在均匀恒定磁场中电 子的薛定谔方程，得到电子的能量本征值由kz和磁量 子数决定：
固体物理基础参考解答
当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
对于自由电子气体，能量为
εn (k ) =
2k 2 2m
∇kεn (k )
=
2
m
k
；
k
=
1
(2mε
)
1 2
三维下，对应等能面为球面，所以单位体积的能态密度为：
∫ g (ε ) = 2
n
(2π )3
dsε
=2
4π k 2 =
1
(2m3
)
1 2
ε
1 2
∇k εn (k ) 8π 3 2k / m π 2 3
米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等。
5. 如何理解金属自由电子气体的简并性？
答 ：在 统 计 物 理 中 ，把 体 系 与 经 典 行 为 的 偏 离 ，称 为 简 并 性 (degeneracy)。在
绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照经
典 的 自 由 电 子 气 体 (Drude)的 模 型 ，电 子 在 T=0 时 的 平 均 能 量 为 零 。因 此 ，在 T=0K
如此对全部电子气来说要出现沿磁感应强度 B 方向的净磁矩，因而，出现了泡利
固体物理-第四章 能带理论
V* , v, V分别是倒易原胞，晶格原胞和整个晶体的 体积, N = N1N2N3是原胞总数。
k-空间中单位体积中的状态密度为V/(2p)3 .每个 布里渊区k的数目为： V*/(V*/N)=N
4.1.基本概念
4.1.4.定态微扰简述 处于定态的粒子体系，受到一个微小的恒定的扰动后体 系的状态和能量等发生微小的变化。对于简并和非简并 情况处理方法不同。 1.非简并微扰 体系的哈密顿算符为 Ĥ=Ĥ0+ĥ (4.1.4.1) Ĥ0的本征值和本征函数是已知的或者可以精确求解的且 不存在简并。Ĥ0的本征方程为： Ĥ0y n (0) = En (0)y n (0) (4.1.4.2) n能级序号，ĥ 微扰项。为便于比较，令ĥ=lĤ’ , l<<1, Ĥ’ 的作用相当于Ĥ0，但Ĥ’不等于Ĥ0。。于是 Ĥ=Ĥ0+ lĤ’
第四章 能带理论
4.1.基本概念 4.2.近自由电子近似 4.3.紧束缚近似 4.4.晶体中电子的速度、准动量及有效质量 4.5.固体导电性能的能带理论解释 4.6.晶体中电子的态密度 4.7.能带理论的局限性
4.1.基本概念
4.1.1.能带理论的基本假定 晶体由离子实（原子核+内层电子）和外层的价电子组成。 价电子的哈密顿量应该考虑：价电子的动能，离子实的动 能，价电子之间，离子实之间，价电子与离子实之间的相 互作用势能。 为了简化用单个电子在静止的周期势场中的运动,来描述 晶体中所有等同电子的状态. 在上述假定下，晶体中价电子的哈密顿算符 Ĥ=-ħ22/2m +V(r) （ 4.1.1.1） 其中, V(r+Rn)=V(r), 它包含代替价电子相互作用的平均势 与离子实的周期势。 格矢,Rn=n1a1+ n2a2 + n3a3, n1, n2, n3为整数, a1,a2 ,a3 为晶胞 的单位矢量. r ，电子的位矢.
《固体物理基础教学课件》第4章-能带理论
2021/6/20
第 四 章 固体的能带
能带重叠示意图
金刚石的能带
2021/6/20
钠的能带
第 四 章 固体的能带
电子在周期性晶格中的运动，电子共有化，受到 周期性势场的作用。
孤立原子中电子的 势阱
2021/6/20
势垒
电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
第 四 章 固体的能带理论
§4.1 能带理论简介 §4.2 固体的能带 §4.3 导体和绝缘体 §4.4 推导能带的近似思想 §4.5 布洛赫定理
2021/6/20
第 四 章 固体的能带理论
研究固体中电子运动的主要理论基础 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 说明了导体、半导体及绝缘体的区别 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
2021/6/20
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
2021/6/20
第 四 章 固体的能带
p2 E
1982 1989
80286 80486
13.4万 120万
1993 pentium
320万
1995
pentium MMX
550万
………
集成度每 10 年增加 1000 倍 ！
2021/6/20
第 四 章 固体的能带理论
第 四 章 固体的能带
能带重叠示意图
金刚石的能带
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钠的能带
第 四 章 固体的能带
电子在周期性晶格中的运动，电子共有化，受到 周期性势场的作用。
孤立原子中电子的 势阱
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势垒
电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
第 四 章 固体的能带理论
§4.1 能带理论简介 §4.2 固体的能带 §4.3 导体和绝缘体 §4.4 推导能带的近似思想 §4.5 布洛赫定理
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第 四 章 固体的能带理论
研究固体中电子运动的主要理论基础 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 说明了导体、半导体及绝缘体的区别 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
2021/6/20
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
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第 四 章 固体的能带
p2 E
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第 四 章 固体的能带理论
《固体物理基础教程》课件第4章
上一节中我们从大家所熟悉的知识入手，对晶体中电子 运动状态的基本特点有了一个初步的感性认识，从这一节开 始，我们将对固体能带理论中的一些重要理论、方法及结论
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
固体物理(2011) - 第4章 能带论 2 近自由电子近似方法
固体物理
Solid State Physics
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动
n 2p )2 ]
2m
a
—— 非简并微扰法不再适用了
ii) 电子波函数和不同态之间的相互作用
在原来的零级波函数
中
掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数
0 k'
(
x)
i(k n 2p ) x
1e a L
—— 它们的能量差越小 掺入的部分就越大
当
时
—— 两个状态具有相同的能量
—— 导致了波函数的发散
k np (1 ) k' np (1 )
a
a
2. 能带和带隙（禁带）
—— 零级近似下，将电子看作是自 由粒子，能量本征值曲线为抛物线
Ek0
2k 2 2m
V
—— 微扰情形下：电子的k不在pn/a附近时，与k状态相互 作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大
即满足 Ek0 Ek0' Vn
—— k状态不计二级能量修正
2m
a
3）微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(x)
0 k
(
x)
(1) k
(
x
)
.
0 k
(
x)
1 eikx L
波函数的一级修正
(1) k
k'
Solid State Physics
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动
n 2p )2 ]
2m
a
—— 非简并微扰法不再适用了
ii) 电子波函数和不同态之间的相互作用
在原来的零级波函数
中
掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数
0 k'
(
x)
i(k n 2p ) x
1e a L
—— 它们的能量差越小 掺入的部分就越大
当
时
—— 两个状态具有相同的能量
—— 导致了波函数的发散
k np (1 ) k' np (1 )
a
a
2. 能带和带隙（禁带）
—— 零级近似下，将电子看作是自 由粒子，能量本征值曲线为抛物线
Ek0
2k 2 2m
V
—— 微扰情形下：电子的k不在pn/a附近时，与k状态相互 作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大
即满足 Ek0 Ek0' Vn
—— k状态不计二级能量修正
2m
a
3）微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(x)
0 k
(
x)
(1) k
(
x
)
.
0 k
(
x)
1 eikx L
波函数的一级修正
(1) k
k'