高一下学期数学期末教学质量检测试卷
衢州市2023-2024学年高一下学期6月期末教学质量检测数学答案
衢州市2024年6月高一年级教学质量检测试卷数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678A B A C B D D B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011AC ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.2113.3814.{x |x <21}四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解：)62sin(2)2cos 212sin 23(2)(π+=+=x x x x f ……………………2分(1)由T=||2ωπ=π，得函数f (x )的最小正周期为π……………………4分令ππk x =+62得∈+-=k k x ，212ππZ ……………………6分∴函数f (x )的对称中心为)0212(，ππk +-……………………7分(2)⸪]2,0[π∈x ∴]67,6[62πππ∈+x ……………………9分∴]1,21[62sin(-∈+πx ……………………11分∴函数f (x )的值域为[−1,2]……………………13分16．（1）连接BD 交AC 于O ，连接MO ， 底面ABCD 是正方形，O ∴为DB 中点，又M 是线段PD 的中点，MO ∴∥AB ……………………3分又MO ⊂平面AMC ，PB ⊂/平面AMC ，PB ∴//平面AMC ……………………5分（2）1136P ACM C PAM PAM V V S CD --∆==⋅=……………………9分（3）取AD 中点N ，连接,MN BN ,M N 分别为,PD AD 中点，MN ∴∥PA，又 ⊥PA 底面ABCD ，MN ∴⊥底面ABCD ，MBN ∴∠为直线BM 与底面ABCD 所成角的平面角……….12分12PA MN ==，52BN ==tan 552MN MBN BN ∴∠===NO∴直线BM与底面ABCD 所成角的正切值为255……………………15分17.解：(1)由题意知a+4a+0.05=0.1∴a=0.01……………………2分估计满意度得分的平均值x=65×0.15+75×0.35+85×0.4+95×0.1=79.5……………………4分(2)超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75……………………5分又由满意度在[60，70)的频率为0.15<0.4，满意度在[60，80)的频率为0.5>0.4知40%分位数位于[70，80)内……………………7分由70+1015.05.015.04.0⨯--=7540……………………9分可以估计40%分位数为757540>∴有超过60%的人满意度在75分及以上，衢州市5月份文旅成绩合格了……………11分(3)把6月1日—6月7日的样本记为4000021,,,xxx ，其平均数记为x，方差记为2x s，把6月8日—6月14日的样本记为6000021,,,yyy ，其平均数记为y，方差记为2y s，则总样本平均数9010680104106104⨯+⨯=⨯+⨯=yxz=86……………………13分由方差的定义，总样本方差](([1000001600001240000122∑∑==-+-=iiiizyzxs=]}([6])([4{1012222zyszxsyx-++-+=]})8690(70[6])8680(75[4{10122-+⨯+-+⨯=96……………………15分∴总样本平均值为86，总样本方差为9618.解：（1）如图，取AC中点O，连接,OB OD，△ABC是等边三角形，点O是AC的中点，AC OB∴⊥……………………2分又四边形11ACC A是等腰梯形，且D为11A C的中点，AC OD∴⊥……………………4分又OB OD O=,,OB OD⊂平面BOD,AC∴⊥平面BOD，又BD⊂平面BOD，AC BD∴⊥……………………6分（2）解法一：延长111,,AA BB CC交于点P，过点P作PM BO⊥，PN BC⊥，垂足为,M N,连MN由（1）易知平面PBO⊥平面ABC，PM BO⊥平面PBO⋂平面ABC=BO，PM⊂平面PBOPM∴⊥平面ABC，PM BC∴⊥又PN BC⊥，且PM PN P⋂=BC∴⊥平面PMNBC MN∴⊥，又PN BC⊥PNM∴∠为二面角1B BC A--的平面角………10分则易知过1,,B B D三点的截面为梯形1BB DO，设梯形1BB DO的高为h，则()11133932416BB DOS B D BO h h=+==34h∴=,32PM∴=………………………12分O又四边形11ACC A 是等腰梯形，且1111,2AA AC AC ===，∴PAC ∆为正三角形PO BO ∴==3sin 2PM POM PO ∠== ，3POM π∴∠=，PBO∴∆为正三角形M ∴为BO 中点，3sin 64MN BM π∴=⋅=，394PN ∴=sin 13PM PNM PN∴∠==，………………16分即二面角1B BC A --的正弦值为23913………………17分（其他方法酌情给分）（2）解法二：过1,D B 分别作11,,DE BO B M BO B N BC ⊥⊥⊥，垂足为,,E M N ，连接MN .由（1）易知平面1DB BO ⊥平面ABC ，1B M BO⊥平面1DB BO ⋂平面ABC =BO ，1B M ⊂平面PBO1B M ∴⊥平面ABC ，1B M BC∴⊥又1B N BC ⊥ ，且111B M B N B ⋂=BC ∴⊥平面1B MNBC MN ∴⊥，又1B N BC⊥ 1B NM ∴∠为二面角1B BC A --的平面角………10分过1,,B B D 三点的截面为梯形1BB DO ，则()1112416BBDO S B D BO DE DE =+⋅==，134DE B M ∴==……………………12分34OE ∴=，32EM =，34BM ∴=sin 68MNBM π∴=⋅=，18B N ∴=111sin 13B M B NM B N∴∠==，………………16分即二面角1B BC A --的正弦值为23913………………17分（其他方法酌情给分）19.（1）由题知，函数1=+y x ，定义域为R ，所以()()121212120---=---=f x f x x x x x x x ，所以函数1=+y x 在R 上是“1-利普希兹条件函数”………………………………1分函数2y x =，所以()()22121212121212(1)---=----+=-f x f x x x x x x x x x x x ，当121>+x x 时，则()()12120--->f x f x x x ，函数2y x =在R 上不是“1-利普希兹条件函数”………………………………2分（2）若函数2(12)=+≤≤y x x x是“k -利普希兹条件函数”，则对于定义域[]1,2上任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212|()()|||f x f x k x x -≤-成立，则1212121212122()(1)()()21---≥==---x x f x f x x x k x x x x x x 恒成立………………………………4分因为122112，≤≤≤≤x x ，所以1214≤≤x x，得12211-≤x x，所以k的最小值为1………………………………6分（3）解：因为函数()(1)g x tx n t=+>是“2024-利普希兹条件函数”，所以1212()()2024g x g x x x-≤-在R上恒成立，即12122024t x x x x-≤-在R上恒成立，由120x x->，得12024t<≤………………………………8分原方程()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛++=22πxfgx f gxf在⎦⎝⎛-∈4,4ππx上有两个不相等实根等价于()nxxtx2cossin2sin++=……①在⎦⎝⎛-∈4,4ππx上有两个不相等实根……………10分令⎪⎭⎫⎝⎛+=+=4sin2cossinπxxxm，⎥⎦⎤⎝⎛-∈4,4ππx，∴∈m(2,0]……………11分则①式等价于关于m的方程0122=---ntmm在∈m(2,0]上有两个不相等实根，法一：参数分离可得mnmt12+-=，令()m nmmh12+-=……………12分所以问题等价于存在直线ty=(12024t<≤)与函数()m nmmh12+-=的图象在∈m(2,0]上有两个不同的交点……………13分当012>+n即21->n时，函数()m nmmh12+-=在(2,0]只有一个交点，不合题意.当012<+n即21-<n时，则()12>h且函数()m nmmh12+-=在(0,12--n]上单调递减，在()+∞--,12n上单调递增，依题意可得212<--n即23->n符合题意，综上所述：⎪⎭⎫⎝⎛--∈21,23n……………17分（算出21-<n和23->n各得两分）.法二：则①式等价于关于m的方程0122=---ntmm在∈m(2,0]上有两个不相等实根，即122+=-ntmm，令()tmmmh-=2……………12分所以问题等价于直线12+=ny与函数()tmmmh-=2的图象在∈m(2,0]上有两个不同的交点……………13分如图则()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<⎪⎭⎫⎝⎛<+>+>1222212212nthtnhnh，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<-<+<-2221221242tntnt，又12024t<≤，所以()22,1∈∃t使得以上不等式成立，所以2123-<<-n……………17分（算出21-<n和23->n各得两分）.。
【新结构】2023-2024学年浙江省温州市高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷)+答案解析
【新结构】2023-2024学年浙江省温州市高一下学期期末教学质量统一检测数学试题（B卷）❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是()A.2B.C.2iD.2.已知向量，，则()A.2B.C.1D.3.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列是真命题的是()A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，，则4.气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为，郊区的降雨概率为”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是()A.整个城市明天的平均降雨概率为B.明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨C.只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨D.如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多5.如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则()A. B. C. D.6.一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为()A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等7.已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为()A. B. C. D.8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图所示为一个棱长为1的正八面体，则其内切球的表面积为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列结论正确的是()A.B.C.若，则D.为的外接圆半径10.已知复数z满足，则下列结论正确的是()A. B.C.的最大值为2D.11.小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不公平的是()A.抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜;否则小红获胜B.抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜;否则小红获胜C.抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜;点数之和为8，小红获胜;否则重新抛掷D.抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜;掷出的点数都相同，小红获胜;否则重新抛掷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)含答案
2023学年第二学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()()2,1,,1a b t ==-，若a ∥b，则t =（）A.2B.12C.2- D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】因为()()2,1,,1a b t ==-，若a∥b，则()211t ⨯-=⨯，即2t =-.故选：C.2.设m 是一条直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若αβ⊥，m α⊥，则//m βB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若//αβ，m α⊥，则m β⊥D.若//αβ，//m α，则//m β【答案】C 【解析】【分析】对于选项A ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项B ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项C ：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D ：根据线面的位置关系判断即可.【详解】对于选项A ：若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故A 不正确；对于选项B ：若αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或m β⊥，故B 不正确；对于选项C ：若//αβ，m α⊥，根据面面平行的性质定理可得m β⊥，故C 正确；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.3.复数024i 1i2=+（）A.11i 22-- B.11i 22-+ C.11i 22- D.11i 22+【答案】C 【解析】【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可.【详解】()()2024i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222z --=====-+++-.故选：C.4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB 进行测量，AB 与地面垂直，从地面C 点看塔顶A 的仰角β为60︒，沿直线BC 前行20米到点D 此时看塔顶A 的仰角α为30︒，根据以上数据可得古塔AB 的高为（）米.A. B.20 C.10D.【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形三角关系可得3BC h =，BD =，根据题意列式求解即可.【详解】设古塔AB 的高为h 米，在Rt ABC △中，可得60tan 3h BC ︒==；在Rt △ABD 中，可得tan 30hBD ==︒；由题意可知：CD BD BC =-，即203h =-，解得h =，所以古塔AB 的高为米.故选：A.5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x 的40%分位数为2.5，则x 可以是（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】按照百分位数计算公式，逐项计算即可求解.【详解】对于A ，因为1040%4⨯=，所以若2x =，则1，1，2，2，3，3，5，5，7，7的40%分位数为232.52+=，故A 正确；对于B ，因为1040%4⨯=，所以若3x =，则1，1，2，3，3，3，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故B 错误；对于C ，因为1040%4⨯=，所以若4x =，则1，1，2，3，3，4，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故C 错误；对于D ，因为1040%4⨯=，所以若5x =，则1，1，2，3，3，5，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故D 错误.故选：A.6.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC 面积的取值范围是（）A.,84⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,42⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.,8⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得π3B=，利用正弦定理结合三角恒等变换可得112tanaC⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，代入面积公式结合角C的范围运算求解.)2224a cb S+-=，则12cos4sin2ac B ac B=⨯，整理可得tan B=，且π0,2B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π3B=，由题意可得：π22ππ32CC⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C<<，由正弦定理sin sina cA C=可得()31cos sinsinsin1221sin sin sin2tanC CB Cc AaC C C C+⎛⎫+====+⎪⎪⎝⎭，则ABC面积111sin111222tan28tanS ac BC C⎛⎫⎫==⨯+⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππ62C<<，则tan3C>，可得01tan C<<，所以ABC面积1,8tan84SC⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7.已知样本数据129,,,x x x⋅⋅⋅的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A.18.2B.19.6C.19.8D.21.7【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差公式整理可得9921181,837i ii ix x====∑∑，由新样本数据的平均数可得1019x=，结合方差公式运算求解即可.【详解】由题意可知：()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑，可得9921181,837ii i i xx ====∑∑，且()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑，解得1019x =，所以新样本数据的方差为()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.故选：C.8.已知平面向量,,a b c 满足12,2a c a b a b a b λ==⋅=-≥- 对任意实数λ恒成立．若对每一个确定的c ，对任意实数m ，n ，c ma c nb -+- 有最小值t ．当c变化时，t 的值域为[],x y ，则x y +=（）A.2+B.C.2+D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合向量的几何意义分析可知2b =，进而分析可知,MC NC 的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB 的垂线长，设COA θ∠=，分π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦两种情况讨论，结合三角函数运算求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，OP b =uu u r rλ，可知P OB ∈，则a b OA OP PA -=-=uu r uu u r uu r r r λ，可知PA 的最小值即为点A 到直线OB 的距离，若12a b a b λ-≥-对任意实数λ恒成立，可知当点P 为线段OB 的中点，且AP OB ⊥，即a 在b方向上的投影向量为12b r ，则2122a b b ⋅==r r r ，可得2b = ，即2OB OA BA ===，可知OAB 为等边三角形，可设,OM ma ON nb ==uuu r uuur r r ，则,c ma MC c nb NC -=-= ，可知,MC NC的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB的垂线长，设COA θ∠=，根据对称性只需分析[]0,πθ∈即可，若π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得min minπ2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin sin 2sin 3θθθθθθ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π,333θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin ,132θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即2t ⎤∈⎦；若π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则min min π2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6θθθθθθ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π,666θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin ,132θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即t ∈；综上所述：t ∈，即x y ==x y +=故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是把向量的模长转化为两点间距离，结合几何性质分析求解，这样可以省去烦琐的运算.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（）A.1z z ⋅= B.1z z+∈R C.1z -的最大值为2 D.21z =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B 选项，应用特殊值法判断D 选项，结合模长公式判断C 选项.【详解】设i z =,所以22i 1z ==-,D 选项错误；112z z -≤+=,C 选项正确；设i z a b =+,因为1,z =所以221,1a b =+=，所以()()22222·i i i =1z z a b a b a b a b =+-=-+=,A 选项正确；1·i+i=2R z z z z z z a b a b a z z+=+=+=+-∈,B 选项正确.故选：ABC.10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F 分别为棱11B C ，AD （含端点）上的动点，记过C ，E ，F 三点的平面为α，记1d 为点B 到平面α的距离，2d 为点1D 到平面α的距离，则满足条件（）的α是不唯一的．A.12d d +=B.12d d +=C.122d d -=D.122d d +=【答案】AC 【解析】【分析】设1,C E x DF y ==，结合解三角形知识求得CEF △的面积S =，利用等体积法求得1d =2d =.根据题意结合选项逐一分析判断即可.【详解】设1,C E x DF y ==，则[],0,1x y ∈，可得CE CF EF ===在CEF △中，由余弦定理可得222cos 2CE CF EF ECF CE CF+-∠==⋅且()0,πECF ∠∈，则sin ECF ∠==，所以CEF △的面积1sin 2S CE CF ECF =⋅⋅∠=，设平面α与直线11A D 的交点为G ，连接,GF GE ，可知1D G x y =+，因为平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且平面α 平面11ADD A GF =，平面α 平面11BCC B CE =，可得GF ∥CE ，同理可得：GE ∥CF ，可知四边形CEGF 为平行四边形，则GEF CEF S S S ==△△，对于三棱锥B CEF -可知：B CEF E BCF V V --=，则1111111332S d ⋅=⨯⨯⨯⨯，解得112d S ==；对于三棱锥1D GEF -可知：11D GEF F D EG V V --=，则()211111332S d x y ⋅=⨯⨯⨯⨯+，解得22x y d S +==；对于选项A：若12d d +==+=，显然01x y =⎧⎨=⎩和1x y =⎧⎨=⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故A 正确；对于选项B：若12d d ==+=，整理可得()()()222110x y x y -+-+-=，解得1x y ==，所以平面α是唯一的，故B 错误；对于选项C：若122d d -+-===，显然02x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩和20x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故C 正确；对于选项D：若122d d +===，整理可得()()()22221210x y x y -+-+-=，解得12x y ==，所以平面α是唯一的，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：将平面α延展为平面CEGF ，分析可知CEGF 为平行四边形，进而可利用等体积法求12,d d .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上12.已知2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则实数p 的值为_______．【答案】12【解析】【分析】根据题意分析可知2i 3--也是方程220x px q ++=的一个根，利用韦达定理运算求解即可.【详解】因为2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则2i 3--也是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，由韦达定理可得()()2i 32i 362p-+--=-=-，解得12p =.故答案为：12.13.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则()()()()123123P A A A P A P A P A =_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意利用列举法求()()()()123123,,,P A P A P A P A A A ，代入即可得结果.【详解】因为样本空间{}1,2,3,4Ω=，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则{}1231A A A =，可知()()()()()1231234,2,1n n A n A n A n A A A Ω=====，则()()()()()()()()()()()()1231231231231111,,,2224n A n A n A n A A A P A P A P A P A A A n n n n ========ΩΩΩΩ，所以()()()()123123142111222P A A A P A P A P A ==⨯⨯.故答案为：2.14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====，8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________．【答案】4【解析】【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可.【详解】设棱切球的球心为O ，与棱,,,,,AB BC CD DA AC BD 分别切于点,,,,,E F G H I J ，可知,,,AH AI AE BE BF BJ CI CF CG DH DG DJ ========，由题意可得：6668AH DH AE BE AH BE BF CF BE CF BJ DJ BE DH +=⎧⎪+=+=⎪⎨+=+=⎪⎪+=+=⎩，解得42BE DH AH CF ==⎧⎨==⎩，所以4AC AI CI AH CF =+=+=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．（1）求该圆台的体积；（2）求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．【答案】（1）14π3（25【解析】【分析】（1）根据题意利用台体的体积公式运算求解；（2）借助于轴截面，分析可知该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，结合题中数据分析求解.【小问1详解】由题意可知：该圆台的体积(114ππ4ππ4π233V =++⨯⨯=.【小问2详解】借助于轴截面，如图所示，其中21,O O 分别为上、下底面圆的圆心，则21O O 与上、下底面均垂直，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，可知CE ∥21O O ，则CE 与上、下底面均垂直，则该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，由题意可知：212CE O O ==，1BE =，可得BC ==，则cos 5BE CBE BC ∠==，所以该圆台母线与下底面所成角的余弦值为5.16.已知,a b是单位向量，满足2a b -= a 与b 夹角为θ．（1）求θ；（2）若平面向量c 在a 上的投影向量为,1a b c ⋅=，求c ．【答案】（1）2π3θ=（2）2c =【解析】【分析】（1）由题意可知1==a b r r ，cos a b θ⋅=r r ，由2a b -= 结合数量积的运算可得1cos 2θ=-，即可得结果；（2）设,,c xa yb x y =+∈R rr r，结合题意列式解得2x y ==，结合模长与数量积的运算律分析求解.【小问1详解】因为1==a b r r ，则cos cos a b a b θθ⋅==，若2a b -= ，则222244a b a a b b -=-⋅+，即714cos 4=-+θ，可得1cos 2θ=-，且[]0,πθ∈，所以2π3θ=.【小问2详解】由（1）可知：1==a b r r ，12a b ⋅=-r r ，由题意可设,,c xa yb x y =+∈R r r r，因为平面向量c 在a 上的投影向量为a，则21a c a ⋅==r r r ，由题意可得：22a c xa yab bc xa b yb⎧⋅=+⋅⎪⎨⋅=⋅⋅+⎪⎩ ，可得112112x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2x y ==，则()2a c b =+ ，可得()()2224241114c a a b b =+⋅+=-+= ，所以2c =.17.如图，ABC 绕边BC 旋转得到DBC △，其中2AC BC ==，,AC BC AE ⊥⊥平面ABC ，DE ∥AC．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若二面角B DE C --的平面角为60︒，求锐二面角D CB A --平面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3【解析】【分析】（1）根据题意可得,BCAC BC CD ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，可得CF =结合（1）分析可知锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，运算求解即可.【小问1详解】由题意可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .【小问2详解】过C 作CF DE ⊥，垂足为F ，连接BF ，即CF EF ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，EF ⊂平面ACD ，则BC EF ⊥，且CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，则EF ⊥平面BCF ，由BF ⊂平面BCF ，可得EF BF ⊥，可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，且2BC =，可得23CF =，由（1）可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，则锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，且DE ∥AC ，可知ACD CDF ∠=∠，可得233sin sin 23CF ACD CDF CD ∠=∠==，所以锐二面角D CB A --平面角的正弦值为33.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，过ABC 内一点M 的直线l 与直线AB 交于D ，记BA 与DM夹角为θ.（1）已知cos sin c a B b A -=，（i ）求角A ﹔（ii ）M 为ABC 的重心，1,30b c θ===︒，求AD；（2）请用向量方法．．．．探究θ与ABC 的边和角之间的等量关系.【答案】（1）（i ）45︒；（ii ）6226+（2）cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++【解析】【分析】（1）（i ）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（ii ）由1()3AM AB AC =+ 及数量积模的运算求得2cos 32AAM =，根据正弦定理结合三角恒等变换得AD211sin cos 3222A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，将45A =o 代入求值即可；（2）由BA BC CA =+，结合数量积可得DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，再运用数量积定义可分别求出DE BA ⋅ 、DE BC ⋅、DE CA ⋅ ，代入整理即可.【小问1详解】（i ）因为cos sin c a B b A -=，由正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A -=，即()sin sin cos sin sin A B A B B A +-=，所以cos sin sin sin A B B A =，又0180B << ，所以sin 0B >，所以cos sin A A =，所以tan 1A =，又0180A << ，所以45A =o .（ii ）由题意1,30b c θ===︒，因为M 为ABC 的重心，所以1()3AM AB AC =+，所以12cos 332A AM AM AB AC ==+=== ，在ADM △中，由正弦定理知AD AM θ=∠，所以sin AM AD AMD θ=⨯∠，显然ABC 为等腰三角形，则AM 平分BAC ∠，所以sin 302sin 301222AM A A AD AD AM ⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭441cos sin 30cos sin cos 322322222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112sin cos cos sin cos 322223222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⨯+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2321216223222226⎛⎫++=⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】直线l 与ABC 的边AC 相交于点E ，如图所示，因为BA BC CA =+，所以()DE BA DE BC CA ⋅=⋅+ ，即DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，又因为||||cos ||cos DE BA DE BA EDA c DE θ⋅=∠=，||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE B θθ⋅=-=-，||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE A θθ⋅=+=+，所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++，即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.19.给定两组数据()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅与()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅，称()1,niii X A B x y==-∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n =⋅⋅⋅．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅，那么A 与I 的差异量()1,nii X A I x i ==-∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值；（2）当5n =时，求(),4X A I =的概率；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．【答案】（1）0，2，4（2）18（3）不可能，理由见详解【解析】【分析】（1）利用列举法求A 的所有可能性结果，结合(),X A I 的定义运算求解；（2）分析可知样本容量()Ω120n =，且(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；（3）由题意可得：1n ii x i a =-=∑，14niii x y=-=∑，结合绝对值不等式的运算求解.【小问1详解】若3n =时，则()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1A =，且()1,2,3I =，可得(),0,2,2,4,4,4X A I =，所以(),X A I 的所有可能取值为0，2，4.【小问2详解】设“(),4X A I =”为事件M ，样本空间为Ω，因为5n =，可知A 共有54321120⨯⨯⨯⨯=个，即样本容量()Ω120n =，显然若对调两个位置的序号之差大于2，则(),4X A I >，可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，若调整两次两个连续序号：则有()(){}()(){}()(){}1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5，共有3种可能；若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5，共3组，由（1）可知：每组均有3种可能满足(),4X A I =，可得共有3412⨯=种可能；综上所述：()31215n M =+=.所以()()()151Ω1208n M P B N ===.【小问3详解】不可能，理由如下：设专家甲的排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅；专家乙的排序为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，记()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅；由题意可得：()1,n ii X A I x i a ==-=∑，()1,4niii X A B x y==-=∑，因为()()i i i i i i i i i i y i y x x i y x x i x i x y -=-+-≤-+-=-+-，结合i 的任意性可得11146nnniiiii i i y i x i x ya a ===-≤-+-=+<+∑∑∑，所以专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量不可能为6a +.【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.。
河南省信阳市固始县高级中学2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
河南省信阳市固始县高级中学2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．复数312i 1iz +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知α，β是平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=I ，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥3．已知向量()2,m λ=r ，()2,4n λ=--r ，若m r与n r 共线且反向，则实数λ的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或44．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为Z 甲，Z 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．Z Z =甲乙，22s s >乙甲B ．Z Z =甲乙，22s s <甲乙C ．Z Z >甲乙，22s s >乙甲 D ．Z Z <甲乙，22s s >乙甲5．已知函数π())(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移(0)θθ>个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ）A ．π8B ．π4C ．3π8 D ．π26．已知α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3cos cos cos αβαβ+=，则()tan αβ+的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．38．已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足3BE EC =u u u r u u u r ，12AE BD ⋅=-u u u r u u u r ，则AF BE ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．0B ．23C ．43D ．3二、多选题9．一个平面截正方体所得的截面图形可以是（ ） A ．等边三角形B ．正方形C ．梯形D ．正五边形10．若1b c >>，01a <<，则下列结论正确的是（ ）A ．a a b c <B ．log log b c a a >C ．a a cb bc <D ．log log c b b a c a >11．在锐角ABC V 中，设a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对边，1a =，cos cos 1b A B -=，则下列选项正确的有（ ）A ．2B A =B ．b 的取值范围是)C ．当32b =时ABC VD ．若当,A B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围为⎛ ⎝⎭三、填空题12．若函数tan y x ω=在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为严格增函数，则实数ω的取值范围是.13．已知函数()f x 是偶函数，对任意x ∈R ，均有()()2f x f x =+，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则函数()()()5log 1g x f x x =-+的零点有个.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为2．以11A D 为半径的球面与侧面11B BCC 的交线长为．四、解答题15．已知()()4,3,23213a b a b a b ==-⋅+=r r rr r r ．(1)求a r 与b r的夹角；(2)若a r 在b r 方向上的投影向量为c r，求()c a b ⋅+r r r 的值．16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 的面积为S ，已知2c =，且224a b +=+． (1)求C ；(2)a -的取值范围．17．为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[]40,100内，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩；(2)若在区间[)70,80内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间[]80,100内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在[]70,100内的所有学生测试成绩的平均数和方差．18．已知函数()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+，求：（1）()f x 的最小正周期及最大值；（2）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()f α=，求α的值；（3）若()210f x m -+=，在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不等的实数根，求m 的取值范围.19．在直角梯形ABCD 中，,22AD BC BC AD AB ===∥90ABC ∠=︒（如图1），把△ABD 沿BD 翻折，使得A ∉平面BCD ，连接AC ，M ，N 分别是BD 和BC 中点（如图2）．(1)证明：平面BCD ⊥平面AMN ；(2)记二面角A —BC —D 的平面角为θ，当平面BCD ⊥平面ABD 时，求tan θ的值； (3)若P 、Q 分别为线段AB 与DN 上一点，使得()R AP NQPB QDλλ==∈（如图3），令PQ 与BD 和AN 所成的角分别为1θ和2θ，求12sin sin θθ+的取值范围．。
炎德英才大联考2024届数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析
炎德英才大联考2024届数学高一第二学期期末教学质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．不等式2320x x -+<的解集为（ ） A ．1,2 B ．()2,1-- C ．()(),12,-∞+∞D ．()(),21,-∞--+∞2．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移6π个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则()f x 的图象（ ） A ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于直线12x π=对称3．在区间[1,4]-内随机取一个实数a ，使得关于x 的方程2420x x a ++=有实数根的概率为（ ） A ．25B ．13C ．35D ．234．函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（ ） A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称5．将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是( ) A ．sin(2)10y x π=-B ．y =sin(2)5x π-C ．y =1sin()210x π-D ．1sin()220y x π=-6．某三棱锥的左视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A ．3B ．2C ．3D ．17．51(1)x x++展开式中的常数项为（ ） A ．1B ．21C ．31D ．518．若||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C ．33D ．39．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1=pa n ＋q ，且a 2＝3，a 4＝15，则p ，q 的值为( ) A ．36p q =-⎧⎨=⎩B ．21p q =⎧⎨=⎩C ．36p q =-⎧⎨=⎩或21p q =⎧⎨=⎩ D ．以上都不对 10．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝95的△ABC 有（ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题(解析版)
惠州市2023-2024学年第二学期期末质量检测试题高一数学全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.在复平面中，复数23i1i z −=+对应的点的坐标在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可求解对应的点为15,22−−，进而得解. 【详解】()()()()23i 1i 23i 15i 1i1i 1i 2z−−−−−==++−,故对应的点为15,22−−，故对应的点位于第三象限，故选：C2.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量C.若λ为实数，则向量a 与a λ方向相同 D. 单位向量的模都相等【答案】D 【解析】【分析】对于A ：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC ：举反例说明即可；对于D ：根据单位向量的定义分析判断.【详解】对于选项A ：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A 错误；对于选项B ：例如0a = ，b 是非零向量，可知,a b 是共线向量但不是相等向量，故B 错误；对于选项C ：例如a 是非零向量，且0λ<，可知向量a 与a λ方向相反，故C 错误； 对于选项D ：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D 正确； 故选：D.3. 已知数据1238,,,,x x x x 的平均数为10，方差为10，则123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数和方差分别为（ ） A. 32，90 B. 32，92C. 30，90D. 30，92【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232×+=，方差是231090×=. 故选：A4.已知向量(a = ，()2,0b = ，则向量a 在b方向上的投影向量为（ ）A. ()1,2B. ()2,0C. ()1,0D. ()2,1【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量公式可得.【详解】根据题意得cos a b a b a b ⋅⋅==⋅所以向量a 在b方向上的投影向量为()()2,0cos 1,02b a a b b⋅== ， 故选：C.5. 某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n =（ ） A. 100B. 120C. 200D. 240.【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样求样本中高中生和小学生的人数，列式求解即可. 【详解】由题意可知：样本中高中生的人数为315434n n =++，小学生的人数为5554312n n =++， 则1520412n n +=，解得120n =. 故选：B.6. 设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥ B. 若//m α，n ⊂α，则//m nC. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ：以正方体为载体，举反例说明即可；对于D ：根据线面垂直的性质分析判断. 【详解】对于正方体1111ABCD A B C D −，且,M N 分别为,AB CD 的中点，对于选项A ：例如AB ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，11AB A D ⊥， 但平面ABCD ∥平面1111D C B A ，故A 错误；对于选项B ：例如11A D ∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，但11AB A D ⊥，故B 错误； 对于选项C ：例如,AD MN ⊂平面ABCD ，且,AD MN 均与平面11BB C C 平行， 但平面ABCD ∩平面11BB C C BC =，故C 错误；对于选项D ：若m α⊥，n ⊂α，由线面垂直的性质可知m n ⊥，故D 正确； 故选：D.7. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）A. A 与B 是对立事件B. A 与C D ∩是互斥事件C. B 与D 是相互独立事件D. B 与C D ∪是相互独立事件【答案】D 【解析】【分析】选项A 和B ，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A 和B 的正误；选项C 和D ，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ∩即两个点数都是偶数，即A 与C D ∩可以同时发生，所以选项B 错误， 对于选项C ，因为331()664PB ×==×，333()1664P D ×=−=×，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误，对于选项D ，因为()1P C D = ，91(())364P B C D == ，所以(())()()P B C D P B P C D = ，所以选项D 正确， 故选：D.8. 已知直三棱柱111ABC A B C 的体积为8，二面角1C AB C −−的大小为π4，且AC BC =，12CC =，则点1A 到平面1ABC 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得1OC ，再根据直三棱柱的体积求出AB ，再利用等体积法求点1A 到平面1ABC 的距离. 【详解】取AB 的中点O ，连接1,OC OC ，AC BC = ，1,OC AB OC AB ∴⊥⊥，则二面角1C AB C −−的平面角为1C OC ∠，二面角1C AB C −−的大小为π4，则1π4C OC ∠=，所以12OC CC ==，1OC ，又 直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，111128ABC A B C ABC ABC V S CC S -∴=⋅==， 则4ABC S = ，1124422ABC S AB OC AB AB ∴=⋅=⨯=⇒=， 又 平面ABC⊥平面11A ABB ，平面ABC ∩平面11A ABB AB =，且,OC AB OC ⊥⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面11A ABB ， 设点1A 到平面1ABC 的距离为h ，又1111A ABC C ABA V V −−=，111111114422333232ABC ABA S h S OC h ∴⋅=⋅⇒×××=×××× ，解得h =， 故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A. 圆柱的侧面积为24πRB.2RC. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】ABC 【解析】【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得； 【详解】解：依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R ××=，所以AC 选项正确． 圆锥的侧面积为2πR R ×，所以B选项正确．圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +<， 圆柱表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项不正确． 故选：ABC10. 设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（ ）A. 若(1i)i z +=−，则1z = B. 对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z =⋅C. 对任意复数1z ，2z ，有122z z z ⋅D. 在复平面内，若{|22}Mz z =−≤，则集合M 所构成区域的面积为6π 【答案】BC 【解析】【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.【详解】对A ：由(1i)i z +=−，故()()()i 1i i1i1i1i 1i 2z −×−−−−===++−，故z =，故A 错误； 对B ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ， 则()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=−++===的12z z ⋅=故1212z z z z =⋅，故B 正确；对C ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ，有()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=−++，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=−−+，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=−−=−−+，故1212z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对D ：设i z x y =+(),x y ∈R ，则有()2224x y −+≤，集合M 所构成区域为以()2,0为圆心，半径为2的圆， 故2π4πS r ==，故D 错误. 故选：BC .11. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的是（ ） A.若60A =°，2a =，则ABCB. 若60A =°，1a =，则ABCC. 若a =，4b =，要使满足条件的三角形有且只有两个，则ππ,63A∈D. 若()cos cos ab c A B +=+，且1c = 【答案】AD 【解析】【分析】对于AB ：利用余弦定理结合基本不等式求bc 的最大值，进而可得面积的最大值；对于C ：利用余弦定理分析可得：关于c 的方程28cos 40c c A −+=有2个不相等的正根，结合二次方程列式求解；对于D ：利用余弦定理可得π2C =，再利用基本不等式求内切圆半径的最大值，即可得结果. 【详解】对于选项A ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即224b c bc =+−， 可得2242bc b c bc +=+≥，解得4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为142×A 正确； 对于选项B ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即221b c bc =+−，可得2212bc b c bc ++≥，解得1bc ≤，当且仅当1b c ==时，等号成立， 所以ABC面积的最大值为112×，故B 错误； 对于选项C ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即212168cos c c A =+−， 整理可得28cos 40c c A −+=，由题意可知：关于c 的方程28cos 40c c A −+=有2个不相等的正根，则2408cos 0Δ64cos 160A A > > =−>，解得1cos 2A >， 且()0,πA ∈，可得π0,3A∈，故C 错误； 对于选项D ，因为()cos cos a b c A B +=+，即cos cos a b c A c B +=+， 则22222222b c a a c b a b b a+−+−+=+，整理可得()()2220a b a b c ++−=， 注意到0a b +≠，则2220a b c +−=，即222+=a b c ，可知π2C =， 且1c =，则该三角形内切圆半径22ABC S ab ab a b c ra b c a b c +−==++++ .又因为1a b c c c c +−=−=≤−=−，当且仅当a b ==时，等号成立，可得0r <≤，所以该三角形的内切圆面积的最大值是2π=，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点 （1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；（2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式； （3）对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12. 甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是________. 【答案】715【解析】【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】设甲、乙解对题分别为事件A ，B ，则()()23,35P A P B ==，可得()()12,35P A P B == 所以恰好只有1人解对题的概率()()()()()()715P P AB P AB P A P B P A P B =+=+=. 故答案为：715. 13. 已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a ，中位数为b ，则a 与b 的大小关系为________.【答案】a b > 【解析】【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小. “拖尾”，可知平均数大于中位数，即a b >. 故答案为：a b >.14. 如图，已知在直三棱柱111ABC A B C 中，F 为11A C 的中点，E 为棱1BB 上的动点，12AA =，2AB =，BC =，4AC =.当E 是棱1BB 的中点，则三棱锥E ABC −体积为________；当三棱锥1A AEF −的外接球的半径最小时，直线EF 与1AA 所成角的余弦值为________.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理，可得cos BAC ∠，再求出sin ABC ∠，再用面积公式求ABC 的面积，体积公式求三棱锥E ABC −体积即可；作出辅助线，推导出当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点，进而求出各边长，得到11cos E FEB B E F =∠=【详解】因为2AB =，BC =，4AC =，所以在ABC 中，由余弦定理，得222416181cos 22248BA CA BC BAC BA CA +−+−∠===⋅××，所以sin ABC ∠1242ABC S =××=所以113E ABC V −==； 作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为1H ，易知棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ， 则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上， 因为1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =， 设AF的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ 中，222211QF R QQ ==+①，又因为22221111)QE R QQ Q E =+②21113116Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小， 此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点. 因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角. 因为1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理，得1B F =，因为11EB =，所以11B E EF FEB EF =∠=.. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得当三棱锥1A AEF −的外接球的半径最小时，E 为棱1BB 的中点，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，已知3BC =，4AC =，点P 为线段BC 中点，23AQ AB = ，设CB a = ，CA b =.（1）用向量a，b表示CQ；（2）若90ACB ∠=°，求AP CQ ⋅. 【答案】（1）2133CQa b =+ （2）73−【解析】【分析】（1）用三点共线的向量表达式结论可解；（2）将AP CQ ⋅用基底{,}CA CB 表示出来，再用数量积运算性质可解.【小问1详解】 如图所示，23AQ AB = ，所以()2122133333CQ CA AQ CA CB CA CA CB a b =+=+−=+=+， 所以2133CQa b =+ . 【小问2详解】点P 为线段BC 中点，用三点共线的向量表达式结论得111111()222222AP AC AB CA CA CB CA B a b C =+=−+−+=−+=−，由（1）知2133CQa b =+，则22121()113(21)||23|3|3AP CQ a a a b b b b a +⋅=⋅−−⋅−= ， 90ACB ∠=°,则0a b ⋅= .则2211734333AP CQ ×−×=⋅−= . 16. 已知有下面三个条件：①()S AC AB ⋅；②a c =；③2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________. （1）求角A 的大小；（2）若AD 是ABC 的角平分线，且2b =，3c =，求线段AD 的长. 【答案】（1）π3A =（2）AD =【解析】【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得sin A A =，得到tan A =cos 1A A =+，得到π1sin()62A −=，即可求解；选择③，化简得到222sin sin sin sin sinBC A B C +=+,即222b c a bc +−=，由余弦定理求得1cos 2A =，即可求解； （2）根据题意结合ABCABD ACD S S S =+ ，列出方程，即可求解. 【小问1详解】选择①：由()S AC AB ⋅，可得1sin cos 2bc A bc A =，即sin A A =，即tan A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =；选择②：因为②a c =sin si n A C =，sin sin cos sin A C C A C =+，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >cos 1A A =+，cos 2sin()16πA A A −=−=，可得π1sin()62A −=， 因为(0,π)A ∈，可得ππ66A −=，所以π3A =；选择③：由2sin sin sin 1sin sin sin sin B C AC B B C +=+，可得222sin sin sin sin sin B C A B C +=+, 又由正弦定理得222b c a bc +−=，再由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +−==， 因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】若AD 是ABC 的角平分线，则π6BAD CBD ∠=∠=， 且ABCBAD CBD S S S =+△△△，即11111233222222AD AD ××=×××+×××，解得AD =17. 为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；（2）求图1中m 的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；（3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学.生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率. 【答案】（1）表格见详解 （2）0.015m =；120 （3）310【解析】【分析】（1）根据题中数据补全表格；（2）根据频率和为1求得0.015m =，再结合百分位数的定义列式求解； （3）分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解. 【小问1详解】数学成绩优秀的有10050%50×=人，不优秀的人10050%50×=人，经常整理错题的有()10040%20%60×+=人， 不经常整理错题的是1006040−=人，经常整理错题且成绩优秀的有5070%35×=人， 所以表格为【小问2详解】由题意可知每组频率依次为0.05,0.1,0.35,20,0.2m ，则0.050.10.35200.21m ++++=，解得0.015m =； 因为0.050.10.350.50.65++=<，0.050.10.350.30.80.65+++=>， 设第65百分位数为x ，可知[)110,130x ∈，则()0.50.0151100.65x +−=，解得120x =， 所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120. 【小问3详解】由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为6053100×=，设为,,a b c ，“不经常总结整理错题” 的人数为4052100×=，设为,A B ， 从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间{}Ω,,,,,,,,,ab ac aA aB bc bA bB cA cB AB =，可知()Ω10n =，设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M ，则{},,M ab ac bc =，即()3n M =，所以()()()3Ω10n M PM n ==. 18. 如图，在四棱锥Q ABCD −中，底面ABCD 是正方形，侧面QAD 是正三角形，面QAD ⊥面ABCD ，M 是QD 的中点.（1）求证：QB ∥平面AMC ；（2）求直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值；（3）在棱QC 上是否存在点N 使平面BDN ⊥平面AMC 成立？如果存在，求出QNNC如果不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2（3）存在，12QN NC = 【解析】【分析】（1）设AC BD O = ，连接OM ，利用三角形的中位线定理可得OM ∥QB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由面面垂直的性质可证得CD ⊥平面QAD ，则CD AM ⊥，再由等边三角形的性质可得AM QD ⊥，然后由线面垂直的判定可得AM ⊥平面QCD ，则直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠，从而可求得答案；（3）当DN CM ⊥时，可证得平面BDN ⊥平面AMC ，设QNk NC=，然后在等腰直角三角形QCD 中利用平面向量的知识计算即可. 【小问1详解】证明：设AC BD O = ，连接OM ，因为底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 中点， 因为M 是QD 的中点，所以OM ∥QB ， 因为OM ⊂平面ACM ，QB ⊄平面ACM ， 所以QB ∥平面ACM【小问2详解】因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，因为平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ∩平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面QAD ，因为AM ⊂平面QAD ，所以CD AM ⊥,因为QAD 为等边三角形，M 是QD 的中点，所以AM QD ⊥， 因为QD CD D ∩=，,QD CD ⊂平面QCD ，所以AM ⊥平面QCD ， 所以直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠， 设正方形ABCD 的边长为2，则AMAC =因为AM ⊥平面QCD ，CM ⊂平面QCD ，所以AM CM ⊥，所以sin AMACM AC ∠=， 的即直线AC 与平面QCD【小问3详解】存在，当DN CM ⊥时，平面BDN ⊥平面AMC ，因为AM ⊥平面QCD ，DN ⊂平面平面QCD ，所以AM DN ⊥，因为AM CM M ∩=，,AM CM ⊂平面AMC ， 所以DN⊥平面AMC ，因为DN ⊂平面BDN ，所以平面BDN ⊥平面AMC ， 设QN k NC =，则QN kNC =，所以1kQN QC k =+， 由（2）知CD ⊥平面QAD ，因为QD ⊂平面QAD ，所以CD DQ ⊥，所以0DQ QC ⋅=，因为12CM DM DC DQ DC =−=− ，1()1111k k k DN DG GN DQ QC DQ DC DQ DC DQ k k k k =+=+=+−=+++++，所以110211k CM DN DQ DC DC DQ k k⋅=−⋅+= ++，所以22102(1)1k DQ DC k k −=++ ，得12(1)1k k k =++，解得12k =， 所以当12QN NC =时，平面BDN ⊥平面AMC .19. 将连续正整数1，2， ，*(N )n n ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数(如当12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15)F =，现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100).p（2）当2021n ≤时，求()F n 的表达式.（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =−，{}*|()1,100,N S n h n n n ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.【答案】（1）11192（2）,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤ −≤≤=−≤≤ −≤≤ （3）119【解析】【分析】（1）计算()10099023192F =+×+=，数字0的个数为11，得到概率.（2）考虑19n ≤≤，1099n ≤≤，100999n ≤≤，10002023n ≤≤四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑()*19,Nn b b b =<≤∈时，当()**1019,09,N ,N n k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，当100n =时三种情况，得到()g n 和()f n 的解析式，得到{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =，再计算概率的最值得到答案. 【小问1详解】当100n =时，()10099023192F =+×+=， 即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11， 则恰好取到0的概率为()11100192p =； 【小问2详解】当19n ≤≤时，这个数有1位数组成，()F n n =；当1099n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，9n −个两位数组成，则()29F n n =−；当100999n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，99n −个三位数组成，()3108F n n =−；当10002021n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成999n −个四位数组成，()41107F n n =−；综上所述：,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤ −≤≤=−≤≤ −≤≤ ， 【小问3详解】 当()*19,Nn b b b =<≤∈时，()0g n =，当()**1019,09,N ,N n k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，()g n k =；当100n =时，()11g n =，即()**0,19,10,19,09,N ,N 11,100n g n k n k b k b k b n ≤≤==+≤≤≤≤∈∈ = ，同理有()**0,18,101,18,09,N ,N80,899820,99,100n k n k b k b k b f n n n n ≤≤=+−≤≤≤≤∈∈ =−≤≤=， 由()()()1h n f n g n =−=，可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90n =， 所以当100n ≤时，{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =， 当9n =时，()90p =，当90n =时，()919017119p ==， 当()*10918,N n k k k =+≤≤∈时，()()()29209g n k kp n F n n k ===−+，由1912092020209k y k k ==−×++关于k 单调递增，故当()*10918,N n k k k =+≤≤∈时，有()p n 的最大值为()889169p =， 又8116919<， 所以当n S ∈时，()p n 最大值为119． 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.的。
河北省优质高中2024年高一下学期期末质量检测数学试卷(原卷版)
2023-2024学年河北省优质高中高一下学期期末质量检测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{}2,4UM = ，则（ ） A. 1M ⊆ B. 4M ⊆ C. 5M ∈ D. 3M ∉ 2. 已知0,R a b >∈，则“||||a b >”是“a b >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是9:5，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是（ ）A. 28B. 42C. 56D. 704. 已知21,e e 是夹角为34π的单位向量，则1e 在2e 方向上的投影向量为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 1e5. 下列结论正确是（ ）A. B. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行C. 若平面α⊥平面β，且l αβ= ，则平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线D. 已知平面α和直线m ，则α内至少有一条直线与m 垂直6. 已知π35π12π3ππcos ,sin ,,,0,45413444αβαβ −=+=−∈∈，则cos()αβ+=（ ） A. 3365− B. 3365 C. 6365− D. 63657. 下列说法正确的是（ ）A. 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件 C. 从长度为1，3，5，7，95条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D. 事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大的的8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120 角;当三角形有一内角大于或等于120 时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且22()6,sin sin 2B C a b c b a B +−−==，若P 为ABC 的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A. 3− B. 2− C. 6− D. 32− 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若复数z 满足(2i)43i z +=−（其中i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A. z 在复平面内对应的点位于第四象限B. 5z z ⋅=（z 是z 的共轭复数）C. 254i z =−D. 若12z =，则1z z −的最大值为2+10. 如图，在ABC 中，,30,4AB AC C AB ⊥∠=°=，D 为线段AC 的中点，DM BC ⊥，F 为线段AB 的中点，E 为线段DM 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 若E 为线段DM 的中点，则1122EF DA MB =+ B. 若E 为线段DM 的中点，则9||2EF = C. 16FM FD ⋅=D. EF AB ⋅的取值范围为[2,8]11. 六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体E ABCD F −−的棱长为a ，则下列说法中正确的是（ ）A.此八面体的表面积为2B. 异面直线AE 与BF 所成角为45C. 若点P 为棱EB 上的动点，则AP CP +D.此八面体的外接球与内切球的体积之比为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数0,()ln(),0,x f x x x ≥=−< 则()()2e f f −=__________． 13. 已知0,0a b >>，且9a b ab +=，则4a b +的最小值为__________．14. 我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是“函数()y f x a b =+−为奇函数”．易知21()21x x f x -=+为奇函数，则12()221x g x −=−+的图象的对称中心为__________；()2(2)2g x g x +−<的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =−−．（1）求()f x 的最小正周期;的（2）当π0,2x ∈时，求()f x 的值域． 16.已知向量3(2,0),2a b = ．（1）若()()a b a b λ+⊥− ，求实数λ的值;（2）若ka b + 与2a b − 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．17. 2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中4b a =．（1）求图中a 的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若有超过60%分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗（3）河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD −中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD ==，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．的的（1）证明：//PA 平面BDE ； （2）证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体E BCD −是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由; （3）若二面角E BD C −−为π3，求点A 到平面EBD 的的距离 19. 定义：双曲余弦函数e e cosh()2x x x −+=，双曲正弦函数e e sinh()2x xx −−=． （1）求函数cosh(2)sinh()y x x +的最小值;（2）若关于x 的不等式()()22222(1)ln cosh sinh x a x a x −>+ 的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围;（3）若3π,42πx ∈，试比较cosh(sin )x 与sinh(cos )x 的大小关系，并证明你的结论．。
湖北省武汉市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学质量检测试题(含答案)
湖北省武汉市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学质量检测试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（ ）3i z =+1i z =+A ．B ．C ．D ．42i -42i+2i -2i+2．当时，曲线与直线的交点个数为（ ）()0,2πx ∈2cos y x =+13y x=A ．2B ．3C ．4D ．53．已知，，则在上的投影向量为（ ）()2,0a =()1,1b =a b A ．B ．C ．D ．()2,1()1,1()2,1()2,24．已知，，则下列说法正确的是（ ）1z 2z ∈C A ．若，，则B ．若，则3z ∈C 1323z z z z =12z z =12z z =12=z z C ．若，则D ．1212z z z z +=-120z z ⋅=1212z z z z +=-5．如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与x π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，P A x B y x T S 根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列tan x AT =cot y x =1cot tan x x =表示正确的是（ ）A ．B ．cot x OT =cot 6．已知单位向量，互相垂直，若存在实数a b则（ ）t =A ．B ．122-±1-1C ．该校高一年级男生身高的极差介于至之间15cm 25cmD ．该校高一年级男生身高的平均数介于到之间170cm 175cm 10．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）满足函数y m x s 关系：（，，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内()sin y A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<的部分数据如下（其中，，，为未知数），则下列有关函数的描述正确的是a b c d ()y f x =（ ）x ωϕ+0π2π3π22πx a43b103d()f x 03cA ．函数的图象关于点对称()f x 16,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到()f x sin y A x ω=13C ．函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4()f x D ．函数的图象与函数的图象重合()f x ππ3cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（ ）1111ABCD A B C D -Q 1CC A ．若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值P 1AC P BQD -B ．三棱锥外接球的半径为1A BQD -666C ．若与平面，平面，平面所成的角分别为（），则AQ AC 1AD 1AB i θ1,2,3i =321cos 2ii θ==∑D ．若平面与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为，则ABQ ()1,,6i i θ= 612sin 4ii θ==∑三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，则．()tan 1αβ+=()tan 2αβ-=tan 2α=(1)若为线段的中点，求证：E BP (2)求二面角的余弦值C AB P --18．某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖M BC(1)若点在线段上（不包括端点）范围；M AC(2)若点在线段上，求M BA(3)若点在线段上，作为奇函数．据此，判断函数在定义域内是否存在，使得函数()y f x a b =+-()y V x =0x 在上的图象是中心对称图形，若存在，求及对称中心；若不存在，说明理()y V x =()00,x 0x由．3．B【分析】根据投影向量的定义及向量的坐标运算求解．【详解】由已知，2b =a选项D ，取，则，，D 错；1212i,z 12i z =+=-122z z +=12(12i)(12i)4i z z -=--+=-故选：B ．5．D【分析】利用三角形相似，即可求解.【详解】由图象可知，，OBS TAO 则，即，OB BSAT OA =1BS AT OB OA ⋅=⋅=所以.11cot tan BS xAT x ===故选：D 6．D【分析】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解.【详解】因为()()()()()222111111a t b t a b t a t a b t b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-+=-+-+⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，1122t t t =-+-=-，，()()()()221111a t b a t bt +-=+-=+-()()()()221111t a b t a bt -+=-+=+-又与的夹角为，()1a t b +- ()1t a b-+ 60所以，即，()22211cos 60t t ⎡⎤-=+-⎣⎦ ()24411t t -=+-解得.13t =-±故选：D.7．A【分析】利用两角和与差的余弦公式，正弦的二倍角公式及诱导公式变形可得．【详解】1cos 20cos 40cos 20(cos 60cos 40)cos 202︒-︒︒=︒-︒︒[cos(5010)cos(4010)]cos 20=︒+︒-︒-︒︒(cos50cos10sin 50sin10cos50cos10sin 50sin10)cos 20=︒︒-︒︒-︒︒-︒︒︒2sin 50sin10cos 20=-︒︒︒2cos 20cos 40cos80=-︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos80sin 20-︒︒︒=︒．2sin 40cos 40cos802sin 80cos80sin1602sin 204sin 204sin 20-︒︒︒-︒︒-︒===︒︒︒sin 2014sin 204-︒==-︒故选：A ．8．C【分析】根据对称性，周期性，最值举例说明ABD 错误，解方程判断C 正确．【详解】选项A ，，，ππ()sin()sin(π)122f -=-+-=-πππ()sin sin π1()222f f =+=≠-即不可能恒成立，A 错；()()f x f x -=选项B ，，()()πsin π)+sin(2+2πsin sin 2f x x x x x+=+=-+即不可能恒成立，B 错；(π)()f x f x +=选项C ，，()sin 2sin cos sin (12cos )f x x x x x x =+=+由得或，()0f x =sin 0x =1cos 2x =-，则由得，由得，[π,π]x ∈-sin 0x =π,0,πx =-1cos 2x =-2π2π,33x =-即在上有5个不同的实根，C 正确；()0f x =[]π,π-选项D ，，D 错．πππ2()sin sin 124422f =+=+>故选：C ．9．AC【分析】根据统计表．结合中位数定义判断A （利用频数），再由众数定义判断B ，由极差定义判断C ，求出身高期望值判断D ．【详解】选项A ，由统计表，身高小于170的频数为360，身高不小于170的频数为cm cm 340，因此身高的中位数小于170，A 正确；cm 选项B ，由统计表身高的众数在区间上，结合选项A 的判断知B 错误；[)170,175选项C ，由统计表，身高的极差最大为，最小为，C 正确；18015525cm -=17516015cm -=选项D ，身高的平均值为，D 错．601575120162518016752401725100177516893cm60120180240100......⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈++++故选：AC ．10．BC【分析】根据五点法求出的解析式，然后结合正弦函数的性质，诱导公式判断各选项．()f x 【详解】由五点法知，从而，，由正弦函数性质知，41073323b +==13a =133d =3c =-，，，，3A =2ππ131233ω==-π1023ϕ⨯+=π6ϕ=-所以，ππ()3sin()26f x x =-选项A ，，A 错；16π16π()3sin()33236f =⨯-=选项B ，，其图象可由的图象向右平移πππ1()3sin()3sin ()2623f x x x =-=-π3sin 2y x=个单位得到，B 正确；13选项C ，函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为，C()f x 22104()(23)433-+=正确；选项D ，，D 错．πππππππ()3sin()3sin()3cos()2623223f x x x x =-=+-=-+故选：BC ．11．ACD【分析】对于A ，连接交于点，连接，可证得∥平面，进而进行判断，AC BD O OQ 1AC BDQ 对于B ，根据线面垂直的判定定理可证得平面，设为等边三角形的外心，OQ ⊥1A BDG 1A BD过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，然后求解，对于G 1A BD 1A BQD -C ，取的中点，连接，可得与平面，平面，平面11,DD BB ,M N ,,,AM AN MQ NQ AQ AC 1AD 所成的角分别，然后求它们的余弦值即可，对于D ，由题意可得1AB ,,QAC QAM QAN ∠∠∠平面平面，平面平面，为二角面的平面ABQM ⊥11BCC B ABQM ⊥11ADD A QBC∠Q AB C --角，为二面角的平面角，然后求出它们的正弦值判断.1QBB ∠1Q AB B --【详解】对于A ，连接交于点，连接，AC BD O OQ 因为四边形为正方形，所以为的中点，ABCD O AC 因为是的中点，所以∥，Q 1CC OQ 1AC 因为平面，平面，所以∥平面，1AC ⊄BDQ OQ ⊂BDQ 1AC BDQ 因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值，P 1AC P BDQ对于B ，因为平面，平面，所以1CC ⊥ABCD BD ⊂ABCD 因为，，平面，AC BD ⊥1AC CC C = 1,AC CC ⊂1ACC 所以平面，因为平面，所以BD ⊥1ACC 1AC ⊂1ACC BD ⊥A B AC ⊥对于D ，因为∥，MQ CD AB 因为平面，AB ⊥11BCC B AB 所以平面平面ABQM ⊥BCC AB ⊥BCC B BQ故选：ACD关键点点睛：此题考查线面垂直，面面垂直，考查线面角，面面角，解题的关键是根据正方体的性质结合线面角和面面角的定义找出线面角和面面角，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.12．3-时，由定义知，，x m ={}[]m m m ==()()0f x g x ==时，，，，12m x m <≤+{}[]x m x ==()f x m x =-()()g x x m f x =-≠时，，，，，112m x m +<<+{}1x m =+[]x m =()f x m x =-()(1)()g x x m f x =-+≠所以（），i x i =0,1,2,,2024i =⋅⋅⋅()()1202412024111012202410122025202520252n i i x =⋅+=+++⋅⋅⋅+=⋅=∑由偶函数对称性可知，．112101220242025ni i x ==⨯=∑故2024.方法点睛：本题考查函数新定义，关键是正确理解新定义并进行转化应用，解题方法是根据新定义对的值进行分类讨论，从而确定函数值并判断是否有．x ()()f x g x =15．(1)π2B =(2)16【分析】（1）利用两你用和与差的正弦公式对已知等式变形可求得角；B （2）由面积建立的关系，利用基本不等式求得的最小值，得面积最小值．也可用,,a b c b 角表示出边，然后利用正弦函数性质得面积的最小值．A ,a c 【详解】（1）因为，()πsin cos 2cos sin 3B C C B C ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭所以．13sin cos sin cos cos 2cos sin cos 22B C C B C B C C ⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭．sin cos sin cos cos sin cos 3cos cos B C C B C C B B C +-=+．因为最大，所以，()sin 1cos 3cos cos B C B C-=b cos 0C ≠从而，sin 13cos B B -=即，所以，即或（舍）sin 3cos 1B B -=π1sin 32B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ36B -=π5π36B -=从而．π2B =（2）法一：设面积为，，ABC S 1422S b b=⨯⨯=因为，所以，又，所以，π2B =222b a c =+12S ac=4b ac =所以，22222422161664a c a c b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=≤=所以，8b ≥当且仅当时取等号，所以，面积的最小值为16．a c =216S b =≥ABC 法二：由边上的高为4，可得，即，AC 4sin A c =4sin c A =同理，444πsin cos sin 2a C AA ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，116161622sin cos sin 2ABC S ac A A A ===≥△当且仅当即时取等号．π4A =a c =面积的最小值为16．ABC 16．(1)最大值，最小值，单调递增区间为，．2222-3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈(2)或．22a =-22a =【分析】（1）由三角公式化简函数为形式，然后根据正弦函数的性质求()sin()f x A x ωϕ=+解；（2）方程化为或，求得在上有三个根，因此在()2f x =()f x a=()2f x =[]0,π()f x a =上有且仅有一个不同于的实数根，从而根据正弦函数性质可得结论．[]0,ππ0,,π4x =【详解】（1）由题意，()()31cos 21cos 22sin 2122x x f x x +-=-+-化简得，()()π2sin 2cos 222sin 24f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当，时，ππ22π42x k +=+Z k ∈即，，取得最大值；ππ8x k =+Z k ∈()f x 22当，时，ππ22π42x k +=-Z k ∈，，CD AP ∴⊥CD BP ⊥又，为中点.CA CP =D ∴AP 又为中点，E BP DE AB ∴∥又，，AB BP ⊥BP DE ∴⊥，平面，平面.CD DE D = ,CD DE ⊂CDE BP ∴⊥CDE （2）作于，连接，DF AB ⊥F CF 平面，平面，则，CD ⊥ PAB AB ⊂PAB CD AB ⊥又因为，平面，CD DF D ⋂=,CD DF ⊂CDF 平面，而平面，.AB ∴⊥CDF CF ⊂CDF AB CF ∴⊥又，为的中点，所以，CB CP CA == ,D F ∴,AP AB DF PB ∥又，.BP AB ⊥DF AB ∴⊥则即为二面角的平面角.CFD ∠C AB P --在中，.Rt CDF △cos DF CFD CF ∠=设，，则.CB CA a ==AC CB ⊥1222CF AB a ==因为，在中，，12BP AP =Rt ABP ()()222222BP BP AB a -==则，，.63BP a =1626DF BP a ==636cos 322aCFD a∠==18．(1)0.016m =(2)不正确(3)78.26【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【详解】（1）根据频率和为1，可知，()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=可得.0.016m =（2）由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为，()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=所以85%分位数位于内，[)230,240从而85%分位数为.0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-所以小明的估计不正确.（3）由题意，A 区的样本数为，样本记为，，，，平均数记为；1000.440⨯=1x 2x L 40x x B 区的样本数，样本记为，，，，平均数记为；1000.440⨯=1y 2y L 40y y C 区样本数为，样本记为，，，，平均数记为.1000.220⨯=1z 2z L 20z z 记抽取的样本均值为，.ω0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=设该市第二档用户的月均用电量方差为，则根据方差定义，总体样本方差为2s ()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为，所以，()401ii x x =-=∑()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑同理，()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑，()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯由，得BMG BCA △∽△2x21123x B G =+1cos B MG ∠显然，设1//A M AB 'AM '=从而112A E A M M E ''''=+=在中，1Rt A E C ' 21A E E '+化简得，解得231628a +=关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键。
广东省肇庆市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
广东省肇庆市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．已知样本空间{}1,2,3,4Ω=，事件{}1,2A =，{}2,3B =，则()P A B =U （ ）A ．34B ．12C ．14D ．162．若向量()1,7a =-r ，则下列与向量a r垂直的向量是（ ）A ．()1,7-B ．()1,7C ．()7,1D ．()7,1-3．某射手射靶5次，命中的环数分别为5，6，9，8，7，则命中环数的方差为（ ） A ．2B ．2.2C ．3D ．74．欧拉公式i e cos isin x x x =+（e 为自然对数的底，i 是虚数单位，x ∈R ）建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．根据以上内容，可知2i 3e π在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知()1tan15tan 1tan15α+︒=-︒，则tan2α=（ ）A ．B C ．D 6．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2224b a c =+-，4B π=，则ABCV 的面积为（ ）A ．12B ．1C D ．27．将函数()sin cos f x x x =图象上的所有点都向左平移π5个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()12πsin 25g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()12πsin 425g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()πsin 5g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()πsin 45g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．已知单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B 在第二象限且在单位圆上．若13OB OA ⋅=-u u u r u u u r ，劣弧AB 的中点为C ，则OC =u u u r（ ）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．23⎛ ⎝⎭D ．23⎫⎪⎪⎝⎭二、多选题9．已知复数23i z =-，则下列命题为真命题的有（ ） A ．z 的虚部为3-B ．z =C ．10i z z ⋅=D ．若z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则9p q +=10．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，记事件=i A “第一次向上的点数为i ”()1,2,3,4,5,6i =，j B =“第二次向上的点数为j ”()1,2,3,4,5,6j =，C =“两次向上的点数之和为7”，则（ ）A ．()16i P A =B ．()319P B C =C ．11A B 与22A B 是互斥事件D ．1A 与C 相互独立11．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，[]0,πx ∈，对[]0,πx ∀∈都有()m f x M ≤≤，且()f x 的零点有且只有3个.下列选项中正确的有（ ）A ．0M m +=B ．ω的取值范围为811,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．使()0f x M =的0x 有且只有2个D ．方程()f x 6π三、填空题12．若()()1i 3i m -+为纯虚数，则实数m =．13．已知函数()cos 2sin f x x x =-，当()f x 取得最大值时，cos x =．14．如图，M 到N 的电路中有5个元件1T ，2T ，3T ，4T ，5T ，电流能通过1T ，2T ，3T ，4T 的概率都为0.8，电流能通过5T 的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在M 与N 之间通过的概率为．四、解答题15．某学校教研室为了解高一学生期末考试的数学成绩情况，随机抽取了120个学生，把记录的数学成绩分为5组：[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150，并绘制成了频率分布直方图，如图所示： 注：90分及以上为及格．(1)求a 的值，并估计数学成绩的中位数及众数；(2)在样本中，若采用按比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取数学成绩不及格和及格的学生共20人，求及格的学生应抽取多少人．16．一个不透明的盒中有3个红球，2个白球，5个球除颜色外完全相同． (1)从盒中有放回地摸球，求第一次与第二次摸到的都是红球的概率；(2)每次从盒中任取两个球，游戏规则：若都是红球，则放回盒中；若有白球，则将白球换成红球（非盒内，且与原盒中红球相同），再把两个红球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是红球，游戏结束．求经过2次抽取后游戏结束的概率．17．已知向量1e u r ，2e u u r 满足11e =u r ，2e =u u r 1e u r 与2e u u r 的夹角为5π6．(1)求12e e ⋅u r u u r ；(2)122a e e =+r u r u u r ，13b e =-r u r ，求cos ,a b rr 的值；(3)若1e u r 在2e u u r 方向上的投影向量为c r，求()1e c λλ-∈R u r r 的最小值．18．如图1，天津永乐桥摩天轮是天津市的地标之一，又称天津之眼，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能．永乐桥摩天轮最高点距桥面121m ，转盘直径为110m ，设置48个均匀分布的透明座舱，开启后逆时针匀速旋转，旋转一周所需时间为28min ．如图2，设座舱距桥面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与桥面平行的直线为x 轴建立直角坐标系．游客从点P 进舱，游客甲、乙的位置分别用点()55cos ,55sin A αα，()55cos ,55sin B ββ表示，其中α，β是终边落在OA ，OB 的正角．(1)证明：sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；(2)求游客甲的位置A 距桥面的高度()m h 关于转动时间()min t 的函数解析式；(3)在（2）的条件下，若游客甲、乙的座舱之间还有三个座舱，乙的位置B 距桥面的高度为h '，求在转动一周的过程中h h '-的最大值．19．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos sin 0b A B +=，a =O 为平面内一点，且满足OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r．(1)求A ；(2)求()AB AC AO +⋅u u u r u u u r u u u r的最小值；(3)若13BD BC =u u u r u u u r，求3OA OD +u u u r u u u r 的取值范围．。
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高一下学期数学期末教学质量检测试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共3题；共6分)
1. （2分） (2017高二下·新余期末) “x∈{a，3}”是不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）
A . （3，+∞）
B . （﹣∞，﹣）∪[3，+∞）
C . （﹣∞，﹣ ]
D . （﹣∞，﹣]∪[3，+∞）
2. （2分）(2016·青海) 已知函数，直线是函数图像的一条对称轴，则
（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）设的内角所对的边分别为，已知，，则角的大小为（）
A .
B .
C .
D . 或
二、填空题 (共8题；共8分)
4. （1分） (2016高一上·盐城期中) 60°化为弧度角等于________
5. （1分）(2018·长宁模拟) 已知，则 ________.
6. （1分）(2020·许昌模拟) 已知 ,则＝________．
7. （1分）已知tanα=4，计算=________
8. （1分） (2019高三上·西湖期中) 已知，则 ________
9. （1分） (2018高一下·江津期末) 设的内角所对的边分别为，已知
，则的最大值为________。
10. （1分）(2017·黄浦模拟) 已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g （x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=________．
11. （1分）在等差数列{an}中，已知S8=5，S16=14，则S24=________．
三、解答题 (共4题；共45分)
12. （10分） (2019高一下·上海月考) 如图，点是单位圆上的两点，点是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到 .
（1）若点的坐标为，求的值；
（2）用表示，并求的取值范围.
13. （10分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大与最小值以及对应的x的值．
14. （15分） (2016高一上·铜陵期中) 函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1 ，x2都有等式f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）成立．
（1）求f（1）的值．
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．
（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（3x+1）+f（﹣6）≤3．
15. （10分） (2017高二下·菏泽开学考) 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn ，且S1 ， S2 ，S4成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．
参考答案
一、单选题 (共3题；共6分)
1-1、答案：略
2-1、答案：略
3-1、
二、填空题 (共8题；共8分)
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、答案：略
9-1、
10-1、
11-1、
三、解答题 (共4题；共45分)
12-1、
12-2、
13-1、答案：略13-2、答案：略14-1、答案：略14-2、答案：略14-3、答案：略
15-1、。