初中数学第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题 (52)(含解析)
初中数学第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题 (2)(含解析)
第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题 (2)一、解答题1．已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1． （1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．2．抛物线()21y x m x m =-+-+与y 轴交于点()03，． （1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）①当x 取什么值时，0y >？②当x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？ 3．已知函数()211y kx k x =+++（k 为实数）（1）当3k =时，求此函数图像与x 轴的交点坐标； （2）判断此函数与x 轴的交点个数，并说明理由.4．若抛物线与x 轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”． （1）判断抛物线C 1：y ＝3x 2﹣23x 是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C 2：y ＝ax 2+2x+c 为“等边抛物线”，求ac 的值；（3）对于“等边抛物线”C 3：y ＝x 2+bx+c ，当1＜x ＜m 时，二次函数C 3的图象落在一次函数y ＝x 图象的下方，求m 的最大值．5．有一种市场均衡模型是用一次函数和二次函数来刻化的：根据市场调查，某种商品的市场需求量y 1（吨）与单价x （百元）之间的关系可看作是二次函数y 1=4﹣x 2，该商品的市场供应量y 2（吨）与单价x （百元）之间的关系可看作是一次函数y 2=4x ﹣1．（1）当需求量等于供应量时，市场达到均衡．此时的单价x （百元）称为均衡价格，需求量（供应量）称为均衡数量．求所述市场均衡模型的均衡价格和均衡数量． （2）当该商品单价为50元时，此时市场供应量与需求量相差多少吨？（3）根据以上信息分析，当该商品①供不应求②供大于求时，该商品单价分别会在什么范围内？6．已知二次函数y=-x 2 +2mx-m 2+4 (1)当m=1时，抛物线的对称轴和顶点坐标:(2)求证:不论m 取何值时该二次函数的图像与x 轴必有两个不同交点(3)若该二次函数的图像与x 轴交于点A ， B(点Ａ在点Ｂ的左侧)，顶点为C ，则这时△ＡBC 的面积为7．已知在平面直角坐标系xOy （如图）中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A 、点(0,4)C -，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称；（1）求配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （0m >），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果QPO BCO ∠=∠，求m 的值；8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线x=2与x 轴相交于点B ，连结OA ，二次函数y=x 2图象从点O 沿OA 方向平移，与直线x=2交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；（2）设二次函数顶点M 的横坐标为m ，当m 为何值时，线段PB 最短，并求出二次函数的表达式；（3）当线段PB 最短时，二次函数的图象是否过点Q （a ，a ﹣1），并说理由． 9．已知二次函数y=x 2-2mx+m 2-4.．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）若把它的图象向上平移1 个单位，再向左平移2个单位后图象经过原点，求m 的值．10．春节期间，为了满足百姓的消费需求，某商场计划购进冰箱、彩电进行销售．冰箱、彩电的进价、售价如表：进价（元/台）售价（元/台）冰箱M2500彩电m ﹣4002000（1）商场用80000元购进冰箱的数量用64000元购进彩电的数量相等，求表中m 的值； （2）为了满足市场需要要求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数量不少于彩电数量的；若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，求能获得的最大利润w 的值．11．已知二次函数y ＝x 2﹣4x+3．（1）用配方法将y ＝x 2﹣4x+3化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）写出当x 为何值时，y ＞0．12．在画二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下x…… ﹣1 0 1 2 3 ……y 甲…… 6 3 2 3 6 ……乙写错了常数项，列表如下：x…… ﹣1 0 1 2 3 …… y 乙……﹣2﹣12714……通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数()20y ax bx c a =++≠的表达式；(2)对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当x _____时，y 的值随x 的值增大而增大；(3)若关于x 的方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．13．直线：()1:0l y ax a a =+≠，与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，抛物线L :()2230y ax bx a a =+-≠，经过点A ，且与x 轴的另一个交点为点C ．（1）若1a =，求此时抛物线的解析式、顶点坐标及点C 坐标；（2）在直线l 与抛物线L 围成的封闭图形边界上，横、纵坐标均为整数的点称为“神秘点”，求出在（l ）的条件下“神秘点”的个数； （3）①直线l 与x 轴的交点A 的坐标会变吗？说明理由；②若抛物线L 与直线5y =在06x ≤≤的范围内有唯一公共点，请直接写出a 的取值范围．14．已知二次函数243y x x =-+ . （1）求二次函数与x 轴的交点坐标； （2）求二次函数的对称轴和顶点坐标；（3）写出y 随x 增大而减小时自变量x 的取值范围. 15．（本题满分8分）已知：二次函数243y x x =-+． （1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y ＜0.16．已知抛物线C 1的函数解析式为y ＝ax 2＋bx －3a （b ＜0），若抛物线C 1经过点（0，－3），方程ax 2＋bx －3a ＝0的两根为x 1，x 2，且12x x ＝4．(1)求抛物线C 1的顶点坐标．(2)已知实数x＞0，请证明x+1x≥2，并说明x为何值时才会有x＋1x＝2．(3)若将抛物线C1先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB＝90°，m＞0，n＜0．请你用含m 的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S最小值及S取最小值时直线OA的函数解析式．17．已知直线y＝kx+m（k＜0）与抛物线y＝x2+bx+c相交于抛物线的顶点P和另一点Q．（1）若点P（2，﹣c），Q的横坐标为﹣1．求点Q的坐标；（2）过点Q作x轴的平行线与抛物线y＝x2+bx+c的对称轴相交于点E，直线PQ与y轴交于点M，若PE＝2EQ，c＝284b-（﹣52≤b＜﹣2），求点Q的纵坐标；（3）在（2）的条件下，求△OMQ的面积S的最大值．18．若二次函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2．（1）求证：抛物线与x轴有交点．（2）经研究发现，无论k为何值，抛物线经过某些特定的点，请求出这些定点．（3）若y1＝2x+2，在﹣2＜x＜﹣1范围内，请比较y1，y的大小．19．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝ba-；x1•x2＝ca．应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝，x1•x2＝．（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．20．如图二次函数2y x bx c=++的图象经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C．（1）试确定b、c的值；（2）若点M为此抛物线的顶点，求△MBC的面积．【答案与解析】一、解答题1．（1）见解析；（2）x=－2试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a ，b 的值，进而解方程得出即可．试题解析：（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣2ba，∴b=－2a ∴2a+b=0； （2）∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b ﹣8=0，∵b=﹣2a ，∴16a ﹣8a ﹣8=0， 解得：a=1，则b=﹣2，∴a 2x +bx ﹣8=0为：2x ﹣2x ﹣8=0， 则（x ﹣4）（x+2）=0，解得：1x =4，2x =﹣2， 故方程的另一个根为：﹣2．考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点2．（1）2y x 2x 3=-++；（2）x 轴：()30A ，、()10B -，；Y 轴：()03C ， （3）见解析.试题分析：（1）将点（0，3）代入抛物线的解析式中，即可求得m 的值；（2）可以令y=0，可得出一个关于x 的一元二次方程，方程的解就是抛物线与x 轴交点的横坐标；（3）根据（2）中抛物线与x 轴的交点以及抛物线的开口方向即可求得x 的取值范围． 试题解析：（1）将点（0，3）代入抛物线y=-x 2+（m-1）x+m ， m=3，∴抛物线的解析式y=-x 2+2x+3； （2）令y=0，-x 2+2x+3=0， 解得x 1=3，x 2=-1；x 轴：A （3，0）、B （-1，0）； y 轴：C （0，3）（3）抛物线开口向下，对称轴x=1； 所以）①当-1＜x ＜3时，y ＞0； ②当x≥1时，y 的值随x 的增大而减小．3．（1）(1,0)-、1(,0)3-；（2）当0k =、1k =时，交点只有一个；当0k ≠且1k ≠时，交点有两个，理由见详解.（1）当3k =时，代入()211y kx k x =+++，由函数图像与x 轴的交点，即当0y =时，解出方程可得. （2）()211y kx k x =+++（k 为实数），可分为0k =和0k ≠情况进行分析讨论.（1）解：当3k =时，代入()211y kx k x =+++可得：2341y x x =++，要求函数图像与x 轴的交点坐标，令0y =，即23410x x ++=，解得113x =-或21x =-，交点坐标为(1,0)-、1(,0)3-.（2）解：∵()211y kx k x =+++（k 为实数），∴二次项系数k 可分为0k =和0k ≠情况进行分析讨论，当0k =，()2111y kx k x x =+++=+，令0y =，解得1x =-，只有一个交点(1,0)-.当0k ≠，()211y kx k x =+++，由二次函数24b ac ∆=-，得()()221410k k k ∆=+-=-≥可知当1k =，0∆=，()211y kx k x =+++有两个相等的根，即与x 轴的交点只有一个.当1k ≠，>0∆，()211y kx k x =+++有两个不相等的根，即与x 轴的交点有两个.综上所述：当0k =、1k =时，()211y kx k x =+++与x 轴的交点只有一个，当0k ≠且1k ≠时，()211y kx k x =+++与x 轴的交点有两个.【点睛】考查二次函数图像与直线的交点、利用二次函数的判别式来判断根的情况，进而判断交点. 4．（1）抛物线y＝2x 2﹣是“等边抛物线”；对称轴x ＝2，顶点坐标为（2，﹣2）ac ＝﹣2；（3）m 的最大值为6． （1）根据“等边抛物线”的定义得到抛物线C 1：y2﹣是“等边抛物线”；然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标；（2）设等边抛物线与x 轴的两个交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0），知AB ＝|x 1﹣x 2|＝＝|，结合顶点坐标（﹣1a ，ac 1a -）2，据此求解可得； （3）依照（2）的方法推出b 2﹣4ac ＝12知c ＝2124b -，结合等边抛物线过（1，1）求得b ＝﹣6或b ＝2，依据对称轴位置得b ＝﹣6，联立266y x x y x⎧=-+⎨=⎩，求得x ＝1或x ＝6，从而得出答案． （1）抛物线yx 2﹣是“等边抛物线”．对称轴x ＝2，顶点坐标为（2，﹣由y2﹣（12x ﹣2）知，该抛物线与x 轴的交点是（0，0），（4，0）． 又因为y2﹣x ﹣2）2﹣所以其顶点坐标是（2，﹣）．∴抛物线与x 轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为4， ∴抛物线y2﹣x 是“等边抛物线”． 对称轴x ＝2，顶点坐标为（2，﹣（2）设等边抛物线与x 轴的两个交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0）， 令y ＝ax 2+bx+c ＝0，∴x＝22a-，∴AB ＝|x 1﹣x 2|＝|22a -+﹣22a -|＝|a|＝|＝|a|． 又∵抛物线的顶点坐标为（﹣1a ，ac 1a-），∵4﹣4ac≠0， ∴|∴ac ＝﹣2；（3）设等边抛物线与x 轴的两个交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0）， 令y ＝ax 2+bx+c ＝0，∴x＝2b -±，∴AB＝|x 1﹣x 2|＝又∵抛物线的顶点坐标为24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2=∵240b c -≠，= 得b 2﹣4c ＝12，∴c ＝2124b -，∴C 3：y ＝x 2+bx+2124b -，∵1＜x ＜m 时，总存在实数b ，使二次函数C 3的图象在一次函数y ＝x 图象的下方，即抛物线与直线有一个交点为（1，1）， ∴该等边抛物线过（1，1），∴1+b+2124b -＝1，解得b ＝﹣6或b ＝2， 又对称轴x ＝﹣2b a ＝﹣2b＞1， ∴b ＜﹣2， ∴b ＝﹣6， ∴y ＝x 2﹣6x+6，联立266y x x y x ⎧=-+⎨=⎩，解得x ＝1或x ＝6， ∴m 的最大值为6． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是理解等边抛物线的概念和等边三角形的性质、抛物线与x 轴的交点问题及抛物线与直线的交点问题等知识点．5．（1）所述市场均衡模型的均衡1百元和均衡数量为3吨；（2）此时市场供应量与需求量相差﹣2.75吨；（3）①供不应求时，由题意：y 1＞y 2，观察图象可知14＜x ＜1，②供大于求时，y 1＜y 2，观察图象可知1＜x ＜2．（1）令y 1=y 2，解方程4﹣x 2=4x ﹣1，即可求出均衡家，进而求出均衡数量；（2）把分别代入y1=4﹣x2，y2=4x﹣1，求出y2﹣y1的值，然后y2﹣y1即可；（3）（3）①供不应求时，即y1＞y2，观察图象可的答案；②供大于求时，即y1＜y2，观察图象可得答案．（1）令y1=y2，得到4﹣x2=4x﹣1，解得x=1或﹣5（舍弃），y2=4×1﹣1=3（吨）．答：所述市场均衡模型的均衡1百元和均衡数量为3吨．（2）当x=0.5时，y1=3.75，y2=1，y2﹣y1=﹣2.75，答：此时市场供应量与需求量相差﹣2.75吨．（3）①供不应求时，由题意：y1＞y2，观察图象可知＜x＜1，②供大于求时，y1＜y2，观察图象可知1＜x＜2．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，已知自变量的值求函数值，根据图像解不等式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.6．（1）对称轴为x=1，顶点坐标为(1，4)；（2）证明见解析；（3）8.（1）把m=1代入到二次函数解析式中，用配方法整理成顶点式，即可得到其对称轴和顶点坐标；（2）应用根的判别式即可证明；（3）令y=0，求出A、B横坐标，用m表示顶点C坐标，求△ABC面积.（1）把m=1代入到y=-x 2 +2mx-m 2+4中，得y=-x 2 +2x+3=-(x-1)2+4，所以对称轴为x=1，顶点坐标为(1，4)；（2）当y=0时，-x2+2mx-m2+4=0，∵b2-4ac=4m2-4×（-1）×（-m2+4）=16＞0，∴此一元二次方程有两个不相等的实数根，∴该二次函数的图象与x轴必有两个不同交点；（3）当y=0时，-x2+2mx-m2+4=0，解得：x1=m+2，x2=m-2，∵点A在点B的左侧，∴点A、B横坐标分别为m-2，m+2，∴AB=4，配方得y=-x2+2mx-m2+4=-（x-m）2+4，∴抛物线顶点为（m，4）∴S△ABC=12×4×4=8，故答案为8.【点睛】。
人教版九年级《22.2 二次函数与一元二次方程精讲精练.2 二次函数与一元二次方程》精讲精练(含答案)
一、基础知识（一）二次函数和一元二次方程的关系对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：1.当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；2.当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；3.当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.拓展：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线bkx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.二、重难点分析本课教学重点：利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·ac x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为：AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=（公式①）. 本题教学难点：利用二次函数图象解决一元二次方程的解一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点情况去判断一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.典例精析：例1．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0【答案】D【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程例2.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程三、感悟中考1.（2013年杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程2.（2013年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．【答案】102213-<<-a ．【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程四、专项训练。
初中数学第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题 (48)(含解析)
第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题(48)一、解答题1．已知：抛物线y=﹣x 2+4x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），顶点为P ．（1）求A 、B 、P 三点坐标；（2）画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x 取何值时，函数值y 大于零； （3）确定此抛物线与直线y=﹣2x+6公共点的个数，并说明理由． 2．在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为243y x x =-+．（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象：x... 0 1 2 3 4 ... y......（2）当x 满足 ______时，函数值大于0； （3）当14x <<时，y 的取值范围是______．3．已知抛物线()243y x k x =---的对称轴是直线1x =，此抛物线与x 轴交于A 、B两点，与y 轴交于点C ． （Ⅰ）求ABC 的面积；（Ⅱ）若抛物线的顶点为P ，求线段PC 的长．4．已知二次函数2y x bx c =-++的图像经过点()(),1,00,3A C -()1求二次函数的解析式；()2求二次函数的顶点坐标；()3当0y ≤时，求x 的取值范围（直接写出答案）．5．已知二次函数的图象经过点（-1，-8），顶点为（2，1）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求图象与x 轴的交点坐标．6．已知：抛物线C 1：2211(2)22y x m x m =-+++与抛物线C 2：222y x mx n =++具有下列特征：①都与x 轴有交点；②与y 轴相交于同一点．（1）求m ，n 的值；（2）试写出x 为何值时，y 1＞y 2？（3）试描述抛物线C 1通过怎样的变换得到抛物线C 2．7．如图，已知抛物线y=x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，该抛物线顶点为D ，对称轴交x 轴于点H ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）设点P 在x 轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB 时，求出点P 的坐标； （3）以OB 为边最第四象限内作等边△OBM ．设点E 为x 轴的正半轴上一动点（OE ＞OH ），连接ME ，把线段ME 绕点M 顺时针旋转60°得MF ，求线段DF 的长的最小值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3），直线x=1为抛物线的对称轴，点D 为抛物线的顶点，直线BC 与对称轴相交于点E ．（1）求抛物线的解析式并直接写出点D 的坐标； （2）求△BCD 的面积；（3）点P 为直线x=1右方抛物线上的一点（点P 不与点B 重合），记A 、B 、C 、P 四点所构成的四边形面积为S ，若S=S △BCD ，求点P 的坐标．9．小明根据学习函数的经验，对函数4254y x x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：()1自变量x 的取值范围是___________，x 与y 的几组对应数值如下表：x94-115 2-32-54-1- 12- 14- 01412154 322115y 4.33.22.2- 1.4- 0 2.83.7 4 3.7 2.8 0 1.4- 2.2- m 3.2其中m = ；()2如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；()3观察函数图象，写出一条该函数的性质______；()4进一步探究函数图象发现：①方程42540x x -+=有______个互不相等的实数根；②有两个点()11,x y 和()22,x y 在此函数图象上，当212x x >>时，比较1y 和2y 的大小关系为：1y ______2y (填,><=或)③若关于x 的方程4254x x a -+=有4个互不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．10．一个二次函数的图像经过（0，－2），（－1，－1），（1,1）三点，求这个二次函数的解析式11．如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON ，我们给出如下定义：若点P 在∠MON 的内部或边上，作PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，则将PE+PF 称为点P 与∠MON 的“点角距”，记作d （∠MON ，P ）．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，x 、y 正半轴所组成的角为∠xOy ．（1）已知点A （5，0）、点B （3，2），则d （∠xOy ，A ）= ，d （∠xOy ，B ）= ． （2）若点P 为∠xOy 内部或边上的动点，且满足d （∠xOy ，P ）=5，画出点P 运动所形成的图形．（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy 中，射线OT 的函数关系式为y=43x （x≥0）． ①在图3中，点C 的坐标为（4，1），试求d （∠xOT ，C ）的值； ②在图4中，抛物线y=-12x 2+2x+52经过A （5，0）与点D （3，4）两点，点Q 是A ，D 两点之间的抛物线上的动点（点Q 可与A ，D 两点重合），求当d （∠xOT ，Q ）取最大值时点Q 的坐标．12．如图，抛物线26y x x =-+与x 轴交于O ，A 两点，与直线y=2x 交于O ，B 两点．点P 在线段OA 上以每秒1个单位的速度从点O 向终点A 运动，作EP ⊥x 轴交直线OB 于E ；同时在线段OA 上有另一个动点Q ，以每秒1个单位的速度从点A 向点O 运动（不与点O 重合）．作CQ ⊥x 轴交抛物线于点C ，以线段CQ 为斜边作如图所示的等腰直角△CQD ．设运动时间为t 秒．（1）求点B 的坐标；（2）当t =1秒时，求CQ 的长；（3）求t 为何值时，点E 恰好落在△CQD 的某一边所在的直线上；13．（8分）已知抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A ，B （点A ，B 在原点O 两侧），与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2=43x +n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222y x mx m m =-+-+的顶点为D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）若该抛物线经过点A （1，m ），求m 的值；（3）在（2）的条件下，抛物线与x 轴是否有交点，若有，求出交点坐标，若没有，说明理由.15．（1）解下列方程：（x +1）（x +2）=2x +4（2）若抛物线y =x 2+3x +a 与x 轴有交点，求实数a 的取值范围． 16．设二次函数y=-2a（x+1）（x-a ）（a 为正数）的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于C 点．直线l 过M （0，m ）（0＜m ＜2且m≠1）且与x 轴平行，并与直线AC 、BC 分别相交于点D 、E ．二次函数y=-2a（x+1）（x-a ）的图象关于直线l 的对称图象与y 轴交于点P ．设直线PD 与x 轴交点为Q ，则： （1）求A 、C 两点的坐标；（2）求AD 的值（用含m 的代数式表示）；（3）是否存在实数m ，使CD•AQ=PQ•DE ？若能，则求出相应的m 的值；若不能，请说明理由．17．已知函数()2142y m x x =-++，（1）当m 取何值时抛物线开口向上？（2）当m 为何值时函数图像与x 轴有两个交点？ （3）当m 为何值时函数图像与x 轴只有一个交点？ 18．如图，抛物线y=12x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A(一1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．19．已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，该抛物线与x 轴的一个交点（-1,0）为请回答以下问题（1）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标（2）一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的解为（3）不等式()200ax bx c a ++<≠的解集是20．已知某二次函数的对称轴平行于轴，图像顶点为，且与轴交于点；（1）求该二次函数的解析式；（2）设为该二次函数图像上横坐标为2的点，记，，试用、表示；【答案与解析】一、解答题1．（1）A（1，0），B（3，0），P（2，1）；（2）1＜x＜3时，y＞0；（3）一个交点．试题分析：将二次函数转化成顶点式以及交点式，从而得出三点的坐标；根据图形得出y ＞0时x的取值范围；根据二次函数和一元一次方程得出x的值，从而得出函数与一元一次方程的解的个数．试题解析：（1）∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣（x﹣2）2+1，∴A（1，0），B（3，0），P（2，1）．（2）作图如下，由图象可知：当1＜x＜3时，y＞0．（3）由题意列方程组得：，转化得：x2﹣6x+9=0，即x=3，∴方程的两根相等，方程组只有一组解，∴此抛物线与直线有唯一的公共点．考点：一元二次方程与函数．2．（1）从左到右表格依次填写3，0，-1，0，3，（2）x<1，或x>3，（3）-1≤y<3．(1)计算函数值填表；然后根据表格造平面直角坐标系中，描点，用平滑的曲线顺次连结即可，(2)利用图像法，先理解 y>0，找出y>0，在x轴上半平面，即在方程的两根之外，在图上找到抛物线与交点横坐标即可，(3)抛物线的对称轴x=2，在1<x<4抛物线可以取到最小值-1，在边值上进行比较，取两值中较大的即可．（1）从左到右表格依次填写3，0，-1，0，3，（2）由y>0，图像在x 轴的上方，说明在两个之外，由图可知y=0时x 2-4x+3=0的两根为，x=1,与x=3， 为此x<1，或x>3， 答案为：x<1，或x>3， (3) 当1<x<4时，-1≤y<3． 答案为：-1≤y<3． 【点睛】本题考查。
九年级数学人教版(上册)22.2 二次函数与一元二次方程
知识点 2 抛物线与 x 轴的公共点个数与对应的一元二次方程 的根的判别式之间的关系
3．抛物线 y＝－3x2－x＋4 与 x 轴的公共点个数是 2 ．
4．抛物线 y＝x2＋4x＋5－m 与 x 轴有两个不同的公共点，则 m
的取值范围是( D )
A．m＜－1
B．0＜m≤1
C．m＜1
D．m＞1
【变式 1】变式点：两个不同的公共点→只有一个公共点 (2021·成都)在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y＝x2＋2x＋k 与 x 轴只有一个公共点，则 k＝ 1 ．
易错点 2 漏掉函数是一次函数的情况
9．若函数 y＝(m－1)x2－6x＋32m 的图象与 x 轴有且只有一个公
共点，则 m 的值为(C )
A．－2 或 3
B．－2 或－3
C．1 或－2 或 3
D．1 或－2 或－3
10．二次函数 y＝ax2＋bx 的图象如图所示，若一元二次方程 ax2
＋bx＋m＝0 有实数根，则 m 的最大值为( A )
【变式 2】变式点：两个不同的公共点→没有公共点 若二次函数 y＝x2＋x＋c 的图象与 x 轴没有公共点，则 c 的取值 范围是 c＞14 ．
【变式 3】变式点：两个不同的公共点→有公共点 已知二次函数 y＝x2－x＋14m－1 的图象与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是 m≤5 ．
【变式 4】变式点：二次项系数为数字→二次项系数为字母 若抛物线 y＝ax2＋3x－1 与 x 轴有两个不同的交点，则 a 的取值 范围是 a＞－且a≠0 ．
A．3
B．－3
3 C.2
D．－32
11．(2021·阿坝州)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下 列说法错误的是( D )
人教版九年级数学22.2二次函数与一元二次方程的关系练习(含答案)
人教版九年级数学22.2二次函数与一元二次方程的关系练习（含答案）二次函数与一元二次方程的关系知识要点：1. 二次函数与一元二次方程的关系一般地，从二次函数y=ax 2+bx+c 的图像可得如下结论.（1）如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标为x 0，那么当x=x 0时，函数值是0，因此x=x 0是方程的ax 2+bx+c=0的一个根.（2）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况：没有实数根，有两个相等实数根，有两个不相等实数根。
2.利用抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点的横坐标求一元二次方程ax 2+bx +c =0的根．具体过程如下：①在平面直角坐标系中画出抛物线y =ax 2+bx +c ；②观察图象，确定抛物线与x 轴的交点的横坐标；③交点的横坐标为一元二次方程ax 2+bx +c =0的根．3.用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x 轴的交点）的两侧各取一点，则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间．一、单选题1．如图，一次函数与二次函数为的图象相交于点，1y x =-22y ax bx c =++M ，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）N x 2(1)0ax b x c +++=A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根【答案】A 2．已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的实数根D ．没有实数根【答案】D 3．抛物线与轴的交点坐标为（ ）2321y x x =-+-y A ．B ．C ．D ．()0,1()0,1-()1,0-()1,0【答案】B4．根据下面表格中的对应值：x 3.24 3.25 3.26ax 2+bx+c ﹣0.020.010.03判断关于x 的方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的一个解x 的范围是（ ）A ．x ＜3.24B ．3.24＜x ＜3.25C ．3.25＜x ＜3.26D ．x ＞3.26【答案】B5．已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A．k≥3B．k＜3C．k≤3且k≠2D．k＜2【答案】C6．若二次函数y=x2﹣2x+c的图象与x轴没有交点，则c的值可能是（）A．﹣3B．﹣2C．0 D．2【答案】D7．二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是（ ）A．（1，0）B．（2，0）C．（﹣1，0）或（﹣2，0）D．（﹣1，0）或（1，0）【答案】D8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】By=ax2+bx+c(a≠0)x ax2+bx+c=09．函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个同号的实数根C．有两个相等实数根D．无实数根【答案】A10.函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象与x轴的交点有A．2个B．1个C．0个D．1或2个【答案】A11．抛物线y＝－2x2－x＋2与坐标轴的交点个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A12．若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（ ）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B13．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为( ). A．－1或2 B．－1或1C．1或2 D．－1或2或1【答案】D14．根据下面表格中的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( )A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26【答案】C二、填空题15．抛物线与y 轴的公共点的坐标是____________．232y x x =++【答案】（0，2）16．二次函数的图象如图所示，则 的两根分别是2y x bx c =++2=0x bx c ++_________.【答案】-3，117．二次函数y ＝x 2﹣3x+c 的图象与x 轴有且只有一个交点，c ＝_____．【答案】9418．函数y=2x 2中，自变量x 的取值范围是____，函数值y 的取值范围是____．【答案】全体实数y ≥0.三、解答题19．抛物线经过和.y =ax 2-4x +c A(-1,-1)B(3,-9)（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出当时，的取值范围；y >0x （3）若点在该函数图像上，求点的坐标.P(m,m)P 【答案】.解：（1）根据题意得：，{a +4+c =-19a -12+c =-9解得：，{a =1c =-6所以抛物线的解析式为；y =x 2-4x -6（2）令，x 2-4x -6=0解得，，x 1=2+10x 2=2-10根据二次函数的性质可得时的取值范围是或y >0x x <2-10x >2+10（3）把代入，得，P(m,m)y =x 2-4x -6m =m 2-4m -6解得：，，m 1=-1m 2=6∴点的坐标为或.P (-1,-1)(6,6)故答案为：（1）；（2）或；（3）点的坐标为y =x 2-4x -6x <2-10x >2+10P 或.(-1,-1)(6,6)21．我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点. 例如，对于函数y=-x+1，令y=0，可得x=1，我们就说x=1是函数y=-x+1的零点.己知函数y=x 2-2(m+1)x-2(m+2) (m 为常数) .（1）当m=-1时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为和，且，求此时的函数解析式，并1x 2x 321121-=+x x 判断点(n+2，n 2-10)是否在此函数的图象上.【答案】(1)、当时，该函数为，令，可得.1m =-22y x =-0y =x =∴当时，该函数的零点为和. 1m =-x =x =(2)、令，得0y =[][]222(1)42(2)4(2)10m m m ∆=-+--+=++>∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根，即m 22(1)2(2)0x m x m -+-+=无论取何值，该函数总有两个两个零点.m (3)、根据题意，得，，，122(1)x x m +=+122(2)x x m =-+∵，∴，即，解得.321121-=+x x 121223x x x x +=2(1)22(2)3m m +=-+1m =∴函数的解析式为.∴配方得，，把代入可得246y x x =--2(2)10y x =--2x n =+.210y n =-∴点在函数的图象上.)102(2-+n n ，246y x x =--考点：(1)、新定义型；(2)、二次函数的性质22．已知抛物线的顶点为A （1，4)，抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C 、D 两点。
九年级数学二次函数与一元二次方程(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：二次函数与一元二次方程之间的关系:①一元二次方程的根是二次函数的图象与_____________；当时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当时，二次函数图象与x轴_______交点．②方程的根是对应的________________，求两个函数交点的坐标就是求对应方程组的解．问题2：结合一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，思考函数y值比大小，主要利用函数的________和数形结合；两函数值比大小，借助数形结合，_____________________．二次函数与一元二次方程一、单选题(共10道，每道10分)1.若关于x的二次函数的图象与x轴仅有一个公共点，则k的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式2.如图是二次函数（a，c为常数，）与一次函数（k，b为常数，）的图象，方程的解为_______；不等式的解集为_________．( )A.；B.；C.；D.；答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想3.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当时，x的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的对称性4.若一元二次方程的两个实数根分别为，则实数的大小关系为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象上点的坐标特征5.已知二次函数的图象与x轴交于两点，且，则实数的大小关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移6.方程的根有( )个．A.0B.1C.2D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想7.方程的根的个数为( )个A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想8.已知函数，当直线y=k与此图象有两个公共点时，k的取值范围是( )A. B.C. D.或k=-1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想9.关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想10.方程（k是实数）有两个实根，且，那么k的取值范围是( ) A. B. C. D.无解答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想第11页共11页。
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案-人教版
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案-人教版一、单选题1．若二次函数y=ax²+1图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）²+1=0实数根为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=-2，x2=6C．x1= 32，x2= 52D．x1=-4，x2=02．已知关于x的方程x2+1=kx有一个正的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0C．k≤0 D．k≥03．下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项中正确的是（）x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4y ﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0C．2.0＜x1＜2.2 D．2.2＜x1＜2.44．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解分别为x1，x2，则x1+x2的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．如果二次函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数，a≠0)的部分图象如图所示，它的对称轴过点(－1，0)，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个正根可能是( )A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.56．二次函数y=−x2+bx+c的图象如图，则一元二次方程−x2+bx+c−4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c−3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根8．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，若方程ax2+bx+c=0的两个根为x1= 1，x2=−5，下列结论中：①bc>0；②b=4a；③a−b+c>0；④5b+4c=0 .其中所有正确的结论有（）A．①②B．③④C．②③④D．②③二、填空题9．无论x取何值，二次函数y=x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为．10．一元二次方程3x2+x−10=0的两个根是x1=−2，x2=5，那么二次函数y=3x2+x−10与3x轴的交点坐标是．11．二次函数y=x2−6x+m（m是常数）的图象与x轴的一个交点为(-1，0)，则关于x的一元二次方程x2−6x+m=0的根是．12．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是．13．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是．三、解答题14．若抛物线y＝x2+3x+2a与x轴只有一个交点，求实数a的值．15．已知二次函数的图象经过最高点（2，5）和点（0，4）.（1）试确定此二次函数的解析式；x2+x+1=0的根的情况.（画出简图）（2）请你用图象法判断方程−1416．某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现，该商品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系：w=-2x+80.设这种商品的销售利润为y (元).(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在不亏本的前提下，销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?17．已知二次函数y=x2﹣4x．（1）在给出的直角坐标系内用描点法画出该二次函数的图象；（2）根据所画的函数图象写出当x在什么范围内时，y≤0？（3）根据所画的函数图象写出方程：x2﹣4x=5的解．x2 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=13于点B、C，求BC的长.19．已知，二次函数y=−x2+bx+c的图象，如图所示，解决下列问题：（1）关于x的一元二次方程−x2+bx+c=0的解为；（2）求出抛物线的解析式；（3）x为何值时y<0．参考答案1．A2．B3．C4．D5．B6．C7．A8．C9．a >−5410．(−2,0)11．x1=−112．﹣1＜x2＜013．x1＝﹣3，x2＝114．解：根据抛物线与x轴只有一个交点，得到方程x2+3x+2a=0有两个相等的实数根，．则Δ=b2−4ac=32−4×2a=0，解得a=9815．（1）解；∵二次函数最高点也是函数的顶点（2，5）∴函数的表达式为y=a（x-2）2+5把（0，4）代入上式，解得：a=- 14∴二次函数的解析式为：y=- 1x2+x+44x2+x+4=3（2）解：原方程变形为：- 14x2+x+1=0根的情况∴上述问题转化为- 14∴函数值为3的点有2个则方程- 1x2+x+1=0由两个不相等的实数根.416．解：（1）y=w（x-20）=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600则y=-2x2+120x-1600．由题意，有{x≥20−2x+80≥0解得20≤x≤40．故y与x的函数关系式为：y=-2x2+120x-1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；（2）∵y=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200∴当x=30时，y有最大值200．故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（3）当y=150时，可得方程-2x2+120x-1600=150整理，得x2-60x+875=0解得x1=25，x2=35．∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x2=35不合题意，应舍去．故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．17．解：（1）y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（2，﹣4）如图（2）当0≤x≤4时，y≤0．（3）由图象可知，x2﹣4x=5的解为x1=﹣1，x2=5．18．解：BC=619．（1）解：观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=3两点∴方程的解为x1=-1，x2=3故答案为：-1或3；（2）解：设抛物线解析式为y=-（x-1）2+k∵抛物线与x轴交于点（3，0）∴（3-1）2+k=0解得：k=4∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4即：抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（3）解：抛物线与x轴的交点（-1,0），（3,0），当y＜0时，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞3或x＜-1。
九年级数学上册《第二十二章 二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)班级姓名学号一、单选题1．二次函数y＝−x2+（6 −m）x+8，当x＞− 2时，y随x的增大而减小；当x＜− 2时，y随x的增大而增大，则m的值为（）A．10 B．8 C．6 D．42．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1，0)，(3，0)则关于x的一元二次方程a(x+1)2−cx=a+2b 的解为（）A．x=−1或x=−4B．x=−1或x=−2C．x=−4或x=−2D．x=−1或x=3,y3)在函数y=x2+2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是3．已知点(−1,y1)，(3,y2)，(12（）A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y2>y3>y1D．y3>y1>y24．根据下面表格中的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.265．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．无解B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=46．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，与x轴交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列说法错误的是（）A．对称轴是直线x=1B．方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3C．当x＜1，y随x的增大而增大D．当﹣1＜x＜3时，y＜07．如图，已知关于x的一元二次方程a(x−k)2−1=0的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（）A．-1 B．0 C．1 D．28．已知关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)=m有两个不相等的实数根x1，x2有下列结论：①x1=2,x2=3；②m>−1；③三次函数y=(x−x1)(x−x2)+m的图象与x轴交点的横坐标分别为4a和b则a+b=5．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题9．已知关于x的方程（x+1）（x﹣3）+m＝0（m＜0）的两根为a和b，且a＜b，用“＜”连接﹣1、3、a、b的大小关系为.10．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是11．下列表格是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x，y的部分对应值，则一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的一个近似解是.（精确度0.1）x 6.1 6.2 6.3 6.4y−0.3−0.10.20.412．已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴只有一个交点，以下四个结论：①该抛物线的对⩽称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0有实数根；③a+b+c>0；④b−ac1．其中结论正确的为．13．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为三、解答题14．利用图象法求一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的近似根．（精确到0.1）15．已知：二次函数y=x2−mx+m−2，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；16．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？17．如图，抛物线y=ax2+bx−4a(a≠0)经过A(−1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线y=−14与抛物线分别交于点D，E，求线段DE的长．18．已知二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x−m=0的解. （2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式。
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第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题(52)一、解答题1．已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式；（2）将该二次函数图象向上平移 个单位长度后恰好过点（﹣2，0）； （3）观察图象，当﹣2＜x ＜1时，y 的取值范围为 ．2．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标． (1)y ＝4x 2＋24x ＋35； (2)y ＝－3x 2＋6x ＋2； (3)y ＝x 2－x ＋3； (4)y ＝2x 2＋12x ＋18. 3．如图，已知抛物线21322y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C 。
（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴交于点E ，若AE:ED ＝1:4，求n 的值.4．如图，抛物线与直线y =x +3分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点A 和点C ，且抛物线的对称轴为x =﹣2．（1）求出抛物线与x 轴的两个交点A 、B 的坐标． （2）求出该抛物线的解析式．5．已知：关于x 的方程()213210ax a x a --+-=．（1）当a 取何值时，二次函数()21321y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-；（2）求证：a 取任何实数时，方程()213210ax a x a --+-=总有实数根．6．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点D 为该抛物线的顶点，设点E （m ，0）（m ＞2），如果△BDE 和△CDE 的面积相等，求E 点坐标．7．已知两个关于x 的二次函数1y 与222112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，，当x k =时，217y =；且二次函数2y 的图象的对称轴是直线1x =-． （1）求k 的值；（2）求函数12y y ，的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由． 8．抛物线（b ，c 均为常数）与x 轴交于两点，与y 轴交于点．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若P 是抛物线上一点，且点P 到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P 的坐标．9．如图，抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．(1)求出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；(2)连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF ∥DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ；①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，S 是否有最大值？如有，请求出最大值，没有请说明理由.10．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交于点A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．()1直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴．()2连接AC 、BC ，求ABC 的面积．11．（本题满分11分）如图，⊙E 的圆心E （3，0），半径为5，⊙E 与y 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），与x 轴的正半轴相交于点C ；直线l 的解析式为y ＝x ＋4，与x 轴相交于点D ；以C 为顶点的抛物线经过点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．12．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y=x2+mx+n的图像上，当x1=1，x2=3时，y1= y2．（1）①求m的值；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值.（2）若P(a，b1)，Q(3，b2)是函数图像上的两点，且b1＞b2，求实数a的取值范围.（3）若对于任意实数，都有≥2，求n的取值范围.13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若b＝1，a＝﹣12c，求证：二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；（2）若a<0，c＝0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求4a+b2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1•y2＞0，且2a+3b+6c＝0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．14．（10分）某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2010年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2012年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2014年初完工并还清银行贷款），同时开始房屋出售，开发总面积为5万平方米，动工后每年的土地管理费降为购买土地费用的5%，工程完工后不再上交土地管理费．出售之前，该开发商聘请调查公司进行了市场调研，发现在该片区，若房价定位每平方米3000元，则会销售一空．若房价每平方米上涨100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长2.5个月．该房地产开发商预计售房净利润为8660万．（1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2年后，对于未出售的面积，开发商不再出售，准备作为商业用房对外出租），则房价应定为每平方米多少元？15．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0（m≠0）.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y = mx 2+（3m +1）x +3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y =x +b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 16．函数y ＝x 2+3x +2的图象如图1所示，根据图象回答问题： （1）当x 满足 时，x 2+3x +2＞0；（2）在解决上述问题的基础上，探究解决新问题： ①函数y ＝(1)(2)x x ++的自变量x 的取值范围是 ； ②下表是函数y ＝(1)(2)x x ++的几组y 与x 的对应值． x… ﹣7﹣6﹣4﹣3﹣2﹣10 134…y…5.477 …4.472 …2.449 …1.414 …1.414 …2.449 …4.472 …5.477 ……如图2，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中各对对应值为坐标的点的大概位置，请你根据描出的点，画出该函数的图象：③利用图象，直接写出关于x 的方程x 4=x 2+3x+2的所有近似实数解 （结果精确到0.1）17．已知二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，解决下列问题:()1关于x 的一元二次方程20x bx c -++=的解为 ；()2求此抛物线的解析式和顶点坐标.18．已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣4），且过点（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴交点的坐标．19．给定关于的二次函数，学生甲：当时，抛物线与轴只有一个交点，因此当抛物线与轴只有一个交点时，的值为3；学生乙：如果抛物线在轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限；请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由.20．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，若点P使四边形ABPC的面积最大，求点P的坐标．【答案与解析】一、解答题1．（1）y=（x+1）2﹣4；（2）3；（3）﹣4≤y ＜0．先利用待定系数法求出函数解析式，再利用平移变换求出平移了几个单位长度，最后观察图像写出y 的取值范围. 解：（1）设y=a （x+h ）2﹣k ．∵图象经过顶点（﹣1，﹣4）和点（1，0）， ∴y=a （x+1）2﹣4． 将（1，0）代入可得a=1， ∴y=（x+1）2﹣4．（2）设向上平移n 个单位，得 y=（x+1）2﹣4+n ， 将（﹣2，0）代入，得 1﹣4+n=0， 解得n=3， 故答案为3． （3）由图象，得当﹣2＜x ＜1时，图象位于x 轴的下方，图象的顶点坐标是（﹣1，﹣4）， ∴﹣4≤y ＜0， 故答案为﹣4≤y ＜0． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是先利用待定系数法求出解析式，在进行平移变换进行求解.2．(1)对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，－1)，它与x 轴的交点坐标（-52，0），（-72，0）；(2)对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，5)，它与x 轴的交点坐标是（13+，0），（13-，0）； (3)对称轴是直线x ＝12，顶点坐标是（12，114），它与x 轴没有交点；(4)对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，0)，它与x 轴的交点坐标是(－3，0)． 【分析】因为二次函数2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-,顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与x 轴的交点的纵坐标为0.所以代入公式,求解即可. 【详解】解：(1)∵y ＝4x 2＋24x ＋35，∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，－1)， 解方程4x 2＋24x ＋35＝0，得x 1＝－52，x 2＝－72，故它与x 轴交点坐标是5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，7,02⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)∵y ＝－3x 2＋6x ＋2，∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，5)， 解方程－3x 2＋6x ＋2＝0，得x 1＝1x 2＝1故它与x 轴的交点坐标是1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； (3)∵y ＝x 2－x ＋3， ∴对称轴是直线x ＝12，顶点坐标是111,24⎛⎫⎪⎝⎭， 解方程x 2－x ＋3＝0，无解，故它与x 轴没有交点； (4)∵y ＝2x 2＋12x ＋18，∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，0)， 当y ＝0时，2x 2＋12x ＋18＝0， ∴x 1＝x 2＝－3，∴它与x 轴的交点坐标是(－3，0)．【点睛】本题考核知识点：此题考查了二次函数的性质:二次函数2y ax bx c =++的对称轴为2bx a =-,顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与x 轴的交点的纵坐标为0.3．（1）213222y x x =--；（2）点P 的坐标为1147535521(,),(,),(,)282828-- ；（3）278. （1）利用三角形相似可求AO•OB ，再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB 构造方程求n ；（2）求出B 、C 坐标，设出点Q 坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点P 坐标，分别代入抛物线解析式，求出Q 点坐标；（3）设出点D 坐标（a ，b ），利用相似表示OA ，再由一元二次方程根与系数关系表示OB ，得到点B 坐标，进而找到b 与a 关系，代入抛物线求a 、n 即可．（1）若△ABC 为直角三角形 ∴△AOC ∽△COB ∴OC 2=AO•OB 当y=0时，0=12x 2-32x-n 由一元二次方程根与系数关系 -OA•OB=OC 2n 2=12n-＝−2n解得n=0（舍去）或n=2∴抛物线解析式为y=213222y x x =--； （2）由（1）当213222x x --=0时 解得x 1=-1，x 2=4 ∴OA=1，OB=4∴B （4，0），C （0，-2）∵抛物线对称轴为直线x=-2ba ＝−332=1222-⨯∴设点Q 坐标为（32，b ）由平行四边形性质可知当BQ 、CP 为平行四边形对角线时，点P 坐标为（112，b+2） 代入y=12x 2-32x-2 解得b=238，则P 点坐标为（112，398） 当CQ 、PB 为为平行四边形对角线时，点P 坐标为（-52，b-2） 代入y=12x 2-32x-2 解得b=558，则P 坐标为（-52，398） 综上点P 坐标为（112，398），（-52，398）； （3）设点D 坐标为（a ，b ）∵AE ：ED=1：4则OE=15b ，OA=14a ∵AD ∥AB∴△AEO ∽△BCO ∵OC=n∴OB OAOC OE＝ ∴OB=54anb由一元二次方程根与系数关系得，1215•1442c n an x x a a b -=-＝＝ ∴b=532a 2将点A （-14a ，0），D （a ，532a 2）代入y=12x 2-32x-n 22211310()?()24245133222a a n a a a n ⎧⨯----⎪⎪⎨⎪--⎪⎩＝＝解得a=6或a=0（舍去）则n=278 . 【点睛】本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想． 4．（1）A(-3，0) B （-1，0）（2）y=x 2+4x+3（1）由直线方程易求点A 的坐标；然后根据抛物线的对称性来求点B 的坐标； （2）把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式，利用方程组来求系数a 、b 、c 的值． （1）∵直线方程是y=x+3， ∴当y=0时，x=-3， ∴A （-3，0），又∵抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=x+3交于点，且抛物线的对称轴为直线x=-2， ∴B （-1，0），综上所述，抛物线与x 轴的两个交点A 、B 的坐标分别是：A （-3，0）、B （-1，0）； （2）由（1）知，A （-3，0）、B （-1，0）， ∵直线方程是y=x+3， ∴当x=0时，y=3， ∴C （0，3），。