人教A版必修四 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 课件(45张)
=3(e1-e2),
求证:A,B,D三点共线.
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.
【解析】(1)因为
uuur AB
=e1+e2,
uuur uuur uuur BD＝BC CD
=2e1+8e2+3e1
-3e2=5(e1+e2)=5 AuuBur .
所以 AuuBu,r BuuDu共r 线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)方程法 当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平 行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关 系,然后解关于所求向量的方程. 提醒:用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间 的数量关系.
【补偿训练】 (2018·合肥检测)如图,向量a-b等于 ( )
A.-4e1-2e2 C.e1-3e2
(2)方程方法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量 当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过 程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
【变式训练】化简:(1) 2 a b 1 (2a 4b) 2 (2a 13b).
5
3
15
(2)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m,n为实数).
a
uuur AB，b
AuuCur，用向量a,b表示
uuur AD
=_23_a___13_b_.
【失误案例】因为点D为BC的三等分点,所以BuuDur
1
uuur BC，
3
所以
uuur AD
uuur AB
uuur BD
uuur AB
1
uuur BC
uuur AB
1
uuur uuur AC AB
AuuCur＝3AuuBur，则
uuur BC
等于
(
)
uuur A.－2AB
B．1
uuur AB
C．
1
uuur AB
uuur D．2AB
3
3
【解析】选D.如图,AuuCur＝3AuuBur，所以
uuur uuur BC＝2AB.
4.已知向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=λa,则λ的
值等于________.
1
uuur BC，
3
3
所以 AuuDur
uuur AB
uuur BD
uuur AB
1
uuur BC
uuur AB
1（AuuCur
uuur AB）
3
3
2
uuur AB
1
uuur AC
2
a
1
b.
3
3
33
当BD=2
BC时,如图2B,uuDur
2
uuur BC，
3
3
所以
uuur uuur uuur AD AB BD
uuur AB
2
uuur uuur AC AB
3
1
uuur AB
2
uuur AC
1
a
2
b.
3
3
33
答案: 1 a 2 b或 2 a 1 b
33 33
uuur AB
=a#43;6b,
CuuDur =7a-2b,
则一定共线的三点是 ( )
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
【审题路线图】向量共线⇒共线定理.
【解析】1.选A.因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,
所以ma-3b=λ[a+(2-m)b]⇒m3＝＝，2 m.
2.向量共线的条件 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ, 使_b_=_λ__a_. 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于 任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a± μ2b)=_λ__μ__1a_±__λ__μ__2_b_.
【点拨】(1)理解向量数乘的两个角度 ①代数角度:实数与向量的乘积λa仍然是个向量; λa=0⇔λ=0或a=0.
A.①② B.③④ C.①③
() D.②④
【审题路线图】用已知向量表示未知向量⇒图形的几 何特征及线性运算法则.
【解析】1.选D.因为E是BC的中点,
所以
CuuEur＝1
uuur CB＝
1
uuur AD＝
1
b，
所以
uuur 2uuur uuur2 DE＝DC CE
uuur AB
uu2ur CE＝a
解得m=-1或m=3.
2.选A.
uuur uuur BD＝BC
= Cu(u-Dur5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=
2(a+2b)=2AuuBur ,所以A,B,D三点共线.
【方法技巧】用向量共线的条件证明两直线平行或重 合的思路 (1)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线无公共点,则这 两条直线平行.
【解析】因为b=λa,所以|b|=|λ||a|. 又a与b反向,所以λ=- .R
r
答案:- R
r
5.下列各式中成立的是________. ①|λa|=λa; ②0·a=0; ③(λ+μ)a=λa+μa; ④λ(a+b)=λb+λa. 【解析】①中|λa|=|λ||a|,错误;②中,0·a=0,错误; 答案:③④
(2)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线有公共点,则这
两条直线重合.例如,若AuuBur
AuuCur，则
uuur uuur AB与AC
共线,又
AuuBur与AuuCur 有公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三
点共线的重要方法.
【拓展延伸】关于A,B,C三点共线的条件
(1)利用a=λb(b≠0),A,B,C三点共线⇔
(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线, 所以存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2), 即(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1与e2不共线, 只能有 kk1＝＝所0，0以，k=±1.
类型三 用已知向量表示未知向量
【典例】1. (2018·桂林高一检测)如图,▱ABCD中,E
【自我检测】
1.已知λ∈R,则下列命题正确的是 ( )
A.|λa|=λ|a|
B.|λa|=|λ|a
C.|λa|=|λ||a|
D.|λa|>0
【解析】选C.当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,A错
误;|λa|是一个非负实数,而|λ|a是一个向量,所以B
错误;当λ=0或a=0时,|λa|=0,D错误.
是BC的中点,若
AuuBur＝a，AuuDur＝b，则
uuur DE
=
(
)
A.1 a-b
2
B.1 a+b
2
C.a+ 1 b
2
D.a- 1 b
2
2.如图所示,下列结论正确的是
①PuuQur＝3 a 3 b； 22
uur ②PT＝
3
a
3
b；
22
③PuuSr＝3 a 1 b； 22
④PuuRur＝3 a b. 2
【解析】由题意可以设a+λb=λ1(-b+3a)=3λ1a-λ1b,
因为a与b不共线,所以有
1＝＝31，1，解得
1＝
1， 3
＝
1
.
答案:- 1
3
3
【补偿训练】已知非零向量e1,e2不共线.
(1)如果
uuur AB
=e1+e2,
uuur BC
=2e1+8e2,CuuDur
uuur uuur AB AC,
即三个点任意构造出两个向量,只要这两个向量共线,
则这三个点共线.
(2)利用变形式,A,B,C三点共线⇔
uuur uuur uuur OA xOB yOC
(x+y=1).
【变式训练】已知a与b是两个不共线的向量,且向量
a+λb与-(b-3a)共线,则λ=________.
②几何角度:
|λ|>1
λ>1 在原方向上伸长到原来的λ倍 λ<-1 在反方向上伸长到原来的-λ倍
0<λ<1 在原方向上缩短到原来的λ倍 0<|λ|<1
-1<λ<0 在反方向上缩短到原来的-λ倍
(2)关于向量共线 ①向量共线定理中规定向量a≠0,因为如果a=0, 当b=0时,0=λ0,λ可以是任意实数; 当b≠0时,b=λ0,λ值不存在. ②当向量a,b同向时,λ>0,当向量a,b反向时,λ<0.
2.点C是线段AB靠近点B的三等分点,下列正确的
是( )
uuur uuur A.AB 3BC
uuur uuur B.AC 2BC
uuur C.AC
1
uuur BC
2
uuur uuur D.AC 2CB
【解析】选D.由题意,AC=2CB,故
uuur AC
uuur 2CB.
3.点C在直线AB上,且
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.向量的数乘运算 (1)概念
定义 记法 长度
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数学必修Ⅳ人教新课标A版2-2-3向量数乘运算及其几何意义课件(33张)
平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC
＋OD 等于
()
A．OM
B．2OM
C．3OM
D．4OM
答案：D
2．如图所示，四边形 OADB 是以向量OA＝a，OB＝b 为邻边 的平行四边形．又 BM＝13BC，CN＝13CD，试用 a，b 表示 OM ，ON ， MN .
答案：OM ＝16a＋56b；ON ＝23(a＋b)； MN ＝12a－16b
2．向量数乘的运算律
设 λ，μ 为实数，则 (1)λ(μ a)＝ (λμ)a ； (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa ； (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb . 特别地，(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a) ， λ(a－b)＝ λa－λb.
[化解疑难] 从两个角度看数乘向量 (1)代数角度： λ 是实数，a 是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0 的 条件是 λ＝0 或 a＝0. (2)几何角度： 对于向量的长度而言， ①当|λ|>1 时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量 a 的有向线段 在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍； ②当 0<|λ|<1 时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量 a 的有向线 段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍.
[例 3] (1)已知 e1，e2 是两个不共线的向量，若 AB＝2e1 －8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，求证：A，B，D 三点 共线．
(2)已知 A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP ＝x OA＋y OB，求 x＋y 的值．
[解] (1)证明：∵CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2， ∴ BD＝CD－CB＝e1－4e2. 又 AB＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴ AB＝2BD，∴ AB∥ BD. ∵AB 与 BD 有交点 B， ∴A，B，D 三点共线．
高中数学人教A必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1 2
= ������������, 则选项A,C,D
不正确 ,很明显 ������������ = ������������, 则选项B 正确 . 答案 :B
-9-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
������ ������ a,向量 是与向量a 同向的单位向量 .向量 − |������| |������|
是与向量a 方向相反的单位向量 . 3.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩 小到原来的 |λ|倍.
-4-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
1 ������������. 4 1 ������������, ������������与BA 相交于 3
E.求
-14-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
-11-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数λ满足b=λa(a≠0),那么a∥b. 性质定理:如果a∥b,a≠0,那么存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)判定定理的结论是a∥b,那么用共线向量定理可以证明两个向 量共线.此时证明向量a∥b,只需找到满足a=λb或b=λa的实数λ的值 即可.
= ������������, 则选项A,C,D
不正确 ,很明显 ������������ = ������������, 则选项B 正确 . 答案 :B
-9-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
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������ ������ a,向量 是与向量a 同向的单位向量 .向量 − |������| |������|
是与向量a 方向相反的单位向量 . 3.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩 小到原来的 |λ|倍.
-4-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
1 ������������. 4 1 ������������, ������������与BA 相交于 3
E.求
-14-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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-11-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数λ满足b=λa(a≠0),那么a∥b. 性质定理:如果a∥b,a≠0,那么存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)判定定理的结论是a∥b,那么用共线向量定理可以证明两个向 量共线.此时证明向量a∥b,只需找到满足a=λb或b=λa的实数λ的值 即可.
2021版高中数学人教A必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
-22-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
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-6-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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1234
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D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做2】 3(2a-4b)等于( )
A.5a+7b B.5a-7b C.6a+12b D.6a-12b 解析:原式=3×2a-3×4b=6a-12b. 答案:D
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题型一 题型二 题型三 题型四
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-16-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
-23-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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D典例透析 IANLI TOUXI
【例3】 已知向量a,b,如图,求作向量2a-3b. 分析:分别作出有相同起点的向量2a与3b,利用三角形法则作出 向量2a-3b.
人教A版必修四 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 课件(41张)
[变式训练] 如图，在△OBC 中，点 A 是 BC 的中点， 点 D 是将向量O→B分为 2∶1 的一个分点，DC 和 OA 交于 点 E，设O→A＝a，O→B＝b.
(1)用向量 a，b 表示O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
解：(1)因为O→A＝12(O→B＋O→C)，所以O→C＝2O→A－O→B＝ 2a－b，
2.2 平面向量的线性运算 2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
[学习目标] 1.掌握向量数乘运算及其几何意义，掌 握向量数乘的运算律(重点)． 2.掌握向量共线定理及其 证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线 (重点、难点)． 3.能熟练地运用数乘运算的定义、运算 律进行有关计算(重点)．
2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未 知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要 多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
[变式训练] 计算下列各式： (1)4(a＋b)－3(a－b)； (2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)； (3)25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b)． 解：(1)原式＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b. (2)原式＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.
(2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝λμ_a； ② (λ ＋ μ)a ＝ λ_a ＋ μ_a ； ③λ(a ＋ b) ＝ λ_a ＋ λ_b( 分 配 律)． 特别地，(－λ)a＝－λ a＝λ(－a)，λ( a－b)＝λ_a－λ_b． 温馨提示 要清楚数乘向量与数乘数的区别，前者结
1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定 如下： ①|λ a|＝|λ||a|； ②当 λ>0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同； 当 λ<0 时，λ a 的方向与 a 的方向相反．
人教A版高中数学必修四第二章：2.2.3向量数乘运算及其几何意义 课件
2.2.3向量的数乘运算 及其几何意义
复习回顾：
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，C首尾连
ab b
A
a
B
Ba
b
a
b
C
特点:共起点
b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
B
a
b
O
BA a b
aA
b
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
思考题1:已知向量 a, 如何作出 a a a 和(a) (a) (a)?
例6: 已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
a
b
证明三点A、B、C共线方法： C
b
B
若存在 R, 使得AC AB， b
A
则三点A, B,C共线
ba
O
共线定理应用
例6: 已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
AB AC 2AD 右边
所以，所证等式成立
4．如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中 点，F为BC的中点，求证：AB DC 2EF
解：作图如右
a
b
依图猜想:A、B、C三点共 线∵ AB=OB-OA
=a+2b-(a+b)=b
又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b
∴ AC=2AB
C
b
b b O
B A
复习回顾：
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，C首尾连
ab b
A
a
B
Ba
b
a
b
C
特点:共起点
b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
B
a
b
O
BA a b
aA
b
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
思考题1:已知向量 a, 如何作出 a a a 和(a) (a) (a)?
例6: 已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
a
b
证明三点A、B、C共线方法： C
b
B
若存在 R, 使得AC AB， b
A
则三点A, B,C共线
ba
O
共线定理应用
例6: 已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
AB AC 2AD 右边
所以，所证等式成立
4．如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中 点，F为BC的中点，求证：AB DC 2EF
解：作图如右
a
b
依图猜想:A、B、C三点共 线∵ AB=OB-OA
=a+2b-(a+b)=b
又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b
∴ AC=2AB
C
b
b b O
B A
人教A版高中数学必修4课件2.2向量数乘运算及其几何意义课件
讲授新课
注意：
实数与向量a，可以作积， 但不可以作加减法，即＋a， －a是 无 意 义 的 ．
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
2a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
2a
3( 2a )
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
讲授新课
思考
共
反过来，如果 线向量，那么b
a
与
b是
a？
讲授新课
思考
共
反过来，如果 线向量，那么b
a
与
b是
a？
结那论么：如b 果aa，. b是共线向量，
讲授新课
结 论：
向
量b与
非零向
量a共
线,当且
仅当
有唯
一一个
实数，使
得b
a
.
讲授新课
例
3.
向量a
e1
e2
,
b
2e1
2e2
是否共线？
试用m, n表示DE, EF , FD.
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
复习回顾
请
作出a
a
a和(a
)
(a
)
(a
)
向量，并指出相加后和的长度和方向有
什么变化？
复习回顾
请
作出a
a
a和(a
)
(a
)
(a
)
向量，并指出相加后和的长度和方向有
什么变化？
复习回顾
请作出a
a
a和(a
)
高中数学《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》 新人教A版必修4
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
ppt课件
1.掌握向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算； 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共
线的向量，能判断两个向量共线； 4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想．
如何求作两个非零向量的和向量？
a
NoO
a
A
吗？蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是
3a
吗? 你能用图形表示吗？
向量数乘的定义
思考1：已知非零向量 a ，如何求作向量 a ＋ a ＋ a 和 （－ a ）＋（－ a ）＋ （－ a ）？
a
a
a
a
OA
BC
a
a
OC aaa
a
P
N MO
OP （－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
思考2：向量 a ＋ a ＋ a 和（－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
解:在平行四边形ABCD中，
ACABADab,
DBABADab.
又 平行四边形的两条对角线互相平分，
MA1AC 2
D
C
b
M
1(ab) 1a1b;
2
22 A a
B
M B 1D B 1(a b )1a1b ;
22
22
M C1AC1a1b; 2 22
M D M B 1D B 1a1b . 2 22
事实上，因为 A B = O B -O A
a 2b (a b) b, 而 AC OC OA =a 3b (a b) =2b, 于 是 AC=2AB. 所以，A、B、C三点共线.
ppt课件
例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，
ppt课件
1.掌握向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算； 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共
线的向量，能判断两个向量共线； 4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想．
如何求作两个非零向量的和向量？
a
NoO
a
A
吗？蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是
3a
吗? 你能用图形表示吗？
向量数乘的定义
思考1：已知非零向量 a ，如何求作向量 a ＋ a ＋ a 和 （－ a ）＋（－ a ）＋ （－ a ）？
a
a
a
a
OA
BC
a
a
OC aaa
a
P
N MO
OP （－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
思考2：向量 a ＋ a ＋ a 和（－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
解:在平行四边形ABCD中，
ACABADab,
DBABADab.
又 平行四边形的两条对角线互相平分，
MA1AC 2
D
C
b
M
1(ab) 1a1b;
2
22 A a
B
M B 1D B 1(a b )1a1b ;
22
22
M C1AC1a1b; 2 22
M D M B 1D B 1a1b . 2 22
事实上，因为 A B = O B -O A
a 2b (a b) b, 而 AC OC OA =a 3b (a b) =2b, 于 是 AC=2AB. 所以，A、B、C三点共线.
ppt课件
例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，
人教版高中数学必修4A版 向量数乘运算及其几何意义 课件
，
a a
A
O
a
B
a
C
3a 3a
3a与a方向相同 |3a|=3|a|
a
N M
a
Q
a
P
-3a与a方向相反 |-3a|=3|a|
a : 数乘向量定义
规定：实数与向量
a的乘积是一个向量，记作 a
，
它的长度和方向规定如下：
（1）| a || || a |;
a 0
a
的方向相同；
a 的方向相反。 特别地，当 0 时或 a 0 ， 0a 0 或 0 0.
3b
B
2b
A
b
O
a
C
3b 2b
且有公共点Ａ
B
A
b
O
a
变式 如图：已知 AD =3 AB，DE =3BC ， E 试判断 AC与AE 是否共线． C
解：AE=AD+DE =3AB+3BC =3(AB+BC) ∴AE//AC
A
B D
小结:
一、①λ
a 的定义及运算律 (a≠0)
②向量共线定理
b=λa
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
复习:
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连 C ab b
A
2.向量加法平行四边形法则: 特点:同一起点,对角线
B
a
C
a b b
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则: 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
a b
-12 a 5b - a +5 b -2 c
思考 :
人教A版高一数学必修四课件：2.2.3向量数乘运算及其几何意义 (共21张PPT)
AC 与AE 共线且有公共点A. A、C、E三点共线
例 如图，已知 AD 3AB，DE 3BC . 试判断 AC 与AE 是否共线.
E C
解： AE AD DE
3AB 3BC
A B
D
变式二：求证：BC // DE
3( AB BC) 3AC ， AC 与AE 共线
a与b共线。
例如图，已知 AD 3AB，DE 3BC . 试判断 AC 与AE 是否共线.
E 解： AE AD DE
C
A B
3AB 3BC 3( AB BC)
3AC ，
变式一：
D AC 与AE 共线
如图，已知 AD 3AB ，DE 3BC . 试判断 A、C、E三点的位置关系。.
b 1 a e 3a
2
2
b 8a 9
e 4a 3
思考
a与a有何关系？(a
0)
结 论：
a, a共线向量 .
思考
如果
a
与
b 是共线向量，那么b
a？
结 论： 如果a，b是共线向量，
那么b
a
.
共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
课本P90 4
4、判断下列各小题中向量a与b是否共线：
(1)a 2e,b 2e; (2)a e1 e2,b 2e1 2e2;
解：a b
a与b共线。
解：b 2a
向量的减法(三角形法则)
高中数学人教A版必修4课件：2.2.3向量数乘运算及其几何意义
4.已知向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=λ a,则λ 的
值等于________.
【解析】因为b=λ a,所以|b|=|λ ||a|. 又a与b反向,所以λ=- .R
r
答案:- R
r
5.下列各式中成立的是________. ①|λ a|=λ a; ②0·a=0; ③(λ +μ )a=λ a+μ a; ④λ (a+b)=λ b+λ a. 【解析】①中|λ a|=|λ ||a|,错误;②中,0·a=0,错误; 答案:③④
【解析】1.选D.因为E是BC的中点, 所以 C E ＝ 1C B ＝ 1A D ＝ 1b，
22 2
所以 D E ＝ D C C E A B C E ＝ a 1b .
2
2.选C.由 a b＝知2 PQ， PQ①＝正3a确3; b，
3
22
由 PT＝3a从3而b，②错误;
(2)关于向量共线 ①向量共线定理中规定向量a≠0,因为如果a=0, 当b=0时,0=λ 0,λ 可以是任意实数; 当b≠0时,b=λ 0,λ 值不存在. ②当向量a,b同向时,λ >0,当向量a,b反向时,λ <0.
【自我检测】
1.已知λ ∈R,则下列命题正确的是 ( )
A.|λ a|=λ |a|
应有 BD1BC或 BD2BC.解题时条件转化要全面准确.
3
3
【自我纠正】因为D为BC的三等分点,
当BD=1 BC时,如图1,BD 1 BC，
3
3
所以 A DA BB DA B1B C
3 AB 1（AC AB）
3
2 AB 1 AC 2 a 1 b.
3