1.2__第1课时_解三角形的实际应用举例—距离问题
高中数学人教B版必修5第1章《解三角形》(1.2 第1课时)同步课件
∴AE＝2csoisn1350°°＝
2×12 6＋
＝ 2
6－
2.
4
在△ABC 中，已知 A＝45°，cosB＝45. (1)求 cosC 的值； (2)若 BC＝10，D 为 AB 的中点，求 CD 的长．
[解析]
(1)∵A＝45°，∴cosA＝
22，sinA＝
2 2.
又∵cosB＝45，∴sinB＝35.
第一章 解三角形
第一章 1.2 应用举例 第1课时 距离问题
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上
作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距
“蓝天号”20n mile的B处．现在“白云号”以10n
mile/h的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时
小岛A周围38 n mile内有暗
礁，一船正向南航行，在B处
测得小岛A在船的南偏东30°，
航行30 n mile后，在C处测
得小岛在船的南偏东45°，
如果此船不改变航向，继续
向南航行，有无触礁的危险？
• [分析] 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决
于A到直线BC的距离与38 n mile的大小，于是我们 只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，
∴x＝503 6 n mile.
• 4．在相距2 km的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB ＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为
______ km.
[答案] 6
[解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°， 由正弦定理，得siAn6C0°＝sinA4B5°，∴AC＝ 22·23＝ 6. 2
2020-2021学年高中人教A版数学必修五课件-1.2.1-解三角形的实际应用举例-距离问题
C.南偏西35°
D.南偏西55°
【解析】选D.根据题意和方向角的概念画出草图, 如图所示α=55°,则β=α=55°.所以B在A的南偏西55°.
3.(教材二次开发:习题改编)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距
离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,
∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则BC为
m.
【思路导引】在△ABC中,知两角和一边,可以用正弦定理解三角形,求BC的长.
【解析】由题意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,
由正弦定理得,BC= AB ·sin ∠CAB=
sinACB
120 ·sin 30°=
sin 75
则灯塔A与灯塔B的距离为
()
A.a km
B. 3 a km
C. 2 a km
D.2a km
【解析】选B.由题意得∠ACB=120°,
AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,所以AB3 = a.
关键能力·合作学习
类型一 用正弦定理或余弦定理求距离(数学建模)
角度1 用正弦定理求距离
【典例】如图所示,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得
4
所以AC= 15sin 120 3 2 6×15(n mile).
sin 15
2
AC AB ， sinABC sinACB
,3 ,
2
在△ACD中,因为∠A=∠D=45°,所以△ACD是等腰直角三角形,所以AD= 2 AC= 15(3+ 3) (n mile). 答:A,D两处的距离为15(3+ 3 ) n mile.
人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 1.2 应用举例》_2
第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。
主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。
因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。
本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。
对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。
二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。
这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。
在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。
学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。
三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。
（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。
（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。
四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。
难点：测量方法的寻找与计算。
五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。
六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。
知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。
高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例——距离问题课件 新
5(km)．
答：A、B 之间的距离为 5 km.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
16
『规律总结』 (1)当两点A、B不相通，又不可视时，选取第三点C，测 出AC、BC、∠ACB，用余弦定理求解；
(2)当两点A、B间可视，但有一点B不可到达时，选取点C，测出∠CAB、 ∠ACB和AC，用正弦定理解决．
65
(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了(100＋50t) m， 乙距离A处130t m，所以由余弦定理，得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t × (100＋50t)×1123＝200(37t2－70t＋50)．由于0≤t≤1103400，即0≤t≤8，
(1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
[分析] (1)利用正弦定理求出AB的长．(2)先设再建立时间t与甲、乙间距 离d的函数关系式，利用关系式求最值．
[解析] (1)在△ABC中，∵cosA＝1123，cosC＝35，∴sinA＝153，∴sinC＝45， ∴sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC ＝153×35＋1123×45＝6635. 由正弦定理，得sAinBC＝sAinCB， ∴AB＝sAinCB·sinC＝1 62360×45＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040m.
故当t＝3357时，乙在缆车上与甲的距离最短．
互动探究学案
命题方向1 ⇨两点间有一(两)点不可到达点测量距离问题
例题 1 要测量河对岸两个建筑物 A、B 之间的距离，选取相距 3 km 的 C、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°， 求 A、B 之间的距离．
1.2-解三角形的实际应用举例
2021/3/10
讲解：XX
6
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形.
AB ＝ AC sinC sinB
解：根据正弦定理，得
AB = AC sin∠ACB sin∠ABC
AB = ACsin∠ACB = 55sin∠ACB sin∠ABC sin∠ABC
=
55sin75o sin(180o -51o -75o
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
2021/3/10
讲解：XX
4
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
直
距
离
α
水平距离
坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离
= )
55sin75o sin54o
65.7(m)
答：A,B两点间的距离为65.7米.
2021/3/10
讲解：XX
7
探究点2 关于测量两个都不可到达的点之间的距离 的问题
例2 如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)， 设计一种测量A，B两点间距离的方法.
A
B
2021/3/10
讲解：XX
8
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达
A B A C 2 B C 2 2 A C B C c o s
2021/3/10
讲解：XX
11
总结提升 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻
找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐， 如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定 理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：距离问题(59页)
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第一章 1.2 第1课时
系列丛书
∵DC＝6，∠DBC＝15° ，∠BCD＝120° ， CD· sin120° ∴BD＝ sin15° ＝3 6 ( 3 ＋1)，AB＝BDcos45° ＝ 3 3( 3＋1)． ∴步行速度＝3 3( 3＋1)≈14.2 (m/min)．
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2．某人在平地上散步，已知正西方向有两根相距为6 m的标杆，当他向正北方向步行1 min后，看到一根标杆在 其西南方向，一根标杆在其南偏西30° 方向，求此人步行的 速度．(结果保留一位小数)
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第一章 1.2 第1课时
系列丛书
提示：如图，依题设条件，△BCD中已具备解三角形 的条件．由∠DBC＝45° －30° ＝15° ，CD＝6，∠BCD＝90° ＋30° ＝120° 可解得BD.从而解出AB，计算出速度．
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第一章 1.2 第1课时
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(1)根据题意作出示意图； (2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的 已知元素和未知元素； (3)选用正弦定理或余弦定理(有时需正、余弦定理并用) 进行求解，并注意运算的正确性；
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第一章 1.2 第1课时
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第一章 1.2 第1课时
系列丛书
[解]
根据正弦定理得
AB AC ＝ ， sin∠ACB sin∠ABC ACsin∠ACB 8sin45° ∴AB＝ ＝ sin∠ABC sin180° －30° －45° ＝ 4 2 ＝8( 3－1) (m) 6＋ 2 4
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题课件新人教A版必修5
此类问题的关键是把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已 知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．
地上画了一个角，∠BDA＝60°，某人从角的顶点 D 出发，沿角的一边 DA 行走 10 m 后，拐弯往另一方 向行走 14 m 正好到达∠BDA 的另一边 BD 上的一 点，我们将该点记为点 B，则点 B 与 D 之间的距离 为________ m.
如图，隔河看两目标 A，B，但不能到达，在岸 边选取相距 3 km 的 C，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝ 45°(A，B，C，D 在同一平面内)，求两目标 A，B 之间的距离．
解析：在△ACD 中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.
3 2a
km.
在△BCD 中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理sin∠BDBCD＝sin∠CDDBC，
6＋ 2
得
BD＝CD·ssiinn∠∠BDCBDC＝
3 2 a·
4 2
＝3＋4 3a(km)．
2
在△ADB 中，由余弦定理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB
名词、术语
意义
坡角
坡面与 水平面的夹角
坡比 坡面的竖直高度与 水平宽度 的比
是指从 正北 方向顺时针转到目标方 方位角
向线所成的水平角
从指定方向到目标方向线所成的小 方向角
于 90° 的水平角
图示
[双基自测]
1．已知 A，B 两地相距 10 km，B，C 两地相距 20 km，且∠ABC＝
120°，则 A，C 两地相距( )
A．10 km
解三角形应用举例距离测量问题
数学必修5第一章《解三角形》 1.2 应用举例（一）距离测量问题一、课前练习：1、为测一河两岸相对两电线杆B A ,间的距离，在距A 点15米的C 处（AC ⊥AB ）测得ACB ∠=50°，则B A ,间的距离应为 （ ）A ．15︒50sin 米B ．15︒50cos 米C ．15︒50tan 米D ．15︒50cot 米2、已知有长为100米的斜坡AB ，它的坡角是45°，现把它改成坡角是30°的斜坡AD ，则DB 的长是__________米。
3、如图，某船向东航行，在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30°，又航行了半小时到D 处，望见灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A 、D 两点间的距离（结果不取近似值）二、课堂练习：1.一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ）A ．27海里B ．214海里C ．7海里D ．14海里2．我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 3. 隔河可看到两目标B A ,，但不能到达，在岸边选取相距3km 的D C ,两点，并测得︒=∠75ACB ，︒=∠45BCD ，︒=∠30ADC ，︒=∠45ADB ，（D C B A ,,,在同一平面内），求两目标B A ,之间的距离。
4. 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为450和300，而且两条船与炮台底部连线成300角，（炮台底部与江面平行），求两条船相距多少米？D三、课后练习：1. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速度是每小时( )A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为( )A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h3. 某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是4. 为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m，则河的宽度为5.某观察站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，由C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD距离为21千米，问人还需走多少千米才能到达A城？6. 如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离．7.在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？A参考答案1.2 应用举例（一）距离测量问题一、课前练习：1、C ；2、)26(50-；3、（1）救生员的选择是正确的； （2）CD ＝275米，最短时间为210050+秒 二、课堂练习：1、A ；2、14n mile/h ；3、易得，75,60,300=∠=∠=∠BDC CBD CAD75sin 2sin sin ,3=∠⋅∠===∴BDC CBDCDBC CD AC在ABC ∆中，由余弦定理得，5cos 222=∠⋅⋅-+=ACB BC AC BC AC AB 。
第1课时 解三角形的实际应用举例——高度、距离问题教材
所以AB = BC×tanα. 所以角楼的高AB = AB + BB = AB + CC.
探究点3：求两点间距离
A
B
设A，B是两个海岛，如何测量它们之间的距离？
A
B
D
C
分析：如图，A,B分别是两个海岛上接近海面的两处 标志性设施.如果只选择一个测点C，那么在ΔABC中， 只能测得∠ACB的大小，问题不能得到解决.因此需要再 选择一个测点D,构造ΔBCD，而CD长可测，要求出AB，
都无法测出，因而AB的长无法求得.
A
D′
B′ B
D
C′
C
如果移动测量仪CC至DD(测量仪高度不变)， 在ΔBCD中，可以测出∠β和∠γ的大小， 又可测得CD的长.根据正弦定理，应有 BC = CD ,而∠DBC＝180o -β-γ， sinγ sin∠DBC
所以BC = CDsinγ = CDsinγ , sin∠DBC sin(180°-β-γ)
实际问题 画图形
数学模型
实际问题的解
解 三 角 形 检验（答）
数学模型的解
150
2.如图，设A,B两点在河的两岸，一 测量者在A的同侧，在所在的河岸边选 定一点C，测出AC的距离为50m， ∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算 出A,B两点的距离为（ A ）m
C，D在一个平面内.测得 CD = a，∠ACB＝α，∠ADC＝β，∠BCD＝θ，∠BDC =δ.
在ΔBCD中，由正弦定理，得
BC =
a
,即BC＝ asinδ .
sinδ sin(180°-θ-δ)
sin(θ+δ)
在ΔACD中，∠CAD = 180°-(α+β+θ).由正弦定理，得
人教A版高中数学必修五课件1.2.1.1解三角形的实际应用举例——距离问题
【例1】如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直 角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E， AB=2. (1)求cos∠CBE的值； (2)求AE. 【审题指导】由三角形的性质可求出∠CBE的度数，从而可解 出cos∠CBE的值；求AE，可在△ABE中利用正弦定理求得.
【规范解答】(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,
2x 20
5x
同理，在△PAC中可求得 cos PAC 72 x ,
3x
由于cos∠PAB=cos∠PAC,
即 3x 32 72 x ,
5x
3x
解得 x 132 .
7
(2)作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中，
PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB
x
3x
32
4.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向 航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h，该船实际 航程为_______. 【解析】如图所示，在△ACD中，
AC 2 3,
CD 4 3，∠ACD=60°, ∴ AD2 12 48 2 2 3 4 3 1 36,
2
∴AD=6，即该船实际航程为6 km. 答案：6 km
5.如图，为了测量河的宽度， 在一岸边选定两点A、B，望对 岸的标记物C，测得∠CAB=45°， ∠CBA=75°，AB=120米，求河的宽度.
【解析】在△ABC中，∵∠CAB=45°，∠CBA=75°，
∴∠ACB=60°.
由正弦定理,可得，
3.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯
角分别为45°和30°，且两条船与炮台底部都在一条线上，则
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在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线
长度,使测量具有较高的精确度.
一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
.
北
A
解:
C B
东
3、在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个 3a 相距为 2 的军事基地 C 和 D 测得蓝方两支精锐部队分别在 A 处和 B 处，且∠ADB＝30° ，∠BDC＝30° ，∠DCA＝60° ， ∠ACB＝45° ，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推 演 理 算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
装饰对于德行也同样是格格不入的，因为
德行是灵魂的力量和生气。 ——卢梭
A B
最大角度 答：顶杆BC约长1.89m.
解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求 解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三 角形的数学模型. (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角 形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而 得出实际问题的解.
探究二、关于测量两个都不可到达的点之间的距离的问题:
例2 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种
测量A、B两点间距离的方法.
A
B
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间 的距离测量问题. 首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.
用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点 的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出 A，B两点间的距离.
3.课本引言第一章“解三角形”中，我们遇 到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟 有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器 就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法 探索到这个奥秘的呢？ 今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科 学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离.
探究一、关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之 间的距离的问题:
（2）解三角形中能解决的三角形类型 ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
2.什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三角形？ （1）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边 的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍， 即
, ,
.
（2）解三角形中余弦定理能解决的三角形： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边。 ③已知三角形两边及其一边的对角。
3 解：易知 AD＝DC＝AC＝ a. 2 在△BCD 中，∠DBC＝45° Байду номын сангаас BC CD 6 ∴sin 30° ＝sin 45° ，∴BC＝ 4 a. 在△ABC 中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC· BC· cos 45° 3 2 3 2 3 6 2 3 2 ＝ a ＋ a －2× a· a· ＝ a ， 4 8 2 4 2 8 6 6 ∴AB＝ a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为 a. 4 4
1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例 —距离问题
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有
关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；
2.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同 时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想 解决数学问题的能力.
1. 什么是正弦定理？运用正弦定理能解怎样的三角形？ （1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即
3.自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计算油泵
顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与
车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角形？
此题即“已知△ ABC 中 AB ＝ 1.95m ， AC ＝ 1.40m ， C 夹角∠CAB＝66°20′，求BC．” 解：由余弦定理，得
思考1： △ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个
定理呢？
思考2：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？
题目条件告诉了边AB及
BC的对角，AC为已知边， 再根据三角形的内角和定
理很容易根据两个已知角
算出AC的对角，应用正弦 定理算出AB边.
解： 根据正弦定理，得
答:A、B两点间的距离为65.7米.
A
B
C
D
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且
在C、D两点分别测得
A
B
D
C
思考：还有没有别的测量方法？
在研究三角形时，灵活根据两个定理
可以寻找到多种解决问题的方案，但有些
过程较繁复，如何找到最优的方法，最主
要的还是分析两个定理的特点，结合题目 条件来选择最佳的计算方式.
基线： 我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线， 如例1中的AC，例2中的CD.