(必修五)高中数学3.2一元二次不等式及其解法课件2新人教A版必修5
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高中数学 第三章 3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时 一元二次不等式的应用课件 新人教A版必修5
6 ∴只需 m<7即可．
本例中，是否存在实数m，使f(x)≥0恒成立？ 解：假设存在实数m，使f(x)≥0恒成立．
∵f(x)＝mx2－mx－1，且 f(x)≥0 恒成立，
m>0， ∴ Δ≤0. m>0， 即 2 m ＋4m≤0， m>0， ∴ －4≤m≤0，
1 －3＋2 b 1 1 5 －c＝ c ＝ 1 ＝ 1 ＋2＝－2， －3×2 －3 a 1 ∴x1＝ 1 ＝－3，x2＝2， －3 ∴不等式 cx2＋bx＋a<0(c>0)的解集为 1 {x|－3<x<2}. 1
b －a
[研一题]
[例2] (2011· 抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
b 5 ∴a＝－3. c 2 又a＝－3， 5 2 ∴b＝－3a，c＝－3a. 2 2 5 ∴不等式变为(－3a)x ＋(－3a)x＋a<0，
即 2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 1 所求不等式的解集为{x|－3<x<2}．
1 b 1 c 法二： 由已知得 a<0 且(－3)＋2＝－a， (－3)×2＝a知 c>0， 设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1，x2， b a 则 x1＋x2＝－ c，x1· x2＝ c， a 其中 c＝ 1 3 ＝－2， 1 －3×2
1 2 1 所以不等式 qx ＋px＋1>0 即为－6x ＋6x＋1>0，整理
2
得 x2－x－6<0，解得－2<x<3. 即不等式 qx2＋px＋1>0 的解集为{x|－2<x<3}．
[悟一法]
求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx
人教A版高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法2课件
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
⊿>0
y
x1 x2
⊿=0
y
x x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程ax2+bx+c=0 （a>0） 的根
有两个
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2)
相等实根 x1=x2
ax2+bx的+c解>0集（a>0）{x|x<x1或x>x2} {x|x≠-b/2a}
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
b2 4ac 0
0
0
大 于 取 两
y
y
y
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
x1 O
x2 x
O x1=x2 x
O
x
边 ， 小
ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
b 2a
没有实根
于 取 中 间
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
x x x1或x x2
例3、解下列不等式
1、-x2 -2x+3 0
2、(1-x)(x+2)>0
解： -x2 -2x+3 0
解： (1-x)(x+2)>0
x2 +2x-3 0
(x+3)(x-1) 0
原不等式的解集为：{x | -3 x 1}
(x-1)(x+2)<0
原不等式的解集为：{x | -2<x 1}
的图象
⊿>0
y
x1 x2
⊿=0
y
x x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程ax2+bx+c=0 （a>0） 的根
有两个
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2)
相等实根 x1=x2
ax2+bx的+c解>0集（a>0）{x|x<x1或x>x2} {x|x≠-b/2a}
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
b2 4ac 0
0
0
大 于 取 两
y
y
y
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
x1 O
x2 x
O x1=x2 x
O
x
边 ， 小
ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
b 2a
没有实根
于 取 中 间
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
x x x1或x x2
例3、解下列不等式
1、-x2 -2x+3 0
2、(1-x)(x+2)>0
解： -x2 -2x+3 0
解： (1-x)(x+2)>0
x2 +2x-3 0
(x+3)(x-1) 0
原不等式的解集为：{x | -3 x 1}
(x-1)(x+2)<0
原不等式的解集为：{x | -2<x 1}
高中数学 一元二次不等式及解法 PPT课件 图文
y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数 、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂 讲 义
求解一元二次不等式
例一 求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x
1} 2
y
O x1
x
变式训练
高中数学人教版必修5课件：3.2一元二次不等式及其解法
一元二次方程： ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次不等式： ax2+bx+c>0(a≠0) 或ax2+bx+c<0(a≠0)
它们之 间有怎 样的联 系呢？
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的 解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为
正值或负值时自变量x的取值的集合。
一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使 二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。
2、自变量x在什么范围取值时，函数
y 3x2 x 2 的值小于0
课堂小结
1.求解一元二次不等式的三个步骤: （1）.将不等式化为标准情势：
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0
（2）.解出相应的方程的根。 （3）.画出相应二次函数的草图，根据草
图确定所求不等式的解集。
2.若ax2 + bx + c = 0(a > 0)有两根x1,x2(x1 < x2), 则ax2 + bx + c > 0的解集可记忆为"大于取在两边", ax2 + bx + c < 0的解集可记忆为"小于在取中间"
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
（1）一元二次方程 x2 7x 6 0 的根与二次
函数 y x2 7x 6 的零点的关系：
二次方程有两个实数根：
y
x1 1, x2 6
二次函数有两个零点：
o
01
o
x
6
x1 1, x2 6
即：二次方程的根就是二次函数的零点
一元二次不等式： ax2+bx+c>0(a≠0) 或ax2+bx+c<0(a≠0)
它们之 间有怎 样的联 系呢？
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的 解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为
正值或负值时自变量x的取值的集合。
一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使 二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。
2、自变量x在什么范围取值时，函数
y 3x2 x 2 的值小于0
课堂小结
1.求解一元二次不等式的三个步骤: （1）.将不等式化为标准情势：
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0
（2）.解出相应的方程的根。 （3）.画出相应二次函数的草图，根据草
图确定所求不等式的解集。
2.若ax2 + bx + c = 0(a > 0)有两根x1,x2(x1 < x2), 则ax2 + bx + c > 0的解集可记忆为"大于取在两边", ax2 + bx + c < 0的解集可记忆为"小于在取中间"
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
（1）一元二次方程 x2 7x 6 0 的根与二次
函数 y x2 7x 6 的零点的关系：
二次方程有两个实数根：
y
x1 1, x2 6
二次函数有两个零点：
o
01
o
x
6
x1 1, x2 6
即：二次方程的根就是二次函数的零点
高中数学人教A版必修5《3.2.2一元二次不等式及其解法2》课件
b
}
2a
ax1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
课堂练习，解下列不等式：
1. x 1x 2 0
2.(3x 1)(x 1) 0
3.2x2 x 1 0
4. x2 x 2 0
5.x2 3x 1 0 6x2 3x 5 0
7.x2 6x 9 0
解一元二次不等式，首先化二次项系数 为正，然后求根，最后利用
大于 , 两根之外 小于 , 两根之间 这个规律写出解集
注意特殊情况：如果不等式所对应的方程 无根或者只有1个根的时候，要画图，根据
图像得出解集. 0或 0
能力训练：
1.已知集合N x | x2 3x 4 0 , M x | x2 8 ,求M N、M CRRNN
上的点到点 a, b 的距离的最大值.
3.解关于x的不等式(ax 3)( x 1) 0
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、
ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是：
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
高中数学 3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)课件 新人教A版必修5
解：原不等式可化为：2x2 x 3 0
因为 2x2 x 3 0
的两根分别为：x1
1, x2
3 2
所以原不等式的解集为
x
x
1或x
3
2
题型2.已知解集，求参数的取值或取值范围
_______ 例题.关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的
解集为 x1 x 2 ,则 a b
即：转化——求根——画图——找解。
[典型例题] 题型1. 一元二次不等式的解法
例题：3x2 7x 10
练习：(1) 2x2 4x 4 0
(2) 2x2 x 3
[典型例题] 题型1. 一元二次不等式的解法
例题： 3x2 7x 10
解：原不等式可化为：3x2 7x 10 0
无实根 R
知识回顾：2.解一元二次不等式的基本步骤:
(1)化不等式为标准形式: ax2 bx c 0(a 0)
或ax2 bx c （0 a 0)
(2)求方程ax2 bx c 0a 0的根;
(3)画出对应函数 y ax2 bx c(a 0)的图象;
(4)由图象得出不等式的解集.
2、解一元二次不等式的一般步骤； 3、一元二次不等式的解与一元二次方程的 根的关系的应用；
4、与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法。
课后思考与作业：
1.必做题
2解（.选下1做）列题不x等2式：3x 4 0（2） x2 2x 3
（3.创1）做若题函数 y mx2 对一4x切1 都有意义x ，求R
因为 3x2 7x 10 0
的两根分别为：
x1
1, x2
10 3
所以原不等式的解集为x
1
x
10
因为 2x2 x 3 0
的两根分别为：x1
1, x2
3 2
所以原不等式的解集为
x
x
1或x
3
2
题型2.已知解集，求参数的取值或取值范围
_______ 例题.关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的
解集为 x1 x 2 ,则 a b
即：转化——求根——画图——找解。
[典型例题] 题型1. 一元二次不等式的解法
例题：3x2 7x 10
练习：(1) 2x2 4x 4 0
(2) 2x2 x 3
[典型例题] 题型1. 一元二次不等式的解法
例题： 3x2 7x 10
解：原不等式可化为：3x2 7x 10 0
无实根 R
知识回顾：2.解一元二次不等式的基本步骤:
(1)化不等式为标准形式: ax2 bx c 0(a 0)
或ax2 bx c （0 a 0)
(2)求方程ax2 bx c 0a 0的根;
(3)画出对应函数 y ax2 bx c(a 0)的图象;
(4)由图象得出不等式的解集.
2、解一元二次不等式的一般步骤； 3、一元二次不等式的解与一元二次方程的 根的关系的应用；
4、与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法。
课后思考与作业：
1.必做题
2解（.选下1做）列题不x等2式：3x 4 0（2） x2 2x 3
（3.创1）做若题函数 y mx2 对一4x切1 都有意义x ，求R
因为 3x2 7x 10 0
的两根分别为：
x1
1, x2
10 3
所以原不等式的解集为x
1
x
10
高中数学第三章不等式32一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的解法的应用课件新人教A版必修
2．含参数一元二次不等式有解的讨论方法 (1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数_等__于__零_、 _大__于__零___、_小__于__零___三种情况进行讨论． (2)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小 于零三种情况进行讨论． (3)判别式大于零时，只需讨论两根大小．
1．若集合
它的同解不等式为xx－－22≠x0－，5≥0， ∴x＜2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．
【方法规律】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转 化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母 不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后 再用上述方法求解．
【答案】B
3．不等式x＋x 1≤3 的解集为________． 【答案】x|x＜0或x≥12
4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的 取值范围为________．
【答案】(－1,0) 【解析】已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意 x∈R恒成立，∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0，解得－1＜a＜0.
y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝215a(50＋x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为 200a·10%＝20a(万元)．依题意得215a(50
＋ x)(10 － x)≥20a×83.2% ， 化 简 得 x2 ＋ 40x － 84≤0 ， ∴ － 42≤x≤2.又 0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x 的取值范围是{x|0＜ x≤2}．
)
A．x|1t ＜x＜t
B．x|x＞1t 或x＜t
C．x|x＜1t 或x＞t
D．x|t＜x＜1t
3.一元二次不等式及其解法-人教A版高中数学必修五PPT全文课件
说明：数形结合要牢记心中，但书写过程可简化。 3.一元二次不等式及其解法-人教A版高中数学必修五PPT全文课件【完美课件】
例1、解不等式 2x2－3x－2>0 另解：
解:原不等式可化为：
(2x 1)( x 2) 0
x 2或x 1 2
所以,不等式的解集是
{ x | x 1 ，或x 2} 2
3.2.1一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式
观察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－1>0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2+6x－1≤0.
它们有什么共同特点：
(1)含有一个未知数x； (2)未知数的最高次数为2.
定义：一般地，把只含有一个未知数， 且未知数的最高次数为2的不等式， 叫做一元二次不等式。
即：ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 (a 0)
则实数a的取值范围是 _-_2_≤_a__≤_6_
课外作业：
练习：求函数 y lg( x 2 5x 14) 的定义域。
(,2) (7,)
变式：若 y lg( x 2 5x b) 的定义域为R,求 b范围。
b (, 25 ) 4
变式：若对于x∈R，不等式mx2+2mx+3>0恒成立， 求实数m的取值范围。
思考题：
1、若方程x 2 mx n 0无实数根，则不等式
x 2 mx n 0的解集是 ______R__
2、已知不等式ax 2 bx 2 0的解是 1 x 1
2
3
则a __-_1_2___；b ___-_2____ .
3、若不等式x 2 ax (a 3) 0的解集是，
（2）计算相应的判别式； （3）当△>0时，求出相应的一元二次方程的两个 根；